Sobotkova deskriptivní geometrie

Masarykova univerzita

A S A RY K I A N A

M

IU

IA

SC

UL

AL

IE

SIS

FA C

TA

B NEN

N TI A

EST

POTENT

UNI VER

M AS

RU

SI T

Přírodovědecká fakulta

SR UR E R U M N AT

DIPLOMOVÁ PRÁCE Jana Vítečková

Sobotkova deskriptivní geometrie

Vedoucí práce: prof. RNDr. Josef Janyška, DSc. Studijní program: Matematika Studijní obor: Učitelství matematiky pro střední školy 2010

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE Student: Jana Vítečková Studijní program – obor: Matematika – Učitelství matematiky pro střední školy Ředitel Ústavu matematiky a statistiky PřF MU Vám ve smyslu Studijního a zkušebního řádu MU určuje diplomovou práci s tématem:

Sobotkova deskriptivní geometrie Descriptive geometry of Sobotka Oficiální zadání: V roce 1906 vyšla první česky psaná učebnice deskriptivní geometrie od J. Sobotky. U příležitosti stoletého výročí zpracuje diplomantka text, ve které srovná Sobotkovu učebnici s dnešními učebnicemi a bude analyzovat vývoj, který za 100 let učinila výuka deskriptivní geometrie na českých vysokých školách. Literatura: Sobotka, Jan. Deskriptivní geometrie : promítání parallelního [Sobotka, 1906]. Praha : Jednota českých mathematiků a fysiků, 1906. 643 s. Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Josef Janyška, DSc. Datum zadání diplomové práce: prosinec 2008 Datum odevzdání diplomové práce: dle harmonogramu ak. Roku 2009/2010 V Brně dne 1. 12. 2008 prof. RNDr. Jiří Rosický, DrSc. ředitel Ústavu matematiky a statistiky

Zadání diplomové práce převzala dne: 17. 2. 2009 Vítečková

Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci zpracovala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. V Brně dne 14. 5. 2010 Jana Vítečková

Název práce: Sobotkova deskriptivní geometrie Autor: Jana Vítečková Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecké fakulty MU Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Josef Janyška, DSc. Abstrakt: Práce je rozdělena do tří částí. V první části je obsažen život profesora Jana Sobotky, ve druhé se snaží rozebrat první česky psanou učebnice deskriptivní geometrie pro vysoké školy z roku 1906, Deskriptivní geometrii promítání paralelního od profesora Sobotky. Ve třetí části je učebnice porovnávána s vysokoškolskými učebnicemi, které vyšly po roce 1945. Text zároveň charakterizuje vývoj, který do dnešní doby prodělala deskriptivní geometrie. Klíčová slova: Jan Sobotka, deskriptivní geometrie, rovnoběžné promítání, učebnice Title: Descriptive geometry of Sobotka Author: Jana Vítečková Department of Mathematics and Statistics, Faculty of Science, MU Supervisor: prof. RNDr. Josef Janyška, DSc. Abstract: Submitted diploma thesis is divided into three parts. First part is handling the life of Professor Jan Sobotka, second part focus on analysis of first czech written descriptive geometry textbook for universities from 1906, Deskriptivní geometrie promítání paralelního. Third part of thesis compare Sobotka’s descriptive geometry textbook from 1906 with university textbooks published after 1945. Thesis also evaluate development of descriptive geometry until now. Keywords: Jan Sobotka, descriptive geometry, parallel projection, textbooks

Obsah Úvod

6

1 Jan SOBOTKA 1.1 Životopis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Vědecké dílo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 8

2 DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PROMÍTÁNÍ PARALELNÍHO 2.1 KAPITOLA I. - Některé pojmy základní a úmluvy. . . . . . . . . . . . . . 2.2 KAPITOLA II. - Promítání kótované. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 KAPITOLA III. - Promítání kruhové. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 KAPITOLA IV. - Použití roviny distanční a zavádění nových průměten. . . 2.5 KAPITOLA V. - Promítání kosoúhlé na jednu průmětnu. . . . . . . . . . . 2.6 KAPITOLA VI. - Základní prvky a útvary; některé způsoby určování prvků. 2.7 KAPITOLA VII. - Afinita; afinní poloha dvou soustav rovinných. . . . . . 2.8 KAPITOLA VIII. - Průměty orthogonální do dvou k sobě kolmých průměten. 2.9 KAPITOLA IX. - Perspektivní nazírání na prostor. Dualita. . . . . . . . . 2.10 KAPITOLA X. - Grafické provádění konstrukcí. . . . . . . . . . . . . . . .

10 11 13 16 19 23 28 32 43 47 49

3 Vývoj deskriptivní geometrie 3.1 Srovnání Sobotkovy učebnice s učebnicemi, které vyšly po r. 1945 . . . . 3.1.1 F. Kadeřávek – J. Klíma – J. Kounovský: Deskriptivní geometrie . 3.1.2 A. Urban: Deskriptivní geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 R. Piska – V. Medek: Deskriptivní geometrie . . . . . . . . . . . . 3.1.4 J. Kounovský – F. Vyčichlo: Deskriptivní geometrie pro samouky 3.1.5 Ostatní učebnice a literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 58 60 61 63 64 66

. . . . . .

4 Závěr

68

Literatura

69

5

Úvod Postavení deskriptivní geometrie na vysokých školách bylo vždy velmi důležité. Vývoj deskriptivní geometrie v naší zemi byl ovlivněn politickou a společenskou situací a také nastupující průmyslovou revolucí. Roku 1869 byla pražská polytechnika rozdělena na dva samostatné ústavy, český a německý. Od roku 1862 se začala deskriptivní geometrie, do té doby přednášená výhradně v němčině, přednášet v našem mateřském jazyce. Prvním člověkem, který na pražské technice přednášel v českém jazyce, byl profesor Rudolf Skuherský. Bylo potřeba vytvořit a stabilizovat českou terminologii, napsat učebnice v češtině. Společenské podmínky vytvořily situaci, v níž bylo nezbytné budovat technické školství. Stolice deskriptivní geometrie byla jednou z prvních čtyř, které roku 1899 tvořily základ Českého vysokého učení technického v Brně. Bylo potřeba vychovat učitele tohoto oboru, protože podíl deskriptivní geometrie v učebních plánech jak technických, tak přípravných škol, byl značný. V roce 1906 vyšla první ucelená česky psaná učebnice deskriptivní geometrie pro vysoké školy, Deskriptivní geometrie promítání paralelního, jejíž autorem byl profesor Jan Sobotka. Jde o velmi obsáhlé dílo, ve kterém se autor zabývá především rovnoběžným promítáním. Cílem této práce je dílo rozebrat a porovnat tuto učebnici s „novýmiÿ vysokoškolskými učebnicemi, které u nás vyšly po roce 1945. K vyrýsování konstrukcí jsem použila geometrického softwaru Geogebra.

6

Kapitola 1 Jan SOBOTKA 1.1

Životopis

Narodil se 2. září 1862 v Řepníkách u Vysokého Mýta. Studoval na německé reálce v Praze na Kampě. Později mezi léty 1881 – 1886 byl posluchačem matematiky a deskriptivní geometrie na české univerzitě a na české technice v Praze u profesora F. J. Studničky, Ed. a Em. Weyra, prof. F. Tilšra a B. Procházky. Po ukončení těchto studií mohl vyučovat tyto předměty na českých středních školách, nicméně po absolvování vysoké školy působil pět let jako asistent deskriptivní geometrie na české technice, zastupuje často prof. Tilšra, jenž jako poslanec býval jinak zaneprázdněn. V posledním roce asistentury vyučoval také ve večerních kurzech na státní průmyslové škole v Praze. Zlomovým byl pro něj rok 1891, kdy poprvé odjíždí do ciziny doplnit své matematické vzdělání. Obrací se do Curychu k Wilhelmovi Fiedlerovi, profesorovi na tamější polytechnice, vynikajícímu syntetikovi i analytikovi v geometrickém bádání, kde tráví celý rok. Toto studium působilo velmi mocně na Sobotkovu vědeckou činnost. Po návratu do Prahy obdržel suplenturu na české technice. 1892 odjíždí opět studovat do ciziny, tentokrát do Vratislavi k profesorovi R. Sturmovi, kde strávil opět celý rok. Po návratu do Prahy se pro něj ale nenašlo zaměstnání na pražských vysokých školách a ani na střední škole se nemohl uchytit, proto odešel do Vídně, kde byl přijat za suplenta na reálce. Zde se také dočkal uznání za svou vědeckou činnost. Po dvou letech pobytu ve Vídni byl jmenován asistentem deskriptivní geometrie na tamější technice a necelý rok na to 4. 2. 1897 byl povolán na tutéž vysokou školu za mimořádného profesora deskriptivní a projektivní geometrie a grafického počítání. Jmenováním z 19. září 1899 byl povolán jako profesor deskriptivní geometrie na nově založenou českou techniku v Brně. Avšak technika nebyla pravým místem pro rozvinutí jeho schopností a jeho činnosti, Sobotka potřeboval školu zaměřenou více teoreticky než prakticky. Po pětiletém působení v Brně byl 12. 3. 1904 jmenován řádným profesorem matematiky na Filozofické fakultě české univerzity v Praze. Přednášky a cvičení, která konal na Filozofické, od r. 1920 na Přírodovědecké fakultě Karlovy univerzity, se týkaly téměř všech oborů geometrie, byly to tzv.: Základy geometrie; Elementární geometrie; Elementární geometrie projektivní v rouše syntetickém i analytickém; Obšírný kurz geometrie analytické;

7

Velmi obšírný kurz geometrie diferenciální; Speciální přednášky o algebraických plochách, o přímkové geometrii, o geometrických příbuznostech atd. Od r. 1912 konal pravidelné přednášky a cvičení z deskriptivní geometrie. K učitelské činnosti Sobotkově náleželo také zkušební komisařství pro učitelství na středních školách, a to pro obor matematiky a deskriptivní geometrie. Ještě na nerozdělené Filozofické fakultě byl jejím děkanem v akademickém roce 1906–07, proděkanem v akademickém roce 1907– 08. Mimo tato dvě léta zastupoval Přírodovědeckou fakultu v akademickém senátu jako senátor v letech 1921–22, 1922–23, 1923–24. Filozofická fakulta projevila svému bývalému děkanovi a zároveň vynikajícímu učenci a učiteli vděčnost a úctu tím, že mu udělila r. 1908 čestný doktorát. Jako vysokoškolský profesor a učenec se stýkal s nejpřednějšími vědeckými organizacemi, jako byly: • Jednota československých matematiků a fyziků, jejímž členem byl od počátku svých vysokoškolských studií; • Královská česká společnost nauk; • Česká akademie věd a umění (1927 mu udělila jako prvnímu velkou cenu Adámkovu jako odměnu za jeho celoživotní dílo). • Národní rada badatelská. Také cizina vyslovila uznání - Jihoslovanská Akademie věd v Záhřebě jej jmenovala svým dopisujícím členem. Původních prací Jana Sobotky je přes sto, jsou roztroušeny po různých sbornících domácích i cizích (první svou práci napsal r. 1885, poslední r. 1930). Zemřel 10. května 1931 v Praze.

1.2

Vědecké dílo

Pod vedením profesora Františka Vyčichla prostudovalo přes třicet geometrů působících na pražských vysokých školách všechny vědecké publikace prof. J. Sobotky rozdělené do čtyř základních souborů: a) deskriptivní geometrie, b) diferenciální geometrie, c) projektivní geometrie, d) elementární geometrie; v letech 1954–1957 pak na geometrických seminářích, které probíhaly souběžně na fakultách inženýrského stavitelství a strojního inženýrství ČVUT v Praze, přednesli o nich referáty, jež po recenzi a stručném zhodnocení byly nakonec péčí Matematického ústavu ČSAV rozmnoženy a začátkem r. 1958 rozeslány na jednotlivá matematická pracoviště. Těžištěm jeho práce je v deskriptivní geometrii, do níž řadíme jednak práce z teorie zobrazovacích metod, jednak práce z konstruktivní geometrie křivek a ploch. Nejvíce prací má z axonometrie, které jsou z jeho prací ze zobrazovacích metod nejcennější. Známá je dnes Sobotkova metoda a jeho konstrukce, které se týkají převedení kosoúhlé axonometrie na Mongeovo promítání.

8

Vědecké dílo, které po sobě prof. J. Sobotka zanechal, je značně rozsáhlé. Mezi jeho stěžejní práce patří monografie Deskriptivní geometrie promítání paralelního (1906), Diferenciální geometrie (1909) a O geometrických příbuznostech (1916). Kompletní seznam jeho prací najdete např. v životopisném spise B. Bydžovského: Jan Sobotka, vydaném krátce po Sobotkově smrti. Zahrnuje přes sto často dost obsáhlých pojednání z deskriptivní, projektivní a diferenciální geometrie, řadu článků zabývajících se problematikou elementární a kinematické geometrie a mnohé další příspěvky zahrnující i aplikace geometrie. Celá vědecká a učitelská činnost profesora Jana Sobotky znamená jistě cenný a trvalý přínos pro českou geometrii.

9

Kapitola 2 DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PROMÍTÁNÍ PARALELNÍHO „Deskriptivní geometrie jest věda, která na základě konstrukce a pomocí rysův určuje útvary prostorové dle tvaru, velikosti a polohy jinými útvary prostorovými, vzájemné vztahy jejich zkoumá a úlohy k nim se vztahující řeší.ÿ Touto větou uvádí profesor Sobotka jedno ze svých stěžejních děl, učebnici Deskriptivní geometrie promítání parallelního. Tato kniha vyšla v roce 1906 společným nákladem Jednoty českých matematiků a České matice technické. Jedná se o vůbec první česky psanou ucelenou učebnici deskriptivní geometrie. V následujícím textu se budu tomuto dílu věnovat. Učebnice obsahuje celkem deset kapitol: • KAPITOLA I. - Některé pojmy základní a úmluvy. • KAPITOLA II. - Promítání kótované. • KAPITOLA III. - Promítání kruhové. • KAPITOLA IV. - Použití roviny distanční a zavádění nových průměten. • KAPITOLA V. - Promítání kosoúhlé na jednu průmětnu. • KAPITOLA VI. - Základní prvky a útvary; některé způsoby určování prvků. • KAPITOLA VII. - Afinita; afinní poloha dvou soustav rovinných. • KAPITOLA VIII. - Průměty ortogonální do dvou k sobě kolmých průměten. • KAPITOLA IX. - Perspektivní nazírání na prostor. Dualita. • KAPITOLA X. - Grafické provádění konstrukcí. Jak obsah, tak i zpracování svědčí o moderní koncepci, která ve své době neměla obdoby v jiných dílech tohoto druhu. V mnohých částech podal zcela původní výklad základních zobrazovacích metod založených na rovnoběžném promítání. 10

Některým kapitolám se autor věnuje více, jiným naopak méně. Například sedmá kapitola je dopodrobna propracovaná, autor se dívá na jeden problém z různých úhlů, nabízí více možností řešení, vykládá různé úvahy. Dalo by se soudit, že afinita a afinní poloha dvou soustav rovinných byla pro autora obzvláště hravá a zajímavá. Výsledky dosažené při řešení jednotlivých úloh jednak vhodným způsobem aplikuje, jednak dále specializuje a doplňuje z nejrůznějších hledisek, takže jeho práce přímo hýří četnými drobnými konstrukcemi, které mnohdy již samy o sobě představují pěkný výsledek a svědčí o nepřeberném bohatství geometrického důvtipu autora. Na začátku každé kapitoly je čtenář seznámen s potřebnou teorií, potřebnými a novými pojmy, o kterých je pak v dalším řeč. Dále je každá kapitola vybavena řadou řešených a pěkných příkladů všeho druhu. Co se mi ale nelíbilo, byl styl popisu a komentáře k některým příkladům. Spíše bych to někdy přirovnala ke kuchařce, podle které je možno konstrukci provést, kde ale chybí souslednost myšlenek. Čtenář si musí sám domyslet, proč právě takto konstruujeme a mnohdy to není úplně jednoduché. Kapitoly na sebe přímo nenavazují, takže se dají studovat každá zvlášt.

2.1

KAPITOLA I. - Některé pojmy základní a úmluvy.

V této první kapitole seznamuje posluchače se základnímy pojmy a názvoslovím, jako je útvar původní, obraz, průmětna, průmět, promítání, metoda promítání, grafický obraz, nákresna. Dále uvádí postup při „provádění úkolů deskriptivní geometrií kladenýchÿ takto: 1. Zjednáme si údaje, které útvar prostorový a způsob odvozování určují, tj. definici originálu a odvozování (metody promítání). 2. Sestrojíme průmět, dle potřeby i několik průmětů útvaru původního, a není-li průmětna útvarem základním, též útvaru odvozeného. 3. Vyjádříme průmět graficky. Uvádí promítání centrální (středové), klinogonální (šikmé, kosoúhlé) a ortogonální(kolmé) jako hlavní a nejdůležitější metody zobrazování, které jsou odvozeny abstrakcí z průběhu vidění, tyto metody nazývá elementární metody zobrazovací. U těchto metod též zavádí pojmy jako centrální průmět, střed promítání, promítání paralelní, promítací přímka, promítací rovina přímky. Zmiňuje se také o perspektivě a reliéfu. Uvádí tři Euklidovy postuláty, které nazývá konstruktivní postuláty, a to: 1. že jest možno každý bod s každým jiným spojiti přímkou, 2. že jest možno omezené části přímek libovolně prodloužiti, 3. že jest možno kolem každého bodu jakožto středu opsati kružnice každého poloměru.

11

Pro prostor předpokládá, že je možno třemi body v obecné poloze proložit rovinu a v ní pak provádět geometrické konstrukce rovinné. Tento předpoklad nazývá postulátem stereometrickým. Tyto postuláty pak redukoval tak, že veškeré operace Euklidovy geometrie omezil na jednu (nebo dvě) pevnou rovinu, kterou volil za rovinu konstrukční. Pak Euklidovy konstruktivní postuláty pro prostor omezil těmito požadavky: 1. Budiž možno v prostoru spojovati body spolu přímkami, přímky ty libovolně prodloužiti a úsečky na nich ležící libovolně přenášeti. 2. Budiž možno konstruktivním postulátům rovinným v jedné pevné rovině konstrukční vyhověti. Dle mého názoru je velmi užitečné, že autor sjednotil značení v textu, jednak z důvodů typografických, jednak pro přehlednost a snadné orientování. Obyčejně označoval: • body velkými latinskými písmeny A, B, ..., • přímky malými latinskými písmeny a, b, ..., • roviny a plochy velkými latinskými písmeny psanými antikvou A, B, . . ., • úhly malými řeckými písmeny α, β, ..., pro pravý úhel jakožto jednotku úhlové míry zavedl speciální znak ρ, • délky malými latinskými písmeny (nemohl-li tím vznikout omyl). Tady si můžeme všimnout rozdílu mezi značením, které používal Sobotka a obvyklým značením používaným v dnešní době. Dnes se obvykle roviny značí malými řeckými písmeny α, β, ̺,. . . ; plochy velkými řeckými písmeny Σ, Ω,. . . ; body, přímky, úhly a délky se značí stejně. Při ortogonálním promítání na dvě navzájem kolmé průmětny značil zvlášt: • průmětny PI , PII , průsečnou osu x, • A′ průmět bodu A do PI , A′′ bodu A průmět do PII , • p′ , p′′ průměty přímky p, • QI , QII stopníky přímky q, • rI , rII stopy roviny R, s1I , s1II stopy roviny S1 , obdobně uI , uII stopní křivky plochy U. Ani toto značení se dnes již nepoužívá. Dnes značíme: • průmětny π, ν, jejich průsečnici x12 , • A1 prvý průmět bodu A, A2 druhý průmět bodu A, 12

• obdobně p1 , p2 průměty přímky p, • P1 , N2 stopníky přímky q, • p1 ̺ , n2 ̺ stopy roviny ̺, označení nějaké roviny jako ̺1 se, pokud to situace dovoluje, obvykle nepoužívá. Nakonec autor radí čtenářům, jak správně kreslit čáry. Přihlíží k tomu, zda jde o čáry hlavní nebo o čáry pomocné. Hlavní čáry (útvary dané nebo žádané) vytahuje plně, pokud vyjadřují útvary viditelné, tečkovaně, pokud vyjadřují útvary zakryté. Všechny ostatní čáry jsou pomocné, ty vytahuje buď čárkovaně, nebo klade-li se na ně důraz smíšeně malými čárkami a tečkami. Body, na něž chce zvláště upozornit, zviditelňuje tím, že kolem nich opisuje malé kroužky.

2.2

KAPITOLA II. - Promítání kótované.

Autor tuto kapitolu velice dobře a moderně struktuje. Podobným stylem, jaký podává Sobotka, se kótované promítání vyučuje dodnes. Nebo-li i učebnice zabývající se kótovaným promítáním mívají zpravidla podobný obsah a náplň. Ani tady nechybí precizní zavedení potřebných pojmů. Drobný rozdíl v celé učebnici najdeme v názvosloví, pro představu rovnoběžkám říkal stejnosměrky, antiparalelními přímkami myslel přímky různoběžné, rovině strojné dnes říkáme nákresna apod. Struktura kapitoly: • Průmět bodu, měřítko a obecné vlastnosti. • Promítání přímky. • Promítání roviny. • Stanovení délek, odchylek a sklápění roviny. • Upotřebení. V každé dílčí podkapitole postupuje autor od lehčích příkladů k obtížnějším, téměř všechny úlohy jsou doplněny obrázkem a slovním popisem řešení. U některých příkladů nabízí čtenáři více možností řešení. Užitečné je na konci kapitoly uvedené praktické upotřebení, jakožto projektování komunikace a řešení střech. Příkladů není moc, ale v dnešních učebnicích, takovéto úlohy nenajdeme spíše vůbec. Měřítko nazývá řadu bodovou, která slouží k aritmetickému vyjadřování úseček. Číslu, které je přiřazené průmětu říká kóta nebo výměra, metodě zobrazování pak kótované nebo číselné promítání, příslušnému obrazu obraz číslicovaný nebo číselný. Zavádí hlavní, podružné a příčné měřítko. Běžně používá názvy jako vrstevní rovina, vrstevnice, ekvidistance, interval, stupňování přímky . . .

13

Metodu kótovaného promítání však shledává nedokonalou právě proto, že prostorové konstrukce neřeší bezprostředně, ale za účelem konstrukce musí napřed vyjádřit čísla. Přesto jí užívá pro přednosti, které poskytuje, když jde o zobrazování částí zemského tělesa, v jejichž mezích lze bez újmy požadované přesnosti nahradit ideální povrch geoidu vodorovnou rovinou. V této kapitole najde každý student, co potřebuje. Je tu probrána a procvičena látka od stupňování přímky, přes průsečíky přímky s rovinou, otáčení a sklápění roviny, až po prokládání roviny daného spádu přímkou a spousty dalších úloh. Podle mého názoru by se bez problémů dala doporučit jako učební materiál ke studiu. Příklad 2.2.1. V rovinném terénu, jehož měřítko spádu m je dáno, se má projektovat 1. horizontální plošina, mající tvar obdélníka ABCD a kótu 13,5 m; 2. přímá cesta spádu 0,2; 4 metry široká, vedoucí k plošině podél přímé čáry p na terénu. Při plošině je spád pro násep 1, spád pro zářez 2; při cestě pro násep 2/3, pro zářez 1. Jednotka je zvolena 0,25. 1. Úlohy podobného typu se řeší již na strědních průmyslových školách stavebních ve druhém ročníku. Bohužel se ale tato látka dosti odbývá na vysokých školách v učitelských oborech zaměřených právě na výuku deskriptivní geometrie na středních školách. V učebnicích pro vysoké školy podobné úlohy nenajdeme. Sestrojíme průsečnice násepových rovin a roviny terénu. Body K, L obdržíme prakticky hned, leží na průsečnici roviny terénu s rovinou komunikace (na tzv. nulové čáře) a také na hraniční křivce plošiny (korunní hraně), mluvíme o tzv. nulových bodech. Další body průsečnic získáme např. pomocí hlavních přímek o kótě 17,5. 2. Také projektovat přímou cestu daného spádu v rovině by u těchto studentů neměl být problém. Cesta nechť ústí od nějakého bodu E na AD ve směru k D do plošiny; bod E a čára p budiž tak stanoveny, aby při zřizování náspu bylo jednoduše třeba hmotu k dosažení zářezu z terénu odebíranou přes p přehazovati. 1) spád přímky je dán 0,2; interval i = es . Pomocí spádového kužele najdeme takové přímky (jsou dvě) a vybereme tu, která vyhovuje požadavku.

14

Příklad 2.2.2. Nechť ABCDEF vyjadřuje průmět hran římsových v téže horizontální rovině. 1. Projektujte střechu. 2. Zjistěte skutečný tvar a skutečné velikosti jednotlivých stran střechových. Řešení je zřejmé z obrázku. V první fázi určíme průsečnice spádových rovin a v druhé určíme jejich velikosti.

Příklad 2.2.3. Předpodládáme v průmětně lichoběžník ABCD za průmět hran římsových a mezních, kladouce za podmínku, že přímky spádové nemají protínati stranu AB v části EF1 , stranu BC vůbec, stranu AD v části KD, kdežto na straně DC mohou v části DG procházeti nanejvýš bodem H. 1

Takovým stranám říkáme zakázané okapy a kreslíme dvojitou čarou.

15

Úlohy tohoto typu můžeme najít v dnešních středoškolských učebnicích určených pro SPŠ stavební, avšak ve vysokolškolských učebnicích se spíše nevyskytují. Poznámka. Za průmětnu volíme rovinu okapového obrazce a dnešní značení je odlišné od značení prof. Sobotky. Stopy spádových rovin jsou zároveň stranami okapového obrazce a postupně je značíme arabskými číslicemi 1, 2, 3, 4, . . . Půdorysy průsečnic spádových rovin značíme 12, 23, 34, . . . Je-li přerušena celá strana okapu, mluvíme o zastavěné části, je-li přerušena jen část okapu, mluvíme o štítu. Vodu musíme odvést použitím dalších pomocných střešních rovin a střechu řešíme jako v předcházejícím příkladě.

2.3

KAPITOLA III. - Promítání kruhové.

„Abychom zabránili výtce, učiněné promítání kótovanému, můžeme vyjádřiti vzdálenost každého bodu B od průmětny geometrickým způsobem v rovině průmětné P1 tak, že v ní opíšeme kružnici b1 , jejíž střed jest průmětem ortogonálním B ′ bodu do roviny PI a jejíž poloměr se rovná vzdálenosti bodu B od průmětny.ÿ Tato kapitola je zajímavá především pro to, že se kruhové promítání už nevyučuje a ani se s ním nesetkáme v moderní literatuře či nových učebnicích. Kružnici bI nazýváme průmětem cyklickým (kruhovým) bodu B. Nauku o cyklickém promítání nazýváme cyklometrií nebo cyklografií. Struktura kapitoly: • Průmět bodu. • Průmět přímky. 16

• Průmět roviny. • O rotačním kuželi. • Některé úlohy. • Transformace průmětny.

Sklopme promítací rovinu přímky p do průmětny. Nechť jsou A, B libovolné body přímky p na téže straně průmětny. Pak jsou A(A), B(B) rovnoběžné poloměry příslušných cyklů aI , bI . Proto prochází přímka (p) = (A)(B) jejich vnějším bodem podobnosti, tj. stopníkem přímky p. Naopak jsou-li body A, C ∈ p na různých stranách průmětny, pak je stopník P1 vnitřním bodem podobnosti cyklů aI , cI . Přímku p, na které leží poloměry příslušných cyklů, nazveme přímkou podobnosti obou kružnic. Souhrn cyklů, mající společný střed podobnosti, nazýváme lineární řadou cyklickou. Věta 2.3.1. Cyklický průmět přímky je lineární řada cyklická. Spád přímky tg α je dán poměrem dulem odvozené řady cyklické. Je-li

A(A) . PI A

Obrácenou hodnotu spádu cotg α nazývá mo-

1. cotg α > 1, tedy α < 1/2ρ, pak křivky této řady mají dvě společné tečny vycházející z bodu PI , 2. cotg α < 1, tedy α > 1/2ρ, pak bod PI leží uvnitř kružnic řady, tedy z něho nelze vést společné tečny, 3. modul roven jedné, tedy α = 1/2ρ, pak se všechny kružnice řady té dotýkají v bodě PI . 17

Dvěma kružnicemi aI , bI jsou určeny dvě přímky a dva páry přímek souměrně položených vzhledem k průmětně p+ , p− , q+ , q− . Bereme-li totiž kružnice ve smyslu kladném, vyjadřují nám body A+ , B+ přímku p+ , bereme-li kružnice ve smyslu záporném, vyjadřují nám body A− , B− vzhledem k PI souměrně položené přímku p− . Máme tedy přímky p+ , p− souměrně položené vzhledem k PI a přímky q+ = A− B+ , q− = A+ B− taktéž souměrně položené vzhledem PI . Souhrn křivek kruhových, spojujících dvě řady cyklické, do nichž se promítají dvě přímky souměrně položené vzhledem k průmětně, nazýváme lineární řadou kruhovou. Přímky p+ , p− mají společný stopník PI , vnější bod podobnosti kružnic aI , bI a jsou promítány stejnou lineární řadou kruhovou, kdežto přímky q+ , q− mají společný stopník QI , střed podobnosti kružnic aI , bI , které jsou také promítnuty jedinou řadou kruhovou. Mámeli čtyři body na přímce seřazeny v určitém pořádí a je-li úsečka určena prvními dvěma z nich, uvnitř i vně rozdělena ostatními dvěma body ve stejném poměru, pak říkáme, že tyto body tvoří harmonickou čtveřici. Z trojúhelníků podobnosti trojúhelníků △PI A′ (A+ ) ∼ △PI B ′ (B+ ) plyne úměra |A′ (A+ )| |A′ PI | = , |B ′ PI | |B ′ (B+ )|

(2.1)

z podobnosti trojúhelníků △QI A′ (A+ ) ∼ △Q1 B ′ (B− ) úměra |A′ Q1 | |A′ (A+ )| = ′ . |B ′ Q1 | |B (B− )|

(2.2)

|A′ PI | |A′ Q1 | = − , |B ′ P1 | |B ′ Q1 |

(2.3)

Dohromady tedy dostáváme vztah

který můžeme interpretovat takto: 18

Věta 2.3.2. Body podobnosti dvou kružnic dělí jejich středovou vzdálenost vně a uvnitř ve stejném poměru, tedy středy dvou kružnic tvoří s jejich body podobnosti čtveřici harmonických bodů2 . V této kapitole se také poprvé zmiňuje o rotační kuželové ploše, která vzniká rotací přímky t kolem přímky o, která je s t různoběžná. Zmiňuje rotační válec. Důležitá je souvislost s rotačním kolmoramenným kuželem, protože každá rovina proložená osou jej protíná v kolmých přímkách. Má-li takovýto kužel osu o kolmou k průmětně a nechť v1 značí průnik kužele s průmětnou, pak se daný kužel promítá v souhrn cyklů, dotýkajících se kružnice v1 . Je-li naopak vrchol V v průmětně, osa o k průmětně kolmá, pak je průmětem kužele souhrn kružnic, procházejících V1 .

2.4

KAPITOLA IV. - Použití roviny distanční a zavádění nových průměten.

Tato kapitola je poměrně obsáhlá co do objemu učiva, o čemž svědčí už jen obsah této kapitoly. Zabývá se různými typy příkladů, zmiňuje se o kulové ploše, ale neřeší na ni žádné úlohy. Opět postupuje od úloh jednodušších k úkolům náročnějším. Podkapitoly: • Průmět přímky, roviny a bodu. • Průseky. Vzájemné určování bodů, přímek a rovin. • Věty Desarguesovy o dvou trojúhelnících. • Hesse-ova konfigurace. • Určení vzdáleností a odchylek; sklopení. • O ploše kulové. • Některé úlohy. • Transformace průmětny. • O promítání do dvou průměten. • Přechod od průměten PI , PII k sobě libovolně nakloněných k průmětnám k sobě kolmým. • Užití transformace průmětny k řešení úloh stereometrických. 2

O harmonické čtveřici bude řeč v kapitole VI.

19

Za základní útvar kolmého promítání si mimo průmětnu vezme ještě pevnou rovinu s ní rovnoběžnou a nazve ji rovinou distanční Pπ . Přímka u v obecné poloze je určena, známe-li její stopník UI v průmětně a průmět jejího distančního bodu, tj. bodu Uπ , v němž protíná distanční rovinu. Rovina ̺ v obecné poloze je určena, znáne-li její stopu rI a průmět rπ′ její distanční přímky, to jest průsečnice s distanční rovinou. Bod A určujeme jeho průmětem a pak tím, že určíme libovolnou přímku m jím procházející pomocí jejího stopníku a distančního bodu. Takovou přímku nazveme nositelkou bodu A. Ze základních úloh vybíral autor jenom takové, jejichž způsob řešení je charakteristický a různý od způsobu řešení při promítání kótovaném nebo kruhovém. Co se mi líbilo byla interpretace a uplatnění Desarguesovy věty o dvou tojúhelnících. Příklad 2.4.1. Sestrojit přímku p, danou body A, B. 1. Body A, B dány svými nositelkami a, b. 2. Budiž nositele bodů A, B roviny α, β.

1.) Nechť je σ = (Ba) rovinou, v níž bude naše hledaná přímka p ležet. Nahradíme nositelku b za nositelku b1 , která bude ležet v rovině σ a tím je úloha vyřešena. 2.) Proložíme body A, B a nějakým bodem L ležícím na průsečnici l rovin α ∩ β rovinu λ, v níž bude hledaná přímka ležet. Přímky l1 = LA, l2 = LB určí rovinu σ. Jejich stopníky jsou L1I na aI , L2I na bI a přímka L1I L2I je stopou roviny λ, protíná tedy p v jejím stopníku. Příklad 2.4.2. Šestiboký pravidelný jehlan komolý se má seříznout rovinou danou třemi body M, N, P. Předpokládejme podstavu 123456 komolého jehlanu v průmětně a rovinu omezujícího šestúhelníku I II III IV V VI za rovinu distanční. Nechť bod M leží v distanční rovině, bod N v rovině 23III a bod P na přímce 6VI. 1. Body M, N, P proložíme rovinu a stanovíme její stopu a distanční přímku. 2. Sestrojíme řez.

20

Na tomto jednoduchém příkladě ukázal jaké hezké věci je také možno provádět a jak je také možno využívat distanční rovinu. Navíc jde o hranaté prostorové těleso, které v této Sobotkově učebnici najdeme jen opravdu zřídka. Na rozdíl od následujícího příkladu, který bych zařadila do těch obtížnějších a ve kterém využívá právě zmiňované Desarguesovy věty. Příklad 2.4.3. Třemi body A, B, C proložit rovinu σ. Nositelkami bodů A, B, C jsou roviny α, β, γ. Proložíme např. body A, C přímku u pak vedeme v rovině β přímku b2 bodem B, která přímku u protíná. Pak σ = ub2 .

21

Věta 2.4.4. Když dva trojúhelníky A1 B1 C1 , A2 B2 C2 mají takovou polohu, že se spojnice AA1 , BB1 , CC1 jejich vrcholů protínají v jediném bodě S, pak leží body průsečné a1 ∩a2 , b1 ∩ b2 , c1 ∩ c2 jejich stran a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 , protilehlých vrcholů spojených, na jediné přímce s. Platnost má také opak věty. Věta 2.4.5. Když dva trojúhelníky A1 B1 C1 , A2 B2 C2 o stranách a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 mají takovou polohu, že průsečné body a1 ∩ a2 , b1 ∩ b2 , c1 ∩ c2 jejich stran leží na jedné přímce s, pak procházejí spojnice příslušných jejich vrcholů, stranám těm protilehlých, jediným bodem S. Dva trojúhelníky, které jsou v poloze vyjádřené oběma větami právě uvedenými jmenujeme trojúhelníky perspektivními. Bod S nazýváme středem, přímku s perspektivní osou.

Jedná se o Desarguesovu3 větu. V této kapitole se v souvislosti s transformací průmětny a distanční rovinou poprvé zmiňuje o promítání do dvou rovin PI , RII , v nějakém úhlu ω k sobě nakloněným. Uvažuje o kolmém promítání do těchto rovin takovém, že tyto roviny považuje za průmětny, do nich promítá kolmo a pak sklopí jednu rovinu do druhé. Takovými dvěma sdruženými průměty je již útvar určen. Jsou-li roviny PI ⊥ RII , je poloha každého bodu bezprostředně určena a tudíž není potřeba distanční roviny. Z toho udává důležitost takového promítání a jeho nezávislost na jiných promítacích metodách. Je-li však úhel ω libovolný, pak se konstrukce ve sdružených průměrech pohodlněji provádí přechodem k rovině distanční, rovnoběžné s jednou nebo druhou průmětnou. Přesto (spíše právě proto) následuje kapitola o kosoúhlém promítání a až po ní je zařazena kapitola o kolmém promítání na dvě průmětny. 3

Girard Desargues, francouzský matematik, zakladatel projektivní geometrie, žil v letech 1591-1661.

22

2.5

KAPITOLA V. - Promítání kosoúhlé na jednu průmětnu.

P ′ . . . kolmý průmět bodu P do průmětny. P σ . . . kosoúhlý průmět bodu P . Nechť z je vzdálenost bodu P od průmětny a σ úhel, který svírají klinogonální promítací paprsky s průmětnou. Z pravoúhlého trojúhelníka △P P ′P σ pak plyne, že z = P ′ P σ · tg σ. Poměr P ′zP σ pro určité šikmé promítání se nazývá modulem kosoúhlého promítání. Prostorový útvar Σ je úplně zadán, známe-li jeho průměty Σ′ , Σσ , modul promítání a smysl, v němž se přiřazují ordinály pozitivním souřadnicím z bodů v prostoru. Je-li σ = 12 ρ, je-li tedy modul roven jedné, pak je souřadnice z bodu bezprostředně dána a je tudíž vidět souvislost s cyklickým promítáním. Konstrukcemi polohy nazývá sestrojování a provádění úloh, které se řeší na základě incidence prvků nebo útvarů. Metrickými konstrukcemi nazývá konstrukce, v nichž odvozujeme délky a úhly a naznačuje, že se takové konstrukce provádějí alespoň částečným přechodem ke kolmému průmětu. Podobně jako v kolmém promítání zavádí distanční rovinu. Přímka p se pak dá vyjádřit stopníkem PI a průmětem Pπσ bodu Pπ , v němž přímka protíná rovinu distanční. Stejně tak rovinu ̺ můžeme vyjádřit stopou a r1 a průmětem rπσ průsečnice rπ s rovinou distanční. Bod B můžeme vyjádřit průmětem a nositelem. Nechť je z kolmo promítací přímka bodu B, zβ vzdálenost bodu B od průmětny. Pak je vzdálenost zβσ rovna |B ′ B σ |. Nechť značí PI průmětnu a Pπ distanční rovinu. Tyto roviny vytínají na všech kolmo promítacích přímkách úsečky o stejné délce d, to znamená že i průměty těchto úseček budou mít stejnou délku dσ . Proto můžeme bod B vyjádřit průměty B ′ , B σ a vyjádříme si úsečku ZI Zπ kolmou k průmětně, omezenou průmětnou a rovinou distanční, průmětem ZI Zπσ = dσ . Délku d vyjádříme kružnicí se středem v bodě ZI v průmětně o poloměru d. Tuto kružnici nazývá distanční kružnicí.

23

Kosoúhlé promítání, tak jak ho rozumíme a používáme dnes. Jeho základem je také šikmé promítání na jednu průmětnu. Volíme ale další pomocnou průmětnu π1 , na kterou promítáme pravoúhle a která je kolmá k průmětně π kosoúhlého promítání, obvykle ji volíme vodorovnou.

Bod A zobrazíme tak, že jej nejprve kolmo promítneme do pomocné průmětny do bodu A a pak kosoúhle promítneme jak A, tak i A′ do průmětny kosoúhlého promítání. Průměty A1k , Ak tvoří uspořádanou dvojici bodů, která leží na rovnoběžce s osou z. Obráceným způsobem je možno z uspořádané dvojice (A1k , Ak ), která leží na kolmici k základnici y, jednoznačně sestrojit bod A. Kosoúhlé promítání s užitím pomocné průmětny je určeno základnicí a směrem kosoúhlého promítání. Jestliže kromě pomocné průmětny π1 ⊥ πk užijeme ještě pravoúhlého promítání do průmětny πk , dostaneme běžně užívané kosoúhlé promítání. ′

24

Pravoúhlý průmět A12 pomocného průmětu A′ bodu A je bodem základnice. Pravoúhlý průmět A2 bodu A a pravoúhlý průmět A12 jeho pomocného průmětu A′ leží na kolmici −−→ −−−→ k základnici; orientovaná vzdálenost A12 A2 se rovná orientované vzdálenosti zA = A′ A bodu A od pomocné průmětny π1 . Kosoúhlý průmět A1k a druhý průmět A12 pomocného průmětu A′ leží na přímce, jejíž směr je pravoúhlým průmětem směru kosoúhlého −−−−→ promítání; A12 A1k se rovná k-násobku orientované vzdálenosti bodu A od průmětny πk . Kosoúhlý průmět A1k pomocného průmětu A′ bodu A a kosoúhlý průmět Ak bodu A leží −−−−→ na kolmici k základnici; A1k Ak se rovná orientované vzdálenosti bodu A od pomocné prů−−−−→ −−→ mětny (A1k Ak = A′ A = zA ). A1 , A2 nazýváme pomocný prvý a druhý průmět, nebo také půdorys a nárys bodu A. A1k nazýváme kosoúhlý průmět půdorysu, nebo stručně kosoúhlý půdorys. Ak nazýváme kosoúhlý průmět. Příklad 2.5.1. Body A, B jsou dány svými průměty Aσ , A′ , B σ , B ′ . Určete jejich vzdálenost, odchylku α přímky AB od průmětny a na úsečce AB určete bod C, jehož vzdálenost q od bodu B je dána.

25

V průsečíku rovnoběžky s Aσ B σ bodem A′ a ordinály B σ B ′ leží bod B1σ . Pak B1σ B ′ je kosoúhlým průmětem úsečky kolmé k průmětně, jejíž délka je rovna rozdílu zβ − zα vzdáleností bodů B, A od průmětny. Abychom tento rozdíl sestrojili, vedeme bodem ZI kolmici k A′ B ′ . Označíme L jeden z průsečíků s distanční kružnicí. Bod (B) zkonstruujeme tak, že sestrojíme trojúhelník △B ′ B1σ (B) podobný k trojúhelníku △ZI Zπσ L. Potom A′ (B) je pravou délkou úsečky AB a úhel ∢B ′ A′ (B) je roven hledané odchylce. Sklopení roviny ̺. Promítneme-li rovinu ̺ rovnoběžně ve směru kolmém k jedné nebo druhé rovině souměrnosti rovin ̺ a průmětny πI , obdržený kosoúhlý průmět je totožný s příslušným sklopením roviny. Proto nazýváme sklopení též jejím shodným průmětem a to buď souhlasně nebo souměrně shodným. Rovnoběžný průmět roviny s jejím sklopením leží v tzv. poloze příbuznosti. Sklopení roviny ̺ se provádí pomocí sklopení nějakého bodu L na distanční přímce. Bodem Lσ vedeme rovnoběžku s přímkou ZI Zπσ . Bod L′ je kolmý průmět bodu L a jeho vzdálenost od průmětny je d. Sklopený bod L0 leží na kolmici z L′ na rI , bod L1 je pata kolmice. L′ (L)krI a L′ (L) = d. Pak |LI L0 | = |LI (L)|, čímž je sklopený bod L0 určen. Přímka L′ LI je spádová přímka roviny ̺, jejím kosoúhlým průmětem je přímka Lσ LI . Chceme-li otočit další bod M roviny ̺, využijeme afinity mezi sklopeným a otočeným průmětem roviny ̺. Stopa rI je osou, Lσ L0 je směrem afinity.

26

Otočení roviny ̺.

LL△ leží v rovině kolmé k přímce p, lze přímkou p proložit rovinu λ kolmou k přímce LL△ . Rovina λ půlí vrcholové úhly rovin ̺, ̺△ , takže pro všechny body L ∈ ̺ mají přímky LL△ stálý směr, kolmý k λ. Přímka l ∈ ρ a její otočení l△ se protínají na ose otáčení, nebo jsou s ní rovnoběžné. Příklad 2.5.2. Otočení roviny ̺, která je určena přímkami rI , rπ kolem některé její hlavní přímky do polohy ̺△ rovnoběžné s průmětnou.

Nejprve otočíme bod HI , ležící na stopě rI . Bodem HI vedeme kolmici k ̺△ , určíme její průsečík s ̺△ a stanovíme vzdálenost bodu HI od roviny ̺△ , získáme poloměr otáčení a σ bod H△ . Obrazce v rovině ̺ a ̺△ jsou v poloze afinní, osou afinity je průmět osy otáčení σ p, směr afinity je HI H△ . 27

2.6

KAPITOLA VI. - Základní prvky a útvary; některé způsoby určování prvků.

Struktura kapiloly: • Základní prvky a základní útvary geometrické. • Smysl úseček a úhlů. • Dělicí čili určující poměr. • Harmonické prvky v útvarech prvního řádu. • Rozšíření pojmu o určujícím poměru. Zajímají ho v prvé řadě ty vlastnosti, které se promítáním nemění, tedy ty, které při promítání zůstávají invariantní. Základními prostorovými prvky míní bod, přímku a rovinu. Nejjednodušší vztah pro polohu dvou základních nestejných prvků je ten, že je jeden v druhém obsažen a naopak, že tento prochází oním. O dvou takových prvcích praví, že jsou incidentní. Z těchto prvků skládá základní útvary prostorové pomocí polohy incidentní. Rozlišuje útvary prvého, druhého, třetího a čtvrtého řádu. I. Základní útvary prvého řádu. • Přímá řada bodová (krátce řada bodová) je souhrnem všech bodů na přímce; body jsou prvky, přímka se nazývá osou nebo nositelkou řady. • Svazek přímkový čili paprskový (krátce svazek ) je souhrn všech přímek ležících v jedné rovině a procházejících pevným bodem. Pevný bod nazýváme středem nebo vrcholem svazku, jednotlivé přímky jsou prvky svazku. • Svazek rovin osový (krátce svazek rovin) je souhrn všech rovin proložených pevnou přímkou; tyto roviny jsou prvky svazku, přímka je osou čili nositelkou svazku. II. Základní útvary druhého řádu. • Rovinné pole bodové - souhrn všech bodů ležících v rovině. • Rovinné pole přímkové - souhrn všech přímek ležících v rovině. • Prostorový svazek paprskový - souhrn všech přímek v prostoru, procházejících jedním bodem. • Prostorový svazek rovin - souhrn všech rovin, procházejících jedním bodem.

28

Soustava rovinná - souhrn všech základních prvků a souhrn všech základních útvarů prvního řádu. Soustava svazková (svazek prostorový) - souhr všech prvků základních, vedených jedním bodem (středem) a všech útvarů prvořadých, jehož prvky tímto středem procházejí. Soustava prostorová - souhrn všech základních prvků a všech útvarů z nich vytvořených. Shluk přímek - souhrn přímek v prostoru, které protínají danou přímku. Spletivo přímek - souhrn přímek v prostoru, které současně protínají dvě přímky obecně mimoběžné. III. Základní útvary třetího řádu. • Bodový prostor - souhrn veškerých bodů v prostoru. • Rovinový prostor - souhrn veškerých rovin v prostoru. Bodový prostor obsahuje jako prvky různých druhů body, přímé řady bodové, a rovinná pole bodová. Rovinový prostor obsahuje jakožto prvky různých druhů roviny, osové svazky rovin a prostorové svazky rovin. IV. Základní útvar čtvrtého řádu. • Přímkový prostor - souhrn veškerých přímek v prostoru. Přímkový prostor obsahuje jakožto prvky různých druhů: 1. přímky jakožto prvky základní; 2. rovinné svazky přímek jakožto základní útvary prvého řádu; 3. přímková pole a prostorové svazky přímek jakožto základní útvary druhého řádu, shluky přímek jakožto základní útvary třetího řádu. Dělicí poměr definuje takto: Vytkneme si dva pevné body A, B na řadě bodové, která leží na přímce p, tyto body nazveme počáteční nebo základní a úsečku jimi stanovenou základní úsečkou řady. Libovolný bod C na p určuje úsečky AC, BC, jejichž poměr λ=

AC BC

(2.4)

nazýváme dělicím poměrem neboli modulem bodu C vzhledem k základním bodům A, B. Dělicí poměr označoval symbolem (ABC). Příklad 2.6.1. Zjistit dělicí poměr λ bodů A, B, C.

29

Známou konstrukcí nalezneme bod C, jehož dělící poměr vzhledem k bodům A, B, je roven danému číslu λ. To tak, že bod A považujeme za počáteční a na přímce a si zvolíme jeden směr za kladný, bodem B vedeme rovnoběžku k přímce a a od bodu B naneseme v kladném smyslu úsečku délky 1, čímž obdržíme bod S. Spojíme-li libovolný bod C přímky p s bodem S, spojnice protne přímku a v bodě C ′ . Z podobnosti trojúhelníků △AC ′ C ∼ △BSC plyne, že číslo vyjadřující úsečku délky |AC ′ | pomocí délky úsečky |BS|, jakožto jednotky, je hodnota λ. Stejně tak △AC1′ C1 ∼ △BSC1. Každému bodu na přímce p tedy přísluší určitý dělící poměr λ. Naopak, je-li hodnota λ dělícího poměru dána, plyne z výrazu λ=

AB AC =1+ BC BC

(2.5)

1 · AB 1−λ

(2.6)

pro BC hodnota BC = a pro AC hodnota

λ · AB. (2.7) λ−1 Každému číslu λ, pro něž lze první nebo druhý výraz sestrojit, přísluší jediný určitý bod na přímce p, jenž lze sestrojit. AC =

Příklad 2.6.2. Ve svazku sestrojit přímku c, jež se základními přímkami a,b určuje daný . dělící poměr λ = m n

30

Konstrukce je patrná z obrázku. Na přímku a naneseme od středu S svazku vzdálenost n, tím vzniknou body A1 , A2 . Na přímku b naneseme od středu S svazku úsečku délky m, dostaneme body B1 , B2 . Bodem A1 vedeme rovnoběžku s přímkou b a bodem B1 vedeme přímku rovnoběžkou s přímkou a. Průsečík těchto přímek označíme C1 . Užijeme-li v trojúhelníku △SA1 C1 sinové věty, je patrné, že c = SC1 určuje s a, b dělící poměr λ. Dělící poměry (abc), (abd), jak je vidět z obrázku, jsou číselně stejné a liší se ve znaménku. Příklad 2.6.3. Sestrojit harmonickou čtveřici bodů a přímek. Na přímce p máme sestrojit bod D, jenž je harmonický s daným bodem C k daným bodům A, B. Známá konstrukce z projektivní geometrie, které profesor Sobotka také velmi často používá. Zvolme na libovolné přímce jdoucí bodem C body S, S1 . Dále veďme přímky AS1 , BS1 , AS, BS a spojme body B1 = AS ∩ BS1 , A1 = BS ∩ AS1 přímkou p1 , která protíná přímku SC v bodě C1 .

Příklad 2.6.4. Sestrojit tečny ke kružnici z daného bodu A ležícího vně kružnice. 31

Věta 2.6.5. Vyhledáme-li k danému bodu vně kružnice ležícímu A na každé sečně kružnice jím vedené bod harmonický A1 vzhledem k jejím bodům průsečným s kružnicí, leží body, které takto obdržíme, na tětivě styčné bodu A.

Z bodu A sestrojíme libovolné dvě sečny kružnice. Sečna a protíná kružnici postupně v bodech A1 , A2 ; sečna b protíná kružnici postupně v bodech B1 , B2 . Průsečík přímek A1 B2 a A2 B1 označíme R, průsečík přímek A1 B1 , A2 B2 označme S. Pak přímka s = SR protíná kružnici v hledaných dotykových bodech T, T1 .

2.7

KAPITOLA VII. - Afinita; afinní poloha dvou soustav rovinných.

Leonhard Euler zavedl název afinita v Introductio in analysin, Lausanne 1748, kde se zabývá obrazci afinně položenými. Ale jak Michel Chasles4 sděluje ve svém díle Aperu historique sur l’origine et le développement des méthodes en géometrie (1837), zkoumal již dříve vztah, který vyznačujeme jakožto polohu afinní, ve svém proslulém pojednání Recherches sur les courbes á double courbes 1731, Alexis Claude de Clairaut5 . Tato kapitola se mi líbila nejvíce z celé učebnice. Zároveň pro mě byla také nejzajímavější, , protože je plná pěkných konstrukcí. Struktura kapitoly: • Průměty paralelní řad bodových a soustavy rovinné. • Afinní poloha v rovině. • Různé určení polohy afinní v rovině. 4 5

Francouzský matematik, žil v letech 1793–1880. Francouzský matematik, astronom a geofyzik, žil v letech 1713–1765

32

• O stejných úhlech a úsečkách afinně položených. • Paralelní průměty kružnice; některé konstrukce a vlastnosti elipsy. • O bodech průsečných kružnice s elipsou; sestrojení předepsaných úhlů afinně položených. • Další konstrukce vztahující se k elipse. • Obecné průměty paralelní kružnice a elipsy; konstrukce na nich založené. • Obecná afinita útvarů rovinných. • Upotřebení afinity při řešení metrických úloh v paralelním promítání. • Sestrojování rovinných útvarů shodných. • Prostorová poloha afinní. • Afinita obecná dvou soustav prostorových. • O prostorových útvarech shodných. Vybrala jsem pár úloh nestandartně a elegantně řešených. Příklad 2.7.1. K dané elipse, jejíž střed S je dán, sestrojte tečnu • v jednom jejím bodě B; • rovnoběžnou s danou přímkou p.

• Sestrojíme libovolný průměr 12 elipsy a jedním bodem průměru (např. 1) vedeme tětivu 13 rovnoběžnou se spojnicí středu a bodu dotyku T S. Pak hledaná tečna je rovnoběžná s přímkou spojující body 23.

33

• Sestrojíme libovolný průměr 12 elipsy a jedním koncovým bodem (třeba bodem 2) tohoto průměru vedeme rovnoběžku s daným směrem, která protne elipsu v bodě 3. Potom rovnoběžka s přímkou určenou body 13 jdoucí středem S elipsy protne elipsu v hledaném bodě dotyku T . Příklad 2.7.2. Pro daný bod T na elipse sestrojit její kružnici křivosti k.

Sobotkova konstrukce: V bodě T sestrojíme tečnu t a normálu n elipsy. Dále bodem T vedeme přímku l, různoběžnou s t, která seče elipsu v bodech T a E4 . Kružnice k prochází body T, E4 a má střed na přímce n. Její střed K tedy leží v průsečíku osy úsečky T E4 a přímky n, její poloměr je |KT |. Pro srovnání uvádím řešení pomocí Steiner–Pelzovy paraboly6 . Věta 2.7.3. Budiž A bod kuželosečky k a K jeho střed křivosti. Potom se normála kuželosečky k sestrojená v bodě A dotýká Steiner–Pelzovy paraboly bodu A v bodě K. Věta 2.7.4. Je-li bod P bodem kuželosečky k, pak se jeho Steiner–Pelzova parabola dotýká os kuželosečky k a tečny a normály kuželosečky sestrojené v bodě P . Steiner–Pelzova parabola je v tomto případě určena čtyřmi tečnami, jimiž jsou osy o, o′ dané elipsy, její tečna t a normála n v bodě A. Pomocí Brianchonovy věty určíme Tuto parabolu objevil německý geometr J. Steiner(1796–1863) a konstrukčně ji využíval český geometr K. Pelz(1845–1908), který byl profesorem deskriptivní geometrie na Českém vysokém učení technickém v Praze. 6

34

bod dotyku K normály n a Steiner–Pelzovy paraboly. Očíslování jsme provedli takto: n = 1 = 2, t = 3, o = 5, o′ = 6; nevlastní tečna Steiner–Pelzovy paraboly 4∞ . Brianchonův bod B je pak průsečík průměru kuželosečky k vedeného bodem T s kolmicí vztyčenou k normále v jejím průsečíku X s osou o′ . Bodem B vedená rovnoběžka s osou o protne normálu n v hledaném středu křivosti K.

Střed oskulace v bodě T (elipsa dána sdruženými průměry) dle profesorů R. Pisky a V. Medka. Posuňme souřadnicový systém do vrcholu A kuželosečky. Pak elipsa bude mít rovnici (x − a)2 y 2 + 2 = 1, a2 b

(2.8)

po úpravě

b2 b2 2 x − 2 x = 0. (2.9) a2 a Koeficient u x je výraz pro hodnotu poloměru hyperoskulační kružnice kuželosečky pro vrchol v počátku souřadnicového systému. Zdůvodnění podává diferenciální geometrie. Vyjádříme-li rovnici kuželosečky pro souřadnicový systém v tečně t = y a n = x kuželosečky, pak lze její rovnici napsat ve tvaru y 2 + 2a12 xy + a11 x2 − 2a01 x = 0. Koeficient a01 udává hodnotu poloměru oskulační kružnice v počátku soustavy. Podrobíme-li kuželosečku danou rovnicí 2.9 nevlastní elaci ve směru osy y, lze tuto transformaci vyjádřit vztahy x = x, y = y + qx. Při uvažované transformaci zůstává koeficient a01 invariantní. y2 +

Věta 2.7.5. Všechny kuželosečky dotýkající se v pevném bodě, které lze nevlastní elací ve směru společné tečny navzájem v sebe transformovat, mají touž oskulační kružnici. 35

Podle této věty uvažujeme pomocnou elipsu s vrcholem v bodě T , která v něm oskuluje danou elipsu. Její střed S1 je v průsečíku normály n s průměrem LL′ a její druhá poloosa má délku |L1 S1 | = |SL|. Nyní známým způsobem sestrojíme střed K oskulační kružnice pomocné elipsy e1 , která je hledanou oskulační kružnicí.

Střed oskulace v bodě T k elipse dané sdruženými průměry T T ′ , LL′ podle profesorů Kadeřávka, Klímy, Kounovského. Omezíme sdružený průměr tím, že vedem tečny l, l′ rovnoběžné s T T ′ body L, L′ . Přímky t, l, LL′ , l′ vytvoří rovnoběžník UV LL′ . Průsečík průměru LL′ s nomálou elipsy v bodě T označme R. Vedeme-li kolmici jedním z bodů U, V k přímce určené druhým bodem a bodem R, tato kolmice protne normálu v hledaném středu K oskulace.

36

Množina všech středů kružnic křivosti (oskulačních kružnic) elipsy se nazývá evoluta. Dá se také popsat jako obálka normál této křivky.

Příklad 2.7.6. Sestrojte elipsu ze dvou sdružených průměrů. Na základě konstruncí vlevo můžeme sestrojit hlavní a vedlejší osy elipsy ze znalosti sdružených průměrů.

37

Kružnice k1 , k2 jsou vrcholové kružnice. Sestrojíme v kružnicích k1 , k2 dva k sobě kolmé poloměry a označíme C1 , D1 jejich průsečík s k1 ; C2 , D2 jejich průsečík s k2 . Pomocí afinity sestrojíme body C, D elipsy. Otočíme trojúhelník △SDD1 kolem středu S o pravý úhel tak, že bod D1 přejde do bodu C1 a bod D přejde do bodu D ′ . Úsečka C1 D ′ je rovnoběžná s hlavní osou a body CC2 D ′ C1 tvoří obdélník. Označíme-li O střed obdélníka, pak vzhledem a tedy |SO| = k tomu, že |C2 C1 | = a − b, je i |OC| = |OD ′| = |OC2| = |OC1| = a−b 2 a+b a − |OC1 | = 2 . Naneseme-li vzdálenost |OS| na polopříku SC1 do bodu C3 , vznikne rovnoběžník CC3 D ′ S. C3 C je normálou elipsy v jejím bodě C. Dále |SO| = |OC3| => |SC3| = a + b. Bod C3 tedy leží na kružnici soustředné s kružnicemi vrcholovými, její poloměr je |SC3 |. Dále |CC3 | = |SD ′| = |SD| => |CC3 | je délkou poloměru sdruženého s poloměrem SC.

Sestrojíme-li v bodě C3 rovnoběžku s vedlejší (hlavní) osou, protne nám hlavní (vedlejší) osu v bodě Rα (Rβ ). Body SRα C3 Rβ tvoří obdélník, který je soustředný s obdélníkem C2 CC1 D ′ . Proto přímka CD′ protíná hlavní a vedlejší osu právě v bodech Rα , Rβ a |Rα Rβ | = a + b.

38

Body Cα , Cβ jsou průsečíky os elipsy s rovnoběžkou vedenou bodem C s přímkou SC1 . Bod C4 sestrojíme jako průsečík rovnoběžky s hlavní osou v bodě Cβ a rovnoběžky s vedlejší osou v bodě Cα . Takto vzniklý obdélník Cβ C4 Cα S je shodný s obdélníkem C2 CC1 D ′ . Bod C4 tedy leží na kružnici soustředné s vrcholovými kružnicemi a má poloměr a − b. Zvolímeli bod C3 za střed podobnosti s koeficientem podobnosti k = 2, pak úsečce OC přísluší úsečka SC4 , bodu C přísluší bod C4 , proto leží bod C4 na normále C3 C a |CC4 | = |C3 C|. Osy elipsy tedy půlí úhel ∢C3 SC4 . Kdybychom chtěli sestrojit také ohniska elipsy, sestrojíme průsečík J vedlejší osy s rovnoběžkou bodem C s přímkou SD a opíšeme kolem tohoto průsečíku J kružnici o poloměru JC3 . Tato kružnice protíná hlavní osu v ohniscích F1 , F2 . Příklad 2.7.7. Elipsa je dána dvěma sdruženými poloměry SA, SB; má se sestrojit kružnice k’, která je k ní afinně položená pro danou osu afinity r.

39

Sestrojíme průsečíky A1 , A2 přímky r s polopřímkami SA, SB. Jelikož úhel ∢ASB je pravý, musí ležet střed kružnice k ′ na Thaletově kružnici nad průměrem A1 B1 . Jelikož trojúhelník △A′ B ′ C ′ bude pravoúhlý rovnoramenný, bude k průměru elipsy h, hkAB příslušet průměr h′ , který s A1 S ′ svírá úhel 12 ρ, jde o obvodový úhel v kružnici l, středový úhel je tedy pravý. Příklad 2.7.8. Sestrojení elipsy ze dvou sdružených průměrů pomocí obecné polohy afinní. Nechť AB, CD jsou sdružené průměry. 1. způsob – najdeme libovolný počet bodů a tečen. Přímku AB volíme za osu afinity, CC1 je jedním z možných směrů afinity.

40

2. způsob – najdu hlavní a vedlejší poloosy. Elipsu opět afinně vztáhneme ke kružnici k1 . Osou afinity je přímka AB, jeden směr afinity je CC1 , druhý CC1′ . Vedeme tečny h, l ke kružnici k1 rovnoběžné se směrem afinity CC1 a tečny m, n ke k1 rovnoběžné se směrem CC1′ . Když bychom uvažovali afinitu mezi k1 a elipsou, pro niž je AB osou a CC1 směrem, můžeme najít další tečny m1 , n1 elipsy, které v této afinitě odpovídají přímkám m, n. Přímky h, l, m, n jsou zároveň tečnami kružnice k1 a elipsy. Tvoří kosočtverec opsaný kružnici i elipse. Jeho úhlopříčky a, b tuďíž procházejí středem S a jsou na sebe kolmé. Stejně tak přímky h, l, m1 , n1 tvoří kosočtverec, jehož úhlopříčky a1 , b1 prochází středem S a jsou na sebe kolmé. Tedy v této afinní poloze přísluší kolmým průměrům kružnice k1 , kolmé průměry v elipse, jenž musí být k sobě sdruženy a jsou proto osami elipsy.

3. způsob – najdu další sdružené průměry, najdu normálu a tečnu v bodě pomocí podobných trojúhelníků. Nejprve pomocí kružnic k1 (S, |SA|), k2 (S, |SC2 |), kde C2 je kolmý průmět bodu C na SC1 , najdeme libovolnou další dvojici sdružených průměrů SP, SR. Osou afinity je přímka AB, směrem afinity je jako v předchozím případě CC1 . Zvolíme P1 ∈ k1 , R1 ∈ k1 tak, že SP1 ⊥ SR1 a sestrojíme body P, R elipsy. Potom SR, SP jsou hledané další sdružené průměry. Budeme hledat normálu v bodě R. Otočíme trojúhelník △P1 P P2 kolem středu S o pravý úhel tak, aby poloměr SP1 kružnice k1 splynul s poloměrem SR1 . Tento trojúhelník přejde do polohy P ′R1 R2 a bude SP ′ ⊥ SP , |SP ′| = |SP |. Veďme rovnoběžku u středem S se směrem afinity. Dále veďme bodem R rovnoběžku s přímkou SR1 . Ta protne u v bodě U, přímku SB v bodě O. Veďme kolmici v bodě U k přímce u a v bodě O k ose afinity AB. V jejich průsečíku leží bod N normály. Přímka RN je tedy hledanou normálou elipsy v bodě R. 41

Zajímavé zjištění: Jsou-li v rovině tři body U, O, R na přímce v pevném spojení, při čemž bod R leží mimo úsečku UO, a pohybujeme-li přímku tak, že body U, O popisují současně dvě k sobě libovolně nakloněné přímky u, resp. o, protínající se v bodě S, pak bod R vykresluje elipsu. Ilustrační obrázek:

V afinitě obecné dvou soustav prostorových, ač by to někoho mohlo překvapit, mluví, sice jen letmo, o šroubovém pohybu, šroubových křivkách. Definuje smysl a parametr šroubového pohybu. Tomu, čemu dnes říkáme výška závitu, říká postup helikálního pohybu. Definuje pravotočivý a levotočivý pohyb takto: „Myslíme si pozorovatele ve směru osy, kolem níž se pohyb děje tak, aby smysl pohybu v ose od paty k hlavě pozorovatelově se ztotožňoval se smylem kladným osy, tu se otočení děje vzhledem k pozorovateli buď ve smyslu od pravé ruky k levé aneb od levé ruky k pravé. V prvém případě nazýváme pohyb helikálním levotočivým, v druhém případě sluje pohyb pravotočivým.ÿ Na šroubový pohyb 42

se dívá jako na způsob, jakým lze daný útvar převést z jedné polohy do druhé. Nikoliv že by sestrojoval šroubovice.

2.8

KAPITOLA VIII. - Průměty orthogonální do dvou k sobě kolmých průměten.

Struktura kapitoly: • Uspořádání průmětů a průměty bodů. • Sdružené průměty přímky. • Vyjádření roviny. • Vzájemná poloha dvou přímek, dvou rovin, přímky a roviny. • Některé základní úlohy, vztahující se k rovinám. • Průseky rovin s rovinami a s přímkami. • Posunování a vynechávání základnice. • Sestrojování délek a odchylek; sklápění. • Sdružené průměty kružnice a několik úloh. • Transformace průměten. • Otáčení kolem dané osy. • Souvislosti sklopení a sdružených průmětů pro útvar rovinný. • Souvislost mezi dvěma sdruženými průměty útvaru rovinného. • Souvislost mezi třemi sdruženými průměty útvaru rovinného. • O průmětech nesdružených. Už z obsahu této kapitoly je vidět, že je také hodně obsáhlá. Čtenář tu najde více informací než u ktéréhokoliv jiného autora učebnic, který se zabývá ortogonálním promítáním na dvě navzájem kolmé průmětny. Zřejmě chtěl Sobotka precizně vyložit tuto látku, vše podrobně popsat a v učebním textu nic nevynechat. V úvodní kapitole zavádí ortogonální promítání na dvě navzájem kolmé průmětny (P1 ⊥P2 ) podle Monge.7 Kromě půdorysny a nárysny zmiňuje také třetí průmětnu P3 Teorii kolmého promítání na dvě průmětny důsledně vybudoval francouzský matematik Gaspard Monge(1746–1818), kterého považujeme za zakladatele moderní deskriptivní geometrie. Jeho Géométrie descriptive vyšla v Paříži roku 1798. 7

43

(P3 ⊥ P1 ∧ P3 ⊥ P2 ) a názývá ji průmětnou bokorysnou. Stranorysný průmět neboli stranorys nazývá pouze průmět do roviny kolmé k půdorysně PI (tzv. roviny stranorysné ). Souřadnice bodu U v prostoru zavádí tím způsobem, že tímto bodem vede roviny U1 , U2 , U3 rovnoběžné s rovinami souřadnými P1 , P2 , P3 a ty protínají osy v bodech Ux , Uy , Uz . Vzdálenosti těchto rovin od počátku (průsečíku rovin P1 , P2 , P3 ) nazývá pravoúhlými souřadnicemi bodu U. Aby bylo určení jednoznačné, rozeznává na osách kladný a záporný smysl. Potom uvažuje o poloze souřadných rovin vzhledem k průmětně a nachází nejvýhodnější ztotožnit jednu průmětnu s nákresnou a druhou do ní otočit. Zmiňuje také rovinu souměrnosti σ, jakožto rovinu, která prochází symetrálou dvou ze tří rovin P1 , P2 , P3 , a půlí úhel uzavřený kladnými a zápornými částmi obou rovin a rovinu totožnosti τ , která také prochází symetrálou dvou souřadných rovin a půlí vrcholové úhly, z nichž každý je uzavřen kladnou a zápornou částí roviny. Dále mluví o zobrazení roviny a určování vzájemné polohy přímek, rovin, přímek a rovin, zobrazení kružnice atd. U zvláštních případů zavádí transformaci průměten, např. když jsou průměty nějakého předmětu ve zvláštní poloze vzhledem k průmětnám. Žádá průmět do roviny vzhledem k předmětu v obecné poloze, protože takový průmět vzbuzuje lepší představu než průměty původní. Příklad 2.8.1. Jsou dány sdružené průměty A1 , A2 bodu A do rovin P1 , P2 . Vyjádřete jeho sdružené průměry A4 , A5 do nových dvou rovin ̺4 ⊥̺5 , vzhledem k rovinám P1 , P2 určeným. Rovina ̺4 je dána svými stopami r1 , r2 a osa x45 = ̺4 ∩ ̺5 svým prvým průmětem.

Pomocí roviny ̺3 ⊥ P1 určíme přechod k rovině ̺4 . Budeme tedy mít pět průměten, a to P1 ⊥ P2 , které jsou dány, pak rovinu ̺3 ⊥ P1 , kterou jsme zvolili tak, aby ̺3 ⊥ ̺4 a pak 44

̺4 ⊥ ̺5 . Přejdeme tedy od sdružených průmětů prvých a druhých postupně ke sdruženým průmětům třetím a prvým a od nich dále ke třetím a čtvrtým a konečně k průmětům čtvrtým a pátým. Příklad 2.8.2 (Užití transformace). Sestrojte osy o dvou mimoběžek a, b pomocí transformace.

Přímkou a proložíme promítací rovinu do P1 jakožto třetí průmětnu a přímkou b jakožto čtvrtou průmětnu. Odvodíme třetí průmět a3 přímky a a čtvrtý průmět b4 přímky b sdružený k prvnímu. 1.) Vedeme roviny µ a ν rovnoběžně s P1 a sestrojíme průsečíky přímek a, b s těmito rovinami. Za první průmětnu pak bereme rovinu ν. 2.) V E1 vztyčíme kolmici k a1 , v bodě F1 vztyčíme kolmici k b1 a na tyto kolmice naneseme od bodů E1 , F1 délku rovnu vzdálenosti rovin µ a ν. Pak a3 = E1′ E3 , b4 = F1′ F4 (viz. obrázek). 3.) Bodem E vedeme rovinu ε kolmou na a. Bodem F vedeme rovinu ζ kolmou na b. Směr osy o je dán průsečnicí rovin ε ∩ ζ. 4.) Body E, F vedeme rovnoběžky o′ , o′′ se směrem osy o. Osa o bude průsečnicí rovin (a, o′ ), (b, o′′ ). Vidíme ale, že transformace nevede ke zjednodušení příslušných konstrukcí. Příklad 2.8.3. Otáčení roviny kolem dané osy.

45

Předpokládáme, že osa o leží v prvé průmětně a není kolmá na druhou průmětnu. Zavedeme novou průmětnu kolmou na o, kterou sdružíme s P1 podle základny (x13 ) ⊥ o. Otočíme libovolný bod A(A△ značí bod A otočený). 1△ Nejdříve otočíme bod A∗ = A1 , pro nějž (A∗3 ) leží na (x13 ) a (A∗△ 3 ) na (P3 ). Vzdálenost ∗△ ∗ ∗ v((o3 ), (A∗△ 3 )) je rovna v((o3 ), (A3 )) a úhel ∢(A3 )(o3 )(A3 ) = ϕ. Úsečka AA1 = AA∗ přejde △ 1△ ∗△ △ po otočení do polohy A△ A∗△ , (A∗△ 3 )(A3 ) ⊥ (P3 ) a délka úsečky |(A3 )(A3 )| se rovná △ zA . Jelikož se bod A pohybuje v rovině kolmé k ose o, leží A1 na kolmici bodem A1 k o1 a △ △ leží také na ordinále (A△ 3 )A1 ⊥ (x13 ). Bod A2 leží na ordinále k ose x12 a jeho vzdálenost od osy x12 se rovná vzdálewnosti bodu (A△ 3 ) od (x13 ). Příklad 2.8.4. Sestrojte osu o dvou mimoběžek pomocí otáčení.

46

Otočíme do roviny rovnoběžné s oběma přímkami a, b. Potom ortogonální průmět osy o je bod O, v němž se protínají průměty přímek a, b.

2.9

KAPITOLA IX. - Perspektivní nazírání na prostor. Dualita.

Pojetí prostoru vzhledem k útvarům nekonečně vzdáleným, vyplývající z předpokladu, že každá přímka má jeden jediný bod nekonečně vzdálený, nazývá perspektivním nazíráním na prostor. O rovnoběžkách (tj. přímkách, které se protínají ve společném bodě nekonečně vzdáleném) říkáme, že mají stejný směr. Rovinný svazek rovnoběžných přímek tvoří přímky v rovině, které mají stejný směr. Všechny body v rovině nekonečně vzdálené vyplňují nekonečně vzdálenou přímku roviny. Zaměřením roviny nazývá Sobotka nekonečně vzdálenou přímku roviny, nebo také průsečnici rovnoběžných rovin. Svazek rovnoběžných rovin tvoří roviny téhož zaměření, osou svazku je přímka nekonečně vzdálená. Nekonečně vzdálenou rovinu tvoří veškeré body a přímky v nekonečnu. Nazývá ji tak proto, že má s rovinou ležící v konečnu společné vlastnosti: 1. Každá přímka mající jediný bod nekonečně vzdálený ji protíná v tomto jediném bodě. 47

2. Každá rovina (protože má jedinou přímku nekonečně vzdálenou) ji protíná v jedné jediné přímce. 3. Každá přímka, která spojuje dva její body, je v ní úplně obsažena, neboť vedeme-li těmito dvěma nekonečně vzdálenými body dvě přímky protínající se v nekonečnu, určují rovinu, jejíž přímka nekonečně vzdálená je spojnicí těchto dvou bodů. 4. Každá přímka její protíná každou jinou přímku její v jednom bodě, aniž by se ztotožňovaly průsečíky v nekonečnu; libovolné dvě roviny proložené dvěma různými přímkami se v nekonečnu protínají v přímce, procházející nekonečně vzdáleným průsečíkem obou vytčených přímek. Uvádí sedm základních konstrukcí, pro útvary nekonečně vzdálené. 1. Spojit přímkou p nekonečně vzdálený bod přímky a s bodem A. 2. Spojit přímkou nekonečně vzdálený bod A∞ přímky a s nekonečně vzdáleným bodem B∞ přímky b. 3. Spojit rovinou ̺ nekonečně vzdálený bod A∞ přímky a s přímkou b. 4. Spojit bod A rovinou ̺ s nekonečně vzdálenými body B∞ , C∞ daných přímek b a c. 5. Spojit rovinou ̺ přímku nekonečně vzdálenou a∞ roviny α s daným bodem A. 6. Sestrojit průsečík roviny α s přímkou nekonečně vzdálenou b∞ roviny β. 7. Sestrojit kolmé průměty nekonečně vzdálených prvků. Mimo jiné se v této kapitole zabývá a definuje obecnou kuželovou plochu – tvoří ji pohybem přímky l (tvořící přímky), která prochází daným bodem V (vrcholem nebo středem plochy) a protíná danou křivku k (řídíci křívku). Definuje tečnou rovinu τ v nějakém jejím bodě jako limitní polohu roviny sečné ζ, procházející povrchovou přímkou l, která protíná řídící křivku k v bodech K, K ′ , které se k sobě nekonečně blíží. Mezní polohu přímky KK ′ nazývá tečkou křivky k v bodě K. Stejně jako kuželovou, definuje válcovou plochu – považuje ji za kužel, který má vrchol v nekonečnu – a zabývá se úlohami na tečné roviny těchto těles. Ve druhé části této kapitoly se zabývá principem duality. Přirovnáváme-li k sobě tvoření jednotlivých základních útvarů ze základních prvků, zjišťujeme, že lze tyto útvary seřadit po dvou tak, že tvoření útvaru je jakousi obdobou pro tvoření útvaru druhého. Aby názorně ukázal princip duality, dělí stránky v této druhé části kapitoly na půl a věty duální odděluje svislou čarou. Duální (korelativní) pojmy a věty jsou takové, které lze jedny ze druhých vyvodit. Zákon, kterým se tato záměna řídí, se nazývá zákonem duality nebo také principem duality. Říkáme, že daný útvar je sám k sobě duální, jestliže jej můžeme definovat pomocí určitých 48

prvků i prvků k nim duálních. Rovinu můžeme považovat buď za nositelku pole bodového nebo za nositelku pole přímkového, tudíž bod a přímka jsou v rovině duálními pojmy. Příklad: Věta 2.9.1. Souhrn n bodů v rovině, z nichž žádné tři neleží na jedné přímce, a všech 1 n (n − 1) přímek je spojujících nazýváme úplným n–rohem. Body ty nazýváme vrcholy a 2 přímky je spojující stranami. Věta 2.9.2 (Duální k větě 2.9.1). Souhrn n přímek v rovině, z nichž žádné tři se neprotínají v jediném bodě a všech jejich 12 n (n − 1) bodů průsečných nazýváme úplným n–stranem. Přímky ty nazýváme stranami a body jeho průsečné nazýváme vrcholy. Věta 2.9.3. Úplný čtyřroh má čtyři vrcholy a šest stran; protějšími stranami nazýváme vždy dvě takové, které obsahují všechny čtyři rohy; průsečík jejich nazýváme diagonálním bodem nebo vedlejším vrcholem. V úplném čtyřrohu se vyskytují tři dvojice protějších stran a tedy tři vedlejší vrcholy; ty určují tři přímky, které nazýváme diagonálními nebo vedlejšími stranami čtyřrohu. Vrcholy a vedlejší strany tvoří diagonální tříroh, zvaný také polárním trojúhelníkem daného čtyřrohu. Věta 2.9.4 (Duální k 2.9.3). Úplný čtyřstran má čtyři strany a šest vrcholů; protějšími vrcholy nyzýváme vždy dva takové, jimiž procházejí všechny čtyři strany; jejich spojnici nazýváme diagonálou nebo vedlejší stranou. V úplném čtyřstranu se vyskytují tři dvojice protějších vrcholů a tedy tři strany vedlejší; ty se protínají ve třech bodech, jež nazýváme body diagonálními nebo vedlejšími vrcholy čtyřstranu. Strany a vedlejší vrcholy tvoří diagonální trojstran, nazývaný též polárním trojúhelníkem daného čtyřstranu.

2.10

KAPITOLA X. - Grafické provádění konstrukcí.

Touto kapitolou částečně navazuje na kapitolu předchozí. Zavedením perspektivního nazírání na prostor se docílilo toho, že s útvary nekonečně vzdálenými lze provádět konstrukce stejným způsobem jako s útvary, které leží „v konečnuÿ. Nicméně se grafické vyjádření 49

konstrukcí v obou případech často podstatně liší a konstrukce s nekonečnými útvary jsou složitější. Například ke spojení dvou bodů ležících v konečnu nám postačí pravítko s jednou rovnou hranou. Leží-li jeden z bodů A, B v nekonečnu na přímce a, druhý v konečnu na přímce b, a chceme-li přímku AB vyjádřit graficky, s jediným pravítkem si nevystačíme. Tato kapitola patří podle mého názoru k těm „zajímavějšímÿ z celého díla, protože opět překypuje spoustou důvtipných a pěkných konstrukcí. Struktura kapitoly: • Pomocné konstrukce. • O konstrukcích, vztahujících se ke křivkám vyjádřeným čarami a o čarách strojných. • O kružnicích křivosti dvou křivek afinních v bodech sdružených. • O rektifikaci a dělení oblouků. „Základní poznatky geometrie jsou původu empirického, založany bezprostředně na pozorování hmotných útvarů. My z těchto poznatků dospíváme abstrakcí hmotných útvarů tím, že vlastnostem, které vyplývají z konkrétních poměrů, pozorovaných na útvarech skutečných, přisuzujeme platnost absolutní a formulujeme je pak jakožto věty základní neboli axiomy.ÿ Za příklad uvádí věty: 1. Bod nemá žádných rozměrů. 2. Přímka jest nekonečná, má pouze jeden rozměr, jejž nazýváme délkou. 3. Dva různé body lze vždy spojit jedinou přímkou. Souhrn základních vět nazývá úplnou soustavou axiomů. Útvary, které pouze logicky z těchto zásad odvodíme, nazývá útvary ideálními čili útvary precizními. Ideálními konstrukcemi nazývá konstrukce prováděné s abstraktními útvary. Grafickými konstrukcemi nazývá reálné konstrukce prováděné na nákresně. Uvažuje o přesnosti geometrických konstrukcí. Uvádí Lemoinovu8 teorii konstrukcí, tzv. geometrografii. Ten každou konstrukci rozkládá na určité konstrukce základní. Považuje konstrukci za tím složitější, čím více základních konstrukcí obsahuje a usuzuje, že čím složitější konstrukce je, tím se stává nepřesnější. Zjednává si měřítko pro jednoduchost a každé základní konstrukci připisuje určitou váhu. Operace dělí na základní operace pravítkové : 1. Položit pravítko danou tečkou - výkon R1 , 2. narýsovat přímou čáru - výkon R2 , 3. spojit dvě tečky přímou čárou - výkon R3 = 2R1 + R2 , základní operace kružítkové: 1. zasadit hrot kružítka do dané tečky - výkon C1 , 8

Émile Lemoine, francouzský stavební inženýr, matematik a geometr. Žil v letech 1840–1912.

50

2. zasadit hrot kružítka na libovolném místě dané čáry - výkon C2 , 3. narýsovat kružnici - výkon C3 . Každá grafická konstrukce, kterou provádíme podle pravítka a kružítka, se pak může symbolicky vyjádřit l1 R1 + l2 R2 + m1 C1 + m2 C2 + m3 C3 , (2.10) kde l1 , l2 , m1 , m2 , m3 uvádí, kolikrát se příslušný základní výkon opakuje. Lemoine zavádí dále aproximativně číslo S = l1 + l2 + m1 + m2 + m3 (2.11) za míru jednoduchosti a číslo E = l1 + m1 + m2

(2.12)

za míru přesnosti a soudí, že čím je menší číslo S nebo E, tím větší je jednoduchost a tím je konstrukce přesnější. Sobotka uvažuje nad tím, že i rýsovací přístroje lze sestrojit jen v omezených rozměrech, ideální útvary mohou mít mnohem větší rozměry, než je např. průmětna. Nákresna může být souvislá, může se skládat z několika částí nesouvislých nebo může být přerušena druhou souvislou částí nebo více nesouvislými částmi . . . V každém takovém případě lze potřebné konstrukce převést vhodnými transformacemi na konstrukce jiné, pro které nám bude postačovat nákresna. Nebo tzv. nepřístupné prvky určíme pomocí prvků v nákresně obsažených. Příklad 2.10.1. Spojte daný bod L s nepřístupným průsečíkem S přímek a, b. 1.) Řešení pomocí úplného čtyřstranu. Sestrojíme úplný čtyřstran tak, aby a, b byly jeho úhlopříčkami a bod L byl jedním vrcholem. Označíme I vrchol protější (viz. obrázek), přímky SI, SL jsou s přímkami a, b harmonické. Pak sestrojíme druhý úplný čtyřstran tak, aby pro něj byly přímky a, b opět úhlopříčkami a jeden vrchol splynul s I. Označíme L1 protější vrchol k I, pak jsou přímky SI, SL1 harmonické k přímkám a, b a přímka LL1 prochází bodem S. 2.) Využijeme souvislost dvou perspektivních trojúhelníků. Zvolíme libovolně body A ∈ a, B ∈ b, přímku h a k trojúhelníku △ABL sestrojíme trojúhelník perspektivní tak, aby h byla perspektivní osou a S středem.

51

3.) Přímka u jako osa dvou perspektivních trojúhelníků △acp a △a1 c1 p1 . 4.) Konstrukce pomocí podobných troúhelníků, △ABL ∼ △A1 B1 L1 .

5.) Postupujeme stejně jako v konstrukci 2.), akorát zvolíme osu hkLB a tím se nám konstrukce zjednoduší. 6.) Postupujeme stejně jako v konstrukce 3.), akorát volíme ekf kd.

7.) S využitím podobných trojúhleníků △NL1 ∼ △2L1 Q, bod S je střed podobnosti. Platí úměra |SN| : |S1| = |S2| : |SQ| a také |SN| : |S2| = |S1| : |SQ|. Přímka LL1 prochází středem, odtud plyne konstrukce. 8.) Konstrukce plyne z následujíví vlastnosti. Leží-li v rovině na přímce a body K, L, M; na přímce b body K ′ , L′ , M ′ tak, že KL′ kK ′ L a KM ′ kK ′ M, pak jsou také LM ′ kL′ M.

52

Příklad 2.10.2. Nepřístupným bodem L = a ∩ b máme vést tečny k dané kružnici k. Jelikož ani jedna z přímek a, b neprotíná kružnici, sestrojíme přímku n, která spojuje střed kružnice K s nedostupným průsečíkem L. Ta protíná kružnici v bodech N1 , N2 . Sestrojíme bod L1 na n s bodem L harmonickým k bodům N1 , N2 . Pak kolmice vztyčená k n bodem L1 již protíná kružnici v dotykových bodech hledaných tečen.

Příklad 2.10.3. Sestrojte průsečík P dané přímky p s přímkou, která je určena tím, že spojuje daný bod L s nepřístupným průsečíkem daných přímek a, b.

53

Příklad 2.10.4. Sestrojte k spojité křivce k normálu z daného bodu N.

Opět se zabývá kružnicemi křívostí afinních křivek. Příklad 2.10.5. Elipsa je dána dvěma sdruženými poloměry SA, SB. Sestrojte kružnici křivosti v koncovém bodě jednoho z nich. Čtenáři je nabídnuta důvtipná a rychlá konstrukce.

54

Nechť jsou dány sdružené průměry SA, SB. Konstrukci provedeme tak, že najdeme bod P , který leží na normále n bodu A. Zkonstruujeme body C, D. Ty leží na tečně elipsy v bodě A a zároveň |AD| = |AC| = |SB|. Střed kružnice křivosti v bodě A leží na kolmici z bodu D na přímku CP a na přímce n. K sestrojení prakticky využívá afinní polohy elipsy a soustředné kružnice. Příklad 2.10.6. 9 Pro daný kruhový oblouk AB, jemuž přísluší malý středový úhel ∢ ASB = ϕ, jest jednoduchá rektifikace přiblížená tato:

Sobotkova úvaha o teoretické chybě, které se při konstrukci dopouštíme. Nechť |AC| = 3·|AS|. Sestrojíme v A tečnu k oblouku, již protneme spojnicí CB v bodě D. Pak úsečka délky v1 = AD udává přibližnou délku v oblouku AB. Budiž například úhel ∢ASC = 31 ρ10 , dále ϕ oblouková míra tohoto úhlu a |AS| = r. Pak je v = r · ϕ = π6 · r = 0, 52359...r. Značí-li B0 patu kolmice spuštěné z bodu B na AS, √ pak je BB0 = 2r , B0 S = 2r · 3, a trojúhelníky △DAC, △BB0C dávají úměru √ 1 3 v1 : 3r = : ( + 2), 2 2

(2.13)

z níž obdržíme:

√ 12 − 3 · 3 r = 0, 52337 . . . r. (2.14) v1 = 13 Chyba je tedy rovna ∆ = v − v1 = 0, 00022 . . . r, která na přesnost obyčejných grafických konstrukcí nemá vliv. Je-li ϕ > 3ρ , můžeme oblouk AB rozložit na části, z nichž žádná 3ρ značně nepřevyšuje. Obecně je v = rϕ, BB0 = r sin ϕ, B0 C = r(2 + cos ϕ), 9 10

Tato rektifikace kruhového oblouku je dnes známá jako Sobotkova rektifikace. Úhlem ρ máme na mysli úhel velikosti π/2, zachováváme značení prof. Sobotky.

55

(2.15)

a tedy v1 =

3r sin ϕ . 2 + cos ϕ

(2.16)

S přihlédnutím k řadám ϕ3 ϕ5 ϕ7 + − +··· 3! 5! 7! ϕ2 ϕ4 ϕ6 + − +··· cos ϕ = 1 − 2! 4! 6! sin ϕ = ϕ −

obdržíme dělením

ϕ5 ϕ7 v1 =ϕ− − +··· , r 180 1512

(2.17) (2.18)

(2.19)

takže

ϕ4 ϕ6 + − · · · ). (2.20) 180 1512 Z této rovnice si můžeme odvodit maximální přípustnou hodnotu ϕ pro danou velikost chyby. V samotné konstrukci hledáme bod C na AS, z něhož lze B promítnout na tečnu oblouku AB vztyčenou v bodě A do bodu D tak, aby |AD| byla rovna velikosti oblouku AB. Zvolíme S za počátek souřadnicové soustavy, SA ve smyslu záporném. Pak je rovnice promítací přímky BD, která prochází body D(r, rϕ), B(r cos ϕ, r sin ϕ) ∆ = v − v1 = v(

(x − r)(ϕ − sin ϕ) − (y − rϕ)(1 − cos ϕ) = 0. Směrnice přímky je

ϕ−sinϕ . 1−cos ϕ

(2.21)

Opět se zřetelem na 2.17 a 2.18

ϕ3 ϕ5 ϕ2 ϕ4 ϕ ϕ3 ( − + ···) : ( − + ···) = + +··· , 3! 5! 2! 4! 3 90

(2.22)

zanedbáme-li všechny mocniny od třetí, je |AD| rϕ ϕ = = |AC| |AC| 3 a tudíž |AC| = 3r.

56

(2.23)

Kapitola 3 Vývoj deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie má v našem státě bohatou tradici. Tato tradice má svůj počátek v roce 1707 založením pražské stavovské inženýrské školy, ze které roku 1806 vzniklo Královské české stavovské technické učiliště a od téhož roku se na pražské polytechnice přednáší deskriptivní geometrie jako samostatný předmět. Nejznámějšími vědeckými pracovníky byly R. Skuherský, který jako první v roce 1862 začal přednášet deskriptivní geometrii v českém jazyce, dále F. Tilšer, K. Pelz, V. Jarolímek, B. Procházka . . . Stolice deskriptivní geometrie byla také jednou z prvních čtyř, které byly v roce 1899 založeny a tvořily základ České vysoké školy technické v Brně. Zakladatel tohoto ústavu nebyl nikdo jiný než profesor dr. Jan Sobotka, který byl před příchodem do Brna mimořádným profesorem na technice ve Vídni. V Brně vypracoval osnovu deskriptivní geometrie spojenou s geometrií projektivní a kinematickou. Této osnovy se používalo ještě dlouho po jeho odchodu. Založil knihovnu i sbírku modelů a pomůcek. Deskriptivní geometrii promítání paralelního vydal právě za svého pobytu v Brně. Jeho nástupcem se stal profesor Bedřich Procházka. V roce 1908 se ústavu ujímá profesor Miloslav Pelíšek a poté až do roku 1939 profesor Josef Klíma. V letech 1946–1950 byl vedoucím katedry deskriptivní geometrie profesor Klapka. Postavení deskriptivní geometrie na českých technikách bylo velmi důležité. Díky podnětům průmyslové revoluce prodělalo během šedesátých let 19. století velkou přeměnu. Na české univerzitě se deskriptivní geometrie přednášela pouze pro posluchače učitelského studia, jak je tomu dodnes. Avšak pražská polytechnika žádala v roce 1864, aby mohla zasahovat do úrovně vzdělání učitelů reálek stanovením zkušební komise rovněž v Praze. Komise byla roku 1867 zřízena a jedním z jejich návrhů bylo, aby byly na reálných školách zavedeny maturitní zkoušky rovnocenné maturitním zkouškám na gymnáziích a zároveň aby absolvovaní technici měli možnost ucházet se o učitelství na reálných školách i pro obory matematika, fyzika a chemie, tedy právě pro obory, na něž měla do té doby výhradní právo univerzita. Deskriptivní geometrie měla jako jeden z prvních předmětů přípravný charekter pro technické studium a byla velmi brzy vyučována na reálných školách právě absolventy z řad posluchačů pražské polytechniky. Vliv pražské techniky a jejích absolventů–učitelů desktriptivní geometrie byl tedy značný. Na druhou stranu bylo potřeba zkvalitnit a rozšířit 57

další geometrické obory následkem stále větších požadavků průmyslové revoluce. Hlavní rysy podněcující rozvoj geometrie byly společenské podmínky, které vytvořily situaci, v níž bylo nezbytné budovat technické školství. Daly podnět pro značně progresivní podíl deskriptivní geometrie v učebních plánech jak na technických, tak na přípravných školách. Bylo potřeba učitelů tohoto oboru, rychle vzrostl počet těchto odborníků, vychovávaných převážně českou polytechnikou. Také potřeba vyučovat dávala možnost aktivního badatelského zájmu o deskriptivní geometrii. Podnět k vědecké práci dali první tři řádní profesoři deskriptivní geometrie (R. Skuherský, F. Tilšer a W. Fiedler). Počešťování školské soustavy českých zemích v závislosti na prosazování se v průmyslové revoluci bylo také jedním z hlavních rysů. Bylo potřeba připravit půdu pro vyučování v českém jazyce, vytvořit a stabilizovat českou terminologii1 , české učebnice2 pro všechny stupně a typy škol. Další členové české geometrické školy byly M. Pelíšek (Küpperův asistent), Josef Šolín (asistent Tilšera, od roku 1870 přednáší česky za Tilšera, 1869 byla pražská polytechnika rozdělena na dva samostatné ústavy český a německý), Emil a Eduard Weyrovi3 , bratři Vaněčkové, K. Bobek a další.

3.1

Srovnání Sobotkovy učebnice s učebnicemi, které vyšly po r. 1945

Tradice české geometrické školy můžeme sledovat do poloviny 20. století, tyto tradice však začínají ve dvacátých letech způsobovat již nikoliv rozvoj, ale stagnaci geometrického bádání. Později i vědecké neprvořadosti. Dostávají své vyjádření v různých přehledech, příručkách, učebnicích nebo specificky podaných vědeckých publikacích. Nepomáhají rozvíjet nové badatelské směry, nýbrž pouze shrnují a interpretují dosažené výsledky. V oblasti deskriptivní geometrie se objevilo několik obsáhlých vysokoškolských učebnic, shrnujících obrovské množství výsledků, jež se ani všechny ve výuce nemohly uplatnit.

Vincenc Jarolímek: Deskriptivní geometrie pro vyšší školy reálné, Praha 1875–7, vydaná ve spolupráci s Jednotou českých matematiků. V prvním vydání této knihy je obsáhlý česko–německo–francouzský terminologický slovník, který přispěl k upevnění českého odborného názvosloví v této oblasti a také terminologie vytvořená touto knihou se v dalším vývoji mění jen nepatrně. 2 Autor první česky psané učebnice z roku 1862, Zobrazující měřičství pro vyšší reálné školy, byl Dominik Ryšavý, který od r. 1851/52 studoval také na pražské technice. 3 Autoři první české učebnice projektivní geometrie Základové vyšší geometrie, vychází na pokračování v časopise Živa, r. 1871 vyšlo 111 stran, r. 1874 180 stran, r. 1878 162 stran. 1

58

Dnešní vysokoškolské učebnice (učebnice, které se používaly po r. 1945): • F. Kadeřávek4 , J. Klíma5 , J. Kounovský:6 Deskriptivní geometrie I. F. Kadeřávek, J. Klíma, J. Kounovský: Deskriptivní geometrie II. Tato dvoudílná učebnice vyšla poprvé v roce 1928 a byla vydávána ještě po druhé světové válce. • Alois Urban:7 Deskriptivní geometrie I, 1965. Alois Urban: Deskriptivní geometrie II,8 1966. • R. Piska9 , V. Medek:10 Deskriptivní geometrie I, 1966. R. Piska, V. Medek: Deskriptivní geometrie II, 1966. • J. Kounovský, F. Vyčichlo:11 Deskriptivní geometrie pro samouky, 1953. V těchto bohatě ilustrovaných učebnicích je shrnuto vše, co potřebují ke studiu nejen posluchači učitelství deskriptivní geometrie pro střední školy, nýbrž i posluchači vysokých škol technického směru. Některé další učebnice: V letech 1905–07 byl posluchačem Filozofické fakulty Karlo–Ferdinandovy univerzity, kde studoval odborné matematické předměty u profesorů K. Petra a J. Sobotky. V roce 1908 dosáhl aprobace pro vyučování matematiky a deskriptivní geometrie na středních školách. V roce 1920 byl pak ustanoven řádným profesorem a stal se vedoucím Ústavu deskriptivní geometrie a stereotomie na technice v Praze. 5 V roce 1908 vykonal zkoušku učitelské způsobilosti z oborů matematika a deskriptivní geometrie na Filozofické fakultě Karlo–Ferdinandovy univerzity. Po ukončení studia byl asistentem B. Procházky na české technice. V roce 1931 byl jmenován řádným profesorem deskriptivní geometrie na technice v Brně. 6 Roku 1902 vykonal zkoušku učitelské způsobilosti pro matematiku a deskriptivní geometrii, byl asistenten K. Pelze na české technice, od roku 1922 suploval přednášky B. Procházky a k 1. lednu 1927 byl jmenován řádným profesorem deskriptivní geometrie na pražské technice. 7 Prof. RNDr. Alois Urban, s účinností od 1. 9. 1954 byl jmenován profesorem desktriptivní geometrie na strojní fakultě ČVUT v Praze, v letech 1954–1960 byl vedoucím katedry matematiky a deskriptivní geometrie na strojní fakultě ČVUT, po reorganizaci vedoucí ústavu deskriptivní geometrie do roku 1979. 8 Skripta byla určena pro posluchače strojních, elektrotechnických a hornických fakult. Tato vysokoškolská učebnice výběrem látky i koncepcí významně ovlivnila výuku deskriptivní geometrie na strojních fakultách. Proto ministerstvo školství ČSR udělilo prof. Urbanovi roku 1978 cenu „Za vzornou učebnici vynikající úrovně.ÿ 9 Studoval matematiku a deskriptivní geometrii na Přírodovědecké fakultě Masarykovy univerzity v Brně. Po zřízení Vojenské technické akademie v Brně byl pověřen vedením katedry deskriptivní geometrie a technického kreslení. V roce 1952 byl jmenován profesorem. Od roku 1958 působil na Stavební fakultě VUT v Brně. 10 Roku 1946 dokončil studium matematiky a deskriptivní geometrie na Přírodovědecké fakultě Komenského univerzity v Bratislavě. Roku 1965 byl jmenovám profesorem na katedře matematiky a deskriptivní geometrie stavební fakulty SVŠT. 11 V roce 1928 získal aprobaci pro matematiku a deskriptivní geometrii na středních školách. Suploval také na Přírodovědecké fakultě Karlovy univerzity za nepřítomnosti J. Sobotky a V. Hlavatého a až do roku 1939 vedl cvičení pro budoucí učitele. V roce 1939 se habilitoval z geometrie na ČVUT a z matematiky a deskriptivní geometrie na Karlově univerzitě. Rok po válce byl s účinností od roku 1945 jmenován řádným profesorem matematiky na Vysoké škole inženýrského stavitelství v Praze. 4

59

• Příručky: M. Menšík: Deskriptivní geometrie I, O. Setzer: Deskriptivní geometrie II. • J. Klapka:12 Deskriptivní geometrie se zřetelem na její využití ve strojní technice, 1951. Tato učebnice obsahuje základy projektivní geometrie, axonometrie, teorie křivek a ploch a jejich užití a rovinné kinematické geometrie. • K. Drábek, F. Harant, O. Setzer: Deskriptivní geometrie II, 1979. Kromě učebnic byla vydávána četná skripta z deskriptivní geometrie, určená pro potřebu jednotlivých fakult, např.: • F. Machala: Plochy technické praxe, 1986. • F. Machala: Rotační plochy, 1992.

3.1.1

F. Kadeřávek – J. Klíma – J. Kounovský: Deskriptivní geometrie

Nejprve bych něco řekla o učebnici profesorů Kadeřávka, Klímy a Kounovského. Toto dílo je stylem i jazykem podobné učebnici Sobotkově. Je napsáno ve stejném duchu, obohaceno a nové kapitoly, o kterých Sobotka nepíše. Má velmi široký záběr. Stejně jako Sobotka autoři hned v úvodu ujasňují a sjednocují používané značení, uvádějí principy jednotlivých zobrazování, jejich výhody a nevýhody, zavádějí úběžné nebo nevlastní prvky. Když otevřeme učebnici, začínají svůj výklad základy projektivní geometrie, útvary prvého, druhého a třetího řádu, pokračují základy kinematické energie, které Sobotka ve své učebnici neměl, dále probírají kolmé promítání na jednu průmětnu, kde využívají i distanční rovinu, a sestrojují řezy na kuželi. Ve čtvrté kapitole o kolmém promítání na dvě k sobě kolmé průmětny mají zařazené zobrazování jehlanů, hranolů, dokonce i pravidelných a polopravidelných mnohostěnů a sdružené obrazy kužele. V páté kapitole mají zahrnuté teoretické řešení střech, jakožto střech konstantního spádu nad rovnoběžníkovým půdorysem, tak i střechy parabolické, válcové a rotační. V kapitole kolmá axonometrie užívají redukčního úhlu, redukčního měřítka, osvětlují kužel, válec. Šikmé promítání berou jen tak „letem světemÿ, ale zavádí ho stejně jako Sobotka. Dokonce se v učebnici odkazují na Sobotkovu Deskriptivní geometrii promítání paralelního. Navíc ale zobrazují kužel a osvětlují kouli. Od klinogonálního promítání přecházejí k šikmé axonometrii, kde řeší hlavně prostorová tělesa. Moc hezky je zpracovaná kapilola o středovém promítání, kde autoři přidávají něco málo o středovém průmětu kulové plochy, jakožto o stereografické projekci. Následující kapitola je věnována lineární perspektivě, která je plna názorných a přehledných obrázků. Předposlední kapitola je o konstruktivní fotogrammetrii, která navazuje na perspektivu a Profesor RNDr. Jiří Klapka, 1. dubna 1939 byl jmenován řádným profesorem matematiky, roku 1945 řádným profesorem deskriptivní geometrie s platností od 1. 5. 1942. V letech 1926–27 suploval za profesora Pelíška přednášky z deskriptivní geometrie. 12

60

poslední kapitola prvního dílu této učebnice je reliéfní perspektiva. Takže autoři v těchto dvanácti kapitolách obsáhli látku rovnoběžného, středového promítání i projektivní geometrie, zastřešení, zobrazení a osvětlení hranatých i kulatých těles. Dotisk k druhému dílu vyšel v roce 1953, což svědčí o kvalitě této učebnice. Tato učebnice neměla ve své době konkurenta. V tomto druhém dílu autoři pokračují kapitolou dvanáctou, která je věnovaná plochám druhého stupně, následuje výklad o křivkách rovinných a prostorových, o rozvinutelných plochách. Patnáctá kapitola povídá o plochách obecně, následují rotační plochy, technické osvětlení, základy osvětlování ploch, zborcené plochy, šroubové plochy, úvod do stereotomie, plochy součtové, translační a obalové, plochy grafické a topografické, základy kinematické geometrie v prostoru, základy deskriptivní geometrie v prostoru čtyřrozměrném, některé poznámky ke grafickému provádění geometrických konstrukcí. Tento druhý díl nemůžeme vůbec srovnávat s prací Sobotkovou, protože pojednává docela o jiných tématech, než kterým se ve své Deskriptivní geometri věnuje profesor. Shodné téma v obou učebnicích je jen kapitola Některé poznámky ke grafickému provádění geometrických konstrukcí. Velké množství těchto pomocných konstrukcí bylo přebráno ze Sobotkovy desáté kapitoly – Grafické provádění konstrukcí. Například pro spojení bodu s nedostupným průsečíkem uvádí autoři ty stejné pomocné konstrukce. Stejně tak jako Sobotka uvádějí konstrukci tečny ke kružnici z nedostupného průsečíku přímek. Avšak Sobotka má svou Kapitolu X. obsáhlejší a propracovaňejší, prof. Kadeřávek a kol. ji uvádějí jen jako kapitolu pomocnou. Tato učebnice vyšla pro posluchače technických škol a jelikož na technice studovali taky kandidáti „profesury kresleníÿ, přidali autoři do této knihy (prvního dílu) právě základy ortogonálního promítání na dvě navzájem kolmé průmětny a proto se zabývali důkladně zobrazováním pravidelných a polopravidelných mnohostěnů. Celkově to je velmi kvalitní a propracovaná učebnice. Domnívám se, že pokud moderního čtenáře neodradí styl, jakým je tato dvoudílná učebnice psaná, najde v ní, co potřebuje. Naopak chce-li se věnovat nějakému tématu více podrobně, nebo třeba zajímá-li ho některá kapitola, o které se v Sobotkově učebnici píše, doporučila bych mu, aby si tuto kapitolu vyhledal a prostudoval.

3.1.2

A. Urban: Deskriptivní geometrie

Chceme srovnat také učebnici prof. Urbana s učebnicí prof. Sobotky. První díl této dvojdílné celostátní učebnice vyšel poprvé před pětačtyřiceti lety, v roce 1965, druhý vyšel o rok později. Učebnice byla původně určena posluchačům fakult strojního inženýrství a fakult eletrotechnických a hornických vysokých škol technických.

61

Urban - DGI. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Urban - DG II.

Úvod. Planimetrie. Kuželosečky. Základní pojmy a úlohy prostorové geometrie. Základní vlastnosti promítání. Kótované promítání. Pravoúhlé promítání. Rovnoběžný průmět kružnice. (Elipsa jako afinní útvar ke kružnici.) Kosoúhlé promítání. Pravoúhlá axonometrie. Středové promítání. Lineární perspektiva. Středový průmět kružnice. (Kuželosečka jako kolineární útvar ke kružnici.) Zobrazovací metody.

15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

Křivky. Plochy. Rozvinutelné plochy. Rotační plochy. Kvadratické plochy. Šroubové plochy. Základy přímkové geometrie. Základy projektivní geometrie v rovině. 23. Základy kinematické geometrie v rovině. 24. Obalové plochy.

Už na první pohled je tato učebnice odlišná od obou předchozích. Jednak je přehlednější a lépe se v ní orientuje, jednak je jiná ve stylu zpracování. Prof. Urban se již nepotřebuje obšírně zabývat popisem značení útvarů a názvoslovím, protože toto se už v průběhu doby ustálilo. Omezení výuky deskriptivní geometrie na středních školách si na vysokých školách vynutilo značné změny v rozsahu přednášené látky. Snad proto začíná profesor Urban povídáním o planimetrii, jakožto opakování, doplnění a přehled středoškolské látky. V první kapitole nalezneme povídání o mocnosti bodu ke kružnici, o geometrických příbuznostech v rovině, o tečnách z bodu ke kružnici. Něco takového v Sobotkově vysokoškolské učebnici (ani u Kadeřávka–Klímy–Kounovského) prostě nenajdeme. Následuje kapitola kuželosečky, kterými se Sobotka (kromě elipsy) nezabývá. V kapitole o základních pojmech a úlohách prostorové geometrie uvádí Euklidovy axiomy, objevují se pojmy jako úloha polohy a úloha metrická, takže se názvosloví nepatrně pozměnilo. Následují základní vlastnosti promítání, přehled promítání, kterých se v deskriptivní geometrii využívá, a jenom krátce se zmiňuje o středové kolineaci v rovině a v prostoru. V kapitole o kótovaném promítání Urban zdaleka neuvádí tolik příkladů a konstrukcí (což vidím jako obrovskou nevýhodu oproti Sobotkově druhé kapitole). Rozdíl pojetí podání pravoúhlého promítání na dvě k sobě kolmé průmětny je taky znát. Urban zavede dvě navzájem kolmé průmětny a hned přechází na průmět bodu, Sobotka se zamýšlí nad uspořádáním prostoru a hledá nejlepší variantu zobrazování. Do této kapitoly zařazuje Urban také transformaci průmětny a mnohostěny. Zajímavé je srovnání osmé kapitoly, která nese název Rovnoběžný průmět kružnice. Ještě se mi nedostala do rukou učebnice, která by právě v tomto tématu překonala sedmou kapitolu Sobotkovy Deskriptivní geometrie. Urban sice uvádí Quételetovu-Dandelinovu větu, což Sobotka nedělá, a uvádí navíc příčkovou konstrukci elipsy, ale potom v této kapitole najdeme pouze 62

konstrukci průsečíku přímky s elipsou, trojúhelníkovou a proužkovou konstrukci elipsy. Což tedy průměrnému studentovi techniky asi stačí. V Sobotkově sedmé kapitole je vidět hravost. Urban má v této kapitole zase navíc zobrazení a řezy válce, kužele a koule, což celkově v Sobotkově učebnici postrádám. Kosoúhlé promítání už tento autor bere k názornému zobrazování technických předmětů, takže ho uvažuje tak, jak ho známe dnes. Navíc přidává technické kosoúhlé promítání, plochy a tělesa. Pravoúhlou axonometrii má přehledně zpracovanou. (Bohužel do Sobotkových prací o axonometrii jsem neměla možnost nahlédnout.) Dále následuje středové promítání a lineární perspektiva, která zdaleka není vybavena takovými ilustracemi jako u pánů Kadeřávka–Klímy–Kounovského. Předposlední kapitola je zajímavá užitím středové kolineace ke konstrukci kuželoseček a v poslední kapitole podává souhrn zobrazovacích metod. Jedním ze základních rozdílů v celé učebnici je to, že prof. Urban u většiny vět uvádí nejdřív větu samotnou a potom následuje důkaz, Sobotka většinou postupem jednoduchých logických myšlenek větu vyvodí jako důsledek nějakých argumentů, vlastností a důkaz už následně neuvádí.

3.1.3

R. Piska – V. Medek: Deskriptivní geometrie

Podívejme se na učebnici profesorů Pisky a Medka. Oba díly této celostátní (dvojjazyčné) učebnice deskriptivní geometrie vyšly v roce 1966. První díl obsahuje výklad zobrazovacích metod, druhý díl obsahuje výklad geometrie čar a ploch. Učebnice byly původně určeny posluchačům stavebních fakult vysokých škol technických. Sami autoři připouští, že jim nejde o originalitu, nýbrž jen chtěli shromáždit vše, co považovali za nejlepší u jiných autorů a využít zkušeností ostatních učitelů deskriptivní geometrie na jiných školách. Piska, Medek - DGI.

Piska, Medek - DGII.

ČÁST I. Základní pojmy. - Některé vybrané části z geometrie v rovině. - Některé vybrané části z geometrie v prostoru. - Základní vlastnosti promítání. - Něktré lineární příbuznosti. - Kuželosečky. ČÁST II. Mongeove projekce. ČÁST III. Axonometrie. ČÁST IV. Středové promítání a lineární perspektiva.

ČÁST V. Čáry. ČÁST VI. Plochy, zejména rotační a kvadriky. ČÁST VII. Přímkové plochy. ČÁST VIII. Šroubové plochy. ČÁST IX. Některé další plochy plochy technické praxe. ČÁST X. Doplňky k teorii ploch. ČÁST XI. Kótované promítání a jeho použití. ČÁST XII. Stereotomie.

Stejně jako prof. Urban, zařazují prof. Piska a Medek do první kapitoly planimetrii, navíc ještě stereometrii, jako opakování a doplnění středoškolské látky. Stejně zařazují 63

základní geometrické příbuznosti, pojem promítání, základní vlastnosti promítání a zobrazovací způsoby. Jsou probrány afinita a kolineace, avšak ne tak důkladně, jak nabízí ve svém díle Jan Sobotka. Toto všechno shrnuli autoři pod „základní pojmyÿ. Ve třetí části – axonometrii – najdeme mj. Sotbotkovu metodu řešení úloh v šikmé axonometrii použitím Mongeovy projekce. Tato kniha má jiné pojetí, než Sobotkova učebnice. Zejména v první části jde o část středoškolské učebnice. První díl obsahuje navíc středové promítání a docela dobře zpracovanou kapitolu o lineární perspektivě, lépe než podává Urban, zpracování Kadeřávka a kol. se mi jeví stále nejlepší. V druhém díle můžeme porovnávat pouze kótované promítání. To je zařazeno až na konci a je probráno opravdu velmi stručně s málem příkladů k procvičení vůbec. Pozitivní je zařazení teoretického řešení střech. Ve větší míře než v Sobotkově učebnici, ale zároveň méně než v učebnici Františka Kadeřávka a kol. Sobotkovu učebnici tvoří množství úloh, kdežto v těchto učebnicích je poměr výkladu a řešených úloh spíše vyrovnaný a na konci každé kapitoly bývá spousta neřešených příkladů k procvičení.

3.1.4

J. Kounovský – F. Vyčichlo: Deskriptivní geometrie pro samouky

Se Sobotkovou prací by se nejlépe dala porovnat učebnice profesorů Kounovského a Vyčichla, Deskriptivní geometrie pro samouky. Vyšla v roce 1953. Tato učebnice obsahuje základy všech důležitých zobrazovacích metod, zejména promítání na dvě průmětny. Obsahuje 1. Základní pojmy prostorové geometrie, 2. Úvod do deskriptivní geometrie, 3. Pravoúhlé promítání na jednu průmětnu, 4. Pravoúhlé promítání na dvě kolmé průmětny, 5. Zavádění nových průměten a otáčení útvarů, 6. Základy kosoúhlého promítání, 7. Mnohostěny, jejich řezy, sítě a vzájemné průseky, 8. Osvětlení v geometrii, 9. Základní vlastnosti plochy kulové, kuželové a válcové, 10. Rovinné průseky plochy kulové, válcové a kuželové, sítě válců a kuželů, 11. Průsečíky přímky a plochou kulovou, kuželovou a válcovou, 12. Sestrojování plochy kuželové, válcové a kulové z jednoduchých podmínek, 13. Osvětlení kružnice a křivých ploch, 14. Rotační plochy, 15. Základy projektivní geometrie kuželoseček, 16. Základy středového promítání a perspektivy, 17. Dodatky (Základy pravoúhlé axonometrie, Šroubovice a rozvinutelná plocha). Kapitola o kótovaném promítání je celkem obsáhlá i hezky zpracováná, ovšem na rozdíl od Sobotkovy učebnice obsahuje pouze teorii, žádné řešené příklady ani úlohy k procvičení. Odkazují se na knížku prof. Josefa Filipa a Ferdinanda Veselého, která by měla být doplňkem této učebnice a obsahovat právě příklady k procvičení. Co bych této kapitole vytkla je opravdu nedostatečné zařazení řešení střech. Ortogonální promítání na dvě kolmé průmětny není zdaleka tak podrobně vyložené, ale tato kapitola se podobá Deskriptivní geometrii v tom, že pojímá pouze úlohy polohy a metrické, kde jsou vyloženy pouze principy, nejsou zobrazena žádná prostorová tělesa, ani kulatá ani hranatá, chybí zobrazení kruž64

nice. V další kapitole podobně zavádějí nové průmětny, často používají jen průmětny třetí, objevuje se pojem stranorys, vynechávají základnici a dokonce řeší příčku mimoběžek také pomocí dvojnásobné transformace průměten, stejně jako Sobotka ve své učebnici. Kosoúhlého promítání používají pro jeho jednoduchost a názornost na zobrazování technických předmětů, které mají hrany ve třech směrech navzájem kolmých, rozlišují kosoúhlé promítání a kosoúhlou axonometrii. Používají pomocné roviny (vodorovné) kolmé na promítací rovinu (svislou). V této kapilole jsou bohužel opět vyloženy jen principy promítání, chybí pro názornost vyrýsované prostorové těleso. Velká část této učebnice je pak samostatně věnovaná mnohostěnům, v této kapitole najdeme povídání o všech pěti pravidelných mnohostěnech, konečně řez jehlanu, průsek hranolů, zářezovou metodu, průnik dvou hranatých těles a to v různých zobrazovacích metodách. Dále následuje osvětlení ve všech zobrazovacích metodách, ale opět jen hranatých těles. Teprve v deváté kapitole se dostávají ke kulatým tělesům, které ale nezobrazují, nýbrž se zabývají téměř výhradně zobrazením a konstrukcí elipsy z různých prvků, její tečnou a normálou, ohniskovými vlastnostmi. Jako obrovské plus oproti předchozím autorům vidím a zároveň oceňuji to, že kromě proužkové a příčkové konstrukce elipsy konstruují elipsu pomocí afinity, uvádějí (a vhodnou ilustrací doplňují) vztahy mezi združenými průměry a osami elipsy, uvádějí více než jednu konstrukci elipsy ze združených průměrů a dokonce uvádějí konstrukci elipsy z páru sdružených průměrů pomocí kosoúhlé afinity. Tito autoři se tímto nejvíce přiblížili Sobotkově sedmé kapitole a zpracováním této kapitoly převyšují všechny dříve zmíněné kolegy autory. Dá se říct, že touto kapitolou si připravili půdu pro kapitolu následující, ve které sestrojují jednak řezy na kouli a rotačním válci, jednak eliptické řezy rotačního kužele a dále proberou parabolu a parabolický, hyperbolu a hyperbolický řez na rotačním kuželi. V této kapitole také uvádějí Sobotkovu rektifikaci kružnice a Sobotkovo sestrojení tečny v bodě pomocí libovolného průměru. V následující kapitole zvyšují obtížnost a náročnost látky. Sestrojují (opět v různých zobrazovacích metodách) průsečné křivky rotačních válcových, kuželových a kulových ploch. Další kapitole opět přidají na obtížnosti a sestrojují kuželové, válcové a kulové plochy z daných podmínek, načež pokračují osvětlením kružnice a křivých ploch, přidávají technické osvětlení skupiny těles. Do další kapitoly zařazují rotační plochy, jejich zobrazení, řezy a osvětlení. A aby byla kniha kompletní, nevynechali autoři Kounovský s Vyčichlem ani základy projektivní geometrie kuželoseček, i když tuto kapitolu pojali opravdu jen velmi stručně. Předposlední kapitola o středovém promítání je pojata také spíše informativně. V dodatcích instruují, že existuje také kolmá axonometrie a naznačují základní konstrukce, dále se zmiňují o rozvinutelné ploše šroubové, topografických plochách a stereografické projekci. Nakonec, ač se mi na první pohled nejevilo, je učebnice velmi dobře metodicky seřazená a získala si mé velké sympatie. Leckteré kapitoly si zpracováním se Sobotkovými byly velmi blízké (např kótované promítání, třetí, pátá, devátá kapitola), s příhlédnutím na to, že ty Sobotkovy byly plné konstrukcí a tato učebnice byla celá pojata formou samostatného výkladu.

65

3.1.5

Ostatní učebnice a literatura

Dostala se mi do rukou také práce docentů Menšíka a Setzera, který každý napsal jeden díl (první vyšel r. 1962, druhý r. 1972) dvojdílné příručky deskriptivní geometrie. Tato knížka není učebnicí, ale spíše jakýmsi obsáhlejším průvodcem. Obě mě zaujaly, protože publikace jsou určeny žákům i absolventům všeobecně vzdělávacích a odborných škol jako stručná pomůcka k řešení běžných prostorových geometrických problémů, studujícím prvního ročníku vysokých škol technických poslouží při opakování látky. Když nahlédneme do prvního dílu, tak se hned v počáteční kapitole objevují pojmy jako nevlastní bod, dělicí poměr a dvojpoměr, harmonická čtveřice, ekvidistanta, bod vratu, křivka v rovině, obalová křivka . . . Kolik dnešních studentů na střední škole kdy tyhle pojmy slyšelo? Takže jsem hned zbystřila a zjišťovala, co tato literatura nabízí. V jedné z předních kapitol je sice středoškolská definice a bodová konstrukce elipsy, hyperboly a paraboly, avšak stejně tak jako ve vysokoškolských učebnicích, najdeme tu konstrukci elipsy také pomocí trojúhelníkové, proužkové, Rytzovy konstrukce a také pomocí afinity. Následuje kapitolka stereometrie a po ní pravoúhlé promítání, kde v úvodu najdeme seznámení s druhy promítání stejně jako u mnohých autorů a pak následuje samotný výklad, který se soustředí hlavně na ortogonální promítání na dvě navzájem kolmé průmětny. Stejně jako například Sobotka se zajímá souvislostí mezi souřadnicemi a polohou bodu v prostoru. Dá se říct, že výklad je spíše středoškolský. Potom se stručně zabývá kótovaným promítání s ohledem na využití (výkopy a násypy, zastřešení). Následuje seznámení s šikmým promítáním, kolmou a kosoúhloúhlou axonometrií. Následuje kapitola rotační plochy, když pomineme válec a kužel, zabývá se elipsoidem, paraboloidem a hyperboloidem, anuloidem, sestrojuje tečnou rovinu v bodě. Nad tímto první dílem by se ještě dalo přimhouřit oko, kdyby druhý nezačal škoubovicí, nepokračoval zborcenými, cyklickými a klínovými plochami. Dále tu najdeme průniky různých těles, osvětlení, středové promítání a lineární perspektivu, jejíž zpracování konkuruje mnohým jiným zmíněným autorům. Příručka končí konstruktivní fotogrammetrií a reliéfní perspektivou. Tuto literaturu bych spíše nazvala příručkou pro dnešní vysokoškoláky. Nakonec bych ztratila ještě pár slov o učebnici autorů Drábka, Haranta a Setzera: Deskriptivní geometrie II, kterou jsem nedávno zakoupila v jednom brněnském antikvariátě. Jde o celostátní učebnici deskriptivní geometrie z roku 1979, která je určena především posluchačům prvního ročníku stavebních fakult, zejména oborů architektury a pozemního stavitelství. Učebnice je rozdělena celkem do pěti kapitol. V kapitole první s názvem Užití středového promítání pro stavební praxi je pěkně a podrobně zpracovaná část o lineární a tříúběžníkové perspektivě, dále v ní najdeme povídání o cyklorámě, reliéfu a konstruktivní fotogrammetrii. Kapitola je doplněna četnými ilustracemi a řešenými příklady. Sama bych tuto kapitolu doporučila všem studentům a zájemcům o tato zobrazení. V následující kapitole s názvem Elementární vlastnosti křivek se zabývají rovinnými technickými křivkami a najdeme tu uvedené všechny tři nejznámnější rektifikace kruhového oblouku (Sobotkovu, Kochaňského a D’Ocagneovu). V kapitole Obecné vlastnosti ploch najdeme plochy rotační, dále rotační i nerotační druhého stupně, dále rozvinutelné, zborcené, translační a klínové, součtové a rourové a nakonec i šroubové plochy ve velmi slušném 66

rozsahu. Další kapitola se samostatně věnuje osvětlení v různých zobrazovacích metodách. A v poslední kapitole jsou uvedeny základy kartografického zobrazování, které jsou taky velice solidně zpracovány. Jde snad o nejlepší, nejpodrobnější a nejnázornější podání, jaké jsem doposud viděla. Kapitola obsahuje názorné ilustrace. Tuto učebnici hodnotím jako jednu z nejlepších, pojednávajících na dané téma.

67

Kapitola 4 Závěr České země patřily vedle Francie, Itálie, Německa, Švýcarska a Rakouska k těm, kde se deskriptivní geometrie rozvíjela a kde vznikla celá řada kvalitních monografií a učebnic. Mnoho českých geometrů nastoupilo na české vysoké školy (především technické) a zasloužilo se o rozkvět deskriptivní geometrie, který byl hlavně v šedesátých letech devatenáctého století způsoben potřebou rozvoje a zakládání nových technických oborů v rámci nastupující průmyslové revoluce. K rozkvětu deskriptivní geometrie v naší zemi přispěli především Karel Pelz, František Tilšer, oba bratři Weyrové, Jan Sobotka, Bedřich Procházka, Miroslav Pelíšek, Vincenc Jarolímek, Josef Kounovský, Josef Klíma, František Vyčichlo, Ladislav Seifert, Dominik Ryšavý, František Kadeřávek a samozřejmě Rudolf Skuherský, který na pražské technice začal v roce 1862 jako první přednášet deskriptivní geometrii v českém jazyce. Začínají vycházet učebnice pro střední i pro vysoké školy v mateřském jazyce. Z těch prvních to byly: • D. Ryšavý: Zobrazující měřičství, 1862-63; • V. Jarolímek: Deskriptivní geometrie pro vyšší školy reálné, 1875-7.; • F. Tilšer: Soustava deskriptivní geometrie, 1870; • V. Jarolímek: Centrální osvětlení ploch, 1871; • J. Šolín: Geometrie polohy, 1872; • Ed. Weyr, Em. Weyr: Základové vyšší geometrie, 1871-78; • Ed. Weyr: Projektivná geometrie základních útvarů prvého řádu, 1898; • J. Sobotka: Deskriptivní geometrie promítání paralelního, 1909; • V. Jarolímek, B. Procházka: Deskriptivní geometrie pro vysoké školy technické, 1909. 68

• litografické přednášky profesorů Tilšera, Pelze, Jarolímka a Sobotky. Po druhé světové válce u nás vyšlo mnoho obsáhlých učebnic, přehledů a příruček, které shrnovali a interpretovaly dosažené výsledky. Tyto učebnice byly natolik obsáhlé, že se ani celé nemohly ve výuce uplatnit. V dnešní době vznikají skripta a cvičení z deskriptivní geometrie s různou tématikou víceméně pro potřeby jednotlivých fakult, kurzů a přednášek. Když do některých nahlédneme, zjistíme, že mnohá svojí náročností kladenou na studenty zdaleka neodpovídají požadavkům tehdejší doby. Deskriptivní geometrie není věda, kde bychom mohli čerpat do nekonečna, ale osvojit si dokonale všechny znalosti a zjištění, které jsou už povětšinou pravděpodobně někým sepsány, je věc velmi obtížná. V současné době už nevznikají nové badatelské směry, jak tomu bylo v minulém století, nýbrž se pouze shrnují a interpretují dosažené výsledky. Deskriptivní geometrie byla, je a bude důležitou součástí technických oborů. Tuže a výkresy dnes nahrazují moderní informační technologie, vznikají nové softwary, které po zadání příkazu přesně určí průsečíky přímky s elipsou aniž by uživatel musel nutně znát například afinitu, nebo jedním kliknutím myší sestrojíme tečnu k obecné křivce v jejím libovolném bodě, ale kam se potom poděje kouzlo vlastní deskriptivní geometrie? Tyto programy jsou velmi přesné a usnadňují práci projektantům a inženýrům, proto bych tento pokrok nazvala přínosem moderní doby deskriptivní geometrii.

69

Seznam použité literatury [1] Sobotka J. Deskriptivní geometrie promítání parallelního. Praha: Jednota československých matematiků a fyziků 1906. [2] Urban A. Deskriptivní geometrie I. Praha: Státní nakladatelství technické literatury 1965. [3] Urban A. Deskriptivní geometrie II. Praha: Státní nakladatelství technické literatury 1966. [4] Piska R., Medek V. Deskriptivní geometrie I. Praha: Státní nakladatelství technické literatury 1966. [5] Piska R., Medek V. Deskriptivní geometrie II. Praha: Státní nakladatelství technické literatury 1966. [6] Kadeřávek F., Klíma J., Kounovský J. Deskriptivní geometrie I. Praha: Jednota československých matematiků a fyziků 1946. [7] Kadeřávek F., Klíma J., Kounovský J. Deskriptivní geometrie II. Praha: Jednota československých matematiků a fyziků 1954. [8] Kounovský J., Vyčichlo F. Deskriptivní geometrie pro samouky. Praha: Nakladatelství Československé akademie věd 1953. [9] Havlíček K. Úvod do projektivní geometrie kuželoseček. Praha: Státní nakladatelství technické literatury 1956. [10] Klapka J. Deskriptivní geometrie. Praha: Vědecko–technické nakladatelství 1951. [11] Drábek K., Harant F., Setzer O. Deskriptivní geometrie II. Praha: Státní nakladatelství technické literatury 1979. [12] Menšík M. Deskriptivní geometrie I. díl. Praha: Státní nakladatelství technické literatury 1962. [13] Setzer O. Deskriptivní geometrie II. Praha: Státní nakladatelství technické literatury 1972. 70

[14] Machala F. Rotační plochy. Olomouc: Rektorát Univerzity Palackého 1992. [15] Machala F. Plochy technické praxe. Olomouc: Rektorát Univerzity Palackého 1989. [16] Folta J. Česká geometrická škola: historická analýza. Praha: Academia 1982. [17] Bydžovský B. Jan Sobotka. Praha: Česká akademie věd a umění 1932. [18] Seifert J. Profesor Jan Sobotka. Zagreb 1935. [19] Jílek F., Lomič V. Dějiny Českého vysokého učení technického. Díl 1. Sv. 1. Praha 1978. [20] Časopis pro pěstování matematiky. [21] http://www.math.muni.cz/math/biografie/

71