Vynucené kmitání soustav s jedním stupněm volnosti Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc
Vynucené kmitání vzniká i při nulových počátečních podmínkách vlivem buzení kmitavé soustavy. Buzení se v pohybové rovnici projeví nenulovou pravou stranou. Vysvětlíme-li situaci na podélně kmitající tlumené soustavě, bude pohybová rovnice tvaru m¨ x + bx˙ + kx = F (t) , kde F (t) je budící síla. Tato síla může přímo působit ve směru kótování výchylky kmitavé soustavy, nebo se může jednat např. o složku odstředivé síly na nevyváženou rotující hmotnost (nacházející se jako součást hmotnosti m). V prvním případě hovoříme o silovém buzení, ve druhém o buzení nevyváženou rotující hmotností. K buzení může dojít rovněž tím, že konec pružiny, jenž je rámem, koná předepsaný pohyb y(t). Tomuto stavu říkáme kinematické buzení. Kromě výše popsaného rozdělení buzení podle fyzikální podstaty jeho vzniku, můžeme je rozdělit i podle matematického tvaru budící funkce (pravé strany pohybové rovnice). Technicky nejvýznamnější je harmonické buzení, kdy pravá strana je lineární kombinací goniometrických funkcí tzv. budící frekvence ω. Důležité je i buzení skokem pro konstantní pravou stranu a impulsní buzení, kdy časový průběh síly je krátkou dobu trvající vysoká hodnota (s rychlým náběhem z nuly) a poté rychlý pokles k nule. Těmito druhy buzení se budeme v dalším výkladu zabývat. Poznámky: 1. V případě torzně kmitající soustavy má pohybová rovnice tvar I ϕ¨ + bt ϕ˙ + kt ϕ = M (t) , kde M (t) je budící silová dvojice (moment). Všechny poznatky jsou transformovatelné i na tento případ při analogii veličin popsané v tématu ”modelování kmitání”. 2. Technický význam mají rovněž buzení polynomiálního charakteru, kdy budící funkce je polynom prvního nebo druhého stupně, buzení periodickou funkcí a pulzní buzení, popsané po částech polynomiální funkcí nenulovou pouze na intervalu omezené délky.
1. Silové harmonické buzení Budící funkce má v tomto případě tvar F (t) = F0 sin(ωt + ϕb ) ,
(1)
kde F0 je amplituda buzení, ω je budící frekvence a ϕ fáze buzení. Pohybová rovnice po vydělení hmotností a zavedení parametrů D a Ω má tvar 1
x¨ + 2DΩ x˙ + Ω2 x = f0 sin(ωt + ϕb ) , kde f0 =
F0 . m
(2)
Pro řešení této rovnice platí x(t) = xh (t) + xp (t) ,
(3)
kde xh (t) je obecné řešení homogenní rovnice s nulovou pravou stranou a xp (t) je jediné odhadnuté tzv. partikulární řešení rovnice (2). Partikulární řešení se obvykle odhaduje v kvalitativně stejném tvaru jako je pravá strana. Pro podkritická tlumení je, podle tématu ”volné kmitání”, homogenní řešení dáno tam uvedeným výrazem (15). Jest tedy √ xh (t) = e−DΩt (A cos ΩD t + B sin ΩD t) , ΩD = Ω 1 − D2 .
(4)
Poznámka: Pro podkritické tlumení D < 1 je zřejmě lim xh (t) = 0. Znamená to, že t→∞ tento příspěvek do celkového řešení pohybové rovnice se s časem utlumí na neměřitelnou hodnotu. Partikulární řešení tuto vlastnost nemá, a tudíž zatěžuje soustavu v libovolném čase. Říkáme proto, že partikulární řešení pohybové rovnice vyjadřuje tzv. ustálený stav soustavy. Vzhledem ke skutečnosti, že soustava je obecně tlumená, partikulární řešení je za buzením fázově zpožděno. Odhadujeme jej proto ve tvaru xp (t) = X sin(ωt + ϕb − ϕ) .
(5)
ϕ . ω
(6)
Za účelem vyjádření amplitudy X a fázového zpoždění ϕ přepišme rovnici (2) i její partikulární řešení (5) v nové nezávisle proměnné τ , pro kterou ωτ = ωt − ϕ ⇒ τ = t − = 1, takže pro libovolnou funkci f je Zřejmě dτ dt Pohybová rovnice (2) vzhledem k (6) má tvar
df dt
=
df dτ
·
dτ dt
=
df dτ
a tedy i
dx d2 x + Ω2 x = f0 sin(ωτ + ϕb + ϕ) + 2DΩ dτ 2 dτ a její partikulární řešení (5) má tvar xp (τ ) = X sin(ωτ + ϕb ) .
d2 f dt2
=
d2 f . dτ 2
(7)
(8)
Partikulární řešení (8) musí být řešením rovnice (7). Derivacemi získáme d2 xp dxp = Xω cos(ωτ + ϕb ) ; = −Xω 2 sin(ωτ + ϕb ) . dτ dτ 2 Dosazením do (7) při použití součtového vzorce pro sin(ωτ + ϕb + ϕ) = sin(ψ + ϕ) dostaneme −Xω 2 sin(ωτ + ϕb ) + 2DΩωX cos(ωτ + ϕb ) + Ω2 X sin(ωτ + ϕb ) = = f0 cos ϕ sin(ωτ + ϕb ) + f0 sin ϕ cos(ωτ + ϕb ) . Tento vztah musí být splněn pro libovolné τ . Musí se proto rovnat koeficienty u sin(ωτ + + ϕb ) i u cos(ωτ + ϕb ). Dostáváme tak rovnice 2
X(Ω2 − ω 2 ) = f0 cos ϕ ,
(9)
X2DΩω = f0 sin ϕ .
(10)
Umocněním a sečtením se zbavíme fázového zpoždění ϕ a dostaneme X 2 [(Ω2 − ω 2 )2 + 4D2 Ω2 ω 2 ] = f02 ,
odkud
X=q
f0 (Ω2 − ω 2 )2 + 4D2 Ω2 ω 2
(11)
.
Amplituda X harmonického partikulárního řešení závisí na vzdálenosti (blízkosti) budící frekvence ω k vlastní frekvenci Ω. Graf závislosti X(ω) je tzv. amplitudová (podle staré normy amplitudo-frekvenční) charakteristika. Protože v (10) jsou všechny veličiny kladné, je sin ϕ ≥ 0 a tedy ϕ ∈ h0; πi. Z (9) pak jednoznačně dostáváme ϕ = arccos q
Ω2 − ω 2
(Ω2 − ω 2 )2 + 4D2 Ω2 ω 2
(12)
.
Také fázové zpoždění závisí na poloze ω vůči Ω. Graf závislosti ϕ(ω) se nazývá fázová (podle staré normy fázo - frekvenční) charakteristika. Poznámka: Fázovou charakteristiku lze získat rovněž dělením rovnice (10) rovnicí (9). Získáme tak tgϕ =
2DΩω . Ω2 − ω 2
Pro ω 2 < Ω2 (⇔ ω < Ω) je zlomek vpravo kladný a platí ϕ = arctg
2DΩω . Ω2 − ω 2
(13)
Pro ω 2 > Ω2 (⇔ ω > Ω) je zlomek vpravo záporný a arkustangenta by byla také záporná. Jak už bylo výše řečeno, je ϕ ∈ h0; πi. Proto pro tento případ ϕ = π + arctg
2DΩω 2DΩω = π − arctg 2 . 2 2 Ω −ω Ω − ω2
(14)
Jestliže do (11) dosadíme zpět za f0 = Fm0 dostaneme rozšířením zlomku na pravé straně (11) výrazem Ω12 a zavedením tzv. činitele naladění η = Ωω výraz X=q
F0 m
·
1 Ω2
(1 − η 2 )2 + 4D2 η 2
=q
xst (1 − η 2 )2 + 4D2 η 2
.
(15)
k Dosazením za Ω2 = m vzniká totiž v čitateli zlomek Fk0 , což jest statická deformace pružiny o tuhosti k při trvalém působení amplitudy harmonické budící síly F0 . Tuto veličinu označujeme jako xst . Rozšířením zlomku (13) výrazem Ω12 a zavedením činitele naladění dostaneme
ϕ = arctg
2Dη pro η < 1 , 1 − η2 3
Amplitudova chrakteristika pomerne vychylky 3 D=0.2 D=0.3 D=0.4 D=0.5 D=0.7 D=1.0
2.5
X/xst
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5 η
2
2.5
3
2.5
3
Obrázek 1:
Fazova chrakteristika pomerne vychylky 3 D=0.2 D=0.3 D=0.4 D=0.5 D=0.7 D=1.0
2.5
φ[rad]
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5 η
2
Obrázek 2:
ϕ = π − arctg
2Dη pro η > 1 . 1 − η2
(16)
Výrazům (15) a (16) říkáme také amplitudová resp. fázová charakteristika ustálené výchylky. Obě popsané charakteristiky závisejí na parametru η a na poměrném útlumu. Příslušné grafy jsou pro různá D znázorněny na obr.1 (amplitudová charakteristika) a 2 (fázová charakteristika) - viz též poznámka níže. Partikulární řešení má tedy v okolí ω = Ω, tedy η = 1, velikou amplitudu (pro malé poměrné útlumy). Jedná se o nebezpečný stav rezonance. Výše popsaný stav rezonance je tím nebezpečnější, čím nižší je poměrný útlum soustavy (obr.1). Toto kvalitativní tvrzení lze kvantifikovat analytickým určením extrému 4
amplitudové charakteristiky soustavy. Protože nutnou podmínkou extrému je nulovost derivace, derivujme výraz (15) podle η. Dostaneme (1 − η 2 )(−2η) + 4D2 η d X(η) = xst 3 . dη [(1 − η 2 )2 + 4D2 η 2 ] 2
Derivace je nulová právě když čitatel předchozího zlomku je nulový. Musí tedy platit 2η(η 2 + 2D2 − 1) = 0 .
Protože nulový činitel naladění (tedy nulovou budící frekvenci) vylučujeme, musí platit . η 2 = 1 − 2D2 . Pro D > √12 = 0.707 tedy amplitudová charakteristika nemá extrém (pod odmocninou by bylo záporné číslo). Pro menší poměrné útlumy je bod ”pode√ zřelý z extrému” charakterizován činitelem naladění ηE = 1 − 2D2 . Funkční hodnotu dostaneme dosazením tohoto argumentu do (15). Dostaneme Xmax =
Xmax 1 x √ st √ ⇔ . = xst 2D 1 − D2 2D 1 − D2
Že je stacionární bod (”podezřelý z extrému”) skutečně maximem plyne z obr.1. Postačující podmínky extrému proto už nezkoumáme. Extremální hodnota amplitudy ustáleného stavu se tedy se zvyšujícím se poměrným útlumem posouvá k nižším hodnotám naladění a k nižším hodnotám extrému, až posléze (pro D > √12 ) extrém zcela zanikne. Pro některé poměrné útlumy jsou hodnoty ηE a Xmax uvedeny v následujicí tabulce: D ηE Xmax xst
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.990 0.959 0.906 0.825 0.707 0.529 0.141 5.025 2.552 1.747 1.364 1.155 1.042 1.000
Poznámky: 1. Z (15) ihned plyne 1 X . =q xst (1 − η 2 )2 + 4D2 η 2
Této závislosti říkáme amplitudová charakteristika poměru obr.1.
X xst
a je znázorněna na
2. Pro abstraktní soustavu bez tlumení dostáváme z (15) a (16) xst xst = X=q ; ϕ = 0 pro η < 1 , ϕ = π pro η > 1 . |1 − η 2 | (1 − η 2 )2
Odtud plyne, že v tomto případě by, pro η = 1, tedy ω = Ω, amplituda rostla nade všechny meze. Amplitudová charakteristika je tedy nespojitou funkcí. Rovněž fázová charakteristika je nespojitou funkcí. Pro činitel naladění menší než jedna je fáze nulová, zatímco pro opačnou relaci je fáze π. Pro η = 1 fáze není definována. Nyní dokončíme výpočet úplného řešení pohybové rovnice. Jestliže je D < 1, platí pro homogenní řešení vztah (15) (tématu ”Volné kmitání”). Dosazením tohoto vztahu a vztahu (5) do (3) získáme obecné řešení pohybové rovnice jako 5
x(t) = e−DΩt (A cos ΩD t + B sin ΩD t) + X sin(ωt + ϕb − ϕ) .
(17)
Teprve v tomto řešení (nikoliv pouze v homogenním) uplatníme znalost počátečních podmínek x(0) = x0 a x(0) ˙ = v0 . Derivací (17) získáme x(t) ˙ = [−DΩ(A cos ΩD t + B sin ΩD t) + ΩD (−A sin ΩD t + B cos ΩD t)]e−DΩt + +Xω cos(ωt + ϕb − ϕ) .
Dosazením do posledních dvou rovnic t = 0 a zohledněním zadaných počátečních podmínek získáme
Odtud
x0 = A + X sin(ϕb − ϕ) ; v0 = −DΩA + ΩD B + Xω cos(ϕb − ϕ) . A = x0 − X sin(ϕb − ϕ) ,
B=
v0 − Xω cos(ϕb − ϕ) D +√ [x0 − X sin(ϕb − ϕ)] . ΩD 1 − D2
(18)
Dosazením do (17) bychom získali konkrétní řešení pohybové rovnice, splňující zadané počáteční podmínky. Toto řešení popisuje tzv. přechodový děj, vznikající jako odezva soustavy na náhlé připojení harmonického buzení. Tento přechodový děj se skládá z tlumeného kmitání s vlastní frekvencí ΩD (první sčítanec (17)) a netlumeného kmitání s budící frekvencí ω (druhý sčítanec). Poznámka: Poznamenejme, že první sčítanec není nulový ani pro nulové počáteční podmínky, jak je vidět v (18). Náhlé připojení buzení (prakticky) vždy způsobí i kmitání vlastní frekvencí. Toto kmitání však vlivem tlumení se po dostatečně dlouhém čase působení buzení utlumí natolik, že nebude vůbec měřitelné (matematicky to znamená, že limita prvního sčítance v (17) pro t → ∞ je nulová). Pro dostatečně dlouhý čas tedy už soustava kmitá pouze s budící frekvencí. Jedná se o tzv. ustálený stav. Ustálený stav tedy popisuje partikulární řešení pohybové rovnice, zatímco přechodový děj popisuje výsledné řešení. Ustálený stav je nebezpečnější, protože působí trvale. Při naladění soustavy do rezonance je jeho amplituda velká se všemi negativními důsledky (vysoká hlučnost, veliké síly přenášené do rámu). Těmto stavům se v praxi snažíme vyhnout. Lze to udělat naladěním mimo rezonanční oblast, nebo větším tlumením soustavy. Amplitudovou i fázovou charakteristiku soustavy lze zjišťovat také přechodem ke komplexnímu tvaru. Popišme nejprve některé pojmy. Nechť a(t) je harmonická funkce s budící frekvencí ω tvaru a(t) = ac cos ωt + as sin ωt .
(19)
Definujme k této harmonické funkci tzv. komplexní amplitudu jako komplexní číslo a ¯ = ac − ias ,
(20)
a ¯(t) = a ¯eiωt .
(21)
kde i je imaginární jednotka. Dále definujme tzv. rotující fázor jako komplexní funkci reálné proměnné tvaru
6
Zřejmě platí a ¯(t) = (ac − ias )(cos ωt + i sin ωt) = (ac cos ωt + as sin ωt) + i(ac sin ωt − as cos ωt) . (22) Srovnáním (19) a (22) plyne, že a(t) = Re[¯ a(t)] .
(23)
Znázorníme-li komplexní amplitudu a rotující fázor v Gaussově rovině (obr.3), dostaneme pro první veličinu komplexní číslo, jehož modul (absolutní hodnota) je totožná s q 2 2 (reálnou) amplitudou a = ac + as , a pro jehož argument ϕ zřejmě platí (obr.3) Im a (t) a (t) ωt
a −ϕ a(t)
Re a (t)
Obrázek 3:
a(t) = a cos(ωt − ϕ) .
Rotující fázor získáme z komplexní amplitudy násobením výrazem eiωt . Protože při násobení komplexních čísel se moduly násobí a argumenty sčítají, a protože číslo eiωt má modul rovný jedné, má rotující fázor modul rovný reálné amplitudě harmonické funkce a jeho argument se lineárně zvětšuje ”rychlostí” ω (obr.3). Přitom průmět rotujícího fázoru do reálné osy se harmonicky mění a vyjadřuje průběh harmonické funkce a(t). Komplexní amplituda harmonické funkce tedy v jediné veličině zahrnuje informaci jak o (reálné) amplitudě harmonické funkce, tak o její fázi při jejím kosínovém vyjádření. Ukážeme dále, že operace derivace a operace komplexní amplitudy jsou záměnné operace. Zřejmě platí (tečkami jsou znázorněny časové derivace) a(t) ˙ = −ωac sin ωt + ωas cos ωt .
Podle definice komplexní amplitudy je
¯˙ = ω(as + iac ) . a Utvoříme-li nyní derivaci rotujícího fázoru, máme a ¯˙ (t) = iω¯ aeiωt . Odtud podle definice rotujícího fázoru plyne, že a ¯˙ = iω¯ a = iω(ac − ias ) = ω(as + iac ) . 7
Tvrzení je tím dokázáno. Zároveň je ukázána metodika výpočtu komplexních amplitud derivací harmonických veličin. Jestliže je a ¯ komplexní amplituda harmonické veličiny (19), je iω¯ a komplexní amplituda její derivace a(t) ˙ = −ac ω sin ωt + as ω cos ωt .
Odtud a z (22) plyne, že pro rotující fázor platí
a(t) ˙ . ω Nechť nyní funkce q(t) je partikulárním řešením rovnice
(24)
a ¯(t) = a(t) − i
q¨(t) + 2DΩ q(t) ˙ + Ω2 q(t) = f (t) s harmonickou pravou stranou f (t) = fc cos ωt + fs sin ωt. Derivací a násobením rovnice výrazem − ωi dostaneme i d i d 2 i d i d q¨(t) − 2DΩ q(t) ˙ − Ω q(t) = − f (t) . ω dt ω dt ω dt ω dt Sečtením posledních dvou rovnic s ohledem na (24) dostaneme −
¨q¯(t) + 2DΩ q¯˙ (t) + Ω2 q¯(t) = f¯(t) .
(25)
Protože při harmonické pravé straně (s budící frekvencí ω) je partikulární řešení popsané rovnice rovněž harmonické s toutéž frekvencí, jsou rotující fázory buzení i partikulárního řešení (ustáleného stavu) definovány. Pohybová rovnice pro tento případ platí i pro zmíněné rotující fázory. Této vlastnosti využijeme pro snadnější určení amplitudových a fázových charakteristik ustálené odezvy kmitavé soustavy na harmonické buzení. Předpokládejme tedy rotující fázor odezvy ve tvaru (¯ q je příslušná komplexní amplituda) q¯(t) = q¯eiωt . Derivacemi odtud q¯˙ (t) = iω q¯eiωt ; ¨q¯(t) = −ω 2 q¯eiωt .
Dosazením do pohybové rovnice (25) získáme po dílčí úpravě (−ω 2 + 2DΩiω + Ω2 )¯ q eiωt = f¯eiωt . Tato identita musí být splněna pro libovolný čas t. Odtud dostáváme mezi komplexními amplitudami buzení a ustálené odezvy vztah q¯ =
f¯ . −ω 2 + 2DΩiω + Ω2
(26)
Reálnou amplitudou X ustálené odezvy je modul tohoto komplexního čísla, tedy X=q
q
fc2 + fs2
(Ω2 − ω 2 )2 + 4D2 Ω2 ω 2
=q
f0 (Ω2 − ω 2 )2 + 4D2 Ω2 ω 2
,
kde f0 je reálná amplituda buzení. Získali jsme amplitudovou charakteristiku (11). Jelikož argument podílu komplexních čísel je rozdíl argumentů čitatele a jmenovatele, 8
dostáváme z (26) pro fázové zpoždění ϕ ustálené odezvy za buzením (jakožto argument jmenovatele (26)) vztahy Ω2 − ω 2 2DΩω cos ϕ = q ; sin ϕ = q . (Ω2 − ω 2 )2 + 4D2 Ω2 ω 2 (Ω2 − ω 2 )2 + 4D2 Ω2 ω 2
Protože sin ϕ ≥ 0, leží fázové zpoždění v intervalu h0; πi, a tedy pro jeho jednoznačné určení stačí pouze první rovnice. Z ní bezprostředně plyne fázová charakteristika (12). Uvažujme nyní speciální případ přechodového děje netlumené soustavy buzené kosínovou složkou harmonické funkce s budící frekvencí ω, při splnění triviálních počátečních podmínek. Pohybová rovnice je m¨ x(t) + kx(t) = F0 cos ωt , kterou zavedením vlastní frekvence Ω píšeme jako F0 . m Řešení píšeme ve tvaru součtu řešení homogenního a partikulárního, tedy x¨(t) + Ω2 x(t) = f0 cos ωt ; f0 =
x(t) = xh (t) + xp (t) .
(27)
(28)
Podle tématu ”volné kmitání” platí pro homogenní řešení xh (t) = A cos Ωt + B sin Ωt .
(29)
Pro případ, že budící frekvence ω je různá od vlastní frekvence Ω, vzhledem k netlumenosti soustavy budeme partikulární řešení odhadovat ve tvaru xp (t) = X cos ωt , kde X je zatím neznámá amplituda, kterou získáme z podmínky, že xp (t) je řešením (27). Zřejmě x¨p (t) = −ω 2 X cos ωt, takže dosazením do (27) po krácení harmonickou 0 funkcí získáme X = Ω2f−ω 2 , a tedy xp (t) =
f0 cos ωt . Ω2 − ω 2
Dosazením této rovnice a (29 do (28) dostaneme
x(t) = A cos Ωt + B sin Ωt + Časovou derivací odtud
f0 cos ωt . Ω2 − ω 2
x(t) ˙ = −AΩ sin Ωt + BΩ cos Ωt −
f0 ω sin ωt . − ω2
Ω2
Dosazením času t = 0 do posledních dvou rovnic a zohledněním triviálních počátečních podmínek dostaneme 0=A+
Ω2
f0 f0 ⇒ A=− 2 ; 0 = BΩ ⇒ B = 0 . 2 −ω Ω − ω2
Úplné řešení pohybové rovnice splňující triviální počáteční podmínky má tedy tvar 9
x(t) =
f0 (cos ωt − cos Ωt) . Ω2 − ω 2
(30)
Přechodový děj, i při nulových počátečních podmínkách, tedy obsahuje jak člen s budící, tak člen s vlastní frekvencí. Zkoumejme nyní stav, kdy budící a vlastní frekvence se od sebe málo liší. Za tím účelem upravme čitatel výrazu (30). Pro libovolné úhly α a β zřejmě platí tzv. součtové vzorce tvaru cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β ,
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β .
Odečtením těchto rovnic získáme
cos(α − β) − cos(α + β) = 2 sin α sin β .
(31)
Abychom mohli tyto výrazy aplikovat na úpravu (30), položme α − β = ωt ; α + β = Ωt .
Sečtením a odečtením těchto rovnic máme
Ω−ω ω+Ω t; β = t. 2 2 Prostřednictvím dosazení těchto vztahů do (31) pak (30) přepíšeme jako α=
x(t) = f0
2 sin ω+Ω t sin ω−Ω t 2 2 . 2 2 Ω −ω
(32)
Nechť Ω − ω = 2ε, kde ε je malé číslo. Potom můžeme se značnou přesností psát Ω + ω = 2ω. Potom Ω2 − ω 2 = (Ω − ω)(Ω + ω) = 4ωε Dosazením do (32) pak f0 sin ωt sin εt . (33) 2ωε Přechodový děj je harmonická funkce s frekvencí ω, přičemž její amplituda se mění harmonicky s frekvencí ε. V časech, kde sin εt = 0 je tato amplituda nulová, zatímco v f0 . Protože hodnota ε je malá, může dojít ke značnému časech, kdy | sin εt| = 1 je rovna 2ωε zesílení amplitudy přechodových kmitů. Tomuto jevu říkáme záznějový jev (zázněje). Protože perioda Tε = 2π je velká, dochází ke změnám amplitudy přechodového děje ε pozvolna. Vzhledem k tomu, že o změnách amplitudy kmitání se základní frekvencí ω rozhoduje absolutní hodnota sin εt, je perioda těchto změn poloviční, tedy πε . Říkáme jí záznějová perioda. Na obr.4 je uveden případ, kdy f0 = 1 ; ω = 2[rad/s] a ε = = 0.05[rad/s]. Základní perioda je proto π, záznějová perioda pak 20π a zesílení (oproti 1 jedničce) je 2ωε = 5. Všechny tyto hodnoty velmi dobře souhlasí s grafem na obrázku. x(t) =
Poznámka: Jestliže se vlastní a budící frekvence (pro výše zkoumaný případ) neliší vůbec, dostáváme v (30) neurčitý výraz. Jestliže příslušnou limitu vypočítáme pomocí L’Hospitalova pravidla, dostaneme
lim
ω→Ω
cos ωt − cos Ωt = lim ω→Ω Ω2 − ω 2
d (cos ωt − cos Ωt) dω d (Ω2 − ω 2 ) dω
10
= lim
ω→Ω
−t sin ωt sin Ωt =t· . −2ω 2Ω
Ukazka zazneju 5
4
3
2
q [m]
1
0
−1
−2
−3
−4
−5 0
20
40
60 cas t [s]
80
100
120
Obrázek 4:
Amplituda kmitání se základní frekvencí pak roste s časem nade všechny meze. Tím jsme pro tento případ dostali tvar přechodového děje v rezonanci. Lze jej interpretovat také jako by záznějová perioda vyrostla nade všechny meze a zároveň by se stejně chovalo i zesílení. Zkoumejme ještě v ustáleném stavu dynamickou sílu přenášenou pružně viskózním členem do rámu. Tato síla, s ohledem na pohybovou rovnici a definici ustáleného stavu, má časový průběh Fd (t) = kxp (t) + bx˙ p (t) . Dosazením z (5) získáme Fd (t) = X[k sin(ωt + ϕb − ϕ) + bω cos(ωt + ϕb − ϕ)] .
Zavedením amplitudy
√ Fd0 = X k 2 + b2 ω 2
(34)
lze tento vztah přepsat na Fd (t) = Fd0 sin(ωt + ϕb − ϕ + ϕs ) .
Pro fázové posunutí dynamické síly vůči ustálené výchylce ϕs platí sin ϕs =
bω k ; cos ϕs = . Fd0 Fd0
Protože všechny veličiny v předchozích výrazech jsou kladné, je zřejmě ϕs ∈ (0; π2 ) a platí pro tuto fázi 11
bω ϕs = arctg k
!
b m · = arctg ω · m k
!
ω = arctg 2D Ω
= arctg (2Dη) .
Důležitá je amplituda harmonické (s budící frekvencí) dynamické síly, daná v (34). Dosazením za X z (11), kde f0 = Fm0 , získáme Amplitudova chrakteristika pomerne sily prenasene vazbou 3 D=0.2 D=0.3 D=0.4 D=0.5 D=0.7 D=1.0
2.5
Fd0/F0
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5 η
2
2.5
3
Obrázek 5:
Fd0 Ovšem
k m
v u F0 u ·t =
m
= Ω2 a
b m
k 2 + b2 ω 2 (Ω2 − ω 2 )2 + 4D2 Ω2 ω 2
= 2DΩ. Odtud Fd0
v u u = F0 · t
v u u u = F0 · t
2 k m
+
2 b m
ω2
(Ω2 − ω 2 )2 + 4D2 Ω2 ω 2
.
Ω4 + 4D2 Ω2 ω 2 . (Ω2 − ω 2 )2 + 4D2 Ω2 ω 2
Závislost FD0 (ω) nazýváme amplitudovou (podle staré normy amplitudo-frekvenční) charakteristikou síly přenášené do rámu. Rozšířením posledního zlomku výrazem 1 (pod odmocninou Ω14 ) a zavedením činitele naladění η = Ωω dostaneme Ω2 Fd0
v u u = F0 · t
1 + 4D2 η 2 . (1 − η 2 )2 + 4D2 η 2
(35)
Velikost dynamické síly (amplituda) závisí na amplitudě buzení F0 , na poměrném útlumu D a na naladění soustavy vzhledem k budící frekvenci. Charakteristika je kvalitativně podobná charakteristice výchylky znázorněné na obr.1. Je znázorněna pro různé poměrné útlumy na obr.5. Pro malé útlumy lze opět vysledovat stav rezonance, kdy amplituda dynamické síly vysoko překračuje amplitudu buzení (je totiž Fd0 (0) = F0 ). Při provozování soustavy v okolí tohoto naladění hrozí nebezpečí destrukce pružně-viskózní vazby na rám. Jak plyne z obrázku, situace je tím horší, čím nižší je poměrný útlum. 12
Kvantifikace tohoto jevu se vede na složitou transcendentní rovnici, jež není analyticky řešitelná. Z obr.5 je patrno, že charakteristika nabývá maxima v bodě ηE a nabývá v něm extrému FFd00 (ηE ). Pro různé poměrné útlumy jsou tyto hodnoty uvedeny v následující tabulce: D ηE Fd0 (ηE ) F0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1.0 0.990 0.965 0.930 0.893 0.856 0.821 0.788 0.707 5.123 2.734 1.995 1.655 1.468 1.353 1.276 1.155 h
Jak plyne z obr.5, procházejí všechny charakteristiky bodem η,
Fd0 F0
i
√ = [ 2, 1].
2. Harmonické buzení nevyváženou rotující hmotností Uvažujme stroj o hmotnosti m pružně-viskózně uložen k rámu vazbou o tlumení b a tuhosti k (viz obr.6) Ve stroji rotuje úhlovou rychlostí ω (staticky) nevyvážený rotor o hmotnosti ∆m s těžištěm vzdáleným od osy rotace o výstřednost e. Rotuje-li rotor konstantní úhlovou rychlostí ω, působí na něj odstředivá síla O = ∆meω 2 . Její svislá složka působí na podélně kmitající stroj jako budící síla. Vodorovná složka je v rovnováze s reakcí ve svislém vedení. Při uvedeném kótování výchylky ze statické rovnovážné polohy snadno odvodíme pohybovou rovnici ve tvaru
O = ∆me ω 2 O sin ϕ
∆m e
ϕ = ωt
m x (t) k
b
Obrázek 6:
m¨ x + bx˙ + kx = O sin ϕ(t) . Protože ω =konst, uvažujeme-li čas t = 0 v okamžiku, kdy ϕ = 0, je ϕ = ωt. Pohybová rovnice má proto tvar m¨ x + bx˙ + kx = ∆meω 2 sin ωt 13
neboli ∆m · eω 2 sin ωt . (36) m Srovnáním s rovnicí (2) vidíme, že fáze buzení ϕb je nulová a amplituda buzení eω 2 závisí na kvadrátu budící frekvence. V ustáleném stavu (běží-li stroj f0 = ∆m m dostatečně dlouhou dobu) má partikulární řešení tvar x¨ + 2DΩ x˙ + Ω2 x =
xp (t) = X sin(ωt − ϕ) ,
kde pro amplitudu X (srovnáním (2) s (36) s přihlédnutím k (11)) platí X=q
Zavedením činitele naladění η =
ω Ω
∆m eω 2 m
(Ω2 − ω 2 )2 + 4D2 Ω2 ω 2
(37)
.
tento vztah přepíšeme v poměrných veličinách jako
Amplitudova chrakteristika pomerne vychylky 3 D=0.2 D=0.3 D=0.4 D=0.5 D=0.7 D=1.0
2.5
X/∆ m*e/m
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5 η
2
2.5
3
Obrázek 7:
X ∆m e m
=q
η2 (1 − η 2 )2 + 4D2 η 2
.
Tyto závislosti na ω (resp. na η) představují amplitudové charakteristiky výchylky. Mají charakter znázorněný na obr.7. Jestliže úhlová rychlost rotace je nízká, výchylka je zanedbatelná. Pro naladění ηmax (blízké jedničce) dochází (pro případ malých útlumů) k prudkému nárůstu výchylky. Nastává nebezpečný stav rezonance. Pak amplituda ustálené výchylky opět klesá (v nadrezonanční oblasti η > 1 ⇔ ω > Ω). I pro vysoké rychlosti ω však tato amplituda neklesá k nule, protože zřejmě jest ∆m e. m Rezonanční extrém ovšem ani zde nenastává pro každý případ podkritického tlumení. lim X(η) =
η→∞
14
Kvantifikace tohoto jevu se provede analytickým určením polohy stacionárního bodu zkoumané amplitudové charakteristiky. Derivujme tedy tuto funkci podle činitele naladění η. Dostaneme d ∆m e X
m
=
q
√ 2η (1 − η 2 )2 + 4D2 η 2 − η 2 2(1−η
dη Odtud po úpravě dostaneme X d ∆m e m
=
2 )(−2η)+8D 2 η
(1−η 2 )2 +4D2 η 2
2
(1 − η 2 )2 + 4D2 η 2
.
2η[(1 − η 2 )2 + 4D2 η 2 ] + 2η 3 (1 − η 2 ) − 4D2 η 3
. 3 [(1 − η 2 )2 + 4D2 η 2 ] 2 Tato derivace je nulová, právě když čitatel předchozího zlomku je nulový. Protože nulové naladění vylučujeme, dostáváme po úpravě jako podmínku stacionárního bodu amplitudové charakteristiky rovnici dη
η 2 (2D2 − 1) + 1 = 0 .
Odtud pro stacionární bod ηE dostáváme
1 . 1 − 2D2 Pro hodnoty extrému pak dosazením η = ηE do charakteristiky dostaneme po úpravě vztah ηE = √
1 ∆m e √ . m 2D 1 − D2 Pro různé poměrné útlumy jsou tyto hodnoty nabývání stacionárních bodů zkoumané amplitudové charakteristiky, jakož i maximální (poměrné) hodnoty této charakteristiky uvedeny v následující tabulce: XE = X(ηE ) =
D ηE X(ηE ) ∆m e m
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1.0102 1.0426 1.1043 1.2127 1.4142 1.8898 7.0711 5.0252 2.5516 1.7471 1.3639 1.1547 1.0417 1.0002
Poznámka: Druhou derivaci funkce zkoumat nebudeme. Z obr.7 je patrno, že stacionární bod je skutečně maximem. Stacionární bod má reálnou hodnotu svého nabývání právě když pod odmocninou je kladné číslo, tedy když √ 1 2 . 2 = 0.707 . 1 − 2D > 0 ⇔ D < √ = 2 2 Pro větší hodnoty poměrného útlumu je amplitudová charakteristika stále rostoucí. Pro amplitudu Fd0 síly přenášené do rámu stroje platí podle (34) a (37)
Fd0
v u u u √ 2t 2 2 2 = X k + b ω = ∆meω
2 k m
+
2 b m
ω2
(Ω2 − ω 2 )2 + 4D2 Ω2 ω 2
v u u = Ot
Ω4 + 4D2 Ω2 ω 2 , (Ω2 − ω 2 )2 + 4D2 Ω2 ω 2
protože amplituda odstředivé síly O = ∆meω 2 . Po zavedení činitele naladění získáme stejnou charakteristiku dynamické síly jako v (35) při F0 = O. 15
3. Kinematické buzení Tento druh buzení vzniká jestliže ”s hmotností m nespojený konec pružiny” vykonává předepsaný pohyb y(t) (viz obr.8). Síly působící ve směru pohybu na uvolněnou hmotu jsou znázorněny na zmíněném obrázku. Elastická síla závisí na relativní výchylce (deformaci pružiny) a tlumící síla na derivaci relativní výchylky (rychlosti deformace pružiny). Pohybová rovnice má tedy tvar k(x−y)
k
.. mx
m b y(t)
. . b(x, y)
f=0
x(t)
Obrázek 8:
m¨ x + b(x˙ − y) ˙ + k(x − y) = 0 .
V absolutní výchylce x (kdy pozorovatel se nachází na rámu) má proto tato pohybová rovnice tvar m¨ x + bx˙ + kx = by˙ + ky neboli x¨ + 2DΩ x˙ + Ω2 x = 2DΩ y˙ + Ω2 y .
(38)
V relativní výchylce z = x−y (kdy pozorovatel se nachází ”na konci pružiny nespojeném s hmotou”) má stejná rovnice zřejmě tvar m(¨ z + y¨) + bz˙ + kz = 0 neboli z¨ + 2DΩ z˙ + Ω2 z = −¨ y.
(39)
y = Y sin(ωt + ψb ) .
(40)
Častý případ kinematického buzení je harmonické buzení, kdy předepsaný pohyb má tvar
Zde Y je amplituda buzení, ψb fáze buzení a ω budící frekvence. Dosazením do (38) získáme pohybovou rovnici v absolutní výchylce jako x¨ + 2DΩ x˙ + Ω2 x = Y [2DΩω cos(ωt + ψb ) + Ω2 sin(ωt + ψb )] . Harmonickou pravou stranu (buzení) lze známou úpravou přepsat na Y
q
Ω4 + 4D2 Ω2 ω 2 sin(ωt + ψb + ψ) , 16
kde pro fázi ψ platí sin ψ = q
2DΩω Ω4 + 4D2 Ω2 ω 2
; cos ψ = q
Ω2 Ω4 + 4D2 Ω2 ω 2
.
Protože všechny veličiny v čitatelích těchto výrazů jsou kladné, je (pro D > 0) ψ ∈ (0; π2 ) a platí ψ = arctg
2Dω = arctg2Dη . Ω
Pohybová rovnice má proto tvar x¨ + 2DΩ x˙ + Ω2 x = Y kde amplituda buzení je F0 = Y a fáze buzení
q
q
Ω4 + 4D2 Ω2 ω 2 sin(ωt + ϕb ) ,
(41)
Ω4 + 4D2 Ω2 ω 2
(42)
ϕb = ψb + ψ . V ustáleném stavu, jemuž odpovídá partikulární řešení rovnice (41), má výchylka xp (t) tvar xp (t) = X sin(ωt + ϕb − ϕ) ,
kde pro amplitudu X (jak plyne srovnáním (41) a (2)) podle (42) a (11) platí v u u X =Yt
v u
u Ω4 + 4D2 Ω2 ω 2 1 + 4D2 η 2 t = Y . (Ω2 − ω 2 )2 + 4D2 Ω2 ω 2 (1 − η 2 )2 + 4D2 η 2
(43)
Fázové zpoždění ustálené odezvy za buzením je dáno výrazem (12). Amplitudová charakteristika výchylky je v tomto případě dána stejným vztahem jako v (35), volíme-li F0 = Y . Pro různé poměrné útlumy D je tato charakteristika znázorněna na obr.5. Opět lze tedy pro nízké poměrné útlumy vysledovat stav rezonance, kdy amplituda X výchylky kmitající hmoty je podstatně větší než amplituda Y výchylky buzení . Dosazením (40) do (39) získáme pohybovou rovnici v relativní výchylce jako z¨ + 2DΩ z˙ + Ω2 z = Y ω 2 sin(ωt + ψb ) .
(44)
Amplituda buzení je závislá na kvadrátu budící frekvence jako u rovnice (36). Srovnáním zmíněných dvou rovnic dostaneme amplitudu Z relativních výchylek v ustáleném stavu, jakožto amplitudu partikulárního řešení zP (t) = Z sin(ωt + ψb − ϕ) rovnice (44), podle e, ve tvaru (37), kde klademe Y = ∆m m Z=Yq
ω2 (Ω2 − ω 2 )2 + 4D2 Ω2 ω 2
=Yq
η2 (1 − η 2 )2 + 4D2 η 2
.
(45)
Z výše řečeného plyne, že zkoumaná amplitudová charakteristika má tvar podle obr.7. Pro dostatečně nízké poměrné útlumy lze tedy i zde vysledovat nebezpečný stav rezonance. 17
Poznámka: Pro dynamickou sílu Fd (t), přenášenou pružně-viskózní vazbou, platí vzhledem k platnosti pohybové rovnice Fd (t) = k[x(t) − y(t)] + b[x(t) ˙ − y(t)] ˙ = −m¨ x(t) .
V ustáleném stavu (kdy x(t) je partikulárním řešením xp (t)) má tato síla tvar Fdp (t) = −m¨ xp (t) = −mω 2 X sin(ωt + ϕb − ϕ) .
Podle (43) její amplituda je Fdp0 Protože m = k · Fdp0
m k
=
k , Ω2
v u u 2 t = −mω Y
Ω4 + 4D2 Ω2 ω 2 . (Ω2 − ω 2 )2 + 4D2 Ω2 ω 2
dostáváme odtud
v u
v u
u Ω4 + 4D2 Ω2 ω 2 1 + 4D2 η 2 ω2 u 2t = Y kη . = Y k 2t 2 Ω (Ω − ω 2 )2 + 4D2 Ω2 ω 2 (1 − η 2 )2 + 4D2 η 2
(46)
Amplitudova chrakteristika pomerne sily 6 D=0.2 D=0.3 D=0.4 D=0.5 D=0.7 D=1.0
5
F/kY
4
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5 η
2
2.5
3
Obrázek 9: Veličina F0 = kY je síla v pružině deformované o amplitudu buzení Y . CharakterisF mají tvar uvedený na obr.9. Pro malé poměrné útlumy (ukazuje se, že tiky poměru Fdp0 0 . to platí pro D < 2√1 2 = 0.3535) mají charakteristiky jedno lokální maximum nabývané F
v bodě ηX o maximální hodnotě Fdp0 (ηX ) a jedno lokální minimum nabývané v bodě ηN 0 Fdp0 o minimální hodnotě F0 (ηN ). V závislosti na poměrném útlumu jsou zmíněné hodnoty uvedeny v tabulce nacházející se v záhlaví následující strany. Pro vyšší poměrné útlumy jsou charakteristiky trvale rostoucí. Fdp0 = ∞. Přenášená síla tedy roste s budicí frekvencí nade Pro D > 0 je η→∞ lim F0 všechny meze. Nebezpečný stav se tedy nachází pro naladění soustavy vysoko v nadrezonanční oblasti. Pro D = 0 dostáváme z (46) 18
D 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32 0.34
Fdp0 (ηX ) F0
ηX 1.011 1.016 1.022 1.029 1.039 1.050 1.063 1.080 1.100 1.125 1.157 1.200 1.269
5.127 4.320 3.751 3.333 3.014 2.766 2.570 2.413 2.288 2.188 2.110 2.051 2.012
Fdp0 = F0
Fdp0 (ηN ) F0
ηN 2.932 2.721 2.557 2.424 2.311 2.212 2.123 2.040 1.960 1.188 1.797 1.705 1.589
1.308 1.374 1.440 1.506 1.572 1.637 1.699 1.760 1.817 1.870 1.918 1.958 1.989
η2 . 1 − η2
(47)
|Fdp0 | |Fdp0 | (η) = 1 a naopak lim (η) = +∞, čemuž odpovídá rezonanční η→1 F0 F0 √ stav pro ω = Ω. Všechny charakteristiky pro libovolné D > 0 procházejí bodem [ 2; 2]. Pak je η→∞ lim
Poznámka: Z (47) plyne, že uvažujeme-li amplitudu včetně znaménka (tedy bez absolutní hodnoty), je tato pro η < 1 kladná a pro η > 1 záporná. Znamená to, že v podrezonanční oblasti je síla ve fázi s buzením a v nadrezonanční oblasti je oproti buzení v protifázi. Limita lim Fdp0 neexistuje, protože lim Fdp0 = +∞ a lim Fdp0 = −∞. η→1
η→1−
η→1+
Nejjednodušší model automobilu jedoucího po nerovné vozovce y(t) je kinematicky buzená soustava s jedním stupněm volnosti podle obr.8. Předepsaný pohyb koná střed nápravy a pružně-viskózní vazbu o parametrech k a b představuje odpružení karoserie. Hmotnost karoserie (včetně pasažérů) je m. Pokud automobil jede stálou rychlostí v0 po harmonické vozovce s délkou vlny λ a s amplitudou Y , jedná se (např.) o buzení funkcí y(t) = Y sin ωt, kde pro budící frekvenci ω platí ω=
2π 2π 2πv0 = λ = . T λ v0
Ustálený pohyb v absolutní výchylce x(t) karoserie potom odráží pocity posádky automobilu při dostatečně dlouhé jízdě po téže vozovce (po utlumení přechodového děje). Karoserie kmitá s amplitudou X, pro kterou podle (43) platí v u
X u 1 + 4D2 η 2 2π v0 ω =t = · . ; η= 2 2 2 2 Y (1 − η ) + 4D η Ω λ Ω
Příslušná charakteristika je znázorněna na obr.5. Vyplývá z něho, že při jízdě nízkou rychlostí kopíruje karoserie vozovku. Pro rychlost padnoucí do rezonanční oblasti odpružení karoserie se její kmity (v závislosti na velikosti poměrného útlumu) mohou i výrazně zesílit. Při jízdě vysokou rychlostí (v silně nadrezonanční oblasti) nestačí karoserie odpovídat na vysokou budící frekvenci středů náprav. Řidič má dobrý pocit z 19
nízkých amplitud vibrací svého pracoviště a téměř veškerý pohyb se odehrává v deformaci odpružení karoserie. Na obr.10 je uvedeno schema přístroje, jenž za jistých okolností může fungovat jako vibrometr (měřit amplitudy kmitání základu) a za jistých okolností může zase fungovat jako akcelerometr (měřit amplitudy zrychlení základu). Přístroj se skládá ze základové desky, ke které jest pružně-viskózní vazbou (o tuhosti k a tlumení b) připojena hmotnost m. S touto základovou deskou je spojen tuhý hřídel, kolem kterého rovnoměrně rotuje kotouč s papírovým povrchem. Kmitající hmota m je pevně spojena s perem, jež na papír kreslí průběh relativní výchylky hmoty m vůči základové desce. Pokud položíme základovou desku na harmonicky kmitající těleso (např. těleso turbíny) o známé budící frekvenci ω a neznámé amplitudě Y , kreslí přístroj (po dostatečně dlouhé době provozu, aby se utlumil přechodový děj) relativní výchylku z(t) = y(t) − x(t) hmoty m. Pro příslušnou změřenou amplitudu Z podle (45) platí
m
k
b
y(t) = Y sin ω t Obrázek 10:
Z η2 . =q Y (1 − η 2 )2 + 4D2 η 2
Přístroj bude přesně měřit amplitudu Y kmitajícího tělesa, právě když bude η2 q
(1 − η 2 )2 + 4D2 η 2
= 1.
Snadnou úpravou odtud získáme řešení této rovnice jako η0 = q
1
1 . pro D < √ = 0.707 . 2 2(1 − 2D2 )
Dosazením do této rovnice z definic činitele naladění, poměrného útlumu a vlastní frekvence přidružené netlumené soustavy ω b η0 = ;D= √ ; Ω0 = Ω0 2 mk0 získáme vztah 20
s
k0 m
Ω0 = odkud
s
v u
!
u b2 k0 ω = = ω t2 1 − , m η0 2mk0
b2 k0 = 2ω 2 1 − m 2mk0
!
.
Z tohoto výrazu lze při známé hmotnosti m a známém tlumícím koeficientu b určit tuhost pružiny přístroje. Tato tuhost splňuje zřejmě kvadratickou rovnici k02 − 2mω 2 k0 + b2 ω 2 = 0 . Pro její kladné řešení zřejmě platí √ k0 = mω 2 + ω m2 ω 2 − b2 . Poznámka: Jestliže nejsme schopni zajistit u přístroje vypočítanou tuhost, pak přístroj nebude měřit amplitudu kmitání přímo, nýbrž přes cejchovací konstantu c = η2 =√ , kterou snadno určíme za zadaných parametrů m, b a k přístroje a ze 2 2 2 2 (1−η ) +4D η
známé budící frekvence ω. Přístroj z obr.10 je schopen rovněž měřit amplitudu zrychlení základu, takže může fungovat jako akcelerometr. Jestliže je předepsán harmonický pohyb základu y(t) = = Y sin ωt, platí zřejmě pro zrychlení tohoto pohybu a(t) = −Y ω 2 sin ωt. Amplituda zrychlení základu je tedy Y ω 2 . Podle (45) bude zřejmě přístroj přesně měřit amplitudu zrychlení základu právě když (Ω2 − ω 2 )2 + 4D2 Ω2 ω 2 = 1 .
(48)
Po úpravě odtud získáváme kvadratickou rovnici pro Ω2 tvaru Ω4 + 2ω 2 (2D2 − 1)Ω2 + ω 4 − 1 = 0 , jejímiž řešeními jsou Ω21,2 = ω 2 (1 − 2D2 ) ±
q
4D2 ω 4 (D2 − 1) + 1 .
k , získáme složitou rovnici, Dosadíme-li do předchozího výrazu D = 2√bmk a Ω2 = m ze které lze, ze známých dvou hodnot veličin m, b, k přístroje z obr.10, určit veličinu třetí, nutnou pro přesné měření amplitudy zrychlení základu uvedeným přístrojem. V ostatních případech přístroj měří tuto amplitudu s cejchovací konstantou
c= q
1
b k ; D= √ . ; Ω2 = m 2 mk (Ω2 − ω 2 )2 + 4D2 Ω2 ω 2
Poznámka: Přístroj je možno rovněž naladit do rezonančního stavu, kdy ω=Ω=
s
k m
a potom podle (48) přístroj měří přesně amplitudu zrychlení základu právě když platí 21
b 1 . D= √ = 2ω 2 2 mk Z posledních dvou rovnic lze při znalosti jedné hodnoty ze tří veličin m, b, k přístroje (a samozřejmě při znalosti budící frekvence ω) určit zbylé dvě hodnoty veličin pro přesnou práci přístroje ve funkci akcelerometru.
4. Periodicky buzené kmity Nechť pro budící funkci F (t), jež vzniká buď vlivem působící síly nebo vlivem kinematického buzení, platí vztah F (t + T ) = F (t) pro libovolné t. Potom funkci F říkáme periodická a nejmenší (kladné) číslo T , pro které předchozí vztah platí, nazveme periodou této funkce. Velkou třídu takových funkcí (například funkce na intervalu délky T po částech spojité a monotónní), lze rozložit ve Fourierovu řadu tvaru F (t) = F0 +
∞ X
(Fic cos iωt + Fis sin iωt) ,
(49)
i=1
jež konverguje k funkci F (t) v každém bodě její spojitosti. (V bodech nespojitosti konverguje k aritmetickému průměru limit zleva a zprava.) Pro koeficienty této trigonometrické řady tzv. Fourierovy koeficienty platí
F0 =
1ZT 2ZT 2ZT F (t)dt ; Fic = F (t) cos iωtdt ; Fis = F (t) sin iωtdt , T 0 T 0 T 0
(50)
kde pro tzv. základní frekvenci ω platí 2π . (51) T V harmonických sčítancích Fourierovy řady se vyskytují přirozené násobky této základní frekvence. Pohybová rovnice kmitající soustavy s periodickou budící funkcí má potom tvar ω=
m¨ x + bx˙ + kx = F0 +
∞ X
(Fic cos iωt + Fis sin iωt) .
i=1
Dělíme-li hmotností a zavedeme-li vlastní frekvenci Ω přidružené netlumené soustavy, poměrný útlum D a amplitudu fi a fázi ϕi i−té harmonické vztahy fi =
q
Fic2 + Fis2 ; sin ϕi =
Fic Fis , cos ϕi = , fi fi
(52)
přepíšeme pohybovou rovnici na tvar ∞ X 1 fi sin(iωt + ϕi ) . F0 + x¨ + 2DΩ x˙ + Ω x = m i=1 2
"
22
#
(53)
Obecné řešení této rovnice je dáno součtem homogenního a partikulárního řešení. Zkoumáme - li ustálený stav soustavy, zajímáme se pouze o partikulární řešení. Nechť xi (t) je partikulární řešení rovnice fi sin(iωt + ϕi ) . m Potom vzhledem k linearitě diferenciální rovnice je x¨i + 2DΩ x˙ i + Ω2 xi =
xp (t) = xst +
∞ X
(54)
xi (t)
(55)
i=1
partikulárním řešením (53), pokud řada (55) konverguje stejnoměrně. Konstanta xst v (55) je statická deformace pružiny o tuhosti k při působení síly F0 a odpovídá partikulárnímu řešení (53) pro konstantní pravou stranu Fm0 (podrobněji viz níže kapitolka 5). Rovnice (54) má harmonickou pravou stranu. Její partikulární řešení má podle kapitolky 3 zřejmě tvar xi (t) = Xi sin(iωt + ϕi − ψi ) ,
(56)
kde (viz (11) a (12)) pro amplitudu Xi a fázové zpoždění ψi i−té harmonické platí Xi =
fi q
ψi = arccos q
Ω2 − i2 ω 2
(Ω2 − i2 ω 2 )2 + 4D2 Ω2 i2 ω 2
Rozšířením rovnice (57) veličinou k (tuhostí) a zavedením Ω2 = tuto rovnici na tvar Xi = q
Rozšířením (58) a (59) výrazem Xi = q
xi st Ω2 (Ω2 − i2 ω 2 )2 + 4D2 Ω2 i2 ω 2
1 Ω2
(57)
,
m (Ω2 − i2 ω 2 )2 + 4D2 Ω2 i2 ω 2
(58)
. k m
, xi st =
; ψi = arccos q
(1 − i2 η 2 )2 + 4D2 i2 η 2
přepíšeme
(59)
.
a zavedením činitele naladění η =
xi st
fi , k
ω Ω
získáme
1 − i2 η 2
(1 − i2 η 2 )2 + 4D2 i2 η 2
.
Dosazením do (56) a pak do (55) vyjádříme partikulární řešení (53) jako xp (t) = xst +
∞ X xi st sin(iωt + ϕi − ψi ) q , i=1
(1 − i2 η 2 )2 + 4D2 i2 η 2
(60)
kde ψi je dáno (58) a ϕi v (52). Pokud existuje konstanta L, že platí odhad (61)
|xi st | ≤ L
pro všechna i, je zřejmě pro dostatečně vysoká i
|xi st sin(iωt + ϕi − ψi )|
kde pro konstantu M platí
q
(1 − i2 η 2 )2 + 4D2 i2 η 2 23
≤
LM , i2
M = lim q i→∞
Řada LM
∞ X 1
i2 (1 − i2 η 2 )2 + 4D2 i2 η 2
.
pak tvoří konvergentní číselnou majorantu k funkcionální Fourierově i2 řadě (60). Zmíněná řada potom konverguje stejnoměrně a její součet tvoří partikulární řešení pohybové rovnice (53). i=1
Příklad: Určete ustálenou odezvu základní soustavy s jedním stupněm volnosti charakterizované parametry m, b, k na periodické buzení ve tvaru obdélníkových pulzů podle obr.11 pro zadanou periodu T .
F(t) 1
0
T/2
3T/2
T
t
−1
Obrázek 11:
Řešení: Pro základní budící frekvenci ω =
2π T
určíme Fourierovy koeficienty. Zřejmě platí
1ZT F0 = F (t)dt = 0 ; T 0 " T # Z T T 2 2 Z 2 T 2 sin iωt|0 − sin iωt| T = cos iωtdt − T cos iωtdt = Fic = 2 T 0 iωT 2
T 1 T 1 sin iω − sin 0 − sin iωT + sin iω = [sin iπ − sin 0 − sin 2iπ + sin iπ] = 0 ; = iπ 2 2 iπ
" T # Z T T 2 Z 2 2 Fis = − cos iωt|02 + cos iωt|TT = sin iωtdt − T sin iωtdt = 2 T 0 iωT 2
1 [− cos iπ + cos 0 + cos 2iπ − cos iπ] . iπ Pro i liché je cos iπ = −1 (cos 0 = cos 2iπ = 1 pro libovolné i), a proto pro tato i jest =
Fis = 24
4 . iπ
Pro i sudé ale cos iπ = 1, takže pro taková i je Fks = 0 . Příslušná Fourierova řada má tedy tvar F (t) =
∞ sin(2i − 1)ωt 4X . π i=1 2i − 1
Částečné součty této řady jsou znázorněny na obr.12 pro dva, jedenáct a devadesát devět sčítanců. Je odtud patrna rychlost konvergence řady.
soucet 2 clenu rady 1 0 −1 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
2
2.5
3
2
2.5
3
soucet 11 clenu rady 1 0 −1 0
0.5
1
1.5 soucet 99 clenu rady
1 0 −1 0
0.5
1
1.5 t[s]
Obrázek 12: Srovnáním s definičními výrazy zjišťujeme,že xi st = a protože (61) je splněno (konstanta L = tvaru xp (t) =
1 4 · , πk 2i − 1 4 ), πk
pak podle (60) řada partikulárních řešení
∞ ω sin[(2i − 1)ωt − ψ2i−1 ] 4 X q , η= πk i=1 (2i − 1) [1 − (2i − 1)2 η 2 ]2 + 4D2 (2i − 1)2 η 2 Ω
konverguje k ustálenému stavu pro zadanou budící funkci. Fázová zpoždění jsou dána v (58) pro index 2i − 1.
25
5. Buzení skokem (konstantou) Tento typ buzení vzniká, když na soustavu (zpravidla v klidu ve statické rovnovážné poloze - tedy triviální počáteční podmínky) naráz (skokem) v čase t = 0 začne působit konstantní budící síla velikosti F0 . Pohybová rovnice má po zavedení parametrů Ω a D tvar F0 . (62) m Tuto diferenciální rovnici řešíme při nulových počátečních podmínkách x(0) = 0; x(0) ˙ = = 0. Zřejmě pro obecné řešení opět platí x¨ + 2DΩ x˙ + Ω2 x =
x(t) = xh (t) + xp (t) ,
(63)
kde homogenní řešení xh (t) je pro D < 1 dáno v (15) v tématu ”volné kmitání”. Partikulární řešení odhadujeme jako konstantu xp (t) ≡ L (ve stejném tvaru, jako je pravá strana). Velikost konstanty L získáme z podmínky, že tato konstanta musí být řešením rovnice (62). Musí tedy platit Ω2 L =
1 F0 m F0 F0 F0 ⇔ L= 2 · = · = = xst , m Ω m k m k
(64)
kde xst je deformace pružiny při statickém působení síly F0 . Dosazením (64) a (15) z tématu ”volné kmitání” do (63) dostáváme √ x(t) = xst + e−DΩt (A cos ΩD t + B sin ΩD t) ; ΩD = Ω 1 − D2 , D < 1.
(65)
Derivací odtud dostaneme
x(t) ˙ = e−DΩt [−DΩ(A cos ΩD t + B sin ΩD t) + ΩD (−A sin ΩD t + B cos ΩD t)] . Dosazením času t = 0 do posledních dvou rovnic a zohledněním daných triviálních počátečních podmínek vyjde
Odtud
x(0) = 0 = xst + A , x(0) ˙ = 0 = −DΩA + ΩD B .
A = −xst , B = Dosazením do (65) vzniká "
x(t) = xst 1 − e
−DΩt
DΩA D = −√ xst . ΩD 1 − D2 !#
D sin ΩD t cos ΩD t + √ 1 − D2
Zavedením v kulaté závorce amplitudy Aˆ vzorcem Aˆ = a fáze γ tak, že
v u u t
12
D + √ 1 − D2 26
!2
=√
1 1 − D2
.
(66)
D 1 D ; cos γ = √ , = 2 ˆ ˆ 1 − D2 A A 1−D
sin γ =
dostaneme konkrétní (triviální počáteční podmínky splňující) řešení ve tvaru x(t) = xst
"
e−DΩt sin(ΩD t + γ) . 1− √ 1 − D2 #
(67)
Prechodova charakteristika mezi nulou a jednickou D=0.1Ω=6.2832 2 x(t) obalky 1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
1
2
3
4 t[s]
5
6
7
8
Obrázek 13: Prechodova charakteristika mezi nulou a jednickou Ω=6.2832 D=0.1 D=0.2 D=0.3 D=0.5 D=0.7 D=0.9
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5 t[s]
3
3.5
4
4.5
5
Obrázek 14: Popsaná závislost se nazývá přechodová charakteristika a má tvar uvedený na obr.13. Na obrázku je uvedena tato charakteristika pro xst = 1, Ω = 2π a D = 0.1. 1 = √1−D Tlumená fázově posunutá sinusoida (s periodou Td = Ω2πD = 2π√2π 2 ) se 1−D2 přibližuje s rostoucím časem k nové statické rovnovážné poloze xst = 1 vycházejíc přitom 27
z počátku, kde má graf vodorovnou tečnu (triviální počáteční podmínky). Na obr.14 je pak ukázána závislost tvaru přechodové charakteristiky na poměrném útlumu pro ostatní parametry stejné. Ze vztahu (67) plyne, že graf přechodové charakteristiky má obálky tvaru xh (t) = xst a
e−DΩt 1+ √ 1 − D2
!
(horní obálka)
e−DΩt xd (t) = xst 1 − √ (dolní obálka) . 1 − D2 Tyto obálky jsou rovněž znázorněny na obr.13. Body dotyku grafu s horní obálkou jsou zřejmě body tih , kde !
1 π D π (3 + 4i) − arccos sin(ΩD tih + γ) = −1 ⇔ ΩD tih + γ = (3 + 4i) ⇔ tih = 2 ΩD 2 1 − D2
pro i přirozené (včetně nuly). Analogicky body dotyku grafu s dolní obálkou jsou body tid , pro které π 1 π D sin(ΩD tid + γ) = 1 ⇔ ΩD tid + γ = (1 + 4i) ⇔ tid = (1 + 4i) − arccos 2 ΩD 2 1 − D2
rovněž pro i = 0, 1, . . . . Určíme ještě největší extrém přechodové charakteristiky. Nutnou podmínkou extrému je podle (66) D dx = −xst e−DΩt −DΩ cos ΩD t + √ 0= sin ΩD t + dt 1 − D2 "
+ ΩD
!
!#
D cos ΩD t − sin ΩD t + √ 1 − D2
.
Protože −xst e−DΩt 6= 0, musí platit
!
neboli
!
D D sin ΩD t = ΩD − sin ΩD t + √ cos ΩD t DΩ cos ΩD t + √ 2 1−D 1 − D2 D cos ΩD t DΩ − ΩD √ 1 − D2
!
D2 Ω + ΩD = 0 . + sin ΩD t √ 1 − D2 !
Protože koeficient u kosinu je identicky nulový a koeficient u sinu nenulový (rovný √ Ω ), je podmínkou extrému sin ΩD ti = 0 ⇔ ΩD ti = iπ (i celé). Největší extrém 1−D2 (uvažujeme samozřejmě t ≥ 0) nastává pro i = 1, takže podle (66) hodnota tohoto maxima je "
xmax = x(t1 ) = xst 1 − e
−Dπ ΩΩ
D
D sin π cos π + √ 1 − D2
!#
−√
= xst 1 + e
D 1−D 2
π
,
√ neboť ΩD = Ω 1 − D2 . Hodnoty relativního bodu nabytí největšího extrému Ωt1 a jsou pro různé poměrné útlumy určeny v následující tabulce: poměru xxmax st 28
D Ωt1 xmax xst
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.005 1.021 1.048 1.091 1.155 1.250 1.400 1.667 2.294 1.729 1.527 1.372 1.254 1.163 1.095 1.046 1.015 1.002
Poznámky: 1. Výraz pro maximální hodnotu extrému přechodové charakteristiky lze využít pro určení neznámého poměrného útlumu soustavy. Z určeného poměru (který změříme) p=
−√ D π xmax = 1 + e 1−D2 (> 1) xst
lze určit poměrný útlum jakožto řešení této rovnice. Vychází D=q
− ln(p − 1)
π 2 + ln2 (p − 1)
.
Poznamenejme, že p < 2, takže ln(p − 1) < 0. 2. Přechodová charakteristika je řešením matematického modelu pérové váhy, na kterou položíme váženou hmotnost nulovou rychlostí do statické rovnovážné polohy. Jestliže např. vážíme hmotnost m [kg], bude nejvyšší vykývnutí váhy ukazovat hmotnost m·p [kg]. Zpětně lze ze změřeného největšího vykývnutí a skutečné hmotnosti (po utlumení děje) metodikou předchozí poznámky určit poměrný útlum pérového závěsu váhy. 3. V případě netlumené soustavy má podle (66) přechodová charakteristika tvar x(t) = xst (1 − cos Ωt). Jedná se tedy o záporně vzatou kosinusoidu posunutou o xst ve směru osy y.
6. Impulzní buzení Tento typ buzení vzniká, když na soustavu ve statické rovnovážné poloze v klidu začne působit síla F (t), mající průběh pulsuRo vysoké hodnotě, trvajícího krátkou dobu T (viz obr.15), kdy předaný impuls je I = 0T F (t)dt [Ns]. Podle věty o změně hybnosti při předání impulsu I hmotě m tato dosahuje startovací rychlosti v0 , pro kterou mv0 = I. Startovací rychlost je počáteční rychlostní podmínkou při řešení volných kmitů. Příslušné řešení při startu ze statické rovnovážné polohy má podle (17) tématu ”volné kmitání” pro D < 1 tvar x(t) =
v0 −DΩt e sin ΩD t . ΩD
Dosadíme do tohoto výrazu v0 =
I I k I = = Ω2 , m km k
čímž vznikne 29
(68)
F(t)
0
t
T
Obrázek 15:
I x(t) = √ e−DΩt sin ΩD t . 2 k 1−D
Této závislosti říkáme impulsní charakteristika. Jedná se o tlumenou sinusoidu s frekvencí ΩD (periodou Td = Ω2πD ). Pro případ I = 1 [Ns], m = 1 [kg] (a tedy v0 = 1 [m/s]) a Ω = 2π , D = 0.1 je zmíněná charakteristika uvedena na obr.16. Charakteristika vychází z počátku a tečna v počátku svírá s osou x úhel 45o , protože rychlostní počáteční podmínka je jednotková a tg45o = 1. Na obr.16 tato skutečnost není patrná, protože obrázek z důvodů lepší průkaznosti nepoužívá stejná měřítka na obou osách. Na ob.17 je pak ukázána závislost tvaru impulzní charakteristiky na poměrném útlumu pro ostatní parametry stejné. Z (68) plyne, že graf přechodové charakteristiky má obálky tvaru I e−DΩt . xhd (t) = ± √ k 1 − D2
Určíme ještě největší extrém impulzní charakteristiky. Derivací (68) vznikne dx v0 = (−DΩ sin ΩD t + ΩD cos ΩD t)e−DΩt . dt ΩD Protože nutnou podmínkou extrému je nulová derivace, dostáváme odtud nutnou podmínku extrému ve tvaru nulové kulaté závorky, kterou splňují takové hodnoty ti , pro které √ 1 − D2 . DΩ sin ΩD ti = ΩD cos ΩD ti ⇔ tgΩD ti = D √ Protože ( 1 − D2 )2 + D2 = 1, plyne odtud, že sin ΩD ti =
√
1 − D2 ; cos ΩD ti = D ⇔ ti =
1 (arccosD + 2iπ) , i celé . ΩD
Z obr.16 je patrno, že největší extrém (pro kladné časy) nastane pro i = 0. Tento extrém má podle (68) hodnotu xmax = x(t0 ) =
D arccosD v0 − √1−D v0 −D Ω arccosD √ 2 · 1 − D2 = . · e ΩD ·e ΩD Ω
Pro různé poměrné útlumy jsou poměrné body nabývání a poměrný nejvyšší extrém uvedeny v následující tabulce: 30
Impulzni charakteristika pro v0=1, D=0.1Ω=6.2832 0.15
x(t) obalky
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15 0
1
2
3
4 t[s]
5
6
7
8
Obrázek 16: Impulzni charakteristika pro v0=1, Ω=6.2832 D=0.1 D=0.2 D=0.3 D=0.5 D=0.7 D=0.9
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5 t[s]
3
3.5
4
4.5
5
Obrázek 17: D Ωt0 xmax Ω v0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.863 0.756 0.672 0.603 0.546 0.499 0.459 0.424 0.394 1.478 1.398 1.327 1.265 1.209 1.159 1.114 1.073 1.035
7. Polynomiální buzení Tento typ buzení vzniká, když soustava je kinematicky buzena předepsaným pohybem y(t) s konstantní rychlostí v0 nebo s konstantním zrychlením a0 (obr.18). Hmotnost m je v čase nula ve statické rovnovážné poloze v klidu. První případ vede na buzení polynomem prvního stupně a druhý na buzení polynomem druhého stupně. V obou případech pro řešení pohybu hmoty při pohledu pozorovatele na rámu (v absolutní výchylce x(t)) platí podle (38) při zavedení známých parametrů Ω a D pohybová 31
k m b x(t)
y(t) =
a0 2 t 2
Obrázek 18:
rovnice x¨ + 2DΩ x˙ + Ω2 x = 2DΩ y˙ + Ω2 y . 1. V případě pohybu konstantní rychlostí klademe y(t) = v0 t. Pohybová rovnice má pak tvar x¨ + 2DΩ x˙ + Ω2 x = 2DΩv0 + Ω2 v0 t .
(69)
Tuto rovnici řešíme podle předpokladů při nulových počátečních podmínkách. Pro podkritické tlumení má homogenní řešení tvar (17) z tématu ”volné kmitání”. Protože nula není kořenem charakteristické rovnice, partikulární řešení odhadujeme ve stejném tvaru jako pravá strana, s prozatím neurčenými koeficienty. Je tedy xp (t) = A0 + A1 t .
(70)
Konstanty Ai určíme z podmínky, že (70) je řešením (69). Příslušným dosazením vznikne identita tvaru 2DΩA1 + Ω2 A0 + Ω2 A1 t = 2DΩv0 + Ω2 v0 t . Tato identita je splněna právě když koeficienty u jednotlivých mocnin času se rovnají. Dostáváme tak A1 = v0 ; 2DΩv0 + Ω2 A0 = 2DΩv0 ⇔ A0 = 0 .
Partikulární řešení má tedy podle (70) tvar xp (t) = v0 t a po sečtení s homogenním řešením v (17) tématu ”volné kmitání” máme pro obecné řešení (69) vztah x(t) = v0 t + e−DΩt (A cos ΩD t + B sin ΩD t) .
(71)
Po derivaci vznikne
x(t) ˙ = v0 + e−DΩt [−DΩ(A cos ΩD t + B sin ΩD t) + ΩD (−A sin ΩD t + B cos ΩD t)] . (72) Dosadíme-li do (71) a (72) t = 0 a zohledníme triviální počáteční podmínky, dostaneme 32
A = 0 ; v0 − DΩA + ΩD B = 0 ⇒ B = −
v0 . ΩD
Dosazením určených integračních konstant do (71) dostaneme konkrétní řešení (69) splňující triviální počáteční podmínky ve tvaru x(t) = v0
e−DΩt t− sin ΩD t . ΩD !
(73)
Průběh řešení pro případ v0 = 1 [m/s], Ω = 2π a D = 0.1 je spolu s funkcí v0 t uveden na obr.19. Strkani vagonu pro v0=1, D=0.1Ω=6.2832 vagon lokotka 1
0.8
x(t) [m]
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6 t[s]
0.8
1
1.2
Obrázek 19: Poznámka: Popsaný případ má praktickou aplikaci v případě, kdy lokomotiva jede konstantní rychlostí v0 a v čase t = 0 narazí do stojícího vagónu a spojí se s ním pružně-viskózním závěsem daných parametrů. Jestliže uvažujeme, že pohyb vagónu nemá na pohyb lokomotivy vliv (lokomotiva je poháněna motorem), pak funkce v0 t vyjadřuje pohyb lokomotivy a x(t) v (73) pohyb vagónu. 2. V případě pohybu konstantním zrychlením klademe y(t) = má pak tvar
a0 2 t. 2
Pohybová rovnice
a0 2 t . (74) 2 Tuto rovnici řešíme opět při nulových počátečních podmínkách. Ze stejného důvodu jako výše píšeme partikulární řešení ve tvaru x¨ + 2DΩ x˙ + Ω2 x = 2DΩa0 t + Ω2
xp (t) = A0 + A1 t + A2 t2 . Dosazením do (74) vznikne identita 33
(75)
2A2 + 2DΩ(A1 + 2A2 t) + Ω2 (A0 + A1 t + A2 t2 ) = 2DΩa0 t + Ω2
a0 2 t . 2
Srovnáním koeficientů odtud dostaneme tři rovnice a0 ; Ω2 A1 + 4DΩA2 = 2DΩa0 ; Ω2 A0 + 2DΩA1 + 2A2 = 0 , 2 ze kterých snadno určíme, že A2 = a20 , A1 = 0 a A0 = − Ωa02 . Dosazením do (75) a sečtením s homogenním řešením v (17) tématu ”volné kmitání” získáme obecné řešení (74) ve tvaru Ω2 A2 = Ω2
x(t) =
a0 2 a0 t − 2 + e−DΩt (A cos ΩD t + B sin ΩD t) . 2 Ω
(76)
Derivací odtud
x(t) ˙ = a0 t + e−DΩt [−DΩ(A cos ΩD t + B sin ΩD t) + ΩD (−A sin ΩD t + B cos Dt)] . (77) Dosadíme-li do (76) a (77) t = 0 a zohledníme triviální počáteční podmínky, dostaneme x(0) = 0 = A −
a0 , x(0) ˙ = 0 = −DΩA + ΩD B . Ω2
Z těchto rovnic vychází A=
a0 DΩ D a0 A= 2 ·√ ; B= . 2 Ω ΩD Ω 1 − D2 Auto s privesem pro a0=1, D=0.1Ω=6.2832
0.35
prives auto prives rov. poloha
0.3
0.25
x(t) [m]
0.2
0.15
0.1
0.05
0 0
0.2
0.4
0.6 t[s]
Obrázek 20: 34
0.8
1
1.2
Dosazením určených integračních konstant do (76) dostaneme konkrétní řešení (74) splňující triviální počáteční podmínky ve tvaru !
"
#
a0 a0 D sin ΩD t − 1 . x(t) = t2 + 2 e−DΩt cos ΩD t + √ 2 Ω 1 − D2
(78)
Průběh řešení (modrá křivka) pro případ a0 = 1 [m/s2 ], Ω = 2π a D = 0.1 je spolu s funkcí a20 t2 (zelená křivka) uveden na obr.20. Červenou křivkou je v obrázku značena funkce a20 t2 − Ωa02 . Poznámka: Popsaný případ má praktickou aplikaci v případě, kdy automobil s přívěsem se rozjíždí (z klidu) konstantním zrychlením a0 . Spojení automobilu s přívěsem je modelováno pružně-viskózním závěsem daných parametrů. Jestliže uvažujeme, že pohyb přívěsu nemá na pohyb automobilu vliv (automobil je poháněn motorem), pak funkce a20 t2 vyjadřuje pohyb automobilu a x(t) v (78) pohyb přívěsu pro pozorovatele na silnici. Je patrno, že přívěs je za automobilem zpožděn o konstantní vzdálenost Ωa02 .
8. Pulzní buzení - metoda Laplaceovy transformace Pokud budící funkce má tvar spojité, po částech polynomiální (např. lineární) funkce, je klasický způsob řešení pohybové diferenciální rovnice kmitavé soustavy s jedním stupněm volnosti příliš komplikovaný. Tyto úlohy řešíme s výhodou metodou Laplaceovy transformace. V dalším tuto transformaci definujeme, ukážeme její základní vlastnosti a potřebné výpočetní postupy. Nechť f (t) je funkce reálné proměnné. Nechť pro alespoň jedno komplexní p existuje integrál F (p) =
Z
0
∞
f (t)e−pt dt .
(79)
Pak komplexní funkci F (p) v (79) nazýváme Laplaceovým obrazem originálu (předmětu) f (t) a píšeme korespondenci F (p) = L{f (t)}. Poznámka: Lze ukázat, že pokud definiční integrál (79) existuje pro komplexní p0 , pak existuje rovněž pro libovolné p, pro které Rep > Rep0 . Laplaceův obraz tedy buď existuje všude v Gaussově rovině, nebo neexistuje nikde, nebo existuje takové reálné ξ, že Laplaceův obraz existuje na polorovině Rep > ξ. Protože funkci e−pt lze snadno derivovat i integrovat, jeví se výhodným výpočetním postupem při určování Laplaceových obrazů známých funkcí integrace po částech (per partes). Snadno tak určíme, že L{t} = p12 ; L{t2 } = p23 . Obecně platí pro n přirozené rekurentní vztah L{tn } =
n! pn+1
,
(80)
kde n! = 1 · 2 · . . . · n. Přímo z definice určíme, že L{eat } =
1 , a libovolné . p−a 35
(81)
Speciálně pro a = 0 dostáváme korespondenci L{1} =
1 . p
(82)
Z definice (79) ihned plyne linearita Laplaceovy transformace. Jestliže tedy L{fi (t)} = n X
= Fi (p), pak L{
ai fi (t)} =
i=1
n X
ai Fi (p) pro libovolné konstanty ai . Tato vlastnost spolu
i=1
s (81) dává korespondenci
q2 q1 + . p − p1 p − p2
L{q1 ep1 t + q2 ep2 t } = 1 , 2
Položíme-li v této relaci q1 = q2 = jednotka), dostaneme eiωt + e−iωt L{cos ωt} = L 2 (
Analogicky pro q1 = −q2 =
1 , 2i
)
(83)
p1 = iω, p2 = −iω (i = 1 = 2
1 1 + p + iω p − iω
!
=
√
p2
−1 je imaginární p . + ω2
(84)
p1 = iω, p2 = −iω odvodíme L{sin ωt} =
p2
ω . + ω2
(85)
Položíme-li dále q1 = q2 = 21 , p1 = α + iω, p2 = α − iω, odvodíme p−α (p − α)2 + ω 2
(86)
ω . (p − α)2 + ω 2
(87)
L{eαt cos ωt} = a analogicky při volbě q1 = −q2 =
1 , 2i
p1 = α + iω, p2 = α − iω odvodíme
L{eαt sin ωt} =
1 Příklad: Určíme originál k Laplaceově obrazu F (p) = p2 +2DΩp+Ω 2 pro 0 ≤ D < 1 a Ω > 0. Tyto parametry mají význam poměrného útlumu a vlastní frekvence přidružené konzervativní soustavy. Řešení: Doplněním jmenovatele na kvadrát získáme
1 1 1 ΩD 1 = = = · . 2 p2 + 2DΩp + Ω2 (p + DΩ)2 + Ω2 − D2 Ω2 (p + DΩ)2 + ΩD ΩD (p + DΩ)2 + Ω2D Vzhledem k linearitě a korespondenci √ (87) získáme originál k zadané funkci jako f (t) = = Ω1D e−DΩt sin ΩD t, kde ΩD = Ω 1 − D2 . Poznámka: Předchozí výsledek píšeme zkráceně ve formě inverzní transformace jako L
−1
(
1 2 p + 2DΩp + Ω2
)
=
1 −DΩt e sin ΩD t . ΩD
Užitím techniky rozkladu na parciální zlomky bychom už teoreticky dokázali nalézt originál k libovolnému obrazu ve formě racionální lomené funkce komplexní proměnné p. Stačilo by umět najít kořeny jmenovatele zmíněné funkce. S ohledem na využití této techniky pro nalezení odezvy na pulzní buzení vyřešíme pouze následující modelový příklad. 36
1 Příklad: Určíme originál k Laplaceově obrazu F (p) = p2 (p2 +2DΩp+Ω 2 ) pro 0 ≤ D < 1 (poměrný útlum) a Ω > 0 (vlastní frekvence přidružené netlumené soustavy). Řešení: Použitím metody rozkladu na parciální zlomky píšeme
p2 (p2
A B Cp + E 1 = 2+ + 2 . 2 + 2DΩp + Ω ) p p p + 2DΩp + Ω2
(88)
V tomto vyjádření hledáme hodnoty zatím neznámých konstant A, B, C a E. Násobíme-li vztah společným jmenovatelem, dostaneme 1 = A(p2 + 2DΩp + Ω2 ) + Bp(p2 + 2DΩp + Ω2 ) + p2 (Cp + E) . Tento vztah je matematicky rovnost polynomů třetího stupně proměnné p. Srovnáním koeficientů po řadě u mocnin p0 , p1 , p2 a p3 získáme soustavu lineárních algebraických rovnic tvaru 1 = AΩ2 0 = A2DΩ + BΩ2 0 = A + B2DΩ + E 0=B+C. Z této soustavy postupně ”od první rovnice ke čtvrté” získáme řešení 1 2D 4D2 − 1 2D A= 2; B=− 3 ; E= ; C= 3 . 2 Ω Ω Ω Ω Dosazením do (88) dostaneme
p2 (p2
2D Ω
1 1 1 = 2 · 2 − + 2 + 2DΩp + Ω ) Ω p p
2D p + 4D2 − 1 Ω p2 + 2DΩp + Ω2
(89)
.
Poslední sčítanec v závorce vztahu (89) upravíme doplněním na kvadrát jako 2D p + 4D2 − 1 Ω p2 + 2DΩp + Ω2
=
2D p Ω
+ 4D2 − 1 . (p + DΩ)2 + Ω2D
Čitatel upravíme přičtením a odečtením stejného výrazu na tvar 2D 2D p + 4D2 − 1 = (p + DΩ − DΩ) + 4D2 − 1 , Ω Ω takže po rozšíření ΩD v posledním sčítanci (89) jest 2D p + 4D2 − 1 Ω p2 + 2DΩp + Ω2
=
2D p + DΩ ΩD 2D2 − 1 · · + . 2 2 Ω (p + DΩ) + ΩD ΩD (p + DΩ)2 + Ω2D
Vzhledem ke korespondencím (86) a (87) dostaneme
2D p + 4D2 − 1 L−1 2Ω p + 2DΩp + Ω2
=e
−DΩt
2D 2D2 − 1 cos ΩD t + sin ΩD t . Ω ΩD
Odtud podle (89), (80) a (82) dostaneme závěrem 37
!
L−1
(
1 2 2 p (p + 2DΩp + Ω2 )
)
2D 2D2 − 1 1 2D + e−DΩt cos ΩD t + sin ΩD t = 2 t− Ω Ω Ω ΩD
!#
"
.
Poznámka: Aby uživatel Laplaceovy transformace nemusel pokaždé dělat takové poměrně technicky náročné výpočty, existují už předpřipravené tabulky originálů a k nim přiřazených Laplaceových obrazů (tzv. slovník Laplaceovy transformace). Slovník o dvaceti nejužívanějších položkách jest k nahlédnutí ve skriptech Zeman, Laš - Dynamika v příkladech. Nutno ovšem poznamenat, že např. výše odvozená korespondence v uvedeném slovníku chybí. Abychom dokázali provést operaci Laplaceovy transformace i na levou stranu pohybové diferenciální rovnice, je třeba umět určit Laplaceův obraz derivací. Pro spojité funkce na intervalu (0, ∞) integrací per partes snadno odvodíme, že pokud platí L{f (t)} = F (p), pak L{f ′ (t)} = pF (p) − f (0+) ,
kde symbol f (0+) má význam limity zprava, kterou můžeme funkci f (t) v bodě nula spojitě dodefinovat. Pro obraz druhé derivace potom máme L{f ′′ (t)} = L{(f ′ (t))′ } = pL{f ′ (t)} − f ′ (0+) = p[pL{f (t)} − f (0+)] − f ′ (0+) = = p2 L{f (t)} − pf (0+) − f ′ (0+) .
Speciálně pro případ funkce, jež splňuje triviální počáteční podmínky v nule, tedy pro kterou platí f (0+) = f ′ (0+) = 0, jest L{f ′ (t)} = pL{f (t)} ; L{f ′′ (t)} = p2 L{f (t)} .
(90)
Pro využití při řešení odezvy na pulzní buzení se nejvíce hodí věta o translaci originálu, jež plyne bezprostředně z definice Laplaceovy transformace užitím substituce v definičním integrálu. Platí tedy pro libovolné nezáporné a L{f (t − a)} = e−pa L{f (t)} .
(91)
f (t) = f1 (t) + f2 (t) + f3 (t) + f4 (t),
(92)
Příklad: Řešení odezvy na pulzní buzení metodou Laplaceovy transformace ukážeme na příkladě základní netlumené soustavy s jedním stupněm volnosti, jež je silově buzena lichoběžníkovým pulzem (obr.21) s časovými konstantami t1 , t2 a t3 . Vzhledem k linearitě soustavy stačí uvažovat jednotkovou hodnotu maximální síly F0 . Vyřešíme (přechodovou) odezvu zmíněné soustavy, jež byla v nulovém čase ve statické rovnovážné poloze v klidu (triviální počáteční podmínky). Řešení: Označme u(t) tzv. jednotkovou funkci, tedy funkci, pro níž u(t) = 0 na intervalu (−∞; 0) a u(t) = 1 na intervalu (0; ∞) (na hodnotě v nule nezáleží). Lichoběžníkový pulz f (t) pak složíme ze čtyř dílčích funkcí (obr.22)
kde f1 (t) =
t 1 u(t); f2 (t) = − (t − t1 )u(t − t1 ); t1 t1 38
f(t) 1
β
α t2
t1
0
t
t3
Obrázek 21:
f1 (t)
fi (t) 1
f4 (t)
β
α t1
0
α
t2
β
t
t3
f3 (t)
f2 (t)
Obrázek 22: t − t2 t − t3 u(t − t2 ); f4 (t) = u(t − t3 ) . (93) t3 − t2 t3 − t2 Zavedením vlastní frekvence Ω soustavy přejde známá pohybová rovnice do tvaru f3 (t) = −
f (t) . m Tuto rovnici řešíme při triviálních počátečních podmínkách. Aplikací Laplaceovy transformace, při použití linearity, věty o obrazu druhé derivace, věty o translaci a korespondence L{t} = p12 , dostaneme pro Laplaceův obraz X(p) = L{x(t)} řešení pohybové rovnice výraz x¨ + Ω2 x =
1 1 1 1 − e−pt1 − e−pt2 + e−pt3 t1 t1 t3 − t2 t3 − t2
,
1 1 1 1 1 − e−pt1 − e−pt2 + e−pt3 2 2 2 mp (p + Ω ) t1 t1 t3 − t2 t3 − t2
.
1 X(p)(p + Ω ) = mp2 2
2
odkud X(p) =
Provedeme rozklad na parciální zlomky tvaru p2 (p2
A B Cp + E 1 = 2+ + 2 , 2 +Ω ) p p p + Ω2
odkud 39
1 = A(p2 + Ω2 ) + Bp(p2 + Ω2 ) + p2 (Cp + E) . Srovnáním koeficientů polynomů u mocnin p0 , p1 , p2 a p3 dostaneme soustavu rovnic 1 = AΩ2 ; 0 = BΩ2 ; 0 = A + E ; 0 = B + C , odkud ihned vyjde A = rovnice pak máme 1 X(p) = mΩ2
1 , Ω2
B = C = 0, E = − Ω12 . Pro Laplaceův obraz řešení pohybové
1 1 − 2 2 p p + Ω2
!
1 1 1 1 − e−pt1 − e−pt2 + e−pt3 t1 t1 t3 − t2 t3 − t2
.
Využitím linearity, věty o translaci a korespondencí (80) pro n = 1 a (85) dostaneme pro originál k tomuto obrazu vztah 1 x(t) = mΩ2
("
t − t1 sin Ω(t − t1 ) t sin Ωt − u(t) − − u(t − t1 )− t1 Ωt1 t1 Ωt1 #
"
#
t − t3 sin Ω(t − t2 ) sin Ω(t − t3 ) t − t2 u(t − t2 ) + u(t − t3 ) − − − t3 − t2 Ω(t3 − t2 ) t3 − t2 Ω(t3 − t2 ) #
"
"
#
)
.
(94)
k 1 Protože mΩ2 = m · m = k, je mΩ 2 = xst , kde xst je deformace pružiny při zatížení jednotkovou silou (obecně maximální silou danou výškou lichoběžníka). Na intervalu (0, t1 ) je u(t) = 1 a u(t − t1 ) = u(t − t2 ) = u(t − t3 ) = 0. Proto (94) zde napíšeme jako
sin Ωt xst t− x(t) = t1 Ω
!
.
Na intervalu (t1 , t2 ) je u(t) = u(t − t1 ) = 1 a u(t − t2 ) = u(t − t3 ) = 0. Proto (94) zde napíšeme jako x(t) = xst
"
sin Ω(t − t1 ) − sin Ωt 1+ . Ωt1 #
Na intervalu (t2 , t3 ) je u(t) = u(t − t1 ) = u(t − t2 ) = 1 a u(t − t3 ) = 0. Proto (94) zde napíšeme jako x(t) = xst
sin Ω(t − t1 ) − sin Ωt sin Ω(t − t2 ) t − t2 + + . 1− t3 − t2 Ωt1 Ω(t3 − t2 ) #
"
Na intervalu (t3 , ∞) je u(t) = u(t − t1 ) = u(t − t2 ) = u(t − t3 ) = 1 . Proto (94) zde napíšeme jako xst sin Ω(t − t1 ) − sin Ωt sin Ω(t − t2 ) − sin Ω(t − t3 ) + . x(t) = Ω t1 t3 − t2 "
#
Posledními čtyřmi výrazy je na celém intervalu (0; ∞) definováno řešení pohybové rovnice pro dané buzení. Toto řešení je pro případ xst = 1 (a tedy k = 1), t1 = 0.5, t2 = 1.5, t3 = 3 a různá Ω (tedy různé m = Ω12 ) znázorněno na obr.23. Jestliže volíme t2 = t1 , dostáváme speciální případ lichoběžníkového impulzu, a sice trojúhelníkový impulz. Pro tento případ (a jinak stejné další parametry) byla předchozí rovněž úloha řešena. Grafický výsledek je uveden na obr.24. 40
Lichobeznikovy pulz pro xst=1 buzeni odezva Ω=5 odezva Ω=15 odezva Ω=30
1.5
1
0.5
0
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
t[s]
Obrázek 23:
Trojuhelnikovy pulz pro xst=1 buzeni odezva Ω=5 odezva Ω=15 odezva Ω=30
1.5
1
0.5
0
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
t[s]
Obrázek 24:
Poznámka: Pokud bychom vůbec nezadávali časy t3 a t2 , dostali bychom řešení pouze pomocí prvních dvou vzorců závěru předchozího příkladu s tím, že druhý výraz platí pro interval (t1 ; ∞). Jednalo by se o tzv. konstantní buzení s lineárním náběhem. 41
Případy obdélníkového pulzu (tedy t1 = 0 a zároveň t2 = t3 ) nelze řešit přímou aplikací odvozených vztahů (ani limitním přechodem). Tuto úlohu bychom museli řešit od samého začátku znova. Metodu Laplaceovy transformace lze využít i na řešení pohybové rovnice pro obecné buzení. Je k tomu potřeba zavést jeden nový pojem. Nechť f (t) a g(t) jsou dvě spojité funkce. Jejich konvolucí nazveme funkci (f ∗ g)(t) definovanou jako (f ∗ g)(t) =
Z
t
0
f (τ )g(t − τ )dτ .
(95)
Záměnou integračních znamení se snadno ověří, že platí F (p) = L{f (t)}, G(p) = L{g(t)} ⇒ F (p)G(p) = L{(f ∗ g)(t)} . Poznámka: Toto tvrzení lze interpretovat dvojím způsobem: 1. Laplaceův obraz konvoluce je roven součinu Laplaceových obrazů funkcí vstupujících do konvoluce jako operandy. 2. Originál k součinu dvou Laplaceových obrazů je roven konvoluci originálů k příslušným činitelům. Řešme nyní úlohu určit odezvu základní kmitavé tlumené soustavy s jedním stupněm volnosti při buzení mf (t), kde m je hmotnost soustavy a f (t) libovolná budící funkce, pro kterou existuje Laplaceův obraz. Pro jednoduchost předpokládejme triviální počáteční podmínky (hmota ve statické rovnovážné poloze a před působením buzení je v klidu). Po dělení hmotností a zavedení poměrného útlumu D a vlastní frekvence Ω přidružené netlumené soustavy bude mít pohybová rovnice známý tvar x¨ + 2DΩ x˙ + Ω2 x = f (t) , jíž řešíme při nulových počátečních podmínkách. Provedením Laplaceovy transformace dostaneme pro obraz řešení X(p) = L{x(t)} rovnici p2 X(p) + 2DΩpX(p) + Ω2 X(p) = F (p) , kde F (p) je Laplaceův obraz budící funkce. Odtud X(p) =
p2
F (p) = F (p)G(p) , + 2DΩp + Ω2
kde jsme označili G(p) =
p2
1 . + 2DΩp + Ω2
(96)
Obraz řešení pohybové rovnice jsme vyjádřili jako součin obrazu budící funkce a funkce (96). Tuto funkci nazýváme frekvenční přenos soustavy. Originál, tedy řešení pohybové rovnice x(t), lze proto psát ve tvaru konvoluce budící funkce a originálu k frekvenčnímu přenosu. Tento originál obvykle nazýváme impulzní funkcí g(t). Podle výše řešeného příkladu dostaneme pro podkritické tlumení impulzní funkci ve tvaru g(t) =
1 −DΩt e sin ΩD t . ΩD 42
(97)
Podle věty o konvoluci je řešením odezvy konvoluce budící a impulzní funkce. Tedy odezva se vyjadřuje ve formě x(t) =
Z
0
t
1 Zt f (τ )g(t − τ )dτ = f (τ )e−DΩ(t−τ ) sin ΩD (t − τ )dτ . ΩD 0
(98)
Tento tzv. konvoluční integrál lze pro některá buzení řešit kvadraturami, obecně například obdélníkovou numerickou metodou. Závěrem této kapitolky definujeme ještě několik pojmů, pomocí nichž precizujeme pojem ”funkce”, která stojíc na pravé straně pohybové rovnice jako buzení, vykazuje odezvu rovnou impulzní funkci g(t). Podle výše odvozených poznatků by to musela být ”funkce”, jejíž Laplaceův obraz je jednotkový. Žádná taková funkce ve smyslu matematické analýzy ale neexistuje. Musíme proto pojem funkce poněkud zobecnit. K tomu budeme potřebovat jeden pomocný pojem. Přípustnou funkcí nazveme nekonečně hladkou funkci ϕ(t), která jest vně nějakého uzavřeného intervalu nulová. Říkáme, že posloupnost funkcí {fn } slabě konverguje k objektu f , jestliže platí lim n→∞
Z
∞
fn (t)ϕ(t)dt =
−∞
Z
∞
f (t)ϕ(t)dt
−∞
pro libovolnou přípustnou funkci ϕ(t). Objekt f je obecnější než klasická funkce a nazýváme jej distribucí definovanou posloupností funkcí {fn (t)}. Stěžejní význam má distribuce definovaná posloupností {fn (t)}, pro kterou fn (t) = n pro 0 ≤ t ≤ n1 a fn (t) = 0 jinde. Tato distribuce se nazývá Diracova distribuce (nesprávně Diracova funkce) a značí se δ(t). Z věty o středníR hodnotě lze poměrně ∞ snadno dokázat, že pro libovolnou přípustnou funkci ϕ(t) je −∞ δ(t)ϕ(t)dt = ϕ(0). Laplaceův obraz Diracovy distribuce je definován jako L{δ(t)} = n→∞ lim
Z
0
∞
fn (t)e−pt dt ,
kde {fn (t)} je výše uvedená posloupnost, jež Diracovu distribuci definuje. Podle uvedené integrální vlastnosti Diracovy distribuce pak je L{δ(t)} = e0 = 1. Posloupnost, která definuje Diracovu distribuci představuje z hlediska mechaniky budící sílu, která je nulová všude, kromě intervalu délky n1 , kde má (vysokou) hodnotu n. Přitom časový integrál je pro každý člen této posloupnosti roven jedné. Každý člen této posloupnosti je tedy nositelem jednotkového impulzu síly. Diracova distribuce je slabá (nikoliv normální) limita této posloupnosti. Poznámka: Normální limita této posloupnosti je totiž (”normální”) funkce, která je všude nulová, až na bod nula, ve kterém má nekonečně velkou hodnotu. Tato funkce by měla nulový integrál a tedy by ”nepřenášela žádný impulz”. To je důvodem, proč se zavádí distribuce jako slabá limita posloupnosti funkcí i v mechanice. Jestliže buzení je výše popsaného impulzního charakteru, formulujeme pohybovou rovnici s Diracovou distribucí na pravé straně. Jestliže na rovnici x¨ + 2DΩ x˙ + Ω2 x = δ(t) aplikujeme Laplaceovu transformaci, dostaneme pro nulové počáteční podmínky pro obraz řešení X(p) výraz p2 X(p) + 2DΩpX(p) + Ω2 X(p) = 1 , 43
takže obraz řešení je roven frekvenčnímu přenosu a tudíž řešení, jakožto originál, je impulzní funkcí x(t) =
1 −DΩt e sin ΩD t . ΩD
Poznámka: Jestliže každý člen posloupnosti definující Diracovu distribuci násobíme (stejnou) konstantou I, definujeme tím distribuci, kterou lze označit Iδ(t). Buzení, jež je popsáno touto distribucí je nositelem impulzu síly rovného I[Ns]. Aby soustava měla pohybovou rovnici jak je uvedena v předchozím textu, musí mít podle této interpretace na pravé straně distribuci mδ(t). Řešení odezvy na impulzní buzení, jež bylo ukázáno v kapitolce 5, lze ve stejném tvaru získat i aplikací metody Laplaceovy transformace.
Obsah 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Silové harmonické buzení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Harmonické buzení nevyváženou rotující hmotností . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Kinematické buzení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Periodicky buzené kmity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Buzení skokem (konstantou) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Impulzní buzení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Polynomiální buzení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Pulzní buzení - metoda Laplaceovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
44
