UKURAN GEJALA PUSAT & UKURAN LETAK
UKURAN GEJALA PUSAT & LETAK • •
Untuk mendapatkan gambaran yang jelas mengenai suatu populasi atau sampel Ukuran yang merupakan wakil kumpulan data mengenai populasi atau sampel Ukuran gejala pusat : • Rata-rata/rata-rata hitung • Rata-rata ukur • Rata-rata harmonis • Modus
Ukuran letak : • Median • Kuartil • Desil • Persentil
Catatan: • Ukuran yang dihitung dari data dalam sampel disebut Statistik • Ukuran yang dihitung dari data dalam populasi disebut parameter
Rata-rata Hitung
( )
Rumus untuk menentukan rata-rata hitung X : n
x1 + x2 + ... + xn X= n
atau
dalam bentuk sederhana:
X=
∑x i =1
i
n
x ∑ X=
i
n
Contoh : Nilai ujian dari lima mahasiswa untuk mata kuliah statistika adalah : 70,69,45,80, dan 56. Hitung rata-rata nilai kelima mahasiswa tersebut!
70 + 69 + 45 + 80 + 56 X= = 64 5
Bila xi menyatakan nilai data, dan fi menyatakan frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian, maka:
fx ∑ X= ∑f
i i i
Xi
fi
Xi
fi
Xifi
70 69 45 80 56
5 6 3 1 1
70 69 45 80 56
5 6 3 1 1
350 414 135 80 56
Contoh :
Jumlah
X=
16 1035
(5 x70) + (6 x69) + (3x45) + (1x80) + (1x56) = 1035 = 64,6875 5 + 6 + 3 +1+1
fx ∑ X= ∑f
i i i
16
=
1035 = 64,6875 16
Rata-rata Gabungan Rata-rata gabungan dari k buah sampel dihitung dengan rumus:
nx ∑ X= ∑n
i i i
Contoh : Tiga sampel masing-masing berukuran 10, 6, dan 8. Sedangkan rat-ratanya masing-masing 145, 118, dan 162. Hitung rata-rata gabungannya!
X=
(10 x145) + (6 x118) + (8 x162) = 3454 =143,9166667 10 + 6 + 8
24
Data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi
fx ∑ X= ∑f
i i i
xi = Tanda kelas = mid point
Rata-rata Gabungan Data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi
fx ∑ X= ∑f
i i i
Contoh : Nilai
fi
Xi
31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100
2 3 5 14 24 20 12
35,5 71 45,5 136,5 55,5 277,5 65,5 917 75,5 1812 85,5 1710 95,5 1146
Jumlah
80
6070
6070 X= = 75,875 80
fiXi
Cara 2 : Cara Coding/Cara Singkat • • • •
Ambil salah satu tanda kelas (Xo) Harga Xo diberi nilai C = 0 Tanda kelas > Xo berturut-turut diberi nilai C=+1, C=+2, dst Tanda kelas < Xo berturut-turut diberi nilai C=-1, C=-2, dst
Jika panjang kelas interval (p)
∑ f i ci X = x0 + p ∑f i
Xo = mean duga, kelas interval yang memiliki frekuensi terbesar
Nilai
fi
Ci
fiXi
31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100
2 3 5 14 24 20 12
-4 -3 -2 -1 0 +1 +2
-8 -9 -10 -14 0 +20 +24
Jumlah
80
+3
∑ f i ci X = x0 + p ∑f i 3 X = 75,5 + 10 80 X = 75,5 + 0,375 X = 75,875
Rata-rata Ukur Jika kita memiliki perbandingan tetap atau hampir tetap, maka rata-rata ukur U didefinisikan sebagai:
U = n x1.x2 .x3 .....xn Contoh : Hitung rata-rata ukur untuk data x1 = 2, x2=4 dan x3=8
U = 3 2.4.8 = 4 Untuk bilangan-bilangan bernilai besar:
log x ∑ log U =
i
n
1 log U = (log 2 + log 4 + log 8) 3 1 = (0,3010 + 0,6021 + 0,9031) 3 = 0,6021 U =4
Untuk fenomena bersifat tumbuh (pertumbuhan penduduk, bakteri, dll), digunakan rata-rata ukur:
x Pt = p0 1 + 100
t
Po = Keadaan awal atau permulaan Pt = keadaan akhir t = Satuan waktu yang digunakan
x = Rata − rata pertumbuhan setiap satuan waktu Contoh : Penduduk Indonesia pada akhir tahun 1946 ada 60 juta, akhir tahun 1956 ada 78 juta. Berapa rata-rata pertumbuhan penduduk setiap tahun? Po = 60 juta Pt = 78 juta t = 10 tahun
t
x Pt = p0 1 + 100 10 x 78 x106 = 60 x106 1 + 100 x log 78 = log 60 + 10 log1 + 100
x = 2,67
Laju rata-rata pertumbuhan = 2,67% tiap tahun
Rata-rata Ukur Data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi
( f log x ) ∑ log U = ∑f i
i
i
Contoh : Data nilai 80 Mahasiswa Nilai
fi
Xi
log Xi
filog Xi
31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100
2 3 5 14 24 20 12
35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5
1,5502 1,6580 1,7443 1,8162 1,8779 1,9320 1,9800
3,1004 4,9740 8,7215 25,4268 45,0696 38,6400 23,7600
Jumlah
80
-
-
149,6923
149,6923 log U = 80 =1,8712 U = 74,3361
Rata-rata Harmonis (H) Rata-rata harmonis dari data x1,x2, …,xn dalam sebuah sampel berukuran n, adalah:
H=
n
1 ∑x i
Contoh : Hitung rata-rata harmonis untuk data 3, 5,6,6,7,10, dan 12
7 H= = 5,87 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + 3 5 6 6 7 10 12 Ahmad bepergian pulang pergi. Waktu pergi melakukan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20 km/jam. Berapa rata-rata kecepatan pulang pergi Ahmad?
2
1 H= =13 km / jam 1 1 3 + 10 20
Rata-rata Harmonis (H) Data dalam daftar distribusi frekuensi;
f ∑ H= f ∑x
i
i
Contoh :
Nilai
fi
xi
fi/xi
31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100
2 3 5 14 24 20 12
35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5
0,0563 0,0659 0,0901 0,2137 0,3179 0,2339 0,1257
Jumlah
80
-
1,1035
Untuk nilai statistika 80 mahasiswa:
H=
H ≤U ≤ x
80 = 72,4966 1,1035
MODUS Modus merupakan suatu nilai yang sering banyak muncul
Contoh : Sampel dengan data sebagai berikut: 20,80,75,60,50,85,45,60, dan 90
Sampel dengan data sebagai berikut: 20,80,75,60,50,85,45,65, dan 90
Modus = 60
Tidak ada Modus
Modus Data dalam daftar distribusi frekuensi:
b1 Mo =b+ p b1 +b2
dengan: Mo = Modus b = Batas bawah kelas modal (kelas interval dengan frekuensi terbanyak) p = Panjang kelas b1 = Frekuensi kelas modal – frekuensi kelas interval sebelumnya b2 = Frekuensi kelas modal – frekuensi kelas interval berikutnya Contoh : Data untuk 80 mahasiswa Nilai
fi
31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100
2 3 5 14 24 20 12
Jumlah
80
b1 Mo =b+ p b1 +b2 24−14 Mo =70,5+10 24−14+24− 20 10 =70,5+10 14 =77,6429
Modus dari sekumpulan data bisa lebih dari satu Contoh : Diberikan data sebagai berikut: Nilai
fi
75 60 92 64 35
8 7 8 7 2
ada 2 modus, yaitu 75 dan 92
MEDIAN Median merupakan suatu nilai yang membagi dua suatu deretan nilai (distribusi frekuensi), sehingga banyaknya pengamatan di kedua bagian Itu sama Contoh : Sampel dengan data sebagai berikut: 4,12,5,7,8,10, dan 10 Setelah disusun nilainya: 4,5,7,8,10, 10, 12
Median = 8
Untuk data berukuran genap, setelah disusun urutan nilainya, Mediannya merupakan rata-rata hitung dari dua data tengah Contoh : Sampel dengan data sebagai berikut: 12,7,8,14, 16, 19, 10, dan 8 Setelah disusun nilainya: 7,8,8,10, 12,14,16,19
Me =
1 (10 + 12) =11 2
Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi
n −F Me =b+ p 2 f dengan: Me = Median b = Batas bawah kelas median (kelas dimana Me terletak) p = Panjang kelas Me n = ukuran sampel (banyak data) F = Jumlah frekuensi sebelum kelas median f = Frekuensi kelas Me
Contoh : Data untuk 80 mahasiswa Nilai
fi
31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100
2 3 5 14 24 20 12
Jumlah
80
Setengah dari seluruh data ada 40 buah (n) Median terletak di kelas interval kelima Dari kelas Median diperoleh: b = 70,5
p = 10
f = 24
F = 24
n −F Me =b+ p 2 f 80 −24 =77,1667 Me =70,5+10 2 24
Untuk
x , Me dan Mo yang sama besarnya, maka kurva halusnya simetris Bentuk Kurva Norma
x
Me
Mo
Untuk kurva halus positif (Skewness) Positif atau negatif, secara empiris ditemukan hubungan , Me dan Mo sebagai berikut:
x
x − M o = 3 (x − M e ) Dalam grafik, kedudukan ketiga nilai tersebut adalah:
Mo
Me
x
Skewness Positif
x
Me Mo
Skewness Negatif
Kwartil, Desil dan Persentil • Jika sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama, sesudah disusun menurut urutan nilainya, maka bilangan pembaginya disebut kwartil • Ada tiga buah kwartil, yaitu kwartil pertama (K1), kwartil kedua (K2), kwartil ketiga (K3) • Pemberian nama dimulai dari nilai kwartil terkecil Bagimana menentukan letak Kwartil ??? Menentukan nilai kwartil: • Susun data menurut urutan nilainya • Tentukan letak kwartil • Tentukan nilai kwartil Letak kwartil ditentukan dengan rumus: Letak K = Data ke i(n + 1) i
4
i = 1,2,3)
Contoh: Sampel dengan data: 75,82,66,57,97,64,56,92,94,86,52,60,70 Setelah disusun: 52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94,97
1(13 + 1) 1 = Data ke 3 Letak K1 = Data ke 4 2 Yaitu antara data ke 3 dan ke 4, setengah jauhnya dari data ke 3 Nilai K1 = Data ke 3 + ½ (Data ke 4 – Data ke 3)
1 K1 = 57 + (60 − 57 ) = 58,5 2 2(13 + 1) K 2 = 70 Letak K 2 = Data ke = Data ke 7 4 3(13 + 1) 1 Letak K 3 = Data ke = Data ke10 4 2 Yaitu antara data ke 10 dan ke 11, setengah jauhnya dari data ke 10
1 K 3 = 86 + (92 − 86) = 89 2
Cara lain i(n + 1) Letak K i = 4
Letak K i = a, b
i = 1,2, dan 3 (baca: a koma b)
K i = x(a) + 0, b (x(a +1) − x(a ) )
Contoh :
1(13 + 1) Letak K1 = = 3,5 4 K i = x(a ) + 0, b (x(a +1) − x(a ) )
K1 = x(3) + 0,5 (x(3+1) − x(3 ) ) K1 = x(3) + 0,5 (x(4 ) − x(3 ) ) K1 = 57 + 0,5 (60 − 57 ) K1 = 57 + 0,5 (3)
K1 = 58,5
a = 3 dan b = 5)
Kwartil untuk data yang disusun dalam distribusi frekuensi
Kwartil ditentukan dengan rumus:
in −F Ki =b+ p 4 f
dengan: b = Batas bawah kelas Ki (kelas dimana Ki akan terletak) p = Panjang kelas Ki F = Jumlah frekuensi sebelum kelas Ki f = Frekuensi kelas Ki
Contoh : Data untuk 80 mahasiswa Untuk menetapkan K3 diperlukan data Nilai fi 3/4 x 80 = 60 data 31-40 2 Maka K3 terletak pada kelas interval ke-6 41-50 3 Dari kelas K3 diketahui: b = 80,5; p = 10; f = 20 51-60 5 dan F = 48 61-70 14 71-80 24 Dengan i = 3 dan n = 80 81-90 20 in 91-100 12 Jumlah
80
75% dari mahasiswa mendapat nilai ujian ≤ 86,5, sedangkan 25% lagi mendapat nilai ujian > 86,5
−F Ki =b+ p 4 f 3x80 −48 K3 =80,5+10 4 20 Ki =86,5
Desil • Jika sekumpulan data dibagi menjadi 10 bagian yang sama, maka didapat sembilan pembagi, tiap pembagi disebut DESIL • Ada 9 buah desil, disingkat D1, D2, …,D9 (desil pertama, desil kedua, dst) Bagimana menentukan letak desil??? Menentukan nilai desil: • Susun data menurut urutan nilainya • Tentukan letak desil • Tentukan nilai desil Letak desil ditentukan dengan rumus:
i(n + 1) Letak D i = Data ke 10 (i = 1,2,…9)
Contoh: Sampel dengan data: 75,82,66,57,97,64,56,92,94,86,52,60,70 Setelah disusun: 52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94,97
7(13 + 1) = Data ke 9,8 Letak D 7 = Data ke 10 Yaitu antara data ke 9 dan ke 10, 0,8 jauhnya dari data ke 9 Nilai D7 = Data ke 9 + 0,8 (Data ke 10 – Data ke 9)
D 7 = 82 + 0,8 (86 − 82) = 85,2 Coba Anda tentukan letak desil yang lain!!!
Cara lain i(n + 1) Letak Di = 10
Letak D i = a, b Contoh :
i = 1,2,…,9 (baca: a koma b)
D i = x(a) + 0, b (x(a +1) − x(a ) )
7(13 + 1) a = 9 dan b = 8) Letak D7 = = 9,8 10 Di = x(a) + 0, b (x(a +1) − x(a ) )
D 7 = x(9) + 0,8 (x(9+1) − x(9 ) ) D 7 = x(9) + 0,8 (x(10 ) − x(9 ) ) K i = 82 + 0,8 (86 − 82) D 7 = 82 + 0,8 (4 ) D 7 = 85,2
Desil untuk data yang disusun dalam distribusi frekuensi
Desil ditentukan dengan rumus:
in −F Di =b+ p 10 f (i = 1,2,…9)
dengan: b = Batas bawah kelas Di (kelas dimana Di akan terletak) p = Panjang kelas Di F = Jumlah frekuensi sebelum kelas Di f = Frekuensi kelas Di
Contoh : Data untuk 80 mahasiswa Untuk menetapkan D3 diperlukan data Nilai fi 3/10 x 80 = 24 data 31-40 2 Maka D3 terletak pada kelas interval ke-4 41-50 3 Dari kelas D3 diketahui: b = 60,5; p = 10; f = 14 51-60 5 dan F = 10 61-70 14 71-80 24 Dengan i = 3 dan n = 80 81-90 20 in 91-100 12 Jumlah
80
−F Di =b+ p 10 f 3x80 −10 D3 =60,5+10 10 14 D3 =70,5
Persentil Jika sekumpulan data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, maka didapat 99 pembagi, tiap pembagi disebut PERSENTIL
Bagimana menentukan letak persentil??? Menentukan nilai persentil: • Susun data menurut urutan nilainya • Tentukan letak persentil • Tentukan nilai persentil Letak desil ditentukan dengan rumus:
i(n + 1) Letak Pi = Data ke 100 (i = 1,2,…,99)
Contoh: Sampel dengan data: 75,82,66,57,97,64,56,92,94,86,52,60,70 Setelah disusun: 52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94,97
10(13 + 1) = Data ke1,4 Letak P10 = Data ke 100 Yaitu antara data ke 1 dan ke 2, 0,4 jauhnya dari data ke 1 Nilai P10 = Data ke 1 + 0,4 (Data ke 2 – Data ke 1)
P10 = 52 + 0,4 (56 − 52 ) = 53,6 Coba Anda tentukan letak persentil yang lain!!!
Cara lain i(n + 1) Letak Pi = 100
Letak Pi = a, b Contoh :
i = 1,2,…,99 (baca: a koma b)
Pi = x(a) + 0, b (x(a +1) − x(a ) )
10(13 + 1) a = 1 dan b = 4) Letak P10 = =1,4 100 Pi = x(a ) + 0, b (x(a +1) − x(a ) )
P10 = x(1) + 0,4 (x(1+1) − x(1) )
P10 = x(1) + 0,4 (x(2 ) − x(1) )
P10 = 52 + 0,4 (56 − 52 ) P10 = 52 + 0,4 (4 )
P10 = 53,6
Persentil Untuk Data Yang Disusun Dalam Distribusi Frekuensi
Persentil ditentukan dengan rumus:
in − F Pi =b+ p 100 f (i = 1,2,…,99)
dengan: b = Batas bawah kelas Pi (kelas dimana Pi akan terletak) p = Panjang kelas Pi F = Jumlah frekuensi sebelum kelas Pi f = Frekuensi kelas Pi
Contoh : Data untuk 80 mahasiswa Untuk menetapkan P10 diperlukan data Nilai fi 10/100 x 80 = 8 data 31-40 2 Maka P3 terletak pada kelas interval ke-3 41-50 3 Dari kelas P10 diketahui: b = 50,5; p = 10; f = 5 51-60 5 dan F = 5 61-70 14 71-80 24 Dengan i = 10 dan n = 80 81-90 20 in 91-100 12 Jumlah
80
−F Pi =b+ p 100 f 10x80 −5 P10 =50,5+10 100 5 P10 =56,5
