ZOBRAZOVACÍ ROVNICE O KY A KULOVÉHO ZRCADLA
Zv tšení optického zobrazení
Z p edešlých kapitol již víme, že p i zobrazení o kami nebo kulovými zrcadly mohou vznikat zv tšené nebo zmenšené obrazy p edm t . Pro jejich matematický popis zavádíme veli inu zv tšení optického zobrazení Z. Je definováno jako podíl velikosti obrazu a velikosti p edm tu: y Z , y kde y je velikost p edm tu a y‘ velikost obrazu. Souvislost mezi zv tšením Z a p edm tovou a obrazovou vzdáleností vyplývá z obrázku . 1 pro kulová zrcadla a z obrázku . 2 pro o ky.
Obr. 1: Zv tšení dutého zrcadla (p evzato z [5])
Obr. 2: Zv tšení dutého zrcadla (p evzato z [5]) Z podobnosti trojúhelník vyzna ených na obou obrázcích vyplývají vztahy pro velikost
zv tšení kulových zrcadel a o ek:
Z
y y
a a
a
f f
f a
f
Obecn mohou nastat tyto p ípady (platí pro kulová zrcadla i pro o ky): a) |Z| > 1 … vzniká obraz zv tšený b) |Z| < 1 … vzniká obraz zmenšený c) |Z| = 1 … vzniká obraz stejn velký jako p edm t d) Z > 0 … vzniká obraz p ímý e) Z > 0 … vzniká obraz p evrácený Zobrazovací rovnice
Vzájemné vztahy mezi p edm tovou vzdáleností, obrazovou vzdáleností a ohniskovou vzdáleností vyjad uje tzv. zobrazovací rovnice. Její tvar je stejný jak pro kulová zrcadla, tak pro o ky. Platí: 1 1 1 a a f Pozn.: 1) Všechny vzdálenosti (ohnisková, p edm tová, obrazová) ode ítáme od vrcholu zrcadla, resp. od optického st edu o ky – proto rovnici v tomto tvaru ozna ujeme jako vrcholovou zobrazovací rovnici. Ve starší literatu e bývá ozna ována také jako Gaussova zobrazovací rovnice. 2) Krom vrcholové zobrazovací rovnice existuje ješt jeden tvar zobrazovací rovnice – tzv. ohnisková zobrazovací rovnice (n kdy též Newtonova zobrazovací rovnice) ve tvaru qq‘ = f 2, kde q je vzdálenost p edm tu od ohniska, q‘ vzdálenost obrazu od ohniska a f ohnisková vzdálenost. P i ešení p íklad je t eba mít také na pam ti znaménkovou konvenci, která se mírn liší pro o ky a kulová zrcadla. Znaménková konvence pro kulová zrcadla: všechny vzdálenosti, které se nacházejí p ed zrcadlící plochou, mají znaménko kladné; všechny vzdálenosti, které se nacházejí za zrcadlící plochou, mají znaménko záporné; ohnisková vzdálenost dutého zrcadla je kladná, vypuklého zrcadla záporná; vzniká-li obraz p ímý, pak má velikost obrazu znaménko kladné, vzniká-li obraz p evrácený, pak má velikost obrazu znaménko záporné. Znaménková konvence pro o ky: p edm tová vzdálenost má vždy znaménko kladné; obrazová vzdálenost má znaménko kladné, je-li ve sm ru paprsk procházejících o kou (tj. obraz vzniká „za“ o kou), jestliže obraz vzniká ve stejné ásti prostoru jako leží p edm t, pak má obrazová vzdálenost znaménko záporné; ohnisková vzdálenost spojky je kladná, rozptylky záporná; vzniká-li obraz p ímý, pak má velikost obrazu znaménko kladné, vzniká-li obraz p evrácený, pak má velikost obrazu znaménko záporné.
P i ešení p íklad se zobrazovací rovnicí zrcadla nebo o ky je d ležité „ íst mezi ádky“ – ob as se zde vyskytují d ležité údaje. Na základ formulace zadání úlohy je pak možné ur it další vlastnosti obrazu. Nap . v ta „na stínítku vzniká obraz“ znamená, že vzniká skute ný obraz. Zárove je dobré si zkontrolovat výsledek – jestli vypo tené a ur ené vlastnosti souhlasí s teoreticky odvozenými p edpoklady. ešené p íklady (zobrazovací rovnice kulového zrcadla)
1) Ve vzdálenosti 20 cm od dutého kulového zrcadla s ohniskovou vzdáleností 15 cm se nachází p edm t vysoký 10 cm. Ur ete, v jaké vzdálenosti vznikne jeho obraz a ur ete vlastnosti tohoto obrazu. a = 20 cm, f = 15 cm, y = 10 cm, a‘ = ?, Z = ? ešení: Ze zobrazovací rovnice vyplývá: 1 1 1 1 1 a a f a f
1 a
a
f af
af
a
a
f
60 cm.
Obraz vzniká ve vzdálenosti 60 cm od vrcholu zrcadla. Zv tšení obrazu vypo teme z rovnice pro zv tšení: a 3. a Obraz bude p evrácený, zv tšený a skute ný, jeho velikost je 30 cm. Z
2) Ve vzdálenosti 5 m od vypuklého kulového zrcadla s ohniskovou vzdáleností 2 m se nachází p edm t vysoký 1,5 m. Ur ete, v jaké vzdálenosti vznikne jeho obraz a ur ete vlastnosti tohoto obrazu. a = 2 m, f = -5 m, y = 1,5 m, a‘ = ?, Z = ? ešení: Stejným zp sobem jako v p íkladu . 1 vypo teme obrazovou vzdálenost ze zobrazovací rovnice a zv tšení zobrazení z rovnice pro zv tšení:
1 a
1 a
1 f
1 a Z
1 f
1 a a a
a
f af 1,428 2
a
af a
f
1,43 m.
0,71.
Obraz vytvo ený vypuklým zrcadlem je zmenšený, p ímý, neskute ný a jeho velikost je 1,07 m.
3) Ve vzdálenosti 60 cm od dutého kulového zrcadla se nachází p edm t vysoký 20 cm. Na stínítku vzniká jeho dvakrát zv tšený obraz. Ur ete ohniskovou vzdálenost dutého kulového zrcadla. a = 60 cm, Z = -2, f = ? ešení: V zadání je ur eno, že zv tšený obraz p edm tu vzniká na stínítku duté zrcadlo vytvá í zv tšený obraz ve dvou p ípadech. V prvním p ípad se p edm t nachází mezi ohniskem a st edem k ivosti a jeho obraz je zv tšený, p evrácený a skute ný, ve druhém p ípad se p edm t nachází mezi vrcholem zrcadla a ohniskem a jeho obraz je zv tšený, p ímý a neskute ný. Ze zadání úlohy proto vyplývá, že se budeme zabývat první situací, protože jedin skute ný obraz lze zachytit na stínítko. Proto pro zv tšení platí: Z = -2. Nyní máme dv možnosti pro ešení (ob jsou rovnocenné) bu si pamatujeme souvislost mezi zv tšením, p edm tovou a ohniskovou vzdáleností a užijeme ji k ešení p íkladu, nebo si tuto souvislost nepamatujeme a odvodíme si ji ze zobrazovací rovnice a rovnice pro zv tšení zrcadla. Zvolíme první, jednodušší variantu, druhou – složit jší – si ukážeme na p íkladu . 4. Úpravou rovnice f Z a f získáme rovnici pro ohniskovou vzdálenost ve tvaru f
Za Z 1
2.60 cm 2 1
40 cm.
Ohnisková vzdálenost zrcadla je 40 cm (souhlasí s teoretickým p edpokladem, že se p edm t nachází mezi ohniskem a st edem k ivosti zrcadla).
4) Ur ete, v jaké vzdálenosti od vypuklého kulového zrcadla s polom rem k ivosti 80 cm se musí nacházet p edm t, aby jeho obraz byl t ikrát zmenšený? 1 r = -80 cm, Z , a=? 3 ešení: Z podmínek v zadání úlohy vyplývá, že obraz je p ímý, zmenšený a neskute ný – 1 proto je zv tšení rovno . V tomto konkrétním p ípad je t eba užít ob rovnice (pro 3 zv tšení zrcadla i zobrazovací rovnici). Máme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: a Z a 1 1 1 1 2 . r r a a f 2
Z rovnice pro zv tšení si vyjád íme obrazovou vzdálenost a
Za
a dosadíme do zobrazovací rovnice: 1 a
1 Za
2 r
rZ 1 2Z
(po úprav ) a
Dosazením íselných hodnot získáme výsledek:
1 1 3 cm 1 2. 3
80. a
80 cm.
P edm t se musí nacházet ve vzdálenosti 80 cm od vrcholu zrcadla.
5) Ur ete, v jaké vzdálenosti od dutého kulového zrcadla s ohniskovou vzdáleností 1 m se musí nacházet p edm t, aby jeho obraz byl p tkrát zv tšený? f = 1 m, |Z| = 5, a = ? ešení: Z podmínek v zadání úlohy vyplývá, že obraz je zv tšený. Duté zrcadlo vytvá í zv tšený obraz ve dvou p ípadech (viz p . . 3), a protože v zadání nejsou uvedeny žádné další vlastnosti obrazu, bude mít úloha dv ešení: jedno pro Z = -5 (skute ný a p evrácený obraz), druhé pro Z = 5 (neskute ný a p ímý obraz). Nejprve vy ešíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých obecn a pak budeme dosazovat jednotlivé íselné hodnoty: a Z a 1 1 1 . a a f
Z rovnice pro zv tšení si vyjád íme obrazovou vzdálenost a
Za
a dosadíme do zobrazovací rovnice:
1 a
1 Za
1 f
(po úprav ) a
f Z 1 Z
1. ešení: (Z = -5): a1
2. ešení: (Z = 5): a2
1 5 1 m 1,2 m. 5 15 1 m 5
0,8 m.
P edm t se musí nacházet bu ve vzdálenosti 0,8 m od vrcholu zrcadla nebo ve vzdálenosti 1,2 m.
ešené p íklady (zobrazovací rovnice o ky)
6) Ur ete ohniskovou vzdálenost tenké o ky, jestliže zobrazí p edm t, který se nachází ve vzdálenosti 60 cm, na stínítku ve vzdálenosti 40 cm od optického st edu o ky. Ur ete vlastnosti obrazu. a = 60 cm, a‘ = 40 cm, f = ? ešení: Obrazová vzdálenost bude mít kladné znaménko, protože na stínítku vzniká skute ný obraz. Ze zobrazovací rovnice o ky dále vyplývá: 1 1 1 1 a a aa 60.40 f cm 24 cm. a a f f aa a a 60 40
Ohnisková vzdálenost o ky je 24 cm. Obraz p edm tu má následující vlastnosti: je zmenšený, p evrácený a skute ný.
7) Ur ete, v jaké vzdálenosti od st edu tenké rozptylky s ohniskovou vzdáleností 30 cm se nachází p edm t, vzniká-li jeho obraz ve vzdálenosti 15 cm od o ky. Ur ete vlastnosti obrazu. f = -30 cm, a‘ = -15 cm, a = ? ešení: Obrazová vzdálenost bude mít záporné znaménko, protože rozptylka vždy vytvá í neskute ný obraz. Ze zobrazovací rovnice o ky vyplývá:
1 a
1 a
1 f
1 a
a
f fa
a
fa a
f
( 30).( 15) cm 15 ( 30)
30 cm.
P edm t se musí nacházet ve vzdálenosti 30 cm od optického st edu o ky. Obraz je neskute ný, zmenšený a p ímý.
8) Ur ete, v jaké vzdálenosti od st edu tenké rozptylky s ohniskovou vzdáleností 20 cm vzniká ty ikrát zmenšený obraz p edm tu. 1 f = -20 cm, Z , a=? 4 ešení:
1 . Obrazová 4 vzdálenost bude mít op t záporné znaménko, protože rozptylka vždy vytvá í 1 a dosadíme neskute ný obraz. Z rovnice pro zv tšení o ky si vyjád íme zlomek a jej do zobrazovací rovnice o ky: a Z 1 Z ; a a a Rozptylka vytvá í zmenšený a p ímý obraz, proto je velikost zv tšení
1 a
1 a
Z a
1 a
1 Z a
1 f
a
f (1 Z )
( 20). 1
1 cm 4
15 cm.
ty ikrát zmenšený obraz p edm tu vzniká ve vzdálenosti 15 cm od rozptylky.
Použitá literatura:
[1] BARTUŠKA, K. Sbírka ešených úloh z fyziky IV. 1. vyd. Praha: Prometheus 2000 [2] HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J.: Fyzika. 1. vyd. Brno: VUTIUM, 2000 [3] HORÁK, Z., KRUPKA, F.: Fyzika. 2. vyd. Praha: SNTL, 1976 [4] JAVORSKIJ, B. M., SELEZN V, J. A. P ehled elementární fyziky. 1. vyd., Praha: SNTL, 1989 [5] LEPIL, O. Fyzika pro gymnázia – Optika. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2002 [6] VON LAUE, M. D jiny fyziky. 1. vyd. Praha: Orbis, 1958
