Zborcené plochy Mgr. Jan Šafařík Konzultace č. 3 přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Literatura Základní literatura:
Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně: Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v Brně, 2012. ISBN 978-80-7204-626-3. Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Roušar, Josef - Šafařík, Jan Zrůstová, Lucie: Sbírka zkouškových příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně, 2009. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana, Zrůstová, Lucie: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006–2008. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Zrůstová, L.: Úlohy o zborcených plochách, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006. 2 http://math.fce.vutbr.cz/studium.php
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Literatura Doporučená literatura:
Jiří Doležal: Základy geometrie a Geometrie, http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie III. - Plochy stavebně technické praxe, Fakulta stavební VUT, Brno 1992. Vala, Josef: Deskriptivní geometrie II, Fakulta stavební VUT, Brno 1997. Bulantová, Jana - Hon, Pavel - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef - Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana, Zrůstová, Lucie: Deskriptivní geometrie pro I. ročník kombinovaného studia, Fakulta stavební VUT v Brně, 2004–2008. Moll, Ivo - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Slaběňáková, Jana Roušar, Josef - Slatinský, Emil - Slepička, Petr - Šafářová, Hana - Šafařík, Jan Šmídová, Veronika - Švec, Miloslav - Tomečková, Jana: Deskriptivní geometrie,
verze 1.0 - 1.3 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, FAST VUT Brno, 2001-2003.
3
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Literatura Další zdroje:
Blaženková, Šárka: Plochy technické praxe, Diplomová práce, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno 2006 Černý, Jaroslav – Kočandrlová, Milada: Obrazová podpora skript Černý, Kočandrlová: Konstruktivní geometrie, http://mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/kog/default.html. Doležal, Jiří : Základy geometrie a Geometrie, http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html. Juklová, Lenka: Přednášky z Ploch technické praxe - 8. semestr - KAG/GPTP8, http://kag.upol.cz/juklova/index.html. Kadeřávek František: Plochy stavebně-inženýrské praxe, Druhé přepracované a rozšířené vydání připravily Václav Havel a František Harant, nakladatelství Československé akademie věd, Praha 1958. Piska, Rudolf - Medek, Václav: Deskriptivní geometrie II, SNTL/ALFA, Praha 1975. Surynková, Petra: Plochy stavební praxe, Bakalářská práce, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova, Praha 2006 Vanadiová, Lucie: Využití matematických ploch k zastřešení, Diplomová práce, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno 2006.
4
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy
Zborcená plocha je dána třemi různými (obecně prostorovými) řídícími křivkami 1, 2, 3, které neleží na téže rozvinutelné ploše Značíme (1, 2, 3) Přímka protínající všechny tři řídící přímky se nazývá tvořící přímka
5
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy
Konstrukce tvořící přímky:
Zvolme bod A 1. Tvořící přímku n procházející bodem A získáme jako průnik kuželové plochy 2 s vrcholem A a řídící křivkou 2 a kuželové plochy 3 s vrcholem A a řídící křivkou 3.
6
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy
Je-li tvořící přímka m dotyková povrchová přímka obou kuželových ploch, pak se nazývá torzální přímka a vrchol kuželů se nazývá kuspidální bod. Podél torsální přímky existuje jediná tečná rovina zborcené plochy , tzv. torzální rovina. Křivka na zborcené ploše se nazývá dvojná {trojná, …}, jestliže každým bodem této křivky (s konečným počtem vyjímek) prochází dvě {tři, …} tvořící přímky (které nemusí byt torzální). Kuspidální body se vyskytují na dvojných {trojných, …} křivkách zborcené plochy . Torzální přímka prochází kuspidálním bodem. Tečná rovina v nevlastním bodě netorzální přímky n zborcené plochy se nazývá asymptotická. 7
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy
Stupeň plochy:
Buď zborcená plocha dána algebraickými křivkami 1 stupně 1n, 2 stupně 2n a 3 stupně 3n. Nemají-li řídící křivky žádný společný bod, pak je stupně 2·1n·2n·3n Mají-li křivky i, j pro 1ij3 společný sij bodů, pak je stupně 2·1n·2n·3n – s12·3n – s13·2n – s23·1n 8
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy
Užití zborcených ploch
Jejich soustava tvořících přímek je vhodná pro kladení bednění nebo výztuží betonu, které umožňuje značné zmenžení tloušťky klenby – vznik skořepinových ploch
Odolnost vůči tlakům vznikajícím ve stavbě, i při jejím provozním chodu bez zpevňujících zařízení
Ze statického hlediska jsou zborcené plochy samonosné
9
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy 2. stupně (zborcené kvadriky)
Jednodílný hyperboloid Hyperbolický paraboloid
10
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy 2. stupně (zborcené kvadriky)
Buď dány tři řídící přímky – mimoběžky 1a, 2a, 3a. Tvořící přímky vytvoří zborcenou plochu Φ(1a, 2a, 3a) stupně 2·1·1·1=2, tj. kvadriku Tvořící přímky plochy , například 1b, 2b, 3b, 4b, … jsou navzájem mimoběžné, neboť kdyby například 1b a 2b byly ruznoběžné, pak alespoň dvě z přímek 1a, 2a, 3a (1b, 2b), ale to je spor s předpokladem mimoběžnosti přímek 1a, 2a, 3a. Tvořící přímky - mimoběžky ib plochy se nazývají např. přímky I. regulu plochy . Zvolme nyní tři mimoběžky I. regulu, například 1b, 2b, 3b jako řídící přímky plochy , pak přímky 1a, 2a, 3a spolu s dalšími mimoběžkami ia tvoří přímky II. regulu plochy . 11
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy 2. stupně (zborcené kvadriky)
Z konstrukce je patrné, že:
Každá přímka I. regulu protíná všechny přímky II. regulu a naopak Přímky téhož regulu jsou navzájem mimoběžné Tečná rovina plochy v bodě M je určena přímkami obou regulů, bodem M procházejících
12
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
13
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
Jestliže přímky téhož regulu nejsou rovnoběžné s rovinou , pak se plocha nazývá jednodílný hyperboloid (obecně nerotační). Základní vlastnosti Bod přímky p nejblíže ose vytváří při rotaci hrdlovou
kružnici (kružnice plochy s nejmenším poloměrem). Střed hrdlové kružnice nazýváme středem hyperboloidu. Dva systémy mimoběžných přímek na ploše… reguly. Plocha dvojí křivosti. Nerozvinutelná plocha. 14
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
Asymptotická kuželová plocha
Kuželová plocha, jejíž vrchol je střed hyperboloidu. Každá tvořící přímka asymptotické kuželové plochy je rovnoběžná s některou tvořící přímkou hyperboloidu. Má-li asymptotická kuželová plocha obrys, jsou její obrysové přímky asymptotami obrysu hyperboloidu. Obrysem hyperboloidu je hyperbola. 15
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
Řezy na jednodílném hyperboloidu
přímky
kružnice, elipsa 16
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
Řezy na jednodílném hyperboloidu
parabola
hyperbola 17
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid arch. Oscar Niemeyer, 1970, Cathedral of Brasília (Catedral Metropolitana Nossa Senhora Aparecida)
18
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid The James S. McDonnell Planetarium , St. Louis, Missouri, U.S.A.
19
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
Chladící věže jaderných elektráren
20
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
21
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Jestliže existuje rovina (), se kterou jsou přímky nečárkovaného (čárkovaného) regulu rovnoběžné, dostaneme plochu zvanou hyperbolický paraboloid. Základní pojmy
Zborcený čtyřúhelník Řídicí rovina Systém (regulus) přímek Sedlový bod, sedlová plocha Vrchol hyperbolického paraboloidu Osa hyperbolického paraboloidu Směr osy hyperbolického paraboloidu Zborcená přímková kvadratická plocha Plocha dvojí křivosti
22
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Základní pojmy
Zborcený čtyřúhelník – čtyřúhelník, jehož vrcholy neleží v téže rovině Osa hyperbolického paraboloidu – přímka, která je rovnoběžná s průsečnicí řídících rovin obou regulů Vrchol V hyperbolického paraboloidu – osa hyperbolického paraboloidu prochází bodem V, tzv. vrcholem HP. Tečná rovina ve vrcholu V je kolmá k ose HP. Tečná rovina protíná hyperbolický paraboloid ve dvou přímkách, které se protínají v jejím bodě dotyku. Jedna patří do přímek 1. regulu a druhá do přímek 2. regulu. 23
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Základní pojmy
Řez hyperbolického paraboloidu rovinou:
Je-li rovina řezu rovnoběžná s řídící rovinou 1. nebo 2. regulu, je řezem jedna površka. Je-li rovina řezu tečna hyperbolického paraboloidu v bodě dotyku T, jsou řezem dvě površky. Je-li rovina řezu rovnoběžná resp. procházející osou hyperbolického paraboloidu, ale různoběžná s řídícími rovinami obou regulů, je řezem parabola Pro všechny ostatní případy je řezem hyperbola.
24
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Proč hyperbolický paraboloid
25
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid Příklad: V izometrii je dán průmět dvou zdí stejné výšky, jejíž lícní roviny , mají různý spád. Proveďte spojení obou zdí pomocí plochy hyperbolického paraboloidu. A[60, 0, 0], B[80, 30, 0], C[0, 80, 60], D[0, 0, 60].
26
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid Příklad: V pravoúhlé izometrii je dán hyperbolický paraboloid zborceným čtyřúhelníkem ABCD. Sestrojte několik tvořících přímek plochy patřících do obou přímkových regulů. Je dáno A[40, 0, 0], B[0, 80, 50], C[-40, 0, 0], D[0, -80, 50]. Plochu omezte rovinami (x, y), , , jeli dáno: : y = 80, : y = - 80.
27
Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Zrůstová, L.: Úlohy o zborcených plochách, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006.
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid Příklad: V Mongeově promítání je dána plocha hyperbolického paraboloidu pomocí zborceného čtyřúhelníku ABCD, který se v půdorysně zobrazí jako rovnoběžník. A[-69, 62, 77], B[19, 74, 0], C[?, ?, 77], D[-19, 9, 0]. V bodě dotyku T sestrojte tečnou rovinu τ. Sestrojte řez rovinou , rovnoběžnou s nárysnou , procházející vrcholem V hyperbolického paraboloidu.
28
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem
Střešní roviny stejného spádu hřeben není vodorovný Požadujeme hřeben vodorovný
29
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem
• Půlícím bodem střední příčky je veden vodorovný hřeben MN rovnoběžný s jednou okapovou hranou. • Část střešní plochy tvoří hyperbolický paraboloid určený zborceným čtyřúhelníkem ABMN. • Latě jsou vodorovné, ale krokve nejsou kolmé k hřebeni. 30
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem
• Krokve jsou kolmé na hřeben. • Hyperbolický paraboloid je určen zborceným čtyřúhelníkem KLMN. • Nároží se sousedními střešními rovinami jsou části kuželoseček. 31
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem
• Užitá část hyperbolického paraboloidu je ohraničena zborceným čtyřúhelníkem KLMN. • Přechází v části rovin určených body ALM a BKN. • Tím docílíme, že všechna nároží jsou úsečky.
32
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid Graham McCourt Architects, 1983, sportovní aréna, Calgary, Alberta, Canada
33
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Frei Otto, Günther Behnisch, Fritz Auer, Carlo Weber, 1968-1972, Olympijský stadión, Mnichov, Německo
34
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid F. Calatrava, 1982, oceánografické muzeum, Valencie
35
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy vyšších stupňů
Přímý kruhový konoid
Plückerův konoid Küpperův konoid Plocha Štramberské trúby Plocha Montpellierského oblouku Plocha Marseillského oblouku Plocha Šikmého průchodu 36
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Konoidy
Má-li zborcená plocha mezi řídícími křivkami přímku v konečnu a přímku v nekonečnu, zanývá se konoid. Hyperbolický paraboloid je konoidem nejnižšího stupně. Třetí řídící křivka dourčuje název konoidu:
kruhový konoid eliptický konoid šroubový konoid …
Konoidy dělíme na přímé a kosé podle úhlu, který svírá přímka v konečnu s řídící s řídící rovinou
= 90 – přímý konoid ≠ 90 – kosý konoid 37
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Přímý kruhový konoid
38
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Přímý kruhový konoid
zadání
řídící rovinou (c ∞ ) řídící přímkou d řídící kružnicí k ; , d
stupeň křivky:
2·1·1·2=4
39
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Přímý kruhový konoid Příklad: V kosoúhlém promítání (=135, qx=2/3) je dán přímý kruhový konoid s řídící kružnicí 1k (S[35, 35, 0], r=) v půdorysně, řídící rovinou a řídící přímkou 2k . Přímka 2k prochází bodem M[0, 35, 80]. Sestrojte několik tvořících přímek konoidu, určete stupeň plochy.
40
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Přímý parabolický konoid
41
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Přímý parabolický konoid
zadání
řídící rovinou (c ∞ ) řídící přímkou d řídící parabolou p ; , d
stupeň křivky:
2·1·1·2=4
42
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Přímý parabolický konoid
43
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Štramberské trúby
44
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Štramberské trúby
zadání
dvěma k sobě kolmými mimoběžkami 1d, 2d kružnicí k ležící v rovině rovnoběžné s 1d a 2d a se středem na ose mimoběžek 1d a 2d.
stupeň křivky:
2·1·1·2=4
45
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Štramberské trúby
46
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Montpellierského oblouku
47
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Montpellierského oblouku
zadání
řídící kružnicí k řídící přímkou 1d, která prochází středem S kružnice k kolmo na rovinu kružnice řídící přímkou 2d, která je rovnoběžná a různá s rovinou kružnice a mimoběžná s řídící přímkou 1d
stupeň křivky:
2·2·1·1=4
48
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Montpellierského oblouku
49
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Plocha Montpellierského oblouku Příklad: V Mongeově promítání sestrojte Montpelliérský oblouk daný řídící kružnicí 1k (S [0, 20, 0], r = 40), která leží v rovině ν' || ν (x, z), dále řídící přímkou 2d || x1,2, Q 2d, Q [0, 60, 60] a přímkou 3d, 3d ν, S 3d. Plochu omezte řídící kružnicí 1k, řídící přímkou 2d a rovinami α (20, -20, ) a β (-20, 20, ). Dále sestrojte řez rovinou ρ(, 80, 65). 50
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Marseillského oblouku
51
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Marseillského oblouku
zadání
řídící kružnicí 1k(1S, 1r) 1 řídící kružnicí 2k(2S, 2r) 2, 1 2
řídící přímkou d, 1Sd, 2Sd, d 1, 2
stupeň křivky:
2·2·2·1-2·1=6
52
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Marseillského oblouku
53
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Marseillského oblouku Příklad: V kolmé axonometrii Δ(90, 110, 95) je dána plocha Marseillského oblouku určena řídícími kružnicemi 1k (1S[0, 47, 0], r=30) v bokorysně , 2k (2S[30, 47, -10], r=50) v ronině rovnoběžné s a řídící přímkou 3k procházející bodem 1S kolmo k rovině . Sestrojte část plochy nad půdorysnou , omezenou rovina v nichž leží řídící kružnice.
54
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha šikmého průchodu
55
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha šikmého průchodu
zadání
řídícími kružnicemi 1k a 2k, ležících v rovnoběžných rovinách, o stejném poloměru a středech 1S a 2S řídící přímkou d, kolmou na roviny kružnic a procházejí středem úsečky 1S 2S
stupeň křivky:
2·2·2·1-2·1-2=4
56
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha šikmého průchodu
Vyšehradský tunel
57
dále viz … Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně:
Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v Brně, 2012. ISBN 978-80-7204-626-3.
Konec Děkuji za pozornost