1. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan luas 180 m2. Jika perbandingan panjang dan lebarnya sama dengan 5: 4, maka panjang diagonal bidang tanah tersebut ada‐lah … E. 81 m A. 9m C. 6 41 B. m D. 9 41 m 2. Suatu area berbentuk persegi panjang, di tengah‐ nya terdapat kolam renang berbentuk persegi panjang yang luasnya 180 m2. Selisih panjang dan lebar kolam adalah 3 m. Di sekeliling kolam renang dibuat jalan selebar 2 m. Maka luas jalan tersebut adalah … m2 A. 24 C. 68 E. 124 B. 54 D. 108 3. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk dan 1 kg anggur adalah Rp70.000,00 dan harga 1 kg mangga, 2 kg jeruk dan 2 kg anggur adalah Rp 90.000,00. Jika harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk dan 3 kg anggur Rp130.000,00 maka harga 1 kg jeruk adalah … A. Rp5.000,00 D. Rp12.000,00 B. Rp7500,00 E. Rp15.000,00 C. Rp10.000,00 4. Dari argumentasi berikut: Jika ibu tidak pergi maka adik senang. Jika adik sengang maka dia tersenyum. Kesimpulan yang sah adalah … A. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum. B. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum. C. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum. D. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum. E. Ibu pergi atau adik tersenyum. 5. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah 0440 sejauh 50 km. kemudian berlayar lagi dengan arah 1040 sejauh 40 km ke pelabuhan C. Jarak pelabuhan A ke C adalah … D. 10 71 km A. 10 95 km B. 10 91 E. 10 61 km C. 10 85 km
6. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Dari pernyataan berikut: 1. AH dan BE berpotongan 2. AD adalah proyeksi AH pada bidang ABCD. 3. DF tegak lurus bidang ACH. 4. AG dan DF bersilangan. Yang benar adalah nomor … A. (1) dan (2) D. (1) dan (3) B. (2) dan (3) E. (2) dan (4) C. (3) dan (4) 7. Diketahui bidang empat beraturan ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Cosinus sudut antara bidang ABC dan bidang ABD adalah … 1 1 1 3 3 C. E. A. 3 3 2 1 2 B. D. 2 3 8. Perhatikan grafik berikut!
UJIAN NASIONAL MATEMATIKA 2005/2006
Berat badan siswa pada suatu kelas disajikan dengan histogram seperti pada gambar. Rataan berat badan tersebut adalah … A. 64,5 kg C. 65,5 kg E. 66,5 kg B. 65 kg D. 66 kg 9. A, B, C dan D akan berfoto bersama secara ber‐ dampingan. Peluang A dan B selalu berdampingan adalah … A. 1/12 C. 1/3 E. 2/3 B. 1/6 D. ½
1
17. Suaatu pekerjaan dapat diselessaikan dalam x x hari 2000 ⎛ ⎞ den ngan biaya ⎜ 4xx ‐ 160 + ⎟ ribu rupiah perhari. x ⎠ ⎝ Biayya minimum perhari penyyelesaian pekeerjaan terssebut adalah … … A. R Rp200.000,00 0.000,00 D.Rp600 B. R Rp400.000,00 E. Rp800 0.000,00 C. R Rp560.000,00
o o 10. Nilai dari sin 75 s + cos 15 adalah … 1 1 A. ‐ 6 ‐ 2 D. 3+ 2 2 2 1 1 B. E. 6+ 2 3 ‐ 2 2 2 1 C. 6‐ 2 2 11. Persamaan n garis singgung pada lingkaraan 2 2 x + y ‐ 2x ‐ 6y ‐ 7 = 0 di tittik yang berabssis 5 adalah.… D. 4x + y – 4 = 0 A. 4x – y – 18 = 0 E. 4x + y ‐ 15 = 0 B. 4x – y + 4 = 0 C. 4x – y + 10 = 0 p ditemb bakkan vertikkal ke atas 12. Sebuah peluru dengan kecepatan awal v0 m/detik. Tinggi T peluru t detik dinyyatakan dengan fungsi setelah t 2 gi maksimum yang dapat h ( t ) = 100 + 40t ‐ 4t . Tingg
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
dicapai peluru adalah … C.. 340 m A. 160 m D. 400 m B. 200 m
π
18. Nilaai ∫ sin 2x.cos xx dx = … 0
4 A. ‐ 3 1 B. ‐ 3
E. 800 m
20.
D. x2 + y2 ‐ 4x ‐ 4y + 4 = 0 2
E. x + y ‐ 2x ‐ 2y + 4 = 0
4
A. 0 1 B. 2 2
cos 2x co os x ‐ sin x
4 3
2
C. x2 + y2 + 2x + 2y + 4 = 0
x→
E.
kurva y = x + 1 d dan y = x + 3 d diputar mengeelilingi mbu x adalah … … sum 67 A. π satuan vo olum 5 1 107 π satuan vvolume B. 5 1 117 C. π satuan vvolume 5 133 π satuan vvolume D. 5 1 183 π satuan vvolume E. 5
B. x2 + y2 + 4x + 4y + 8 = 0
14. Nilai limπ
19.Volu um benda putaar yang terjadii, jika daerah aantara
n lingkaran yan ng pusatnya teerletak pada 13. Persamaan garis 2x – 4y – 4 = 0, serta menyinggu ung sumbu x n sumbu y negaatif adalah.… negatif dan A. x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0
2
1 3 2 D. 3
C.
= … C.. 1
E. ∞
D. 2
15.Turunan peertama dari f ( x ) = sin4 ( 3x 2 ‐ 2) adalah …
Luaas daerah yang diarsir pada gambar adalah … 2 2 A. satuan luas D. 6 saatuan luas 3 3 B. 3 3 satuan luas E. 9 satuan luas 1 C. 5 5 satuan luaas 3
A. 2sin2 x (3x 3 2 ‐ 2) sin ( 6x 2 ‐ 4 ) B. 12x sin2 ( 3x2 ‐ 2) sin ( 6xx 2 ‐ 4 ) C. 12x sin2 (3x2 ‐ 2) cos ( 6xx 2 ‐ 4 )
D. 24x sin3 (3x 2 ‐ 2) cos2 (3x 3 2 ‐ 2)
E. ‐24x sin3 ( 3x 2 ‐ 2) cos (3x 3 2 ‐ 2)
21.Seorang pedagang menjual buah mangga daan pi‐ san ng dengan menggunakan gerobak. g Pedagang terssebut memb beli manggaa dengan harga Rp8 8.000,00/kg daan pisang Rp6 6.000,00/kg. modal m yan ng tersedia Rp1.200.000,00 R 0 dan gerobaknya
3
16.Persamaan garis singgun ng kurva y = 5 + x di titik dengan abssis 3 adalah … A. x – 12y ++ 21 = 0 D. x – 12y + 34 ==0 E. x ‐12y + 38 = 0 B. x‐ 12y + 23 = 0 0 C. x – 12y ++ 27 = 0
2
hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp9.200,00/kg dan pisang Rp7.000,00/kg, maka laba maksimum yang dapat diperoleh adalah … A. Rp150.000,00 D. Rp204.000,00 B. Rp180.000,00 E. Rp216.000,00 C. Rp192.000,00
27. Persamaan bayangan garis 4x – y + 5 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks
⎛ 2 0⎞ ⎜ ‐1 3 ⎟ dilanjutkan pencerminan terhadap sum‐ ⎝ ⎠ bu y adalah … A. 3x + 2y – 30 = 0 B. 6x + 12y ‐5 = 0 C. 7x + 3y + 30 = 0
22. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmatika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah … A. 60 buah C. 70 buah E. 80 buah B. 65 buah D. 75 buah 23. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan me‐ mantul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola ber‐ henti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah … A. 65 m C. 75 m E. 80 m B. 70 m D. 77 m ⎛3 0⎞ 24. Diketahui matriks A = ⎜ ⎟ , ⎝2 5⎠
4x
C. 1 D. 5
A. 0 B. 1
o
2
D. 6 2
(
x+1
)
2
+ 3 = 1 + logx adalah …
30. Penyelesaian pertidaksamaan log ( x ‐ 4 ) + log ( x + 8 ) < log ( 2x + 16 ) adalah … A. x > 6 B. x > 8 C. 4 < x < 6
adalah … B. 4 2
2
log log 2
3
G G G G G G G G 26. Diketahui vektor a = 3 i ‐ 4 j ‐ 4k , b = 2 i ‐ j + 3k dan G G G G G G G c = 4 i ‐ 3 j + 5k . Panjang proyeksi ( a + b ) pada c C. 5 2
E. 4
B. log 2 D. ‐1 atau 3
D. 135o
2 2 A. log 3 C. log E. 8 atau 1/2 3
E. 7
A. 3 2
C. 1 D. 3
29. Nilai x yang memenuhi persamaan
G G G 25. Diketahui aG = 2 , b = 9 dan a + b = 5 . Besar G G sudut antara vektor a dan b adalah … A. 45o C. 120o E. 150o B. 60
2x
28. Akar‐akar persamaan 2.3 ‐ 20.3 + 18 = 0 adalah x1 dan x 2 nilai dari x1 + x 2 = …
⎛ x ‐1 ⎞ ⎛ 0 ‐1 ⎞ t dan C = ⎜ B=⎜ ⎟ ⎟ . A adalah y 1 ‐15 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ transpose dari matriks A. Jika A t .B = C , maka nilai
2x + y = … A. ‐4 B. ‐1
D. 11x + 2y ‐30 = 0 E. 11x – 2y + 30 = 0
E. 7 2
3
D. ‐8 < x <6 E. 6 < x < 8
UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPA 1. Pembahasan: Selisih panjang dan lebar kolam = 3 m berarti P ‐ Q = 3 ⇒ P = 3 + Q Luas kolam = 180 m2 = P X Q 4x ⇔ 180 = (3 + Q) x Q 2 ⇔ 180 = 3Q + Q 2 ⇔ Q + 3Q – 180 = 0 5x ⇔ ( Q ‐ 12)( Q + 15) = ‐15 Q = 12 atau Q = ‐15 2 Luas tanah = 180 m karena lebar > 0 (positif) ⇒ Q = 12 5 Panjang (p): lebar (l) = 5: 4 ⇒ p = l P ‐ Q = 3, maka P = 15 4 A = P + 4 = 15 + 4 = 19 5 2 L = p x l ⇒ 180 = l x l ⇒ 180 x 4 = 5 l m B = Q + 4 = 12 + 4 = 16 4 180x4 Luas seluruh area = A x B l2 = Þl = 144 = 12 = 19 m x 16 m 5 2 = 304 m 5 5 maka p = l = x 12 = 15 Luas jalan di sekeliling kolam 4 4 = Luas seluruh area – Luas kolam Panjang diagonal bidang = 304 m2 ‐180 m2 = p2 + l2 = 152 + 122 = 369 = 3 41 = 124 m2 Jadi, panjang diagonal bidang adalah 3 41 m. Jawaban: E Jawaban: B 3. Pembahasan: Misal: 2. Pembahasan: x = harga 1 kg mangga Luas kolam = 180 m2 y = harga 1 kg jeruk Lebar jalan = 2 m. z = harga 1 kg anggur. Dari soal diperoleh persamaan berikut ini: 2x + 2y + z = 70.000 ...........(1) x + 2y + 2z = 90.000 ...........(2) 2x + 2y + 3z = 130.000 ...........(3) Eliminasi dari (1) dan (2) 2x + 2y + z = 70.000 x1 2x + 2y + z = 70.000 x + 2y + 2z = 90.000 x2 2x + 4y + 6z = 90.000 ‐ ‐ 2y ‐ 3z = ‐110.000 ......(4) Misal: Eliminasi (2) dan (3) Luas seluruh area = Ls x + 2y + 2z = 90.000 x2 2x + 4y + 4z = 180.000 Panjang kolam = P 2x + 2y + 3z = 130.000 x1 2x + 2y + 3z = 130.000 Lebar kolam = Q ‐ Panjang seluruh area = A, di mana 2x + z = 50.000 ....(5) A = P + 2 + 2 = P + 4 Lebar seluruh area = B, di mana B = Q + 2 + 2 = Q + 4
PEMBAHASAN 2005/2006
4
Eliminasi (4) dan (5) ‐2y ‐ 3z = ‐110.000 x1 ‐2y ‐ 3z = ‐110.000 2y + z = 50.000 x3 6y + 3z = 150.000
6. Pembahasan: Perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut ini. +
4y = 40.000 ⇒ y = 10.000 Jadi harga 1 kg jeruk adalah Rp10.000,00 Jawaban: C 4. Pembahasan: Diketahui: Jika ibu tidak pergi maka adik senang. Jika adik senang maka dia tersenyum. Dimisalkan: p = ibu tidak pergi q = adik senang r = adik tersenyum Selanjutnya soal diubah menjadi:
Pada kubus ABCD.EFGH: 1. AH dan BE bersilangan, karena AH dan BE keduanya tidak mempunyai titik persekutuan, tidak sejajar dan tidak terletak pada satu bidang yang sama. 2. AD adalah proyeksi AH pada bidang ABCD. 3. DF tegak lurus bidang ACH (Ingat diagonal 4. AG dan DF berpotongan, karena AG dan DF terletak pada bidang diagonal AGDF. AG dan DF masing‐masing merupakan diagonal bidang AGDF yang saling berpotongan. Dengan demikian pernyataan yang benar adalah nomor (2) dan (3). Jawaban: B 7. Pembahasan:
p⇒q q⇒r
∴p ⇒ r
Menurut aturan silogisme kesimpulan yang sah dari argumentasi di atas adalah p → r, yaitu “Jika ibu tidak pergi maka adik tersenyum”. Karena: p ⇒ r ≡ ~ p ∨ r Maka kesimpulan dari argumentasi di atas adalah: “Ibu pergi atau adik tersenyum”. Jawaban: E 5. Pembahasan: Soal dapat disajikan dalam bentuk gambar di bawah ini. o B 104 o 40 50 120 o 044 A C Dengan menggunakan rumus cosinus, diperoleh: AC2 = AB2 + BC2 ‐ 2.AB.BC.cosABC = 502 + 402 ‐ 2.50.40.cos120 = 2500 + 1600 ‐ 2.2000. ( ‐ 12 )
Akan dicari cosinus sudut antara bidang ABC dan ABD. DP = PC = 82 ‐ 42 = 48 = 4 3 Perhatikan segitiga DPC. Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh: CD2 = CP2 + DP2 ‐ 2CP.DP.cos∠CPD
(
) ( 2
)
2
(
)(
)
⇒ 82 = 4 3 + 4 3 ‐ 2. 4 3 . 4 3 .cos∠CPD
⇒ 64 = 48 + 48 ‐ 96 cos∠CPD
= 6100 = 10 61
‐32 1 = ‐96 3 Dengan demikian kosinus sudut antara bidang 1 ABC dan ABD adalah . 3 Jawaban: A ⇒ ‐32 = ‐96 cos∠CPD ⇒ cos∠CED =
Jadi jarak pelabuhan A ke C adalah 10 61 km. Jawaban: E 5
8. Pembahasan:
c. A dan B berdampingan pada tempat III dan IV. Banyaknya susunan dengan A dan B berdampingan pada tempat III dan IV adalah 2 x 1 x 2 x 1 = 4. I II III IV 2 1 2 1 Jadi banyaknya susunan di mana A dan B selalu berdampingan adalah = 4 x 4 x 4 = 12. Dengan demikian peluang A dan B selalu 12 1 = . berdampingan adalah 24 2 Jawaban: D
Histogram di atas bila disajikan dalam bentuk tabel akan diperoleh: Berat badan
Frekuensi (fi)
50‐54 55‐59 60‐64 65‐69 60‐74 75‐79
4 6 8 10 8 4 40
∑ x (rata ‐ rata) =
Nilai tengah (xi) 52 57 62 67 72 77 2600
fi.xi
10. Pembahasan: sin 75o + cos 15o
208 342 496 670 576 308
= cos ( 90o ‐ 75o ) + cos15o = cos15o + cos15o = 2.cos15o = 2cos ( 45o ‐ 30o ) = 2 ⎡⎣cos45o .cos30o + sin45o .sin30o ⎤⎦
1 1 1⎤ 1 1 ⎡1 = 2 ⎢ 2. 3 + 2. ⎥ = 6 + 2 2 2 2⎦ 2 2 ⎣2 1 = 6+ 2 2
∑ fi .xi
(
∑ fi
2600 40 = 65 Jadi rataan berat badan siswa adalah 65 kg. Jawaban: B
)
Jawaban: E 11. Pembahasan: Persamaan garis singgung di titik (x1,y1) pada lingkaran x 2 + y2 + Ax + By + C = 0 adalah : 1 1 x 1 x + y1 y + A ( x 1 + x ) + B ( y1 + y ) + c = 0 2 2 Untuk absis x = 5, maka
=
9. Pembahasan: Terdapat 4 orang yaitu A, B, C dan D yang akan berfoto bersama secara berdampingan. I II III IV 4 3 2 1 Menurut kaidah pencacahan, banyaknya susunan yang terjadi adalah 4 x 3 x 2 x 1= 24 cara Sekarang ditentukan banyaknya susunan apabila A dan B berdampingan. a. A dan B berdampingan pada tempat I dan II. Banyaknya susunan dengan A dan B ber‐ dampingan pada tempat I dan II adalah 2 x 1 x 2 x 1 = 4 I II III IV 2 1 2 1 b. A dan B berdampingan pada tempat II dan III. Banyaknya susunan dengan A dan B berdampingan pada tempat II dan III adalah 2 x 2 x 1 x 1 = 4. I II III IV 2 2 1 1
x2 + y2 ‐ 2x ‐ 6y ‐ 7 = 0 ⇔ ( 5)2 + y2 ‐ 2.5 ‐ 6y ‐ 7 = 0 ⇔ 25 + y2 ‐ 10 ‐ 6y ‐ 7 = 0 ⇔ y2 ‐ 6y ‐ 8 = 0 ⇔ ( y‐2) ( y‐4 ) = 0
y = 2 atau y = 4 Persamaan garis singgung di titik (5,2) dan (5,4) 2
2
pada lingkaran x + y ‐ 2x ‐ 6y ‐ 7 = 0 : • Untuk titik (5,2) Æ x1= 5 dan y1= 2, persamaan garis singgungnya adalah: 1 1 5x + 2y + ( ‐2)( x + 5) + ( ‐6 )( y + 2) ‐ 7 = 0 2 2 ⇔ 5x + 2y ‐ x ‐ 5 ‐ 3y ‐ 6 ‐ 7 = 0 ⇔ 4x ‐ y ‐ 18 = 0 6
•
Untuk titik (5,4) Æ x1 = 5 dan y1 = 4, persamaan garis singgungnya adalah: 1 1 5x + 2y + ( ‐2 )( x + 5) + ( ‐6 )( y + 4 ) ‐ 7 = 0 2 2 ⇔ 5x + 2y ‐ x ‐ 5 ‐ 3y ‐ 12 ‐ 7 = 0 ⇔ 4x ‐ y ‐ 24 = 0 Yang tersedia dalam pilihan jawaban adalah 4x – y – 18 = 0. Jawaban: A
14. Pembahasan: Dengan rumus L’Hospital, yaitu: lim
x →a
2
(
) ( cos ( 3x ‐ 2) ) ( 6x ) = 2.6x. ( sin ( 3x ‐ 2 ) ) ( 2 ) ( sin ( 3x ‐ 2 ) ) ( cos ( 3x ‐ 2 ) ) = 12x. ( sin ( 3x ‐ 2 ) ) ( sin2 ( 3x ‐ 2 ) ) = 12x. ( sin ( 3x ‐ 2 ) ) ( sin ( 6x ‐ 4 ) )
2
2
2
Jawaban: B
y = 3 5+x Ordinat titik singung dengan absis 3 (x = 3) adalah y = 3 5 + 3 = 2 . Jadi, titik singgungnya (3,2) Gradien garis singgungnya: 1 f(x) = 3 5 + x ⇒ f'(x) = 3 3 5+x
(
m = f'(3) = 3
(
1 3
5+3
)
2
1 = 12
)
2
Persamaan garis singgungnya: 1 y ‐ y 1 = m ( x ‐ x 1 ) ⇔ y ‐ 2 = ( x ‐ 3) 12 ⇔ 12y ‐ 24 = x ‐ 3 ⇔ x ‐ 12y + 21 = 0
= (‐2)2
2
⇔ x + y + 4x + 4 + 4y + 4 = 4
2
16. Pembahasan: (x1,y1) f(x) m = f’(x1)
⇔ a = ‐2 Diperoleh pusat lingkaran (‐2, ‐2) dan r = 2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (‐2, ‐2) dan berjari‐jari 2 adalah:
2
2
2
2
Misalkan pusat lingkaran (a,b), maka jelas bahwa jari‐jari (r) = a = b Karena pusat lingkaran (a,b) terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0, maka: 2 ( a ) ‐ 4 ( b ) ‐ 4 = 0 ⇔ 2 ( a) ‐ 4 ( a ) ‐ 4 = 0
2
2
2
2
13. Pembahasan: Lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0 serta menyinggung sumbu x negatif dan sumbu y negatif, diperoleh:
3
2
2
Jawaban: B
⇔ ( x + 2) + ( y + 2) = 4
)
f'(x) = 4 sin ( 3x 2 ‐ 2 )
h ( 5) = 100 + 40.5 ‐ 4.5 = 100 + 200 ‐ 100 = 200
2
g' ( x )
4
(
Peluru mencapai maksimum saat h’(t) = 0. h’(t) = 40 – 8t = 0 ⇒ t = 5 Ketinggian peluru saat t = 5 detik adalah:
2
x →a
f' ( x )
cos 2 x ‐2 sin 2 x = lim cos x ‐ sin x x→ π4 ‐sin x ‐ cos x ‐2 sin 2⎛⎜ π ⎞⎟ ‐2.1 ‐2 ⎝4⎠ = = = = 2 ‐sin ⎛⎜ π ⎞⎟ ‐ cos ⎛⎜ π ⎞⎟ ‐ 1 2‐ 1 2 ‐ 2 2 2 ⎝4⎠ ⎝4⎠ Jawaban: D 15. Pembahasan: 4 2 f ( x ) = sin 3x ‐ 2 x→
fungsi h ( t ) = 100 + 40t ‐ 4t .
( x ‐ ( ‐2)) + ( y ‐ ( ‐2))
g (x)
= lim
limπ
12. Pembahasan: Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan
⇔ 2a ‐ 4a ‐ 4 = 0
f (x )
Jawaban: A
2
⇔ x 2 + y 2 + 4x + 4y + 4 = 0
Jawaban: A
7
⎡⎛ 1 5 1 3 ⎞⎤ 2 .2 ‐ .2 + 3.2 + 8..2 ⎟ ⎥ 3 ⎠⎦ ⎣⎝ 5
17. Pembahasan: Biaya total (Bx) = (biaya peer hari) x (total waktu) 2000 ⎞ ⎛ 2 = ⎜ 4x ‐ 160 0+ 0 ⎟ x = 4xx ‐ 160x + 2000 x ⎠ ⎝ Mencapai m minimum ⇒ B' B (x ) = 0 B' ( x ) = 8x ‐ 60 = 0 ⇒ x = 20 2 Artinya, peekerjaan dapat diselesaikan d dalam waktu 20 hari den ngan biaya min nimum. Untuk x = 2 20, dapat diperroleh: B (20 ) = 4.2 202 ‐ 160.20 + 2000 = 1.6 600 ‐ 3.200 + 20 000 = 400 Jawaban: B 18. Pembahasan:
= π ⎢⎜ ‐
⎡ 1 ⎤ 1 ‐ π ⎢ ⎛⎜ ‐ ( ‐1 )5 ‐ ( ‐1 )3 +3.( ‐1 )2 +8. + ( ‐1 ) ⎞⎟ ⎥ 3 ⎠⎦ ⎣⎝ 5
⎡ 33 ⎤ 117 + 30 = ⎢⎣ 5 ⎥⎦ 5 π
=π ‐
Jawab ban: C 20. Pem mbahasan: Missalkan : 2
2
y1 = ‐x + 6x ‐ 5 d dan y 2 = x ‐ 4x + 3 Selaanjutnya diperroleh gambar b berikut:
π
Akan dicarii nilai dari integral ∫ sin2x.cosx dx . 0 π
π
0
0
∫ sin 2x.coss x dx = ∫ 2 sin x.cos x cos x dx π
= ‐2 ∫ ( cos x )
2
d ( cos x )
0
(
π ⎡1 ⎡1 3⎤ 3⎤ = ‐2 ⎢ ( cos xx ) ⎥ = ‐2 ⎢ ( cos π ) ⎥ 3 ⎣ ⎦0 ⎣3 ⎦
(
⎡ 1⎤ = ‐2 ⎢‐ ⎥ ⎣ 3⎦ =
)
⎡1 3⎤ ‐ ⎢ ( cos 0 ) ⎥ ⎣3 ⎦
)
2
⎡1 ⎤ ⎡ 2⎤ ‐ ⎢ ⎥ = ‐2 ⎢ ‐ ⎥ ⎣3⎦ ⎣ 3⎦
4 + 3 memoto Kurrva y 2 = x - 4x ong sumbu x dii dua titikk, yaitu:
4 3
2
2
y 2 = x ‐ 4x + 3 ⇔ 0 = x ‐ 4x + 3
Jawaban: E
⇔ 0 = ( x ‐ 1)( x ‐ 3)
19. Pembahasan: 2
Diketahui kkurva y = x + 1 dan y = x + 3 3. Daerah yan ng dibatasi oleh kurva di atass:
xx1 = 1, x 2 = 3 Jadi titik potong terhadap sumb bu x adalah (1, 0) dan (3,0). Luaas daerah yang diarsir
(
)
= ∫ ( y1 ‐ y2 ) dx = ∫ ( ‐x 2 + 6x ‐ 5) ‐ ( x2 ‐ 4x + 3) dxx 3
3
1
1
3
2
(
2
2
3 ⎡ 2 ⎤ 5x 2 ‐ 8x ⎥ = ∫ ( ‐2x 2 + 10x ‐ 8 ) dx = ⎢‐ x 3 + 5 1 ⎣ 3 ⎦1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡ 2 8 ⎥ ‐ ⎢‐ .13 + 5 5.12 ‐ 8.1⎥ = ⎢‐ .33 + 5.32 ‐ 8.3 ⎦ ⎣ 3 ⎦ ⎣ 3 1 11 2 ⎛ 11 ⎞ = 3 ‐ ⎜ ‐ ⎟ = 3 + = 6 satuan luaas 3 3 ⎝ 3⎠ Jawab ban: D 21. Pem mbahasan: Dim misalkan: Ban nyaknya buah m mangga = x Ban nyaknya buah p pisang = y Mo odal matematikkanya: 80 000x + 6000y ≤ 1.200.000 ⇔ 4x + 3y ≤ 600 0 x + y ≤ 180, x ≥ 0, 0 y ≥0
)
v = π ∫ y1 ‐ y 2 dx ‐1
2
= π∫
‐1
(( x + 3 )
2
)
‐ ( x 2 + 1 ) dx 2
= π ∫ ( x 2 + 6x + 9 ‐ x 4 ‐ 2x 2 ‐ 1 )dx 2
‐1
= π ∫ ( ‐x 2 + 6x + 8 ‐ x 4 )dx 2
‐1
2
1 ⎡ 1 ⎤ = π ⎢ ‐ x 5 ‐ x 3 + 3x 2 + 8x ⎥ 5 3 ⎣ ⎦ ‐1
8
Pan njang seluruh liintasan hinggaa bola berhentii adaalah:
Panjang Linttasan =
b+a .Ho b‐a
a r = Ho = ketinggian aw wal b
Pad da soal di atas d diketahui: a 3 r = = Ho = ketinggian awal = 10 b 4 b+a 4+3 .Ho = .10 njang Lintasan = Pan b‐a 4‐3 == 70 Pan njang lintasan yyang ditempuh h bola = 70 m. Jawab ban: D 24. Pem mbahasan:
Laba penju ualan sebuah m mangga =Rp 9.200,00 – Rp 8.000,00 = Rp 1000,0 00 ualan sebuah pisang Laba penju = Rp 8.000,,00 – Rp 7.000,00 = Rp 1000,,00 Bentuk objektif: f ( x, y ) = 1200x + 1000y
Titik (60, 20 0) dicari melalui eliminasi: x + y = 18 80 x4 4x + 4y = 720 4x + 3y = 600 6 x1 4x + 3y = 600 ‐
⎛3 0⎞ ⎛ x ‐1 ⎞ ⎟ , B = ⎜ y 1 ⎟ , 2 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Diketahui A = ⎜
y = 120 ⇒ x = 60 Laba dapatt dilihat dari tabel berikut: Titik f(x,y)= 1200xx + 1000y (0,0) 0 (150, 0) 1200.150 + 0 0 = 180.000 (60,120) 1200.60 + 10 000.120 =1920 000 (0,180) 0 + 1000.180 0 = 180.000 Jadi, laba m maksimum yang diperoleh ad dalah Rp 192.000 0, 00 Jawaban: C 22. Pembahasan: Dimisalkan n: Dari soal daapat diketahuii: U2 = 11 ⇒ U2 = a + b ⇒ 11 1 = a + b ... (1) U4 = 19 ⇒ U4 = a + 3b ⇒ 19 = a + 3b ... (2 )
⎛ 0 ⎝ ‐15 t ⎛3 A =⎜ ⎝0
C=⎜
⎛3 ⇔ ⎜⎜ ⎝0 ⇔
11 = a + b ⇒ 11 = a + 4 ⇒ a = 7 Jadi a = U1 = 7 dan b = 4
Jumlah perrmen seluruhnya adalah 5 5 S 5 = 2.7 7 + ( 5 ‐ 1) 4 = (14 + 16 ) = 75 2 2 Jawaban: D 23. Pembahasan: Akan dikerjjakan dengan ccara cepat:
(
5 ⎟⎠
t daan berlaku A .B = C
2⎞ , maaka diperoleh 5 ⎟⎠
2 ⎞ ⎛ x ‐2 ⎞ ⎛ 0 ‐1 ⎞ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ y 1 ⎟⎠ ⎜⎝ ‐15 5 ⎟⎠
⎛ 3x + 2y ‐1 ⎞ ⎛⎜ 0 ‐1 ⎞⎟ = ⎜ 5y 5 ⎟⎠ ⎜⎝ ‐15 5 ⎟⎠ ⎝
Selaanjutnya, dari matriks di atass diperoleh: 3x ++ 2y = 0 dan 5yy = ‐15 ⇒ y = ‐‐3. Jikaa y = ‐3 pada 3xx + 2y = 0, dipeeroleh: 3x ++ 2(‐3) = 0 ⇒ x = 2 x Seh hingga didapatkan 2x + y = 2.2 + (‐3) = 1 Jawab ban: C 25. Pem mbahasan: G G G G Diketahui a = 2 , b = 9 dan n a + b = 5 . GG G G o a.aa = a . a cos 0 = 2. 2.1 = 2 GG G G o b.b b = b . b cos 0 = 9. 9.1 = 9 G G G G ( aG + b ) . ( aG + b ) = aG + b . aG + b .coos 0o
‐ 8 = ‐ 2b ⇒ b = 4 Karena b = 4,
‐1 ⎞
t A .B = C
n (2) Dari (1) dan 11 = a + b b ‐ 19 = a + 3b
)
= 5. 5 = 5
9
G
G
G G
GG
GG G G + a.b + b.a + b.b ( aG + b ) . ( aG + b) = a.a
28. Pembahasan: Diketahui akar‐akar persamaan
GG GG GG ⇒ 5 = a.a + 2a.b + b.b GG GG ⇒ 5 = 2 + 2a.b + 9 ⇒ 2a.b = ‐6 GG ⇒ a.b = ‐3 G G Misalnya sudut antara vektor a dan b adalah θ , dapat diperoleh: GG a.b ‐3 ‐3 1 cos θ = G G = = =‐ 2 2 2. 9 3 2 a.b 1 cos θ = ‐ 2 ⇒ θ = 135o 2 (Ingat θ merupakan sudut lancip) Jawaban: D 26. Pembahasan: Diketahui: G G G G G G G G G G G G a = 3 i ‐ 4 j ‐ 4k , b = 2 i ‐ j + 3k , c = 4 i ‐ 3 j + 5k . G G G G G G G G a + b = ( 3+2 ) i + ( ‐4‐1) j + ( ‐4+3) k = 5 i ‐ j ‐ k G G G Proyeksi vektor a + b pada c adalah: G G G a + b .c = G c
(
(
= =
4x
Perhatikan, 3
( )
4 + ( ‐3) + 5
2
• 2y ‐ 2 = 0 ⇒ y = 1
• y ‐ 9 = 0 ⇒ y = 9
Karena y = 32x , maka diperoleh: 2x
⇒x=0
2x
⇒x =1
Untuk y = 1, 1 = 3
Untuk y = 9, 9 = 3
Dengan demikian x1 + x 2 = 0 = 1 = 1. Jawaban: B
29. Pembahasan:
( log log (2
2
) + 3) = 1 + logx log log (2 + 3) = log 2 + log log (2 + 3) = log 2x log (2 + 3) = 2x log (2 + 3) = log2 2
log log 2 2
20 + 15 ‐ 5 50
Jawaban: A
27. Pembahasan: Dimisalkan: Untuk mengerjakan soal ini, dapat digunakan cara cepat sebagai berikut: 1. Ambil sembarang titik yang melalui 4x – y + 5 = 0. Misalnya titik yang kita ambil (‐1,1) 2. Titik (1,9) ditransformasikan dengan matriks
2
⇒
2
⇒
2
⇒
2
⇒
2
⇒2
x+1
2
+ 3 = 1 + logx .
x+1
2
2
x+1
2
2
x+1
2
2
log x
x+1 x+1
2x+1 2x
2
2x
2x
+3=2 x
1
⇒ 2 ‐ 2 .2 ‐ 3 = 0
( ) ‐ 2 (2 ) ‐ 3 = 0
⇒ 2
x 2
x
x
Misal y = 2 , maka persamaan di atas dapat diubah menjadi: 2
y ‐ 2y ‐ 3 = 0
⎛ 2 0⎞ ⎜ ‐1 3 ⎟ ⎝ ⎠
4.
2x
‐ 20.3 + 18 = 0
2y ‐ 20y + 18 = 0 ⇔ ( 2y ‐ 2 )( y ‐ 9 ) = 0
=3 2
3.
, persamaan di atas
Misalkan y = 32x diperoleh persamaan.
)
2
2x 2
= 3
menjadi 2. 3
5.4 + ( ‐5. ‐ 3) + ( ‐1.5) 2
( )
4x
2x 2
)
2
2x
2.3 ‐ 20.3 + 18 = 0 adalah x1 dan x 2 .
⇒ ( y + 1)( y ‐ 3) = 0 ⇒ y = ‐1 atau y = 3
⎛ 2 0 ⎞ ⎛ ‐1 ⎞ ⎛ ‐2 ⎞ ⎜ ‐1 3 ⎟ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Jadi, diperoleh bayangan (‐2,4) (‐2,4) dicerminkan terhadap sumbu y, diperoleh bayangan (2,4) Cari jawaban yang memenuhi (2,4). Pilihan yang memenuhi adalah jawaban d, karena jika (2,4) disubtitusikan diperoleh 11x + 2y ‐30 = 0 ⇒ 11.2 + 2.4 ‐30 = 0 Jawaban: D.
x
Untuk y = ‐1 ⇒ 2 = ‐1, tidak ada nilai x yang memenuhi x
2
Untuk y = 3 ⇒ 2 = 3 ⇒ x = log3 Jawaban: A
10
30. Pembahasan: Penyelesaian logaritma: log ( x ‐ 4 ) + log ( x + 8 ) < log ( 2x + 16 ) ⇒ log ( x ‐ 4 )( x + 8 ) < log ( 2x + 16 ) ⇒ x 2 + 4x ‐ 32 < 2x + 16 ⇒ x 2 + 2x ‐ 48 < 0
⇒ (x + 8)(x ‐ 6) < 0
Hp : {‐8 < x < 6}
…… (1)
Syarat logaritma: ( x‐4 ) ( x‐4 ) log < 0 ⇒ log < log1 2 2 ( x‐4 ) ⇒ …… (2) <1⇒x <4 2 log ( x ‐ 8 ) < 0 ⇒ ( x ‐ 8 ) < 0 ⇒ x < 8 ⇒
( x‐4 )
<1⇒x <4 …… (3) 2 Penyelesaian yang memenuhi (1), (2) dan (3) adalah 4 < x < 6. Jawaban: C
11
