TARTALOMJEGYZÉK
Kulcsár Béla: Nagy teljesítményű fokozatnélküli hajtórnűvek analitikai vizsgálata Lechner Egon - Lipka István: Körkörös szelvények rnéréséről - - - - - Terplán Zénó: A fogaskerék-bolygóművek áttételi viszonyai a működési határok figyelembevételével
~
a~ I f Í ~~
e~
~
~
Romvárı' Pál ~ Tóth László - Béres Lajos: Adalékok ötvözetlen szerkezeti acélok -
ridegedésének vizsgálatához ~~
~~ az zi
a~
9
Molnár László - Csáki Tibor: Szerszámgépek szánvezeték-rendszereinek tartóspontossági vizsgálata számítógépes módszerrel ~ f
A NEHEZIPARI MŰSZAKI EGYETEM KÖZLEMÉNYEI
III. sorozat
OEPÉSZET 23. KÖTET- 1-2. FUZET
MISKOLC, I )77
SZERKESZTŐ BIZOTTSÁG:
DR. TERPLÁN ZENO felelős szerkesztő DR. CZIBERE TIBOR, DR. KOZÁK IMRE, DR. ROMVĂRI PÁL, DR. TAJNAFŐI JÓZSEF
A kiadásért felelős: Dr. Tajnafőí József rektorhelyettes Sajtó alá rendezte:Dr. Vincze Endre egyetemi tanár Technikai szerkesztő: Németh Zoltánné Megjelent az NME Közleményei Szerkesztőségének gondozásában Kézirat szedése: 1976. dec. 10-1977. febr. 28-ig, nyomása: 1977. máj. 1-1977. jún. 15-ig Példányszám: 450 Készült: IBM - 72 composer szedéssel, rotaprint lemezről az MSZ 5601-59 és MSZ 5602-55 szabványok szerint, 9 BI5 ív terjedelemben Engedély száma: MTT!-I-III-318311976. A sokszorosításért felelős: Tóto Ottó mb. üzemvezető Nyomdaszámz KSZ 77-661-NME
KÖRKORÖS SZELVÉNYEK MÉRÉSÉRŐL |LEPHNER EEONI- LIPKA ISTVÁN Kézirat beérkezett: 1970. október 23-án
I. Bevezetés. Az egyenes körhenger geometriai, mechanikai, de technológiai szempıııııtınl is egyike a legegyszerűbb alakzatoknak. Egyetlenegy méretének, az átmérő érıõtzmıı-k ıı megadása (eltekintve a henger hosszától) elegendő ennek az elemnek a megızzııtıııurisára. Azonban ez az egyetlenegy méret a henger valamennyi, vagyis végtelen „A ztııııérőjére vonatkozik, amelyeknek valóságos értékei éppen akkor kényesek, amíLzıı z-zl az egyszerű elemet (a hengert) párosan alkalmazzák, és a közrefogott darab a tznzıvlogóval illeszkedik. Ilyenkor a megfelelő illeszkedés megvalósulásánál az összes, vagyis végtelen sok átmérőnek az értéke játszik szerepet, tehát nyilvánvaló, hogy a gyaI-„ılııllııın ennek az egyetlen méretnek csak egy méréssel való megállapítása nem lehet hıvlegílči. Ezért már régtől fogva gondolnak az egyetlen átmérő előírásán és ellenőrzémi lvlul még a köralaknak és a hengeralkotó egyenességének az ellenőrzésére is, vagyis zu ıııı. körkörösségnek és hengerességnek a külön vizsgálatára, esetleg tűrésezésére. A gördülőcsapágyak palást- és furat-átmérőjének a mérésére a műszaki vizsgálaıntr szııhványa (MSZ 7980) előírja, hogy a hengeres darabon legalább nyolc átmérőınztıı-ıct kell leolvasní; továbbá nemcsak e nyolc méret átlagának kell adott tűréshatámkıııı belül lennie, hanem a fellelt legnagyobb és legkisebb átmérőnek sem szabad bimııyos határokat túllépnie. Sőt a külső csapágygyűrű palástátmérőjének ún. sarkosságvtıgv szögletesség-ellenőrzésével meg kell állapítani, hogy a gyűrűt V-alakú prizmába ıvltıvıve és forgatva (gyakorlatilag végtelen sok méréssel) mekkora a gyűrű és a prizma z-ırvııltcs legnagyobb és legkisebb magassága; e kettő különbsége (az ütés) is tűrésezve vıııı. A végtelen sok mérés könnyebb végrehajtására alkalmas mérőeszközöket is hoztak ınıgıılomba, amelyek a tapintó érdességmérő elve szerint működnek (Talyrond, Homııwl féle makrograph). Az érzékeny tapintót - ahelyett, hogy az érdességmérő mód|ıtııı vgyenesben vezetnék - pontos körpályán vezetik, kijelölt középpont körül; és ngvııııııkkor a középre helyezett mérendő tárgy kerületén végigtapintva, sokszorosan
~Au..- Közleményei, 111. wmzzzı, Gëpeszzı, 2309771.33-85
33
felnagyítva reglsztrálják a köralakot, ill. az attól való eltérést. Ilyen kördiagram tehát polár koordinátákban nagyítva mutatja a rádiuszvektor eltéréseit; megállapítható a legnagyobb és a legkisebb átmérő és a sarkosság vagy szögletesség is. Minthogy elvben végtelen sok mérést kell végezni, gyakorlatilag pedig ennek meg- 4 közelitésére egyrészt nem mindig van műszer (pl. nagy átmérők esetében nincs Talyrond), másrészt változatosak a módszerek (két-pont mérés, különféle szögű prizmák, stb.), ezért kívánatos bizonyos irányelveknek a rögzítése, hogy a különböző eredetű méréseredınények egymással összevettı-:tőek legyenek. Az angol BSI evégből szabványt adott ki (BS 3730:l964), amely voltaképpen a körkörösség-regisztráló műszerek diagramjának értékelési elveire vonatkozik. A következőkben röviden vázoljuk ennek az előírásait. ` 2. A körkörösségtől való eltérések megállapításának módjai A műszeren, amely a szelvény körültapintását végzi, a mérendő darabot úgy helyezzük el, hogy lehetőleg a felvett diagramgörbének a súlypontja az elforgás tengelyébe essék. Ez eléggé egyszerűen érhető el a műszer villamos felnagyító berendezésének Í segítségével. Az ekképp felvett cikcakkos ill. hullámos, de önmagába visszatérő köralakú zárt szelvényvonal kiértékelésére valamely középpontot kell kitűzni, hogy ettől le- A hessen a sugarakat, ill. a köralaktól való eltéréseket mérni. A középpont választására az angol szabvány négyféle (a, b, c és d) elgondolást is felsorol. a és b: a mért szelvényt kívülről burkoló, legkisebb átmérőjű gyűrűs idomszer à közepe, illetőleg a szelvényt belülről burkoló legnagyobb átmérőjű dugós idomszer l közepe. Az ilyen módon defmiált felületeket hazai MSZ 14001 szabványunk ráfekvő il felületelcnek nevezi és az alakhibát ezektől méri. Akkor, amikor a hengerfelületek egymással illeszkednek, nyilván az ekképp mért alakhibák érvényesülnek, és ezért előnyös,l hogy a Taylor-elv szerinti megy-oldali idomszer is ilyen módon mér. Gyakorlatilag azon-, ban a ráfekvő felületeket nehéz megállapítani, sőt ezek nem is mindig egyértelműek; egyazon szelvényt kívülről burkoló legkisebb kömek a középpontja általában nem esik l egybe a belülről burkoló legnagyobb kérnek a középpontjával (a két kör nem koncentrikus). Az angol szabvány ezért ezeket a középpontokat a méréshez mint nem ajánlottakat sorolja fel. c. A köralaktól való eltérés de niálására elterjedt szokás az is, hogy megkeresik egymással koncentrikus két kör középpontját akképp, hogy ezek egyike kívülről, másika meg belülről érintse a szelvényt, de a két kör sugarának különbsége a legkisebb legyen. Ezt a középpontot a minimális köralakhiba zónájához tartozó központnak hívják. Ez a központ a definíciója szerint egyértelmű, de nyilván nehézkes a megállapítása, és kötve van a szelvényrajz ismeretéhez. Márpedig különösen a nagy átmérőjű szelvények esetében nem feltételezhetjük, hogy a Talyrondhoz hasonló mérőeszközt lehessen alkalmazni.
34
.l Wlelloıı eltérések vlzsgıllııtrlıııık sıokılrıoı ıııótlıızerc ıı nuıteıııııtlkul-stııtlsztlkai; zzuzı .iz vllıtıésekvl olyıııı ko/.ésjıpııııllúl ıııéılk, :ııııelyrc vonııtkozóan az eltérések elz zz-lıı ııvııııııılékrı zérus, ıı ıru'ısodı`eııılı`l ııyoııııılékııak pedig ıııiııinıuma van. Ezt a -.i---I--ı-ıl ııll-.ıalııııızlılk nz érdességıııérés é ékelésében is (MSZ 4721), amidőn az ún.
L z-„nnıııııılııl ıııcglııılınozták. lilıhez analóg módon a köralak hibáját attól a körtől leızzı ıımıııı, ıııııelyrc vonatkoztatva az eltérések ııégyzeteinek összege minimum. E körnzt- ri l„m*|ı|ıoııl_lıit a legkisebb négyzetek köre középpontjának hívják. Igazolható (1. ll Pr ll ltI.l'lo4), hogy e középpont közel esik a szelvénygörbe vonalának súlypontjál„„ Ilıı vıılıııııely szelvény kellő számú pontjának a helyét (koordinátáit) ismerjük, ...egri-|z~lı`ı jıııııtossággal ki lehet számítani a legkisebb négyzetek körének az átmérőjét, as meg lelwt rillapítani a középpontjának a helyét. Azoknak a mérőeszközöknek pedig, -nm-lwlz ıı szelvény nagyított diagramját felveszik, többnyire olyan elektronikus számoLz lz-zıı~ııılı~ı.ésilk is van, amely a következőket mutatja meg: a legkisebb négyzetek körét zzz rıızıl mert szélső eltéréseket kifelé és befelé, továbbá az ugyanonnan mért átlagos z-llıiırilıl
t A köralak analitikus vizsgálata. A legkisebb négyzetek köre A ııclvény-görbe körtől való eltérésének analitikus vizsgálatánál a görbe pontjait ,„zlaı li.ınırlinátarendszerben célszerű megadni. Tehát minden görbeponthoz tartozik .,. r „lrlıııuvektor és egy ta polárszög; az r rádiuszvektor a tp polárszög függvénye: - -e f ı-,- l. zııııely (2 rr)-szerint periodikus, tehát r(«,o) = r(r,a + 21r). Ha azt a derékszögű koor.ımzıızıı ınnlszert is felvesszük, amelynek 0 origója egybeesik a polár koordinátarendszer »li ig. ıızlvııl és pozitív x-tengelye a polár koordinátarendszer tengelyével, akkor a görbeponı» A t \. rl derékszögű koordinátái és az r(«p); ip polárkoordinátái közt a következő összeınggıtıvlt állnak fenn:
X = f(~P) <=0Svv;
y =r(~P) Simp-
l„-lızn iı gorhepont x abszcisszája és y ordinátája függvénye a ip polárszögnek:
ršx(~P);
JךJ×(~P)-
A szelvénygörbe középpontjának - mivel a görbe a pontos köralaktól eltér és így t-zııqıjııııılja nincsen defıniálva - azt a pontot célszerű tekinteni, amelyre vonatkozóan zi gm lıvpnııtok négyzetes integrál-középértéke minimum. Egy ((1,6) koordinátákkal meg-„Iz „ıı pıııılra vonatkozóan az (x(rp); y ((0)) görbepontok négyzetes eltérésének integrálI-.~~zõ|ıı~ı lékc a következő kifejezés:
2;1 2"jJ{(x(v~)-zzz)2 +(y(e)-8)2 }de=F(a.8>. I 1 ru I-`(
35
11-`(.m - 2'„ 2«.j)2(x(e)--elve-0. f “ai
ÖFŠÉB) - 21,, 2f"2o(v»>-side = 0. 0
Az első egyenletből a keresett pont abszcisszája:
az = L z , zf 0 x('P)z1*P„ a másodikból pe dig a pont ordinátája:
--1-2J" (ld
S0'
Ha a szelvény kerületén 2Tr nagyságú tömeget egyenletesen elosztva képzelünk, tehát a kerület egyes pontjaiba dgo nagyságú elemi tömeget helyezünk el, akkor az ez-ra és 6-ra előbb nyert két kifejezés a szelvénygörbe súlypontjának a koordinátáit szolgáltatja. Ha a szelvénygörbe pontosan köralakú lenne, amelynek centruma az 0 origóba esik, akkor fent állna, hogy a = 0; B = 0, vagyis a súlypont is a koordinátarendszer origójába esnék. Mivel azonban a szelvénygörbe csak kevéssé tér el a pontos köralaktól, azért az (oi, B) súlypont is csak kevéssé tér el az 0 origótól, vagyis az és B koordináták kis értékek. Helyezzük a szelvénygörbe (az, B) súlypontjába - amely közel esik a legkisebb négyzetek körének a középpontjához - a koordinátarendszer kezdőpontját (1. 1. ábra). Erre az új O1(oz, B) origóra vonatkozóan a szelvénygörbe P pontjainak rádiuszvektorai legyenek r1(q>), ahol az új gb polárszög csak keveset különbözik a zp-polárszögtől: r Á
fr.. l
5
l `
,
-a \ıı' ıvıı
K
5 K
Ó
\0ı(cı. )
J “ˇ 1.ábra
36
ıfl=~ı,0llı
rf. zu r Mr, stltııl lıezıiıt sztıg). I-`e_|ez/ilk kt ıı/ r,(t/r) új nltllııszvektor értékét az eredeti rt ,tl vel Az tl till' lıılroıııszoglıől: ÜÍÓ)
2:
-2
"'(*P)
2
+ fo
2f(*P)fo C03('ı0
'~Po)
er ebbol az egyenletből: 2__
fı(
)=r(v>) l/1 + (ra) l ez 2,1:9)00S(~p-~p0)tıı ııılvel ro/r(tp) < 1, ezért (ro/r(tp))2 elhanyagolható és az \/1 -a -'-2 1- a/2 (ha a A ~ I l ktızclítő képlet alapján írhatjuk, hogy:
fı () ~ f(~P)(l - ,-25 00800- ~p0)) \'ıtRVl!i
fi (fi) = für) - ro <>0S(v> - 800)t z/el ıız r, (eb) értékét kifejeztük r(
zjítp -fı())2 dé =J(P) négy zetintegrál minimum. Az J(p) függvény p -nak arra az értékére veszi fel a minimumát, »melyre deriváltja eltűnik, vagyis amelyre: 21r
%;('%)' =2 5 (P_7'1(ft5))d(l>=Ü-
lrtılıfil az egyenletből: a legkisebb négyzetek körének a sugara ı-K
[NJ
2!
P = `2";r`ˇ ã"ı(Ó)dfl5
,r lelızit a szelvénygörbe pontjaihoz tartozó r1(
rr () = rtv) - ro 00S(v> - po) 37
kifejezést beírjuk és figyelembe vesszük, hogy ha gb f 0, akkor ıı neki ıııegfelelő ip értéke
valamilyen ip = tp', továbbá a (D = 2Tr-nek megfelel a ta változónak ıı zp akkor nyerjük, hogy: 21?
P,+2rr
fl'ı(fl5)d
f
0
vv,
tp` l la értéke,
l'(H0)dtP_?'o
f
C03(S0"°*PO)d*P=
vv”
*P,*2rr
21'?
= f f(e)dv>= f r(«p)dv>; ip'
0
mivel az r(tp) függvény 2rr-szerint periodikus. Ezzel a legkisebb négyzetek körének p sugarára abban az esetben, amikor a szelvénygörbe csak kevéssé tér el a pontos köralaktól, a következő két integrál-középérték előállítást nyertük: 1
Zrr
1
211
ı0=í gfı($)ä
(1)
Az első előállításban a görbepontok r, (qä) rádiuszvektorai a görbe súlypontjából indulnak ki, a második előállításban a felvett koordinátarendszer 0 origójából. A két integrálközépérték egyenlősége éppen azt mondja, hogyha a kördiagram kiértékelése folyamán a felraj~ zolt szelvényvonal súlypontja nem nagyon tér el a diagram-papiros közepétől- (a darabnak a mérés folyamán használt tengelyétől) akkor a kiértékelés folyamán adódó legkisebb négyzetek körét bízvást elfogadhatjuk olyan mérési alapnak, amelyre vonatkozóan állaplt juk meg a sugárméretekben fellépő legkisebb és legnagyobb eltérés értékét. Ezekkel összhangban, a továbbiakban a szelvény-görbevonal pontjainak a görbevonal súlypontjából vagy a legkisebb négyzetek köre középpontjából mért rádiuszvektorai! egyszerűen r(zp)-vel jelöljük és az r(p) iggvényt Fourier-sorba fejtett alakjában fouk tekinteni: a
OO
r(tp) = -zi = Z (ak cos kzp + bk sin ktp),
(2)
k=1
ahol az együtthatók:
de = % lf(v>)dr0; 1 “_ ak= É- J r(tp) cos ktpdgp; -"lT
(2') l 7' _ bk=; fr(tp) sınktpdtp. -TT
Mivel a végtelen sor ak, bk együtthatóinak a száma általában végtelen, azért végtelen sok r(tp) érték, azaz végtelen sok mérési érték ismerete szükséges ahhoz, hogy az ak, bk együtt hatók értékeit elvben meghatározhassuk. .
38
A
1- -ıtzrtzt-talzluııı a kttvellteıtt kértlésekel klvtlttjtık felvettıi: adott poııtosstlgi követel~ z iz .. ızsnt nıeıest vegeıııtıık, ıı ıııérés milyen. a munkadarab alakját meghatát- „ ~. „ıı„ıtz„.fıelt és ıııllyeıı ıııódszcrekkcl történjék (átmérő, két- és három~~-fgııl zı ıııeıeızek kiértékelése mlrc irányuljon. ir .r r. .ger »mmırıı et mik rrıgemncrriai eltérések. A (2) alatti konvergens végtelensor -. let- tagja III
Ha űr ff tu* ms ktp l~ hk sin ktp) A 'N
É
ı is r.-.tat ha N elegeııdti nagy és ebben az esetben a maradék tag nagyságrendje a gya.,..» ., irzeılıı-tn eı tekekııél kisebb, aminél fogva elegendő a (2) alatti végtelen sornak `
*gt régen tıiıı/él ttl. N
H: z , ă
t ,Y tak eos kzp + bk sin kp) t -ı
rt tt ns ja ıltııomot figyelembe vennünk, vagyis a (2) alatti végtelensor helyett vérzzytmt zllln ıiıı. közelítő trigonometrikus polinomot tekinthetünk. Ha azok a 1 zı . tr „ran eı ttekclnek bennünket, amelyek nagyságrendileg megegyeznek az érdes~ att--I, alt km az előbbi N-edrendű trigonometrikus polinomból még bizonyos » .ga rt zıııztgvlıtıtıııık és helyette az alacsonyabb rendű tt 'fu
_
1
_
t Š, tak cosktp+ bk sınkp) A -t
1 .z ...eıııtrııı jıııltııoıııot vehetjük, amelynek rendje rt
N
step. gr rss Ar ıttpl ltlggvényt közelítő trigonometrikus polinomok közül mindig az ún. 2 .iz . ,zzrltıınııtııkıtt tekintjük, vagyis azokat, amelyeknek az együtthatóit a (2”) alatti r tr L -ılttt|ıılA, elo, Ugyanis az n-edrendű trigonometrikus polinom négyzetes átlag eltézz -„ı„ıt :lvl ltıggvénytől e függvény Fourier-polinomjánál a legkisebb. K. rt ,rı -ıııgaı ıııéıctııck az a része, amely az (2) alatti sorfejtésnek az alacsonyabb r rsıtı ıııgjzıtlırıl tehát a kisebb k értékeknek megfelelő tagokból -tevődik össze, r ...ıt.z,ztııt„ ıııttnıeırel rajzolt szelvényen észlelhető és megszámláható dudorok, hullár .ıstz ıst-znı ıııııtııtkozik. A nagy frekvenciájú harmonikus összetevők a (2) sor nagy r ı. .tt t-ıgjaı altal okozott eltérések az r(zp) sugárméretben esetleg szabad szemmel nem fsztrn . .tz tumıııseges lıosszmérő eszközzel nem mérhetők s csupán a felület érdességét zi I-. t---lt-tt A ket liéle nagyságrendű paraméter elvben egy véges nagyságú lc = n-számrr mi „zl egy ııırtıtúl. tehát a köralakot elvben véges számú hosszméréssel ismerhetjük meg 39
Az rtzp) stıgtlrıııéretlıeıı jelentkező eltéréseknck ez tt kétlélesege az llleszkedések kltılaktılrtsılııtll is ıncgnyilvánul, különösen, hanem laza illesztésrlil van szó. Az utóbbinál ugyanis az illeszkedő alkatrészek deformálódhatnak is, éspedig akár nıaradandóan akár rugalmasan. A szelvény maradó deformációja különösen szilárd illeszkedések eseteiben az érdesség tartományában megy végbe;ilyenkor az egyenetlenségek kiemelkedő csúcsai a völgyekbe terelődnek el és ez a felületet elsimítja. Erre a maradó deformációra nyilván az jellemző, hogy a szelvény területe változatlan marad. A szelvény rugalmas deformációja feltételezhetően az erre képes vékony falú csőkeresztmetszeteknél lép fel. Ilyenkor makrogeometriai hullám a szelvényprofilon az illesz kedő ellendarabhoz simul. Erre a rugalmas deformációra a szelvény kerületének a változatlanul maradása a jellemző. A laza illesztéseknél többnyire a szelvényen fellelhető legnagyobb és legkisebb átmérő az, ami az illeszkedést befolyásolja, tehát makrogeometriai méretek. Ezeket a méreteket ellenőrzi a Taylor-elv szerint előírt ún. „megy-oldal” és „nemmegy-oldal” is. 4. A kerek szelvény területe Ha a szelvénygörbe pontjainak r(zp) rádiuszvektorait a (2) alatti Fourier-sor állítja elő, akkor a szelvénygörbe által bezárt terület:
2“f(~.0)2
02
1
°°
A= fT-d«p=Tr -í-+5 Z(aã+bŠ)
0
`
ki
Ez az összefüggés közvetlen következménye az ún. Parseval-Hurwitz-féle tételnek. Utóbbi szerint ugyanis 2rr ao
00
ˇ
-2
f ?+ z'(ak cosktp+ bk sın ktp)J 4,9 z 0
k=ı 00
_
aã 2 2 -el 2 + z'(zzk+bk)j. _
___
(2)
k=1
Mivel az (1)-ben fellépő ao együttható értéke a 3. pont (2') képlete tılapjtttı
1
a0= -17
"
1 "F
f r(~P)d
azért a 3. (1) alattiból következik, hogy
a0= 20-
(3)
Tehát az ao együttható a legl(isebb négyzetek körének n .ip ıttıııérojével egyenlő; és eszerint a (l) jobb oldalán fellépő első tag értéke: 40
Util
rr 4
np
2
a legkisebb négyzetek körének a területe. A 3. pont meggondolásai értelmében p annak a körnek a sugara, amely legjobban megközelíti a szelvénygörbét, vagyis p azt az értéket jelenti, amelyre 1
211
2
_ 2rr0f(p-r(v>)) de négyzetintegrál-középérték minimum. Erre a minimális négyzetes átlageltérésre, figyelembe véve a 3. (2) és 4. (3) alattit, a 4. (2) alatti Parseval-Hurwítz-képlet alkalmazásával nyerjük a következő kifejezést: 1
2"
2
1
21|'
°°
ír' {)(P“?'(\0)) d*P=2_ 0
=_1_ 2Tr
2
(ak coslcı.p+bksinkıp)} dzp=
=l
k 1
H232" +b2)= _[\)ı--\ W'
= Í,_b`48
ÍM8
az +102).
(3')
Ennek a végtelen sor alakjában nyert négyzetes átlageltérésnek a nagysága, azaz e kifejezés négyzetgyökének az értéke
llš Z'(a,i+ bi)
(4)
k=1
jellemző a szelvénygörbe köralaktól való eltérésére. Amennyibe a mikrogeometriai viszonyokat (felületi finomságot) nem tekintjük, vagyis a magasabb k-indexű tagokat az előbbi kifejezésben nem vesszük ñgyelembe, akkor a
"iz z H2--j/1-Z(zzk+bk) 2 ızzı véges tagszámú átlagot a körkörösségtől való eltérési hibának is nevezhetnők. Ugyanis a 2. pontban említettük, hogy a kördiagramot rajzoló műszer a legkisebb négyzetek körének közepétől mért (rmax- rmin) különbséget mutatja csak a rejzban, valamely M-szeres nagyításban; emellett a szelvény viszonylag durva és finom hullámait is láttatja. Végül a műszer elektronikus berendezése a legkisebb négyzetek körétől mért eltérések átlagát, de adott viszonyok közt az eltérések négyzetes közepét is mutathatja, amelynek analitikus alakja az előbb felírt Hq kifejezés. A 3. pontban említettük, hogy a szelvény maradó deformációja különösen szilárd illeszkedések eseteiben az érdesség tartományában megy végbe; ilyenkor az egyenetlen4l
ségek kleınelketlő cstlcsttl tt volgyekbe terelődnek és ez tt felttletel elıilınltla litte tt ilcl`oı~ ıntlt`lt'ırtt az jellemző, hogy tt szelvény területe vtlltoztıtlnıt ınıntnl `leklıı|sttk most ınzlr :t
p, sngurti kort, amelynek centruma a szelvénygörbe sıilypoııtjıtlııt esik es tt teltileti érdesség folytán lıulltlnıos. menetü (mikrohullámos) szelvénygörlıét úgy osztja két részre, hogy tt p, sugarú kör belsejébe eső hullámvölgyek összes területe megegyezik a p, -sugarú kör külsejébe eső hullámhegyek összes területével. Most már a szilárd illesztésnél az egyenetlenségek kiemelkedő csúcsai, vagyis a p, sugarú kör külsejében fekvő hullámhegyek a pl sugarú kör belsejébe kerülve ott a hullámvölgyeket teljesen kitöltik éppen a hullárnhegyek és hullámvölgyek összes területeinek egyenlősége folytán. Tehát nyilvánvaló, hogy a pl sugarú kör területe egyenlő a szelvény illesztésénél változatlan területű szelvénynek az (l) alatti A -területével. Ennek értelmében
otz ff = 51 2" f f z (vüdv. 0
és így a szilárd illesztésnél a deformálódott körszelvény sugarának átlagos értéke: 1
P1:
21:
9
'Er' f"('~P)2d'P0
Mivel a négyzetes középérték sohasem kisebb a számtani középértéknél, vagyis 1
2rr
1
271'
pi = É {)r(«P)*dv> -2-7; Ár(80)dv>. azért a deformációs kör sugara sohasem kisebb a legkisebb négyzetek körének a p sugaránál, ami különben a 4. (1) alattiból is nyomban kiderül, rnivel eszerint Go
2
1
oo
40
pl +5' z(dë+b2)>`í“, lc k=1
és így 4. (3) szerint P1 > P z
S. A kerek szelvény kerülete (teljes ívhosszúsága) Ez a következő integrál alapján számítható ki: 2Tr
,_
_ Í
1- f~/f>*ze 0
42
(1)
Minthogy olyan kerek szelvéıtveket rtknıntılt vtısgrllııl, amelyeknek körulaklılbájtı anlııylııg kicsi, vagyis a köralaklıilnı ııiıgysngitt |e|leıııı.tt -t. (4) alatti kifejezés értéke kicsi
az rr.,-hoz viszonyítva, azért az ( l ) alntli lntegıitlktlejezésből könnyen levezethetünk az! tvlıosszúságra egy olyan felső korlátot, amely már nem tartalmazza a négyzetgyökjelet. A négyzetgyökjel alatt levő tagok a következők: r(zp)2 =
a
2
+ ao
-
°°
(ak cos ktp+ bk sin kp) +
k=ı
OO
+[Z(ak cos ktp+ bk sin ktp)]2 ; k=1 OO
(r'(tp))2 =l: z'(-- kak sin kp + kbk cos kzp)] 2. k=1
Ha ezekből az (a0/ 2)* tagot kiemeljük, akkor az (1) alatti integrált a következő alakban írhatjuk fel: 217
I= ffš-\/1+p dtp 0
ahol az integranduszban a gyökjel alatt levő (három tagból álló) p érték az 1-hez viszonyítva kicsi és ezért a gyökmennyiségre fennáll a következő egyerılőtlenség:
\/1+p<1+-Š. Ennek az egyenlőtlenségnek az alkalmazásával az I integrálra a következő felső korlátot írhatjuk fel: Zrrao
ac
2.,,
p
Í: {_2'\/l+p dıp
Az egyenlőtlenség jobboldalán az integrálást elvégezve, a lineáris trigonometrikus tagok integrálja 0, a négyzetes trigonometrikus tagok integráljára pedig a Parse val-Hurwitz tételt alkalmazva adódik, hogy
I
43
X
I
(2)
k=1
Az 1 ívhosszúság (1) alatti előállításából közvetlenül adódik I-re a következő alsó korlát' 2-rr
12- f r(tp)dr.p 0
ahol 3. (2') szerint 21|'
f r(tp) dtp = Trall. 0
Tehát I 2 Tral, és így a (2) alatti egyenlőtlenségből nyomban következik, hogy az ívhoszszúság: I=Tral,+ gr- Z' (1 +k2)(a,Í +b,2c) lC=l X
= -„(00 + -5% 2 (1 + ız2)(zz,§ + bp)
(3)
l(=l
ahol 0<ı9<1. Mivel a szelvény rugalmas deformációjával való illesztésnél a szelvény kerülete (ívhossza) valtozatlan marad, azért a rugalmasan deformálódott körszelvény sugarának átlagos értéke: pl a (3) szerint a következő lesz: ı-I
C0
pl = E (U0
1+ k2)(a,2c "l"
ÍM8 Meegyezzük, hogy illeszkedés szempontjából, nem az egész kerület, hanem a makrogeometriai eltérések egy része, a kerület egy szakasza jön csak számításba. Ennek megfelelően a szelvény figyelembe veendő részének kerülete a (2) alatti korláton alul marad. A (4) alatti képlet is azt mutatja, hogy célszerű a polár koordinátarendszer origóját a legkisebb négyzetek körének középpontjába helyezni, mert ekkor az előbbi kifejezésben álló végtelen sor értéke - amely a köralaktól való eltérésnek a mértéke _ a lehető legkisebb és 2p = al, körátmérő a lehető legnagyobb. Ezt analitikusan a következőképpen láthatjuk be.I-ielyezzüka polár koordinátarendszer 0 origóját, valamely 0l pontba 9 amely' nek koordinátái: ro, zpll (1. az 1. cibrát). A szelvénykerület pontjainak az 0l -pontból kiin44
ılnln nltliııszvektoınit jelölje: rl és az eıeklıeı taıtozo poltltszögeket ılı (l. ábra). Megmuttıtlnk. hogy az 2rr Í:
VIÜÍÜŰÓZ Un
(5)
O
integrál értéke - amely megfelel a (4) alatti jobboldalán álló első tagnak - akkor a legnagyobb, amikor az 0l (rll, zpll) pont a legkisebb négyzetek körének a középpontja. E céllınl veze ssünk be derékszögű koordinátákat. A szelvény kerületének pontjai legyenek: tv, y), ahol x és y koordináták a lo polárszög függvényei (az eredeti polár koo rdlnátarend szerben) és az 0l pont derékszögű koordirıátáit jelölje: (a, B). Ekkor az 0l (ot, B) pontból kiinduló rádiuszvektor értéke
f. (ta = ×/ez - az + (y - (D2 '|`ekintsük az 217
-Í: f(7'ı(fl5)_P)2d
négyzetintegrált, amely a négyzetes eltérések összegét fejezi ki. Ez a négyzetintegrál a minimumát a p, ot, B változóknak azokra az értékeire veszi fel, amelyek kielégítik
ar _0_
aJ_ _
aJ_0
ap _ *
aa "°“*
aa ˇ"
(6)
egyenleteket. Az J négyzetintegrálnak egy közelítő értékét fouk venni, s erre számltjuk ki a (6) alatti egyenletek megoldásait. Mivel az ez és B koordináták kis értékek, azért a négyzetintegrál integranduszában fellépő négyzetgyök-kifejezés közelítő értéke:
~/(x-«zz>2+ ez-8)*=~/x* +y2 -ıw-2yõ+«2 +82 ~ ~\/xz +y2 -Zxa-2yB=
zl/2+2|/12 x 2 x y x2+y2a ""«-b"/
2+
x
21
yl
=\/x2+y2
x
x2+y2a
x - tr-
\/xi + yz
y
x2+y2B
y
e
=
x2+y2 B)
-y
\/x* +y2
-ls. 45
Továbbá, mivel a gb polárszög csak keveset különbözik a tp-től (I. ábra) azért a négyzetintegrálban 4)-helyett ıp-szöget írunk és akkor annak közelítő értéke 211
ý
J: f(\/(X-<1)2+(y-6)*-p]2d80% 0 211 =
`/2+2
x
1,
6
2d
Ál* J' \/,?+_,„2“ \/`J„2+y=e pl `°
Eszerint a (6) alatti első feltételi egyerılet, az integranduszt p-szerint differenciálva: aj
2”
2
2{*`”°““'
2
x
y
2
De X 2 2 - cosqb \/x +y
J' . 2 2 - sınıp \/x +y
és
ésigy 211'
211'
X id =0;
Š×/zz=+y2 `°
J'
d -0;
Št/;2T= `°
aminek gyelembevételével az előbb felírt egyenletben az integrálást tagonként elvégezve, abból a következő egyenletet nyerjük: 211
f (\/X* +y” -1>)d~P=0; 0
innen a legkisebb négyzetek körének a sugara: 211
P =-51; f\/X”+y2 dw, 0
aminek értéke a 3. (1) és 5. (S) alatti gyelembevételével: 211
211
Í
ý
p=§1;f\/×”+y2d~P=-21; fx/(X-0=)”+(y-6)*d
0
A (6) alatti második feltételi egyenlet pedig, az integranduszt az-szerint parciálisan differenciálva: 46
BJ
Jn
.
.Í
'M
a
Í
\/vı
1
t _v
1.
y
of
\/.13 I yi
\/xi ki yi
x
li]
a
(ftp " U2
\/xi 1-l-yi
ıılıol tagonként integrálva azt kapjuk, hogy teljesülnie kell a következő egyenletnek: 211
211
xi
a-- °f{xz+yz ---4-~ gxv v
21r
xy
---azo. gxzwzv
De xz 2 i- = cos tp xz +y°
és xy . É - COSt,0 Slngv,
amit az elõbbi integrálokba beírva, azoknak értéke 211
xz
211
zp=211
fT|__5dtp=fcos2godtp=
O x
J'
O
l
- 21p 1 ' sın í(«p+--Ez--)=1r,
„„=o
továbbá 211
xy
211
.
tp=211 sinz Ha
f;";_-É`dg0= f S1I'lıpCOSt,0dtp= 0
y
l
0
-_2`-=0.
tp=0
Ezek szerint tehát a második feltételi egyenlet alapján: 211
fxdtp-aTr=0. 0
Innen a legkisebb négyzetek köre középpontjának abszcisszájára nyerjük, hogy: 1211
a=; Š xdtp
(7)
A középpont Bordinátáját pedig a harmadik feltételi egyenletből számítjuk ki, amely szerint : ÖJ
2"
x
0
\/xz + yi
-a“B-=-2f{\/xi+y2
Z
C!
y \/xz + yi
y
6]-'-“;""“'“'-dtp=Ü
\/x + y*
47
Mivel itt xi +y2 - Slll 50
továbbá xy . ;?í_-;i`-COSı,0S1ntp
azért 211
yz
I xfıır 2 dt
0
_ -
y
211
.
__
fS1I12;pdı`p-
0
tp=2 11 `
l
5
sin2tp
-ii-]=-ff,
qp=0
és 211
x .Y
211'
f-zi-2; dtp=
f
O x +3'
O
.
smıpc0stpdtp=0,
amelyek figyelembevételével a (6) alatti harmadik feltételi egyenlet fennáll, ha teljesül a
következő: 211
f yzw - „s=o. 0
Innen a legkisebb négyzetek köre középpontjának ordinátája: 1 211
B=; fydw-
(7')
0
Mivel a szelvénykerület súlypontjának koordinátái: 1
211
1
x,.=ã- ăxdw;
211
y,=`; šydv
azért (7) és (7') szerint arra az eredményre jutottunk, hogy alegkisebb négyzetek köre középpontjának koordinátái: 2x8;
2ys.
Most már, mivel a 4. (3 ') szerint 1
211
l
°°
É f(f(s0)"P)°d~P= 5 Š (0;Í+b,Í) O =ı 48
l.__I"I
lt/*tl tl* ?-Šıtaz I hi ) végtvlvıımıı tmıvgv zılılınıı nı, ınwtlıeıı ıı legkisebb, nınlkor ıı ııégyzet tııtvgrál n ıııiııiınuıııát veszi lvl, vııgvıs nıııllwı p n lvgklselılı négyzetek körének ıı sııgnrıı és ır, ll ıı középpontjának kooı`tliııı'it1ll.nıııely éıtékı-két éppen az előbb száınítottnıık kl. l)e
ınlvel a szelvénygörbe által bezárt 4. ( l ) nluttl tcrtllet értéke állandó, azért ha a 4. (I)lıeıı fellépő végtelensor értéke a legkisebb, akkor az abban fellépő ao együttható értéke a legnagyobb, amint azt az előzőekben (5) alatt állítottuk.
6. A szelvény mérési mõzıjzi A leggyakoribb az átmérőnek oly módon való mérése, mint ahogyan tolómérővel szoktunk mérni. Ezt kétpont-mérésnek akarjuk nevezni, holott itt a mérőeszköz mérőfelülete többnyire két érintő sík. Ha a mérendő szelvények a köralaktól való eltérését kell megállapítani, voltaképpen - amint említettük (1. 1. pont) - végtelen sok mérést kell végrehajtani. De könnyű belátni, hogy ún. egyvastagságú köralak is lehetséges - amlnt ezt a gyakorlatban fel is lehet lelni, és amellyel a 10. pontban behatóan kívánunk foglulkozni- aminek felismerése kétpontméréssel nem lehetséges. Az ilyen nek a megállapítása végett hárompontmérést is alkalmaznak. Ez is három éríntőből adódik, akár V-alakú prizmát használunk, akár optikai szögmérő-eszközt (teodolit) útján való ráirányítással mérünk. A mérések számát úgy is lehet fokozni, hogy a munkadarabot forgatjuk, pl. a Vprizmában, miközben a mérőműszert többször leolvassuk vagy állásait regisztráljuk. A regisztrálásra a legalkalmasabb az az elrendezés, ahol a műszert forgatjuk pontos körpályáıı a mérendő darab körül és eközben a tapintójának eltéréseit fehıagyítva rögzítjük polárkoordináta-diagram alakjában. Ezt az elvet valósítják meg a - már említett - TaylorHobson gyártmányú, továbbá a Hommel-gyártmányú műszerek (1. l. pont). Az ilyen műszeren felvett diagramvonal többé-kevésbé kerek (1. 2. pont), zárt vonal, amely a szelvény alak go szögkoordinátáját valódi nagyságában regisztrálja; a rádiuszvektor nagyságát nem mutatja, csak a változásait, ezek a változások, eltérések azonban felnagyítva láthatók, és jól le is mérhetők. Ezek az eltérések valamilyen közepesen p sugarú körön mutatkoznak M-szeres nagyságban (pl. M = 50 . . . 10000), tehát a szelvényt erősen torzítva ábrázolják. A mérendő szelvény átmérőjének (pl. legnagyobb vagy legkisebb) nagyságát azonban még külön (két-pont) méréssel kell megállapítani. Abban az esetben is, amikor laza illesztésről van szó (a 3. pont és a 2a, 2b szerint) főképp a szelvényre kívülről és belülről ráfekvő kör átmérője a mértékadó; amelyeknek ıı méretét Dmax ill. Dmin-mal akarjuk jelölni. Megállapításuk végett kétpont-mérések sorozatát szoktuk végezni, s az alábbiakban azt kívánjuk vizsgálni, hogy ezeket a méréseket hogyan értékeljük. 7. Az érintővel való mérés A mérőműszer tapintófelülete mindig érintőleges a mérendő felülethez, azért külméretek esetében - két párhuzamos érintő közti távolságot mérünk (belméret esetében. 4*)
ıninthogy a tapintók gőmbfelületek, valamivel közelebb állunk az r rádiuszvektor ınéréséhez). Amikor a keresztszelvény, a G profilgörbe méretét tolómércével meghatározzuk, akkor tulajdonképpen a keresztmetszet profiljának egy burkolój át tekintjük, éspedig egy burkoló sokszöget, amelynek oldalai a tolómérce két mérőfelületének, vagyis két sikfeIületnek egy-egy alkotó egyenese (2. ábra). Képezzük a G profılgörbét tartalmazó ún - le S kisebb konvex tartományt. Ezt úgy kapjuk, hogy a görbe összes húrjain fekvő pontoknak az osszesseget tekintjük (2a. ábra). A keresztszelvénynek tolómércével való mérésénél a két mérőfelület alkotó egyenesei a szóban forgó konvex tartomány határgőrbéjének érintőivel esnek egybe. A G határgörbét helyettesíthetjük tehát a görbét tartalmazó legkisebb konvex tartomány határgörbéjével. l
le
j ,_
b l
2. ábra
IÍ. .\
Q O
.PJ-Q .
0
Í
..HU
'°0Iıgı
Ó
.I Í
Ü
0
2/a. ábra
0
Í
Í. I
`\.
3. ábra
A kétpont-mérésnél a párhuzamos éríntők egymástól való távolsága a két érintő 0 kezdőponttól mért q távolságainak az összegével egyenlő (3. ábra) q =rcos1'-
r
,
(ršr(«p))
(l)
r 2
l/1+(,)
ahol T a P ponthoz tartozó r rádiuszvektor és a P pontbeli érintő normálisa által bezárt szöget jelenti és (1. [l]) r”=grdtp' Bármely kört három pont határoz meg, azért helyesen három érintővel mérünk. Ezek egy háromszöget alkotnak, és az ezt belülről érintő kört kell meghatároznunk. Ha a szelvény nem pontos kör, a mérések (háromszögek) sorozatából kell következtetnünk a kerek szelvény alakjára (külméretek esetén) elsősorban a belülről érintő körök p sugarának középértéke alapján. Méréskor az érintők irányát általában ismerjük, viszont az ismeretlen szelvénygörbe érintőjének a normálisa és a rádiuszvektor által bezárt T szög nehezen hozzáférhető, ezért célszeríínek mutatkozik a szelvény kerületét meghatározó polárkoordirıátákat: az r rádiuszvektort és a ıp polárszöget a t paraméter függvényeként megadni, ahol t az érintő q normálisának - az érintő 0-ponttól való távolságának - az irányszöge. Tehát
f E f(f);
11 E v>(f)-
(2) 51
-CJ
- az I
l
/hg* ` _
l T
l=Ír\ı
"`\ll
_
l
_ g
l
\ , if/
l 5
j
`ˇ“`._._.__ {l`
\\
3* \
Q_\
l
l
'Í' 4. ábra
l' ,ll il l
ra l
l
l
l zzz
l
l ` sa
mi
Mivel r(„,o) függvény u ip vtlltozólnnı (2Tr)~szerlnt periodikus. azért r(ı,p) ip-szerinti dlf leıeııclállıáııyadoznı is az, nınllıől következik ( l ) szerlııt. hogy a T-nak is periodusu u 'Zn és ezért u r paraméternek ls, ınlvel: I zp T (J. ábra szerint). 8. Mérés 8 V-horonyban A mérendő kerek szelvényt (a, + aa) szögű prizmába fektetjük és a prizma csúcsától mérjük a szögek közös szárának irányára merőleges a érintősík T távolságát (4. ábra). A mért T hossz és az adott két szög háromszöget határoznak meg. Másrészt az érintő a sík helyzetét a mérendő szelvény érintkezési pontjaihoz tartozó r, ,rz , r, rádiuszvektorok határozzák meg, amelyeket most az előző pontban (7. (2) alatt) bevezetett t paraméter függvényének tekintünk; tehát: 7'ı="(Íı)š
f'2="(Í2)§
?`3=?'(Ís)š
és ennek megfelelően a háromszög-oldalak, azaz az érintők normálisainak értékei: Qı=Q(Íı)š
fl2=Q(Í2)§
Q3=Q(Í3)-
Ha a t szög pozitív értékét az óramutató járásával ellentétes irányban mérjük, akkor a paraméterek közt a következő kapcsolatok állnak fenn: Í3
Í1 - Ti'
B _ É 'l" 012
3”
(1)
Í2"“Í1=1T+'Y=ı"_C'(1
2
A T mért hossz, ha az 0 origónak az A prizmacsúcstól való OA távolsága a mérési iránynyal Š' szöget zár be T=q, + OA cosš. Mind az OA távolságot, mind a § szöget ki tudjuk fejezni a qz és q3 normálisokkal és az adott szögekkel: OA _
Qa
Ó
SÍ (°l2 ““ Š)
Q2 SÍ (0f1 'l' Š)
ahonnan qg Slflag “'q3 SÍ.I`l0!1
t - és gç
-
Q; COSQQ + Q3 COSOZ1
;
qz COSGQ + Q3 COSÍII
OA cosš W
Í G sin(oı1 +a2)
l
S3
Innen
`
qz cosorz, + q; cosoı ql
1
sın(a, +012)
( )
Adott prizmaszögek használata esetén, ismert r(t) és tp(t) függvény alapján, a szelvény bármely - a r szög által meghatározott - helyzetére kiszámíthatjuk a megfelelő T hosszat. E mérőhosszhoz természetesen tartozik egy - az a, b, c oldalak által alkotott háromszögbe - beírható kör is; ennek a p sugarára a fenti (2) képlet alapján, ha abban q, = =Q2=fla=PÍ T=p [1+
cosa; +cosa1 _
1 .
(3)
Sm(0lı +012) Ehhez füződően érdemes megjegyezni, hogy minden egyes T mérési eredményhez tartozó három q normálisnak a „súlyozott” számtani középértékével egyenlő a beírt körnek a p sugara. Ugyanis a háromszög kétszeres A területe, ha a háromszög oldalai: a, b, c: 2A=p(a+b+c)=q1a+q2b+q3c ahonnan p._
Qıq + (12 b+ (230
(4)
a+b+c ami a q, , qz , q3 értékek „súlyozott” számtani középértéke, ahol a, b és c a súlyok. Minthogy mérésekkel a valóságos köralakot kívánjuk felderíteni, lehetőleg sok mérést végzünk. E célból pl. a vizsgált szelvényt a V-horonyban forgatva sok állásban (sok t szög alatt) mérjük, és a mérési értékek középértékét számítjuk. Ha feltételezzük, hogy a 7. (2) alatti függvények ismertek és a 7. (l) szerinti q(t) is ismert, akkor a végtelen sok mérési eredmény összegezéséből az átlagot a következő integrál segítségével számíthatjuk 2" f Tdıp =
l+
0
=
cosozz + cosaı 2" _ J f pdıp = S111(0fı+ aa) 0
2"
cos az
2"
cos al
2"
<1dv+-.-iqdv>+f""-" advŠ 1 sm(a1+oz2)'g 2 sm(a1+a,){ 3
A jobboldalon levő három integrál egyazon q függvény integrálja (21r) intervallumban, tehát kiemelhető. Mind a bal- mind a jobboldalon (21r)-vel osztva, az átlagértékek egyenlőségét kapjuk eredményként: 1
211'
1
211
íj; 10ds0=P,; = -37 g Qds0=Qá
54
(5)
l'Í.gyszertlsötllk ıı képlet. ha or. ~ (11, - 1 rr; ekkor 11 'fm cstlcstávolııtlg Í _
2 cosoı
'rt “ru ' 1*; ...„ az
'll'
sın O:
9. Kétpont-mérés (és ennek számtani átlaga) Ha a V-horony szöge 20: = rr, a mérést végeredményben két párhuzamos tapintó sik végzi. A mérések átlaga a 8. (6) képlet szerint
7211: zqéıı
(Ü
Az érintő-normálisoknak qá átlagán a 8. (5) szerinti integrált kell érteni. De a q normálisokat a t paraméter függvényének is tekinthetjük és eszerint is átlagolhatjuk. tehát a két egymástól eltérő: 1
211
1
-Í; fqdf
ÉS
211
É; il). qdtp
Ü
átlagot tekinthetjük. Ha az r rádiuszvektort 3. (1) szerint a ip polárszög függvényének tekintjük, akkor ıı rádiuszvektorok átlaga 3.(2”) szerint: Űo
'á “ 7 Itt az átlagos rá rádiuszvektorral való összehasonlítás céljából érdekes a q á áılagml középtávolságnak egy alsó korlátját meghatározni. A 7. (1) szerint
(1
2
q
r2
Í
»J +(ar
(_%) + a0§:ı(ak cosktp + bk sinktp) + [ã1(ak cosktp + bk sinkıp)]2
l/(Íš-)2+ zzz., §::1(zz,, éésızé + õk Sinka) + [ ä1(zz,, éoské + bk sink.p)12 + [äı(-1
d = al «×» (- ızzzk Sinka . + kb, ééské) Ez-
Ha a nevezőben az (af,/2)* értéket mint szorzót kiemeljük, akkor a gyökjel alatt az 1 után csupa olyan - a körkörösségtől való eltérést jellemző - harmonikus szerepel, amelyekről feltehetjük, hogy az l-hez képest eléggé kicsinyek. Ekkor az
---1-->1-1; \/ı+zz 2
lal<ı S5
elemi egyenlőtlenség alkalmazásával q-ra a következő alsó korlátot nyerjük q >% {[aT0 Í + ao E1(ak coskzp+ bk sin kzp) + [š1(ak cosktp + bk sin k«p)]2}
OO
X
2 . 2 . . {1-_ Z' (ak coskzp+bk sınktp)--2-f [Z (ak cosktp+bksınkzp)]2-
“O kzı
“°
`
k=1
-2% [_kZ'1(-kak sinktp+kbk cosk%°- + 2 Z (ak cosko + bk sin ktp)+ 22- [Z (akcoskzp+ bk sinkzp)]2 --
k=ı
í
0
k=1
OO
-- Z (ak cos ktp + bk sín ktp) - -4- l 2 (ak eos kia + bk Sin k“*°)l
k=1
a°
2_
*il
oo
oo
k=1
k=1
1 _ 1 . --C; l Z' (ak coskç>+ bk sınkzp)]2 --5; l Z' (-kak sınktp+ kbk cosktp)]2=
OO
00 2 _ 6 =-ë- {1+z- Z (ak cosktp+bks1nktp)-7
° kzı
- -az?
“°
00
_ 2 (ak coskıp+ bk sınk<,o)]-
k=ı
(-ka, sinı<,a+kbk éésıza-»)]2}
A qã számítása végett integrálva, a második tag zérust eredményez a két utolsó tagra pedig a Parseval-Hurwitz-féle összefüggést (4. (2)) alkalmazva 2a
a
°°
°°
fqdp>-í{2a--çí 2 az Z (aÉ+b§)-21 az Zk2(a2+b2)} k k 0
0
k=1
Azaz az érintők átlagos központtávolsága:
56
0
k=l
III
qúuzr ““2
ILÍÍ
l ___, \' (ak2 l bl) 1 za"
I _,_, \' k z (ak2 l hk) 2 la"
Ez-ı
qáu>Í29-
ÍM8
A-ı
3+k*)(a§ +b,§)
(3)
Szóval kifejezve: ha a kerek szelvény kerületének pontjait olyan r(zp); to polárkoordináták határozzák meg, amelyek a legkisebb négyzetek köre középpontjában fekvő 0 origójú polár-koordinátarendszerre vonatkoznak, és az r(t,a) rádiuszvektor előállítása a 3. (2) alatti Fourier-sor, akkor a méréskor alkalmazott érintők origótól való távolságának számtani átlaga (2) szerint kisebb mint az ún. legkisebb négyzetek körének a sugara. Az el térés korlátját a (3) alatti egyenlőtlenség alapján lehet megadni. 10. Az egyenvastagságú görbe (álkör) paraméteres egyenletrendszerének a levezetése és a görbe analitikus vizsgálata Az egyenvastagságú görbe tulajdonképpen olyan egyenesseregnek (érintők seregének) a burkoló görbéjc, amely sereg bármely két egymással párhuzamos egyenesének egymástól való távolsága állandó. Irjuk fel a sereg egyeneseit paraméteres alakban. Ha egy (x, y) derékszögű koordinátarendszerben az egyenes normálisa: p - vagyis a koordinátarendszer 0 origójának a távolsága az egyenestől: p - és a normális irányszöge go, azaz a normális zp-szöget zár be az x-tengely pozitív felével, akkor az egyenes paraméteres egyenletrendszere, ha t távolság-paramétert jelent a következő alakú (5. ábra) ly
° 1
i43
2
ka
'P PX
5. ábra
57
x = p costp - tsintp; y =p sinzp+ tcoszp. itt a p normális a tp irányszög egyértékű függvénye, tehát
P E P (10) és az egyenessereg paraméteres egyenletrendszere: x = p(«p) cosgp - tsintp y = p(tp) sintp + t cosıp
(1)
ahol tp és r a paraméterek. A zp-seregparaméter minden egyes értékéhez a seregnek egy egyenese, egy egyede tartozik. A p( tp) normális és a zp irányszög által meghatározott egyenessel párhuzamos egyenese a seregnek a p(zp + rr) normálishoz tartozik és mivel a két párhuzamos egyenes egymástól való távolsága ugyanaz a konstans D érték, azért:
P(v)+P(v2+1f)=D. Határozzuk meg az egyenessereg burkoló görbéjét, amely az egyenvastagságú görbe lesz. E célból a sereg (1) alatti egyenletrendszeréből küszöböljük ki a zp és t paraméterek közül az egyiket. Ehhez képeznünk kell x és y kétváltozós függvények - zp és t a változók - függvénydeterminánsát (1. [4]). Ez a következő Öx ôtp
õx õt
l
t
l =A Él öv
ÉJ; ar
Mivel `aĂ'=P,00S<.0-PSÍ11tP_ÍC0S P; Öt? Š_;c=-sinıp;
öy
-ãt-=costp;
3Ji=p'sinzp+pcoszp-tsinzp ôıp
, da
p=-ãêgl.
a függvénydetermináns értéke
.Bi iõvf
ôx Ö?
A:
. -smzp
=
___ Ö? ,aka 58
t , . p costp-psmzp-tcostp
_ az at 1
-p,_l'
, .
P Sll'l§0
+ pCOStp _ ÍS1I1tp .
COSt,0
A A
p'
t
0
egyenletből kell az egyik paramétert a ınáıılkkııl kifejezni s a kapott kifejezést a sereg t I ) alatti egyenletrendszerébe beírni, amely azután a burkoló görbe paraméteres egyenletrendszerét szolgáltatja. Mivel az előbbi egyenletből t = p', azért a burkoló egyenletrendszere a következő egvparaméteres egyenletrendszer:
X = Pér) cow-r>'(v>) Sima;
(2)
J* = P(v>) Sima + P'(v>) wwliz az gyenvastagságú görbe paraméteres egyenletrendszere, ha még a zp-től függő (211)szerint periodikus p (ıp) függvényre fennáll, hogy
P(v>)+P(v+ ff)=D,
(2')
amely szerint p(tp) deriváltjára:
P'(~P) = _ P'(~P + H)A (2) alatti paraméteres egyenletrendszerrel előállított görbérői most megmutatjuk, hogy az valóban olyan görbe, hogy bármely két egymással párhuzamos érintőjének egymástól való távolsága az állandó D értékkel egyenlő. A görbe egy tetszés szerinti (x, y) pontjában az érintő egyeniete:
(č -x)ý- (12 -y)>č = 0. ahol (2, 17) az érintő pontjainak futókoordinátái; Jč és y az x és y koordináták zp-paramé ter szerinti deriváltjai éspedig (2) szerint -7č=_(p+p„)SinSŰŠ
„
l ; ý= (P+P”)00Ss0
d2p(`p)
P =`-Ã;-` “P
(3)
Az érintő előbbi egyenletét Hesse-féle normálalakban felírva:
`
ý E
rf
W, xý-J»õ_0
az 17 és E koordináta együtthatójának hányadosa, azaz: Jč
ý 5*)
szolgáltatja az érintő normállstlııak az lránytangcnsél. Mivel pedig ( 3) szerint Ă:
_ ~ 18 80.
J' azért azt kaptuk, hogy a (2) görbe (x, y) pontjához tartozó érintő normálisának irányszöge: gp. A normálisnak az értéke pedig (az 0 origónak az érintőtől való távolsága), amit most q (ip)-vel jelölünk, az érintő Hesse-féle normálalakjában fellépő konstans taggal egyenlő, tehát: _ xy-yi
q(~P)`%f\/xz +y2 Ebből a kifejezésből, mivel (2) és (3) szerint xy -yıč = (p costp - p”sino)(p + p”) costp + (psintp + p'cos gp)(p + p”) sintp =
= (P + P”)P és
\/iz +332 =P +P" a q(tp) normális értékére nyerjük, hogy
Q (P) = Pt-P)
(4)
Most már, mivel az (x, y) ponthoz tartozó érintő normálisának az irányszöge gp , azért a vele párhuzamos érintő normálisának irányszöge nyilván: (ip + rr) lesz, s a normális értéke (4) szerint, ha abban tp helyébe (gp + rr)-t írunk:
a(P+1f)=P(v>+1r)
(4')
Ennélfogva (4) és (4') megfelelő oldalait összeadva a két párhuzamos érintő egymástól való távolsága (2') alatti figyelembevételével:
a(v>) + q(~P + rf) = P(~P) + P(v> + ff) =D, ami valóban állandó. Ezzel megmutattuk, hogy minden olyan (2) alatti paraméteres egyenletrendszer, amelyben a p(zp) függvény a (2 ') feltételnek tesz eleget egyenvastagságú görbét (álkört) állít elő. Állítsuk elő a (2)-ben fellépő (2Tr)-szerint periodikus p(tp) függvényt Fourier-sorban: Ű0
co
_
p(zp) = T + Z (ak cosktp + bk smktp) k=1
Ebből az előállitásból, mivel 60
cosklzp I rr)
coskzp,
sin k(tp I rr)
slıı lop
ha k páros; és cos k(tp + 11) = - cos kıp
sin k(tp + rr) = - sin kıp ha a k páratlan, a p(Ip + 1r)- Fourier-sora: a
OO
p(tp + 1r)= ~59- + Z (-- l)k(ak cos kıp + bk sin ktp). k=1
Ezt a sort a p(tp) sorához hozzáadva: p(zp) + p(zp + rr) = ao +
(am cos 2nzp+ b2„ sin 2rup) n=ı
De a (2”) alatti feltétel szerint e sor értéke állandó, éspedig: D, ami csak úgy lehetséges, ha: a2=a4=...=a2„=...=0, b_2=b4=...=b2n=...=0
vagyis, ha p(tp) Fourier-sorában a páros indexű együtthatók eltűnnek. Tehát a (2)-beıı fellépő p(tp) függvény Fourier-sora: j -
a
.
.
p(rp)=7° +(a, coszp+ bl sıntp)+(a3 cos 3«p+ bg sm 3tp)+ _ ..
(S)
Ha ebben az előállításban zp helyébe (ip + Tr) értéket írunk, akkor X
a p(tp+'11)=-50- - Z (a2k+1cos(2k+ l);p+ bzk
sin(2k + l)gp)
k=0
és így valóban fennáll a (2”) alatti:
P(v>) + P(v>+ 1f)= as =D. A (2) alakú egyenletekkel előállított egyenvastagságú görbék közt a valóságos kornek is fel kell lépnie és most azt kérdezzük, hogy a (2) alatti paraméteres egyenletrendszerrel előállított görbe mikor valóságos kör. Ha a (2) alatti görbe pontjai valamely r-sugarú körön feküsznek, akkor létezik egy olyan (a, B) koordinátájú pont, amelytől az (x, y) pontok távolsága az állandó r érték. vagyis (il
tx
01)* l` ty HI” -- r“.
Az egyenlet mindkét oldalán tp-szerint differeııciálva adódik, hogy
(X *0f)Jč+ (y " )ý= 0Ide JE és y (3) alatti értékét beírva és (p + p”)-vel egyszerűsítve: -(x-or) sina>+ (y-B) cos
- 2 coszp
+
a,
a y = psintp+ p”costp = [-20- + az costp+ Bsin Ip) sinao + (Bcostp- az sinıp) cosıp= (10
_
= _; Slntp + fi .
Tehát: .
.
(lg
x = oz + _ coszp; 2 U0
_
Y = (3 + Í SIHE0 az (ce, B) centrumú és r = ao/2-sugarú kör paraméteres egyenletrendszere. ll. Az egyenvastagságú görbe vizsgálata V-horonyban. Vizsgáljuk az (or, + az )-szögű prizmába fektetett egyenvastagságú görbét a görbe különböző elforgatott helyzeteiben. A T jellemző távolságnak (1. 8. pont) az értékváltozását fouk vizsgálni a görbének a V-horonyban való elforgatásakor. A görbének a ho62
ııınvlıan való cll`oı`gaIıisııknı. A gtnlıének a lıoronylıan való Iorgatılsakor a lıorony tl. -I. .lhml »ill nldalával egylıeesil goılıeéıtııtti ıınısıııállsıiıııık az iıaııyszoge valaınilyen változó -,- éıték, és ennek az érlnttinek a ııoııııállsııı fl.ı“" llltP)~
I-lkkor az /i(` oldallal egybeeső gőrbeérintő q, normálisának az irányszöge: tp+ Tr~~(oı, +o,) és Igy a normális: Cl: = Q(S0+ 77 “ˇ (G1 + 0f2));
és végül, mivel a qı normális irányszöge Lp"l"'lT_'((I| +(I2)“l"1T
_a1]šLp""[a2 +
azért
rr
qı =q[~P-(Hé + 5 ))lizekkel a q értékekkel a vizsgálandó T kifejezés 8. (2) szerint: T=q[tp-(az-l--Š-)]+
q(v>+1f-(<1ı+<»z)) A
+ ()
Sin (al
Cl s0 Cosaı _
Az itt fellépő q(«p) függvényre a következő: 10. (S) alatti Fourier-sort vezettük le: X
q(tp)
ao __ ___. 2 + Z(a2k+1 cos2k+l tp+b2k+1 sin 2k +1 tp). k=0 „
Ennek segítségével a T kifejezést is Fourier-sorba fejtve írjuk fel, amihez bevezetjük a kö vetkező rövidítő jelöléseket: 0!2+%=`-Ă;
Tf_(a1"l'QQ)=u
cosa, .
sın(a1+a,)
cosaı 0 “HU
.
sın(oz, +a,)
(1) ıãfz
Ezekkel a T kifejezése:
T = a(v>- R) + Jfı )Ha még rövidség kedvéért 2k + 1 helyett egyszerűen 2k + 1 = n
(13
értéket irnnk, akkor a q(ip
A) linnısleı -snıılınık általános tagja:
(an cos nli ~- bn sin n7\) cos rrip + (an sin nll + bn cos nlt) sin nip; a q(ip + li) Fourier-sorának általános taa pedig: (an cos np + bn sin nu) cos nip + (bn cos mi - an sin nu) sin nip. Ezek felhasználásával a T kifejezés Fourier-sorának általános tagja: {an (cos rút + Zlfl cos nn + JC2) + bn ( - sin rı7\ + Zlfl sin nı.ı)} cos nip + {an (sin nll - Zifl sin nu) + bn (cos nli + Zlfl cos na + Zlfll )} sin nip ahol n = 2k + 1 páratlan szám.
Ha itt cos rıip és sin nip együtthatóit röviden 0%-nel ill. B" -nel jelöljük, tehát: an =an (cos na + Iifl cos mi + Jfl) + bn ( _ sin n7\+ Jfl sin nju); B” =an(sin rút-Jfl sin n;.ı)+bn(cosn?\+ZiCl cosrılı+Zif2)
}
(2)
akkor T kifejezés, tekintettel arra, hogy n páratlan szám, a következő alakú: T-all
1+Jfl+Jfl 2
°°
___.
___
+ kZ:(')(a2k+1cos 2k +1 ip + Bzkll sin 2k + l ip).
Ezek után kérdezhetjük, hogy az egyenvastagságú görbének a V-horonyban elfoglalt különböző helyzeteinél, milyen esetben lesz a T méret értéke állandó? Tehát azt kérdezzük, hogy a T kifejezés változó ip-értékre mikor állandó. Ehhez nyilván az szükséges, hogy T előbb felírt Fourier-sorában az a2 kll és B2k+1 együtthatók mind eltűnjenek, vagyis, hogy fennálljon: al =a3=...=a2k+1=...=0; (il = 3=...=B2k+1=...=0. Irjuk fel az al és [3 l együtthatókat (2) szerint: al = al (cosli + ãifl cosp + Zlfl) + bl (ílfl sin u -- sinit), Bl = al (sin)\ - Zlfl sinp) + bl (coslt + Jfl coslu + Jfl ). Ebben a két kifejezésben al és bl együtthatóit az (1) alatti figyelembevételével: cos)\+}Clcosu+Zl{l=-sinal~
64
cosa
2 H cos(al+al)+ sın(al+al)
'
cosal
slneıl slnliıl i al)
sinlal I al)
cosal ciıslal I- al ) -i eosal
sinto, I al)
`~ cosal l-- cos al
__. 0;
sın(al + al) és a másik együttható ugyancsak (1) szerint _ _ Zlfl sınlı-sınlt;
cosal _ _r sın(al +al)-cosa, =0. sın(al + al)
Tehát al , B l fenti kifejezésében az al és bl együtthatói eltűnnek, és így arra az eredmény re jutottunk, hogy akármi is az al és bl együtthatók értéke (a q(io) Fourier-sorában) az al és (il együtthatók a T kifejezésében mindig eltűnnek, és így T Fourier-sora a következőképp egyszerűsödik: l+3fl+Zlfl _ _ T=all ----š--- + (al cos3ip+B3 sm3ip)+ (as cos5ip+B, sın Sp)+ _. ...+ a2k,1cos2k+ 1 ip+ Bzk sin 2k+ lip+ . .. Most már, ha az egyenvastagságú görbe közönséges kör, akkor az előbbiekben nyert egyik eredmény szerint q (ip) egy elsőrendű trigonometrikus polinom, tehát Fourier-sorában az 1-nél nagyobb indexű együtthatók mind eltűnnek: a3= as = . . _ = 0 b3=bll=...=0. Ebből a (2) alapján nyomban következik, hogy: a3=0,
B3=0;
a5=0,
B§=0;...
és így T fenti kifejezése a konstans tagra redukálódik:
1+:lt`l+:ffl T-(IQ
.
Tehát arra a triviális eredményre jutottunk, hogy közönséges kör esetén a T méret állandó. Vizsgáljuk meg, hogy milyen más esetekben lehet még a T méret állandó, a szelvénygörbének a V-horonyban való változó elhelyezkedésénél. T értéke csak akkor állandó. lıa fenti Fourier-sorában az al ; B3 as ;B5 . . . együtthatók mind eltűnnek, vagyis (2) szerint - ahol n páratlan számot jelent - ha teljesül a következő végtelen sok kétismeretlenes lineáris homogén egyenletrendszer an(cos rút + Jfl cos nu + 362) + bn (Jfl sin nu- sin nl) = 0;}
(3)
an (sin rı7\ - Jfl sin ı1u)+ bn(cos na + Jfl cosnu + Jfl) = 0. (15
ahol an és bn az ismeretlenek. Ha itt n helyébe egymás után a páratlan (n `-` 3. 5, 7, . . .) egész számokat beírjuk, akkor végtelen sok kétismeretlenes lineáris homogén egyenletrendszert kapunk, amelyeknek mind teljesülniük kell ahhoz, hogy T értéke konstans legyen. A lineáris homogén egyenletrendszernek a triviális a ,l = 0, bn = 0 megoldástól különböző megoldása abban az esetben létezik, amikor a determinánsa nulla, vagyis amikor cosn7\ + Zifl cos ma + Jfl
Zlfl sin nu - sin nl
sin n7\-Ilfl sin nu
cosn7\+JCl cosnu+Zlfl (4)
= (cos nlt + Jfl cos np + JC; )2 + (Zlfl sin nu - sin n?\)2 = 0 Az előzőekben láttuk, hogyha n = 1, akkor ez a determináns úgy tűnik el, hogy minden eleme 0 és ebben az esetben minden al ,bl értékpár kielégíti az n = l-nek megfelelő lineáris homogén egyenletrendszert. Most tehát tegyük fel, hogy n 1-től különböző páratlan szám. Á(4)d°Í6ImíI1ánsa nyilván csak abban az esetben tűnik el, ha a kerek zárójelben álló két kifejezés mindegyike 0, azaz ha: cos nlt + Jfl cosnp + Jfl = 0, és Zlfl sin nu - sin n7\ = 0. Ebből a két egyenletből Jfl és Zlfl kifejezhető:
ll 3% 1- sinnu
és af _
sinn()\+n)
2
.sinnlı
'
ahol az (1) alatti első két összefüggés figyelembevételével, mivel n páratlan, a jobboldalakra fennáll, hogy: sinn7\ _(_ l)n_1I2 S111 "ll
cosnal sinn(al + al)
sinn(?\+p)
(
l)n_1/2
sin nu
cosnal sinn(al + az)
Eszerint az előbbi két egyenlet a következőképpen is felírható :
xl
66
_
(
n-1l2
1)
cosnal + cosnal W
sinn(al+al)
z _
“_ ı
( Q
“Will
cmırıal
`
I `
,
siııırı(al l al)
ahová .'l{`l és JC, (l)a|altl értékelt beírva:
az °°5°,'3: s _
(Í Un-112 .„____°”“"“2
sin (al + al)
sinn(al + al)
(5) cos al
4,2
sirı (al +a,) -(
1)”
cosnal sinn(al+a,)
Tehát az al és al prizmaszögek közt ennek a két összefüggésnek kell fennállnla ahhoz. hogy a (3) alatti kétismeretlenes egyenletrendszer (4) alatti determinánsa eltűnjék. Ha az (5) alatti két egyenlet megfelelő oldalait összeadjuk, akkor: cos al + cos az sin(al+a,)
(
l)n_m cosnal + cosnal
_
3Í "(aı+0ff2)
Ez az egyenlet pedig egyszerű goniometriai átalakítások után a következő alakú lesz: 111-012
"(011 “(12)
COST 1
COS"'i-5'-`*" __(
,
_ 0lı+0f2
sm
_ "(011 +012)
2
sın
amit a következő alakban írunk fel: sinn(al +a2) 2
___(
2
cos n(al-al) 1)Pl'1Í2
2
_ G1 +012 s1n---
al-az cos.--___
2
2
Legyen röviden: (!1+a2
_a
és
Q1'“(I2
2
2
_B
3
akkor az (S) alatti feltételi egyenletek vegül is röviden a következő formában írhatok fel sinna _ _ mm sín a _ ( 1)
cosn cos B
°
, (5 )
Ha itt az a és B szögek közül az egyiket felvesszük, akkor a másiknak az értéke (5')-ből meghatározható. Az (5”) teljesülése esetén a (3) alatti egyenletrendszer (4) determinánsa eltűnik, mivel mindegyik eleme 0, és így (3) alatti egyenletrendszernek is minden együtt hatója 0 lévén, azt bármely an, bn értékpár kielégíti. Ekkor tehát, ha a szelvénygörbe (17
q(tp) ııorınıilisıiııak l~`ouricr-sorıilıaıı az un _ hn együttlıatójú tagok tényleg fellépnek az ri l indexre, a 'I' kifejezésében mégis an = Ü, B” = 0 lesz -- mivel (3) alatti egyerıletrend szer teljesül ami éppen azt jelenti, hogy T értéke nem változik, amikor változik a gp. Az olyan a-, B-szögre amely kielégíti az (5 ') alatti egyenletet a T méretnek az állandósága tehát nem jelenti azt, hogy a szelvénygörbe közönséges kör. Az (5') alatti egyenletet végtelen sok a, fi értékpár elégíti ki. Ha pl. B az a-nak pótszöge: s 'H
és az n páratlan szám: n = 4k + l alakú (minden páratlan szám vagy 4k + 1 vagy 4k - 1 alakú, ahol k egész szám) akkor
(5 ') fr C03 ( __?10f) 2 j Tr cos(-5-a)
sinna sina
__.______ : (_
_
~
Slflna
sına
valóban teljesül. Ebben az esetben, mivel a + B = Tr/2 és az a, B szög előbbi meghatározása szerint a + B = al , a prizmaszög: al = Tr/2. Ekkor ha a körszelvény q(go) normálisának Fourier-sora a következő alakú:
q(lp)
OO
all
-___
_-_
2 + Z (zz4,„1c0s4k+1l„+b4k,1sin4ız+1 zp) k=0
és így a körszelvény álkör, a V-horonyban való mérés a T méretre mégis állandó értéket szolgáltat. Ugyanerre példa az az eset is, amikor a = 45°
és
B = 15° ,
továbbá a páratlan n szám: n=24k+1
(k=0,l,2,3,...).
alakú. Ekkor na = 360° - 3k + 45° és így sin na = sin 45° = sina cos nB = cos(360°k + 15°) = cos 15°= eos 6. Tehát (5') feltétel teljesül és így állandó annak az álkörnek a T mérete, amelynek normálisa 68
a
III'
ata) s Í ı _; ı„_,_„_, „„z.!-Mt ı ıaz t ırmlıstıı 2.-tk t ta). `ˇ
A ıı
Mi éppen azt kívánjuk. hogy az cgyeııvastagságú görbének a V-horoııylıarı mért 'I' mérete csak a valóságos kör esetén legyen tillandó, vagyis, hogy a 'I' értékvá|tozr'ısıı éppen azt jelezze, hogy a vizsgált görbe dlkör. Ehhez az szükséges, hogy az al és az prlzmasztt~ geket olyan értékűre válasszuk, hogy egyetlen l-nél nagyobb páratlan n egész számra se elégítsék ki az (S) alatti vagy ami ugyanaz az (5`) alatti feltételi egyenletet. Ekkor ugyanis a (4) alatti determináns nem nulla és így a (3) alatti homogén egyenlet rendszert csakis az an = bn = 0 triviális megoldás elégíti ki, és csakis erreaz értékpárra tűnik el a T Fouriersorában fellépo (2) alatti an és B” együttható. Ebben az esetben tehát a T csakis akkor állandó, ha Q(go) Fourier-sorában az a3 , by, , al , bs, _ . . együtthatók mind eltűnnek. vugyis a szelvény közönséges kör. Legyen a két prizmaszög 011 = 012 = 01;
ekkor - mivel al + (12
2
-a
és
al '_ az
2
- B
B-0
és így az (5') alatti: sirı na _ _ -H2 sina -( 1)”
H
(5)
Tehát az (5”) alatti csak abban az esetben teljesülhet, ha az a szög értékét olyannak vtilasztjuk, hogy fennálljon a következő egyenlet: sinna=(-1)"`1'2sina
(n>1).
Meghatározzuk azokat az a értékeket, amelyekre ez a most felírt egyenlet teljesül. Ez az egyenlet n = 4k + 1 alakú páratlan szám esetére akkor teljesül, ha sin na = sin a és n = 4k - 1 alakú páratlan szám esetére, ha
sin na = - sin a. A sin (2rrl + a) = sirı a és sin((2l + 1) rr -- a) = sina alapegyenletekből -- ahol 1 egész
szám - nyomban következik; hogy a sin na = sin a egyerılőség csak abban az esetben állhat fenn, ha 69
na =-` 217! + a vagypedig, ha na= (21 + 1) rr-a; ahonnan a-ra adódik, hogy 21 a=--rr n-1
vasypedis
2z+ı
a= ---- rr. n+l Tehát azt kaptuk, hogy a sin na = sina egyenlőség abban az esetben állhat fenn, amikor
szi.. n-l
V.
gy
.z_._2f+1
n+1n`
A sin (21Tr - a) = - sin a és Sin ((2 + l)Tr + a) = -sina alapképletekből meg az követ kezík, hogy a sin na = - sina egyenlőség meg csak abban az esetben állhat fenn, amikor
az-2l-ll n+l
vagy
az-.31-“ll n-1 ˇ
Tehát összefoglalóan azt kaptuk, hogy az (5 ”) alatti, aminek most megfelel a az (5 ”) alatti csak abban az esetben teljesül, amikor a az alábbi négy érték valamelyikével egyenlő:
„,=_af__,, 2_l:_ı_„. n-l ' n+l ”
____2_l ___„ n+l ”
_2l3:_1__„ n-l `
Eszerint, ha az a szög értékét valamilyen egész fokértéknek választjuk, akkor mivel a ° < 90° az a° szög a l80° -nak valamilyen r/s racionális tört része azaz
a°=1S 180 ahol r és s pozitív egész számok. Ha most 8 nem egész számú többszöröse a 180-nak, azaz n#'=180kil
(k=l,2,3,...)
akkor az egész szám a° szögértékének az előbbi a° = rl s 180 összefüggés alapján oszthatónak kell lennie a 180-ban fellépő valamelyik primszámmal, tehát vagy a 2-vel, vagy a 70
.i-nıal. vagy az S-tel. linnek értelnıéhen az (S") alatti csak ııhhaıı az esetben ıllllnıt fenn. lıa a (amely egész szám) osztlntto a .!~-vel, vagy tı .l-mal, vagy az 5-tel. 'l`elıtlt. ha az of erte két olyan egész számnak választjuk, hogy az sem 2-vel sem 3-mal, sem 5-tel nem osztlıııtó, akkor az (5“) alatti nem teljesül, feltéve még, hogy n l80 t l (It = l, 2. 3, . . . )- Azonban az n = l80k :|: l index elegendő nagy érték és feltételezhetően az ilyen nagy lınlexre az an, bn soregyütthatók értéke már elegendő kicsiny, amely elhanyagolhatóan klsnıérték ben befolyásolja csak a szelvény méretét, amiért is a T méret értékének a megállapításanál ezeket a nagy indexeket ñgyelmen kívül hagyhatjuk. Végeredményben tehát megállapíthatjuk, hogy ha az a° fél prizmaszöget olyan egész számnak választjuk, amely nem osztható 2-vel, 3-mal és 5-tel, akkor a szelvény 'I' méretének az értéke a szelvény helyzetváltoztatásakor a V-horonyban csakis abban az esetben állandó, amikor a szelvénygörbe valóságos kör. 12. Példa kerek szelvény polárkoordiııátás előállítására: a ,,poligonprof`ıl”. Az ún. poligonpro l elkészítésére a stuttgarti Fortuna-művek különleges szerszámgépet hozott forgalomba; ezzel a géppel egybevágó külsô' és belső proñlgörbét lehet köszörülni egyetlenegy egyező gépbeállítással úgy, hogy a kettő egymásba illeszthető és ııyo maték átszármaztatására tengelykötésként alkalmazható. A gép működésének egyik jellemzője az, hogy köszörüléskor a munkadarab (szelvény) forgása alatt a köszörűkorong tengelye egyidejű függőleges és vízszintes irányú elmozdulást végez. Ezt a kétirányú elmozdulást változtatható e excentricitású excentertárcsa végzi megfelelő csúszka és emelőkar közvetítésével. A két egymásra merőleges moz gás eredőjeként a köszörűkorong középpontja ellipszis mentén mozog. Ha az ellipszis nagytengelyének és kistengelyének aránya az n egész szám, akkor 2n lesz a köszörűléskor előálló poligonprofil csúcsainak a száma. - Ha azt a derékszögű koordinátarendszert tekintjük, amelynek O origója a munkadarab centruma és x-tengelyén rajta fekszik a köszörűkorong tengelye által leírt ellipszisnek a középpontja, akkor a poljgonpro lra a következő paraméteres egyenletrendszer vezethető le: (1. [2], [3], [4]) x = ((M- c) - ecosnt)cos Í - ne sinnt sint; y = ((M - c) -- e cos nt) sint + ne sinnt cost, ahol a t paraméter a munkadarab elforgási szöge (a megmunkálás alatt); e a köszörűkorong centruma által leírt ellipszis félkistengelye (ne a fél nagytengelye) M a munkadarab és az ellipszis centrumának egymástól való távolsága és c a köszörűkorong sugara. Ha itt röviden M -- c = P2
7l
amely a munkadarab közepes félátmérője, akkor a poligonprofll fenti egyenletrendszere a következő alakban is felírható: x=qeost-usinr
(1)
y=qsint+ucost, ahol q és u a következő kifejezéseket jelenti:
(2)
q=%--ecosnt=g-(1-Zlfcosnt);
(3)
u = ne sin nt
(4)
Jf
Az itt q-val jelölt mermyiségrol mindjárt megmutatjuk, hogy az az előzoekkel összhangban a szelvény érintőjének az 0 centrumtól való távolságával vagyis az érintő normálisával egyenlő. Az elõbbi (1) és (2) egyenletekből a polárkoordináták most már a következőképpen fejezhetők ki rz =q2+u2 =x2 +y2; zš.
A poligonproñl egy tetszésszerinti (x, y) pontjában az érintő egyenlete:
(č"X)ý`- (1t"J*)>č = 0 ahol (2,12) az érintő pontjainak futó koordinátái és Jč, ý a t-változó szerinti deriváltakat jelenti. Ennek az egyenletnek Hesse-féle normálalakjában a p konstans tag az 0 origónak az egyenestől való távolságával egyenlő és annak értéke az előbb felírt egyene s-egyenlet alapján: A P _ xý -yač
\/.~22 + ý2 Mivel (1)-ből és (2)-ből Jč=-(q+ú)sint»
(5)
ý=(q+ú) eost
(6)
ahol (4) -szerint ú = nze cos nt azért
Xý"y>č= (ft + ú:)Q 72
és
_ __ .\`* I yi
_ _ tq l n)'_
lizeket a p fenti kilejezésélıe iıva:
._ _.39Íz;__9?_??. _ W 'ílít .
”"×/szfr-Trf 5 zz-zz
“'
vagyis a (3) alatti kifejezés valóban az érintőnek az 0 origótól való p távolságával egyeıılö 13. A poligon-szelvény kerülete és területe A 12. (5) és (6) alatti képlete szerint: dx =-(q + ú) sintdt dy = (q + u) cost dt Innen a kerület íveleme: dsz = dx* + dyz = (q + úz )dÍl2 ds = (q + ú)dt
és így a kerület: 211
2rr
2rr
D
I= fds= f(q+ú)dt= f (3-e(l-n2)cosnt]dt=Drr. 0
0
0
A D méret tehát jellemző a szelvény kerületére: D = I/ rr (v. ö. 5. (4) alatti 2pl értékével). A szelvény területe 2rr
zrr
_
12'"
A=%{qds=%j`q(q+H)df=§ Á
D
2
+5?-(n2-2)
- ez (mz -1)eos2 nt] dt; ahonnan: A_ D24Tr [1
2- 1362] n2
ahol H
2e
“D E két -I ésA - kifejezést az 5. (2) ill. 4. (1) képletekkel összevetve látjuk, hogy a poligonszelvény pontjaihoz tartozó r(zp) rádiuszvektornak Fourier-sorba fejtett alakjában a sor konstans taa kisebb mint a poligonprofilra levezetett I ésA kifejezésekben szereplő 73
közepes I) átmérő: all <1). Ugyanerre az eredményre jutunk akkor ls, ha az all együtthatót a 3. (2) alatti képlet szerint kiszámítjuk. 14. Kétpont-mérés a poligon-szelvényen Ha ismerjük a szelvény-érintők q normálisainak mint a t paraméter függvényének az értékét, akkor a kétpont-mérés eredményét két egymással. párhuzamos szemközt levő érintő normálisainak az összege adja: q(tl) -l- q(tl ), ahol tl = tl + rr. Minthogy most a 12. (3) alattiban szereplő: cos ntz = cos ntl cos nrr, azért a poligonszelvény kétpontmérésénél nevezetes kétféleséget észlelhetünk, ami e szelvény szimmetriájának a következménye. Ha a sokszög szögeinek száma: n páratlan, akkor cos nrr = - l, ha páros: cos mr = + 1; avagy cos mr = ( - 1)". Ezzel valamely kétpont-mérés eredménye: %{2-[l+(-1)"]Zlfcosnt}. Látható, hogy ha n (a poligon szögeinek száma) páros, akkor a kétpont-méret a szelvény kerületén (2rr/n) - szerint periodikus. Ha pedig n páratlan, akkor a kétpont-méret értéke állandó vagyis a kétpontmérés egyenvastagságot mutat, amelynek értéke (a kerületet jellemző) D. Emiatt a körkörösség ellenőrzésekor a szelvényeket mindig meg kell vizsgálni a kétpontmérésen kívül egyenvastagság szempontjából is, pl. hárompont-méréssel. 15. Poligon-szelvény mérése V-horonyban A prizmaszögeket (1. 8. pont) al = az = a értékűre választva a jellemző T-méret (l. 4. ábra) T241 +(q2+Q3) 2' :Qt +
sin 2a
2 sına
ahol most a q érintő-normális a 13. (3) alatti egyszeñ n-edrendű koszinusz-polinom. A poligon-szelvényt a V-horonyban forgatva a T méret értékváltozása nyújt felvilágosítást a poligonprofıl alakjáról. Azonban igen nagy mérendő tárgyak esetében a mérőeszközzel nem lehet a szelvényt átkarolni úgyhogy ilyenkor ún. lovagló idomszerrel kell mérni. Ha az ilyen idomszerrel való mérést is befoglaljuk matematikai formuláinkba, akkor a V-horonyban való mérésnél a jellemző méret kifejezése: +
T= qi.-33 J-zzz 2sma
(1)
ahol átkaroló mérés esetében a + előjel, lovagló mérés esetében pedig a - előjel veendő. A paraméter-szögek 8. (1) szerint legyenek
rl=r+-'Š-; 74
r2=r-a+2rr;
rl,=r+a+rr.
Aızetlnl. hogy ıı ptlrnllnıı-c vagy jıtlroı, tuválılıtl n tııérüıı ritkıırıılú-t' vagy lovagló. négy esetet kültirılıőztetüıık meg.
Páratlan n-szögűség esetében cos nt, + cosnt, =`= cos(nt ~ na)
eostnr + na) `--f 2 sin nt sin na
_ _ mr cosntl = - sın nt sin 7 . A mérés eredménye: li . . T- 2 [ Sijãa "Zlfsinnt [il-Ínfãí 1 sin
(2)
A mérés eredménye tehát V-horonyban mérve is (2rr/n) - szerint periodikus, kivéve azt a különleges esetet, amikor T-ben a kerek zárójelben álló kifejezés értéke nulla, amikor is a szelvény - a V-horonyban mérve - úgy mutatkozik, mintha egyenvastagságú görbe lenne. Ez a különleges eset akkor következik be, amikor az a szög értéke olyan, hogy fennáll a következő egyenlet sinna=isina.
(3)
Ez pontosan megfelel a 1 1. pontban tárgyalt annak az esetnek, amikor fennáll az (S') alatti egyenlet, amelynek részletes analízise a 1 1. pontban található. Páros n-szögűség esetében eos nt, + cso nt3 = eos(nt - na) + eos(nt + na) = 2 cos nt cos na mr cosntl = cosnt cos -5A mérés eredménye T-12) jlíiíiãa
Ztfcosnt [
100812571)] ,
(4)
A mérési T értékek (2rr/n)-szerinti periodicitása páros n-szögűség esetében sem mutatkozik akkor, ha az a szög olyan, hogy a kerek zárójelben foglalt szorzót zérussá teszi: cos na = i sina.
(5)
Itt éppen úgy mint páratlan n-re megmutatható, hogy (5) alatti nem következik be, ha az egész számú fokokban a° érték nem oszthat 2-vel, 3-mal és 5-tel. A gyakorlatban régóta ismeretes, hogy oválisságot (n = 2) átkaroló méréssel 2a = 60° -os prizmában nem lehet észlelni (látszólagos egyenvastagság). 75
A ( 2) és (4) egyenletekben az I. értéklngadozását (a szelvényforgatásrıál) okozó részt zérussıl téve a (3) és (5) alatti szerint, a nulla kitérést adó priznıaszöget kapjuk; ugyuııe résznek szélső értékét keresve a leghatásosabb prizmaszöghöz juthatunk. Páratlan n -szögúség esetén a prizmaszög -- függetlenül attól, hogy a mérés átkaroló-e vagy lovagló - - akkor a leghatásosabb, ha: n tga = tg na Páros n-szögűség esetében, ha n tga = -- ctg na. 16. V-horonyban végzett mérések kiértékelése poligoııszelvérıyen Akár átkaroló, akár lovagló a mérés, a V-horonyban végzett mérések átlagértéké-
sõt egy olyan pm sugáreneızzr számeuızruıaıti (v. õ. 8. (5)), amely z qá enmõ-normaıisok átlagával egyezik. A 15. (1) integrálásával 1
2"
1
1
2”
1 :t: sina
E { T°f~°=l;;*1lE;l` {qd~°=m` “fa Ehhez azonban hozzá kell füznünk azt a megjegyzést, hogy ez csak végtelen sok mérés esetén érvényes. Ha az átlag-értéket véges számú mérés alapján kölelítjük meg, már az sem mindegy, hogy átkaroló-e vagy lovagló-e a mérés. Ugyanis átkaroló méréskor a minden egyes méréssel megállapított p sugár a hozzá tartozó ql , qz , ql érintő-noı`málisok súlyozott középértékének tekinthető (vö. 8. pont). Ezzel szemben azonban lovagló méréskor lehetséges, hogy -- a mínusz-jel folytán - a kiszámított p alatta vagy felette van valamennyi q-nak; ily módon a mért értékek kedvezőtlen eloszlása esetén megeshetik az, hogy a mérések egymást nem egyenlítik ki. Példa. n = 3 szögletessé poligon mérésére három mérés nem elegendő. Legyen a = 30° és a három mérés egyik sorozatában ip = 0, l20° , 240°; a másik sorozatában ip = 60°, 180°, 300°. Nyilvánvaló, hogy a poligon szimmetrikus elhelyezkedése esetében minden méréskor T = 0, és a mérési eredmények semmi ingadozást nem jeleznek. Átkaroló méréssel az első három mérés esetén
q1+
76
Minthogy
| I mm sina
3
azért (vö. 8. (6)) a mért Tértékek I/3-szorosa zı keresett p értékeket szolgáltatja. ligylk
méréssorozat szerint tehát D qátj = 5- (1 + JC)
a másik szerint D qá = 5 (1 -JO-
Ezek legkedvezőtlenebb szélső eredmények ugyan, de mindazonáltal egyik sem lépl túl a qmax vagy qmin értéket. Ha a két mérési sorozatot egyesítjük, a hat mérés átlaga már a pontos qá = D/2. Lovagló méréssel (vö. 15. (1)), minthogy a = 30° -os V-horonyban mérünk ql = q _l Q T: .i"Qı sma A fenti első három mérés esetén D q2=čZs=(1"'3f)5„
D fIı=(1+ÍÍ`Ü`§'
a második három mérés esetén D
Q2=Qs=(1+3f)'í„
A
D
Qı=(1“"3f)'ã'
Ugyanakkor 1 - sina 1 sina _ ' tehát a mért T értékek magukat a P sugarakat szOlgáltatják,amelyekegyben qá képviselhetnék. Az első három mérés esetén
1-ar qá z,,__7~_ [sma
értéket
(ı+rr)] 3D_-(1 _ sza) Q2.
a másik három mérés esetén l+}C
qá - [ sm
D
D
(1 JO] 5 =(ı+3:rr)5. 77
lizek a kedvezőtlenül választott szélső eredmények ııniı tüllépik qmu vagy qmh valódi értékeit. A lovagló mérés tehát nem elegeııtlő száıııú mérés esetén megbízhatatlan. A két mérési sor egyesítése azoban már ebben a példában is pontos eredményt szolgáltat.
'74
c`
,
l rr l
Í
0/ /
-
_ ````` ";,;T“ ' Ö
_ A`
I
I
.
0
Pl Í I Í
I
D
6.ábra
78
Õ
1 r
I7. Három érintővel és ızögnıéıñvel való mérés A feııtiekbeıı a kerek szelvényt burkoló lıtlroınszognelt a ınagaııágtlt ınérltlk
lıosszmérővel, és két szöget ttlztük ki a V-prizmával. Atkaroló méréskor ez -olyan mérőeszközt igényel. amelynek kiterjedése lérıyegeseıı nagyobb, mint a mérendő szelvéıty maga. Ha a mérőeszköz a szelvénynél kisebb, akkor vagy lovagló lehet, vagy pedig a szelvényt csak irányzékkal követheti. Utóbbi esetben a szögeket meg kell mérnl, nem lehet azokat - mint a prizmával - kitűzni, és a burkoló háromszög nagyságának meghatározása végett még egy alapot, bázist is ki kell jelölni. A 6. ábra olyan körülményeket nıutat, amelyek a 4. ábrán látható háromszög viszonyaihoz hasonlóak; de ehelyett, hogy a hároınszög T magasságát mérnők, itt az m magasságot tűzzük ki. Ezt az elrendezést azért választottuk, hogy a szögmérő teodolitot egy helyen - a C szögcsúcsban rögzítve - képzelheııtlk A három irányzást: a, b és c irányokban ily elrendezésben olyképpen lehet végrehajtani. hogy a D pontban - az m bázishossz szabatos távolságában - egy 45°-os reflexlós prlzııwa van elhelyezve; ezáltal a bázis megfelelő elfordításával a burkoló háromszög c oldalát az a és B szögeket a teodoliton le lehet olvasni. (Ez a mérőeszköz a 147.608 lajtromszám alatti magyar szabadalmi okiratban van leírva). A háromszöget belülről érintő kör p sugarát a félszögek függvényében egyszerűen lehet kifejezni p=%[1-ctg-štg-É).
(l)
A gyakorlatban nem ez az eset érdekes, hanem az, amikor az m bázishossz lényegesen kisebb a mérendő szelvény méreteinél-(7. ábra), vagyis amikor kis müszerrel akarunk nagy méretet mérni. Ekkor azonban a háromszöget a pb sugarú kör kívülről érinti, a leolvasottli szög az előbbihez viszonyítva negativ előjelű; a sugár nagysága ekkor
B I
pb=%ı(l+ctg%tg-íj.
(2)
A mérőeszközzel mért szögek a báuis és a kerek szelvény ql , qz , q, normálisai kttıtl összefüggést a 8. ábrából olvashatjuk le. Az utóbbi három értékről tudjuk, hogy egy mérés végrehajtásakor az - ismeretlennek feltételezett - q(t) iggvâıynek olyan tl , tl , tl argumentumaihoz tartoznak, amelyeknek az összefüggése a prizmában tl-tl =rr+(a+B)
(3) Í3_'Íj =1T+
A 8. ábra szerint tehát
(m - qz)(<=fs0f + 0186)
°ı
sın
.qz
sına
(4)
79
k `f\\ /0
I
p
/ / / /PD A
`
\
\ \
* /
fé._
/
a
f
7. ábra
P
Q.
II
I J' 'Il
'H ıınu A
ll
lııı
qjıcyu
C
4. 1
tl
l
llll
Íl' “hi "If
.. Í
*
az
l
'R"'1s
in-Ziı-1
l
I
' _
8. ábra
Vegıgszorozva m-mel és rendezve mz (ctga + ctg ) - q_1 m
sınB
q_2 m + qz, m(ctga + ctg ).
sma
Azt látjuk, hogy a kifejezésben a háromszög oldalainak értékeit helyettesíthetjük be, mivel: m BC=d=`sT>
cA=b=_l-, 51116!
AB = C = m(ctgoı + ctg ). Ekkor tehát a baloldal a háromszög kétszeres területe 2A=Qı0_Q2Ö+Q3C-
(5)
De -a háromszög kétszeres területe a kívülről érintő kör sugarával kifejezve: 2A=pb 2(s-b)=pb(a-b+c).
(6)
A (4) alatti egyenlet, ha abban a qı = q, = qg = pb helyettesítést alkalmazzuk, és a félszögek függvényeit vezetjük be, a (2) alatti egyenlet alakját veszi fel (vö. a következő 18. ponttal). Az (5) és (6) alatti egyenletekből kifejezve kívülről érintő kör sugarát, annak értéke 8!
'Ü '_' ffšrb Í9! F' pb
a
b + (
Tehát itt is a q normálisokkal és az a, b, c háromszögoldalakkal fejeztük ki az pb sugár ér~ tékét mint a 8. pont (4) alatti képletében, itt azonban a negatív előjel miatt lehetséges az is, hogy több vagy valamennyi q érték is a kívülről érintő kör pb sugarát akár teteme sen is felülmúlja, vagy azon lényegesen alul maradjon. Tehát az egyes mérésekből levezetett sugár nem tekinthető jellemzőnek a szelvény q értékeire. 18. A fix bázissal egybekötött szőgmérővel végzett mérések értékelése A méréskor az m fıx bázis adva szokott lenni; mégis vizsgáljuk meg, hogy a mérés érzékenysége érdekében milyenre válasszuk az m értékét, és milyen f távolságra helyezkedjünk el a mérendő (2p átmérőjű) tárgytól. A 9. ábrán az a, b, c érintő sugarak útján végezzük a mérést, de ezenfelúl be van rajzolva a c sugárral párhuzamos érintő is; megrajzoltuk még a teodolitnak a középpont- A tól való OC = f távolságával képzett kört is, s ezáltal kijelöltük az E és F pontokat. A CE' és CF hosszak egy-egy egyenlőszárú háromszög alapját alkotják akár az f oldalakkal, akár a p sugarú kör érintőivel. Könnyű belátni, hogy az E és F pontoknál az f sugarak az + B/ 2 szöget alkotnak a c ill. ezzel párhuzamos érintőkkel, úgyszintén azt is látni, hogy a CE ill. CF hosszak of/2 ill. B/2 szög alatt hajlanak a c függőleges irányhoz; vagyis más szóval CE az az szög felezője, ill. CF a B szög felezője. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenlőséget:
Ű
m ctg 92- = (2p - m) tgí. Ez az egyenlet azonos a 17. (2)-vel. A p, m és a két a, B szög közötti összefüggésnek más kifejezésére a következő két egyenlet is felhasználható, amelyeket az OC = f sugár mellett fekvő két derékszögű háromszögből adódnak:
P .0f+6 __=Sm__
J.
2 ,
m-p a-B --?-=sın-š-
(1) (2)
További összefüggéseket a CE ill. CF alapú egyenlőszárú háromszögekből kaphatunk, ha e távolságokat m ill. (2p - m) hosszakkal kifejezzük:
82
.
ti
2fcOı2
M
j
Ü | Ü
sm
J
U
tıuııı -
M0 sin .,
(3) 2fcos 9: = 2
Zp r-~ cos E' = -M um oı+{i 2 B
Sin -T
Siní
Az alábbiakban azt kívánjuk megvizsgálni, hogy milyen mérési elrendezés érzékeny vagyis hogyan helyezkedjünk el a méréskor, hogy valamely kis Ap változást lehe tõleg nagy Aa és AB szögváltozás jelezzen. Az (1) egyenletből a Lagrange-féle középérték-tétel alapján:
p
1
e+6
1
a+
_ı
“+6
- ã-cos--2- Aa+ E cos-T AB- -5 cos? (Aa+ Ali).
Eszerint az a kívánatos, hogy a cos a + B/ 2 kicsiny legyen, azaz (ez + 6)/ 2 szög értéke közel legyen a 90°-hoz, ami a 9. ábra szerint azt jelenti, hogy f értéke -- amely f > p közel van a p-hoz. Tehát kis f távolságra, azaz közel kell a mérendőhöz hozzáállni (ugyanakkor (aı + B) nagy, s megközelíti a 1r - t). A (3) egyenlet szeıint . a+ 6 p
m
S1l'l"""“""-ˇ
2
2 sin 3- cos-É 2 2
Ha a méréseink folyamán az f távolságot nem változtatjuk és ÍGY (1) szerint a + 5/ 2= = konst., más szóval a hozzáállást rögzítettük, az előbbi egyenlet jobb oldalát úgy lehet tekinteni, mint egyetlen egy szögnek pl. O:-nak a függvényét. E függvény of növeke désekor csökken, mivel nevezőjének a 2sin or/2 cos B/2 függvénynek ez-szerinti differenciálhányadosa pozitív. Tehát a legérzékenyebb mérési elrendezés nyilván a lehető legnagyobb or szöggel és megfelelően kis B szöggel érhető el. Más szóval az m bázist lehetőleg nagy ra kivánatos választani. A mérőberendezésünk rendszerint adott, a p/m viszonyszámot többnyire nincs módunkban változtatni; ha ilyenkor a legkedvezőbb f távolságot választjuk, akkor a mérés összes körülményei rögzítve vannak (1) és (2) alapján. Az ez és B szögeknek nem minden értékpáıja egyformán kedvező, úgyhogy valamely adott esetben kedvezőtlen f mérési távolságokat is ki lehet jelölni. 19. Irányelvek fix-bázisú szögmérőnek a mérendő darabhoz való hozzáállásárı Az előző 18. pontban rámutatturık már arra, hogy az m bázis lehetőleg nagyra való választásában rendszerint a mérőeszkőzhöz vagyunk kötve; az f hozzáállást pedig lehetõleg 83
gy »AV
E &
; I
kûQ ha I
klcılre vegyük. Azt ıı kortllıııéııyl. hogy lunlvrıfttleıı lııızzllıllliisok ls Ielıetıégesek. ınnlt az előző pontban trlrgyultnıık. nt-ııı Ielıvı vllu-ııllııl. luıloııoseıı, ha ıı szelvény uıııelyııek körkörösségét vizsgáljuk
lsıııcrelleıı. Még Im lvllélelczlıclnők is, hogy a vizsgált szelvény
véletlenül mértani pontosságú (habár lsıncrcllcıı rı-szögű) poligon-szelvény volna, akkor sem lehetne kijelölni a kerülendő kedvezőtlen hozzázlllásokat, mivel a kedvezőtlen hozzáállások igen változatosan mutatkozhatnak. A mérések célja először az, hogy megállapítsuk az átlag-átmérőt; azután pedig, hogy a szélső azaz a legnagyobb és legkisebb átmérő nagyságát megismerjük. Az átlag megbizlıatósága érdekében sok és szisztematikusan végrehajtott mérésre van szükség, amint erre a 16. pontban példa nyomán is rámutattunk. A szélső méreteket azonban, amint ugyanott láttuk, a nem átkaroló mérési módszer - sajnos - nem mutatja valódi nagyságukban. Ezért ajánlatos, hogy szisztematikusan többféle hozzáállással végezzünk mérési sorozatokat, s azután a mindegyik által szolgáltatott átlagértékeket és szélső értékeket kellő mérlegeléssel vessük egybe. IRODALOM
[1]
LECHNER E.: Beitrag zur Dreipunktmessung von Rundpassungen bei grossen Durchrnessern. Acta IMEKO, Budapest 1961. [2] BOROVICS, L. SZ.: Beszsponocsnoje szojegyinyenyije gyetalej masin,Mosgíz,19S 1. [3]
FI LEMON, E.: Production and Analysis of Polygon Profiles. Periodica Poliytechnica, Budapest, 195 9.
[4]
LIPKA, I.: Theorie der Ableitung von Pblygonprofılen. Acta Tech. Acad. Sci. Hang. 34(1961).
[5]
HAJDU GY.: Gépalkatrészek köralakpontosságának mérése. Finommecharıilca IN. évf.
A szerző címe: DR. LIPKA ISTVÁN matematikus SZIM Fejlesztő Intézete Halásztelek
85
