TARTÓSZERKEZETEK II. VASBETONSZERKEZETEK
2010.02.25.
Felületszerkezetek
Lemez – Felület síkjára merıleges terhelés
Tárcsa – Felület síkjába esı terhelés
Héj – Felület síkjára merıleges és a felület síkjába esı terhelés – Görbült felület
VASBETON LEMEZEK
Lemez: olyan sík középfelülető és erre merılegesen terhelt tartószerkezetet, amelyek vastagsága a másik két méretéhez viszonyítva csekély.
A vasbeton lemez mind a magas, mind a mély, mind pedig a hídépítésben rendkívül gyakran elıforduló szerkezeti elem.
VASBETON LEMEZEK Elınyök: kétirányú teherviselés - nagy teherbírás, Keresztirányú merevsége miatt a kis felületen megoszló terhekbıl (pld. koncentrált terhek, kis felületen megoszló, pontszerő terhek) keletkezı igénybevételei kedvezıbbek (jobb teherelosztás) kis szerkezeti magasság (magasépítés: ℓ/20-ℓ/40, hídépítés: ℓ/12-ℓ/20), könnyő zsaluzás, vasalás és betonozás a lemezek vasalása viszonylag egyszerő a lemezek betonozása viszonylag egyszerően elvégezhetı, a beton bedolgozhatósága a viszonylag ritka vasalás következtében akadálytalan.
VASBETON LEMEZEK A lemezmezık alakja szerint: háromszög alaprajzú, négyszög alaprajzú, kör alaprajzú, tetszıleges alaprajzú lemezek
VASBETON LEMEZEK A lemezek osztályozása: a megtámasztás módja szerint, pereme mentén: szabad szélő, csuklós, befogott, mindegyik megtámasztás lehet fix, vagy süllyedı a befogás elvileg lehet merev befogás, de ez nehezen megvalósítható, vastag beton falakba lehetséges. A csatlakozó szomszédos födémmezıkbe – többtámaszúsítás esetén - a födém rugalmasan befogott.
Egyedi lemez, lemezrendszerek „kéttámaszú” lemezek - egyedi lemezeknek Lemezrendszer - több lemez összeépítése - többtámaszú
A lemezek osztályozása teherhordás iránya szerint: egyirányban teherhordó lemez:
(közel) párhuzamos, vonalmenti támaszok Egyszeresen görbült terhelt lemezalak gerendaszerő viselkedés 1,0m széles sáv vizsgálata gerendaként Támaszok környezetében zavart zónák
A lemezek osztályozása Két irányban teherhordó lemez:
legalább két, egymással szöget bezáró vonalmenti támasz Terhelés hatására kétszeresen görbült felület Pontokon megtámasztott lemez: pontszerő támaszok, oszlopok pillérek
Számítás lemezelmélet alapján
VASBETON LEMEZEK
A lemezek számításának módszerei: – rugalmas – töréselmélet
Rugalmas lemezelmélet A vasbeton lemezek anizotróp viselkedésétıl eltekintünk Berepedetlen (repedésmentes), és berepedt (II. feszültségállapotban lévı) vasbeton lemez lineárisan homogén viselkedése biztosított. A berepedt állapotot csökkentett inerciával (hajlítási merevséggel) kell figyelembe venni. Ez alapján kimondhatjuk, hogy a rugalmas lemezelmélet használati határállapotban elegendıen pontos.
Rugalmas lemezelmélet
alapfeltevések: – Anyag: ideálisan rugalmas, homogén izotróp – Szerkezet: a lemez vastagsága állandó és a másik két kiterjedéséhez képest kicsi (v=ℓmin/5) – Alakváltozások: az alakváltozások kicsik, nem hatnak vissza a szerkezet erıjátékára – Érvényes a Kirchoff-Love hipotézis, azaz a középsík valamely pontjának normálisán lévı pontja alakváltozás után is ugyanazon a normálison marad; – A lemez középsíkjának pontjai csak merılegesen tolódnak el, a lemez síkjára merıleges lakváltozásoktól eltekintünk – Terhek: a lemez síkjára merılegesek
IGÉNYBEVÉTELEK z
dy
dx
p y
tyx
x
txy
mx my qy
qx
A lemezben a függıleges terhelés hatására hajlítás, nyírás és csavarás keletkezik. Az igénybevételeket célszerő 1,0m széles födémsávokra osztás alapján meghatározni, ezért fajlagos igénybevételekrıl beszélhetünk: mx,my : fajlagos hajlítónyomaték (kNm/m) vx, vy : fajlagos nyíróerı (kN/m) txy=tyx : fajlagos csavarónyomaték (kNm/m)
IGÉNYBEVÉTELEK
Egyirányban teherhordó lemezekben csak mx és vx keletkezik. (lemezek esetén az index a nyomaték változásának irányát jelöli)
LEMEZEGYENLET A p(x,y) teherrel terhelt lemez egy dx,dy eleme egyensúlyának vizsgálata alapján felírható egyensúlyi egyenlet: ∂ 2t xy ∂ 2 m y ∂ 2 mx + 2⋅ + = −q 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y
fizikai egyenlet: E E E σx = (ε x + µcε y );σ y = (ε y + µcε x );τ xy = γ xy ) 2 2 1 − µc 1 − µc 2 ⋅ (1 + µc )
összeférhetıségi egyenlet: ∂2w ∂2w ∂2w ε x = − z 2 ; ε y = − z 2 ;γ xy = −2 z ; ∂x ∂y ∂x∂y
LEMEZEGYENLET
Az egyensúlyi egyenlet, a fizikai és a kompatibilitási egyenletek figyelembevételével: ∂ 4w ∂ 4w ∂ 4w p + 2 ⋅ + = − ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 k
alakú Lagrange féle negyedrendő, parciális, inhomogén differenciálegyenletté alakítható, mely a rugalmas lemezelmélet alapegyenlete A fenti összefüggésekben: E : a lemez anyagának, vb. lemez esetén a beton rugalmassági modulusa, µc a harántnyúlási tényezı (a Poisson tényezı), melynek értéke vasbeton lemeznél µc = 0,15 - 0,20
E ⋅ t3 k= 12(1 − µ c2 )
a lemez hajlítómerevsége.
LEMEZEGYENLET
Az egyenletben egyedüli ismeretlen a w(x,y) lehajlásfüggvény, melyet ha sikerül az adott kerületi feltételek mellett meghatározni akkor az igénybevételek ennek deriváltjaként elıállíthatók:
∂2w ∂2w mx = −k 2 + µ 2 , ∂y ∂x ∂2w ∂2w m y = −k 2 + µ 2 , ∂x ∂y ∂2w , mxy = m yx = − k (1 − µ ) ∂x∂y ∂ ∂2w ∂2w t x = −k 2 + µ 2 , ∂x ∂x ∂y ∂ ∂2w ∂2w t y = −k 2 + µ 2 , ∂y ∂x ∂y
LEMEZEGYENLET
Mivel a differenciálegyenlet csak speciális peremfeltételek esetén oldható meg analitikusan, a kétirányban teherviselı lemezszerkezetek számítására az alábbi módok terjedtek el: – egyszerő esetek analitikus megoldása alapján készült táblázatok használata – ponthálózatra vonatkozó differeciaegyenletek számítógépes megoldása – végeslem módszeren alapuló számítógépes megoldások
LEMEZEGYENLET
Ha differenciálegyenletben a lemez deformált alakjára nézve feltesszük, hogy „y” irányú görbülettel nem rendelkezik, továbbá elcsavarodása nincs. (hengeres hajlítás esete) akkor az egyenlet a hajlított gerenda diff. egyenletévé fajul.
p ∂4w = − k ∂x 4
ez az eset akkor áll elı, ha a megtámasztási feltételek a lemez oldalarányi az említett alakváltozási feltételeket elıidézik. Négy oldalon megtámasztott lemezeknél az általános gyakorlati szabály, hogy 0,5<ℓy/ℓx>2 esetben a lemez egyirányban teherviselınek vehetı.
∂2w ∂2w m y = −k 2 + µc 2 ∂x ∂y =0
≠0
LEMEZEGYENLET
A lemez y irányú folytonossága révén az elemi gerendacsíkok harántirányú kontrakciója meg van gátolva, és ez a fıiránybeli nyomaték µ-szörösével megegyezı nyomatékot ébreszt. Ennek felvételére - pontosabb méretezés nélkül “elosztóvasakat” építünk be a lemezbe a fıvasakra keresztirányban. Ezek 1,0 m-es szakaszra jutó keresztmetszete a fıvassal azonos szilárdság esetében nem lehet kevesebb a fıvasbetétek 1,0 m-re jutó keresztmetszetének 20%-ánál, ás az egyes szálak legfeljebb 40 cm-re lehetnek egymástól. Az elosztóvasalás mennyisége nem lehet kevesebb a minimális vasalásnál, azaz mintegy a hatékony betonkeresztmetszet 1,5 ezrelékénél. Az elosztóvasakat a fıvasakhoz kötözik, így azok helyzetrögzítését Is szolgálják, ás ezért szerelıvasnak is szokták nevezni ıket.
SÁVMÓDSZER Az alapötlete az, hogy a lemezbıl a maximális lehajlás helyén x és y irányában egy-egy egymást keresztezı, egységnyi szélességő lemezsávot vágunk ki, melyeket a saját irányukban önállóan mőködı gerendáknak tekintünk. E (ER) Komp.
: 3,06E-12 : my [kNm/m]
-5,84 -8,83 -11,82 -14,81 -17,80 -20,79 -23,78 -26,77 -29,76 -32,75 -35,75 -38,74 -41,73
wx=wy
Z
KÖZELÍTÓ ANALITIKUS MÓDSZEREK
SÁVMÓDSZER: Ezzel, a csavarási ellenállást figyelembe vevı tag elhanyagolása miatt, a rugalmas lemezek Lagrange féle differenciálegyenlete: ∂4w ∂4w q + = − ∂x 4 ∂y 4 k ahol a baloldal elsı tagja egységnyi szélességő x irányú, a második pedig szintén egységnyi szélességő, de y irányú gerenda alakváltozás-teher összefüggéseként értelmezhetı.
SÁVMÓDSZER
Ha az x irányú tartó által viselt megoszló teherrész qx és az y irányú tartó által viselt teherrész qy, és a lemez felületére q egyenletesen megoszló teher mőködik, akkor az egyensúly alapján qx + qy = q = const. A két sáv keresztezıdési pontjában a lehajlás azonos értékő, ezért a kompatibilitási feltétel : wx=wy A lemezsávok rugalmas vonalának differenciálegyenlete alapján a lehajlások értékei:
q y ℓ 4y qx ℓ 4x wx = cx ; wy = c y EI x EI y
SÁVMÓDSZER
ahol az cx és cy értékek a lemez megtámasztási viszonyaitól függı tényezık, az ábra szerint.
SÁVMÓDSZER Figyelembe véve, hogy Ix≈Iy, a két egyenletet egyenlıvé téve:
c q ℓ = cyq ℓ 4 x x x
bevezetve:
4 y y
a=
ebbıl:
c y ℓ 4y cx ℓ
4 x
jelölést
qx =
c y ℓ 4y cx ℓ
4 x
qy
qx = a ⋅ q y
figyelembe véve, hogy: q = qx + q y → q = a ⋅ q y + q y → q = (1 + a ) q y tehát:
1 q 1+ a a qx = q 1+ a qy =
A lemezsávok maximális nyomatékai ezután az adott irányú sávra mőködı teherrészbıl a megtámasztási viszonyok függvényében számíthatók.
SÁVMÓDSZER
A kétirányú teherviselést mindkét irányban azonos megtámasztású lemezsávok esetén csak 0,5<ℓx/ ℓy>2,0 esetben érdemes figyelembe venni, mivel ha:
cy
= 1,
cx 1 1 qy = q= q 1 + 16 17 16 16 qx = q= q 1 + 16 17
ℓy ℓx
= 2 a = 16
az összteher 6%-a az összteher 94%-a
A sávmódszer elhanyagolja a keresztezı lemezsávok egymásra gyakorolt hatásából fellépı csavarónyomatékokat, ezért a hajlítónyomatékokat a biztonság javára szolgáló közelítéssel állapítja meg
MARCUS MÓDSZER
Az eljárást Marcus dolgozta ki a sávmódszer alapján, de az ott elhanyagolt csavarónyomaték hatásának figyelembevételével. A megoldás alapesete a négy peremén feltámaszkodó, egyenletesen megoszló teherrel terhelt négyszöglemez. A lemezre mőködı terheket Marcus az egymást keresztezı lemezsávokra értelmezett módon q'x+q'y+q"x+q"y=q = const. alakban bontotta fel, ahol a q"x+q"y=qxy tag a csavarási ellenállásnak megfelelı teherrészt veszi figyelembe.
MARCUS MÓDSZER
Az x és y irányú csavarási tagokra Marcus a következı összefüggést vezette le: 2
5 ℓ x mx q = qx 6 ℓ y mox " x
2
5 ℓ y my q = qy 6 ℓ x moy " y
ahol: •mx és my a sávmódszerrel meghatározható mezıközépi fajlagos hajlítónyomatékok, •mox és moy a kéttámaszúnak tekintett x és y irányú lemezsávok maximális nyomatékai a teljes q teherbıl, •qx és qy a sávmódszerrel meghatározható teherrészek
Fentiek alapján a q’x és q’y hajlítási teherhányadok a q’x=qx-q’’x és q’y=qy-q’’y kifejezések segítségével számíthatók, melyekbıl a lemez hajlítónyomatékai a megtámasztási viszonyoktól függıen határozhatók meg.
MARCUS MÓDSZER
A csavarási taggal módosított hajlítási teherhányad, illetve az abból számítható nyomatékok meghatározására Marcus az alábbi ábrán feltüntetett alapesetekre dolgozott ki táblázatokat.
SEGÉDTÁBLÁZATOK
Ma már a Marcus féle táblázatok nem használatosak, de a számítás egyszerősége miatt sok esetben hasznos segítséget adhatnak. Korszerőbb módszert jelentenek a Czerny féle segédtáblázatok, amelyek a lemezegyenlet pontos megoldásán, de egyúttal µ=0 egyszerősítı feltevésen alapulnak. Megjegyzendı, hogy a harántkontrakció elhanyagolása nem jelent durva közelítést mert a lemez repedt-rugalmas állapotában a µ értéke a húzott övben nagymértékben lecsökken.
SEGÉDTÁBLÁZATOK
SEGÉDTÁBLÁZATOK
ÖSSZETETT LEMEZEK
Az összetett lemezek igénybevételeit általában mezınként elkülönítve határozzuk meg. A csatlakozó vonalaknál kialakuló támasznyomatéki különbségeket vagy Cross-módszerrel, vagy képlékeny nyomatékátrendezéssel egyenlítjük ki. Az esetleges teher mértékadó elhelyezése szempontjából a több mezıbıl álló lemezrendszert mindkét irányban a többtámaszú folytatólagos tartóhoz hasonlóan mértékadóan kell leterhelni.
ÖSSZETETT LEMEZEK
Egy adott perem menti támasznyomaték szempontjából az adja a mértékadó igénybevételt, ha a szomszédos mindkét mezıt lemezmezıt leterheljük. A mezıközépi pozitív nyomatékra akkor kapjuk a mértékadó igénybevételt, ha a mezıt magát, majd pedig attól számítva a második nyílásokat leterheljük (sakktáblaszabály)
Lemezrendszer közelítı számítása
a lemezvastagság minden mezıben azonos, a lemezmezık hajlításra mereven kapcsolódnak egymáshoz, de a megtámasztási vonalak mentén szabadon elfordulhatnak, a szomszédos lemezmezık fesztávolságainak aránya mindkét irányban 0,8 és 1,25 között
SZERKESZTÉSI SZABÁLYOK
monolit lemez legkisebb vastagsága: – – – –
nyírási vasalás nélkül >70mm nyírási vasalással >200mm a vasalás mennyisége: As,min=ρminbd ; As,max=0,04bh
A minimális vashányad ρmin(%0) Beton szilárdsági osztály
fyk
C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/67
500 1,3 400 1,3
1,3 1,3
1,3 1,35 1,51 1,66 1,82 1,98 2,13 1,43 1,69 1,89 2,08 2,28 2,47 2,67
SZERKESZTÉSI SZABÁLYOK
egyirányban teherhordó lemezek elosztó vasalása: – legalább a fıvasalás 20%-a, a minimális vashányad biztosításával – legnagyobb vastávolság – legnagyobb vasátmérı Ømax≤h/10
Lemezvastagság mm h≥300 150≤h≤250 h<150
Fıvasalás smax(mm) 250 h 150
elosztóvasalás smax(mm) 300 300 300
SZERKESZTÉSI SZABÁLYOK
vasalás a támaszok környezetében – A mezıben méretezett vasalásnak legalább az 50%-át a támaszig kell vezetni, és itt megfelelıen le kell horgonyozni
Részleges befogásra tervezendı felsı vasalás: – szélsı nem befogott támasz felett 0,15M1max – közbensı támasz felett 0,25 max(M1, M2)
Szabad lemezszél vasalásának geometriai kialakítása 0,2As – szegıvas Konzollemez felsı húzott vasalását legalább a konzolkinyúlás 25%-al növelt értékével megegyezı hosszal túl kell vezetni a támaszvonalon
ALAPRAJZI RÉSZLET: 2
1
2
4
4
A
A
3
2 4
A-A
3
4
2 4
4
3
l
2 1
4
0.15 l
1
2
4
3
B
alsó fölsı elosztó
5 fölsı elosztó alsó elosztó A
A a
1
3
2
7
4
2 7
~0,3a ~0,2a
~0,3a ~0,2a
~0,15a
1
~0,2a
2
2
7 7
3
4
B
6
B -B
5
Mezınkénti lemezvasalás ("b" változat) Alsó egyenes, felsı hajlított vasbetétek
~0,2a
1
2 7
3
6 6
Kéttámaszú, szabadon felfekvı lemezvasalás
~0,2*b
felsı elosztó
B
Egyenes és felgörbített acélbetétek
b
1 A
A
felsı
3
6 elosztó
4
B
1 2 5
B-B
2
A-A 1 2 3 4 fıvasbetétek
a
5 6
~0,2*a
elosztóvasak
3 4 6
felsı elosztó
felsı elosztó
5
~0.15b 6
Alsó egyenes és felsı pótvasbetétek
6 9
9 7
8
8
b
7
~0.3•b
~0.2b
B
7
10
10
B-B
A 6
9
6
8
A
1
4
2
3
B
5
A-A a
1 , 6 repedéskorlátozó acélbetétek 2 ,3 ,4 ,5 ,7 ,8 , 9 ,10 fıvasbetétek
1
4
2
2
3
3 5
~0.3•a ~0.2a 4
~0.15a 1
Lemezrendszer közelítı számítása
Lemezrendszer terheinek szétbontása két teheresetre Lemezmezık peremén – Csuklós v. – Befogott megtámasztás feltételezésével
