České Vysoké Učení Technické v Praze Fakulta strojní Technická 4, Praha 6, 166 07
Výpočet planetových soukolí pomocí maticových metod Výzkumná zpráva
Práce byla podporována Výzkumným centrem Josefa Božka
Zpráva č.:
Z 02-07
Autor:
Gabriela Achtenová
Srpen, 2002
1
Anotační záznam Typ dokumentu:
Výzkumná zpráva
Autoři: Jméno: Gabriela Achtenová
č. útvaru: 220.1
Název zprávy: Výpočet planetových soukolí pomocí maticových metod
Číslo zprávy:
Z 02-07
Název úkolu: Zpráva byla vypracována v rámci výzkumu podporovaného Výzkumným centrem spalovacích motorů a automobilů Josefa Božka,
Nakladatelské údaje: Místo vydání: Rok vydání: Počet obrázků: Počet rovnic:
Praha 2002 11 42
Nakladatel: ČVUT, FSI Počet stran: 22 + příloha 28 stran Počet tabulek: 4
Klíčová slova: Výpočetní program vypocetsps, rozklad soukolí 3k na soukolí 2k+r, odvození účinnosti Anotace: Zpráva je rozdělena do třech částí. První část popisuje výpočetní program vytvořený pod Matlabem pro výpočet stávajících složených planetových soukolí složených ze třech soukolí 2k+r. Druhá část popisuje odvození výpočtu účinnosti soukolí používané při výpočtu maticovou metodou. Poslední část se zabývá rozložením jednoduchých PS typu 3k (3k+r) na dvě soukolí typu 2k+r.
2
OBSAH A. 1. 2. 3.
Výpočet složených planetových soukolí v prostředí Matlab Popis programu Zadávání hodnot do programu Chybová hlášení
4 4 6 6
B. 1. 2. 2.1 2.2 2.3 2.4 3.
Odvození výpočtu účinnosti planetových mechanismů při použití maticové metody Úvod Důkaz platnosti výpočtu exponentu účinnosti podle rovnice (5) Obecný úvod, rovnice energetické rovnováhy Určení exponentu účinnosti pro jednoduché planetové soukolí 2k+r Výpočet exponentu účinností – složené planetové soukolí Vlastnosti výpočtu exponentu účinnosti Závěr – možnosti určení exponentu účinnosti
8 8 9 9 9 10 11 11
C. 1. 2. 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 3.
Výpočet soukolí 3k pomocí maticové metody Úvod Rozložení soukolí 3k na dvě JPS 2k+r Výpočet soukolí 3k analytickou metodou Výpočet soukolí 3k maticovou metodou Rozložení I Rozložení II. Rozložení III. Zhodnocení výsledků všech třech rozložení Určení vhodného rozložení
12 12 13 14 14 16 18 20 20
Seznam použité literatury Seznam označení
22 22
Příloha Výpis programu „vypocetsps“.
3
Zadání
Exponenty účinnosti = 0 Proběh smyčky = 0
Proběh smyčky > 1
ANO
A. Výpočet složených planetových soukolí v prostředí Matlab
NE Sestavení matic kinematických poměrů a momentových poměrů
Exponenty účinnosti = 0
NE
1.
ANO Výpočet převodu, úhlových rychlostí
Popis programu
Výpočet účinnosti
Program umožňuje výpočet složených (SPS) i jednoduchých (JPS) planetových soukolí 2k+r. Momentové poměry Určení exponentů účinnosti Složená soukolí mohou sestávat nejvíce ze Proběh smyčky = Proběh smyčky + 1 třech JPS. Program „vypocetsps“ je založený na výpočtu SPS maticovou metodou. Zadávání Obrázek 1: Zjednodušený vývojový diagram Výpis probíhá přiřazením typu centrálního členu výpočtu složených planetových soukolí (planeta, koruna, unašeč) vnějším a vnitřním vazbám soukolí (vstup, výstup, reakční člen, vazbaA, vazbaB), a zadáním dílčích převodových poměrů při zastaveném unašeči. Chod programu: ● Zadání, načtení hodnot V případě, že soukolí je tvořeno jednou planetou a jednou korunou viz kapitola 2 „Zadávání hodnot do programu“. Pokud jsou v soukolí dvě planety nebo dvě koruny, pak záleží, kterému kolu uživatel přiřadí jakou funkci, respektive jak zadá základní převod. r Základní převod je vždy ve tvaru i pk , tedy převod z planety na korunu při zastaveném unašeči. ● Určení koeficientů matice kinematických poměrů a momentových poměrů a sestavení matic. Koeficienty matice kinematických poměrů: Volba koeficientů závisí na znaménku centrálních kol. Přiřazení koeficientů pro planetu, korunu a unašeč se řídí zásadami popsanými ve [2] a [3]. Planeta, z > 1 1 Koruna, z < 1 Unašeč
4
-ix ix - 1
Koeficienty matice momentových poměrů: Přiřazení koeficientů se řídí zásadami popsanými v [3] a [5]. Každý člen (planeta, unašeč, koruna) v soukolí má vlastní sloupec v matici. Každé soukolí je popsáno dvěma řádky, což vyplývá z existence dvou momentových rovnovážných rovnic na každé soukolí. Další rovnice, respektive řádky v momentové matici dostaneme momentovou rovnováhou na vnitřních (vazbách) a vnějších vícetokých hřídelích. Ukázka sestavení momentových matic pro sériově zapojené dvě soukolí 2k+r i po diferenciální převod je zařazena do oddílu C. Koeficienty momentové matice pro jedno JPS: Planeta Unašeč Koruna 1 – ir 1 0 Soukolí r I 0 1 Po načtení hodnot je program uzavřen ve smyčce, která probíhá dvakrát. První proběh je bez uvažování dílčích účinností. ∆ ● Výpočet úhlových rychlostí vnějších členů a vnitřních vazeb. ω x = − x ∆ ● Výpočet momentů na všech centrálních členech a unašečích bez uvažování ∆ mechanických ztrát soukolí: M x = − x ∆ ● Určení exponentů účinností Určení exponentů účinnosti je možné rozdělit do třech hlavních bodů: 1. Určíme poměrný výkon na členu x (člen x je rotující planeta nebo koruna) ve skutečném mechanismu. Moment Mx je vypočtený z momentové matice při zanedbání dílčích ztrát. Podle znaménka výkonu Px zjistíme, zda je člen x je v mechanismu vstupem nebo výstupem. Px = M x ⋅ ω x 2. Určíme poměrný potenciální výkon na členu x
ωr ωx Znaménko poměrného potenciálního výkonu určuje, zda člen x si ponechává svoji funkci i v náhradním mechanismu. 3. Dílčí účinnost soukolí A je definována (podobně jako základní převod) jako účinnost z planety na korunu při zastaveném unašeči (η rpk ) A . Porovnáním výkonu Px a poměrného potenciálního výkonu, zjistíme zda-li tok výkonu v náhradním mechanismu je od planety ke koruně (v tom případě exponent = +1), nebo je opačně (exponent = -1) Ukázka programu platná pro výpočet jednoho JPS: if vstup11 > 0 & vystup1 == 0 mi1 = 1 - (omegar / 1); P_p1 = 1; exponent1 = expop(P_p1, mi1); elseif vstup11 < 0 & vystup1 == 0 mi1 = 1 - (omegar / 1); P_k1 = 1; exponent1 = expok(P_k1, mi1); elseif vstup1 == 0 & vystup11 > 0 mi1 = 1 - (omegan / omegar); P_p1 = my*omegan; µ = 1−
5
exponent1 = expop(P_p1, mi1); else mi1 = 1 - (omegar / omegan); P_k1 = my*omegan; exponent1 = expok(P_k1, mi1); end Hodnota exponentů je počítána pomocí funkcí expop (pro případ, že výkon a poměrný potenciální výkon byl uvažován na planetě) a expok (pro případ výpočtu na koruně). % Funkce vypoctu exponentu ucinnosti v pripade, ze pomerny potencialni vykon % byl pocitany na korune function cislo = expok(xxx, yyy) if (xxx < 0 & yyy > 0) | (xxx > 0 & yyy < 0) cislo = 1; else cislo = -1; end % Funkce vypoctu exponentu ucinnosti v pripade, ze pomerny potencialni vykon % byl pocitany na korune function cislo = expop(xxx, yyy) if (xxx < 0 & yyy < 0) | (xxx > 0 & yyy > 0) cislo = 1; else cislo = -1; end ● Opakování smyčky s upravenými exponenty účinností. Výpočet celkové mechanické statické účinnosti, a momentových poměrů na všech členech s uvažováním ztrát. ● Výpis hodnot 2.
Zadávání hodnot do programu 1. 2. 3. 4. 5.
Planetová kola (centrální kola s vnějším ozubením) zadávejte vždy jako kladná čísla Korunová kola (centr. kola s vnitřním ozubením) zadávejte vždy jako záporná čísla. Není nutné zadávat počty zubů kol. Stačí zadat například: 1 pro planetu, -1 pro korunu V případě, že člen je unašeč nechte v okénku pro počet zubů 0 Pokud omylem nebude zadán celočíselný počet zubů, je hodnota automaticky zaokrouhlena směrem dolů. 6. U nevyužitých vazeb nebo členů nechte v okně pro počet zubů 0 7. Vždy je nutné zadat základní převod, tedy převod při zastaveném unašeči příslušného soukolí. Tak je možné postihnout (bez velkých komplikací v zadávání) soukolí s více řadami satelitů, … Základní převod je možné zadat jak číselně, tak poměr počtu zubů. Např.: -61/31. 8. Reálná čísla je možné psát jak s desetinnou čárkou, tak tečkou. 3.
Chybová hlášení
V programu je několik chybových hlášení, které zastaví výpočet a vrátí program zpět na zadávání, a jedno upozornění, které nezastaví běh výpočtu. Hlášení, která zastaví běh programu: • Více unašečů na soukolí
6
• •
Více než dvě centrální kola na soukolí Vnější či vnitřní vazba nemohou být centrální kolo a unašeč zároveň Upozornění se objeví, pokud složené Obrázek 2: Schéma převodovky ZF 5 HP 24 planetové soukolí nepracuje ve funkci při zařazeném V. rychlostním stupni. Soukolí 1 diferenciálního převodu, ale jedná se o sériově pracuje jako vazební převod. Soukolí 2 a 3 jsou zapojené převody. Soukolí 1 Soukolí 2 Soukolí 3 diferenciály [9].
Postup zadání tohoto zapojení do programu vypocetsps je znázorněn na následujícím obrázku. Vazba A
Vazba B
Výstup
Vstup
7
Obrázek 3: Okno vstupních a výstupních hodnot programu „vypocetsps
8
B. 1.
Odvození výpočtu účinnosti planetových mechanismů při použití maticové metody
Úvod
Pro výpočet celkové statické účinnosti mechanismu (bez nutnosti vyjádření momentových a výkonových poměrů na jednotlivých členech) můžeme vyjít z matice kinematických poměrů. Tak jak je naznačen výpočet ve [3] a [7]. Pro soukolí 2k + r platí koeficienty, odvozené ve [2]: tabulka 1: Koeficienty výpočtu soukolí 2k + r maticovou metodou
Kinematické poměry Určení účinnosti Planeta 1 1 Koruna -ix - ix · ( ηx )exp Unašeč ix - 1 ix · ( ηx )exp - 1 Připomeňme postup výpočtu maticovou metodou. Podle funkce, kterou centrální kola a unašeč zaujímají (vstup, výstup, vazby), sestavíme z koeficientů z tabulky 1 matici soustavy podle následujících pravidel: • Řádky odpovídají jednotlivým soukolím (nezáleží na pořadí, zda první je diferenciál, či vazební převod) • Sloupce jsou tvořeny vnějšími členy a vnitřními vazbami. První sloupec je výstup, další sloupce vazby, poslední je vstup. Při takto sestavené matici, platí následující vyjádření pro výpočet převodu a momentové násobnosti. ∆ i=− (1) ∆n m=−
∆η ∆ηn
(2)
Determinant výstupu se vypočte záměnnou sloupce vstupu za sloupec výstupu (viz [2], [3]). Determinanty převodu (∆, ∆n) se určí pomocí koeficientů kinematických poměrů (tabulka 1), determinanty momentové násobnosti (∆η, ∆nη) z posledního sloupce tabulky 1. Celková účinnost se vyjádří:
η=−
m i
(3)
Otázkou zůstává podle jakých pravidel určit velikost exponentu „exp“ dílčích účinností (tabulka 1). Exponent může nabývat hodnot - viz rovnice ( 4 ). Pokud je exponent nulový (exp = 0), uvažujeme nulové ztráty, výsledkem rovnice ( 2 ) by byl převodový poměr. exp =
{− 1;
0; + 1}
(4)
V literatuře [1], [3], [7] je pro určení exponentu dílčích účinností (při výpočtu složených planetových soukolí) použito rovnice ( 5 ). Odvození tohoto výpočtu je provedeno v [1]. V dalším textu je ukázáno toto odvození s některými úpravami autora zprávy. ir exp = sgn i
∂i ⋅ sgn r ∂i
(5)
9
2. 2.1
Důkaz platnosti výpočtu exponentu účinnosti podle rovnice ( 5 ) Obecný úvod, rovnice energetické rovnováhy
Rovnici energetické rovnováhy vícehřídelového mechanismu můžeme zapsat ve tvaru: dE Pa + Pb + … Pn + Pm + … + Pξ = (6) dt E představuje vnitřní energii soustavy (kinetickou a potenciální všech členů a vazeb). V případě ustáleného pohybu, kdy se vnitřní energie E nemění, zjednoduší se výraz ( 6 ) na: Pa + Pb + … Pn + Pm + … + Pξ = 0 (7) Indexy a, b,… představují členy vstupní (hnací), indexy n, m,…členy výstupní (hnané). Účinnost je definována jako poměr energie přivedené ku energii odvedené. Proto platí: P + Pm + … η=− n Pa + Pb + … Pro dvouhřídelový převod se výraz ( 8 ) zjednodušší na rovnici: P η=− n Pa Respektive Pa ⋅ η + Pn = 0 M a ⋅ ω a ⋅η + M n ⋅ ω n 2.2
=0
(8)
(9)
( 10 )
Určení exponentu účinnosti pro jednoduché planetové soukolí 2k+r
Uvažujme jednoduché planetové soukolí 2k+r se dvěma centrálními členy p, q a unašečem r. Případ 1 – centrální kolo p je vstupem, kolo q výstupem: M p ⋅ ω pr ⋅ η pq + M q ⋅ ω qr = 0 / : ω qr
( 11 )
r M p ⋅ i pq ⋅ η pq + M q = 0
Případ 2 – centrální kolo q je vstupem, kolo p výstupem / : ω qr M p ⋅ ω pr + M q ⋅ ω qr ⋅ η qp = 0
( 12 )
r + M q ⋅ η qp = 0 M p ⋅ i pq
Předpokládáme-li, že ηpq = ηqp, potom můžeme rovnice ( 11 ), ( 12 ) vyjádřit tak, jak je naznačeno v tabulce 2: tabulka 2: Určení exponentu účinnosti JPS 2k+r
Případ 1
Případ 2
r M p ⋅ i pq ⋅ (η pq ) +1 + M q = 0
r M p ⋅ i pq ⋅ (η pq ) −1 + M q = 0
r M p ⋅ i pq ⋅ (η pq ) exp + M q = 0
Pro exponent účinnosti dvouhřídelového převodu z tabulky 2 platí následující pravidla M p ⋅ ω pr 〉 0 exp(η pq ) = sgn( M p ⋅ ω pr ) = + 1 ⇒ M p ⋅ ω pr
〈 0
⇒ Zaveďme upravenou hodnotu převodového poměru ~ i = i ⋅ η exp
10
exp(η pq ) = sgn( M p ⋅ ω pr ) = − 1 ( 13 )
2.3
Výpočet exponentu dílčích účinností - složené planetové soukolí
Předpokládejme složené planetové soukolí R1 s jedním stupněm volnosti, se vstupním členem a, výstupním členem n, jehož částí bude mechanismus skládající se ze dvou centrálních kol p a q, pro něž platí i r =
ω pr . Celkový převod soukolí R1 závisí na dílčích převodových ω qr
poměrech jeho členů: i = f (i 1 , i 2 , … , i r )
( 14 )
Pro vyjádření exponentu účinnosti vyjdeme z principu virtuálních prací. Princip virtuálních prací, při předpokladu ustáleného pohybu můžeme zapsat ve tvaru: ( 15 ) Σ prací od všech vnějších sil + Σ prací od vnitřních sil = 0 Pro složené soukolí R1 můžeme jednotlivé složky rozepsat: Σ prací od všech vnějších sil působících na soukolí R1 M a ⋅ ∂ϕ a + M n ⋅ ∂ϕ n
( 16 )
Σ prací působících na centrální člen p Práce od sil při pohybu vůči unašeči (v soustavě se zastaveným unašečem) − M p ⋅ ∂ϕ pr
( 17 )
Práce od sil v soustavě spojené s unašečem − M p' ⋅ ∂ϕ r
( 18 )
Σ prací působících na centrální člen q Práce od sil při pohybu vůči unašeči (v soustavě se zastaveným unašečem) − M q ⋅ ∂ϕ qr
( 19 )
Práce od sil v soustavě spojené s unašečem − M q' ⋅ ∂ϕ r
( 20 )
Σ virtuálních prací M a ⋅ ∂ϕ a + M n ⋅ ∂ϕ n
− M p ⋅ ∂ϕ pr
− M q ⋅ ∂ϕ qr
= 0
Zavedením převodových poměrů, pomocí ( 10 ) a ( 13 ), dostaneme vyjádření ( 23 ). M ~ ian = − n Ma Mq ~r i =− Mp M a ⋅ (∂ϕ a
(
~ ~ − ian ⋅ ∂ϕ n ) + M p ⋅ i r ⋅ ∂ϕ qr
− ∂ϕ pr
)
= 0
( 21 )
( 22 )
( 23 )
Virtuální pootočení můžeme nahradit úhlovými rychlostmi ( 24 ) a jejich poměr převodem, celou rovnici dále podělit přírůstkem času ∂t. ∂ϕ a = ω a ⋅ ∂t ∂ϕ n = ω n ⋅ ∂t ∂ϕ pr = ω pr ⋅ ∂t
( 24 )
∂ϕ qr = ω qr ⋅ ∂t
11
~ ~ i r ian − ⋅ ω a + M p ⋅ r ⋅ ω pr − ω pr = 0 ian i ~ ~r r i −i i −i M a ⋅ ω a ⋅ an an − M p ⋅ ω pr ⋅ = 0 ian ir ~ M p ⋅ ω pr i r ian − ian = ⋅ ~ M a ⋅ω a ian i r − i r M a ⋅ ω a
( 25 )
Konečný výraz rovnice ( 25 ) můžeme upravit M p ⋅ ω pr d ian ir = ⋅ ( 26 ) M a ⋅ω a ian d ir Protože celkový převod závisí na velikosti všech dílčích převodů (viz ( 14 )), musíme při použití vzorce ( 26 ) uvažovat všechny dílčí převody jako konstanty. Vyjádření ( 26 ) se tak změní na: M p ⋅ ω pr ∂ ian ir = ⋅ ( 27 ) M a ⋅ω a ian ∂ ir Člen a je v uvažovaném mechanismu R1 vstupním členem. Součin Ma ⋅ ωa (tedy výkon členu a) je vždy kladný. Pravá strana rovnice ( 27 ) je odpovědí na smysl toku výkonu v dílčím mechanismu, respektive na velikost exponentu účinnosti dílčího převodu ir ∂ ian exp(η r ) = sgn ⋅ ( 28 ) ∂ i r ian 2.4
Vlastnosti výpočtu exponentu účinnosti
Na základě rovnice ( 28 ) můžeme dokázat, že pokud se vzrůstajícím | ir | roste i | ian | potom platí exp(ηr) = +1. Pokud | ian | klesá: exp(ηr) = -1. Uvažujme, že výsledek pravé strany rovnice ( 28 ) se nezmění vynásobíme-li obě veličiny (ir a ian) konstantou –1. Potom můžeme psát: ir ∂ i ∂ ian ir ∂ ian r an ⋅ = ⋅ = exp(η ) = sgn sgn sgn ( 29 ) r r ∂ ir ian ∂i ∂ i ian r Pokud se vzrůstajícím | i | roste i | ian |, potom i derivace musí být rostoucí. 3.
Závěr – možnosti určení exponentu účinnosti
Výpočet pomocí rovnice ( 5 ) umožňuje spolehlivě určit exponent dílčích účinností bez znalosti momentových poměrů. Jak dále vyplývá z odstavce 2.4 a rovnice ( 29 ), je možné exponent účinnosti určit ze závislosti změny absolutní hodnoty celkového převodu na změně velikosti dílčího převodu v absolutní hodnotě. Respektive jen z parciální derivace cekového převodu podle dílčího převodu v absolutní hodnotě - viz ( 29 ). Další možnost je postup použitý i v programu „vypocetsps“, u kterého je ovšem nutné určit momenty, respektive výkony na centrálních členech jednotlivých soukolí. Podle poměrného potenciálního výkonu se určí smysl toku výkonu v náhradním mechanismu, tedy i exponent dílčí účinnosti (viz kapitola A odstavec 1).
12
C. 1.
Výpočet soukolí 3k pomocí maticové metody
Úvod
Soukolí označované jako 3k je soukolí se třemi centrálními koly a „jen“ jedním unašečem. Výpočet kinematiky těchto soukolí je velmi jednoduchý a figurují v něm dva základní převody. Výpočet účinnosti je nepoměrně složitější a vyžaduje odvození pomocí rovnic výkonové a momentové rovnováhy. Pro usnadnění výpočtu účinnosti a pro využití výpočetní techniky je výhodné použít maticovou metodu. Soukolí 3k můžeme rozdělit na dvě jednoduchá planetová soukolí typu 2k+r, můžeme tedy pro výpočet použít program popsaný v předchozí kapitole. Avšak každé soukolí 3k je možné na JPS rozdělit třemi různými způsoby! Pro výpočet kinematiky soukolí můžeme využít všechny tři rozdělení. Pro výpočet účinnosti je správné jen jedno! V dalším textu předvedeme platnost tohoto tvrzení na příkladu, na závěr uvedeme zásady pro výběr správného rozložení. 2.
Rozložení soukolí 3k na dvě JPS 2k+r
Mějme soukolí 3k s jedním stupněm volnosti zapojené podle schématu na obrázku 4. Toto soukolí můžeme na dvě soukolí typu 2k+r rozdělit třemi různými způsoby, viz obrázek 5. Z toho jen rozdělení v rámečku je správné i pro výpočet účinnosti. Výpočet tohoto soukolí analytickou metodou je naznačen ve [3], příklad 2.4. Ukázka rozložení na dvě soukolí 2k+r a výpočet maticovou metodou je vypracován pro soukolí z obrázku 6. Počty zubů ozubených kol jsou vypsány do tabulky 3.
sq
k sp p
k
k spsp sp p p
ksq sq
sq sp
p PP
sp
P
sp q q
q QQ
I.
Q
q
sq
q Obrázek 4: Soukolí 3k
II.
13
III.
k k
sp k
sp
sq k
sp
q
sq p
p P
sp
q
sq
sp
sq
q
q
p
Q
p
Q Q
P P
Obrázek 5: Tří možnosti rozdělení soukolí typu 3k na dvě soukolí 2k + r Obrázek 6: Soukolí 3k se dvěma vnitřními záběry
I.
II.
III.
Obrázek 7: Soukolí z obrázku 6 rozložené na dvě soukolí 2k + r
Počty zubů centrálních kol a satelitů jsou uvedeny v tabulce 3: tabulka 3: Počty zubů v uvažovaném soukolí 3k
zp = 20
zq = 75
zk = 76
zsp = 28
zsq = 26
Výpočet tohoto soukolí je naznačen v [10]. Pro názornost ovšem provedeme i odvození všech výpočtů pomocí analytické metody. 2.1
Výpočet soukolí 3k analytickou metodou
Výpočet celkového převodového poměru z 76 1 r i pk = k ⋅ (− 1) = − = −3,8 20 zp iqkr =
z k ⋅ z sq z sp ⋅ z q
⋅ (− 1) = 0
76 ⋅ 26 = 0,94 28 ⋅ 75
1 1 + 3,8 = = 81,29 r 1 − iqk 1 − 0,94 Výpočet úhlových rychlostí ωa = ω p = 1 k k r i = i pq = i pr ⋅ irqk = 1 − i pk ⋅
1 ω n = ω q = = 0,0123 i ω p −ωr r ω r ⇒ i pk = ωk −ωr
(
)
r ⇒ ω r ⋅ − i pk +1 = ω p
⇒ ωr =
1 = 0,208 1 + 3,8
Určení poměrných potenciálních výkonů, respektive toku výkonu v náhradním mechanismu ω 0,208 µ rp = 1 − r = 1 − 〉0 1 ωp ( 30 ) ω 0 , 208 ϖ qr = 1 − r = 1 − <0 0,0123 ωq
14
Vstup p si ponechává svoji funkci, výstup q v náhradním mechanismu svoji funkci mění, stává se tedy také vstupem. Tok výkonu v náhradním mechanismu bude: (p + q → k)r. Určení momentové násobnosti, respektive účinnosti soukolí. Vyjdeme z rovnice výkonového rovnováhy a vyjádření ztrátového výkonu.
Ppr + Pqr + Pkr + Pξr = 0
(
)
(
Pξr = − Ppr ⋅ 1 − η rpk − Pqr ⋅ 1 − η qkr
(
)
(
)
)
Ppr − Ppr ⋅ 1 − η rpk + Pqr − Pqr ⋅ 1 − η qkr + Pkr = 0 Ppr ⋅ η rpk + Pqr ⋅ η qkr + Pkr = 0 M p ⋅ ω pr ⋅ η rpk + M q ⋅ ω qr ⋅ η qkr + M k ⋅ ω kr = 0
/ : ω kr
r M p ⋅ i pk ⋅ η rpk + M q ⋅ i qkr ⋅ η qkr + M k = 0
/ M k = −M p − M q
(
)
(
)
r − M p ⋅ i pk ⋅ η rpk − 1 = M q ⋅ i qkr ⋅ η qkr − 1
k sq
sp
q
p Q
P m=−
η=−
Mq Mp
=−
r i pk ⋅ η rpk − 1
i ⋅η − 1 r qk
r qk
=−
− 3,8 ⋅ 0,97 − 1 = −60,179 0,94 ⋅ 0,98 − 1
m − 60,179 =− = 74,03 i 81,29
2.2
Výpočet soukolí 3k maticovou metodou
2.2.1
Rozložení I.
Soukolí rozložíme na dva sériové zapojené jednoduché převody 2k + r, tak jak je zobrazeno na obrázku 7. Soukolí mají společnou zastavenou korunu k. Vstup je planetou p v soukolí P, výstup korunou q v soukolí Q. Obrázek 8: Rozložení I. soukolí 3k na dvě soukolí typu 2k + r
Budeme uvažovat základní převody dílčích soukolí ve tvaru, viz následující rovnice r i P = i pk = −3,8
15
( 31 )
i Q = iqkr = +0,94095
( 32 )
Základní převod soukolí Q uvažujeme jako převod z koruny q na korunu k. Pomyslnou funkci planety jsem tedy v tomto případě přiřadili koruně q. Matice soustavy bude mít tvar: n 0 1
P Q
e iP – 1 iQ – 1
a 1 0
( 33 )
Vypočteme determinant soustavy a determinant výstupu, určíme převodový poměr, viz [2], [3], [4] a [7]: ∆=
0 iP −1 = − i P − 1 = −1 ⋅ (− 4,8) = +4,8 Q 1 i −1
∆n =
(
)
1 i P −1 Q = i − 1 = −0,059505 0 iQ −1
(
)
∆ − iP −1 4,8 i=− =− Q =− = + 81,29 ∆n − 0,059505 i −1 Výpočet účinnosti Pro výpočet exponentů dílčích účinností vyjdeme ze vzorce ( 5 ). Exponent účinnosti soukolí P: iP sgn = (− ) i 1 ∂i sgn P = Q = (− ) ∂i i − 1 Exponent P = ( - ) · ( - ) = ( + ) Exponent účinnosti soukolí Q: iQ sgn = (+ ) i iP −1 ∂i sgn Q = − = (+) 2 ∂i iQ −1 Exponent Q = ( + ) · ( + ) = ( + )
(
)
Sestavíme matici soustavy s uvažováním dílčích účínností: n e a P P 0 i ·η –1 1 P 1 iQ · η Q – 1 0 Q
( 34 )
Momentovou násobnost vypočteme rovněž z determinantu soustavy a determinantu výstupu. ∆η = −4,686 ∆ηn = −0,077869 m=−
∆η = −60,178 ∆ηn
16
Účinnost podobně jako u analytické metody dostaneme z poměru momentové násobnosti a celkového převodu: m − 60,178 η=− =− = 74,03 % i 81,29 Matice momentových koeficientů (bez uvažování dílčích účinností): Pro představu o výpočtu momentových poměrů sestavíme matici momentových koeficientů. V případě, že je soukolí tvořeno sériově zapojenými JPS, nebo pracuje ve funkci diferenciálního převodu, kde vstup je zároveň vícetoký hřídel, vychází determinant soustavy z matice tvořené koeficienty všech členů obou soukolí (silně orámovaná část matice). Moment na hledaném členu se vypočte opět z podílu determinantu soustavy a determinantu hledané neznámé. Determinant neznámé dostaneme záměnou posledního sloupce vstupu za sloupec neznámé. p=a iP 1 – iP 0
P Q
k
sp
P r 0 1 0
k 1 0 0
sq
k 0 0 1
Q r 0 0 0
q=n 0 0 iQ
a 0 0 0
0 0 0
1 -1 0
1 – iQ 0 0
0 0 1
q
sp p Q
P vazba a
2.2.2
0 0 -1
0 -1 0
0 0 0
Rozložení II.
Soukolí rozložíme na diferenciální převod s diferenciálem na vstupu (Obrázek 9). Vstup je planetou p v soukolí P i Q, výstup korunou q v soukolí Q. Zastavená je koruna k ve vazebním převodu P. Obrázek 9: Rozložení II. na diferenciální převod s diferenciálem na výstupu.
Budeme uvažovat základní převody dílčích soukolí ve tvaru, viz rovnice r i P = i pk = −3,8
( 35 )
r i Q = i pq = −4,0385
( 36 )
17
Matice soustavy bude mít tvar: n 0 -iQ
P Q
e i –1 iQ – 1
a 1 1
P
( 37 )
Vypočteme determinant soustavy a determinant výstupu a převodový poměr: 0 ∆= Q −i
iP −1 Q P = i ⋅ i − 1 = (− 4,0385) ⋅ (− 4,8) = +19,3848 iQ −1
(
)
1 i P −1 Q ∆n = = i − 1 − i P + 1 = −4,0385 + 3,8 = −0,2385 Q 1 i −1 i=−
(
)
∆ iQ ⋅ i P −1 19,3848 =− Q P =− = + 81,29 ∆n − 0,2385 i −i
Výpočet účinnosti Vzhledem k tomu, že nás zajímá jen znaménko u derivace celkového převodu podle dílčích, u ( x) d v( x) u ′ ⋅ v − u ⋅ v ′ = v našem případě můžeme známý vzorec pro derivaci podílu dx v2 zjednodušit a počítat jen s čitatelem. Tomu odpovídají i uvedené tvary u provedených derivací. Exponent účinnosti soukolí P: iP sgn = (− ) i ∂i sgn P = −i Q ⋅ i Q − i P − i Q ⋅ i P − 1 = (− ) ∂i Exponent P = ( - ) · ( - ) = ( + )
(
)
(
)
Exponent účinnosti soukolí Q: iQ sgn = (−) i ∂i sgn Q = − i P − 1 ⋅ i Q − i P + i Q ⋅ i P − 1 = (+ ) ∂i Exponent Q = ( - ) · ( + ) = ( - )
(
)(
)
(
)
Sestavíme matici soustavy s uvažováním dílčích účínností: n e a ( 38 )
18
P −
Q
0 iQ
ηQ
iP · ηP – 1 iQ −1 Q
1 1
η
Momentovou násobnost vypočteme rovněž z determinantu soustavy a determinantu výstupu. ∆η = −4,1634 ⋅ (− 4,686 ) = 19,51 ∆ηn = −4,1634 + 3,686 = −0,4774 ∆η = −40,84 ∆ηn Účinnost rozložení II: m − 40,84 η=− =− = 50,24 % i 81,29 m=−
Matice momentových koeficientů: Silně orámovaná část matice opět tvoří základ pro determinant soustavy. Vstup a je zároveň vícetoký hřídel.
P
p=a iP 1 – iP
P r 0 1
k 1 0
p=a 0 0
Q r 0 0
q=n 0 0
a 0 0
0 1 -1 0
1 0 0 0
0 0 0 1
k q
sp
sq p P
Q vazba a 2.2.3
0 0 0 -1
Q 0 0 -1 0
0 0 0 0
iQ 1 – iQ 0 -1
Rozložení III.
Soukolí rozložíme na diferenciální převod s diferenciálem na vstupu (Obrázek 10). Vstup je planetou p v soukolí P, výstup korunou q v soukolí P i Q. Zastavená je koruna k ve vazebním převodu Q. Obrázek 10: Rozložení III. na diferenciální převod s diferenciálem na vstupu.
19
Budeme uvažovat základní převody dílčích soukolí ve tvaru, viz následující rovnice: r i P = i pq = −4,03858
( 39 )
i Q = ikqr = +1,06276
( 40 )
Základní převod soukolí Q uvažujeme jako převod z koruny k na korunu q. Pomyslnou funkci planety jsem tedy v tomto případě přiřadili koruně k (na rozdíl od rozložení I – viz rovnice ( r 32 ), kde jsme počítali s dílčím základním převodem i qk ). Matice soustavy bude mít tvar: P Q
n -iP -iQ
e i –1 iQ – 1
a 1 0
P
( 41 )
Vypočteme determinant soustavy a determinant výstupu a převodový poměr: ∆=
− iP − iQ
iP −1 = −i P ⋅ i Q − 1 + i Q ⋅ i P − 1 = i P − i Q = −4,0385 − 1,06276 = −5,10126 Q i −1
(
)
(
)
1 iP −1 Q ∆n = = i − 1 = +0,06276 0 iQ −1 i=−
i P − iQ ∆ − 5,10126 =− Q =− = + 81,29 ∆n + 0,06276 i −1
Výpočet účinnosti Exponent účinnosti soukolí P: iP sgn = (− ) i 1 ∂i = (− ) sgn P = − Q i −1 ∂i Exponent P = ( - ) · ( - ) = ( + ) Exponent účinnosti soukolí Q: Výpočet derivace, viz poznámka u rozložení II. iQ sgn = (+) i ∂i sgn Q = i Q − 1 − − i P + i Q = i P − 1 = (− ) ∂i Exponent Q = ( + ) · ( - ) = ( - )
(
)
Sestavíme matici soustavy s uvažováním dílčích účínností:
P Q
n − i ⋅η P P
−
e i ⋅η − 1 P
P
Q
iQ
ηQ
ηQ
i
−1
a 1
( 42 )
0
Momentovou násobnost vypočteme rovněž z determinantu soustavy a determinantu výstupu.
20
∆η = i P ⋅ η P − ∆ηn =
iQ
ηQ
iQ
ηQ
= −5,00187
− 1 = 0,0846
∆η m = − η = −59,12378 ∆n Účinnost rozložení III: m − 59,12378 η=− =− = 72,7 % i 81,29 Matice momentových koeficientů: Vstupní hřídel a není zároveň vícetokým hřídelem. Matice soustavy (silně orámovaná část) je teda tvořena všemi členy soukolí P a Q vyjma vstupu (v našem případě planety p v soukolí P) a vícetokým hřídelem – v tomto případě tvořeným výstupem q = n. Determinant respektive matice neznámé je opět tvořena záměnou sloupce vstupu za sloupec neznámé. P Q p=a r q=n k r q=n Σ iP 0 1 0 0 0 0 P P 1–i 1 0 0 0 0 0 0 0 0 iQ 0 1 0 Q 1 0 0 0 0 0 1 – iQ 0 -1 0 0 -1 0 0 vazba 0 0 -1 0 0 -1 1 Σ 2.2.4
Zhodnocení výsledků všech třech rozložení
Jak jsme již naznačili v úvodu, všechna tři rozložení vedou ke správnému výsledku převodového poměru. Jen jedno, v tomto případě rozložení I na sériově zapojené převody, vede i ke správnému výpočtu účinnosti a tedy i momentových a energetických poměrů. Způsob jak určit pro dané soukolí vhodné rozložení je naznačen v následující kapitole. 3.
Určení vhodného rozložení
Charakteristickým znakem nahrazení soukolí 3k dvěmi soukolími 2k+r je, že vazba mezi jednoduchými soukolími je vždy unašeč. Zbývá tedy určit centrální kola dílčích soukolí tak, aby rozložení bylo platné i pro výpočet účinnosti a energetických poměrů. K tomu nám pomůže zjištění toku výkonu v náhradním mechanismu. V kapitole 2.1 při analytickém řešení jsem pomocí rovnice ( 30 ) určili pro soukolí (Obrázek 4 B) tok výkonu (p + q → k)r. Náhradní soukolí musí být tvořeno dvěmi soukolí 2k + r, kdy první soukolí sestává z centrálních kol p + k, druhé soukolí sestává z centrálních kol q + k. Protože ve skutečném mechanismu je koruna k reakční člen. Znamená to, že soukolí 3k musí být rozloženo na dvě sériově zapojené převody. Správné rozložení je to, které jsme počítali v kapitole 2.2.1. Jako jiný příklad si vezměme soukolí 3k (Obrázek 4), počet zubů je uveden v tabulce 4. Nejprve určíme tok výkonu v náhradním mechanismu.
21
tabulka 4: Počet zubů centrálních kol soukolí 3k z obrázku 4.
zp = 41
zq = 45
zk = 85
zsp = 22
zsq = 18
Určení dílčích převodových poměrů: 84 r i pk =− = −2,073 41 z k ⋅ z sq 85 ⋅ 18 1 iqkr = ⋅ (− 1) = − = −1,545 z sp ⋅ z q 22 ⋅ 45 Určení poměrného potenciálního výkonu vstupu a výstupu. Použijeme vzorec odvozený ve ir ir [2] → µ ar = r aκ ; µ nr = r nκ . iaκ − 1 inκ − 1
sp
k
sq
sp q
p P µ ar = µ rp = µ =µ = r n
r q
Q i i
r pk
r pk
−1
iqkr i −1 r qk
=
− 2,073 = +0,675 ⇒ µ ar 〉 0 − 2,073 − 1
=
− 1,545 = +0,607 ⇒ µ nr 〉 0 − 1,545 − 1
Protože µ rp 〉 µ qr bude tok výkonu v náhradním mechanismu: ( p → q + k )r. Pro správný výpočet energetických poměrů a účinnosti je jediná správná náhrada soukolí 3k dvěmi jednoduchými soukolí 2k + r s následujícím centrálními koly: (p + q) a (p + k). V tomto případě tedy půjde o diferenciální převod (Obrázek 11), kde soukolí P pracuje ve funkci vazebního převodu, soukolí Q jako diferenciál. Obrázek 11: Jediná správná náhrada soukolí 3k z obrázku 4A dvěma soukolími 2k+r
22
Seznam použité literatury: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]
Krejnes M.A., Rozovskij M.S., Zubčatyje peredači, Moskva, Nauka, 1972 Svoboda J., Planetové převody, skripta, ČVUT, 1998, 2000 Svoboda J., Tůmová G., Mechanické a hydraulické převody vozidel, skripta, ČVUT, 2001 Svoboda J., Maticové metody výpočtu kinematických a energetických poměrů planetových soukolí, Výzkumná zpráva Z 01 – 07, ČVUT, 2001 Šalamoun Č., Analýza složených planetových soukolí, In: Acta polytechnica II, pp. 31 – 36, ČVUT, 1973 Šalamoun Č., Mechanické převody, In: Pohony a přenosy ve strojírenství, skripta VŠB Ostrava, 1979 Šalamoun Č., Převody – příručka, skripta ČVUT 1973 Šalamoun Č., Suchý M., Převody, skripta ČVUT, 1971 Sova R., Studie hydromechanické převodovky, diplomová práce ČVUT Ú220.1, 2000 Looman J., Berechnung reduzierter Planetengetriebe, In: VDI Berichte 1460, pp. 2336, VDI Verlag, 1999
Seznam označení exp E i m M P t z φ ∆ η Μ ω Indexy a, b, … an n, m, … p, q r x 1, 2, … η ξ
N.m N.m W s rad
rad.s-1
Exponent dílčí nebo celkové účinnosti Energie Převod Momentová násobnost Moment Výkon Čas Počet zubů Natočení Determinant Účinnost Poměrný potenciální výkon Úhlová rychlost Vstupní (hnací) členy Celkový (převod) Výstupní (hnané) členy Centrální kola Unašeč Dílčí planetové soukolí x Dílčí planetová soukolí 1, 2, … Účinnost Ztráty
23
