Téma 2 Napětí a přetvoření

Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského studia

Téma 2 Napětí a přetvoření • Deformace a posuny v tělese

• Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi, Hookeův zákon, fyzikální konstanty a pracovní diagramy stavebních materiálů • Deformace od změny teploty Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Deformace a posuny Vlivem zatížení nebo změny teploty se tělesa deformují, což lze popsat pomocí poměrných deformací nebo složek posunutí. Poměrné deformace: - délkové  x 

dx dx

y 

dy dy

Deformace a posuny v tělese

z 

dz dz

(poměrné prodloužení nebo zkrácení)

2 / 37

Deformace a posuny Poměrné deformace: - úhlové  (zkosení)

Teorie malých deformací: Zjednodušení: Deformace a posuny v tělese

 xy 

x dy

 yz 

y dz

 zx 

z dx

  1   1 tan    3 / 37

Poměrné deformace délkové x 

dx dx

y 

dy dy

z 

dz dz

 zx 

z dx

úhlové  xy 

x dy

 yz 

y dz

y

+y +z

N

N

dx Deformace a posuny v tělese

T kroucení

prostý tah

+x

dz

+x

dx 4 / 37

Stav přetvoření tělesa Stav přetvoření tělesa: tenzor, definovaný v pravoúhlé soustavě Tenzor deformace: Vektor deformace: Pouze 6 složek přetvoření           x  xy     y  sym.

 xz   yz   z 

x

y

z

yz

zx

 xy T

Geometrii deformovatelného tělesa lze popsat jednoznačně pomocí složek posunů libovolného bodu: x  x  u ( x, y , z )

y  y  v ( x, y , z )

z  z  w( x, y, z ) Deformace a posuny v tělese

5 / 37

Geometrické rovnice

x 

dx  dx dx  u (b)  u (a )  dx u ( x  dx, y )  u ( x, y ) u    x dx dx dx


6 / 37

Geometrické rovnice

 xy   1   2 

u (c)  u (a ) v(b)  v(a ) u ( x, y  dy )  u ( x, y ) v( x  dx, y )  v( x, y ) u v      dy dx dy dx y x


7 / 37

Geometrické rovnice Vyjadřují vztahy mezi složkami poměrných deformací v tělese a složkami posunů libovolných bodů v tělese.

 xy

v u   x y

v y  y

 yz

w v   y z

w z  z

 zx 

u x  x


u w  z x

8 / 37

Pracovní diagram Vztah napětí - deformace vyjadřuje pracovní diagram. Závisí na fyzikálních a mechanických vlastnostech materiálů. 

 N   lim  A0 A



N A



l l

TAH

 Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi

9 / 37

Pracovní diagram Osové namáhání - tah

N

N

Téma č.1

Tahová zkouška oceli

Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi

10 / 37


N

N

Téma č.1



11 / 37


N

N

Téma č.1



12 / 37

Pracovní diagram Osové namáhání - tah Téma č.1

Přetržený vzorek oceli po tahové zkoušce Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi

13 / 37

Pracovní diagram Osové namáhání - tah Téma č.1

Přetržený vzorek oceli po tahové zkoušce Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi

14 / 37

Pracovní diagram Téma č.1

Tahová zkouška oceli, pracovní diagram Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi

15 / 37



16 / 37



17 / 37

Pracovní diagram Pracovní diagram oceli, získaný tahovou zkouškou Normálové napětí



Lineárně pružný materiál

Poměrné přetvoření Téma č.1 Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi



18 / 37




Plastické chování materiálu

Poměrné přetvoření Téma č.1 Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi



19 / 37




Trvalá deformace

Poměrné přetvoření

Téma č.1 Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi



20 / 37

Lineárně pružný materiál, Hookeův zákon E  tan  

TAH

x 

l l

x  x  x E x

x 

N A

x ... poměrné prodloužení [-] x ... normálové napětí [Pa] E ... modul pružnosti v tahu a tlaku (Youngův) [Pa]

Hookeův zákon N l A  E l Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi



l 

N .l E. A 21 / 37

Lineárně pružný materiál, Hookeův zákon  y   z   . x   .

x E

 (dříve  ) ... Poissonův součinitel příčné deformace [-]   0,5

Při současném působení x, y a z obdobně

y 

x 



x E

 .

y E

 .



1 .  y   . x   z  E

z E







1 .  x  .  y   z E

z 







1 .  z  .  x   y E



Fyzikální rovnice - 1.část Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi

22 / 37

Historické osobnosti Robert Hooke (1635 - 1703)

Anglický fyzik, přírodovědec a architekt, který jako první vyslovil v roce 1676 zákon o úměrnosti mezi napětím a přetvořením. Thomas Young (1773 - 1829)

Anglický učenec, v roce 1807 definoval matematicky Hookeův zákon (modul pružnosti E). Simeon Denis Poisson (1781 - 1840)

Francouzský matematik, zabývající se chováním materiálu a matematickou teorií pružnosti. Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi

23 / 37

Smyk, smyková napětí  y

yx

dy

xy

yx

xy

dx

x Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi

24 / 37

Lineárně pružný materiál, Hookeův zákon ve smyku G ... modul pružnosti ve smyku [Pa]

xy ... smykové napětí [Pa]

xy = yx

xy ... zkosení [-]

Hookeův zákon ve smyku  xy  xy G  tan     xy  G  xy obdobně

 = arctan G

 yz 

 yz G

 zx 

 zx G

Fyzikální rovnice - 2.část

xy Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi

25 / 37

Fyzikální rovnice Vyjadřují vztahy mezi složkami poměrných deformací a složkami napětí v tělese.





1  x  .  x  .  y   z E







1  y  .  y   . x   z  E





1  z  .  z  .  x   y E




 xy   yz 

 zx 

 xy G

 yz G

 zx G

26 / 37

Fyzikální konstanty U izotropní látky není E, G a  vzájemně nezávislé. E  2.1    G

0    0,5



E E G 3 2

Orientační hodnoty fyzikálních konstant některých látek: E

G



Ocel

210 000 MPa

81 000 MPa

0,3

Sklo

70 000 MPa

28 000 MPa

0,25

Žula

40 000 až 100 000 MPa

-

0,2

E = 10 000 MPa E = 300 MPa

600 MPa

-

Dřevo jehličnaté


27 / 37

Pracovní diagram betonu v tlaku


28 / 37

Fyzikální konstanty betonu Ecm sečnový modul pružnosti

G



C12/15

27 000 MPa

0,42.E

0,2

C16/20

29 000 MPa

C20/25

30 000 MPa

C25/30

31 000 MPa

C30/37

33 000 MPa

C35/45

34 000 MPa

C40/50

35 000 MPa

C45/55

36 000 MPa

C50/60

37 000 MPa

Třída betonu


29 / 37

Návrhový pracovní diagram betonu v tlaku Parabolicko-rektangulární


Bilineární

30 / 37

Pracovní diagram oceli Plasticita: schopnost materiálu deformovat se trvale bez porušení. Tažnost: plastické protažení přetržené tyče, ocel 15%. Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi

31 / 37

Pracovní diagram dřeva

Pracovní diagram dřeva Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi

32 / 37

Ideálně pružno-plastický materiál

Pracovní diagram ideálně pružnoplastického materiálu Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi

33 / 37

Přetvárná energie, ideálně pružno-plastický materiál x

Plocha 1. : přetvárná energie pružného materiálu En,e Plocha 2. : přetvárná energie plastického materiálu En,p A

Y fy

2. 0

x

1.

Namáhání nárazem Kinetická energie nárazu:

m.v 2 W 2


W  En 34 / 37

Omezené využití plastických vlastností materiálu

• pracovní diagram každého materiálu závisí na rychlosti zatěžování a teplotě • porušení – ztráta pevnosti je mnohotvárný jev, někdy vznikají tvárné-plastické deformace, jindy je povahy křehkého lomu (při nízkých teplotách, koncentrací napětí), který vzniká náhle • při proměnném napětí opakujícím se v mnoha cyklech se uplatní tzv. únava materiálu při napětích podstatně nižších než je fy


35 / 37

Deformace od změny teploty

 x ,T   y ,T   z ,T   T .T  xy   yz   zx  0 t … součinitel tepelné roztažnosti [oC-1]

Ocel Beton

t =12.10-6 oC-1 t =10.10-6 oC-1

Deformace od změny teploty

Dřevo Zdivo

t =3.10-6 oC-1 t =5.10-6 oC-1 36 / 37

Okruhy problémů k ústní části zkoušky

1. Deformace a posuny v tělese, geometrické rovnice 2. Hookeův zákon, lineárně pružný materiál, fyzikální konstanty stavebních materiálů 3. Pracovní diagramy stavebních materiálů 4. Nepružný a ideálně pružno-plastický materiál, tažnost 5. Deformace od změny teploty

Podklady ke zkoušce

37 / 37

Téma 2 Napětí a přetvoření

Recommend Documents