3
Plochy priestoru E
Nech je na súvislej oblasti premenných
R2 definovaná vektorová funkcia dvoch
p(u, v) = (x(u, v), y(u, v), y(u, v)), (u, v)
,
ktorej skalárne súradnicové funkcie x(u, v), y(u, v), y(u, v) sú aspoň raz diferencovateľné na oblasti . Hodografom vektorovej funkcie p(u, v) je jednoducho súvislá plocha priestoru E3. Pre každú usporiadanú dvojicu reálnych čísel (u0, v0) je funkčnou hodnotou polohový vektor p(u0, v0) = (x(u0, v0), y(u0, v0), y(u0, v0)) bodu plochy P(u0, v0), ktorého karteziánske súradnice sú P(u0, v0) = [x(u0, v0), y(u0, v0), z(u0, v0)]. Dvojicu čísel (u0, v0)
nazývame krivočiare súradnice bodu na ploche.
Ak je oblasť R2 regulárnou oblasťou, ktorej hranicou je uzavretá regulárna krivka E2, potom plochu nazývame elementárna plocha, alebo list. Všetky body plochy určené krivočiarymi súradnicami (u, v0)
, v0= const., resp. (u0, v)
, u0= const.,
ležia na krivke plochy, ktorú nazývame parametrická u-krivka plochy - p(u, v0) = (x(u, v0), y(u, v0), z(u, v0)) resp. parametrická v-krivka plochy - p(u0, v) = (x(u0, v), y(u0, v), z(u0, v)). Parametrické krivky plochy uvedených dvoch sústav kriviek tvoria krivočiaru sieť plochy, ktorá sa nazýva parametrická sieť kriviek plochy. Každá krivka jednej sústavy pretína všetky krivky druhej sústavy. Každým bodom plochy prechádza jedna krivka každej zo sústav, platí P(u0, v0) = p(u, v0)
p(u0, v)
Bod plochy P(u0, v0) sa nazýva regulárny bod plochy, ak v nejakom okolí bodu (u, v0) existujú spojité prvé parciálne derivácie pu , pv vektorovej funkcie p(u, v) a platí pu (u0 , v0 ) pv (u0 , v0 ) 0 V opačnom prípade, keď sú vektory pu (u0 , v0 ), pv (u0 , v0 ) lineárne závislé, hovoríme o singulárnom bode plochy. Vektorové funkcie
pu (u, v0 ) ( xu (u, v0 ), yu (u, v0 ), zu (u, v0 )) pv (u0 , v) ( xv (u0 , v), yv (u0 , v), zv (u0 , v)) definujú smerové polia vektorov dotyčníc parametrických kriviek plochy prechádzajúcich regulárnym bodom P(u0, v0) plochy.
V každom regulárnom bode plochy P(u0, v0) existujú 2 lineárne nezávislé vektory - vektor dotyčnice parametrickej u-krivky a vektor dotyčnice parametrickej v-krivky,
pu (u0 , v0 )
( xu (u0 , v0 ), yu (u0 , v0 ), zu (u0 , v0 ))
pv (u0 , v0 )
( xv (u0 , v0 ), yv (u0 , v0 ), zv (u0 , v0 ))
ktoré určujú jedinú dotykovú rovinu plochy v danom bode
( P, pu , pv ) rovnica dotykovej roviny [ P
X
p, pu , pv ]
0
x(u 0 , v0 ) Y y (u 0 , v0 ) Z z (u 0 , v0 ) xu (u 0 , v0 ) yu (u 0 , v0 ) zu (u 0 , v0 ) xv (u 0 , v0 ) yv (u 0 , v0 ) z v (u 0 , v0 )
0
Vektor
n(u0 , v0 )
pu (u0 , v0 ) pv (u0 , v0 )
0
sa nazýva vektor normály plochy v regulárnom bode P(u0, v0). Priamka určená smerovým vektorom n a prechádzajúca bodom P(u0, v0) je normála plochy kolmá na dotykovú rovinu plochy v danom bode. Vektorová funkcia
n(u, v)
pu (u, v) pv (u, v) pu (u, v) pv (u, v)
definuje smerové pole normál plochy v regulárnych bodoch a určuje orientáciu plochy. Hodnota funkcie n(u, v) je jednotkový vektor, ktorého súradnice sú smerové kosíny normály plochy v jej regulárnom bode, platí
n cos i cos kde , ,
j cos k
sú uhly vektora n s jednotkovými vektormi i, j, k.
Nech p(u(t), v(t)), t I je krivka na ploche p(u, v), (u, v) R2. Dotykový vektor krivky je vektor vyjadrený pomocou diferenciálu dp ( pu u pv v )dt Pre štvorec diferenciálu platí
dp
2
pu pu du 2
2 pu pv dudv
pv pv dv 2
Označme
E
pu pu , F
pu pv , G
pv pv
Výraz Edu2 + 2Fdu dv + G dv2 nazývame prvá základná diferenciálna forma plochy, resp. prvý tenzor plochy, označujeme tiež 1. Prvá základná forma plochy 1 opisuje vnútorné vlastnosti geometrie plochy – dĺžky a uhly oblúkov kriviek plochy. Výraz D1 = EG - F2 nazývame diskriminant prvej základnej formy.
Prvá základná forma plochy 1 je v každom regulárnom bode plochy pozitívne definitná symetrická forma, platí: 2
1. E = pu
0, G = pv
2. EG - F2 = pu
2
pv
2
-
2
0 pu pv
2
= pu
pv
2
0
3. symetrická = skalárny súčin je komutatívny Dĺžka oblúka krivky na ploche Nech p(u(t), v(t)), t a, b je krivka na ploche p(u, v), (u, v) R2, ktorej prvá základná forma je ds2 = Edu2 + 2Fdu dv + Gdv2 Potom pre dĺžku oblúka s(A, B), kde A = p(u(a), v(a)), B = p(u(b), v(b)) platí b
b
ds 2
s( A, B) a
E (t )(u (t ))2 2 F (t )u (t )v (t ) G(t )(v (t ))2 dt a
Uhol dvoch kriviek plochy Nech sú krivky k1 a k2 dané svojimi parametrizáciami u1(t), v1(t) a u2(t), v2(t), t a, b na ploche p(u, v), (u, v) R2 a nech sa pretínajú v bode P(u0, v0) plochy, ktorého krivočiara súradnica na krivke k1 je t1 a na krivke k2 je t2. Uhol
kriviek vypočítame ako uhol vektorov dotyčníc p1, p2 kriviek, platí
cos
p1. p2 p1 . p2 Eu1 (t1 )u2 (t 2 ) 2 F (u1 (t1 )v2 (t 2 ) u2 (t 2 )v1 (t1 )) Gv1 (t1 )v2 (t 2 )
E (u1 (t1 ))2
2 Fu1 (t1 )v1 (t1 ) G(v1 (t1 ))2 E (u2 (t 2 ))2
2 Fu2 (t 2 )v2 (t 2 ) G(v2 (t 2 ))2
Pre uhol parametrických kriviek v bode P(u, v) platí cos
pu . pv pu . pv
F EG
Obsah jednoduchého listu plochy Plošný element na ploche určenej vektorovou funkciou p(u, v) diferencovateľnou na oblasti R2 je rovnobežník v dotykovej rovine plochy určený vektormi pudu a pvdv zvierajúcimi uhol dS
pu du . pv dv sin ( pu
pv )( pu
pu du
pv ) dudv
pv dv
pu
pv . dudv
EG F 2 dudv
Obsah listu plochy definovaného na oblasti vypočítame pomocou dvojného integrálu plošného elementu plochy
(S )
pu (u, v) pv (u, v) dudv
D1 dudv
Druhá základná diferenciálna forma plochy, druhý tenzor plochy súvisí s krivosťou plochy v regulárnom bode plochy a označuje sa 2
= n.d2p = Ldu2 + 2Mdu dv + Ndv2
pričom pre koeficienty druhej základnej formy plochy platí L
n.puu
( pu pv ) .puu pu pv
[ pu , pv , puu ] D1
M
n.puv
( pu pv ) .puv pu pv
[ pu , pv , puv ] D1
N
n.pvv
( pu pv ) .pvv pu pv
[ pu , pv , pvv ] D1
Výraz D2 = LN – M plochy.
2
nazývame diskriminant druhej základnej formy
Číslo
K
LN M 2 EG F 2
D2 D1
sa nazýva úplná, alebo Gaussova krivosť plochy v danom bode. Bod, v ktorom K 0, sa nazýva eliptický bod plochy. V tomto bode má dotyková roviny plochy spoločný s plochou iba bod dotyku, pričom plocha sa nachádza v jednom polpriestore určenom dotykovou rovinou a vektorom normály plochy v danom bode. Bod, v ktorom K 0, sa nazýva hyperbolický bod plochy. V tomto bode dotyková roviny plochy pretína plochu v krivke, ktorá má v bode dotyku dvojnásobný bod. Bod, v ktorom K = 0, je parabolický bod plochy, dotyková rovina sa plochy dotýka v krivke, pričom plocha sa nachádza v jednom polpriestore určenom dotykovou rovinou a vektorom normály plochy v danom bode. Theorema egregium - Gaussova krivosť plochy sa dá vyjadriť iba pomocou koeficientov prvej základnej formy plochy a ich derivácií.
Plochy obsahujúce iba eliptické body guľová plocha, elipsoid paraboloid
Plochy obsahujúce iba parabolické body rovina valcová plocha kužeľová plocha Plochy obsahujúce iba hyperbolické body hyperboloid pseudosféra
Plocha obsahujúca všetky typy bodov anuloid
