Symetrie v architektuře. The best known example of this is the Taj Mahal

Symetrie

Co je symetrie? • Základní princip pro celý vesmír (proton x antiproton, černá x bílá, parita) • Zákon zachování parity (CP, CPT) • Fundamentální organizační princip v přírodě a umění (DNA - double helix) • Symetrie zachovává vzdálenosti, uhly, velikost a tvar • Symetrie molekul, optická aktivita, chiralita

Symetrie v architektuře

The best known example of this is the Taj Mahal.

Symetrie Abecedy • Písmena dělíme na: • Symetrická: A, B, C, D, E, H, I, K, M, N, O, S, T, U, V, W, X, Y, Z • Nesymetrická: F, G, J, L, P, Q, R

Motýl

M.C. Escher • Dutch graphic artist • No formal training in math or science • Used intricate repeating patterns in his artwork

Mušle a hvězdice

Motýle

Ryby a lodě

Ještěrky

Symetrie v chemii Symetrické molekuly • NH3 • H2O • C6H6 • SF6 • H2C2 • C60, B12H12

Symetrie v matematice Množiny Grupy Grupoidy E. Galois, 1832. Teorie grup.

Symetrie (souměrnost) Motiv: fundamentální část konceptu symetrie. Opakováním motivu se vytvoří celý vzor. Operace: určitá akce, která zopakuje motiv tak, aby se vytvořil celý vzor Prvek (element) symetrie: operace je lokalizována v určitém místě (bodě) prostoru. Geometrický prvek - bod, přímka, rovina, vektor.

Typy symetrie • • • • • • • •

Rotace Translace Reflexe (odraz) Inverse Rotoinverse Rotoreflexe Skluzná reflexe Šroubovitá rotace (spirála)

Bodová symetrie Translační symetrie

2-D Symetrie Prvky Symetrie Rotace a. Dvojnásobná rotace dvojnásobná osa

Symetrický vzor

6

= 360o/2 rotace reprodukuje motiv v symetrickém vzoru

6

2-D Symetrie Prvky Symetrie Rotace

Operace

a. Dvojnásobná osa rotace = 360o/2

6

Motif

Element

6

Symbol pro 2-osu, C2

2-D Symetrie

Prvek symetrie

6

Operace symetrie Symetrická operace

first operation step

Pohyb, akce

6

second operation step

2-D Symetrie Prvky Symetrie Rotace b. Trojnásobná osa rotace = 360o/3

6

2-D Symetrie Prvky symetrie Rotace b. trojnásobná rotační osa rotace=

6

360o/3

step 1

step 3

Symbol pro osu, C3 step 2

2-D Symetrie Krystalografické prvky rotační symetrie 6

6

6 6

6 4-fold

6

6

6 2-fold = dvojnásobná

3-fold

6

2-fold

6

6

6

1-fold

6

6

6

6

6-fold

2-D Symetrie Prvky symetrie Reflexe, odraz (m) Odraz přes “zrcadlovou rovinu” reprodukuje motiv

= symbol pro zrcadlovou rovinu Cs, σ

2-D Symetrie Nyní máme 6 unikátních 2-D operací symetrie:

1 2 3 4 6 m Rotace jsou congruentní operace reprodukce jsou identické Inverse a reflexe jsou enantiomorfní operace reprodukce jsou “levé a pravé”

2-D Symetrie Kombinace prvků symetrie jsou také možné Aby se vytvořila kompletní analýza symetrie v prostoru v okolí bodu, musíme zkoušet všechny možné kombinace těchto prvků symetrie Kvůli čistotě v podání a snadnosti ilustrací, budeme pokračovat pouze v příkladech z 2-D

2-D Symetrie Kombinace 2-rotační osy a zrcadlové roviny

2-D Symetrie

Krok 1: reflexe

2-D Symetrie Krok 1: reflexe Krok 2: rotace

2-D Symetrie

Krok 1: reflexe Krok 2: rotace

Ještě něco??

2-D Symetrie

Krok 1: reflexe Krok 2: rotace Vzniká druhá zrcadlová rovina

2-D Symetrie Výsledek je Bodová Grupa 2mm, C2v “2mm” indikuje 2 zrcadla Zrcadla jsou různá (nejsou ekvivalentní z důvodu symetrie)

2-D Symetrie Kombinace 4-násobné rotace s reflexí Kombinace 4-násobné rotační osy s rovinou symetrie.

2-D Symetrie

Krok 1: reflexe

2-D Symetrie Krok 1: reflexe Krok 2: rotace 1



2-D Symetrie

Ještě nějaký element?

2-D Symetrie

Ještě nějaký element?

Ano, dvě další zrcadla

Bodová grupa 4mm

2-D Symetrie 3-násobná rotace a zrcadlení vytvářejí bodovou grupu 3m

2-D Symetrie 6-násobná rotace a zrcadlení vytvářejí bodovou grupu 6mm

2-D Symetrie Původních 6 elementů plus 4 kombinace vytváří 10 možných 2-D bodových grup: 1 2 3 4 6 m 2mm 3m 4mm 6mm Každý 2-D vzor v okolí bodu musí odpovídat jedné z těchto grup

3-D Symetrie Prvky Symetrie Inverse (i) (-1) Ci Střed symetrie. Transformace přes bod. = symbol je bod

6

inverse je identická 2násobné rotační ose v 2-D, ale je unikátní v 3-D (dvě ruce)

6

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse ( 1 ) a. 1-násobná rotoinverse

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse a. 1-násobná rotoinverse 1: rotace 360/1 (identita)

3-D Symetrie Prvky symetrie

Rotoinverse a. 1-násobná rotoinverse 1: rotace 360/1 (identita) 2: inverse

Stejná jako i

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse ( 2 ) b. 2-násobná rotoinverse 1: rotace 360/2 Pozn.: dočasný krok Tento motiv se nebude ve finálním vzoru

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse b. 2-násobná rotoinverse Step 1: rotate 360/2 Step 2: inverse

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse b. 2-násobná rotoinverse Výsledek

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse b. 2-násobná rotoinverse

Stejná jako m

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse ( 3 ) c. 3-násobná rotoinverse

3-D Symetrie Prvky symetrie

Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse 360o/3

Step 1: rotate Opět, toto je pomocný krok. Nebude ve finálním vzoru.

1

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Step 2: inverse

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Dokončení první sekvence

1

2

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Rotace o dalších 360/3

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Inverse přes střed

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse

3

1

Dokončení. Vzniká plocha 3

2


3 Plocha 4 (3 → (1) → 4)

1

4 2

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Plocha 5 (4 → (2) → 5)

1

5

2

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Plocha 6 (5 → (3) → 6) Šestý krok je návrat na plochu 1

5

1

6


Toto je unikátní operace

5 4

3

1

6

2

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse ( 4 ) d. 4-násobná rotoinverse

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse 1: Rotace 360/4

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse 1: Rotace 360/4 2: Inverse



3-D Symetrie Symmetry Elements Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse 3: Rotace 360/4 4: Inverse




3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse Toto je unikátní operace

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse Základní vzor

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse( 6 ) e. 6-násobná rotoinverse

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse

1


1


1

2


1

2


1 3 2


1 3 2


1 3 2

4


1 3 2

4


1 3

5 2

4


1 3

5 2

4


1 3

5 2

6

4


Pozn.: toto je stejné jako 3-násobná rotační osa kolmá na zrcadlovou rovinu Top View

3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinversion e. 6-násobná rotoinverse Jednoduchý vzor

Top View

3-D Symetrie Nyní máme 10 unikátních 3-D symetrických operací:

1 2 3 4 6 i m 3 4 6 Kombinace těchto elementů jsou přípustné Kompletní analýza symetrie okolo bodu v prostoru vyžaduje aby se testovaly všechny možné kombinace těchto prvků symetrie. Existuje 32 kombinací. 32 bodových grup.

3-D Symetrie 3-D kombinace prvků symetrie a. Rotační osa paralelní k rovině Stejné jako v 2-D 2 || m = 2mm 3 || m = 3m, also 4mm, 6mm

b. Rotační osa kolmá ⊥ na rovinu 2 ⊥ m = 2/m 3 ⊥ m = 3/m, also 4/m, 6/m

c. Kombinace rotací 2 + 2 pod 90o → 222 (třetí 2 je generována) 4 + 2 pod 90o → 422 ( “ “ “ ) 6 + 2 pod 90o → 622 ( “ “ “ )

3-D Symetrie Příklady zobrazení

3-D Symetrie 32 bodových grup Seřazené podle krystalografického systému Crystal System

No Center

Center

1

1

Monoclinic

2, 2 (= m)

2/m

Orthorhombic

222, 2mm

2/m 2/m 2/m

Tetragonal

4, 4, 422, 4mm, 42m

4/m, 4/m 2/m 2/m

Hexagonal

3, 32, 3m

3, 3 2/m

6, 6, 622, 6mm, 62m

6/m, 6/m 2/m 2/m

23, 432, 43m

2/m 3, 4/m 3 2/m

Triclinic

Isometric

3-D Symetrie 32 Bodových Grup Bloss, Crystallography and Crystal Chemistry. © MSA

Grupy symetrie Množiny operací symetrie, matematická teorie grup prvek symetrie C6

x

operace symetrie C6, C62 ≡ C3, C63 ≡ C2, C64 ≡ C32, C65, C66 ≡ E

- množina je kompletní A, B prvky grupy ⇒ C=A⊗B je též prvek - existuje prvek E - jednotkový - ke každému prvku existuje inverzní prvek A-1, A⊗A-1=E - platí asociativní zákon A⊗(B⊗C) = (A⊗B)⊗C

Grupy symetrie ¾ C1 (CFClBrI),

¾Cs (H2C=CClF, SOCl2) ¾Ci (C2Cl2H2Br2) ¾Cn (:PPh3) ¾Cnv – Cn + n vertikálních (dihedrálních) σv (H2O, NH3) ¾Cnh – Cn + σh (C3h-H3BO3, C2h-H2C2O4)

Grupy symetrie ¾Dn – Cn + n C2 ⊥ Cn (D3 - [Ru(phen)3]2+) ¾Dnd – Cn + n C2 ⊥ Cn + n σd (D2d-allen – CH2=C=CH2) ¾Dnh – + σh (D4h-[PtCl4]2-, D3h-PCl5, D6h-C6H6) ¾Sn (n-sudé, n>4) – Sn (+Cn/2) ¾ Td (CH4 - 4xC3) , ¾Oh (SF6 - 3xC4, 4xC3, i ) , ¾Ih (C5, 120 operací, B122-, C60) Lineární grupy – D∞h , C∞v – lineární A-A a A-B Kužely, válce, koule

Grupy symetrie 0

C∞ ? 1

0

i?

0

Cn ? 1

C∞v

0

σ?

0

i?

1

1

Cs

Ci

C1

1

D∞h

6C5?

3C4?

1

I

0

i?

0

i?

i? 1

O

Oh

nC2 Cn? 1

1

1

1

Ih

4C3?

1

Th

0

σh?

6σ? 1

Td

0

T

S2n

Cnh

1

1

σh?

S2n? 1

0

Dnh

0

nσv?

1 1

0

Dn

Dnd

nσv?

Cnv

0

Cn

Srovnávací tabulky symetrie C1 C2 C3 C4 C6 C2v C3v C4v C6v Cs(C1h) C2h C3h C4h C6h

1 2 3 4 6 mm2 3m 4mm 6mm m 2/m -6 4/m 6/m

S2 (Ci) S4 S6 D2 D3 D4 D6 D2d D3d D2h D3h D4h D6h

-1 -4 3 222 32 422 622 -42m -3 2/m 2/m 2/m 2/m -6m2 4/m 2/m 2/m 6/m 2/m 2/m

-6 má být 6 a čárka nad znakem ¯6, a pod.

T Td Th O Oh

23 -4 3 m 2/m -3 1 432 4/m -3 2/m

Grupy symetrie Aplikace: ¾ klasifikace molekul ¾ hybridní orbitaly ¾ molekulové orbitaly ¾ teorie krystalového pole ¾ vibrační spektra – IČ a Ramanova spektroskopie ¾ predikce dovolených spektrálních přechodů ¾ chiralita

Absolutní konfigurace CIP - Cahn, Ingold, Prelog Preferenční čísla R,S - volantové pravidlo Asymetrické centrum. Chiralia, Optická aktivita Diastereoizomery Racemická směs, racemická sloučenina

Asymetrický uhlík

Číslo priority 1

1

Br 2

Cl

H

4

4

F

OH H CH3 CH2Br

3

2 3 CH2CH3 1 Br CH=CH2 2 H 4

3

• To assign a priority to an atom that is part of a multiple bond, treat a multiply bonded atom as an equivalent number of singly bonded atoms. For example, the C of a C=O is considered to be bonded to two O atoms.

• Other common multiple bonds are drawn below:

Volantové pravidlo

Chiralita Pokud má molekula rotačně-reflexní osu Sn (1, 2, 3, ....) potom není opticky aktivní!!!! S1 je rovina S2 je střed souměrnosti - inverse

Carvone CH3

CH3

O

O

H H CH 3

H3C

Left-handed C arvone

R ight-handed Carvone

Sm ells like caraw ay

Sm ells like spearm int

S(+) kmínový olej

R(-) vůně po mátě

Aspartame O OH O

H

H

N H 2N

OH

Left-handed Aspartame "Nutrasweet" 160 times sweeter than sugar

H

O

OH O O

H

H

N H 2N

OH O

H

Right-handed Aspartame Not at all sweet slightly bitter

Ibuprofen

OH

H

HO H CH3

H3C O

Left-handed Ibuprofen Powerful Pain Killer and Anti-inflamatory Drug

O

Right-handed Ibuprofen No Drug Activity

R ⇒ “good” - morning sickness S ⇒ “bad” - birth defects

Symetrie v architektuře. The best known example of this is the Taj Mahal

Recommend Documents