STUDI PERBANDINGAN RESPON MODAL ANTARA METODA ELEMEN HINGGA DAN KEKAKUAN DINAMIK PADA STRUKTUR PORTAL BIDANG
TESIS Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi Bandung
Oleh
DONALD ESSEN NIM : 25005013 Program Studi Rekayasa Struktur
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2007
ABSTRAK STUDI PERBANDINGAN RESPON MODAL ANTARA METODA ELEMEN HINGGA DAN KEKAKUAN DINAMIK PADA STRUKTUR PORTAL BIDANG Oleh : Donald Essen NIM : 25005013 Pembimbing : Prof. Dr. Ir. Bambang Budiono, ME Analisis modal merupakan tahapan paling kritis dalam analisis dinamik. Kebanyakan analisis struktur saat ini dikerjakan menggunakan program-program berbasis metoda elemen hingga yang merupakan metoda diskrit. Akibatnya, massa hanya dapat direpresentasikan dalam nodal struktur dan agar dapat memodelkan distribusi massa yang kontinyu pada struktur, member struktur harus dibagi-bagi menjadi elemen-elemen yang lebih kecil dengan jumlah yang secara teoretis adalah tak berhingga. Respon modal struktur balok dan portal bidang telah dianalisis untuk mempelajari sensitivitasnya terhadap diskretisasi model elemen hingga dan dibandingkan dengan hasil dari metoda kekakuan dinamik. Diamati bahwa, pada struktur balok penggunaan 3xN elemen sebagai jumlah minimum elemen untuk mendapatkan respon modal yang akurat dimana N adalah ragam yang ditinjau, hanya tepat untuk frekuensi natural namun tidak akurat untuk faktor partisipasi modal ataupun perpindahan modal. Dengan demikian untuk struktur balok disarankan untuk membagi balok menjadi elemen-elemen yang lebih kecil sehingga respon modal dapat dihitung secara akurat. Untuk struktur portal bidang diperoleh bahwa jumlah elemen berkurang dengan meningkatnya rasio massa dari balok terhadap kolom dan mengacu kepada struktur portal bidang simetrisberaturan yang tereksitasi oleh beban gempa horisontal, tidak ada mesh yang diperlukan walaupun keakuratan respon modal dapat berkurang dengan makin bertambahnya jumlah ragam yang ditinjau. Untuk portal yang tidak-simetris beraturan dengan dan tanpa dinding geser, hasil analisis menunjukkan bahwa untuk ragam fundamental dan beberapa ragam yang rendah, respon modal yang dihitung sudah akurat tanpa adanya mesh namun tidak pada ragam-ragam tinggi yang berhubungan dengan goyangan samping portal. Kekompleksan bentuk vibrasi dan masalah mesh dalam analisis vibrasi struktur yang tidak simetrisberaturan dengan metoda elemen hingga menunjukkan pentingnya struktur gedung untuk sedapat mungkin memiliki konfigurasi yang simetris-beraturan. Kata-kata kunci: Metoda Elemen Hingga, Metoda Kekakuan Dinamik, Respon Modal, Diskretisasi
i
ABSTRACT COMPARATIVE STUDY OF MODAL RESPONSE BETWEEN FINITE ELEMENT AND DYNAMIC STIFFNESS METHODS OF PLANE FRAME STRUCTURES By : Donald Essen NIM : 25005013 Supervisor : Prof. Dr. Ir. Bambang Budiono, ME Modal analysis is the most critical phase in dynamic analyis. Many structural analysis nowadays are employed using programs that based on finite element method which is discrete method. Because of that, mass can only be represented in structural nodes and in order to get a continuos mass distribution on structure, structural members must be divided into a theoretically infinite number of smaller elements. Modal response of beam and plane frame structures has been analyzed to study its sensitivity to the finite element discretizations and has been compared to the results from dynamic stiffness method. It is observed that in beam structures, the use of 3xN elements as minimum number of element to get an accurate modal response where N is the mode being considered is only correct for natural frequency but not for modal participation factor or modal displacement. Thus for beam structure, it is suggested to divide the beam into many smaller elements as possible so the modal response can be calculated accurately. For plane frame structures, it is obtained that the number of element mesh is decreasing with the increase of beam to column mass ratio and with respect to symmetric-regular plane frame structures excited by horizontal earthquake load, no mesh is needed even though the accuracy of modal response might be decreasing with the increase of number of modes being considered. For unsymmetric-irregular frames with and without shearwalls, analysis result shows that for fundamental mode and few lower modes, modal responses being calculated are accurate enough without mesh but not for higher sidesway modes. The complexity of vibration modes and mesh problem in vibration analysis of unsymmetirc-irregular structure using finite element method shows the importance of building structures to posses as possible, a symmetric and regular configuration. Keywords: Finite Element Method, Dynamic Stiffness Method, Modal Response, Discretization
ii
STUDI PERBANDINGAN RESPON MODAL ANTARA METODA ELEMEN HINGGA DAN KEKAKUAN DINAMIK PADA STRUKTUR PORTAL BIDANG
Oleh Donald Essen NIM : 25005013
Program Studi Rekayasa Struktur Institut Teknologi Bandung
Menyetujui, Pembimbing Tanggal ......................................
(Prof. Dr. Ir. Bambang Budiono, ME)
iii
PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS
Tesis S2 yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HAKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya. Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin Direktur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.
iv
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan kasih dan kuasa-Nya sehingga tesis ini dapat diselesaikan. Penyelesaian tesis ini tidak terlepas dari bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu melalui kesempatan yang baik ini, penulis ingin mengucapkan banyak terima kasih kepada : 1. Prof. Dr. Ir. Bambang Budiono, ME, selaku dosen pembimbing. 2. Dr. Ir. Herlien D. Setio, selaku dosen penguji dan Ketua Program Studi Teknik Sipil Institut Teknologi Bandung. 3. Ir. Made Suarjana, PhD, juga selaku dosen penguji. 4. Staf dosen dan karyawan Program Studi Rekayasa Struktur Institut Teknologi Bandung. 5. Papa, mama, kekasih dan saudara-saudara tercinta yang dengan tulus telah memberikan dukungan dan doa. 6. Ir. Daud Tegasan sebagai komisaris PT. Wiratman & Associates yang membantu sebagian biaya studi. 7. Teman-teman angkatan 2005 S2 Magister Teknik Sipil dengan pengutamaan rekayasa struktur di Institut Teknologi Bandung. 8. Serta pihak-pihak lain yang juga telah membantu dalam penyelesaian tesis ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu Akhir kata penulis tetap terbuka menerima saran dan kritik untuk perbaikan di masa mendatang. Semoga tesis ini dapat bermanfaat sebagaimana mestinya. Bandung,
Penulis
v
Juni 2007
DAFTAR ISI
ABSTRAK ..................................................................................................
i
ABSTRACT ................................................................................................
ii
HALAMAN PENGESAHAN .....................................................................
iii
PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS ........................................................
iv
KATA PENGANTAR ................................................................................
v
DAFTAR ISI ...............................................................................................
vi
DAFTAR LAMPIRAN ...............................................................................
viii
DAFTAR GAMBAR ..................................................................................
ix
DAFTAR TABEL .......................................................................................
xi
DAFTAR NOTASI .....................................................................................
xiv
Bab
Bab
I
Pendahuluan .......................................................................
1
I.1
Latar Belakang ...................................................................
1
I.2
Tujuan ................................................................................
3
I.3
Ruang Lingkup Pembahasan dan Batasan Masalah ...........
4
I.4
Metodologi Penelitian ........................................................
5
I.5
Sistematika Penulisan ........................................................
6
II
Dasar Teori dan Studi Literatur ..........................................
8
II.1
Prinsip Pemodelan Struktur Gedung...................................
8
II.2
Fundamental dari Metoda Elemen Hingga dan Kekakuan Dinamik ..............................................................................
9
II.3
Perumusan Matrik Kekakuan Dinamik...............................
11
II.3.1
Gerak Lentur Balok Euler Bernoully .................................
11
II.3.2
Gerak Longitudinal Balok Euler Bernoully........................
13
II.4
Matrik Kekakuan Dinamik Struktur....................................
13
II.5
Persamaan Gerak Bebas Sistem..........................................
16
II.6
Prosedur Numerik Untuk Mendapatkan Modal Data..........
17
II.6.1
Wittrick-Williams algorithm...............................................
17
II.6.2
Perhitungan Eigenvector dan Mode Shape.........................
20
II.6.3
Perhitungan Faktor Partisipasi Modal.................................
26
vi
II.7
Fungsi Bentuk dan Matrik Massa Pada Metoda Elemen Hingga…………………….................................................
II.7.1
Fungsi Bentuk Statik Gerak Lentur Balok EulerBernoully.............................................................................
Bab
Bab
27 28
II.7.2
Lumped Mass......................................................................
28
II.7.3
Consistent Mass..................................................................
29
III
Program dan Verifikasi ......................................................
31
III.1
Input Model dan Bagan Alir Pemrograman .......................
31
III.2
Verifikasi Program .............................................................
28
III.3
Solusi Terhadap Masalah Dengan Mode Finding ..............
42
IV
Studi Kasus dan Analisis ....................................................
45
IV.1
Respon Modal dan Kriteria Penerimaan.............................
45
IV.1.1 Vibrasi Balok .....................................................................
46
IV.1.2 Vibrasi Portal Bidang .........................................................
64
IV.2
Keandalan Maupun Kelemahan Dari Metoda Elemen Hingga dan Kekakuan Dinamik..........................................
91
V
Kesimpulan dan Saran.........................................................
95
V.1
Kesimpulan.........................................................................
95
V.2
Saran....................................................................................
98
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................
xvi
LAMPIRAN A ............................................................................................
A-1
LAMPIRAN B ............................................................................................
B-1
LAMPIRAN C ............................................................................................
C-1
LAMPIRAN D ............................................................................................
D-1
Bab
vii
DAFTAR LAMPIRAN Lampiran A
Persamaan
Gerak
Balok
dan
Perumusan
Kekakuan Dinamik Lampiran B
Penentuan [K m (ω *)] pp , ω pp dan J pp (ω *)
Lampiran C
Bagan Alir dan Source Code Program
Lampiran D
Tabel Hasil Analisis Studi Kasus
viii
Matrik
DAFTAR GAMBAR Gambar I.1
Bagan Alir Metodologi Penelitian …………………...
Gambar II.1
Gambar III.2
Transformasi Derajat Kebebasan Lokal ke Global untuk Portal Bidang ..................................................... Bagan Alir Utama Program Metoda Kekakuan Dinamik ....................................................................... Balok Sederhana Jepit-Jepit yang Seragam .................
Gambar III.3
Balok Sederhana Jepit-Sendi yang Seragam ...............
35
Gambar III.4
Balok Sederhana Jepit-Bebas yang Seragam ..............
37
Gambar III.5
Balok Sederhana Sendi-Sendi yang Seragam .............
39
Gambar III.6
Balok Sederhana Sendi-Bebas yang Seragam .............
41
Gambar III.7a
Gambar IV.1a
Submembering Balok Jepit-Jepit dengan Lokasi Node di Tengah Bentang.............................................. Submembering Balok Jepit-Jepit dengan Lokasi Node Sesuai Persamaan (III.25b)................................. Mode Shape Mode 1 Balok Jepit-Jepit........................
49
Gambar IV.1b
Mode Shape Mode 2 Balok Jepit-Jepit........................
49
Gambar IV.1c
Mode Shape Mode 4 Balok Jepit-Jepit........................
50
Gambar IV.1d
Mode Shape Mode 5 Balok Jepit-Jepit........................
50
Gambar IV.1e
Mode Shape Mode 7 Balok Jepit-Jepit........................
51
Gambar IV.2a
Mode Shape Mode 1 Balok Jepit-Sendi.......................
52
Gambar IV.2b
Mode Shape Mode 2 Balok Jepit-Sendi.......................
53
Gambar IV.2c
Mode Shape Mode 3 Balok Jepit-Sendi.......................
53
Gambar IV.2d
Mode Shape Mode 5 Balok Jepit-Sendi.......................
54
Gambar IV.2e
Mode Shape Mode 7 Balok Jepit-Sendi.......................
54
Gambar IV.3a
Mode Shape Mode 1 Balok Jepit-Bebas......................
56
Gambar IV.3b
Mode Shape Mode 2 Balok Jepit-Bebas......................
57
Gambar IV.3c
Mode Shape Mode 4 Balok Jepit-Bebas......................
57
Gambar IV.3d
Mode Shape Mode 5 Balok Jepit-Bebas......................
58
Gambar IV.3e
Mode Shape Mode 7 Balok Jepit-Bebas......................
58
Gambar IV.4a
Mode Shape Mode 1 Balok Sendi-Sendi.....................
60
Gambar IV.4b
Mode Shape Mode 2 Balok Sendi-Sendi.....................
61
Gambar IV.4c
Mode Shape Mode 3 Balok Sendi-Sendi.....................
61
Gambar IV.4d
Mode Shape Mode 5 Balok Sendi-Sendi.....................
62
Gambar III.1
Gambar III.7b
ix
5 15 27 33
42 43
Gambar IV.4e
Mode Shape Mode 7 Balok Sendi-Sendi.....................
62
Gambar IV.5
Model Portal 1 Lantai 1 Bentang…………………….
65
Gambar IV.6a
Antisymmetrical UX-Symmetrical UZ Mode .............
71
Gambar IV.6b
Symmetrical UX-Antisymmetrical UX Mode ............
71
Gambar IV.7
Model Portal 3 Lantai 3 Bentang.................................
73
Gambar IV.8
Mode ke-5 dari Portal 3 Lantai 3 Bentang ..................
78
Gambar IV.9
Sidesway Modes Portal 3 Lantai 3 Bentang dengan Rigid dan Flexible Girders .......................................... Model Portal 10 Lantai 3 Bentang (Portal A – Portal Tanpa Dinding Geser dan Portal B – Portal Dengan Dinding Geser) ............................................................ Model Portal 10 Lantai Tidak Simetris dengan Vertical Setbacks ......................................................... Sidesway Modes dari portal 10 lantai tidak beraturan antara model FEM(RF) dan DSM(FF) ........................ Perbandingan Frekuensi Natural dan Kecepatan Komputasi antara Metoda Kekakuan Dinamik dan Metoda Elemen Hingga (Sumber: Referensi 14)......... Elemen Diferensial Balok dengan Vibrasi Lateral (Deformasi Lentur) ...................................................... Balok 3D dan Pasangan Gaya Deformasi ...................
81
Gambar IV.10 Gambar IV.11 Gambar IV.12 Gambar IV.13 Gambar A1 Gambar A2 Gambar A3 Gambar A4 Gambar A5 Gambar A6 Gambar A7 Gambar A8 Gambar A9
Pasangan Gaya dan Deformasi pada Balok 2D dengan Vibrasi Lateral (Deformasi Lentur) ................ Elemen Diferensial Balok dengan Vibrasi Longitudinal ................................................................ Pasangan Gaya dan Deformasi Titik Kumpul Balok 2D dengan Vibrasi Longitudinal ................................. Elemen Diferensial Balok dengan Deformasi Torsional ...................................................................... Pasangan Gaya dan Deformasi pada Balok 2D dengan Vibrasi Torsional ............................................ Elemen Diferensial Balok dengan Vibrasi Lateral (Deformasi Geser) ....................................................... Pasangan Gaya dan Deformasi pada Balok 2D dengan Vibrasi Lateral (Deformasi Geser) .................
x
83 87 71 93 A-1 A-4 A-5 A-7 A-10 A-11 A-13 A-14 A-17
DAFTAR TABEL
Tabel III.1a Tabel III.1b Tabel III.2a Tabel III.2b Tabel III.3a Tabel III.3b Tabel III.4a Tabel III.4b Tabel IV.1 Tabel IV.2 Tabel IV.3 Tabel IV.4 Tabel IV.5 Tabel IV.6 Tabel IV.7 Tabel IV.8
Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler Bernoully (Jepit-Jepit) ........................................................................... Frekuensi Natural Gerak Lentur Balok Euler Bernoully (Jepit-Jepit) ........................................................................... Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler Bernoully (Jepit-Sendi) ......................................................................... Frekuensi Natural Gerak Lentur Balok Euler Bernoully (Jepit-Sendi)…...................................................................... Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler Bernoully (Jepit-Bebas)…..................................................................... Frekuensi Natural Gerak Lentur Balok Euler Bernoully (Jepit-Bebas)…..................................................................... Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler Bernoully (Sendi-Sendi)…..................................................................... Frekuensi Natural Gerak Lentur Balok Euler Bernoully (Sendi-Sendi)…..................................................................... Modal Data dan Persen Perbedaan Balok Jepit-Jepit (3xN Elemen) ................................................................................ Modal Data dan Persen Perbedaan Balok Jepit-Sendi (3xN Elemen) ................................................................................ Modal Data dan Persen Perbedaan Balok Jepit-Bebas (3xN Elemen) ................................................................................ Modal Data dan Persen Perbedaan Balok Sendi-Sendi (3xN Elemen) ....................................................................... Jumlah Mesh Minimum Model K1 s.d K5 dengan Abs % Difference Kurang Dari 5% ................................................. Jumlah Mesh Minimum Model M1 s.d M5 dengan Abs % Difference Kurang Dari 5% ................................................. Kategori, MPF(UX) dan % Difference MPF(UX) Model A
34 34 36 36 37 38 39 40 47 51 55 59 67 69 74 75
Tabel IV.9
Perbandingan antara Model Lumped Mass dan Kekakuan Dinamik dengan Jumlah Mesh 30 Elemen untuk Model A Kategori, MPF(UX) dan % Difference MPF(UX) Model B
Tabel IV.10
Kategori, MPF(UX) dan % Difference MPF(UX) Model C
77
Tabel IV.11
Respon Modal Sidesway Modes Rigid Frame dengan Balok Fleksibel ……………………………………………. Respon Modal Sidesway Modes Rigid Frame dengan Balok Kaku ………………………………………………... Nilai dan Persen Perbedaan ω & MPF(UX) dari Sidesway Modes antara Model FEM(RF) dengan FEM(FF) dan DSM(FF) untuk Portal-A ..................................................... Nilai dan Persen Perbedaan ω & MPF(UX) dari Sidesway Modes antara Model FEM(RF) dengan FEM(FF) dan DSM(FF) untuk Portal-B .....................................................
79
Tabel IV.12 Tabel IV.13a Tabel IV.13b
xi
76
80 84 84
Tabel IV.14 Tabel - D1a Tabel - D1b Tabel - D2a Tabel - D2b Tabel - D3a Tabel - D3b Tabel - D4a Tabel - D4b Tabel - D5a Tabel - D5b Tabel - D5c Tabel - D6a Tabel - D6b Tabel - D6c Tabel - D7a Tabel - D7b Tabel - D7c Tabel - D8a Tabel - D8b Tabel - D8c Tabel - D9a Tabel - D9b Tabel - D9c
Nilai dan Persen Perbedaan ω & MPF(UX) dari Sidesway Modes antara Model FEM(RF) dengan FEM(FF) dan DSM(FF) untuk Portal dengan Vertical Setbacks ................ Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Balok Jepit-Jepit................................................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Balok Jepit-Jepit ....................................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Balok Jepit-Sendi................................................................ Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Balok Jepit-Sendi ..................................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Balok Jepit-Bebas............................................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Balok Jepit-Bebas .................................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Balok Sendi-Sendi.............................................................. Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Balok Sendi-Sendi ………………………………… Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model K1 (0.1 x Ib) .............................................................. Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Model K1 (0.1 x Ib).................................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model K1 (0.1 x Ib)............................................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model K2 (Ib) ...................................................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Model K2 (Ib)............................................................. Perbandingan dan % Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model K2 (Ib)........................................................................ Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model K3 (10 x Ib) ............................................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Model K3 (10 x Ib)..................................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model K3 (10 x Ib)................................................................ Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model K4 (50 x Ib) ............................................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Model K4 (50 x Ib)..................................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model K4 (50 x Ib)................................................................ Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model K5 (100 x Ib) ............................................................. Perbandingan dan % perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal model K5 (100 x Ib)................................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model K5 (100 x Ib)..............................................................
xii
88
D-1 D-3 D-6 D-8 D-10 D-13 D-15 D-17 D-20 D-21 D-21 D-22 D-23 D-24 D-24 D-25 D-26 D-27 D-28 D-28 D-29 D-30 D-31
Tabel - D10a Tabel - D10b Tabel - D10c Tabel - D11a Tabel - D11b Tabel - D11c Tabel - D12a Tabel - D12b Tabel - D12c Tabel - D13a Tabel - D13b Tabel - D13c Tabel - D14a Tabel - D14b Tabel - D14c Tabel - D15a Tabel - D15b Tabel - D15c Tabel - D16a Tabel - D16b Tabel - D16c Tabel - D17a Tabel - D17b Tabel - D17c
Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model M1 (0.1 x swb)........................................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Model M1 (0.1 x swb) ............................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model M1 (0.1 x swb)........................................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model M2 (swb).................................................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Model M2 (swb) ........................................................ Perbandingan dan % Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model M2 (swb).................................................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model M3 (10 x swb)............................................................ Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Model M3 (10 x swb) ............................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model M3 (10 x swb)............................................................ Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model M4 (50 x swb)............................................................ Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partispasi Modal Model M4 (50 x swb) ............................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Perpindahan Modal model M4 (50 x swb)............................................................. Perbandingan dan % Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model M5 (100 x swb).......................................................... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Model M5 (100 x swb) ............................................. Perbandingan dan % Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model M5 (100 x swb)......................................................... Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model A ................................................................. Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal model A .................................................. Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model A.................................................................... Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model B .................................................................. Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Model B .................................................. Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model B.................................................................... Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model C ................................................................. Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Model C .................................................. Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model C....................................................................
xiii
D-32 D-32 D-33 D-34 D-35 D-36 D-36 D-37 D-38 D-39 D-39 D-40 D-41 D-42 D-42 D-43 D-44 D-44 D-44 D-45 D-45 D-45 D-46 D-46
DAFTAR NOTASI E
Modulus elastisitas, N/mm2
I
Momen inersia, mm4
m
Massa per satuan panjang, N.s2/mm2
v( x, t )
Respon perpindahan sebagai fungsi jarak dan waktu, mm
φ (x )
Perpindahan modal atau variabel fungsi bentuk dari respon perpidahan, mm
f (t )
Variabel fungsi waktu dari respon perpindahan
A
Luas penampang, mm2
ω
Frekuensi natural struktur, rad/det
[S m ]
Matrik kekakuan dinamik elemen pada sumbu lokal, N/mm
[K m ]
Matrik kekakuan dinamik elemen pada sumbu global, N/mm
[Tm ]
Matrik transformasi
[K s ]
Matrik kekakuan statik struktur pada metoda elemen hingga, N/mm
[M s ]
Matrik massa struktur pada metoda elemen hingga,
[M m ]
Matrik massa elemen pada sumbu lokal
λ
Eigenvalue, rad2/det2
{X } [K s (ω )]
Eigenvector, mm Matrik kekakuan dinamik atau Frequency dependent stiffness matrix
L
Panjang member, mm
ω*
Fixed chosen frequency pada Wittrick-Williams Algorithm
J (ω *)
Jumlah frekuensi natural dibawah fixed chosen frequency
J o (ω *)
Jumlah frekuensi natural di bawah fixed chosen frequency yang berhubungan dengan {X } = 0
s[K s (ω *)]
Jumlah frekuensi natural di bawah fixed chosen frequency
xiv
yang berhubungan dengan K (ω *) = 0 J m (ω *)
Jumlah frekuensi natural dari member dengan kondisi jepit-jepit di bawah fixed chosen frequency
J pp (ω *)
Jumlah frekuensi natural dari member dengan kondisi sendi-sendi di bawah fixed chosen frequency
[K m (ω *)] pp
Matrik kekakuan dinamik elemen untuk kondisi sendisendi
s[K m (ω *)] pp
Jumlah frekuensi natural di bawah fixed chosen frequency yang berhubungan dengan K m (ω *) pp = 0
[K
[K
Δ s
Δ m
(ω *)]
(ω *)]pp
Matrik triangular atas dari matrik kekakuan dinamik struktur dengan eliminasi Gauss Matrik triangular atas dari matrik kekakuan dinamik elemen dengan kondisi sendi-sendi dengan eliminasi Gauss
ωu
Batas atas frekuensi natural dalam Yuan Algortihm
ωl
Batas bawah frekuensi natural dalam Yuan Algortihm
Nr
Jumlah frekuensi natural pada interal ω l , ωu
N ro
Jumlah frekuensi natural dari seluruh member pada kondisi jepit-jepit pada interal ω l , ωu
MPF
Faktor partisipasi modal
FF
Flexible Frame
RF
Rigid Frame
DSM
Dynamic Stiffness Method
CM
Consistent Mass
LM
Lumped Mass
xv
