Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA III M.H MECHANIKA III 2. DÍL TERMOMECHANIKA - 1 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA III

© M.H. 2004

MECHANIKA III 2. DÍL TERMOMECHANIKA

Studijní obor (kód a název):

23-41-M/001 Strojírenství

-1-


© M.H. 2004

Úvodem Cílem tohoto učebního textu je sloužit jako pomůcka při výuce v předmětu MECHANIKA ve 3. ročníku oboru STROJÍRENSTVÍ.

Obsah Úvodem

2

Obsah

2

1. Termomechanika

3

1.1 Úvod do termomechaniky

3

1.1.1. Základní veličiny v termomechanice 1.2. Termostatika

5

1.2.1. Délková a objemová roztažnost 1.2.2. Tavení kovů 1.2.3. Změna skupenství kapalného na plynné 1.3. Termodynamika plynů 1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4. 1.3.5. 1.3.6. 1.3.7. 1.3.8. 1.3.9.

3

5 7 8 9

Stavové veličiny a stavová rovnice plynu Měrná tepelná kapacita plynu Komprese a expanze plynu Vnitřní energie I. zákon termodynamiky II. Zákon termodynamiky Entalpie Entropie Změny stavu plynu

1.4. Termodynamika vodní páry

9 10 11 17 17 19 20 22 24 41

1.4.1. Tepelné diagramy páry 1.4.2. Výroba přehřáté páry v parním generátoru 1.4.3. Tepelné oběhy technických zařízení 1.5. Základy proudění vzdušin

41 44 46 51

1.5.1. Proudění vzdušiny nerozšířenou dýzou 1.5.2. Proudění vzdušiny rozšířenou dýzou 1.6. Prostup tepelné energie stěnou

53 56 58

1.6.1. Výměníky tepla 1.6.2. Tepelné ztráty budov

59 64

2. Závěrečné opakování

65

-2-


1.

© M.H. 2004

TERMOMECHANIKA

1.1.

ÚVOD DO TERMOMECHANIKY

1.1.1.

Základní veličiny v termomechanice

•

Teplota (T, t)

Základní jednotkou teploty je 1 Kelvin (1 K), který je definován jako 273,16-tý díl teplotního rozdílu mezi absolutní nulou a teplotou trojného bodu vody (0,01 °C, tj. 273,16 K). Trojný bod je dán určitým tlakem a teplotou, kdy vedle sebe koexistují všechna tři skupenství vody, tj. led, voda jako kapalina a vodní pára. Pro praktické technické úlohy a praktická měření se užívá jako jednotka teploty 1°C. Absolutní hodnota 1°C je totožná s absolutní hodnotou 1 K, tedy:

1°C ≡ 1 K Celsiova teplotní stupnice je dána dvěma základními body a to bodem tuhnutí vody (0°C) a bodem varu vody (100°C), při tlaku 0,1 MPa. Body 0°C odpovídá 273,15 K, bod 100°C odpovídá 373,15 K. Vzájemný vztah mezi stupnicí v K a ve °C je přesně:

T(K ) = t (°C) + 273,15 t (°C) = T(K ) − 273,15 Při běžných výpočtech používáme zaokrouhlenou hodnotu 273. Protože platí

1°C = 1 K , platí také:

t 1 − t 2 = T1 − T2 Pozor, neplatí ale podíl •

t 2 T2 ≠ !!! t 1 T1

Tlak (p)

Při termodynamických výpočtech počítáme s tlakem v základních jednotkách, tj. v Pa. Označujeme jej p a pro technickou praxi převedeme výsledky na MPa nebo kPa. Barometrický tlak označujeme •

p b a pro běžné výpočty bereme p b = 100000 = 0,1 MPa .

Objem a měrný objem (V, v)

V a udáváme jej v m 3 . Objem vztažený na hmotnost 1 kg se 3 −1 nazývá měrný objem, označuje se v a jeho rozměr je m ⋅ kg . Objem určité hmotnosti značíme

•

Hustota (ρ)

Hustota je převrácená hodnota měrného objemu. Udává hmotnost

kg ⋅ m −3 . 1 1 ρ = nebo v = v ρ

a má rozměr

-3-

1 m 3 uvažované látky. Značí se ρ

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA III •

© M.H. 2004

Měrná tepelná kapacita (c, cp, cv)

Je to množství tepelné energie, kterou musíme dodat 1 kg uvažované látky, chceme-li ji ohřát o 1 teplotní stupeň (1°C nebo 1 K).

c. U vzdušin rozlišujeme měrnou tepelnou kapacitu za stálého tlaku ( c p ) a za stálého objemu ( c v ). U tuhých látek a kapalin se měrná tepelná kapacita značí symbolem

J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 . Dříve se měrná tepelná kapacita nazývala měrné teplo.

Rozměr je

Tabulka měrných tepelných kapacit vybraných tuhých látek a kapalin:

(

Látka

c J ⋅ kg −1 ⋅ K −1

Ocel Litina Hliník Bronz Měď

461 540 921 385 394

)

(

c J ⋅ kg −1 ⋅ K −1

Látka Mosaz Olovo Voda Strojní olej Benzín

)

385 130 4186 1670 2100

Tabulka měrných tepelných kapacit vybraných plynů:

(

c p J ⋅ kg −1 ⋅ K −1

Plyn Acetylen Argon Čpavek Dusík Chlor •

1529 532 2056 1038 502

)

(

c v J ⋅ kg −1 ⋅ K −1

)

1323 316 1555 739 375

(

c p J ⋅ kg −1 ⋅ K −1

Plyn Kyslík Methan CO2 Vodík Vzduch

917 2173 821 14235 1005

)

(

c v J ⋅ kg −1 ⋅ K −1

)

657 1675 628 10111 714

Množství tepelné energie (množství tepla) (Q, q)

Množství tepelné energie potřebné k ohřátí určitého hmotového množství uvažované látky je dáno vztahem:

Q = m ⋅ c ⋅ (T2 − T1 ) = m ⋅ c ⋅ ∆T

[J]

Termodynamické výpočty se obyčejně provádí pro hmotnost

q= •

Q = c ⋅ (T2 − T1 ) = c ⋅ ∆T m

m = 1 kg . Množství se pak značí q .

[J ⋅ kg ] −1

&) Tepelný tok ( Q

Tepelný tok (dříve tepelný výkon nebo chladící výkon) udává množství tepelné energie přiváděné (nebo odváděné) za jednotku času (1 s). Značí se

& a má rozměr J ⋅ s = W . Q

& = Q = m ⋅ c ⋅ ∆T = Q ⋅ c ⋅ ∆T = Q ⋅ m ⋅ ∆t Q m τ τ

[W ]

τ = čas v sekundách Čas budeme v termomechanice značit řeckým písmenem tau ( τ ), protože symbol t je vyhrazen teplotě ve °C.

-4-

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA III •

© M.H. 2004

Objemový a hmotnostní tok (Q v, Qm)

Objemový tok 1 sekundu.

(

)

Q v m3 ⋅ s−1 udává objem tekutiny, která projde uvažovaným průtočným průřezem za

Qv =

[m

V τ

(

3

Hmotnostní tok Q m kg ⋅ s průřezem za 1 sekundu.

Qm =

⋅ s −1 −1

)

] udává hmotnost tekutiny, která projde uvažovaným průtočným

m V ⋅ρ = = Qv ⋅ ρ τ τ

1.2.

TERMOSTATIKA

1.2.1.

Délková a objemová roztažnost

[kg ⋅ s ] −1

Obr.1: Délkové roztažení (prodloužení) tyče při ohřátí

t 1 na teplotu t 2 se těleso prodlouží o dilataci ∆l , která závisí na materiálu −1 ), na původní délce l 0 a na velikosti (vyjádřeno součinitelem délkové teplotní roztažnosti α K ohřátí ∆t = t 2 − t 1 . Při ohřátí z teploty

∆l = α ⋅ l0 ⋅ ∆t = α ⋅ l 0 ⋅ (t 2 − t 1 )

( )

[mm]

Součinitel teplotní délkové roztažnosti udává o kolik se zvětší délka 1 mm z uvažovaného materiálu při ohřátí o 1 teplotní stupeň (K, °C). Podobně probíhá změna objemu tělesa vlivem ohřátí z teploty

-5-

t 1 na teplotu t 2 > t 1 .


© M.H. 2004

Obr.2: Změna objemu tělesa při ohřátí

∆V = γ ⋅ V0 ⋅ ∆t = γ ⋅ V0 ⋅ (t 2 − t 1 ) kde γ = součinitel teplotní objemové roztažnosti je

[ ]

γ = 3 ⋅ α K −1 .

U plynů je velikost součinitele γ pro všechny plyny stejná:

γ=

[ ]

1 K −1 273

Neumožníme-li u pevných látek délkové roztažení vlivem ohřátí, vznikne v součásti vnitřní pnutí (napětí), které může způsobit trvalou deformaci, popřípadě i porušení součásti. Velikost napětí určíme z:

∆l σ =ε= (Hookův zákon) l0 E

∆l = α ⋅ l 0 ⋅ ∆t ; Z rovnic vyplyne

σ = α ⋅ E ⋅ ∆t

[MPa]

Neumožníme-li u plynů jejich roztažení vlivem ohřátí (plyn v uzavřené tlakové nádobě), vzroste jejich tlak o hodnotu:

∆p = β ⋅ p1 ⋅ ∆t

[Pa ; MPa]

β = součinitel izochorické teplotní rozpínavosti (za stálého objemu). Pro všechny plyny platí 1 β= = γ K −1 . 273

kde

[ ]

-6-


© M.H. 2004

Součinitel teplotní délkové roztažnosti u vybraných tuhých látek:

[ ]

α K −1

Látka

-6

Bronz Hliník Invar Měď Mosaz Ocel Cr Ocel uhlíková

[ ]

α K −1

Látka

17,5 . 10 -6 23,8 . 10 -6 1,5 . 10 -6 17 . 10 -6 18,4 . 10 -6 11 . 10 -6 12 . 10

-6

Slinuté karbidy Reaktoplasty Porcelán Pryž (tvrdá) Sklo Polyamidy Teflon

11 . 10 -6 18 . 10 -6 3 . 10 -6 77 . 10 -6 8 . 10 -6 (7 až 15) . 10 -6 100 . 10

Součinitel objemové teplotní roztažnosti u vybraných kapalin

[ ]

γ K −1

Látka

-3

Benzin Glycerin Olej strojní

1.2.2.

[ ]

γ K −1

Látka

1 . 10 -3 0,5 . 10 -3 0,76 . 10

-3

Petrolej Rtuť Voda

0,96 . 10 -3 0,181 . 10 -3 0,18 . 10

Tavení kovů (změna skupenství tuhého na kapalné)

Při tavení kovů se mění skupenství tuhé na kapalné. K ohřátí m (kg) na tavící teplotu je zapotřebí množství tepelné energie:

Q1 = m ⋅ c ⋅ (t 2 − t 1 ) = m ⋅ c ⋅ ∆t

[J]

m [kg] = hmotnost vsázky c J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 = měrná tepelná kapacita taveného kovu t 2 [°C] = tavící teplota t 1 [°C] = původní teplota

[

]

Vsázce ohřáté na teplotu tavení je nutno dodat další teplo, aby se roztavila. Toto teplo se nazývá skupenské teplo Q 2 J :

[]

Q 2 = m ⋅ l1,2

[J]

[

]

l1,2 = tzv. měrné skupenské teplo tavení J ⋅ kg −1 . Celkové potřebné množství tepelné energie, která je zapotřebí k roztavení m kg kovu bude:

Q c = Q1 + Q 2 = m ⋅ c ⋅ ∆t + m ⋅ l1,2 = m ⋅ (c ⋅ ∆t + l1,2 )

[J]

Tabulka tavících teplot a měrných skupenských tepel tavení pro vybrané kovy: Kov Bronz Hliník Litina Měď

Teplota tavení

[°C]

900 658 1150 až 1300 1083

[

l1,2 kJ ⋅ kg −1

]

Kov Mosaz Ocel Olovo Wolfram

394 96,3 209

-7-

[

Teplota tavení

[°C]

l1,2 kJ ⋅ kg −1

900 1350 327 3380

184 205 25,1 251

]

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA III 1.2.3.

© M.H. 2004

Změna skupenství kapalného na plynné

Zahřátím kapaliny na teplotu varu se kapalina začne měnit v páru. Teplo potřebné k ohřátí kapaliny na teplotu varu bude:

Q1 = m ⋅ c ⋅ (t v − t 1 )

[J]

t v = teplota varu (uvedena v tabulkách) Po zahřátí na teplotu varu nutno dodat další tepelnou energii nutnou k odpaření, tzv. výparné teplo:

Q 2 = m ⋅ l 2,3

[J]

l 2,3 = měrné výparné teplo v [J] (v tabulkách) Kapalná látka setrvává na teplotě

t v tak dlouho, dokud se všechna nepřemění v páru.

Opačným jevem, kdy teplo odvádíme (páru ochlazujeme), se pára mění zpět na kapalinu. Tento jev se nazývá kondenzace (zkapalňování). Podrobněji viz kapitola „Termodynamika par“.

Příklad 1 a) Jak velkou tepelnou energii potřebujeme k ohřátí výkovku o hmotnosti −1

m = 20 kg na kovací −1

teplotu t 2 = 950 °C z původní teploty t 1 = 20 °C ? c = 461 J ⋅ kg ⋅ K . b) Jak velký tepelný tok (tepelný výkon) musí zabezpečit topeniště ohřívací pece, má-li se v ní ohřát na kovací teplotu 5 výkovků za 20 minut? Účinnost η = 0,9 .

Ad a)

Q = m ⋅ c ⋅ ∆t =

Ad b)

& = Q ⋅x = Q τ ⋅η

Příklad 2 O kolik se zvětší vzdálenost valivých ložisek u hřídele převodovky, jestliže se hřídel při provozu zahřeje na teplotu

t 2 = 50 °C ? t 1 = 20 °C ; l 0 = 608 mm ; α = 12 ⋅ 10 −6 K −1 .

∆l = α ⋅ l0 ⋅ ∆t =

-8-


© M.H. 2004

Příklad 3

100 l vody z teploty t 1 = 15 °C na teplotu t 2 = 65 °C . Topné těleso má příkon Pe = 4 kW , účinnost η = 0,9 ; c = 4187 J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 .

Za jakou dobu se ohřeje v elektrickém bojleru

Pe =

Q Q m ⋅ c ⋅ ∆t ⇒τ= = = τ ⋅η Pe ⋅ η Pe ⋅ η

Příklad 4 a) Jak velké napětí v tlaku

σ d vznikne v rozpěrce průměru d = 40 mm , ohřeje-li se na teplotu

t 2 = 150 °C a neumožníme-li její teplotní dilataci? b) Jak velkou silou F působí rozpěrka při ohřátí na boční stěny? c) Dojde přitom k plastické deformaci rozpěrky? Materiál rozpěrky 11600 ;

σ K,d =& 0,6 ⋅ σ P,t ; α = 12 ⋅ 10 −6 K −1 ; E = 2 ⋅ 10 5 MPa ; t 1 = 20 °C .

Ad a)

σ d = α ⋅ E ⋅ ∆t =

Ad b)

F = S ⋅ σd =

Ad c)

σ K,d =& 0,6 ⋅ σ P,t =

1.3.

TERMODYNAMIKA PLYNŮ

1.3.1.

Stavové veličiny a stavová rovnice plynu

Stav plynu je určen třemi základními stavovými veličinami: tlakem

[

−1

]

p [Pa] ; teplotou T [K ] a měrným

objemem v m ⋅ kg . Změní-li se některé z uvedených veličin, změní se i stav plynu, nebo naopak při změně stavu plynu vlivem určitého termodynamického děje (např. komprese nebo expanze) se změní i stavové veličiny. 3

Obr.3: Vzájemná návaznost změn stavu plynu

-9-


© M.H. 2004

Stavové veličiny jsou vzájemně vázány matematickým vztahem:

p1 ⋅ v 1 p 2 ⋅ v 2 p 3 ⋅ v 3 = = = r = konst. T1 T2 T3 kde

[

]

r J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 je tzv. plynová konstanta. Pro různé plyny je uvedena v tabulkách.

Z uvedené rovnice vyplývá, že:

p1 ⋅ v 1 = r ⋅ T1 ; p 2 ⋅ v 2 = r ⋅ T2 ; p 3 ⋅ v 3 = r ⋅ T3 ; atd. Obecně pak platí vztah

[J ⋅ kg ] −1

p⋅v = r ⋅T

Tento vztah se nazývá stavová rovnice. Platí pro 1 kg plynu. Pro m kilogramů dostaneme

p ⋅ v ⋅m = r ⋅T ⋅m ; p ⋅ V = m⋅r ⋅T

v ⋅m = V

[J]

Získali jsme stavovou rovnici pro m kilogramů plynu. Tabulka plynových konstant vybraných plynů:

[

r J ⋅ kg −1 ⋅ K −1

Plyn Acetylen Čpavek Dusík Helium

1.3.2.

C2H2 NH3 N2 He

]

319,6 488,6 189 2079

[

r J ⋅ kg −1 ⋅ K −1

Plyn Kyslík Oxid uhličitý Vodík Vzduch

O2 CO2 H2 --

]

64 189 4128,6 287

Měrná tepelná kapacita plynu

U plynů rozlišujeme měrnou tepelnou kapacitu za stálého tlaku

c p a za stálého objemu c v . U

ideálního plynu předpokládáme, že hodnoty měrných tepelných kapacit se nemění s měnícími se stavovými veličinami. Poměr

cp cv

= χ se nazývá adiabatický exponent (Poissonova konstanta). Jeho velikost je pro

jednotlivé plyny uvedena v tabulkách. U dvouatomových plynů je přibližně

χ = 1,66 a u víceatomových plynů je χ ≤ 1,33 . cp = χ ⋅ c v ;

c p −c v = r

Řešením uvedených rovnic lze odvodit tyto matematické závislosti:

cp = r + cv ;

χ=

r + cv r = + 1; cv cv

- 10 -

χ −1=

r cv

χ = 1,4 , u jednoatomových


cv =

© M.H. 2004

r χ −1

cp =

χ ⋅r χ −1

Příklad 5 Jak velký příkon musí mít topné těleso pro ohřívač vzduchu, ve kterém se ohřeje z teploty

10 m 3 vzduchu

t 1 = 10 °C na t 2 = 25 °C za 1 minutu.

c p = 1005 J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 ; r = 287 J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 ; p = 0,1 MPa ; η = 0,78 . Q = c p ⋅ m ⋅ ∆t ;

& =P = Q Q e η⋅ τ

p ⋅ V = m ⋅ r ⋅ T1 ⇒ m =

Q=

Pe =

Příklad 6

p1 = 15 MPa při teplotě t 1 = 20 °C . Vypočítejte, jak se změní tlak v nádobě, jestliže se při požáru ohřeje na teplotu t 2 = 250 °C . V uzavřené tlakové nádobě je stlačen kyslík na tlak

p1 ⋅ v 1 p 2 ⋅ v 2 = T1 T2

v1 = v 2

p2 =

1.3.3. •

Komprese a expanze plynu Komprese (stlačování)

Komprese (stlačování) je termodynamický děj při němž se zmenšuje objem stlačovaného plynu a tlak se obvykle zvyšuje. Píst v poloze 1 se přitom posune do polohy 2 o zdvih L .

- 11 -


© M.H. 2004

Obr.4: Průběh komprese ve válci pístového stroje

Počáteční stav plynu (bod 1) je dán stavovými veličinami

p1, v 1, T1 a konečný stav (bod 2) stavovými

veličinami p 2 , v 2 , T2 . Průběh změny objemu a tlaku je čára spojující počátek a konec komprese, která se nazývá kompresní křivka (viz obr.4).

[

−1

]

Plocha pod kompresní křivkou označená a , je tzv. měrná absolutní práce J ⋅ kg . Velikost měrné absolutní práce je možno zjistit z grafického průběhu komprese tak, že bychom změnili vyšrafovanou plochu na obdélník o základně v 1v 2 a výšce p is . Tato výška představuje tzv. střední indikovaný tlak. Protože práce při stlačování je práce vynaložená, bude mít znaménko minus, kdežto práce získaná (např. při expanzi) bude mít znaménko plus.

a = p is ⋅ (v 2 − v 1 )

[J ⋅ kg ] −1

viz obr.4

v 2 < v 1 bude znaménko práce minus. Pro m [kg] plynu bude platit rovnice pro absolutní práci protože

A = m ⋅ p is ⋅ (v 2 − v 1 ) = p is ⋅ (V2 − V1 )

[J]

V1 = objem plynu ve válci, je-li píst v poloze 1 . V2 = objem plynu ve válci, je-li píst v poloze 2 . V1 − V2 = zdvihový objem válce. V termomechanice značíme malými písmeny měrné veličiny, tj. veličiny vztažené na Veličiny pro

m [kg] pak označujeme velkými písmeny. - 12 -

1 kg hmotnosti.

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA III Např:

© M.H. 2004

[

a J ⋅ kg −1 A [J]

]

Vraťme se nyní opět k obr.4. Plocha vyšrafovaná vodorovně od kompresní křivky je úměrná tzv. měrné technické práci

[

]

a t J ⋅ kg −1 . Tato práce je důležitá pro stanovení výkonu potřebného pro

provedení komprese, např. při výpočtu výkonu elektromotoru pohánějícího kompresor. Měrnou technickou práci můžeme vyjádřit z obr.4 a obr.5 sčítáním a odčítáním ploch.

Obr.5: Grafické znázornění určení měrné technické práce at

Matematické vyjádření:

[J ⋅ kg ] −1

a t = a − p 2 ⋅ v 2 + p1 ⋅ v 1 (− ) (− ) (− ) (+ ) Technická práce pro

… znaménka členů rovnice

m [kg] plynu

A t = m ⋅ a t = m ⋅ (a − p 2 ⋅ v 2 + p1 ⋅ v 1 ) = A − p 2 ⋅ V2 + p1 ⋅ V1 Potřebný teoretický výkon ke stlačení

P=

At τ

=

m ⋅ at τ

m [kg] plynu

= Qm ⋅ a t

[W ]

- 13 -

[J]


© M.H. 2004

Skutečný (efektivní) výkon potřebný ke kompresi

Pe =

P Qm ⋅ a t = η η

[W ]

η = celková účinnost •

Expanze (rozpínání)

Expanze (rozpínání) plynu je termodynamický děj při němž se objem zvětšuje a tlak obyčejně klesá. Píst se přitom posune z polohy 1 do polohy 2 (viz obr.6). Průběh změny objemu a tlaku graficky znázorňuje expanzní křivka.

Obr.6: Průběh expanze ve válci pístového stroje

Měrná absolutní práce

a je při expanzi získaná a má tedy znaménko plus.

a = p is ⋅ (v 2 − v 1 ) Pro

[J ⋅ kg ] −1

v 2 > v1

m [kg] plynu bude platit rovnice pro absolutní práci A = m ⋅ p is ⋅ (v 2 − v 1 ) = p is ⋅ (V2 − V1 )

[J]

Měrnou technickou práci odvodíme stejným způsobem jako u komprese.

a t = a + p1 ⋅ v 1 − p 2 ⋅ v 2 (+ ) (+ ) (+ ) (− )

[J ⋅ kg ] −1

… znaménka členů rovnice

- 14 -


© M.H. 2004

nebo také

a t = a − p 2 ⋅ v 2 + p1 ⋅ v 1 , což je shodné jako při kompresi. Technická práce získaná při expanzi pro

m [kg] plynu bude

A t = m ⋅ a t = m ⋅ (a − p 2 ⋅ v 2 + p1 ⋅ v 1 ) = A − p 2 ⋅ V2 + p1 ⋅ V1 Teoretický výkon získaný expanzí

P=

[J]

m [kg] plynu

A t m ⋅ at = = Qm ⋅ a t τ τ

[W ]

Skutečný (efektivní) výkon získaný expanzí

[W ]

Pe = P ⋅ η = Q m ⋅ a t ⋅ η

Příklad 7

p1 = 0,1 MPa a teplotě t 1 = 20 °C . Tento vzduch se ve válci stlačí tak, že se jeho objem zmenší 5 krát. Tlak při kompresi vzduchu vzroste na p 2 = 0,6 MPa . r = 287 J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 ; η = 0,82 ; p is = 0,2 MPa ; Q v = 5 l ⋅ s −1 . Pístový kompresor nasává vzduch o tlaku

Vypočítejte: a) Měrné objemy vzduchu na počátku a na konci komprese b) Měrnou absolutní a technickou práci c) Hmotnostní tok kompresorem

(a, a t ) .

(Q m ) .

d) Teoretický a skutečný výkon potřebný ke kompresi e) Teplotu vzduchu na konci komprese

ad a)

p1 ⋅ v 1 = r ⋅ T1 ⇒ v 1 = v2 =

ad b)

(T2 , t 2 ) .

v1 = 5

a = p is ⋅ (v 2 − v 1 ) = a t = a − p 2 ⋅ v 2 + p1 ⋅ v 1 =

ad c)

Q m = Q v ⋅ ρ1 = Q v ⋅

1 = v1

- 15 -

(v 1, v 2 ) .

(P,Pe ) .

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA III ad d)

P = Qm ⋅ a t =

Pe =

ad e)

© M.H. 2004

P = η

p 2 ⋅ v 2 = r ⋅ T2 ⇒ T2 = t 2 = T2 − 273 =

Příklad 8 Ve spalovacím motoru expandují spaliny z tlaku

p1 = 3,8 MPa

na tlak

p 2 = 0,2 MPa ;

p is = 1,4 MPa ; η = 0,87 . Měrný objem spalin se při expanzi zvětší 10 krát. Teplota spalin je t 1 = 600 °C . Obsah válců motoru Vc = 1 dm 3 , otáčky n = 4800 min −1 . Motor je čtyřdobý,nasává každou druhou otáčku. Hustota nasávaného vzduchu je

ρ 0 = 1,25 kg ⋅ m −3 , r = 290 J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 .

Vypočítejte: a) Měrný objem spalin na začátku a na konci expanze

(a, a t ) . Objemový a hmotnostní tok spalin (Q v , Q m ) .

(v 1, v 2 ) .

b) Měrnou absolutní a technickou práci c)

d) Teoretický a skutečný výkon získaný při expanzi e) Teplotu spalin na konci expanze

ad a)

(T2 , t 2 ) .

(P,Pe ) .

p1 ⋅ v 1 = r ⋅ T1 ⇒ v 1 = v 2 = 10 ⋅ v 1 =

ad b)

a = p is ⋅ (v 2 − v 1 ) = a t = a − p 2 ⋅ v 2 + p1 ⋅ v 1 =

ad c)

Qv =

n ⋅ Vc = 2

Qm = Q v ⋅ ρ0 = ad d)

P = Qm ⋅ a t = - 16 -


© M.H. 2004

Pe = P ⋅ η = ad e)

p 2 ⋅ v 2 = r ⋅ T2 ⇒ T2 = t 2 = T2 − 273 =

1.3.4.

Vnitřní energie

Určitý termodynamický stav plynu je dán základními stavovými veličinami p, v, T . Každý stav plynu je mimoto reprezentován zcela určitou hodnotou vnitřní energie, která závisí na měrné tepelné kapacitě c v a absolutní teplotě T . Pro

m [kg] plynu je vnitřní energie U = m⋅cv ⋅T

a pro

[J]

1 [kg] je u = cv ⋅T

[J ⋅ kg ] −1

V termodynamických výpočtech nás zajímá změna vnitřní energie

∆u = u 2 − u1 = c v ⋅ (T2 − T1 ) = c v ⋅ ∆T = c v ⋅ ∆t 1.3.5. •

I. zákon termodynamiky Komprese

Obr.7

- 17 -

[J ⋅ kg ] −1


© M.H. 2004

Na obr.7 je schematicky znázorněn obecný tepelný stroj (obecná termodynamická soustava). Plyn v tomto zařízení je ve stavu 1 , který je dán veličinami p1, v 1, T1 a určitou vnitřní energií U1 . Při

2 , jenž je dán veličinami p 2 , v 2 , T2 a vnitřní energií U2 . Při kompresi přivedeme (odvedeme) určité teplo Q a spotřebujeme určitou práci (− A ) . Přivedené teplo bude kladné (+ ) a spotřebovaná (přivedená) práce bude záporná (− ) . kompresi se jeho stav změní na

Pro změnu vnitřní energie bude platit vztah

∆U = U2 − U1 = Q + (− A )

[J]

∆U = U2 − U1 = Q − A

[J]

Tato rovnice se nazývá I. zákon termodynamiky a je v podstatě matematickým vyjádřením zákona o zachování energie. Slovní znění: Změna vnitřní energie plynu při kompresi se rovná součtu přivedené (odvedené) tepelné energie a spotřebované práce (viz první rovnice). I. zákon termomechaniky můžeme zapsat i takto

∆U = m ⋅ c v ⋅ (T2 − T1 ) = Q − A Pro

[J]

1 [kg] plynu bude platit ∆u = u 2 − u1 = q − a

nebo

•

∆u = c v ⋅ (T2 − T1 ) = q − a

[J ⋅ kg ] [J ⋅ kg ] −1

−1

Expanze

Při expanzi se změní znaménka pro změnu vnitřní energie, pro přivedené (odvedené) teplo a také práce změní znaménko, jelikož se jedná o práci získanou expanzí. I. zákon termodynamiky pak bude vyjádřen:

∆U = U2 − U1 = −Q + A

[J]

∆U = m ⋅ c v ⋅ (T2 − T1 ) = −Q + A [J] Pro

1 [kg] plynu pak bude platit: ∆u = u 2 − u1 = q − a

nebo

∆u = c v ⋅ (T2 − T1 ) = q − a

[J ⋅ kg ] [J ⋅ kg ] −1

−1

- 18 -


© M.H. 2004

II. Zákon termodynamiky

Obr.8

Na obr.8 je tepelný stroj, kam přivádíme tepelnou energii a odvádíme odtud práci. Tato práce je opět určitým množstvím energie. Toto množství odvedené energie je vždy menší než energie přivedená.

A O < QP Rozdíl

Poměr

… II. zákon termodynamiky

Q P − A O = E Z je tepelná ztráta (ztrátová tepelná energie). AO < 1 se nazývá tepelná účinnost η t . QP ηt =

A O QP − E Z E = = 1− Z < 1 QP QP QP

[−]

Tepelná účinnost je vždy menší než 1 . Neexistuje tepelný stroj nebo zařízení, u něhož by byla získaná (odvedená) práce větší než přivedené teplo. Odporovalo by to zákonu o zachování energie. Uvedená věta je slovním vyjádřením II. zákon termodynamiky. Pro

1 [kg] plynu pak bude platit: aO =

[J ⋅ kg ]

AO Q E ; qP = P ; YZ = Z m m m

−1

Tepelná účinnost:

ηt =

a O qP − YZ Y = = 1− Z < 1 qP qP qP

[−]

Příklad 9 Spalovací motor o teoretickém výkonu paliva o výhřevnosti

P = 55 kW spotřebuje za hodinu provozu m P = 1,5 kg −1

qH = 46 ⋅ 10 J ⋅ kg . S jakou tepelnou účinností motor pracuje? 6

- 19 -


© M.H. 2004

Q P = m P ⋅ qH = AO = P ⋅ τ = ηt =

1.3.7.

Entalpie

U = m ⋅ c v ⋅ T [J] a tlaková energie vztahem E tl = p ⋅ V = m ⋅ p ⋅ v [J]. Součet těchto dvou energií se nazývá entalpie I .

Vnitřní

energie

plynu

je

dána

vztahem

I = U + E tl = m ⋅ c v ⋅ T + m ⋅ p ⋅ v = m ⋅ (c v ⋅ T + p ⋅ v ) Pro

[J]

1 [kg] plynu pak bude platit: i=

[J ⋅ kg ]

I = cv ⋅T + p⋅ v = u + p⋅ v m

−1

I. zákon termodynamiky má pro kompresi tvar Měrnou absolutní práci vyjádříme z rovnice

∆u = u 2 − u1 = q − a .

a t = a − p 2 ⋅ v 2 + p1 ⋅ v 1 ⇒ a = a t + p 2 ⋅ v 2 − p1 ⋅ v 1

a dosazením do I. zákona termodynamiky dostaneme:

u 2 − u1 = q − a t − p 2 ⋅ v 2 + p 1 ⋅ v 1 u 2 + p 2 ⋅ v 2 − (u1 + p1 ⋅ v 1 ) = q − a t

Protože

u 2 + p 2 ⋅ v 2 = i2 ;

u1 + p1 ⋅ v 1 = i1

∆i = i 2 − i1 = q − a t

[J ⋅ kg ] −1

i 2 − i1 = c p ⋅ (T2 − T1 ) , lze pak napsat: ∆i = c p ⋅ (T2 − T1 ) = q − a t

[J ⋅ kg ] −1

Podobně lze odvodit pro expanzi:

∆i = i1 − i 2 = −q + a t

[J ⋅ kg ] −1

nebo

∆i = c p ⋅ (T1 − T2 ) = −q + a t

[J ⋅ kg ] −1

- 20 -


© M.H. 2004

Shrnutí: I. zákon termodynamiky lze vyjádřit dvěma způsoby: a) Změna vnitřní energie se rovná součtu přivedeného nebo odvedeného tepla a spotřebované nebo získané absolutní práce. b) Změna entalpie se rovná součtu přivedeného nebo odvedeného tepla a spotřebované nebo získané technické práce. Matematická vyjádření pro obě varianty pro kompresi i expanzi jsou uvedena v následující tabulce:

Komprese

Expanze

∆u = u 2 − u1 = q − a

∆i = i 2 − i1 = q − a t

∆u = u 2 − u1 = −q + a

∆i = i1 − i 2 = −q + a t

∆u = c v ⋅ (T2 − T1 ) = q − a ∆u = c v ⋅ (T2 − T1 ) = −q + a

∆i = c p ⋅ (T2 − T1 ) = q − a t ∆i = c p ⋅ (T1 − T2 ) = −q + a t

Příklad 10

p1 = 1 MPa při teplotě t 1 = 10 °C . Na přímém slunci se 3 −1 −1 zásobník ohřeje na teplotu t 2 = 55 °C . Objem zásobníku je V = 1 m ; r = 287 J ⋅ kg ⋅ K ; c v = 714 J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 .

V zásobníku je vzduch stlačený na tlak

Vypočítejte: a) Na jakou hodnotu vzroste při ohřátí tlak b)

(p 2 = ?) . Kolik kg vzduchu je v zásobníku (m = ? ) . Vypočítejte změnu vnitřní energie (∆u = ?; ∆U = ? ) .

c) d) Jedná se o přírůstek nebo úbytek? e) Kolik tepla vzduch při ohřátí přijal q = ?; Q

(

= ?)

Řešte použitím I. zákona termodynamiky.

ad a)

(v 1 = v 2 !) ; p2 =

ad b)

v1 =

m=

ad c)

∆u =

∆U = - 21 -


© M.H. 2004

ad d)

Znaménko ∆u je

ad e)

u 2 − u1 = c v ⋅ ∆T = q − a ;

. Jedná se o

vnitřní energie.

a = p is ⋅ (v 2 − v 1 ) =

q= Q= Znaménko q je

1.3.8.

. Jedná se o

teplo.

Entropie

Entropie je termodynamická veličina, která udává podíl přivedeného nebo odvedeného tepla připadajícího na jeden teplotní stupeň 1 K . Jedná se o veličinu těžko představitelnou, proto se na ni dívejme pouze jako na matematický výraz. Používá se nejčastěji při grafickém znázorňování termodynamických jevů v tzv. „entropickém diagramu“ T − S; T − s . Na vodorovnou osu vynášíme entropii (resp. její změnu) a na svislou osu absolutní teplotu.

( )

(

[

]

)

[

]

m [kg] plynu entropii označujeme S J ⋅ K −1 , pro 1 [kg] pak s J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 . Platí přitom závislost S = s ⋅ m .

Pro

Obr.9

Na obr.9 je nakreslen stav plynu, jenž je určen teplotou Přivedeme-li určité množství tepla vzroste na hodnotu

T1 = T a entropií S1 .

Q P (při konstantní teplotě), změní se stav 1 na stav 2 . Entropie

S 2 > S1 .

- 22 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA III Přivedené teplo

© M.H. 2004

Q P je úměrné vyšrafované ploše v diagramu a jeho velikost je:

[J]

Q P = T ⋅ (S 2 − S1 ) = T ⋅ ∆S Změna entropie potom bude

∆S =

QP T

[J ⋅ kg ] −1

Odvedeme-li určité množství tepla

Q O , změní se stav 1 na stav 3 . Entropie nyní klesne na hodnotu

S 3 < S1 . Odvedené teplo

Q O je úměrné druhé vyšrafované ploše v diagramu a jeho velikost je:

[J]

Q O = T ⋅ (S 3 − S1 ) = T ⋅ ∆S Změna entropie potom bude

∆S =

QO T

[J ⋅ kg ] −1

S 2 > S1 a změna entropie ∆S má znaménko plus, teplo bylo přivedeno. V druhém případě, kdy S 3 < S1 , bude mít ∆S znaménko minus a teplo bude odvedeno. V prvním případě je

Pro

1 [kg] plynu budou platit vztahy:

Přírůstek entropie:

∆s =

Q q ∆S = P = P m m⋅T T

[J ⋅ kg

⋅ K −1

]

Úbytek entropie:

∆s =

q ∆S Q O = = O J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 m m⋅T T

]

−1

[

Změnu entropie lze stanovit z následujících vztahů:

∆s = 2,3 ⋅ c p ⋅ log

p T2 − 2,3 ⋅ r ⋅ log 2 p1 T1

[J ⋅ kg

−1

⋅ K −1

]

∆s = 2,3 ⋅ c v ⋅ log

T2 v − 2,3 ⋅ r ⋅ log 2 T1 v1

[J ⋅ kg

−1

⋅ K −1

]

- 23 -


© M.H. 2004

Změny stavu plynu

Jak již bylo uvedeno dříve, je stav plynu dán základními stavovými veličinami p, v, T. Při změně stavu se nejméně dvě z těchto veličin změní. Změny stavu plynu mohou probíhat buď vratně, kdy plyn přejde ze stavu 1 do stavu 2 a opět může zpětně přejít do stavu 1 nebo nevratně, kdy plyn po přechodu ze stavu 1 do stavu 2 se nemůže vrátit do původního stavu 1 .

Obr.10 Grafické znázornění vratného a nevratného termodynamického děje

•

Vratné změny stavu plynu

Přechod plynu z jednoho stavu do druhého a zpět do výchzího může proběhnout za různých termodynamických podmínek: 1. Změna za stálého tlaku (izobarická)

p = konst.

2. Změna za stálého objemu (izochorická)

v = konst.

3. Změna za stálé teploty (izotermická)

T = konst.

4. Změna za stálé entropie (izoentropická, adiabatická)

s = konst . ; Q = 0

5. Obecná vratná změna (polytropická)

Všechny tyto uvedené změny stavu plynu mohou probíhat vratně buď jako komprese, nebo jako expanze. Změny stavu lze graficky znázornit v diagramech p − v (tlak – měrný objem) nebo T − s (teplota – entropie) viz obr. 11. V těchto diagramech jsou zobrazeny křivky konstantních stavových veličin ( p = konst. , v = konst. , T = konst. ).

- 24 -


© M.H. 2004

Obr.11 Princip diagramů p-v a T-s

A. Změna za stálého tlaku (izobarická) •

Komprese

(p = konst.)

Obr.12 Znázornění izobarické komprese v diagramech p-v a T-s

p1 ⋅ v 1 = r ⋅ T1 p 2 ⋅ v 2 = r ⋅ T2 _____________

v 1 T1 = v 2 T2

Gay-Lussacův zákon

- 25 -


© M.H. 2004

(

)

Měrná absolutní práce je a = p ⋅ v 2 − v 1 . Protože v 2 < v 1 , bude mít tato práce znaménko minus. Je to měrná absolutní práce spotřebovaná při kompresi. Z diagramu p − v je vidět, že měrná technická práce je nulová:

at = 0 . ∆u = u 2 − u1 = c V ⋅ (T2 − T1 )

Změna vnitřní energie:

Protože T2 < T1 , má změna měrné vnitřní energie znaménko minus. Jedná se o úbytek vnitřní energie. Teplo q určíme z I. zákona termodynamiky.

∆i = i 2 − i1 = q − a t

at = 0

[J ⋅ kg ]

q = i 2 − i1 = c p ⋅ (T2 − T1 )

−1

Znaménko bude minus, teplo odvádíme (chladíme). Jestliže v diagramu T − s je s 2 < s1 , teplo se odvádí, jestliže •

Expanze

s 2 > s1 , teplo se přivádí.

(p = konst.)

Obr.13 Znázornění izobarické expanze v diagramech p-v a T-s

(

)

Měrná absolutní práce je a = p ⋅ v 2 − v 1 . Protože v 2 > v 1 , bude mít tato práce znaménko plus. Je to měrná absolutní práce získaná při expanzi. Z diagramu p − v je vidět, že měrná technická práce je nulová:

at = 0 .


∆u = u 2 − u1 = c V ⋅ (T2 − T1 )

Protože T2 > T1 , má změna měrné vnitřní energie znaménko plus. Jedná se o přírůstek vnitřní energie. Teplo q určíme z I. zákona termodynamiky.

∆i = i1 − i 2 = −q + a t

at = 0

− q = i1 − i 2 = c p ⋅ (T1 − T2 ) − q = −c p ⋅ (T2 − T1 )

- 26 -


© M.H. 2004

q = c p ⋅ (T2 − T1 )

[J ⋅ kg ] −1

Znaménko bude plus, teplo přivádíme. Jestliže v diagramu T − s je s 2 > s1 , teplo se přivádí.

B. Změna za stálého objemu (izochorická) •

Komprese

(v = konst.)

Obr.14 Znázornění izochorické komprese v diagramech p-v a T-s

p1 ⋅ v 1 = r ⋅ T1 p 2 ⋅ v 2 = r ⋅ T2 _____________

p1 T1 = p 2 T2

Charlesův zákon

Měrná absolutní práce a = 0 (viz obr.14). Měrná technická práce

a t = v ⋅ (p1 − p 2 ) . Protože p1 < p 2 , bude mít měrná technická práce

znaménko minus. Je to práce spotřebovaná na kompresi. Změna vnitřní energie: Protože energie.

∆u = u 2 − u1 = c V ⋅ (T2 − T1 )

[J ⋅ kg ] −1

T2 > T1 , má změna měrné vnitřní energie znaménko plus. Jedná se o přírůstek vnitřní

Teplo q určíme ze vztahu:

∆u = u 2 − u1 = q − a q = u 2 − u1 = c V ⋅ (T2 − T1 )

- 27 -

a=0

[J ⋅ kg ] −1

T2 > T1


© M.H. 2004

Měrné teplo se rovná přírůstku vnitřní energie. Znaménko plus znamená, že jde o teplo přivedené. V diagramu T − s je s 2 > s1 , teplo se přivádí. Měrnou technickou práci

a t lze stanovit také z I. zákona termodynamiky:

a t = q − c p ⋅ (T2 − T1 ) = c v ⋅ (T2 − T1 ) − c p ⋅ (T2 − T1 ) a t = (c v − c p ) ⋅ (T2 − T1 ) Protože

[J ⋅ kg ] −1

c v < c p , vyjde výsledek se znaménkem minus, práce spotřebovaná. •

Expanze

(v = konst.)

Obr.15 Znázornění izochorické expanze v diagramech p-v a T-s

Měrná absolutní práce a = 0 (viz obr.15). Měrná technická práce

a t = v ⋅ (p1 − p 2 ) . Protože p1 > p 2 , bude mít měrná technická práce

znaménko plus. Je to práce získaná při expanzi plynu.

∆u = u 2 − u1 = c V ⋅ (T2 − T1 )


[J ⋅ kg ] −1

Protože T2 < T1 , má změna měrné vnitřní energie znaménko minus. Jedná se o úbytek měrné vnitřní energie. Teplo q určíme ze vztahu:

∆u = −q + a

a=0

− q = u 2 − u1 = c V ⋅ (T2 − T1 )

[J ⋅ kg ] −1

Měrné teplo se rovná úbytku vnitřní energie. Znaménko minus, teplo je odvedené. V diagramu T − s je

s 2 < s1 , teplo se odvádí.

Měrnou technickou práci

a t lze stanovit také z I. zákona termodynamiky:

a t = q + c p ⋅ (T1 − T2 ) = q − c p ⋅ (T2 − T1 )

- 28 -


© M.H. 2004

a t = (c v − c p ) ⋅ (T2 − T1 ) Protože

[J ⋅ kg ] −1

T2 < T1 a c v < c p , mají obě závorky znaménka minus, tedy výsledné znaménko a t je

plus. Je to práce získaná při expanzi.

C. Změna za stálé teploty (izotermická) •

Komprese

(T = konst.)

Obr.16 Znázornění izotermické komprese v diagramech p-v a T-s

p1 ⋅ v 1 = r ⋅ T1 p 2 ⋅ v 2 = r ⋅ T2 _____________

p1 ⋅ v 1 = 1 ⇒ p1 ⋅ v 1 = p 2 ⋅ v 2 p2 ⋅ v 2 Z rovnice

Boyle-Mariotteův zákon

a t = a − p 2 ⋅ v 2 + p1 ⋅ v 1 , že a t = a .

Z I. zákona termodynamiky plyne:

u 2 − u1 = q − a = c v ⋅ (T2 − T1 ) ;

T1 = T2 odtud q = a

Při izotermické změně se velikost měrné vnitřní energie nemění, platí Měrné teplo má stejnou velikost jako obě měrné práce, tedy Protože v diagramu T − s je odvedené.

u1 = u 2 .

q = a = at .

s 2 < s1 , bude mít měrné teplo q znaménko minus, jde tedy o teplo

Stejné znaménko musí mít i absolutní a technická práce (spotřebovaná při kompresi).

- 29 -


© M.H. 2004

Odvedené měrné teplo lze vypočítat ze vztahu:

q = (s 2 − s1 ) ⋅ T  T p  q = ∆s ⋅ T =  2,3 ⋅ c p ⋅ log 2 − 2,3 ⋅ r ⋅ log 2  ⋅ T T1 p1   T2 = T1 = T ………. q = −2,3 ⋅ r ⋅ T ⋅ log

p2 p1

log

T2 = log1 = 0 T1

znaménko minus = teplo odvedené

K výpočtu mužeme použít také vztah:

 T v  q = ∆s ⋅ T =  2,3 ⋅ c v ⋅ log 2 + 2,3 ⋅ r ⋅ log 2  ⋅ T T1 v1   q = 2,3 ⋅ r ⋅ T ⋅ log

•

Expanze

v2 v1

v 2 < v 1 ; log

v2 <0 v1


(T = konst.)

Obr.17 Znázornění izotermické expanze v diagramech p-v a T-s

at = a = q Znaménko všech veličin je plus. Obě měrné práce jsou získané při expanzi. Měrné teplo je teplo přivedené. V diagramu T − s vidíme, že s 2 > s1 . Entropie roste vlivem přivedeného tepla.

q = −2,3 ⋅ r ⋅ T ⋅ log

p2 p1

p 2 < p1 ; log

- 30 -

p2 <0 p1



© M.H. 2004

Znaménko tedy bude plus, jedná se o teplo přivedené. Měrné teplo můžeme také určit z rovnice:

q = 2,3 ⋅ r ⋅ T ⋅ log

v2 v1

v 2 > v 1 ; log

v2 >1 v1

U izotermické změny se při kompresi spotřebovaná technická práce rovná odvedenému teplu a práce získaná při expanzi se rovná teplu přivedenému.

D. Změna při konstantní entropii – teplo se nepřivádí ani neodvádí (změna izoentropická, adiabatická) •

Komprese

(s = konst. q = 0 )

Obr.18 Znázornění izoentropické komprese v diagramech p-v a T-s

Křivka znázorňující izoentropickou kompresi se nazývá adiabata. Má strmější průběh než izoterma. Rovnice izotermy:

p1 ⋅ v 1 = p 2 ⋅ v 2

Rovnice adiabaty:

p1 ⋅ v 1χ = p 2 ⋅ v χ2

kde

χ=

cp cv

je tzv. adiabatický exponent. Pro dvouatomové plyny je

χ ≅ 1,4 .

∆u = u 2 − u1 = q − a Z diagramu T − s je patrné, že

− a = u 2 − u1

q = 0.

tedy

[J ⋅ kg ]

a = c v ⋅ (T1 − T2 ) Protože T1 kompresi).

a = u1 − u 2 −1

< T2 , bude mít měrná absolutní práce znaménko minus (práce vynaložená na

i 2 − i1 = q − a t

q=0

- 31 -


© M.H. 2004

i 2 − i1 = −a t Protože

neboli

a t = i1 − i 2 = c p ⋅ (T1 − T2 )

T1 < T2 , bude mít i měrná technická práce znaménko minus.

Ze vztahu

χ=

cp cv

⇒ cp = χ ⋅ c v .

[J ⋅ kg ]

a t = c p ⋅ (T1 − T2 ) = χ ⋅ c v ⋅ (T1 − T2 ) = χ ⋅ a

−1

χ -krát větší než měrná práce absolutní.

Měrná technická práce je

Měrnou absolutní práci je možno vypočítat i z tlaků χ −1   χ   p 1  2 a= ⋅p1 ⋅v 1 ⋅ 1 −      p1   χ −1  

p1, p 2 a měrného objemu v 1 :

[J ⋅ kg ] −1

A měrná technická práce pak bude: χ −1   χ   p χ  2 ⋅p1 ⋅v 1 ⋅ 1 −    at = χ ⋅ a =   p1   χ −1  

Změna měrné vnitřní energie bude Protože

[J ⋅ kg ] −1

∆u = u 2 − u1 = c v ⋅ (T2 − T1 ) .

T2 > T1 , bude mít ∆u znaménko plus, jedná se o přírůstek vnitřní energie. •

Expanze

(s = konst. q = 0 )

Obr.19 Znázornění izoentropické epanze v diagramech p-v a T-s

∆u = u 2 − u1 = −q + a

q=0

a = u1 − u 2 = c V ⋅ (T1 − T2 )

T1 > T2 - 32 -


© M.H. 2004

Měrná absolutní práce bude mít znaménko plus. Je to práce získaná při expanzi. Podobně měrná technická práce a t = χ ⋅ a bude mít znaménko plus. Změna vnitřní energie:

∆u = u 2 − u1 = c v ⋅ (T2 − T1 )

[J ⋅ kg ] −1

Protože T2 < T1 , bude mít změna měrné vnitřní energie znaménko minus, jedná se o úbytek vnitřní energie při expanzi. Porovnáme-li velikost měrné absolutní práce a se změnou vnitřní energie ∆u , tak při izoentropické kompresi se vynaložená měrná absolutní práce rovná přírůstku měrné vnitřní energie a při izoentropické expanzi se získaná měrná absolutní práce rovná úbytku měrné vnitřní energie, neboli absolutní práce se získá při expanzi na úkor vnitřní energie.

E. Obecná vratná změna (polytropická)

U tepelných strojů neprobíhá komprese a expanze přesně podle izotermy nebo adidabaty, ale podle obecné kompresní či expanzní křivky, která se nazývá polytropa. Polytropa se liší od adiabaty exponentem u měrných objemů a její průběh leží mezi průběhem izotermy a adiabaty.

Rovnice izotermy:

p1 ⋅ v 1 = p 2 ⋅ v 2

Rovnice adiabaty:

p1 ⋅ v 1χ = p 2 ⋅ v χ2

Rovnice polytropy:

p1 ⋅ v 1n = p 2 ⋅ v n2

n = polytropický exponent 1 < n < χ •

Komprese (polytropická)

Obr.20 Znázornění polytropické komprese v diagramech p-v a T-s

Na obr.20 je pro porovnání uveden i průběh izotermické a adiabatické komprese. Protože polytropický exponent n může mít v intervalu 1 až χ různou hodnotu, existuje teoreticky nekonečně mnoho různých polytropických křivek. - 33 -


© M.H. 2004

Měrná absolutní práce se vypočítá podobně jako u změny izoentropické: n −1   n   p 1  2 a= ⋅p1 ⋅v 1 ⋅ 1 −      p1   n −1  

[J ⋅ kg ] −1

Měrná technická práce: n −1   n   p n  2 at = n ⋅ a = ⋅p1 ⋅v 1 ⋅ 1 −      p1   n −1  

[J ⋅ kg ] −1

Měrné teplo:

q= Protože

n−χ ⋅ c v ⋅ (T2 − T1 ) n −1

[J ⋅ kg ] −1

n < χ , bude mít q znaménko minus. Je to teplo odvedené.


[J ⋅ kg ]

∆u = u 2 − u1 = q − a = c v ⋅ (T2 − T1 )

−1

Protože je T2 > T1 , bude mít změna vnitřní energie znaménko plus. ∆u je pak přírůstek měrné vnitřní energie při kompresi. •

Expanze (polytropická)

Obr.21 Znázornění polytropické expanze v diagramech p-v a T-s

Měrná absolutní a technická práce při expanzi se vypočítá podle stejných vztahů jako při kompresi. Znaménko u obou měrných prací je plus, jedná se o práce získané při expanzi. Měrné teplo:

q=

n−χ ⋅ c v ⋅ (T2 − T1 ) n −1

[J ⋅ kg ] −1

- 34 -


© M.H. 2004

n < χ a T2 < T1 , vyjde znaménko pro měrné teplo q plus. Jedná se o teplo přivedené. Patrné to je i z T − s diagramu, protože entropie roste (s 2 > s1 ) - teplo se přivádí.

Protože


∆u = u 2 − u1 = −q + a ∆u = c v ⋅ (T2 − T1 )

T2 < T1

Znaménko je minus. ∆u je úbytek měrné vnitřní energie při expanzi.

Příklad 11

Q v = 100 l ⋅ s −1 z teploty t 1 = 10 °C na t 2 = 30 °C při topného tělesa je η = 0,88 ; c v = 714 J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 ;

V elektrickém ohřívači vzduchu se ohřívá tlaku

p = 0,1 MPa . −1

Účinnost −1

c p = 1005 J ⋅ kg ⋅ K ; r = 287 J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 . Vypočítejte: a) Měrné objemy chladného a ohřátého vzduchu b) Změnu vnitřní energie

(∆u, ∆U)

c) Tepelnou energii potřebnou k ohřátí d) Tepelný tok potřebný k ohřívání e) Příkon topného tělesa

(Pe )

(Q& )

(v 1, v 2 )

1 kg vzduchu a zadaného množství za 1 s (q, Q )

p1 = p 2 = p ad a)

p1 ⋅ v 1 = r ⋅ T1 ⇒ v 1 =

p 2 ⋅ v 2 = r ⋅ T2 ⇒ v 2 = ad b)

∆u = u 2 − u1 = c v ⋅ (T2 − T1 ) =

Qm = Q v ⋅

1 = v1

∆U = m ⋅ ∆u = ad c)

i1 − i 2 = −q + a t

(pro

at = 0

- 35 -

100 l vzduchu za 1 s )


© M.H. 2004

q = i 2 − i1 = c p ⋅ (T2 − T1 ) = Q = m⋅q =

ad d)

& = Q; Q τ

(pro

100 l vzduchu za 1 s )

τ = 1s

& =Q= Q τ

ad e)

Pe =

& Q = η

Přiklad 12

V = 0,5 m 3 . Je natlakován na tlak p1 = 0,7 MPa při teplotě t 1 = 20 °C . Přivedením tepla Q = 10 5 J se vzduch ohřeje na teplotu t 2 . c v = 714 J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 ; r = 287 J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 .

Zásobník vzduchu má objem

Vypočítejte:

(v ) Hmotnost vzduchu v zásobníku (m)

a) Měrný objem vzduchu v zásobníku b)

(∆u, ∆U) Na jakou teplotu se vzduch ohřeje (t 2 , T2 )

c) Změnu vnitřní energie při ohřátí vzduchu d)

e) Jak se změní tlak v zásobníku ohřátím na teplotu

v1 = v 2 = v ad a)

p1 ⋅ v 1 = r ⋅ T1 ⇒ v 1 = v =

ad b)

V = m⋅v ⇒ m =

ad c)

∆U = U2 − U1 = Q − A

A=0

∆U = Q =

- 36 -

t 2 (p 2 )


∆u =

ad d)

© M.H. 2004

∆U = m

∆u = c v ⋅ (T2 − T1 ) ⇒ T2 = t2 =

ad e)

p 2 ⋅ v 2 = r ⋅ T2 ⇒ p 2 =

Příklad 13 Porovnejte požadované hodnoty pro izotermickou, izoentropickou a polytropickou kompresi vzduchu v pístovém kompresoru. Výsledky sestavte do tabulky.

p1 = 0,1 MPa ; p 2 = 0,6 MPa ;

t 1 = 20°C ; r = 287 J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 ;

c p = 1005 J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 ; χ = 1,4 ; n = 1,25 ; τ = 0,1 s −1 ; m = 5 kg . Vypočítejte:

(v 1, v 2 ) Teplotu vzduchu na výstupu z kompresoru (t 2 , T2 ) Změnu vnitřní energie (∆u, ∆U) Odvedené teplo při kompresi (q, Q ) Měrnou absolutní a technickou práci (a, a t ) Absolutní a technickou práci (A, A t ) Teoretický výkon potřebný ke kompresi vzduchu (P )

a) Měrné objemy na začátku a na konci komprese b) c) d) e) f) g)

- 37 -

c v = 714 J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 ;


© M.H. 2004

• Nevratné změny stavu plynu Nevratné termodynamické změny probíhají pouze jedním směrem. Plyn, jenž přejde z výchozího stavu 1 do stavu 2 , nelze se vrátit stejnou cestou zpět do původního stavu 1 . A. Škrcení plynu

Obr.22 Princip škrcení vzdušin (tlaková redukce)

Na obr.22 je nakreslen princip škrcení stlačeného plynu. Jde zde v podstatě o redukci tlaku

p1 na tlak

p 2 < p1 . Škrtícím ventilem může proudit vzdušina pouze v jednom směru, a to z místa s vyšším tlakem p1 do místa s nižším tlakem p 2 . Tento děj nelze realizovat v opačném směru! Při škrcení plynu se nekoná žádná práce, teplo se nepřivádí ani neodvádí. V e skutečnosti se jedná o značně složitý termodynamický proces. Pro expanzi platí I. zákon termodynamiky:

i1 − i 2 = −q + a

q=0

at = 0

i1 − i 2 = 0 ⇒ i1 = i 2 Škrcení vzdušiny lze považovat za děj, při němž se nemění entalpie (izoentalpický). Tento proces je možno graficky znázornit ve zvláštních diagramech i − s a i − log p .

Obr.23 Znázornění průběhu škrcení vzdušin v diagramech i - s a i – log p

- 38 -


© M.H. 2004

Škrcení je průvodním jevem v různých potrubích, v nichž je vřazena uzavírka (ventil, klapka, šoupátko, kohout), která je při určitých provozních režimech přivřena (přiškrcený průtok). Pak dochází vlivem škrcení k tlakové redukci (poklesu tlaku), což je nehospodárné.

B. Mísení plynů Mísení plynů patří také do nevratných termodynamických procesů. Tento děj probíhá např. v hořáku plynových spotřebičů, svařovacích aparátů, v topeništích pecí, parních generátorů, ve směšovacích zařízeních u plynových spalovacích motorů atd.

Obr.24 Princip nevratného procesu při mísení plynů

C. Nevratná adiabatická komprese nebo expanze Na obr.25 je znázorněna vratná a nevratná adiabatická komprese a expanze. Tenkou čarou jsou označeny děje vratné, silnou čarou děje nevratné (K – nevratná komprese, E – nevratná expanze).

Obr.25 Nevratná adiabatická komprese a expanze v diagramu T – s

Návaznost nevratných adiabatických kompresí a expanzí je naznačena na obr.26.

- 39 -


© M.H. 2004

Obr.26 Návaznost nevratných adiabatických kompresí a expanzí v diagramu T – s

S nevratnou adiabatickou kompresí nebo expanzí se setkáváme např. u nechlazených nebo málo chlazených lopatkových strojů, jako jsou turbodmychadla, turbokompresory, parní a plynové turbíny.

Obr.27 Znázornění teoretické a skutečné třístupňové komprese plynu v turbodmychadle

- 40 -


1.4.

© M.H. 2004

TERMODYNAMIKA VODNÍ PÁRY

Vodní pára, jako pracovní látka (pracovní medium), se používá zejména v energetických zařízeních (parní generátory a parní turbiny), v různých technologických procesech k ohřívání, sušení a topení; dále se s použitím par setkáváme u chladících zařízení, termodynamického vytápění atd.

1.4.1.

Tepelné diagramy páry

Základním diagramem v oblasti páry je diagram T − s . V praxi se však častěji používá diagram i − s , v chladírenství pak diagram i − log p .

Obr.28 T – s diagram vodní páry

Na obr.28 je nakreslen diagram T − s pro vodní páru. Hraniční křivka HK má dvě větve. Větev HK1 od sebe odděluje vodu a mokrou páru. Větev HK2 odděluje mokrou páru od páry přehřáté. Teplota Tkr (kritická teplota) odděluje vodu od silně přehřáté páry, jejíž teplota je vyšší než teplota kritická a

p kr . Tato silně přehřátá pára se chová stejně jako plyn. Izobara kritického tlaku je v úseku AK totožná s kritickou teplotou. V úseku AK přechází voda při tlaku větším než p kr a teplotě vyšší než Tkr přímo v přehřátou páru. Bod K se nazývá kritický bod; v něm neexistuje mokrá

tlak větší než tlak kritický

pára. Hraniční křivka HK2 přestavuje stavy páry, která neobsahuje žádnou vlhkost (vodu). Tato pára se nazývá sytá pára. Čárkované křivky, vycházející z bodu K (tzv. křivky suchosti páry), představují mokrou páru s rozdílným obsahem vlhkosti, jenž je číselně vyjádřen hodnotou x (tzv. suchost páry).

x=

m sp m mp

=

m mp − m v m mp

m mp = m sp + m v

m v …. množství vody m mp … množství mokré páry - 41 -


© M.H. 2004

m sp … množství syté páry Např. suchost x = 0,85 znamená, že tato mokrá pára obsahuje 85 % syté páry a zbývajících 15% je vlhkost (voda). Hraniční křivka HK1 reprezentuje vodu, její suchost je x = 0 . Hraniční křivka HK2 reprezentuje sytou páru, která nemá žádnou vlhkost. Její suchost je x = 1. Každý bod v diagramu T − s představuje páru v určitém termodynamickém stavu, jenž je vyjádřen zcela určitými veličinami T, p, s, x . Vysvětlivky k obr. 28:

Tv při tlaku p . Bod 1 představuje mokrou páru o suchosti x = 0,2 , teplotě Tv a tlaku p . Bod 2 představuje mokrou páru o suchosti x = 0,9 , teplotě Tv a tlaku p . Bod 3 je stav syté páry (x = 1) o teplotě Tv a tlaku p . Bod 4 znázorňuje přehřátou páru o teplotě T4 při tlaku p . Všechny body (0, 1, 2, 3, 4 ) leží na izobaře p = konst . Bod 0

vyjadřuje vodu zahřátou na teplotu varu

V diagramu T − s lze přehledně znázornit různé změny stavu páry (viz obr.29).

Obr.29 Změny stavu páry znázorněné v diagramu T – s

T1 na teplotu varu T2 = Tv při tlaku p1 . vysoušení mokré páry ze suchosti x 3 na suchost x 4 při teplotě Tv a tlaku p1 . přehřátí syté páry z teploty T5 = Tv na teplotu T6 . Velikost přehřátí ∆Tp = T6 − T5 .

1− 2 3−4 5−6

ohřev vody z teploty

6−7

teoretická adiabatická expanze páry z tlaku

p1 na tlak p 2 . Z teploty T6 na teplotu T7 . 6−8 skutečná expanze páry z tlaku p1 na tlak p 2 . Z teploty T6 na teplotu T8 . 10 − 11 ochlazování a vlhčení mokré páry ze suchosti x 4 na suchost x 11 při konstantní teplotě a tlaku. - 42 -


© M.H. 2004

12 − 13 kondenzace mokré páry ze suchosti x 3 na vodu x = 0 při tlaku p 2 a teplotě T13 . 6 − 14

tzv. přihřívání páry z teploty

T6 na teplotu T14 . Velikost přehřátí ∆Tpř = T14 − T6 .

Celkové úseky:

2−5 9 − 13

Tv . V bodě 5 je veškerá voda přeměněna v sytou páru. Děj probíhá při konstantní teplotě Tv a tlaku p1 . znázorňuje kondenzaci syté páry na kondenzát. Děj probíhá při konstantní teplotě T9 = T13 a tlaku p 2 . Přitom je nutné páru chladit. úsek odpovídá odpařování vody zahřáté na teplotu varu

U tepelných zařízení pracujících s vodní párou, zejména v oblasti konstrukce parních turbín, používáme diagram i − s .

Obr.30 Změny stavu páry znázorněné v diagramu i – s

2−3 5−7 5−6 8−9

x 2 na suchost x 3 při tlaku p1 . přehřátí syté páry z teploty T4 na teplotu T5 při tlaku p1 . izoentropická expanze (teoretická) z tlaku p1 na tlak p 2 . polytropická expanze (skutečná) z tlaku p1 na tlak p 2 . ochlazování mokré páry. Roste obsah kapaliny (klesá suchost x 9 < x 8 ).

1− 8

škrcení mokré páry. Klesá obsah kapaliny, pára se vysušuje (roste suchost

4−5

představuje vysoušení mokré páry ze suchosti

Entalpie je konstantní.

- 43 -

x 8 > x 1 ).


© M.H. 2004

Výroba přehřáté páry v parním generátoru

Obr.31 Znázornění výroby páry v parním generátoru v diagramu T – s

Na obr.31 je naznačena výroba přehřáté páry. Celý děj probíhá za konstantního tlaku p .

T1 , kterou nejprve ohřejeme na teplotu varu Tv , odpovídající příslušnému tlaku p . Tento ohřev je diagramu znázorněn úsekem 1− 2 . Množství tepla potřebné k ohřátí qov je úměrné ploše pod křivkou 1− 2 . K dispozici máme vodu o teplotě

[J ⋅ kg ]

qov = c p ⋅ (T2 − T1 ) = c p ⋅ (t 2 − t 1 )

−1

Vodu ohřátou na teplotu varu je nutné dále ohřívat (přivádět teplo). Voda se přitom odpařuje za konstantního tlaku p a konstantní teploty Tv . Odpařování je ukončeno v bodě 3 na hraniční křivce

(x = 1) . Množství tepla, které musíme přivést, aby se voda ohřátá na teplotu varu změnila v sytou

páru je úměrné ploše pod křivkou (přímkou) 2 − 3 a nazývá se měrné výparné teplo

q 2,3 = l 2,3 . Lze

jej najít v tabulkách. Dalším přiváděním tepla se bude původně sytá pára přehřívat. Tlak se nezmění, ale teplota vzroste na teplotu T4 . Množství tepla potřebné k přehřátí 1 kg páry bude:

qpp = c ps ⋅ (T4 − T3 ) = c ps ⋅ (t 4 − t 3 ) = i 4 − i 3

[J ⋅ kg ] −1

c ps = střední měrná tepelná kapacita páry při stálém tlaku p . Celkové množství tepelné energie, potřebné k výrobě

1 kg páry (výrobní teplo) bude:

q = qov + l2,3 + qpp = c p ⋅ (T2 − T1 ) + l2,3 + i4 − i3

- 44 -

[J ⋅ kg ] −1

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA III Pro výrobu

© M.H. 2004

m kg páry bude zapotřebí:

Q = m ⋅ q = m ⋅ (q ov + l 2,3 + qpp ) = Q OV + Q OD + Q PP

[J]

Q OV = množství tepla, potřebné k ohřátí m kg vody. Q OD = množství tepla, potřebné k odpaření m kg vody, zahřáté na teplotu varu. Q PP = množství tepla, potřebné k přehřátí m kg syté páry na teplotu přehřátí. Ohřívání vody se provede v ohříváku vody, odpaření v odpařovací části parního generátoru a přehřátí v přehříváku. Všechna tato zařízení jsou součástí parního kotle. Z potřebných tepelných energií lze snadno vypočítat tepelné toky (tepelné výkony) příslušných zařízení. Pro ohřívák vody (ekonomizer) bude platit:

Q OV m ⋅ qov & Q = = Q m ⋅ qov OV = τ τ

[W ]

Pro odpařovací část parního generátoru:

Q OD m ⋅ l 2,3 & Q = = Q m ⋅ l 2,3 OD = τ τ

[W ]

Pro přehřívák páry:

& = Q PP = m ⋅ qpp = Q ⋅ q Q PP m pp τ τ

[W ]

Celkový teoretický tepelný výkon parního generátoru potom bude:

& =Q & +Q & +Q & Q C OV OD PP

[W ]

Použijeme-li hmotnostní tok páry Q m a měrné výrobní teplo q , můžeme napsat:

& = Q ⋅ q + Q ⋅ l + Q ⋅ q = Q ⋅ (q + l + q ) = Q ⋅ q Q C m ov m 2,3 m pp m ov 2,3 pp m

- 45 -

[W ]


© M.H. 2004

Tepelné oběhy technických zařízení • Tepelný oběh s kondenzační parní turbínou

Tento oběh je v praxi využíván v tepelných elektrárnách. Jedná se o uzavřený oběh voda – pára.

Obr.32 Schema zařízení tepelné elektrárny s kondenzační turbínou

PG … OV … OD … PP … PT … A …

parní generátor ohřívák vody odpařovací část PG přehřívák páry parní turbína alternátor

KO … V… ČK … NČ … Z…

kondenzátor vývěva čerpadlo kondenzátu napájecí čerpadlo zásobník napájecí vody

Obr.33 Oběh tepelné elektrárny s kondenzační turbínou v T-s diagramu

- 46 -


7 −1 1− 2 2−3 3−4 4−5 5−6 6−7

© M.H. 2004

adiabatická komprese v napájecím čerpadle (z

p b na p1 ). izobarický ohřev vody v ohříváku vody na teplotu varu (z T1 na Tv ). izobarické a izotermické odpařování vody v odpařovací části PG.

Tv na T4 ). adiabatická expanze páry v parní turbíně (z p1 na p 2 ). izobarické přehřívání syté páry v přehříváku páry (z

izobarická a izotermická kondenzace páry v kondenzátoru. adiabatická komprese kondenzátu v čerpadle kondenzátu (z

p 2 na p b ).

qKO v T − s diagramu je úměrná množství tepla, odvedenému z kondenzátoru při změně 1 kg páry na 1 kg kondenzátu. Vyšrafovaná plocha

Tepelný tok v kondenzátoru:

& = Q KO = m ⋅ qKO = Q ⋅ q Q KO m KO τ τ

[W ]

Hmotnostní průtok páry okruhem:

[

]

D t ⋅ h −1 D Qm = ⋅ 10 3 = 3600 3,6

[

[kg ⋅ s ] −1

]

D t ⋅ h −1 tzv. parní hodinový výkon parního generátoru. Na obr. 34 je znázorněna část tepelného oběhu v diagramu i − s . Tento diagram se používá zejména v konstrukci parních turbín. Lze z něj snadno určit potřebný tepelný tok v přehříváku páry a teoretický i efektivní výkon parní turbíny.

Obr.34 Část oběhu tepelné elektrárny s kondenzační turbínou v i - s diagramu

- 47 -


© M.H. 2004

Tepelný tok přehříváku

& = Q ⋅ q = Q ⋅ (i − i ) Q PP m PP m 4 3

[W ]

Teoretický výkon parní turbíny

Pt = Q m ⋅ Y = Q m ⋅ (i 4 − i5 )

[W ]

Skutečný (efektivní) výkon parní turbíny je menší vlivem tepelných a mechanických ztrát. Více viz. Stavba a provoz strojů – 4.ročník.

Pe = Pt ⋅ η e = Q m ⋅ Y ⋅ η e

[W ]

ηe = efektivní účinnost turbíny •

Tepelný oběh chladícího zařízení s kompresorem

Obr.35 Schema kompresorového chladícího zařízení

K… KO … V…

kompresor kondenzátor výparník

Z… ŠV …

zásobník chladiva škrtící ventil

& [W ] … tepelný tok v kondenzátoru (odvedené teplo za 1 s) Q KO & [W ] … tepelný tok ve výparníku (teplo přijaté chladivem za 1 s) Q V Na obr.35 je nakresleno schema chladícího okruhu s kompresorem. Okruh je naplněn vhodným, snadno zkapalnitelným plynem (chladivem). Chladivo ( CO 2 ,NH3 , CH3 Cl, freony,....) ve formě par je stlačováno kompresorem z tlaku

p1 na tlak p 2 > p1 . Poté násladuje ochlazení stlačených par

& [W ] , kde dojde k jejich zkapalnění. Kapalné chladivo pak projde škrtícím Q KO ventilem, jímž se zredukuje tlak p 2 zpět na tlak p1 < p 2 . Redukce tlaku je spojena s expanzí v kondenzátoru

kapalného chladiva, které se ve výparníku při nízkém tlaku odpařuje v sytou páru a odebírá potřebné

- 48 -


© M.H. 2004

[ ]

& W látkám ve vychlazovaném prostoru. Tím zároveň v prostoru klesá teplota. Dále opět teplo Q V následuje stlačení v komrsoru a oběh se opakuje. Jedná se o uzavřený tepelný okruh.

Obr.36 Tepelný oběh kompresorového chladícího zařízení v diagramu T-s

1− 2 1 − 2′ 2−3 3−4 4 −1

[

komprese par chladiva v kompresoru (teoretická) komprese par chladiva v kompresoru (skutečná) chlazení a kondenzace chladiva v kondenzátoru škrcení ve škrtícím ventilu(redukce tlaku) vysoušení par chladiva ve výparníku (drobné částice kapalného chladiva se odpaří)

]

q V J ⋅ kg −1 … množství tepelné energie, které ve výparníku odebere 1 kg chladiva svému okolí. Tato měrná energie se nazývá chladivost. V T − s diagramu (obr.36) vyšrafovaná plocha. Tepelný tok (chladící výkon) výparníku:

& = m ⋅ qV = Q ⋅ q Q V m V τ

[

[W ]

]

qKO J ⋅ kg −1 … množství tepelné energie, které předá v kondenzátoru 1 kg chladiva látce, kterou je chlazen (voda nebo vzduch). V T − s diagramu (obr.36) plocha pod čarou změny 2 − 3 ( 2′ − 3 ). Tepelný tok (chladící výkon) kondenzátoru:

& = m ⋅ qKO = Q ⋅ q Q KO m KO τ

[W ]

Pozn. Další možné znázornění tepelného oběhu chladícího zařízení je v diagramu znázornění tepelných energií pomocí úseček.

- 49 -

i − log p . Výhodou je


© M.H. 2004

• Tepelný oběh termodynamického vytápění (tepelné čerpadlo)

Obr.37 Schema zařízení pro termodynamické vytápění

K… R…

kompresor radiátor (topné těleso)

V… ŠV …

výparník škrtící ventil

Tepelné čerpadlo je v podstatě kompresorový chladící oběh, kde kondenzátor pracuje ve funkci radiátoru (topného tělesa), který je umístěn ve vytápěném prostoru. Topná látka má obdobné vlatnosti jako chladivo v chladícím okruhu. Výparník bývá umístěn na vzduchu, ve vodě (obvykle proudící), nebo je zahrnut v nezámrzné hloubce v zemi. Odtud odebírá tepelnou energii potřebnou k vytápění. Podobně jako u chladícího oběhu můžeme tento cyklus znázornit v diagramu T − s nebo

Obr.38 Tepelný oběh termodynamického vytápění v diagramu T-s

- 50 -

i − log p .


[ ] [J ⋅ kg ] …

© M.H. 2004

q V J ⋅ kg −1 … je množství tepelné energie, kterou odebere 1 kg topné látky svému okolí. qR

−1

je množství vysálané tepelné energie do vytápěného prostoru.

1 kg topné látky v radiátoru (topném tělese)

Tepelný tok (topný výkon) radiátoru (topného tělesa):

& = m ⋅ qR = Q ⋅ q Q R m R τ

[W ]

Teoretický příkon kompresoru:

[W ]

Pt = Q m ⋅ YK Skutečný příkon kompresoru:

Pe =

Pt Q ⋅Y = m K ηm ηm

[W ]

Důležitým kritériem při porovnání technické úrovně tepelného čerpadla je celková účinnost.

ηc =

& Q R & +P Q V e

=

qR Y qV + K ηm

<1

Účinnost termodynamického systému vytápění je vysoká. Bohužel značně vysoké jsou i pořizovací náklady.

1.5.

ZÁKLADY PROUDĚNÍ VZDUŠIN

Podobně jako v hydrodynamice platí i v termomechanice Bernoulliho rovnice vyjadřující zákon zachování energie. Na rozdíl od kapalin je u vzdušin hustota závislá na teplotě a tlaku. Platí tedy, že

ρ1 ≠ ρ 2

ρ1 =

1 1 ; ρ2 = . v1 v2

Hmotnostní průtok (rovnice kontinuity pro vzdušiny)

Q m = S1 ⋅ c 1 ⋅

1 1 = S2 ⋅ c 2 ⋅ v1 v2

[kg ⋅ s ] −1

- 51 -


© M.H. 2004

Obr.39 Průtok vzdušiny obecným potrubím

Slovní vyjádření zákona zachování energie: Součet energií na vstupu do kanálu (potrubí, tryska, nátrubek, …) se rovná součtu energií na výstupu.

[J]

U1 + E tl1 + E k1 = U2 + E tl 2 + E k 2 U1,U2

….

vnitřní energie proudící vzdušiny

E tl1,E tl2 ….

tlaková energie proudící vzdušiny

E k1,E k 2 ….

kinetická energie proudící vzdušiny

Podělíme-li tuto rovnici hmotností vzdušiny, dostaneme tvar

[J ⋅ kg ] −1

u1 + Ytl1 + Yk1 = u 2 + Ytl 2 + Yk 2 kde měrná tlaková energie:

Ytl1 =

p1 = p1 ⋅ v 1 ; ρ1

Ytl2 =

p2 = p2 ⋅ v 2 ρ2

Yk 2 =

c 22 2

a měrná kinetická energie:

Yk1 =

c 12 ; 2

Dosadíme-li tyto výrazy do Bernoulliho rovnice, dostaneme:

u1 + p 1 ⋅ v 1 +

c 12 c2 = u2 + p 2 ⋅ v 2 + 2 2 2

- 52 -


© M.H. 2004

Dosazením

u1 + p1 ⋅ v 1 = i1 ;

u 2 + p 2 ⋅ v 2 = i2

a úpravou dostaneme

i1 +

c 12 c2 = i2 + 2 2 2

(

kde Y … ).

−1

= i1 − i 2 je měrná energie využitá v uvažovaném zařízení (např. parní turbína, plynová turbína, i1 − i 2 = −q + a t .

Podle I. zákona termodynamiky platí pro expanzi Pro izoentropickou expanzi je technické práci

q = 0 a platí tedy, že získaná měrná energie Y se rovná měrné

at .

[J ⋅ kg ] −1

a t = i1 − i 2 = Y 1.5.1.

[J ⋅ kg ]

)

c 22 c 12 1 2 − = ⋅ c 2 − c 12 = Y 2 2 2

i1 − i 2 =

Proudění vzdušiny nerozšířenou dýzou

Obr.40 Proudění nerozšířenou dýzou

Pro nerozšířenou dýzu bude platit:

S ⋅c S ⋅c Qm = 1 1 = 2 2 ; v1 v2

c 22 − c 12 i1 − i 2 = Y = 2

Výtoková rychlost vzdušiny z dýzy bude:

c 2 = 2 ⋅ (i1 − i 2 ) + c 12 = 2 ⋅ Y + c 12 V praxi bývá rychlost na vstupu chybou napsat, že

[m ⋅ s ] −1

c 1 oproti rychlosti na výstupu c 2 velmi malá. Můžeme tedy s malou

c 1 = 0 . Výtoková rychlost potom bude

[m ⋅ s ]

c 2 = 2 ⋅ (i1 − i 2 ) = 2 ⋅ Y

−1

- 53 -


© M.H. 2004

Vlivem tření vzdušiny o stěny dýzy bude skutečná výtoková rychlost menší

[m ⋅ s ]

c 2sk = ϕ ⋅ c 2 = ϕ ⋅ 2 ⋅ (i1 − i 2 ) = ϕ ⋅ 2 ⋅ Y kde ϕ je dýzový součinitel

−1

(ϕ = 0,95 až 0,97)

Snižujeme-li hodnotu protitlaku p 2 , roste výtoková rychlost c 2 až na hodnotu c k , což je rychlost zvuku v dané vzdušině při daném stavu (tzv. kritická rychlost). Protitlak při němž nastane kritické proudění se nazývá kritický tlak p k . Snižujeme-li dále protitlak na hodnoty p 2 < p k , výtoková rychlost se již nezvyšuje a zůstává konstantní

(c 2 = c k

= konst.) .

Kritickou rychlost určíme ze vztahu

[m ⋅ s ]

c k = 2 ⋅ (i1 − ik ) = 2 ⋅ Yk kde

−1

ik je entalpie odpovídající tlaku p k , teplotě Tk a měrnému objemu v k .

Poměr tlaků

pk se nazývá kritický tlakový poměr β . p1

β=

pk <1 p1

Velikost kritického tlakového poměru závisí na adiabatickém exponentu χ , nebo při polytropickém proudění na enponentu n . χ

 2  χ −1  β =   χ + 1

při izoentropickém (adiabatickém) proudění

n

 2  n−1 β=   n + 1

při polytropickém proudění

Pro plyny, kde χ = 1,4 je β = & 0,528 , pro přehřátou páru

(χ = 1,3) je β =& 0,545 .

Kritickou rychlost je možno vypočítat ze vztahu

ck = χ ⋅

[m ⋅ s ]

p = χ ⋅p ⋅ v = χ ⋅r ⋅T ρ

−1

- 54 -


© M.H. 2004

Obr.41 Podkritická expanze v nerozšířené dýze v diagramu i – s

Rychlost v bodě

2:

[m ⋅ s ]

c 2 = 2 ⋅ Y = 2 ⋅ (i1 − i 2 )

−1

c2 < ck

Obr.42 Kritické proudění v nerozšířené dýze v diagramu i – s

Rychlost v bodě

2 je stejná jako v kritickém bodě 2k :

c 2 = c 2k = c k = 2 ⋅ Yk = 2 ⋅ (i1 − i 2k ) - 55 -

[m ⋅ s ] −1


© M.H. 2004

Shrnutí: Nerozšířenou dýzou můžeme při protitlaku p 2 ≤ β ⋅ p1 dosáhnout kritickou rychlost proudění vzdušiny. Nadkritické rychlosti (nadzvukové) zde dosáhnout nelze.

1.5.2.

Proudění vzdušiny rozšířenou dýzou

Rozšířená (Lavalova) dýza se lisí od nerozšířené tím, že má kuželovitě se rozšiřující expanzní část (nátrubek).

Obr.43 Proudění rozšířenou (Lavalovou) dýzou

Nátrubek Lavalovy dýzy se musí rozšiřovat pod poměrně malým úhlem proudnic od stěn nátrubku.

α , jinak nastane odtržení

α = 3 až 4° max . 5° Z rovnice spojitosti toku lze vypočítat výtokovou rychlost:

Qm = c2 = K=

S1 ⋅ c 1 S k ⋅ c k S 2 ⋅ c 2 = = v1 vk v2

[m ⋅ s ]

Sk ⋅ c k ⋅ v 2 = K ⋅ ck S2 ⋅ v k

Sk ⋅ v 2 >1 ⇒ S2 ⋅ vk

−1

c2 > ck

V Lavalově dýze lze dosáhnout rychlostí vyšších než je rychlost zvuku nazývají supersonické (nadzvukové).

- 56 -

c k . Tyto vysoké rychlosti se


© M.H. 2004

Obr.44 Nadkritické proudění v rozšířené (Lavalově) dýze v diagramu i – s

Dosažená teoretická výtoková rychlost u Lavalovy dýzy bude:

[m ⋅ s ]

c 2 = 2 ⋅ Y = 2 ⋅ (i1 − i 2 )

−1

Skutečná výtoková rychlost

c 2sk = ϕ ⋅ c 2

[m ⋅ s ] −1

V nejužším místě Lavalovy trysky bude vzdušina proudit rychlostí zvuku (kritickou rychlostí):

[m ⋅ s ]

c k = 2 ⋅ Yk = 2 ⋅ (i1 − i 2k ) Protože

−1

Y > Yk , musí také být c 2 > c k !

Při proudění Lavalovou tryskou využijeme celou měrnou energii

[

]

Y = i1 − i 2 J ⋅ kg −1 a dosažená

rychlost je větší než rychlost zvuku. U nerozšířené trysky se maximálně využije měrná energie maximální dosažená výtoková rychlost je

c2 = ck .

- 57 -

Yk a


1.6.

© M.H. 2004

PROSTUP TEPELNÉ ENERGIE STĚNOU

Stanovení prostupu tepla stěnou patří k základním výpočtům při návrhu výměníků tepla (ohřívací bojlery, topná tělesa, chladiče, kondenzátory, …). Bez těchto výpočtů se při návrhu neobejdeme. Prostup tepla stěnou potřebujeme také znát při výpočtu ztrát tepelné energie při návrhu vytápění budov.

Obr.45 Prostup tepelné energie stěnou

Tepelný tok

& [W ] … Q 1

sdělené teplo prouděním z teplejší látky do stěny

& = α ⋅ S ⋅ ∆t Q 1 1 1

[

[W ]

]

α 1 W ⋅ m −2 ⋅ K −1 … součinitel přestupu tepla S m2 … plocha stěny (teplosměnná plocha) ∆t 1 = t 1 − t 11 [K ] … teplotní rozdíl (spád)

[ ]

Tepelný tok

& [W ] … Q 2

sdělené teplo vedením při průchodu stěnou

& = λ ⋅ S ⋅ ∆t Q 2 2 s

[

]

λ W ⋅ m −1 ⋅ K −1 … s [m] … S m2 … ∆t 2 = t 11 − t 12 [K ] …

[ ]

Tepelný tok

[W ]

součinitel tepelné vodivosti tloušťka stěny plocha stěny (teplosměnná plocha) teplotní rozdíl (spád)

& [W ] … Q 3

sdělené teplo prouděním ze stěny do chladnější látky

[W ]

& = α ⋅ S ⋅ ∆t Q 3 2 3

[

]

α 2 W ⋅ m −2 ⋅ K −1 … součinitel přestupu tepla S m2 … plocha stěny (teplosměnná plocha)

[ ]

- 58 -


© M.H. 2004

∆t 3 = t 12 − t 2 [K ] … teplotní rozdíl (spád) Podle zákona o zachování energie musí platit:

& =Q & =Q & =Q & Q 1 2 3 & = α ⋅ S ⋅ ∆t Q 1 1 1

⇒

∆t 1 =

& Q 1 ; α1 ⋅ S

& = λ ⋅ S ⋅ ∆t Q 2 2 s

⇒

∆t 2 =

& ⋅s Q 2 ; λ ⋅S

& = α ⋅ S ⋅ ∆t Q 3 2 3

⇒

∆t 3 =

& Q 3 α2 ⋅ S

Sečtením vztahů dostaneme

∆t = ∆t 1 + ∆t 2 + ∆t 3 =

& & ⋅s & &  1 s 1  Q Q Q Q  + + = ⋅  + + α 1 ⋅ S λ ⋅ S α 2 ⋅ S S  α 1 λ α 2 

Odtud tepelný tok stěnou:

& = S ⋅ ∆t ⋅ Q

k=

[W ]

1 = S ⋅ k ⋅ ∆t 1 s 1 + + α1 λ α 2

[

]

1 W ⋅ m − 2 ⋅ K −1 … 1 s 1 + + α1 λ α 2

součinitel prostupu tepla stěnou (lze najít v tabulkách)

Součinitel prostupu tepla stěnou udává, kolik tepelné energie projde za teplotním spádu

1.6.1.

1 s stěnou o ploše 1 m 2 při

1K .

Výměníky tepla

Tepelné výměníky jsou tepelná zařízení, vnichž se předává tepelná energie z látky teplejší do látky chladnější. Pracovními látkami jsou tekutiny (kapaliny nebo vzdušiny). Výměník může pracovat jako ohřívač, kde topná látka předává svou tepelnou energii látce chladnější, nebo může pracovat jako chladič, kde chladící látka (chladivo) přijímá tepelnou energii z látky teplejší, která se tím ochlazuje.

- 59 -


© M.H. 2004

• Výměník ve funkci ohřívače Podle směru proudění pracovních látek může výměník pracovat jako souproudý nebo protiproudý. a) Souproudý

Obr.46 Průběh teplot u souproudého výměníku

Q m1 = hmotnostní tok ohřívané látky Q m 2 = hmotnostní tok topné látky ∆t 0 = t 2 − t 1 … velikost ohřátí ohřívané látky ∆t 1 = t ′1 − t ′2 … velikost ochlazení topné látky

- 60 -


© M.H. 2004

b) Protiproudý

Obr.47 Průběh teplot u protiproudého výměníku

Q m1 = hmotnostní tok ohřívané látky Q m 2 = hmotnostní tok topné látky ∆t 0 = t 2 − t 1 … velikost ohřátí ohřívané látky ∆t 1 = t ′1 − t ′2 … velikost ochlazení topné látky Pro dimenzování velikosti topné nebo chladící plochy výměníku je důležitou hodnotou střední teplotní spád ∆t S . K jeho výpočtu je nutné nejprve zjistit velikost teplotních spádů a

∆t 2 na výstupní straně média.

Pro protiproudý ohřívač bude:

∆t 1 = t 1′ − t 2 ;

∆t 2 = t ′2 − t 1

Pro souproudý ohřívač bude:

∆t 1 = t 1′ − t 1 ;

∆t 2 = t ′2 − t 2

Dále nutno zjistit vzájemný poměr obou teplotních spádů

- 61 -

∆t 1 . ∆t 2

∆t 1 na vstupní straně topného média


© M.H. 2004

Velikost středního teplotního spádu se určí takto: Pro

∆t 1 ≤ 2 bude ∆t 2

∆t S =

Pro

∆t 1 > 2 bude ∆t 2

∆t S = 0,434 ⋅

∆t 1 + ∆t 2 2

[°C]

∆t 1 − ∆t 2 ∆t log 1 ∆t 2

[°C]

• výměník ve funkci chladiče a) protiproudý chladič

Obr.48 Průběh teplot u protiproudého chladiče

Q m1 = hmotnostní tok ochlazované látky Q m 2 = hmotnostní tok chladící látky ∆t 0 = t 1 − t 2 … velikost ochlazení chlazené látky ∆t CH = t ′2 − t ′1 … velikost oteplení chladící látky ∆t 1 = t 1 − t ′2 ∆t 2 = t 2 − t ′1

- 62 -


© M.H. 2004

b) souproudý chladič

Obr.49 Průběh teplot u souproudého chladiče

Q m1 = hmotnostní tok ochlazované látky Q m 2 = hmotnostní tok chladící látky ∆t 0 = t 1 − t 2 … velikost ochlazení chlazené látky ∆t CH = t ′2 − t ′1 … velikost oteplení chladící látky ∆t 1 = t 1 − t 1′ ∆t 2 = t 2 − t ′2 Velikost středního teplotního spádu se určí stejně jako u ohřívače: Pro

∆t 1 ≤ 2 bude ∆t 2

∆t S =

Pro

∆t 1 > 2 bude ∆t 2

∆t S = 0,434 ⋅

∆t 1 + ∆t 2 2

[°C]

∆t 1 − ∆t 2 ∆t log 1 ∆t 2

- 63 -

[°C]


© M.H. 2004

Tepelné ztráty budov

Při návrhu vytápění určitého prostoru vycházíme z velikosti tepelných ztrát jednotlivými stěnami, podlahou a stropem. Tepelné ztráty vyjádříme tepelnými toky protékanými těmito stěnami.

t vn [°C] , vnější teploty vně jednotlivých stěn, podlahy a stropu

Vnitřní požadovanou teplotu označíme označíme

t 1; t 2 ; t 3 ; ... t 6 [°C] .

Tepelné ztráty vyjádřené tepelnými toky budou:

& = k ⋅ S ⋅ ∆t = k ⋅ S ⋅ (t − t ) [W ] Q 1 1 1 1 1 1 vn 1 & Q 2 = k 2 ⋅ S 2 ⋅ ∆t 2 = k 2 ⋅ S 2 ⋅ (t vn − t 2 ) [W ] & = k ⋅ S ⋅ ∆t = k ⋅ S ⋅ (t − t ) [W ] Q 3

3

3

3

3

3

vn

3

……… až

[W ]

& = k ⋅ S ⋅ ∆t = k ⋅ S ⋅ (t − t ) Q 6 6 6 6 6 6 vn 6

V případě, že ve stěně jsou okna nebo dveře, počítáme pro každý z těchto prvků tepelné ztráty zvlásť! Hlavní tepelné ztráty jsou pak rovny součtu všech dílčích ztrát:

& =Q & +Q & +Q & +K+Q Q 1 2 3 6 Velikost součinitelů prostupu tepla dveře, atd.).

[

[W ]

]

k W ⋅ m −2 ⋅ K −1 závisí na materiálu stěn nebo částí stěn (okna,

[

k W ⋅ m −2 ⋅ K −1

Stěna nebo její část (dveře, okna) Cihlová stěna do tloušťky 30 cm Cihlová stěna o tloušťce 30 až 60 cm Strop, podlaha (včetně izolace) Příčka mezi místnostmi Dveře venkovní Dveře vnitřní Okna (dvojité sklo)

]

1,2 – 2,9 1 – 1,6 0,8 – 1,3 1 – 2,2 2,7 – 4,6 2,2 – 2,3 2,5 – 4,6

K těmto hlavním ztrátám se připočítají tzv. přirážky, kterých je celá řada a jejich hodnoty včetně potřebných pokynů k výpočtu jsou obsaženy v ČSN. Výběr hlavních přirážek: a) Přirážka na zátop a vytemperování chladných stěn:

& = (0,05 − 0,25 ) ⋅ Q & Q P1 b) Přirážka na ztrátu přirozeným větráním vlivem netěsných oken a dveří:

& = (0,1 − 0,25 ) ⋅ Q & Q P2 c) Přirážka na nucené větrání ventilátorem – vyjadřuje tepelný tok, potřebný k ohřátí čerstvého vzduchu dodaného do vytápěného prostoru ventilátorem:

& = c ⋅ ρ ⋅ Q ⋅ (t − t ) Q P3 p vz vn o

- 64 -


[

© M.H. 2004

]

Q vz m 3 ⋅ s −1 … t vn [°C] … t o [°C] …

[

ρ kg ⋅ m

−3

[

]

objemový tok vyměňovaného vzduchu při větrání požadovaná vnitřní teplota teplota čerstvého vzduch dodávaného ventilátorem

…

hustota vzduchu

]

c p J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 …

měrná tepelná kapacita vzduchu

d) Případné další přirážky vyjadřující vliv větru, nadmořskou výšku, orientaci vzhledem ke světovým stranám, vliv průměrné roční teploty, vliv geografické polohy objektu apod.:

& Q P4 Celkové tepelné ztráty včetně přirážek pak budou:

& =Q & + Q Q ∑&P C

[W ]

Výkon kotle potom bude

& & = QC Q K ηK ηK …

[W ]

tepelná účinnost kotle

Pro výpočet tepelných ztrát objektu, který má n

& = Q Q ∑ & Cn C i=1

n vytápěných prostorů, budou celkové tepelné ztráty:

[W ]

Potřebný tepelný (topný) výkon kotle: n & = 1 ⋅ Q & Q ∑ K Cn ηK i=1

2.

[W ]

ZÁVĚREČNÉ OPAKOVÁNÍ

Literatura: V. Vondráček a kol. Mojmír Hofírek

Mechanika IV. (Mechanika tekutin a termomechanika) Termomechanika

- 65 -

SNTL 1977 Fragment 1998

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA III M.H MECHANIKA III 2. DÍL TERMOMECHANIKA - 1 -

Recommend Documents