Daftar isi ISSN 1693-3346
Prosiding Pertemuan I1miah Nasional Rekayasa Perangkat Nuklir Serpong, 20 Nopember 2007
PEMBUATAN
PROGRAM
SOLVER ANALISIS DISTRIBUSI
BERBASIS METODA ELEMEN HINGGA P ADA KOMPONEN STRUKTUR.
TEGANGAN
(MEH)
Elfrida Saragi I", Utaja 2 IpPIN - BAT AN 2pRPN - BAT AN *E-mail:
[email protected] ABSTRAK PEMBUATAN
PROGRAM
SOLVER ELEMEN
ANALISIS
DISTRIBUSI
BERBASIS
METODA
STRUKTUR.
Salah satu faktor keselamatan yang ban yak dipertimbangkan
umur pakai suatu komponen. atau berulang
HINGGA
(MEH)
TEGANGAN
PAD A
KOMPONEN
Setiap komponen struktur yang mendapatkan
(siklik) akan mengalami
proses Fatigue
(letih).
saat ini adalah be ban statik
Bila siklus beban ini
dikenakan pad a komponen struktur dalam waktu yang lama akan mengalami creep (proses melar). Pad a fatigue
dan creep, tingkat pembebanan
penyebab
, patah, dan / atau pecahnya
kerusakan
selalu merupakan
komponen.
faktor utama
Sifat elastis sempurna
komponen struktur hanya ada dalam teori. Komponen struktur adalah sebuah objek yang mendapatkan
beban siklik atau beban yang berulang dalam waktu yang lama. Proses
kemelaran atau keletihan suatu komponen struktur salah satunya disebabkan oleh stress. Untuk menjawab
hipotesa ini, Metode Elemen Hingga adalah salah satu metode yang
dapat digunakan
untuk memperkirakan
distribusi
tegangan
, disamping
alat-alat
ukur
berteknologi tinggi di laboratorium. Makalah ini menguraikan tentang pembuatan program processor / solver untuk distribusi tegangan berbasis metode elemen hingga berdimensi dua
dengan
menggunakan
Kata kunci:
bidang
diskritisasi
berbentuk
elemen
segitiga.
Penulisan
Visual Basic
MEH, Processor, Oistribusi Tegangan, Komponen struktur
237
program
ISSN 1693-3346
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat Nuklir Serpong, 20 Nopember 2007
ABSTRACT STRESS
DISTRIBUTIONS
THEFINITE
ELEMENT
safety factor which component
ANALYSIS METHOD
SOLVER
DEVELOPMENT
FOR STRUCTURE
is seriusly concider
BASE
COMPONENT.
is life time of component.
ON
One of the
Every structure
which is bears the cyclic load will come in fatigue. If the cyclic load is
introduced at structure component for long period, the structure component will come in creep. At fatigue and creep the load intencity is a main factor due to failure, break of a component. The pure elasticity of a component is a theoritical aspect only. The structure component is an object which is bears the cyclic a long period. Fatigue and creep is caused by stress. For prove this hypothesis the finite element method (FEM) is method used for stress distributions
prediction,
beside the laboratory high technology
paper describes the solver development for stress disrtibutions, method
in two dimensional
discritisation
equipments.
This
base on the finite element
which are used the triangular
element. The
program is written in Visual Basic Language. Keywords: FEM,Stress,Structure
Component, Visual Basic Language
PENDAHULUAN PenyeIesaian dibagi-bagi
menjadi
distribusi
tegangan
dengan MEH, daerah (benda) yang dianalisis
sejumlah elemen ( diskretisasi
geometri)
yang berbentuk segitiga
(untuk dua dimensi). Penyelesaian dengan metode elemen hingga melibatkan tiga langkah yaitu:
I. PreProcessor, Program processor
penyelesaian (struktur
untuk analisis tegangan adalah satu bagian dari tiga tahap
masalah dengan MEH. Program ini melakukan process perhitungan meliputi
program)
4.Penyusunan
2. processor (.wlver), 3. Post processing.
; 1. Pengambilan
file data, 2. Renumbering
node, 3. optimasi,
matriks bentuk, 5. matrik sifat material, 6. Penyusunan
koefisien matrik
kekakuan 7. Pemberian beban, 8. Penyelesaian persamaan linear dengan dekomposisi LU, 9.Penyelesaian
distribusi tegangan, 1O. Penulisan hasil dan gambar animasi. Pengambilan
file data yang diperoleh
dari program
pre-processor
yang berisi data material yang
akan disimulasi. Data-data tersebut berupa material properties, data elemen hasil meshing
238
Prosiding Serpong,
Pertemuan IImiah Nasional 20 Nopember 2007
Rekayasa
Perangkat
ISSN 1693-3346
Nuklir
berupa koordinat dan nomor node, serta data beban. Data-data terse but diolah program processor sehingga diperoleh persamaan matriks yang berbentuk Ka=
f
(I)
k pada persamaan (1) adalah matriks kekakuan, a adalah matriks untuk variabel yang ingin disimulasi (pergeseran), dekomposisi daerah
dan
f adalah
matriks beban gaya. Dengan menggunakan
LV, matriks a dapat ditentukan.
(benda)
dibagi-bagi
menjadi
Program processor ini hanya menganalisis
sejumlah
elemen
( diskretisasi
geometri)
berbentuk elemen segitiga linier untuk dua dimensi. Model matematik distribusi tegangan ...... 2)
dimana
&
(/
e
Ba
[; =
L
=
1I
N
=
/,
........ 3) N
"r
u
.......... 4) dimana: L
= linear operator
Matrik sifat material plane stress = D =
--E
(I dimana;
cr
= Tegangan
€
= regangan
metode
...... 5) J.I)
a = pergeseran (displacement) B = matrik fungsi bentuk
239
yang
Prosiding Serpong,
Penyelesaian
Pertemuan I1miah Nasional 20 Nopember 2007
akhir persamaan
Rekayasa
3 dan 4
Perangkat
ISSN 1693-3346
Nuklir
dalam bentuk matrik dapat dituliskan sebagai
berikut; Ke ae
=
f
........ 6)
dimana ; Ke = matrik kekakuan Matrik beban gaya = f = fEO -
fao
+ fb + fs + fpl
....... 6a )
STRUKTUR PROGRAM Struktur program processor ini dapat digambarkan seperti gambar berikut ini.
Gambar 1. Struktur program processor untuk analisis distribusi tegangan
III.
MODULARISASI PROGRAM Berdasarkan
struktur
program
pad a gambar
I, fungsi
yang ada akan
dieksekusi secara berurutan (dari kiri ke kanan). Hasil akhir dari program processor ini adalah
"matriks a" pada persamaan (I). Jika dibuat dalam diagram aktivitas,
tahapan tersebut digambarkan sebagai berikut.
"'._",~I_n..","'1''''n .•.•.•...• _ .•__.
h1l"-'~
Gambar 2. Diagram aktifitas untuk program processor
240
ISSN 1693-3346
Prosiding Pertemuan Ilmiah Nasional Rekayasa Perangkat Nuklir Serpong, 20 Nopember 2007
ILL
Baca file data. Infonnasi yang terdapat pada file data dikelompokkan terkait. Ada 7 kategori dalam pengelompokan jumlah node danjumlah
berdasarkan data yang saling
ini. Jumlah Node:
berisi infonnasi
elemen;
a) Data Node: berisi informasi koordinat setiap node b) Data Material:
berisi informasi id material, modulus
Young, poisson ratio,
muai jenis, tebal c) Data Elemen : berisi informasi nom or node ke-ij,k setiap elemen berdasarkan id elemen d)
Gaya berat : berisi informasi nomor elemen, percepatan kearah X dan Y serta nomor kurva.
e) Gaya terpusat : berisi informasi Nomor elemen; Gaya kearah X dan Y, nomor kurva.
t) Gaya tekanan : berisi informasi dua node yaitu node 1 dan node2 yang diantara keduanya mengalami tekanan. g) Tumpuan sendi roll: berisi informasi pergeseran kearah X dan Y.
11.2.
Menentukan variabel kunci. Variabel kunci adalah variabel yang diperlukan
untuk menyusun matriks
kekakuan (stiffness). Matriks stiffness yang diperoleh akan simetri dan sparse. Variabel kunci tersebut diberi nama JSTKO, ISTKQ, JDIAGQ. Tabel 1. Nama variable pada penentuan variable kunci e1 ern.~ t--l~ e1 c::a.ri!ll. ern.~ ~t.rl1<:11 GlouELl-Global •.• .s-ri t1..•. 0t.-u.r11it taLa! 1 ya..n.. Globa.1 Sa..rr1.pa..i c:I.ia 00 p~da Scope l'V1e:n.yirn..pa..T"l '-~t..a.~ si ",...~ &'0 8i 1.a•.•.•••• r:Lt.egern.a.l ..rizo:n.t..A. ctil'U J1....UTtl~ya L:S'"T.JCO I'-JI F'Un.gsi Tipe I:n.t..egor eonyi I:n.teger e1 rr ~.•..I-y-a..krJ.y:a. ..•di.~ a...•. .rJ. oen. e:1 e::rr:lC:r'). g:2 eta:k: b e:rn.J.lai. g tiacba1ah cia k b ern..:i 1a.i di1"'1it.~g b.13.¥}. t--lo. se....TST.FC("..) J£>I.A= aU rrra.es 0 ba..o. ssa..r'J"").pa.i yea..1-c:n.ya. -r-JI e:n.yi.. rn.pa..n. po
)U-:I"~cU~Y'8. r-:Lol se~ 1').01 h.rJ.O l..1t...a..rY:I.8. de ~pa...i a~e.h.:2 1)
2) 3.>
1<:a.1i V'ert..i:k:a.l ju..rrIJ.aI"1 n.ode c:t.i~
j~a.I"1n.yaa~oCie j 'U.r.-Ua.h
t:i.
ada1-.t"J,.
:y'a.%'1
:z k:a.1i
241
ISSN 1693-3346
Prosiding Pertemuan I1miah Nasional Rekayasa Perangkat Nuklir Serpong, 20 Nopember 2007
Penentuan variabel kunci berdasarkan diskritisasi bidang menjadi sejumlah elemen. Pad a penelitian ini bent uk elemen yang didiskritisasi adalah elemen segitiga seperti gambar di bawah ini:
Gambar 3: Bentuk geometri denganjumlah
node dan elemen sebanyak 12 buah
rum us variabel kunci (JSTK, ISTK, JDIAG) adalah 2 kali jumlah node dengan rum us berikut;
I. Variabel kunci JSTK dan ISTK a. Untuk yang Ganjil JSI = 2 * (Nomor_NODE_
pertama(l%) - Nomor_NODE_
dituju(l%))
+1
= JSI
JSTK(2 * Nomor_NODE_dituju(l%)
- I)
ISTK(2 * Nomor_NODE_dituju(I%)
- I) = JS2
b. Genap JS2 = 2 * (Nomor_NODE_pertama(I%)
- Nomor_NODE_dituju(I%))
JSTK(2 * Nomor_NODE_pertama(I%))
= JS2
ISTK(2 * Nomor_NODE_dituju(l%))
+2
= JS I
II. Variabel kunci JDIAG JDIAG(I%) = JDIAG(I% - I) + JSTK(I%) Dimana;
11.3.
1% adalah dimulai dari 1 Sampai dengan 2* jumlah Node
Menentukan matriks kekakuan (stiffnes~) Untuk menentukan disebabkan
karena
matriks stiffness diperlukan banyaknya
elemen
variabel kunci JDIAGO. Hal ini
matriks
stiffness
adalah
jmINode). Komponen penyusun matriks stiffnes untuk setiap elemen adalah:
........ 7)
242
JDIAG(2
x
LN =I
ISSN 1693-3346
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat Nuklir Serpong, 20 Nopember 2007
00
~1 In:, 3 In:,
~3 ~2 In:, ~3 2 /11:33
In:, I
~
I
In:, 2
I
11122
.... 7a)
0
BT
= matriks fungsi bentuk yang di transpose
t = tebal A
= luasO.
Diagram aktifitas untuk matrik kekakuan adalah sebagai berikut.
Gambar 4. Diagram aktifitas untuk matrik kekakuan Untuk menghitung luas setiap elemen, digunakan persamaan sebagai berikut.
11.4. Proses Assemblage Untuk seluruh persamaan elemen. Ke
I
243
7 dapat dituliskan
perlu dilakukan
assemblage.
Koefisien
matrik pada
dalam suatu notasi yang menyangkut
nomer node
Bila node pada elemen adalah i,j dan k maka dapat ditulis :
= EtA
k(2k.2k-l) k(2i,2k) ~2i-I,2i-l) k(2i,2k-l) k(2i,2.i-I) k(2i-I.2.i-I) k(2k.2j-l) k(2k.2j) ~2k.2i) k(2i,2.i) ~2i,2i) k(2i-1.2.i) k(2i-I.2i) k(2k.2k) I k(2j,2k-l) k(2j.2j-l) k(2.i,2.i) k(2j,2i) ~2j.2k) k(2.i-l,2j) ........ 9) ~2j,2i-l) ~2k,2i-l)
elemen
x
k(2i-I.2k) ~2i-I.2k) k(2i-I,2k-l) k(2j-1 k(2j-l,2j-l) ,2k-l) k(2k-I.2j-l)
k(2k-I.2i)
k(2k-I.2k-l)
k(2k-l,2k)
ISSN 1693-3346
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat Nuklir Serpong, 20 Nopember 2007
Setelah semua elemen diproses, akan didapat bentuk matrik seperti pada persamaan 1. Dimana;
K =matrik bujur sangkar (2n x 2n) dinamakan matrik stiffness a = matrik kolom berisi perpindahan node f = matrik kolom berisi gaya xjarak (energi)
11.5. Memberikan syarat batas. Persamaan
1
INDEFENITE. tumpuan.
belum
dapat
diselesaikan,
Agar dapat diselesaikan,
Pemberian
karena
matrik
K merupakan
matrik
maka perlu syarat batas yang berupa
tumpuan bertujuan agar salah satu suku matrik (koefisien
matrik) atau lebih pada diagonal utama menjadi dominan. matrik K menjadi POSITIVE
DEFINITE,
Ini akan mengakibatkan
sehingga dapat diselesaikan.
Matrik K
merupakan matrik simetri dimana k(p,q)=~q,p).Secara fisis pemberian tumpuan berarti truss ditahan pada satu atau lebih nodenya. pada salah satu arah dicegah (pergeserannya
Ini berarti pada suatu node, pergerakan nol).
Salah satu cara agar pergeseran
pad a satu node atau lebih menjadi nol (an = 0), dengan metoda PIVOTING. Misal ada persamaan seperti berikut, dengan k (p,q)= k (q,p): ~l,l)
al + k(l,2) a2 + ~1,3)a3 = fl
~2,1) al + k(2,2)a2 + k(2,3)a3 = f2 ~3,1) al + k(3,2)a2 + k(3,3)a3 = f3 Agar a2 = 0, maka persamaan diubah menjadi ; k(l,l) at + ~I,2) a2 + k(l,3)a3 = fl o al + I a2
+
0 a3 = 0
~3,1) at + ~3,2) a2 + k(3,3)a3 = f3
Agar keadaan simetri dapat dipertahankan, matrik diubah dalam bentuk berikut ;
244
I 1 I,
ISSN 1693-3346
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat Nuklir Serpong, 20 Nopember 2007
11.6.
Dekomposisi LV Matriks stiffness yang tersimpan dengan dimensi satu akan didekomposisi
menjadi
matriks L dan U yaitu ; f= Ka dimana K = LU. Pola matriks U dan L sarna dengan matriks stiffness. Pada gambar 5 terlihat bahwa pola matriks L dibalik sehingga penyimpanannya
mengikuti pola penyimpanan matriks stiffness.
I
II
II1111 1 I1III
1111(b)
1
Gambar 5. Pola penyimpanan matriks L : (a) pola awal; (b) mengikuti pola matriks stiffness
Gambar
5 adalah
penyimpanan
pola penyimpanan
matriks
U yang juga
mengikuti
pola
matriks stiffness. u"
U
Un U .\~
U"
12
u
U 1I2.1 U .14 2~ 1.1
U 45 U 55
U ~(, U sr.
U 57
u {-.(,
U (,7 U
77
U
71(
Gambar 6. Pola penyimpanan matriks U
11.7.
Menyusun beban. Matrik beban terdiri dari lima macam yang dinyatakan
pada persamaan 6a yaitu
a.Self strain a.
fgo=
JBTO EodV = JBTOEotdxdy = BTOEotA v
A
245
.... 6a)
:
ISSN 1693-3346
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat Nuklir Serpong, 20 Nopember 2007
b. Prestress rao c.
= fBTaodV = fSTao tdxdy = STao tA
Body force
f: = IN'
bdV
= I NTbldxdy
=
N,
o
o
N, o
II:'
t dx dy
NJ
N,
o
o
N,
d. Permukaan tarikan = NN 00I
.,
0 N
f
.
N
'
I
I ' [:
,wlS
=
0
f : ]
N
,.
I
No
N
'
dS
e. Beban Titik (point loads) rpl = LNTfp dimana ; £0 = tahanan regangan pribadi dari perukomponen cro =
struktur temperatur
tegangan sisa dan s = permukaan (surface)
11.8. Penyelesaian persamaan linear. Setelah diperoleh matriks L_elementO,
U_elementO dan BebanO, persamaan linear
dapat
Ilustrasi terhadap masalah ini dapat dilihat
diselesaikan
dengan substitusi.
pada gambar berikut yang menunjukkan '25
>6
hasil meshing dari objek yang disimulasi. '27
'20
'6 "2
8
Gambar 7 . Hasil meshing objek yang disimulasi dengan elemen segitiga linear
PEMBAHASAN DAN HASIL
PEMBAHASAN. 246
ISSN 1693-3346
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat Nuklir Serpong, 20 Nopember 2007
1. Pembacaan data input dari preprocessor 2. Pembuatan
gambar geometri yang akan dianalisis
dan diskritisasi
bidang serta
pemberian nomor node dan elemen seperti gambar 7. 3. Melakukan perhitungan untuk variabel kunci (JSTK,JDIAG,ISTK) 4. Pembuatan
program untuk
matrik fungsi bentuk dan transposenya
untuk setiap
elemen seperti pad a persamaan 7a. 5. Pembuatan program untuk matrik kekakuan 6. Pembuatan program untuk matrik beban seperti pada 11.7 7. Pembuatan program untuk LU decomposition 8. Pembuatan program untuk menghitung
regangan untuk setiap elemen seperti pada
persamaan 3 9. Pembuatan program untuk menghitung distribllsi stress seperti pada persamaan 2 10. Pembuatan program untllk menlliis hasil
11. Pembuatan program superposisi setiap node HASIL PROGRAM. 1. Program setelah dieksekusi menghasilkan
gambar geometri, data node, element, data
beban, syarat batas berupa tumpuan dan variable kunci (JSTK,JDAIG,ISTK) '::;;'"," ~~~";.':~~n~:_~""'_"" ...
,
""'_ j:;::"M'-: ~ c,.," "'Ot.1t "00 ••.• •.o"'M.. .... ecolI:'""_ _ "'M'" ..•..z ....'" ~ )7'5 • , '0:'5 ~ '7", • ,C1;>!'
·
,.
.• ,".>
, .•••'"
0 0 v 0 0 0(' 0 0~
0
"0
~
l ..~ _._--~_
---
2. Hasil program untuk matrik kekakllan dan diberikan gaya terpllsat kearah sumbu Y pada nomor elemen 45 sebesar 10000 N
247
ISSN 1693-3346
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat Nuklir Serpong,20 Nopember 2007
~~.~.£ ..~.<W~.~.,~
1,~!1.r~':.-.~; :;:~ .•
~~
_.. .a-~~
.
~11i1"'~':' J.r1!'~!t~.I:,:d\!.'!:aml'z=:C~11Z1!11!1Je!12I"-1IIJ:.1I!.&.JI::'.;;;::-!l~:::.:Itil.urJ---
._
..... ~,.;.~~
:"'"T1j ,
~........;
._..;,J;_""'"~""""-"-'-"":':"" ..
!Eli! 3. Hasil program untuk deformasi setiap node ~U~1·~~~·.s~"~_'!'].a:jI,."~~:-I;nvr~.,""""'-"~ ~gnn_ QeC>uO &un ~ ~ ~ ~ e-o_
~
~.,..~~.4!!J_-mJl( •••
4. Hasil program perpindahan setiap node (Superposisi) 1!~
c.- _
·{.:':!'O:"'~~er~
:t·;;:·"C·:!:·rJ:\i1OII
uo EL.un q,.,....•• ~ ••.•. 1._ ~,''''' ,..,,", - ..••.~ - ~.
'-·1
o.
-1::1
_I_I_!
J;~'_""'_
-60
~ ~ ~ :~~;::-:..:.-(_ .._)
~I
A::n.:,:1U::I::.:<:t-w,n ••
~
.
••••••••'U· ••..IE•.•• _)
c_.- •. "·f •.••• )
M , __
~:: (. __L._).,~) ~
••••• ....c)< •.•.••••
..
...
., oj
-g[ .
~J ,
~~~~~;._
248
..
~,-
--_ .,....
Prosiding Serpong,
KESIMPULAN Penguasaan
Pertemuan IImiah Nasional 20 Nopember 2007
Rekayasa
Perangkat
ISSN 1693-3346
Nuklir
.
teori dasar metoda elemen hingga (MEH) beserta pemrograman
akan mempermudah
penyelesaian
disktritisasi
berbentuk
bidang
persoalan distribusi tegangan berdimensi
e1emen segitiga
pada material
Processor dua dengan
atau pad a benda yang
dianalisis.
DAFT AR PUST AKA. 1. FRANK
L ST ASA,"Applied
Finite Element Analysis
For Engineers",
Florida
Institute of Technology (1985) 2. Structural Analysis Guide, Ansys Realease 5.7 3. Stress Analysis Guide, Ansys Release 5.7 4. SAEED
MOA VENI,"
Finite Element Analysis,
Theory
and Application
with
ANSYS", Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458 (1983) 5. WILLIAM
WEAVER Jr, PAUL R. JOHNSTON,
"Structural
dynamics by finite
Elements", Prentice Hall; Englewood Cliffs, New Jersey 07632 6. DAUD lUNG at all,"Visual
Basic, Super Bible", Sams Publishing, Indianapolis
USA 1999. 7. EV ANGELOS PETROUTSOS,"Mastering USA 1997.
249
Visual Basic 5",Sybec, San Fransisco,
ISSN 1693-3346
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat Nuklir Serpong, 20 Nopember 2007
LAMPIRAN
FLOW CHART INDUK PROGRAM PROCESSOR
C
"'--. )
MULAI BACA FILE DATA
Variabel kund JSfK, JDIAG, ISIK dan I&TKF
JSfK, JDIAG, ISfK
NODE, ELE1\'IEN
r.IAIRIK FUNCSIBENIUK DANTRANSPOSE, r.IATRIK SJF ..•• T M ..•• TF.RT..••••
!
RFRAN &J&JN INVERS Koef matrik M1X#( ) M ATRTK
I
!
BEBAN 11JMPUAN 'Ii.. ), HSL( ) KF.KAKTTAN MTX#i') LU_DECOf\'IP, L(), UO BEBANBERAT,TERPU&H, BEBAN BEBANTEKANAN &J&JNMATRIK TAS BEBAN ~
f4-
fN ARAT BA-
f---to
HASIL LU (REGANGAN), FUNG~ BENI1JK
MENULIS
FILE HA ~L
HA~T.
SELE&<\I
250
HSL()
