X. Hall˚ uv jev Michal Kriˇstof
Pracovn´ı u ´ kol 1. Zjistˇete z´ avislost proudu vzorkem na pˇriloˇzen´em napˇet´ı pˇri nulov´e magnetick´e indukci. 2. Zjistˇete z´ avislost Hallova napˇet´ı na magnetick´e indukci pˇri dvou hodnot´ach konstantn´ıho proudu vzorkem. 3. V´ ysledky mˇeˇren´ı zpracujte graficky a vyhodnot’te mˇernou vodivost a Hallovu konstantu vzorku. 4. Vypoˇctˇete pohyblivost a koncentraci nositel˚ u n´aboje.
1
Teoretick´ yu ´ vod
Schopnost l´ atky v´est elektrick´ y proud charakterizuje veliˇcina mˇern´a elektrrick´a vodivost σ, pˇriˇcemˇz pro ni plat´ı[1] : i = σE
(1)
kde i je proudov´ a hustota a E intenzita elektrick´eho pole. Rovnice (1) vyj´adˇruje ohm˚ uv z´ akon v diferenci´ aln´ım tvaru. Hall˚ uv jev je d˚ usledkem Lotrentzovy s´ıly p˚ usob´ıc´ı na n´aboje v polovodiˇci. Teˇce, li proud mezi dvˇema stranami obd´eln´ıkov´eho polovodiˇce za vz´ajemn´eho p˚ usoben´ı magnetick´eho pole kolmo na tok proudu, v polovodiˇci vznik´a hallovo napˇet´ı UH , kter´e m˚ uˇzeme namˇeˇrit v rovinˇe kolm´e na tok proudu a z´aroveˇ n i magnetick´e pole. Pro toto napˇet´ı plat´ı: IB UH = RH (2) t
Obr´ azek 1: Sch´ema zapojen´ı obvodu elektromagnetu
1
Obr´ azek 2: Sch´ema zapojen´ı obvodu pro mˇeˇren´ı Hallova napˇet´ı kde RH je hallova konstanta, B magnetick´a indukce, I proud prot´ekaj´ıc´ı polovodiˇcem. Pro hallovu konstantu plat´ı RH =
rH en
(3)
kde rH je tzv. hall˚ uv rozptylov´ y faktor, e element´arn´ı n´aboj a n koncentrace nosiˇc˚ u n´ aboje. Pro naˇse u ´ˇcely(germ´aniov´ y vzorek za pokojov´e teploty) uvaˇzujeme[1] rH = 3π/8. Stanov´ıme-li kromˇe hallovy konstnty u mˇerhou vodivost, m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat tzv. hallovskou pohyblivost: µ = RH σ
(4)
Jelikoˇz se ne ˇcasto podaˇr´ı naletovat kontakty na mˇeˇren´ı h. napˇet´ı symetricky, namˇeˇr´ıme i pˇri nulov´em poli, nen´ı to ale hallovo napˇet´ı, ale klasick´e ohmick´e. Spr´ avnou hodnotu napˇet´ı jsme z´ıskali tedy vz´ajemn´ ym odeˇcten´ım napˇet´ı pˇri obou smˇerech toku proudu polovodiˇcem: |UH | = |U + − U − |/2
2
(5)
Mˇ eˇ ren´ı
Mˇeˇrili jsme na dvou separ´ atn´ıch obvodech. Prvn´ı obvod(viz obr. 1) slouˇzil k nap´ ajen´ı c´ıvky vytv´ aˇrej´ıc´ı magntick´e pole kolem polovodiˇce. Do c´ıvky jsme postupnˇe pouˇstˇeli r˚ uzn´e hodnoty proudu, kter´e jsme kontrolovali amp´ermetrem. Druh´ y obvod slouˇzil k samotn´emu mˇeˇren´ı. Obvod se skl´adal(viz obr. 2 ze vzorku s naletovan´ ymi ˇsesti kontakty, dvˇemi slouˇz´ıc´ımi k pˇriv´adˇen´ı proudu do vzorku, dvˇemi k mˇeˇren´ı vodivosti a posledn´ı dvˇe na mˇeˇren´ı hallovsk´eho napˇet´ı. Napˇet´ı jsme mˇeˇrili digit´ aln´ım multimetrem METEX MXD-4660A s uvedenou chybou η = 0, 05%+3 posledn´ı zobrazen´e ˇc´ıslice(digits), proud neidentifikovan´ ym analogov´ ym miliamp´ermetrem s tˇr´ıdou pˇresnosti 1 v obvodu na mˇeˇren´ı hallova napˇet´ı a kontroln´ım amp´ermetrem s tˇr´ıdou pˇresnosti 0,5 v nap´ajec´ım obvodu c´ıvky. Namˇeˇren´e hodnoty napˇet´ı a proudu pro v´ ypoˇcet pohyblivosti jsou vyneseny v Tabulce 3. Ze vztahu (1) se d´ a odvodit vztah pro σ v pˇr´ıpadˇe naˇseho polovodiˇce: σ=
l I td U 2
(6)
l = (6, 000 ± 0, 005)mm d = (3, 350 ± 0, 005)mm t = (0, 720 ± 0, 005)mm Tabulka 1: Zadan´e parametry vzorku U [V ] 0,300±0,003 0,600±0,003 1,740±0,004 0,880±0,004 1,050±0,004 1,880±0,004 2,270±0,004
I[mA] 0,600±0,024 1,200±0,024 1,600±0,024 1,800±0,024 2,200±0,024 4,00±0,12 5,00±0,12
Tabulka 2: Namˇeˇren´e hodnoty napˇet´ı a proudu pˇri nulov´e magnetick´e indukci kde l, t, d jsou rozmˇery polovodiˇce, v naˇsem pˇr´ıpadˇe jsou zaps´any v tabulce 2. Druh´ y obvod, obsahoval c´ıvku, kter´e magnetick´a indukˇcnost B byla vztaˇzen´a k proudu proch´ azej´ıc´ı c´ıvkou vztahem (7). B[T ] = 0, 098I[A]
(7)
V tabulce 3 jsou vyneseny hodnoty namˇeˇren´eho Hallovsk´eho napˇet´ı a proudu. Z jiˇz spom´ınan´ ych d˚ uvod˚ u asymetrick´eho naletov´an´ı kontakt˚ u na polovodiˇc(kter´e jsou, koneckonc˚ u, omluviteln´e rozmˇery vzorku, na druhou stranu je zde vidˇet jak pˇresnˇe mus´ı b´ yti kontakty naletov´any, aby se neprojevovalo ohmick´e napˇet´ı vzorku pˇri mˇeˇren´ı hallovsk´eho napˇet´ı) jsme zmˇeˇrili proud pˇri obou polarit´ach zdroje, U + i U − a odeˇcet li je navz´ajem. Zde tak´e m˚ uˇzeme vidˇet nejistotu mˇeˇren´ı u voltmetru, kterou moˇzno spatˇrit pˇri hodnotˇe hallovsk´eho(jiˇz odeˇcten´eho) napˇet´ı pˇri nulov´e magnetick´e indukci. Podle spr´avnosti by hodnota mˇela b´ yti nulov´a, n´ am se vˇsak podaˇrilo namˇeˇrit hodnotu nikoliv nulovou, n´ ybrˇz se naˇse hodnota nach´ azela v rozmez´ı 0, 1 aˇz 0, 2mV . Hodnoty v Hodnoty z tabulek 3 a 2 jsou zpracov´ any v grafech 1, 2, 3, 4 a 5. Proveden´ım line´arn´ı regrese v programu Origin 8 jsme dospˇeli k v´ ysledk˚ um pro parametr Rg (odpor U = Rg I) souvisej´ıc´ı s mˇernou vodivost´ı σ vztahem (8) z´ıskan´ ym ze vztahu (6): Rg =
l tdσ
(8)
Rg = (0, 465 ± 0, 005)mA.V −1 Kde nejistota mˇeˇren´ı bola vypoˇctena programem Origin 8. Z toho pˇrepoˇctem z´ısk´ ame mˇernou vodivost σ: σ = (5, 35 ± 0, 11)Ω−1 .m−1 Tady i n´ıˇze pouˇz´ıv´ ame i budeme pouˇz´ıvat pˇrenos relativn´ı nejistoty principu maxim´ aln´ı nejistoty z [2], kter´ y ˇr´ık´a, ˇze souˇcet, souˇcin, pod´ıl a rozd´ıl relativn´ıch nejistot(resp. veliˇcin obsahuj´ıc´ı relativn´ı nejistoty µ = a ± η) je roven souˇctu relativn´ıch nejistot(η). ∆(µ1 + µ2 ) = ∆(µ1 µ2 ) = ∆(µ1 /µ2 ) = ∆(µ1 − µ2 ) = η1 + η2 = η 3
(9)
I. proud vzorkem I1 = (1, 20 ± 0, 02)mA U + [mV ] U − [mV ] U [mV ] I[A] 61,30 ±0,06 -29,80 ±0,05 45,6 ±0,1 4,00 ±0,03 40,5 ±0,1 3,50 ±0,03 56,20 ±0,06 -24,80 ±0,05 50,50 ±0,06 -20,00 ±0,04 35,3 ±0,1 3,00 ±0,03 30,0 ±0,2 2,50 ±0,03 45,30 ±0,05 -14,60 ±0,04 38,30 ±0,05 -8,40 ±0,04 23,4 ±0,2 2,00 ±0,03 32,70 ±0,05 -2,50 ±0,03 17,6 ±0,3 1,50 ±0,03 3,00 ±0,04 11,4 ±0,3 1,00 ±0,03 26,50 ±0,04 20,50 ±0,04 8,30 ±0,03 6,10 ±0,07 0,04 ±0,03 14,70 ±0,04 0,100 ±0,001 0,00 ±0,03 14,90 ±0,04 II. proud vzorkem I2 = (2, 00 ± 0, 02)mA U + [mV ] U − [mV ] U [mV ] I[A] 40,20 ±0,05 3,50 ±0,05 18,35 ±0,3 1,00 ±0,03 -5,70 ±0,06 27,9 ±0,3 1,50 ±0,03 50,00 ±0,06 59,50 ±0,06 -14,10 ±0,06 36,8 ±0,2 2,00 ±0,03 69,10 ±0,06 -24,50 ±0,06 46,8 ±0,2 2,50 ±0,03 78,40 ±0,07 -32,90 ±0,07 55,7 ±0,2 3,00 ±0,03 87,50 ±0,07 -41,10 ±0,07 64,3 ±0,2 3,50 ±0,03 95,20 ±0,08 -48,30 ±0,08 71,8 ±0,2 4,00 ±0,03 31,60 ±0,05 11,90 ±0,05 9,90 ±0,05 0,50 ±0,03 22,30 ±0,04 21,90 ±0,04 0,200 ±0,001 0,00 ±0,03 III. proud vzorkem I3 = (4, 00 ± 0, 12)mA U + [mV ] U − [mV ] U [mV ] I[A] 36,8 ±0,1 36,40 ±0,05 0,4 ±0,001 0,00 ±0,03 54,6 ±0,1 18,30 ±0,04 36,3 ±0,1 0,50 ±0,03 74,8 ±0,1 -2,00 ±0,03 76,8 ±1,2 1,00 ±0,03 91,0 ±0,1 -17,00 ±0,04 108,0 ±0,3 1,50 ±0,03 109,9 ±0,1 -34,90 ±0,05 144,8 ±0,3 2,00 ±0,03 128,6 ±0,1 -52,70 ±0,06 181,3 ±0,3 2,50 ±0,03 145,2±0,1 -69,00 ±0,06 214,2 ±0,4 3,00 ±0,03 164,6 ±0,1 -86,10 ±-0,07 250,7 ±0,4 3,50 ±0,03 179,0 ±0,1 -99,20 ±-0,08 278,2 ±0,4 4,00 ±0,03 Tabulka 3: Mˇeˇren´ı hallovsk´eho napˇet´ı pˇri r˚ uzn´em proudem(magnetick´e indukci) tekouc´ı c´ıvkou
4
kde ∆ znaˇc´ı nejistotu z veliˇciny µ, tedy sloˇzku η. Z hodnot z graf˚ u 2, 3, 4 jsme pak line´arn´ı regres´ı z´ıskali parametry a z´avisej´ıc´ı na hallovˇe konstantˇe vztahem (10) z´ıskan´eho ze vztahu (2). Rh =
t 0, 098aIvz
(10)
a1 = (0, 0861 ± 0, 0005)A.mV −1 a2 = (0, 0546 ± 0, 0003)A.mV −1 a3 = (0, 0281 ± 0, 0002)A.mV −1 a z toho pˇrepoˇctem dle (10) z´ısk´ame Hallovy konstanty Rh1 = (7, 11 ± 0, 23) × 10−2 m3 A−1 s−1 Rh2 = (6, 73 ± 0, 13) × 10−2 m3 A−1 s−1 Rh3 = (6, 54 ± 0, 16) × 10−2 m3 A−1 s−1 Z ˇceho je nyn´ı moˇzn´e vypoˇc´ıtat hallovskou pohyblivost µ z (4), pro kterou dostaneme µ1 = (38 ± 1) × 10−2 m2 V −1 s−1 µ1 = (36 ± 1) × 10−2 m2 V −1 s−1 µ1 = (35 ± 1) × 10−2 m2 V −1 s−1 kde nejistoty byli vypoˇcteny pomoc´ı (9). Koncentraci nosiˇc˚ u n´ aboje n vypoˇcteme dle (11) z´ıskan´eho z (3) a pouˇzit´ım v naˇsem pˇr´ıpadˇe hallova faktoru pro germ´anium zadan´eho jako rH = 3π/8. n=
rH eRH
(11)
koncentrace nosiˇc˚ u n´ aboje tedy je: n1 = (1, 033 ± 0, 034) × 1020 m−3 n2 = (1, 092 ± 0, 027) × 1020 m−3 n3 = (1, 124 ± 0, 023) × 1020 m−3 kde jsme pouˇzili e = (1, 602176565 ± 0.000000035) × 10−19 C z [3].
3
Diskuze
Zmˇeˇrili jsme Hallovi konstanty pro tˇri r˚ uzn´e hodnoty proudu pˇrech´azej´ıc´ı vzorkem. Jak lze vidˇet z v´ ysledk˚ u, jsou si bl´ızk´e, ale nejsou si dostateˇcnˇe bl´ızk´e(v r´ amci nejistoty mˇeˇren´ı), coˇz je dobˇre, jelikoˇz je to pˇresnˇe, co jsme oˇcek´avali. S proudem dod´ avan´em polovodiˇci totiˇz stoup´a i teplota, na kter´ y se zahˇreje, coˇz zp˚ usob´ı zmˇenu podm´ınek experimentu, v polovodiˇci se vytv´aˇr´ı v´ıce nosiˇc˚ u n´ aboje(jak je vidˇet ve v´ ysledc´ıch pro koncentraci nosiˇc˚ u n´aboje), a tud´ıˇz je i ze z´ akladn´ıho hlediska nepravdˇepodobn´e, ˇze pˇri odliˇsn´ ych podm´ınk´ach, i kdyˇz toho sam´eho experimentu, dostaneme stejn´ y v´ ysledek. Vˇsechny veliˇciny jsme urˇcili ponˇekud pˇreˇsnˇe, s maxim´aln´ı relativn´ı nejistotou 5
Graf 1: Voltamp´erov´ a charakteristika vzorku(z´avislost napˇet´ı v obvodu proch´ azej´ıc´ım vzorkem na proudu proch´azej´ıc´ım vzorkem pˇri nulov´e magnetick´e indukci)
Graf 2: Grafick´e zpracov´ an´ı namˇeˇren´ ych hodnot z tabulky 3, mˇeˇren´ı I, z´avislost hallova napˇet´ı na proudu c´ıvkou pˇri proudu vzorkem 1, 2mA
6
Graf 3: Grafick´e zpracov´ an´ı namˇeˇren´ ych hodnot z tabulky 3, mˇeˇren´ı II, z´avislost hallova napˇet´ı na proudu c´ıvkou pˇri proudu vzorkem 2mA
Graf 4: Grafick´e zpracov´ an´ı namˇeˇren´ ych hodnot z tabulky 3, mˇeˇren´ı III, z´avislost hallova napˇet´ı na proudu c´ıvkou pˇri proudu vzorkem 4mA
7
do η ≤ 2, 7%(hallovy konstanty), avˇsak pˇri mˇeˇren´ı jsme se pot´ ykali s probl´emy odhadu chyb. Napˇr´ıklad posledn´ı cifra mˇeˇren´a digit´aln´ım voltmetrem METEX MXD-4660A mˇela ve zvyku r˚ uznˇe oscilovat a nˇenit se, pˇriˇcemˇz i tˇret´ı mˇela tendenci oscilovat o nˇekdy v´ıce jako n´ami bran´a v u ´vahu hodnota nejistoty(udan´a v´ yrobcem). Proto jsme tak´e zaokrohlovali pˇri mˇeˇren´ı na posledn´ı neosciluj´ıc´ı cifru. Z tabulek 2 a 3 je tak´e, jak jiˇz bylo zm´ınˇeno, vidˇet, ˇze nejistota pˇri mˇeˇren´ı voltmetrem byla pˇribliˇznˇe 2 jednotky posledn´ı neosciluj´ıc´ı cifry(z mˇeˇren´ı nulov´eho proudu c´ıvkou). Schv´ alnˇe pˇritom formulujeme nejistotu ne jako nejistotu samotn´eho voltmetru, ale jako nejistotu pˇri mˇeˇren´ı voltmetrem, protoˇze tato hodnota nemus´ı b´ yt rozd´ıln´a jenom z d˚ uvodu nejistoty voltmetru, n´ ybrˇz tak´e z velik´e ˇc´ asti d˚ uvodu, jako je napˇr. asymetrie experimentu(c´ıvky, rozd´ıln´a d´elka vodiˇc˚ u a jejich rozd´ıln´ y odpor pˇri zmˇenˇe polarity, jelikoˇz jsme zmˇenu polarity zdroje v obvodu elektromagnetu ˇreˇsili z bezpeˇcnostn´ıch d˚ uvod˚ u komut´ atorem) pˇripadnˇe z d˚ uvod˚ u statistick´e odchylky rychlost´ı elektron˚ u a dˇer a jejich rozm´ıstˇen´ı v polovodiˇci, pˇr´ıpadnˇe z d˚ uvodu vnitˇrn´ı struktury polovodiˇce, moˇzn´ ych rezidu´ aln´ıch pˇr´ımˇes´ı v polovodiˇci, pˇr´ıpadnˇe je odchylka zp˚ usobena kontakty, kter´e se mus´ı letovat tak´ ym zp˚ usobem a z tak´eho materi´alu, aby nemˇeli pˇrechodov´e ˇci hradlov´e odpory, coˇz je zvyˇcejnˇe obt´ıˇzn´e splnit[1]. Jak´ ykoliv je ale p˚ uvod odchylky, vˇsechny regrese proveden´e pˇri v´ ypoˇctu poˇc´ıtali s nulovou hodnotou napˇet´ı pˇri nulov´em proudu a vice versa. Pro spr´ avnost tak´e uv´ ad´ıme ve v´ ysledc´ıch v´ yrobcem ud´avanou nejistotu nam´ısto nejistoty odhadnut´e, jelikoˇz se po odeˇcten´ı U + a U − podle z´akona pˇrenosu nejistot z [2], kter´ y jsme pouˇzili, i tak nakombinuje nejistota, kter´a vypad´a velice re´ alnˇe a jelikoˇz oscilace byli v intervalu do jedn´e jednotky cifry na kterou jsme zaokrouhlili, m´ ame za to, ˇze nejistota ± tˇretina aˇz polovina zaokrouhlen´e cifry(tedy interval dvou tˇretin aˇz jedn´e cifry), kterou n´am ud´av´a v´ yrobce, vzhledem na vˇseobecnou snahu minimalizovat v´ yslednou nejistotu, v´ıce neˇz staˇc´ı a nejistota ± cel´ a jedna jednotka cifry, na kterou jsme zaokrouhlovali, by byla trochu nadhodnocena, i vzhledem k n´asledn´emu nakombinov´an´ı v koneˇcnem d˚ usledku pr´ avˇe t´e jedn´e jednotky. Samotn´ y amp´ermetr je tak´e moˇzn´ ym str˚ ujcem nejistot mˇeˇren´ı. Jeden z amp´ermetr˚ u totiˇz mˇel troˇsilinku ohlou ruˇciˇcku, ohlou na konci o asi o jednu hodnotu na stupnici, coˇz dˇelalo mˇeˇren´ı t´ımto amp´ermetrem obt´ıˇznˇejˇs´ı. Ke konci diskuse je nutno dodat, ˇze n´aˇs experiment byl sestaven s ohledem na to, aby maxim´ aln´ı relativn´ı nejistota nepˇrekroˇcila 5%, a proto by se mˇela br´at v u ´vahu, z jiˇz zmiˇ novan´ ych d˚ uvod˚ u, nejistota ne pˇresnˇe vypoˇcten´a, ale mˇel by sa br´ at v u ´vahu pr´ avˇe tento n´ aˇs odhad relativn´ıch nejistot veliˇcin namˇeˇren´ ych(resp. vypoˇcten´ ych) v tomto experimentu jako η = 5%.
4
Z´ avˇ er
Zmˇeˇrili jsme mˇernou elektrickou vodivost germ´aniov´eho vzorku jako σ = (5, 35± 0, 11)Ω−1 .m−1 , hallovy konstanty pˇri troch r˚ uzn´ ych mˇeˇren´ıch se tˇrema r˚ uzn´ ymi proudy pˇrech´ azej´ıc´ımi vzorkem Rh1 = (7, 11 ± 0, 23) × 10−2 m3 A−1 s−1 Rh2 = (6, 73 ± 0, 13) × 10−2 m3 A−1 s−1 Rh3 = (6, 54 ± 0, 16) × 10−2 m3 A−1 s−1 8
a jim pˇr´ısluˇsn´e pohyblivosti µ1 = (38 ± 1) × 10−2 m2 V −1 s−1 µ1 = (36 ± 1) × 10−2 m2 V −1 s−1 µ1 = (35 ± 1) × 10−2 m2 V −1 s−1 a koncentrace nosiˇc˚ u n´ aboje n1 = (1, 033 ± 0, 034) × 1020 m−3 n2 = (1, 092 ± 0, 027) × 1020 m−3 n3 = (1, 124 ± 0, 023) × 1020 m−3 Zjistili sme, ˇze z´ avislosti Hallova napˇet´ı na proudu c´ıvkou a voltamp´erov´a charakteristika vzorku jsou line´ arn´ı a vynesli sme je do graf˚ u 1-5.
5
Literatura
[1] Studijn´ı text k u ´loze X., dostupn´ y na url: http://physics.mff.cuni.cz/ vyuka/zfp/_media/zadani/texty/txt_210.pdf, z´ıskan´e 31.12.2013 ´ [2] J.Englich: Uvod do praktick´e fyziky I, MATFYZPRESS, Praha 2006 [3] ”CODATA Value: elementary charge”. The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. US National Institute of Standards and Technology. ˇ Cerven 2011. Dostupn´ y na url: http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value? e, z´ıskan´e 31.12.2013
9
Graf 5: Porovn´ an´ı z´ avislosti hallova napˇet´ı na proudu c´ıvkou pˇri r˚ uzn´ ych proudech vzorkem
10
