TINJAUAN PUSTAKA Curah Hujan
Faktor pertama yang mempengaruhi cuaca adalah matahari, dan hujan merupakan penyeimbang atmosfer yang besar. Secara meteorologis, air merupakan unsur pokok paling penting dalam atmosfer bumi. Air terdapat sampai pada ketinggian 12,000 hingga 14,000 m, dalam jumlah yang kisarannya mulai dari nol di atas beberapa gunung serta gurun sampai empat persen di atas samudera dan laut. Bila seluruh uap air berkondensasi (atau mengembun) menjadi cairan, maka seluruh permukaan bumi akan tertutup dengan curah hujan kira-kira sebanyak 2.5 em. Berdasarkan pengetahuan mengenai mekanika curah hujan diungkapkan bahwa empat perlima dari seluruh energi matahari yang mencapai bumi habis untuk menguapkan air, dan jumlah air yang terlibat lebih kurang 396,000 kilometer kubik setahun. Antara saat menguap ke atmosfer dan saat tercurahnya kembali ke bumi, lebih kurang satu milyar ton air hujan tercurah ke bumi setiap menit (Thompson & O'Brien, 1983). Di banyak tempat di bagian dunia ini, hujan terjadi secara musiman, tetapi di daerah khatulistiwa, terutama di daerah khatulistiwa yang basah, hujan secara teratur sering terjadi. Adanya curah hujan, di satu sisi memberikan keuntungan tetapi di sisi lain dapat mengakibatkan malapetaka bagi manusia karena hujan dapat saja mencuci habis tanahnya dan menghanyutkan senyawa mineral yang penting. Salah satu batasan yang melandasi pengertian curah hujan yaitu tinggi air hujan (dalam mm) yang diterima permukaan sebelum mengalami aliran permukaan, evaporasi dan peresapan/perembesan ke dalam tanah (Handoko el al., 1988). Oleh Sosrodarsono dan Takeda (1987), intensitas curah hujan atau disebut juga derajat curah hujan adalah jumlah curah hujan dalam suatu satuan waktu (biasanya dalam mm/jam), dan dapat dibaca dari kemiringan (tangens kurva) yang dicatat oleh alat ukur curah hujan otomatis.
4
Berdasarkan inforrnasi yang diperoleh dari Badan Meteorologi dan Geofisika (BMG), tinggi curah hujan I mm sarna dengan jumlah air hujan sebanyak I liter dalam luasan I meter persegi ( I mm
=
I Iiter/m 2
).
Keadaan curah hujan dikatakan
musim kering jika curah hujan kurang dari 50 mmllO hari
«
50 mmllO hari) dan
musim hujan jika curah hujan mencapai lebih dari atau sarna dengan 50 mmllO hari (2: 50 mmllO hari). Kriteria hujan dalam sehari dibedakan atas:
•
ringan
: 5 - 20
mm/hari
•
normal
: > 20 - 50
mm/hari
•
lebat
: > 50 - 100
mm/hari
•
sangat lebat
: > 100
mm/hari
Teori Nilai Ekstrim (Extreme Value Theory - EVT) Untuk menghindari akibat buruk dari kejadian ekstrim curah hujan, sangatlah penting untuk memberi perhatian secara khusus terhadap nilai-nilai ekstrim, mengingat ketidakmampuan manusia untuk menghindar atau membebaskan diri dari bencana yang dapat ditimbulkan oleh fenomena curah hujan. Salah satu teori yang secara khusus membahas kejadian-kejadian ekstrim adalah EVT (Extreme Value Theory). EVT memberi perhatian pada inforrnasi kejadiankejadian ekstrim berdasarkan nilai-nilai ekstrim yang diperoleh untuk membentuk fungsi sebaran dari nilai-nilai ekstrim tersebut. Analisis terhadap nilai-nilai ekstrim fenomena curah hujan sangatlah penting, terutama bagi pemerintah dan departemen terkait untuk pengambilan suatu kebijakan. Dengan menganalisis kejadian ekstrim memungkinkan kita menduga kapan kejadian ekstrim akan terjadi (Chavez-Demoullin
el
al., 2001). Ungkapan ini
berkaitan dengan teori : jika f adalah fungsi kontinu dan terdefinisi pada selang tertutup [a,b] , maka f akan memiliki nilai maksimum absolut dan nilai minimum absolut.
5
Dalam pemodelan nilai maksimum dari suatu peubah acak, Teori Nilai Ekstrim akan menyerupai Teori Limit Pusat (Central Limit Theorem) dalam memodelkan jumlah peubah acak. Berdasarkan teori ini diketahui bahwa secara asimptotik nilai ekstrim curah hujan akan konvergen mengikuti fungsi distribusi GEV (Generalized
Exlreme Value). Misalkan XI , X2 , ... , Xn adalah peubah acak iid, maka X(n) = Max(XI , X2 , .. . , Xn) konvergen pada sebaran :
(I)
dimana J.l adalah parameter lokasi, cr adalah parameter skala, dan
S adalah parameter
bentuk. Fungsi distribusi ini disebut distribusi GEV (Fisher-Tippet 1928, Gnedenko 1943, diacu dalam Bensalah 2000).
S < 0 maka fungsi peluangnya mempunyai suatu titik ujung kanan yang terhingga dan jika S ~ 0 Parameter bentuk
S menentukan
karakteristik ujung sebaran; jika
fungsi peluangnya akan mempunyai suatu titik ujung kanan yang tak terhingga (Coles dan Tawn1996, diacu dalam Sadik 1999). Distribusi nilai ekstrim terampat yang diperkenalkan oleh Jenkinson (1955), merupakan kombinasi dari tiga tipe distribusi terbatas untuk nilai ekstrim menjadi satu bentuk tunggal seperti yang diturunkan oleh Fisher dan Tippett (Hosking et al. 1985). Ketiga bentuk tunggal yang dimaksud adalah distribusi Gumbel, distribusi Frc:chet dan distribusi Weibuli, dengan persamaan masing-masing :
G(x) =
exp{_exp[_(x~a)]} ;-oo<x
(2)
6
o G(x) =
{
;x:'Sa (3)
eX1-(x~ar}
;x>a
ex~-[-( x~a )r}; x< a G(x)
=
(4)
{
., x> - a
1
di mana a adalah parameter lokasi, b > 0 adalah parameter skala dan a > 0 adalah parameter bentuk (Stephenson, 2003). Bentuk parametrik dari GEV akan mengarahkan pada distribusi Gumbel untuk limit 1; -+ 0, distribusi Frechet jika 1; > 0 dan distribusi Weibull jika 1; < O. Kombinasi dari (2), (3) dan (4) akan diperoleh distribusi GEV setelah parametemya ditentukan seperti berikut : untuk distribusi Frechet pararnetemya ditentukan menjadi 1; = ;. > 0, 0" =
*>
0 dan J.l = a + b ; sedangkan distribusi Weibull parametemya ditentukan
menjadi 1; = -
-i; < 0, 0" =
*
> 0 dan J.l = a-b.
Grafik fungsi kepekatan peluang distribusi GEV untuk beberapa nilai parameter yang berbeda disajikan pada gambar berikut. Untuk Gambar I, nilai parameter J.l berbeda sedangkan nilai parameter 0" dan 1; tetap; untuk Gambar 2, nilai parameter 0" berbeda sedangkan nilai parameter J.l dan 1; tetap; untuk Gambar 3, nilai parameter 1; berbeda sedangkan nilai parameter Ii dan G tetap.
7
mu=O, sig=1 dan xi=O.2
-5
5
-0,1
,
,10
15
'"
mu=1, sig=1 dan xi=O.2 0;.t-
mu=1.5, slg=1 dan xi=O.2
1
0,31 0,2
g
0,1
i -5
-0,1
D
5
,
10
15
20
,
Gambar 1. GrafIk tkp untuk nilai J.1 berbeda dan nilai
G, ~
tetap
mu=O.3, sig=2 dan xi=O.2
-5
o
5
"
10
mu=C.3, $1g=2.5 dan xi=O.2
mu=O.3, sig=3 dan x/=O.2
[-'-._ !i~~ -5
o
5
10
"
20
Gambar 2. GrafIk tkp untuk nilai
-5
G
o
5
10
berbeda dan nilai J.1,
" ~
tetap
20
8
mu=O.S, sig=3.S dan xi=-O.2
"
><
~
e_'_
-20
~~l __ _ ~ "
a
10
:-f(x),~
20
mu=O.5, Sig=3.5 dan xi=O.1
mu=O.5, sig=3.S dan xi=O.2 0,15 -
-20
,-~"
-10
...Q-,O&.9
,_,,-f{X),
10
• Gambar 3. Grafik fkp untuk nilai
~
berbeda dan nilai 11, cr tetap
Pendugaan Parameter Pendugaan parameter untuk menentukan nilai jt, iT dan
~
dilakukan dengan
metode Maximum Likelihood (ML) dan metode Least Square (LS).
o Metode Maximum Likelihood (ML) Fungsi kemungkinan untuk tiga parameter yang tidak diketahui dari GEV dirumuskan oleh Gilli dan Kellezi (2003) :
LCu,a,~lx)= TI!(x,)
dimana !(x,) merupakan fungsi kepekatan peluang (fkp) dengan rumus:
(5)
9
f(,u,lT,q I x) =
(6)
J
x-,u) [
(x-,u)] , q = 0
I ex"\..- --;;- exp - exp - --;;-
IT
Sehingga diperoleh log fungsi kemungkinan sebagai berikut :
" ( x-,u)"(
log
L(,u,lT,q I x) =
{
x-,u)-t; , q;tO
-nIOglT-(t+I)f: .., log I+q~ -. ~ l+q~
(7)
"(x -,u) " (x -,u)
-nloglT-~ ~ -~exp -~ ,~=O
Untuk
q;t 0, dugaan parameter dihitung berdasarkan
persamaan 8, 9, 10, dan
ditentukan dengan cara iterasi menggunakan progmm Toolkit R versi 1.8.0
\ ~ )-~ t[l+qX' ( 1+q)t( U i_I 1+~ ---ua ;=) a
,uJ-t;-1 =0
(8)
t i(XI - ,u)(1 +q X, - ,u)-X-' =0 1:1
Untuk
q = 0,
a
(10)
a
dugaan parameter dihitung berdasarkan persamaan II, 12, dan
ditentukan dengan cara iterasi menggunakan program Toolkit R versi 1.8.0
10
(Xi - fJ)
n -I ~ L...exp - - - =0
a
n --+ (J'
o
(I I)
a
(T' ; ... 1
x, - fJ) + L --,Xi - fJ) exp(Xi fJ) =0 L --,- --a n (
;=1
n (
(J
(12)
(J'
;=1
Metode Least Square (LS) Misalkan suatu gugus pengamatan
dari amatan terkecil ke terbesar
XI, X"
.•. , Xn
x(I)o X(2)o ... , X(n)'
dengan tatanan yang disusun
Fungsi reliabilitas R(x) dirumuskan
sebagai berikut : R(x) = I - Pi
(13)
dimana Pi adalah proporsi teramati dari pengamatan yang lebih kecil atau sarna dengan
XCi).
Rumus Hazen untuk Pi , secara umum mempunyai bias terkecil untuk
i - O.S sampe I besar n>20 yakn ·I p, = - , dan untu k sampe I keCI'1 akan sesu31. n
i-O.S menggunakan rumus P = (Wolstenholme, 1999). Selanjutnya R(x) akan , n+0.4 diduga dengan fungsi reliabilitas empirik R(x) = 1- Pi = 1- i - O.S n
(14)
Jika F merupakan distribusi GEV dan R(x) fungsi reliabilitas, maka : R(x)
=I -
(IS)
F(x)
atau
t(I-{-ln[I-R(x)W)=-~+~x; ~ ",0 dan -O.S<~
(16)
Persamaan (16) modelnya sarna dengan bentuk linear y = a + bx dengan y=t(I-{-ln[I-R(x)lY), a= -~ danb=~. Dalam praktek, berdasarkan hasil penelitian, nilai parameter bentuk biasanya terletak pada kisaran -O.S <
~
< O.S ; seperti yang direkomendasikan oleh Natural
Environment Research Council - NERC (l97Sa) dengan 32 data banjir tahunan
11
menggunakan distribusin GEV dengan metode Maximum Likelihood: nilai parameter bentuk yang diestimasi berkisar -0.32 sampai 0.48 (Hosking et al. 1985).
Penentuan Nilai Ekstrim Curah Hujan
Penentuan nilai-nilai ekstrim menurut Gilli dan Kellezi (2003) dapat dilakukan dengan dua cara yaitu : I.
dengan mengambil nilai-nilai maksimum dalam suatu periode, misalnya periode mingguan atau bulanan; pengamatan atas dari nilai-nilai ini dianggap sebagai nilai-nilai ekstrim.
2. dengan mengambil nilai-nilai yang melampaui suatu nilai threshold; seluruh nilai-nilai yang melampui threshold u (ambang u) dianggap sebagai nilai-nilai ekstrim. Dalam penelitian ini, nilai ekstrim curah hujan diambil satu nilai tertinggi untuk setiap periode mingguan.
Plot Quantil-Quantil
Eksplorasi data merupakan salah satu cara untuk pendeteksian awal pendugaan distribusi suatu data. Plot kuantil-kuantil yang sering disebut plot Q-Q atau plot peluang berfungsi untuk pemeriksaan kesesuaian data, dimana plot Q-Q bertujuan untuk memeriksa kesesuaian pola sebaran data terhadap pola sebaran teoritik. Pada dasamya penetapan nilai kuantil dapat dilakukan setelah data diurutkan dari nilai terkecil sampai nilai yang terbesar. Misalkan untuk sekelompok data
Xi ,
dimana i = 1,2, ... , n ; setelah diurutkan diperoleh kelompok data lain y" Y2 , ••• , Yi ,
•.• , Yn , maka Yi adalah PI kuantil empiris atau Q(Pi)
=
Yb i
=
I, 2, ... ,n untuk
P; = i - 0.5 . Jika F(y) merupakan fungsi sebaran kumulatif dari sebaran teoritis, P n
kuantil dari F dimana 0
12
teoritis, sedangkan Pi fraksi dari data akan terjadi pada nilai-nilai yang lebih kecil atau sama dengan Q.(PI) yaitu PI kuantil empiris (Chambers et 01., 1983). Plot Q-Q semacam ini banyak digunakan untuk memeriksa kenonnalan data. Misalnya jika XI, X2, .. , Xn diasumsikan sebagai data dari sebaran N(/!,<1) maka asumsi ini dapat diperiksa dengan melakukan transfonnasi Yi = (xi-/!)/a terlebih dahulu sehingga data YI, Y2, ... , Yn akan merupakan data dari sebaran nonnal baku N(O, I). Kemudian diplot antara Y(i) dengan kuantil teoritik Q,(Pi) yang sebaran teoritisnya adalah N(O,!). Jika plot Q-Q cenderung memiliki pola garis lurus, maka hal ini berindikasi bahwa data cenderung mendekati sebaran teoritis. Sebaran data yang diasumsikan menyebar Gamma menggunakan transformasi akar pangkat tiga dan pemeriksaan kesesuaian model dengan data dilakukan plot Q-Q antara (Y(i)I/l dengan (Q,(Pi»I13, karena secara teoritis jika Y menyebar Gamma maka sebaran bagi Y 113 dapat didekati dengan sebaran nonnal (Chambers et 01., 1983). Langkah-Iangkah pemeriksaan kesesuaian pola sebaran data terhadap pola sebaran teoritik dengan plot Q-Q adalah sebagai berikut : I. Data diurutkan dari yang kecil ke besar misalnya Y(I), Y(2), ... , Y(il , ... , y(n) 2. Untuk setiap y(i), hitung nilai Pi
= (i-O.S)/n
; plot Y(i) dengan Pi adalah plot
kuantil empirik 3. Untuk setiap Pi tentukan nilai FI(p,)
= Q(Pi) dengan bantuan tabel sebaran
nonnal baku. Plot antara Q(Pi) dan Pi adalah plot kuantil teoritik. 4. Plot antara y(\) dengan Q(Pi) merupakan plot kuantil-kuantil.
Uji Kolmogorov-Smirnov Pemeriksaan kesesuaian pola sebaran data dengan sebaran teoritis dapat dilakukan dengan uji Kolmogorov-Smimov. Siegel (1986) mengungkapkan bahwa uji Kolmogorov-Smimov merupakan suatu tes goodness of fit di mana yang diperhatikan adalah tingkat kesesuaian antara distribusi serangkaian harga sampel (skor yang diobservasi) dengan suatu distribusi teoritis tertentu. Uji ini menetapkan suatu titik di mana kedua distribusi memiliki perbedaan terbesar.
13
Misalkan Fo(x) adalah suatu fungsi distribusi frekuensi kumulatif teoritis dalam hal ini sebaran GEV. Untuk N yang sembarang besamya, harga Fo(x) adalah proporsi kasus yang diharapkan mempunyai skor :5 x. Misalkan pula S,..{x) adalah distribusi frekuensi kumulatif yang diobservasi dari suatu sampel aeak dengan N observasi dan x adalah sembarang skor yang mungkin maka S,..{x)
observasi :5 x. Dengan menetapkan hipotesis nol
=
11
Ho : Fix)
di mana k banyaknya = S,..{x)
bahwa sampel
suatu observasi berasal dari distribusi teoritis tertentu, maka diharapkan untuk setiap harga x, S,..{x) hams mendekati Fix) artinya selisih antara Fo(x) dan S,..{x) keci!. Uji Kolmogorov-Smirnov memusatkan perhatian pada penyimpangan terbesar (deviasi maksimum) yang dimmuskan : D = maksl Fo(x) - S,..{x) I
(17)
*
Nilai kritik D untuk N :5 35 tersedia dalam tabel, sedangkan N > 35 untuk dua arah pada a = 0.05 dapat menggunakan pembagian menggunakan pembagian
::: ¥ff
pada a
= 0.0 I
dan pada a = 0.01 dapat
Ttl. Dengan demikian, jika D ::: ~
pada a = 0.05 atau D
maka signifikan, artinya observasi tidak mengikuti distribusi
teoritis.
Tingkat Pengembalian (return level)
Dalam praktek, besaran/kuantitas yang menjadi perhatian bukan hanya tertuju pada pendugaan parameter itu sendiri, tetapi pada kuantil yang juga disebut sebagai tingkat pengembalian (return level) dari penduga GEV. Nilai dugaan tingkat pengembalian eurah hujan maksimum yang diperoleh akan dipakai untuk validasi pada data curah hujan. Jika F adalah sebaran dari nilai maksimum untuk pengamatan pada jangka waktu yang sarna, maka tingkat pengembalian akan mengikuti persamaan berikut : (18)
14
dimana yl adalah fungsi kuantil dari fungsi sebaran F, k adalah jangka waktu dan p adalah periode. Nilai tingkat pengembalian merupakan nilai maksimum yang diharapkan akan dilampaui satu kali dalam jangka waktu k dengan periode p, atau dengan kata lain dalam k jangka waktu, curah hujan akan mencapai nilai maksimum
R;
satu kali (Gilti dan Kellezi, 2003). Setelah dugaan parameter jJ,
a
dan .;
didapat dan disubstitusikan pada (18), maka dugaan tingkat pengembalian :
Ak
i
jJ+ ~ [(-In(I-+))-< -I] ,
~,. 0
Rp -
(19)
jJ-alog[-log(l-t)], ~=O
