TRANSFORMASI LINEAR
Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd
Disusun oleh : Kelompok 7/ Kelas III A2 Endar Alviyunita
13144100094
Ahmat Sehari
---------------
Kunikatus Sangadah
151441000--
Nur Lailatus Shofiah
15144100060
PROGAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2016
1
TRANSFORMASI LINIER A. Transformasi Linier dari R n ke R m Jika pada suatu fungsi f dengan R n sebagai domain dan R m sebagai kodomain ( m
dan n
mungkin sama) sehingga dapat dinyatakan bahwa
fungsi f memetakan R n ke R m dengan notasi f : R n R m Jika kita menotasikan suatu transformasi dengan T
, maka
T : Rn Rm yang didefinisikan oleh persamaan-persamaan berikut:
w1 a11 x1 a12 x2 ... a1n xn w2 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn . .
wm am1 x 1 am2 x2 ... amn xn Dalam notasi matriks w1 a11 a12 a1n x1 w a a 2 21 22 a2 n x2 wm am1 am 2 amn xn
Atau w Ax
B. Pengertian Transformasi Linier Secara Umum Setelah mengetahui transformasi linier dari R n
ke R m , kita telah
menunjukkan bahwa sebuah transformasi T : Rn Rm adalah linier jika dan hanya
jika
kedua
hubungan
T
uv
T u T v dan
T ku kT u
Berlaku untuk semua vektor u dan v pada R n dan setiap skalar k Bentuk tersebut dapat juga didefinisikan : Jika T : V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor v kedalam ruang vektor w maka T dinamakan transformasi linier jika:
2
(i)
T u v T u T v untuk semua vektor u dan v di V
(ii)
T ku kT u untuk semua vektor u didalam V dan semua
skalar k f
u
T(u)
u
T(v)
u+v
T(u+v) T(ku)
ku
k
Diagram Venn k
C. Contoh-contoh Transformasi Linier 1. Pemetaan Nol Pemetaan Nol adalah fungsi yang memetakan setiap vektor di V ke vektor nol. Misalkan T : V W dengan T x
0
adalah
pemetaan yang menghubungkan vektor nol 0 W ke setiap vektor v V . Untuk sebarang vektor u, v V maka T u v 0 T u v 0 0 T u v T u T v T ku 0
Oleh karena itu, T transformasi linier
T ku k.0 T ku kT u
2. Pemetaan Identitas 3
Pemetaan identitas adalah fungsi yang memetakan v
ke dirinya
sendiri . Pemetaan T : V V yang didefinisakan oleh T v V , biasanya dinotasikan oleh I. Perhatikan pemetaan identitas I : V V , dengan T x, y x, y yang memetakan tiap v V ke dirinya sendiri. Maka untuk sebarang u, v V vektor kita mempunyai I u v u v I u I v
Ambil u V dan k skalar, maka I ku ku I ku kI u
Jadi, I transformasi linier.
3. Pemetaan Konstan Pemetaan konstan adalah suatu fungsi yang menghasilkan suatu konstanta (tetapan). Pemetaan T : V W yang didefinisikan oleh T u = c . Dengan u V dan c adalah suatu konstanta. Karena suatu
konstanta tidak bisa menjadi suatu vektor, maka pemetaan konstan bukan merupakan suatu transformasi linier. Bukti: Misalkan
T : R2 C
adalah
fungsi
yang
didefinisikan
oleh
T v x, y dengan v x, y di R 2 dan C R . Tunjukkan apakah T
merupakan suatu transformasi linier! Misalkan u x1 , y1 dan v x2 , y2 T u v
T x1 , y1 x2 , y2 T x1 x 2 , y1 y2 x1 x2 , y1 y2
4
x1 , y1 x2 , y2
T u T v
c Karena syarat pertama tidak terpenuhi, maka T bukan merupakan suatu transformasi linear. 4. Pemetaan dari R 2 ke R 2 Misalkan T : R2 R2 adalah fungsi yang didefinisikan oleh T v 2 x, y dengan v x, y di R 2 ,Buktikan bahwa T merupakan
transformasi linear! Bukti : T : R2 R2
T v 2 x, y
x1 , y1 dan v x2 , y2 u v T x1 , y1 x2 , y2 T x1 x2 , y1 y2 ( 2 x1 x2 , y1 y2 ( 2 x1 2 x2 ), y1 y2
Misalkan u (i ) T
( 2 x1 2 x2 , y1 y2 )
2 x1 , y1 2 x2 , y2 T u T v
(ii ) T ku T kx1, ky1
k 2 x1 , k y1 k 2 x1 , y1 k T u
3 5. Pemetaan dari R ke R
5
Periksa
linearitas
transformasi,
T : R3 R
dengan
T : R R2
dengan
T x, y, z x y z !
Penyelesaian : T : R3 R
T x, y, z
x y z!
Misalkan u
x1 y1 z1 , v x2 y2 z2
(i ) T u v T x1 y1 z1 x2 y2 z2 T x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 (x1 y1 z1 ) ( x2 y2 z2 ) T u T v
(ii ) T ku T kx1 , ky1 , kz1 T (kx1 , ky1 , kz1 ) kx1 ky1 kz1 k x1 y1 z1
kT x1 y1 z1
k T u
Dengan demikian, T transformasi linear 6. Pemetaan dari R ke R 2 Periksa
linearitas
transformasi,
T x y x. y !
Misalkan x y 8 maka, x y 8
1, 7 2, 6
6
(...,...) Karena fungsi di atas mempunyai banyak pemetaan, sehingga T
bukan
merrupakan suatu transformasi linear. Contoh: 1. Apakah fungsi
T x, y 2 3x y
merupakan transformasi
linear? Penyelesaian : T : R2 R
x, y (2 3x y) Misalkan u x1, y1 dan v x2 , y2
(i) T u v T
x y x , y 1, 1
2
2
T x1 x2 , y1 y2 2 3 x1 x2 y1 y2
2 3x1 3x2 y1 y2
2 3x1 y1 3x2 y2 T 2 3x1 y1 T 3x2 y2 T u T 3x2 y2 T 3x2 y2 T v (ii) T ku T 2k 3kx1 ky1 kT 2 3x1 ky1 kT (u )
Karena pada pembuktian pertama tidak terbukti, maka T bukan merupakan transformasi linear. Contoh penyangkal Misalkan : u 2,3 , k 5 maka,
7
T ku T K 2, K 3 T 5.2 , 5,3
T 10,15
2 3.10 15 17 Sedangkan untuk Kt u 5T u kT u 5T u 5T 2,3 5 2 3.2 3 5 5 25 T ku kT (u )
17 25 Jadi fungsi yang diberikan diatas bukan transformasi linear D. Sifat-sifat Transformasi Linear Jika T : V W adalah sebuah transformasi linear, maka v1 dan v2 sebarang pada V dan skalar c1 dan c2 sebarang, kita memperoleh Dan secara lebih umum, jika v1 , v2 ,......, vn, adalah vektor-vektor pada V dan
c1 , c2 ,........., cn adalah skalar maka T (c1v1 c2v2 ... cnvn ) c1T (v1 ) c2T (v2 ) ... cnT (vn ) ... (1) Rumus (1) terkadang diuraikan dengan sebutan transformasi linear yang mempertahankan kombinasi linear. Teorema berikut ini mencantumkan tiga sifat dasar yang umum untuk semua transformasi linear.
Teorema 8.1.1 Jika T : V W adalah sebuah transformasi linear, maka : 8
(a) T (0) 0 (b) T (v) T (v) untuk semua v pada V (c) T (v w) T (v) T (w) untuk semua v dan w pada V Bukti : Misalkan v adalah vektor sebarang pada V . Karena 0v 0 , kita memperoleh : (a) T (0) T (0v) 0T (v) 0 (b) T (v) T ((1)v) (1)T (v) T (v) Akhirnya, v w v (1)w; sehingga, (c) T (v w) T (v (1)w) T (v) (1)T (w) T (v) T (w)
Dengan kata lain, bagian (a) dari teorema di atas menyatakan bahwa sebuah transformasi linear memetakan 0 ke 0. Sifat ini sangat bermanfaat untuk mengidentifikasi transformasi-transformasi yang tidak linear. Sebagai contoh , jika x0 adalah sebuah vektor tak nol tetap pada R 2 , maka transformasi T ( x) x x0 . Memiliki efek geometrik untuk mentranslasikan setiap titik pada x arah yang sejajar dengan x0 sejauh
x0
ke
(Gambar 8.14). Hal ini bukan
merupakan sebuah transformasi linear karena T (0) x0 , sehingga T tidak memetakan 0 ke 0 .
E. Karnel dan Jangkauan 1. Kernel dari transformasi. Misal T : V W merupakan transformasi linear, maka kernel (Inti/Ruang 9
nol) dari T adalah himpunan vektor di V yang dipetakan ke vektor o W oleh
T.
Kernel
dari
transformasi
T
dinotasikan
dengan
Ker (T ) v V│T (v ) o , o W .
Untuk memperjelas pengertian dari kernel suatu transformasi, perhatikan transformasi T yang diberikan oleh gambar 1 berikut:
Gambar 1 Dari gambar 1 nampak bahwa kernel dari trasformasi T diberikan Ker (T ) o , v1 sebab kedua vector o dan v1 dipetakan terhadap vektor
nol. F. Jangkauan dari transformasi Misal T : V W merupakan transformasi linear, maka Jangkauan/Range dari T yaitu himpunan vektor di W yang merupakan bayangan atau peta dari paling sedikit satu vektor di V. Jangkauan dari T dinotasikan dengan R(T ), Im(T) R(T ) w W│T (v ) w, v V
Contoh karnel dan jangkuan a. T : R R
adalah
transformasi
linear
yang
T x 2 x untuk setiap x R.
Apakah vektor berikut terletak dalam ker(T ) dan R(T ) 1) (0) Penyelesaian : T (0) (2.0) (0)
10
dirumuskan
oleh
Jadi (0) terletak dalam ker(T ) Dari vektor tersebut diperoleh SPL : T (x) 2 x 0
Dari SPL tersebut diperoleh x 0 , sehingga T (0) terletak dalam R(T )
2) (1) Penyelesaian: T (1) (2.1) (2)
Jadi (1) tidak terletak dalam ker(T ) Dari vektor tersebut diperoleh SPL: T ( x) 2 x 1
Dari SPL tersebut diperoleh x
1 sehingga T (1) terletak dalam 2
R(T ) .
b. T : R2 R2 adalah transformasi
linear
yang dirumuskan oleh
T x, y (2 x 2 y, x y) untuk setiap ( x) R .
Apakah vektor (1,1) terletak dalam ker T dan R T Penyelesaian : T 1,1 2 2, 1 1 0,0
Jadi (1,1) terletak dalam ker T Dari vektor tersebut diperoleh SPL : 2x 2 y 1 x y 1
a11 2; a12 2; b1 1 a21 1; a22 1; b2 1 a21 a22 1 b a a b dan 2 1 21 22 2 b1 a11 a12 b1 a11 a12 2
Jadi, T 1,1 tidak terletak dalam R T c. T : R3 R3
adalah
transformasi 11
linear
yang
dirumuskan
oleh
T ( x, y, z) (2 x y 2 z, x 2 y 2z, x y) untuk setiap ( x) R
Apakah vektor (2,2,1) terletak pada ker (T) dan R(T) Penyelesaian : T (2, 2,1) (4 2 2, 2 4 2, 2 2) (0, 4,0)
Jadi, vektor (2,2,1) tidak terletak pada ker (T). Dari vektor tersebut diperoleh SPL :
2x y 2z 2 x 2 y 2z 2 x y 1 Dari SPL tersebut dengan menggunakan metode Cramer diperoleh
1 x 12 , y ,dan z 14 2 Ini berarti T (2, 2,1) terletak dalam R(T) Teorema 2 Jika T : V W adalah sebuah transformasi linear, maka : (a) Kernel dari T adalah subruang dari V (b) Jangkauan dari T adalah subruang dari W Bukti : (a) Berdasarkan teorema 1, vektor 0 berada didalam ker (T), sehingga himpunan ini mengandung setidaknya satu vektor misalkan v1 dan v2 adalah vektor-vektor didalam ker(T), dan misalkan k adalah skalar sebarang, maka: T (v1 v2 ) T (v1 ) T (v2 ) 0 0 0
Sehingga v1 v2 terletak pada ker (T), dan T (kv1 ) kT (v1 ) k 0 0
Sehingga kv1 terletak pada ker(T) (b) Karena T(0)=0 , terdapat setidaknya satu vektor pada R(T). Misalkan w1 dan w2 adalah vektor-vektor di dalam jangkauan dari T, dan k adalahskalar sebarang. Untuk membuktikan hal tersebut, harus ditunjukkan bahwa
12
w1 w2 dan kw1 terletak didalam jangkauan dari T. Dengan menemukan
vektor a dan vektor b pada V sedemikian rupa sehingga T (a) w1 w2 dan T (b) kw1 karena w1 dan w2 berada didalam jangkauan dari T, terhadap
vektor-vektor a 1 dan a 2 dan V sedemikian rupa sehingga T (a1 ) w1 dan T (a2 ) w2
Jika a a1 a2 dan b ka1 maka:
T (a) (a1 a2 ) T (a1 ) T (a2 ) w1 w2 T (b) T (ka1 ) kT (a1 ) kw1 Definisi 2 Jika T : V W adalah sebuah transformasi linear, maka dimensi range dari T disebut sebagai rank dari T (rank of T) dan dinotasikan dengan rank (T); dimensi karnelnya disebut nulitas dari T (nulity of T) dan dinotasikan dengan nuitas (T) jangkauan T adalah ruang kolom dari A. Karnel T adalah ruang pemecahan Ax 0 sehingga : Rank (T)=dim(ruang kolom A)=rank(A) Nulitas(T)=dim(ruang pemecahan Ax 0 )
Teorema 4 (Teorema dimensi) Jika T : V W adalah sebuah transformasi linear dari ruang vektor V yang berdimensi
n
kepada
sebuah
ruang
vektor
W,
maka:
Rank dari T nulitas dari T n Dengan kata lain, teorema ini menyatakan bahwa rank + nulitas dari transformasi linear sama dengan dimensi domainnya. dalam kasus khusus dimana V Rn ,W Rm dan T : V W merupakan perkalian oleh sebuah matriks A yang berukuran m x n dan Rank(A) + dim (ruang pemecahan Ax = 0) = n Contoh soal:
13
Tentukan rank dan nulitas dari transformasi linear T : P2 P3 yang didefinisikan dengan T (p(x)) xp(x) . Penyelesaian: ker T {v V│T (v) 0} p ( x) a bx cx 2 T ( p ( x)) xp ( x) T ( p ( x)) 0 T (a bx cx 2 ) 0 x(a bx cx 2 ) 0 ax+bx 2 cx 3 a=b=c=0 Ker (T ) 0
Nulitas (T) dimensi ( Ker (T )) 0 Sehingga rank (T) dimensi ( P2 ) nullitas (T) 3 0 3 F. Representasi Transformasi Linear Misalkan T : R n Rm adalah transformasi linear dari ruang vektor V ke ruang vektor W , bila V dan W berdimensi berhingga, maka transformasi linear tersebut dapat dinyatakan dengan suatu matriks, yang disebut matriks penyajian (representasi matriks). Misalkan e1 , e2 ,, en adalah basis baku untuk R n dan misalkan A adalah sebuah matriks m n yang dibentuk oleh
T (e1 ), T (e2 ),..., T (en ) sebagai vektor-vektor kolomnya, maka sebagai matriks penyajian (representasi matriks). Misalkan T : V W
T : V W Rn Rm
14
A disebut
x1 b1 x b 2 2 xn bm
x1 b1 x b T 2 2 xn bm Maka diperoleh sistem persamaan linear Ax 0
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
a1n xn a2 n xn
am1 x1 am 2 x2
b1 b2
amn xn bm
Bentuk perkalian matriks: a11 a 21 am1
a12 a21
am 2
a11 a 21 Jadi A am1
a1n x1 b1 a2 n x2 b2 amn xn bn a12 a21
am 2
a1n a2 n sebagai matriks standarnya. amn
Definisi
15
Transpose dari matriks koefisien-koefisien di atas, yang dilambangkan dengan
ms (T ) atau [T ]s disebut representasi matriks T relatif terhadap basis S , atau cukup dinyatakan dengan matriks T pada basis S . Dengan menggunakan notasi vektor koordinat (kolom), representasi matriks
T dapat ditulis dalam bentuk ms (T ) [T ]s [T (e1 )]s ,......, [T (es )]s Yaitu kolom-kolom m(T ) , berturut-turut adalah vektor-vektor koordinat dari
T (e1 ), T (e2 ),...,T(en ) Contoh: 1. Misalkan jika T : R2 R2 diberikan oleh:
x 3x 2 x2 T 1 1 x2 x1 2 x2 Apakah merupakan representasi matriks? Maka penyelesaian:
1 3 0 2 T (e1 ) T dan T (e2 ) T 0 1 1 2 Ini didapat dari:
3 2 1 3 T (e1 ) 1 2 0 1
3 2 0 2 T (e2 ) 1 2 1 2 1 0
0 1
Atau dapat juga diselesaikan dengan mengeluarkan x dari matriks yang diketahui:
x 3x 2 x2 3 2 x1 T 1 1 x2 x1 2 x2 1 2 x2
16
Jadi
3 2 A 1 2
adalah
representasi
matriks
untuk
x 3x 2 x2 T 1 1 x2 x1 2 x2 2. Misalkan T : R2 R2 adalah operator linear yang didefinisikan sebagai T x, y 2 x 3 y, 4 x 5 y
tentukan matriks T (e1 )
terhadap basis
S e1 , e2 1, 2 , 2,5
Penyelesaian: Tentukan representasi matriks T (e1 ) , dan kemudian nyatakan sebagai kombinasi linear dan vektor-vektor e1 , e2
1 8 1 2 T (e1 ) T x y dan x 2 y 8, 2 x 5 y 6 2 5 2 6 Atau dengan cara: diubah ke dalam bentuk matriks menjadi
2 x 3 y T ( x, y ) 4 x 5 y Sehingga:
1 2 3 1 8 T (e1 ) T 2 4 5 2 6 Dengan menyelesaikan SPL tersebut, maka didapat x 52 dan y 22 Sehingga T (e1 ) 52e1 22e2 . (dengan eliminasi substitusi) Selanjutnya tentukan T (e2 ) dan kemudian nyatakan sebagai kombinasi linear dari e1 dan e 2 ;
2 19 1 2 T (e2 ) T x y dan x 2 y 19 , 2 5 5 17 2 x 5 y 17
Atau dengan cara:
17
2 2 3 2 19 T (e2 ) T 5 17 5 4 5 Dengan menyelesaikan SPL tersebut, maka didapat x 129 dan y 55 . Jadi, T e2 129e1 55e2 . (dengan eliminasi substitusi) Kemudian menuliskan koordinat-koordinat
dan
dan sebagai
kolom-kolom untuk memperoleh representasi matriks dari .
52 22 e1 Jadi, T (e1 , e2 ) merupakan representasi matriks dari 129 55 e2
52 129 T ( x, y) (2 x 3 y, 4 x 5 y) atau T S 22 55
18
LATIHAN SOAL 1. Misalkan
T : R 2 R3
adalah fungsi yang didefinisikan oleh
T (v) ( x, x y, x y) dengan v ( x, y) di R 2 . Buktikan bahwa T
merupakan transformasi linear! 2. Periksa
linearitas
transformasi,
T : R 2 R3
dengan
T ( x, y) (2 x y, x 3 y,3x 1) !
Tentukan T (2v1 3v2 4v3 ) ! 3. Diketahui T : R2 R3 dengan T ( x, y) ( x y, x, y) apakah T merupakan transformasi linear ? 4. Diketahui T : R2 R3 dengan T ( x, y) (2 x, x 2 , y 2 )
apakah T
merupakan transformasi linear ? 5. Gunakan definisi transformasi linear untuk menunjukkan bahwa fungsi
T : R3 R 2
yang
dirumuskan
oleh
T ( x, y, z) (2 x y z, y 4 z) adalah transformasi linear!
6. Misaldiberikantransformasi
x x 2y z T y 2 x 3 y z z
linear,
T : R3 R 2 dengan
, manakah di antaravektorberikut yang
merupakananggota Ker(T)?
2 a. 2 2 2 b. 1 3 7. Diketahui sebuah transformasi linear T: R3→R3, dimana T[x,y,z] = [x + 2y – z, y+z, x+y-2z] Tentukan basis, rank(T), nulitas(T), Ker(T) !
19
8. Misalkan F : R2 R2 adalah operator linear yang didefinisikan sebagai F ( x, y) ( x 3 y, x 5 y) a. Tentukan representasi matriks F relative terhadap basis
S {u1 , u2 } {(1,3),(3,5)} b. Tentukan representasi matriks relative terhadap basis (standar)
E {e1 , e2 } {(1,0),(0,1)} 9. W adalah ruang vector dari matriks simetris yang berukuran 2 2 .
T : W P2 didefinisikan dengan:
a b T (a b) (b c) x (c a) x 2 b c Tentukan rank dan nullitas dari transformasi linear T . 10. Tentukan matriks standar transformasi linier T : R2 R3 dengan
3x1 x2 x1 definisi T 5 x1 7 x2 x2 x 3x 2 1
20
JAWAB 1. Diketahui : T : R 2 R3 T (v) ( x, x y, x y) dengan v ( x, y) di R 2
Penyelesaian : Misalkan u ( x1 , y1 )
v ( x2 , y2 ) (i ) T u v T x1 , y1 x2 , y2 T x1 x2 , y1 y2
x1 x2 , x1 x2 y1 y2 , x1 x2 y1 y2 x1 x2 , x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x1 , x1 y1 , x1 y1 , x2 , x2 y2 , x2 y2 T x1 , y1 T x2 , y2 T (u ) T (v) (ii ) T (ku ) T k x1 , y1 T kx1 , ky1
kx1 , k x1 y1 , k x1 y1 k x1 , x1 y1 , x1 y1 kT ( x1 , y1 ) kT (u )
Karena syarat(i) dan (ii) terbukti maka fungsi tersebut merupakan transformasi linear.. 2. Diketahui : T : R 2 R3 T ( x, y) (2 x y, x 3 y,3x 1)
Penyelesaian : Misalkan u ( x1 , y1 )
v ( x2 , y2 )
21
(i ) T u v T x1 , y1 x2 , y2 T x1 x2 , y1 y2
2 x1 x2 y1 y2 , x1 x2 3 y1 y2 ,3 x1 x2 1 2 x1 2 x2 y1 y2 , x1 x2 3 y1 3 y2 ,3 x1 3 x2 1
2 x1 y1 , x1 3 y1 ,3 x1 1 , 2 x2 y2 , x2 3 y2 ,3 x2 T x1 , y1 2 x2 y2 , x2 3 y2 ,3x2 T (u ) 2 x2 y2 , x2 3 y2 ,3 x2 T (v) 2 x2 y2 , x2 3 y2 ,3x2 , Sehingga pembuktian (i) tidak
terbukti.
(ii ) T (ku ) T k x1 , y1 T kx1 , ky1 2kx1 ky1 , kx1 3ky1 ,3kx1 1 kT (u) 2kx1 ky1 , kx1 3ky1 ,3kx1 1 Sehingga pembuktian (ii)
tidak terbukti. Karena pembuktian (i) dan (ii) tidak terbukti, maka fungsi tersebut bukan merupakan transformasi linear.
3. Diketahui : T : R2 R3 dan T ( x, y) ( x y, x, y)
Penyelesaian : Misalkan u ( x1 , y1 )
v ( x2 , y2 ) (i ) T u v T x1 , y1 x2 , y2 T x1 x2 , y1 y2
x1 x2 y1 y2 , x1 x2 , y1 y2 x1 x2 y1 y2 , x1 x2 , y1 y2 x1 y1 , x1 , y1 , x2 y2 , x2 , y2 T x1 , y1 T x2 , y2 T (u ) T (v)
22
(ii ) T (ku ) T k x1 , y1 T kx1 , ky1 kx1 ky1 , kx1 , ky1 k x1 y1 , x1 , y1 kT ( x1 , y1 ) kT (u )
Karena syarat(i) dan (ii) terbukti maka fungsi tersebut merupakan transformasi linear. 4. Diketahui : T : R 2 R3
T ( x, y) (2 x, x 2 , y 2 ) Penyelesaian: Misalkan u ( x1 , y1 )
v ( x2 , y2 ) (i ) T u v T x1 , y1 x2 , y2 T x1 x2 , y1 y2
2 x1 x2 , x1 x2 , y1 y2 2
2x , x
2
2 x1 2 x2 , x12 2 x1 x2 x12 , y12 2 y1 y2 y22 1
2 1
2 x1 x2 , y12 2 x2 , x22 , 2 y1 y2 y22
T x1 , y1 T x2 , y2 T (u ) T (v)
(ii ) T (ku ) T k x1 , y1 T kx1 , ky1 2 kx1 , kx1 , ky1 2
2
2kx1 , k 2 x12 , k 2 y12
k 2 x1 , kx12 , ky12 T (u ) 2 x1 , kx12 , ky12 sehingga syarat (ii) tidak terpenuhi
23
Jadi, karena syarat (i) dan (ii) tidak terpenuhi maka fungsi tersebut bukan merupakan transformasi linear. 5. Diketahui : T : R3 R 2 dengan T ( x, y, z) (2 x y z, y 4 z)
Penyelesaian : Misalkan u ( x1 , y1 , z1 )
v ( x2 , y2 , z2 ) (i ) T u v T x1 , y1 , z1 x2 , y2 , z2 T x1 x2 , y1 y2 , z1 z2
2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 , y1 y2 4 z1 z2 2 x1 2 x2 y1 y2 z1 z2 , y1 y2 4 z1 4 z2 2 x1 y1 z1 , y1 4 z1 , 2 x2 y2 z2 , y2 4 z2 T x1 , y1 , z1 T x2 , y2 , z2 T (u ) T (v)
(ii ) T (ku ) T k x1 , y1 , z1 T kx1 , ky1 , kz1 2kx1 ky1 kz1 , ky1 4kz1 k 2 x1 y1 z1 , y1 4 z1 kT ( x1 , y1 , z1 ) kT (u )
Karena syarat(i) dan (ii) terbukti maka fungsi tersebut merupakan transformasi linear.
2 2 6. Bayangandari 2 dan 1 olehtransformasi T adalahsebagaiberikut: 2 3 2 T 2 = 2
2 4 2 0 4 6 2 0
24
2 T 1 = 3
2 2 3 1 433 = 4
Sehinggadapatdisimpulkan
2 2 2 ∈Ker(T) dan 1 Ker(T) 2 3 7. Kita tentukan dulu matriks transformasinya: T[1,0,0] = [1,0,1] T[0,1,0] = [2,1,1] T[0,0,1] = [-1,1,-2]
1 2 1 1 2 3 1 2 0 A = 0 1 1 K32( 1) 0 1 0 K31(3) 0 1 0 1 1 2 1 1 3 1 1 0 Rank matriksA (secarakolom) adalah 2. Jadi rank(T) = 2 dan basis nya dapat diambil {[1,0,1], [2,1,1]}. Untuk mencariker(T): Misalkan v v1 , v2 , v3 Ker (T ) maka Av = 0 atau
1 2 1 v1 0 0 1 1 v 0 2 1 1 2 v3 0 nulitas(T) = n - rank(A) =3–2=1 Ambil dua persamaan yang bebas :
v1 2v2 v3 0 v2 v3 0
Ambil parameter, misalnya v2 maka v1 3 ,
v3 . Jadi
v [3,1, 1] ; Ker(T) mempunyai basis (-3,1,-1) atau Ker(T) = L{[-
3,1,-1]}
25
1 10 1 3 x y dan x 3 y 10, 3x 5 y 14 8. a. F (u1 ) F 3 5 3 14 Atau dengan cara: diubah ke dalam bentuk matriks menjadi
y x F ( x, y ) 3x 5 y Sehingga:
1 1 3 1 10 F (u1 ) T 3 14 3 1 5 Dengan menyelesaikan SPL tersebut, maka didapat x 23 dan y 11 Sehingga F (u1 ) 23u1 11u2 . (dengan eliminasi substitusi) Selanjutnya tentukan F (u2 ) dan kemudian nyatakan sebagai kombinasi linear dari u1 dan u2 ;
3 18 1 3 F (u2 ) F x y dan x 3 y 18 , 3 5 5 22 3x 5 y 22
Atau dengan cara:
3 1 3 3 18 F (u2 ) F 5 22 5 1 5 Dengan menyelesaikan SPL tersebut, maka didapat x 39 dan y 19 . Jadi, F u2 39u1 19u2 . (dengan eliminasi substitusi) Kemudian menuliskan koordinat-koordinat
dan
dan sebagai
kolom-kolom untuk memperoleh representasi matriks dari .
26
23 11 u1 Jadi, F (u1 , u2 ) merupakan representasi matriks dari 39 19 u2
23 39 F ( x, y) ( x 3 y, x 5 y) atau F S 11 19 1 1 0 3 F (u1 ) F F (u2 ) F 0 1 dan 1 5 b. Ini didapat dari:
1 3 1 1 F (u1 ) 1 5 0 1
1 3 0 3 F (u2 ) 1 5 1 5 1 0
0 1
Atau dapat juga diselesaikan dengan mengeluarkan x dari matriks yang diketahui:
x x 3 y 1 3 x F 1 5 y y x 5 y
1 3 Jadi FE 1 5 9. P(x) = a+bx+cx2
27
a Ker (T ) b a Ker (T ) b
b a b :T 0 c b c b : (a b) (b c) x (c a) x 2 0 c a b Ker (T ) : (a b) (b c) (c a) 0 b c a b Ker (T ) : a b c b c c c Ker (T ) : c c c
1 1 Jadi, basis Ker(T) sehingganulitas(T) = dimensiker(T) = 1 1 1 Rank(T)= dimensi W – nulitas(T) = 3 - 1 = 2 10.
Kemudian menuliskan koordinat-koordinat kolom matriks standar
yaitu
28
dan
sebagai kolom-
DAFTAR PUSTAKA
Abdul Aziz Saefudin. 2015. Modul Aljabar Linear.Yogyakarta: Universitas PGRI Yogyakarta. Andrilli, Stephen and David Hecker. 2010. Elementary Linear Algebra Fourth Edition. Canada: Elsevier. Anton, Howard. 2004. Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi. Jakarta: Erlangga Danang Mursita. 2010. Aljabar Linear. Bandung: Rekayasa Sains. Matthews, K. R. 1998. Elementary Linear Algebra. Department of Mathematics: University of Queensland.
29
