ELTE II. Fizikus 2005/2006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Optika 7. (X. 4) Interferencia I.
Ψ (r,t) = Φ (r,t)eiωt = A(r) eikL(r) eiωt hullámfüggvény (E, B, E, B,...)
∆Ψ - 1/v2 ∂2Ψ/∂t2 = 0 ω2/v2 = k2; ω2/c2 = ko2; v = c/n; k = n ko = n 2π π/λ λo; n =√ εµ Síkhullámra:
E (ωt- k x), ... (ahol φ = (ωt- k x))
rot E= -∂/∂t (B) ⇒ -k x E = -ω B ⇒ B = (1/v) e x E rot H= ∂/∂t (D) ⇒ -k x H = ω D ⇒ H = vexD S= E x H = w (v e ) = w (c/n) e w = ½ E D + ½ H B wel = ½E D = ½H B = wmágn.
I intenzitás I= <S> = <(Ecosφ) (Hcosφ)> = (EH) (1/T) ∫cos2(ωt)dt = ½ Smax idı átlag
1
Speciális síkhullámra (x polarizált és elıre (+z) terjedı): E =.(Ex, 0, 0).. ; H =.(0, Hy , 0).. 2
Ex = f(x – vt) ; Hy = +√µ /ε f(x – vt) ; Sz = +√µ /ε f (x – vt)
S ∼ f2 ; (négyzetes világ) (a megfigyelt világ) ! f = f1 + f2 (szuperpozició elve) (a mezık világa)! S = f 2 = f12 + f22 + 2 f1 f2 2.intenzitás INTERFERENCIA
1.intenzitás
Ie = I1 + I2+ 2√I1 √ I2 cos(ϕ1-ϕ2 ) Im
(Ii = Ai2/2)
Ae eiϕe = A1 eiϕ1 + A2 eiϕ2
i
Ae2 = Ae Ae*= =(A1 eiϕ1 + A2 eiϕ2) (A1 e-iϕ1 + A2 e-iϕ2) =
Ae
= A12 + A22 + A1 A2(ei(ϕ1-ϕ2) + e-i(ϕ1-ϕ2))=
A2
. ϕe
ϕ2
= A12 + A22 + 2A1 A2 cos(ϕ1 - ϕ2 )
Re
∆ϕ fáziskülönbség = ∆k L = ko ∆ nL = = (2π/λo) ∆ns
A1 ϕ1
Ie = I1 + I2+ 2√I1 √ I2 cos[(2π/λo) ∆ns ]
2
1.
ϕ1 = ϕ2 + 2kπ (∆ϕ = 2kπ ) – azonos fázis Ie = I1 + I2 + 2√I1 √ I2 = 1 { A12 + A22 + 2 A1 A2 }= 1 { A1 + A2 }2 2
2.
2
ϕ1 = ϕ2 + (2k+1)π (∆ϕ = (2k+1)π ) – ellentétes fázis Ie = I1 + I2 - 2√I1 √ I2 = 1 { A12 + A22 − 2 A1 A2 }= 1 { A1 − A2 }2 2
∆ϕ = teszıleges – véletlen fázis .
3.
2
(A fázisok idıátlaga és annak cosinusa = 0) cos ∆ϕ = 0 Ie = I1 + I2 = 1
2
{A12 + A22 } (Az intenzitások ilyenkor szuperponálódnak!) Interferencia kisérletek:
1.) Kettıs rés (Young 1802) Két pontszerő fényforrás interferenciája Ernyı Nap, prizma
Valójában: három "rés", lyuk /tő/, nem síkhullám, hanem gömbhullám )
3
2.) Kettıs tükör (Fresnel 1816)
.
pici szög tükör 1.
tükör 2. kettıs interferáló fényforrás (virtuális)
3.) Kettıs prizma (Fresnel)
. prizm a 1.
prizma 2. kettıs interferáló fényforrás (virtuális)
4
4.) Selényi Pál nagyszögő interferencia kisérlete (kis fényforrás) fluoreszcin UV
nagy szög
A gerjesztı (UV) fény az apró fluoreszcin molekulát zöld fény sugárzására kényszeríti, így van egy nagyon kismérető (< λ/10) zöld fényforrás, amelybıl nagy szögben kilépı fénysugarak interferálnak (Fabry -Perot féle zöld szőrı).
planparalell lemez (≈λ/4)
Fényelmélet (foton), nem tősugár. Részecske-hullám dualizmus.
vékony zselatin (λ/10)
. .
5
Elhajlás egy résen Zóna elmélet:
a sinα
A teljes rés a λ/2 szélességő zónák járulékainak az interferenciája.
α
a λ/2
1 zóna (erısítés) a sinα = λ/2
2 zóna (kioltás) a sinα = λ
λ/2
λ/2
3 zóna (erısítés) a sinα = 3 λ/2
λ/2
λ/2
4 zóna (kioltás) a sinα = 2λ λ/2
λ/2
λ/2
λ/2
6
Elhajlás egy résen (A Fraunhoffer tárgyalás) I/Io 1.0
Io sin2{(π a sinα/λo)} (π a sinα/λo)2
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 70
80
90
100
110
120
130
x(mm)
A rés egy közbensı x pontjában a ϕ fáziseltolódás arányosan számítandó:
a sinα α a x
ϕ = (2π/λo) x sinα
x sinα
ϕmax = (2π/λo) a sinα
α
(A folytonos geometria helyett n db /diszkrét/ tartományokra osztjuk a rést.)
7
A rés tehát n darab (nagyon sok) kis fényforrásként sugároz.
α n.
xj = j a/ n ϕj = (2π/λo)( j a/ n) sinα
a sin α
3.
a
2. 1.
j=n
Ae = ∑ Aj sin ϕj j=1
j=n
a = ∑ Aj = Aj n (= Ao) j=1
(Aj = a/ n)
∆ϕj = ∆ϕmax/n
tehát
∆ϕmax
j=n
Ae = ∑( a/ n)sin ϕj
r
j=1
Ae = 2 r sin (∆ϕmax /2)
r Ae
Aj
∆ϕmax
ahol
2r sin (∆ϕj /2) = Aj = a/ n Ae = a sin( ∆ϕ max / 2 ) = a sin( ∆ϕ max / 2 ) n sin ( ∆ϕ j / 2 )
n sin ( ∆ϕ max / 2n )
sin( ∆ϕ max / 2 ) n→∞ esetén : Ae = a = Ao ∆ϕ max / 2 n
Ie = I o
sin 2 (
π a sin α ) λo
π a sin α λo
8
2
π a sin α ) λo π a sin α λo
sin(
Kettıs rés (Fraunhoffer tárgyalás)
j=2
Ae = ∑ Aj sin ϕj
d sinα
j=1
a
Ae = A1 + A1 sinδ δ = (2π/λo) ∆ns (∆ns = d sinα)
α
Ie = I1 4 cos2(π d sinα/λo)
d
(Az eredı: két rés fázishelyes összege), ahol : I1 = I1rés = Io* sin2(π a sinα/λ) (π a sinα/λ)2 I/Io 1.0
két rés
0.8
N=2
0.6
d/a = 4
0.4
x 2 sin sin Nx 4 I = Io x sin x 4
0.2 0.0 ...
... 80
100
120
x(mm)
9
2
Sok rés (N), azaz rács. (Fraunhoffer tárgyalás)
j=N
Ae = ∑ Aj sin ϕj
d sinα
j=1
a
m=N-1
Ae = A1 (1 + ∑ sin mδ) m=1
δ = (2π/λo) ∆ns
α
(∆ns = d sinα)
d
δ = 2π d sinα/λo 2r sin (δ /2) = Aj = A1 Ae = 2r sin (Nδ /2)
Ae = A1
(δ - N független) r r Ae
sin( N δ / 2 ) = A1 δ /2
sin( N
π d sin α ) λo
π d sin α λo
Ie = I1 sin2 (Nδ/2) (δ/2)2 Ie = I1 sin2{N(π d sinα/λo)} (π d sinα/λo)2
Aj δ
10
Összetett esetben (rácsállandó /réstávolság/: d, rések száma: N, résméret: a)
Ie = Io sin2(π a sinα/λ) sin2{N(π d sinα/λo)} (π a sinα/λ)2 (π d sinα/λo)2 N=8 rés nyolc (rács)
I/Io 1.0
N=8
0.8
d/a = 5
0.6
x sin sin Nx 5 I = I o sin x x 5 2
0.4
0.2
x = π d sinα /λ 0.0
x 0
5
10
15
20
25
11
30
2
∆Ψ - 1/v2 ∂2Ψ/∂t2 =0 Ψ megoldások szuperpoziciója ∑Ψi is megoldás! pl.
ei(ωt-kx) + ei(ωt+kx)= eiωt 2cos(kx)
állóhullám
Wiener kisérlet(1890) Állóhullám
Terjedı hullám
E
Ey Hx
H
S= 0
kz
film
tükör
12
Gömbhullámok Fresnel problémák Nem korrekt a síkhullám közelítés, ha a tárgy vagy a kép nem végtelen távol van. Ekkor gömbhullámokkal kell leírni a jelenségeket, az irányok mellett a távolságok is lényegesek.
∆Φ + k2 Φ = 0 Φ (r, φ, ϑ) 2
∆Φ =1/r2 d/dr (r2 d/dr Φ) = 1/r d/dr2 (r Φ) = - k2 Φ d2 /dr2
I ~ ΦΦ*~1/r2 ⇒ Síkhullám
(r Φ) = - k2 (r Φ)
Φ(r) = (1/r) e +ikr I(r)4πr2= konst.
Sugárzási energia
gömbhullám
R2 dF∼r2 E ∼ 1/r ; w ∼ E2 w ∼ 1/r2
W= ∞
W- megmarad
13
(energiamegmaradás)
Evaneszcens hullámok Exponenciálisan lecsengı hullámok (elnyelıdéskor, pl. fémekben)
Φ(r) ~ e-ikr= e-iKr-κr= e-iKr e -κr
(k= K-iκ = nkompl.ko= n' ko - i n" ko)
fém tü k ör
a la g uta zá s
Telegráf egyenlet (σ≠0) σµ ∂E/∂t=0 ∆E - εµ ∂2E/∂t2 -σ (-k2 + εµ ω2- i σµ ω ) E = 0 ω= εkompl. = ε - i σ/ω nkompl.2
2
2
⇓
= (n' -n" )- i 2n'n"= εµ - i σµ/ω ω
n'2= ½µ{√ ε2+σ σ2/ω ω2 +ε} ; n"2= ½µ{√ ε2+σ σ2/ω ω2 -ε} reflexió, törés
elnyelıdés, abszorbció diszperzió
14
