Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Michal Zamboj Pedagogická fakulta

2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/

Michal Zamboj

Syntetická geometrie I

Vzdálenost dvou bodu˚

Necht’ A, B, C ∈ ρ. Vzdálenost dvou bodu˚ A, B v rovineˇ je cˇ íslo |AB| a platí |AB| ≥ 0 ∧ |AB| = 0 ⇔ A = B

„pozitivneˇ definitní“

|AB| = |BA|

„symetrie“

|AC| ≤ |AB| + |BC|

„4 = 6 “

ˇ ríme pomocí zadané jednotkové vzdálenosti, Vzdálenost meˇ kterou pˇrenášíme pohybem (tˇreba kružítkem, stupnicí na pravítku . . . )

Michal Zamboj


Vzdálenost bodu a pˇrímky, délka úseˇcky

Definice (Vzdálenost bodu a pˇrímky) Vzdálenost bodu A od pˇrímky p je vzdálenost bodu A od ˇ A0 bodu A na pˇrímku p. kolmého prum ˚ etu Definice (Délka úseˇcky) Délka úseˇcky je vzdálenost její koncových bodu. ˚

Michal Zamboj


Délky v 4

ˇ ( „4 = Veta 6 “) V trojúhelníku se stranami a, b, c platí: a
Michal Zamboj


Strany v 4

Definice (Klasifikace 4 podle délek stran) Obecný, a 6= b 6= c 6= a. Rovnoramenný, dveˇ strany (ramena) jsou rovnaké délky. Tˇretí strana se nazývá základna. Rovnostranný, všechny strany jsou rovnako dlouhé.

Michal Zamboj


Obsah 4 1) Obsah trojúhelníku 4ABC je S4 = 12 ava = 21 bvb = 12 cvc

Michal Zamboj


Obsah 4 2) Obsah trojúhelníku 4ABC je S4 = 12 ab sin γ = 21 bc sin α = 21 ac sin β

S4 = 12 cvc = 21 cb sin α Michal Zamboj


ˇ Eukleidovy vety Eukleides (cca 3.-4. st. p. n. l.)

Michal Zamboj


ˇ Eukleidovy vety ˇ (Eukleidova o výšce) Veta Necht’ je dán trojúhelník 4ABC a C1 je pata výšky na stranu c. Oznaˇcme ca = C1 B, cb = C1 A. Trojúhelník 4ABC je pravoúhlý s pravým úhlem pˇri vrcholu C, práveˇ tehdy, když vc2 = ca cb . Dukaz ˚ „⇒“ (Pˇrímo) 4ABC je pravoúhlý ⇒ 4ABC ∼ 4CBC1 ∼ 4ACC1 podle (uu) vc ca ⇒ = ⇒ vc2 = ca cb . cb vc „⇐“ (Sporem) Necht’ v 4ABC platí vc2 = ca cb ⇒? je pravoúhlý. Není-li 4ABC pravoúhlý pak existuje A0 ∈ AB ∩ (CA0 ⊥ CB). Oznaˇcme A0 C1 = cb0 , pak dle „⇒“ platí v 4A0 BC : vc2 = ca cb0 a podle pˇredpokladu vc2 = ca cb , tedy cb0 = cb a A0 = A. Michal Zamboj


ˇ Eukleidovy vety ˇ (Eukleidova o odvesn ˇ e) ˇ Veta Necht’ je dán trojúhelník 4ABC a C1 je pata výšky na stranu c. Oznaˇcme ca = C1 B, cb = C1 A. Trojúhelník 4ABC je pravoúhlý s pravým úhlem pˇri vrcholu C, práveˇ tehdy, když a2 = cca (b2 = ccb ). Dukaz ˚ „⇒“ (Pˇrímo) 4ABC je pravoúhlý ⇒ 4ABC ∼ 4CBC1 podle (uu) c a ⇒ = ⇒ a2 = cca . a ca „⇐“ (Sporem) Necht’ v 4ABC platí a2 = cca ⇒? je pravoúhlý. ˇ eˇ o výšce ©. . . c = c 0 . Stejneˇ ako v Eukleidoveˇ vet

Michal Zamboj


ˇ Pythagorova veta Pythagoras (cca 6. st. p. n. l.)

Michal Zamboj


ˇ Pythagorova veta

Michal Zamboj


ˇ Pythagorova veta ˇ (Pythagorova) Veta Trojúhelník 4ABC je pravoúhlý s pravým úhlem pˇri vrcholu C, práveˇ tehdy, když c 2 = a2 + b2 . Dukaz ˚ (jeden z mnoha) „⇒“ (Pˇrímo) ˇ o odvesn ˇ eˇ a výšce: z Eukleidovych vet 2 2 a + b = cca + ccb = c(ca + cb ) = c 2 . „⇐“ (Sporem) Necht’ v 4ABC platí a2 + b2 = c 2 ⇒? je pravoúhlý. ˇ Sestrojíme A0 (2 možnosti) stejneˇ ako v Eukleidových vetách. Oznaˇcme CA0 = b0 , AA0 = d. 1)4AC1 C → b2 = vc2 + cb2 2)4A0 C1 C → b02 = vc2 + cb02 3)4A0 CB → c 02 = a2 + b02 . Dosadíme 2) do 3) : (c ± d)2 = a2 + vc2 + (cb ± d)2 . Dosadíme 1) do pˇredpokladu: c 2 = a2 + vc2 + cb2 ⇒ cd = cb d ⇔ d = 0. Michal Zamboj


ˇ Pythagorova veta

Pravoúhlý 4 s celoˇcíselnými délkami stran nazýváme pythagorejský.

Michal Zamboj


ˇ Cosinova veta ˇ (Cosinova) Veta V libovolném 4ABC se stranami a, b, c a vnitˇrnímí úhly α, β, γ platí: a2 = b2 + c 2 − 2bc cos α b2 = a2 + c 2 − 2ac cos β c 2 = a2 + b2 − 2ab cos γ Dukaz ˚ pro ostroúhlý 4 → 4AC1 C : b2 = vc2 + cb2 = vc2 + (b cos α)2 4BC1 C : a2 = vc2 + (c − b cos α)2 odeˇctením dostáváme a2 = b2 + c 2 − 2bc cos α podobneˇ pro tupoúhlý 4 (cos(π − α) = − cos α).

Michal Zamboj


Obsah 4 3) - Hérónuv ˚ vzorec Hérón 1. pol 1. st. n.l.

Michal Zamboj


Obsah 4 3) - Hérónuv ˚ vzorec Obsah trojúhelníku 4ABC je p a+b+c S4 = s(s − a)(s − b)(s − c), kde s = . 2 S4 = 12 ab sin γ 2 = 4a2 b 2 sin2 γ 16S4 c 2 = a2 + b2 − 2ab cos γ 4a2 b2 cos2 γ = (c 2 − (a2 + b2 ))2

2 16S4

2 + (c 2 − (a2 + b 2 ))2 4a2 b2 = 16S4 = (a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(−a + b + c) S 2 = s(s − a)(s − b)(s − c)

Michal Zamboj


Kružnice

Definice ( ) Kružnice k (S, r ) je množina bodu, ˚ které mají od daného pevného bodu S vzdálenost r . S - stˇred kružnice ˇ kružnice r - polomer

Michal Zamboj


Osy v 4 ˇ (Osy stran) Veta Osy stran v trojúhelníku se protínají v jednom bodeˇ So , který je stˇredem kružnice opsané trojúhelníku. Dukaz. ˚ So ∈ oa ∩ oc So ∈ oa ⇒ |So B| = |So C| So ∈ oc ⇒ |So A| = |So B|

|So A| = |So B| = |So C| a body A, B, C leží na kružnici ko se stˇredem So .

Michal Zamboj


Osy v 4 ˇ (Osy úhlu) Veta ˚ ˇ Osy úhlu˚ v trojúhelníku se protínají v jednom bode. Dukaz. ˚ Sv ∈ oα ∩ oγ Sv ∈ oα ⇒ ← → ← → |Sv ; AB| = |Sv ; AC| Sv ∈ oγ ⇒ ← → ← → |Sv ; AC| = |Sv ; BC|

← → ← → |Sv ; AB| = |Sv ; BC| a Sv leží na oβ . Sv je stˇred kružnice vepsané kv , která se dotýká stran 4ABC v bodech Ta , Tb , Tc . Michal Zamboj


Eulerova pˇrímka ˇ (Eulerova pˇrímka) Veta V každém nerovnostranném trojúhelníku leží stˇred kužnice ˇ opsané So , težišt eˇ T a ortocentrum V na jedné pˇrímce. Dukaz. ˚ Stejnolehlost H(T , −2) : Sc → C Sa → A oc → vc oa → va So ∈ oc ∩ oa → V ∈ vc → va

←−−→ TSo V

Michal Zamboj


Thalétova kružnice Thalés 7.-6.st. p.n.l.

Michal Zamboj


Thalétova kružnice ˇ (Thalétova kružnice) Veta ˇ Necht’ AB je prum ˚ erem kružnice k a bod C je libovolný bod na kružnici k takový, že A 6= C 6= B, pak úhel ^ACB je pravý.

Michal Zamboj


Thalétova kružnice ˇ (Thalétova kružnice) Veta ˇ Necht’ AB je prum ˚ erem kružnice k a bod C je libovolný bod na kružnici k takový, že A 6= C 6= B, pak úhel ^ACB je pravý. Dukaz. ˚

Michal Zamboj


Eukleidovské konstrukce Konstrukce pomocí pravítka a kružítka. ˇ Využití eukleidových a pythagorovy vety.

Michal Zamboj


Redukˇcný úhel ˇ ˇ Delení úseˇcky v daném pomeru.

Michal Zamboj


Shodná zobrazení

Definice (Shodná zobrazení - izometrie) Zobrazení f : ρ → ρ se nazývá shodné zobrazení neboli shodnost, izometrie, práveˇ když pro libovolné dva ruzné ˚ body A, B ∈ ρ a jejich obrazy A0 , B 0 platí |A0 B 0 | = |AB|. pˇrímá shodnost zachovává orientaci prostoru → nepˇrímá shodnost nezachovává orientaci prostoru →

Michal Zamboj


ˇ o shodných 4 Vety

Definice (Shodné útvary) Dva útvary S1 a S2 jsou shodné S1 ∼ = S2 práveˇ tehdy, když existuje shodnost, která zobrazí S1 na S2 . ˇ (Shodné 4) Veta Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se sss v délkách všech stran. sus v délkách dvou stran a úhlu jimi sevˇreném. usu v délke jedné strany a dvou vnitˇrných úhlech, které ji svírají. Ssu v délkách dvou stran a úhlu proti delší z nich.

Michal Zamboj


Shodná zobrazení

Michal Zamboj


Shodná zobrazení

ˇ (Grupa shodností) Veta Všechna shodná zobrazení v rovineˇ tvoˇrí grupu vzhledem ke skládání zobrazení. Dukaz ˚ (Náznak) Uzavˇrenost. |A0 B 0 | = |AB|; |A00 B 00 | = |A0 B 0 | ⇒ |AB| = |A00 B 00 |. T.j. skládaním shodností dostaneme shodnost. Asociativita. Neutrální prvek je identita. Inverzní prvek.

Michal Zamboj


Vlastnosti shodnosti

ˇ (Vlastnosti shodnosti) Veta Shodnost 1

zachovává incidenci.

2

zachovává uspoˇrádání.

3

ˇ zachovává dvojpomer.

4

ˇ ˇ zachovává stˇredy úseˇcek (a delicí pomer).

5

ˇ úseˇcek a velikosti úhlu. zachovává pomery ˚

6

zachovává délky úseˇcek (a obsahy).

Michal Zamboj


ˇ Klasifikace shodností - osová soumernost

ˇ Definice (Osová soumernost) ˇ Osová soumernost s osou o je shodné zobrazení v rovineˇ O(o), které pˇriˇrazuje každému bodu X ∈ / o bod X 0 tak, že o je 0 osa úseˇcky XX . Osa o je pˇrímka samodružných bodu. ˚ Samodružné body: ∀ SB leží na o. Samodružné pˇrímky: ∀ pˇrímky ⊥ k ose a osa o. ˇ ˇ ⊥ a k s osou. Samodružné smery: ∀ smery

Michal Zamboj



ˇ Veta Libovolné shodné zobrazení v rovineˇ je bud’ osovou ˇ soumerností, nebo jej lze rozložit na nejvýše 3 osové ˇ soumernosti. Dukaz ˚ (konstrukcí) Necht’ je shodné zobrazení dáno 3 páry odpovídajících si nekolineárních bodu˚ X , Y , Z → X 0 , Y 0 , Z 0 . Sestrojíme postupneˇ ˇ ˇ osové soumernosti (v obecném pˇrípade): 0 O1 : X → X1 = X , Y , Z → Y1 , Z1 O2 : X1 = X2 = X 0 , Y1 → Y2 = Y 0 , Z1 → Z2 O3 : X2 = X3 = X 0 , Y2 = Y3 = Y 0 , Z2 → Z3 = Z 0

Michal Zamboj



Michal Zamboj


ˇ Klasifikace shodností - osová soumernost Necht’ m je osa úseˇcky XX 0 , volíme O1 (m).

Michal Zamboj


ˇ Klasifikace shodností - osová soumernost Necht’ n je osa úseˇcky Y1 Y 0 , volíme O2 (n).

Michal Zamboj


ˇ Klasifikace shodností - osová soumernost Necht’ o je osa úseˇcky Z2 Z 0 , volíme O3 (o).

Michal Zamboj


Klasifikace shodností - posunutí (translace)

Definice (Posunutí, translace) −−→ Posunutí, translace je shodné zobrazení v rovineˇ T (XX 0 ), které každému bodu X pˇriˇrazuje bod X 0 tak, že pro každou další dvojici odpovídajících si bodu˚ Y , Y 0 platí, že úseˇcky XY 0 , X 0 Y mají spoleˇcný stˇred. Samodružné body: pro T 6= Id neexistují žádne samodružné body. Samodružné pˇrímky: pro T 6= Id : ∀ pˇrímky kXX 0 . ˇ ˇ Samodružné smery: ∀ smery.

Michal Zamboj



ˇ Veta ˇ Každé posunutí lze rozložit na 2 osové soumernosti. Dukaz ˚ (konstrukcí) Necht’ je posunutí dáno párem odpovídajících si bodu˚ X → X 0 a sestrojme páry nekolineárních bodu˚ X , Y , Z → X 0 , Y 0 , Z 0 . ˇ Volíme libovolneˇ osovou soumernost O1 (m) takovou, že 0 ˇ m ⊥ XX , potom sestrojíme druhou osovou soumernost O2 (n) takovou, že nkm : O1 : X , Y , Z → X1 , Y1 , Z1 O2 : X1 , Y1 , Z1 → X 0 , Y 0 , Z 0

Michal Zamboj



Michal Zamboj


Klasifikace shodností - posunutí (translace) Volíme O1 (m), osa m je kolmá k XX 0 .

Michal Zamboj


Klasifikace shodností - posunutí (translace) O2 (n) takové, že osa n je osou X1 X 0 .

Michal Zamboj



ˇ (Grupa translací) Veta Posunutí s identitou tvoˇrí grupu vzhledem ke skládání zobrazení. Dukaz ˚ −−−→ −−→ −−→ Uzavˇrenost. T (X 0 X 00 ) ◦ T (XX 0 ) ⇒ T (XX 00 ). T.j. skládaním posunutí dostaneme posunutí. Asociativita. Neutrální prvek je identita. −−→ −−→ Inverzní prvek je opaˇcné posunutí T (XX 0 )−1 = T (X 0 X ).

Michal Zamboj


Klasifikace shodností - otoˇcení (rotace)

Definice (Otoˇcení, rotace) Otoˇcení, rotace je shodné zobrazení v rovineˇ R(S, ϕ), které každému bodu X pˇriˇrazuje bod X 0 tak, že |XS| = |X 0 S| a |^X 0 SX | = ϕ je daný orientovaný úhel. Bod S je samodružný bod zobrazení. Samodružné body: pro R 6= Id je S jediný samodružný bod. Samodružné pˇrímky: pro ϕ 6= k π, k ∈ Z neexistují samodružné pˇrímky. ˇ Samodružné smery: pro ϕ 6= k π, k ∈ Z neexistují samodružné ˇ smery.

Michal Zamboj



ˇ Definice (Stˇredová soumernost) ˇ Stˇredová soumernost S(S) je rotace se stˇredem S a úhlem ϕ = 2k π + π, k ∈ Z. Samodružné body: S je jediný samodružný bod. Samodružné pˇrímky: ∀ pˇrímky procházející stˇredem. ˇ ˇ Samodružné smery: ∀ smery.

Michal Zamboj



ˇ Veta ˇ Každé otoˇcení lze rozložit na 2 osové soumernosti, jejíchž osy svírají úhel, kterého velikost je polovina velikosti úhlu otoˇcení. Dukaz ˚ (konstrukcí) Necht’ je otoˇcení dáno párem odpovídajících si bodu˚ X → X 0 a stˇredem S a sestrojme páry nekolineárních bodu˚ ˇ X , Y , Z → X 0 , Y 0 , Z 0 . Volíme libovolneˇ osovou soumernost O1 (m) takovou, že S ∈ m, potom sestrojíme druhou osovou ˇ soumernost O2 (n) takovou, že S ∈ n : O1 : X , Y , Z → X1 , Y1 , Z1 O2 : X1 , Y1 , Z1 → X 0 , Y 0 , Z 0

Michal Zamboj



Michal Zamboj


Klasifikace shodností - otoˇcení (rotace) O1 (m) takové, že S ∈ m.

|^XS, m| = |^X1 S, m| = µ Michal Zamboj


Klasifikace shodností - otoˇcení (rotace) O2 (n) takové, že S ∈ n a n je osa X1 X 0 .

|^X1 S, n| = |^X 0 S, n| = ν |^XSX 0 | = 2µ + 2ν, |^m, n| = µ + ν Michal Zamboj



ˇ Veta Otoˇcení se stejným stˇredem a identita tvoˇrí grupu vzhledem ke skládání zobrazení. Dukaz ˚ Uzavˇrenost. R(S, ψ) ◦ R(S, ϕ) ⇒ R(S, ϕ +0 psi)). T.j. skládaním otoˇcení dostaneme otoˇcení. Asociativita. Neutrální prvek je identita. Inverzní prvek je otoˇcení o opaˇcný úhel R(S, ϕ)−1 = R(S, −ϕ).

Michal Zamboj


Klasifikace shodností - otoˇcení (rotace) ˇ Veta Složením dvou otoˇcení je otoˇcení, nebo posunutí. Dukaz ˚ R1 (S1 , ϕ); R2 (S2 , ψ). ˇ Je-li S1 = S2 pak tvrzení platí z pˇredešlé vety. ˇ Je-li S1 6= S2 , rozložíme otoˇcení na osové soumernosti R2 (S2 , ψ)◦R1 (S1 , ϕ) = (O22 (n2 )◦O21 (m2 ))◦(O12 (n1 )◦O11 (m1 )). ˇ S1 ∈ m1 , n2 je tedy jednoznaˇcneˇ Pro R1 volíme m1 libovolne, urˇceno. Pro R2 volíme m2 = n1 a n2 je jednoznaˇcneˇ urˇceno. ˇ Osová soumernost je involuce a tedy: O22 (n2 ) ◦ (O21 (n1 ) ◦ O12 (n1 )) ◦ O11 (m1 ) = O22 (n2 ) ◦ O11 (m1 ). ˇ o rozkladu posunutí a otoˇcení na osové soumernosti: ˇ Z vet Ak m1 kn2 pak jde o posunutí. Ak m1 ∦ n2 pak jde o otoˇcení se stˇredem S3 ∈ m1 ∩ n2 o úhel ϕ+ψ . Michal Zamboj



Michal Zamboj


ˇ Klasifikace shodností - posunutá osová soumernost

ˇ Definice (Posunutá osová soumernost) ˇ Posunutá osová soumernost je shodné zobrazení v rovineˇ P ˇ ˇ její osy. složené z osové soumernosti a posunutí ve smeru Samodružné body: neexistují žádne samodružné body. Samodružné pˇrímky: osa o (pozor! není pˇrímka samodružných bodu). ˚ ˇ ˇ ⊥ a k s osou.. Samodružné smery: ∀ smery

Michal Zamboj


Klasifikace shodností - shrnutí Existují následující typy shodností: pˇrímé: I identita T posunutí (translace) ˇ R otoˇcení (rotace) + spec. pˇrípad stˇredová soumernost nepˇrímé: ˇ O osová soumernost ˇ P posunutá osová soumernost ˇ Veta Každou pˇrímou shodnost lze rozložit na dveˇ osové ˇ soumernosti. Každou nepˇrímou shodnost lze rozložit na lichý poˇcet osových ˇ soumerností. Dukaz ˚ ˇ a definic. Pˇrímý dusledek ˚ pˇredešlých vet Michal Zamboj


Skládání shodností

T T T T

◦I =T ◦ T = T,I ◦R =R ◦ O = P, O

R◦I =R R ◦ R = R, T , I R ◦ O = P, O

O◦I =O O ◦ O = R, T , I

I◦I =I

ˇ (Grupa pˇrímých shodností) Veta Všechna pˇrímá shodná zobrazení v rovineˇ tvoˇrí grupu vzhledem ke skládání zobrazení.

Michal Zamboj


Skládání shodností a podobností ˇ Veta Složením shodnosti a stejnolehlosti je podobnost. Dukaz ˚ Shodnost: S : X , Y → X 0 , Y 0 : |X 0 Y 0 | = |XY | Stejnolehlost: H : X 0 , Y 0 → X 00 , Y 00 : |X 00 Y 00 | = |λ||X 0 Y 0 | H ◦ S : X , Y → X 00 , Y 00 : |X 00 Y 00 | = |λ||XY |. Oveˇrili jsme definici. ˇ Veta Libovolnou podobnost lze rozložit na stejnolehlost a shodnost. Dukaz ˚ Necht’ je dána podobnost s koeficientem k , která zobrazí X , Y , Z → X 0, Y 0, Z 0. Volíme libovolnou stejnolehlost s koeficientem k , která zobrazí X , Y , Z → X1 , Y1 , Z1 . Dourˇcíme shodnost X1 , Y1 , Z1 → X 0 , Y 0 , Z 0 . (nejvýše 3 os. s.) Michal Zamboj


Mongeova grupa ˇ (Mongeova grupa, grupa homotetií) Veta Množina všech stejnolehlostí a posunutí s identitou tvoˇrí grupu vzhledem na skládání zobrazení. Dukaz ˚ (viz 05_monge.ggb) Víme: posunutí s identitou tvoˇrí grupu, stejnolehlosti se spoleˇcným stˇredem tvoˇrí grupu. Necht’ je dáno H1 (S1 , λ1 ), H2 (S2 , λ2 ), takové, že S1 6= S2 : Je-li λ1 λ2 = 1 → |A2 B2 | = |λ1 ||λ2 ||AB| = |AB| a dostáváme −−→

A ) je 4AA1 A2 ∼ 4S1 A1 S2 shodnost. Ze stejnolehlosti H(A1 , −A−1−→ A1 S1

a S1 S2 kAA2 . Stejneˇ tak pro všechny páry odpovídajících si −−→ bodu˚ a jedná se o posunutí o AA2 .

Michal Zamboj


Mongeova grupa ˇ (Mongeova grupa, grupa homotetií) Veta Množina všech stejnolehlostí a posunutí s identitou tvoˇrí grupu vzhledem na skládání zobrazení. Dukaz ˚ (viz 05_monge.ggb, pokraˇcování) ˇ Je-li λ1 λ2 6= 1 → S1 S2 ∦ AA2 a využijeme Menelaovu vetu: |AS3 ||A2 S2 ||A1 S1 | =1 |A2 S3 ||A1 S2 ||AS1 | |AS3 | λ2 λ1 = 1 |A2 S3 | |A2 S3 | = |AS3 |λ2 λ1 Stejneˇ pro všechny ostatní body dostávame stejnolehlost H(S3 , λ1 λ2 ). Michal Zamboj


Syntetická geometrie I

Recommend Documents