SOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPA UJIAN NASIONAL DIMENSI TIGA

SOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPA UJIAN NASIONAL 2014 – 2013

DIMENSI TIGA 1.

UN 2014 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H dan garis AC adalah .... A. 8 3 cm B. 8 2 cm C. 4 6 cm D. 4 3 cm

F

E. 4 2 cm Solusi: [C] 1 1 1 2 PD  BD  AB 2  AD 2  8  82  4 2 2 2 2 PH  PD 2  DH 2 

2.

4 2 

2

H

E

B

 82  32  64  96  4 6

C

P Jadi, jarak titik H dan garis AC adalah 4 6 cm. A D 8 UN 2014 Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah  . Nilai sin   .... 1 2 A. 2 1 3 B. 2 1 3 C. 3 2 2 D. 3 3 3 E. H G 4 P Solusi: [C] F E 1 1 1 PE  EG  EF 2  FG 2  42  42  2 2 2 2 2



AP  AE 2  PE 2  42  2 2

Jadi, sin   3.

G



2

D

 16  8  24  2 6

PE 2 2 1 1    3. AP 2 6 3 3

A

C 4

UN 2014 Kubus ABCD.EFGH memiliki ruruk 8 cm. Jarak titik D ke garis HB adalah .... 4 2 cm A. 3

1 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014

B

8 2 cm 3 4 3 cm C. 3 8 D. 3 cm 3 8 6 cm E. 3 Solusi: [E]

B.

F

BD  AB2  AD2  82  82  8 2 BH  BD 2  DH 2  Luas BDH 

8 2 

2

 82  8 3

H

E

1 1 BD  DH  BH  DP 2 2

P B

BD  DH 8 2  8 8   6 DP  3 BH 8 3

4.

G

C

A D 8 8 6 cm. Jadi, jarak titik D ke garis HB adalah 3 UN 2014 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 9 cm. Jika titik T terletak pada pertengahan garis HF. Jarak titik A ke garis CT adalah .... A. 5 3 cm B. 6 2 cm C. 6 3 cm D. 6 6 cm E. 7 3 cm Solusi: [D]

H

AC  AB2  BC 2  92  92  9 2

G T

E

F K

1 1 1 2 9 GT  EG  EF 2  FG 2  9  92  2 2 2 2 2 2

9 9  CT  GT 2  CG 2   2   92  6 2 2 

1 1 Luas ATC  AC  TL  CT  AK 2 2 AK 

5.

D

C L

A

9

B

AC  TL 9 2  9  6 6 9 CT 6 2

Jadi, jarak titik A ke garis CT adalah 6 6 cm. UN 2014 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 3 cm. Jarak dari titik H ke ruas garis AC adalah .... A. 2 2 cm

2 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014

B. 2 3 cm C. 3 2 cm D. 2 6 cm

F

E. 4 2 cm Solusi: [C] 1 1 1 PD  BD  AB 2  AD 2  2 2 2 PH  PD 2  DH 2 

G H

E

2 3   2 3  2

 6   2 3  2

2

2

 6 B

 6  12  18  3 2

C P

6.

Jadi, jarak dari titik H ke ruas garis AC adalah 3 2 cm. UN 2014 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk adalah .... 2 3 cm A. 3 3 3 cm B. 4

A

6 cm. Jarak titik A ke ruas garis CF

3 cm C. D. 2 cm E. 3 cm Solusi: [E]

AC  AB 2  BC 2 

F

 6  6 2

2

2 3

G H

E

P

AC  AF  CF  2 3

7.

D

2 3

 segitiga ACF adalah segitiga sama sisi. B AP 1 C sin 60   AP  AC sin 60  2 3  3 3 AC 2 Jadi, jarak titik A ke ruas garis CF adalah 3 cm. A D 6 UN 2014 Diketahui balok KLMN.PQRS dengan KL  3 cm, LM  4 cm, dan KP  12 cm. Jarak titik R ke garis PM adalah .... 35 A. cm 13 40 B. cm 13 S R 45 C. cm 13 50 P Q D. cm 13 60 A E. cm 13 12 Solusi: [E] N M

PR  PQ2  QR2  32  42  5

4 K

3 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014

3

L

8.

PM  KL2  LM 2  KP2  32  42  122  169  13 1 1 Luas PMR  PR  MR  PM  RA 2 2 PR  MR 5  12 60 RA    PM 13 13 60 Jadi, jarak titik R ke garis PM adalah cm. 13 UN 2013 Diketahui limas segi empat beraturan T. ABCD seperti pada gambar. Jarak titik A ke TC adalah .... T A.

14 cm

B.

28 cm

8 cm

C. 2 14 cm

D

D. 3 14 cm E. 2 28 cm Solusi: [B] Menurut Teorema Pythagoras:

A

AC  AB 2  BC 2  42  42  4 2 1 1 AP  AC   4 2  2 2 2 2

 

TP  TA2  AP 2  82  2 2

2

 2 14

ATC   1  4 2  2 14  1  8  AQ 2 2 4 2  2 14 AQ   28 8

C 4 cm B

4 cm

T Q 8 cm D

C 4 cm

P A

4 cm

B

Jadi, jarak titik A ke TC adalah 28 cm . 9. UN 2013 Nilai kosinus sudut antara bidang ABC dan ABD dari gambar bidang-4 beraturan berikut adalah .... 1 D A. 10 1 10 B. 10 1 C. 3 C A 1 2 D. 6 cm 4 B 2 2 E. 3 Solusi: [C] Menurut Teorema Pythagoras:

PC  BC 2  PB 2  62  32  3 3 4 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014

DP  PC  3 3 Menurut Aturan Kosinus:

cos  ABC , ABD  

D

PC 2  DP 2  CD 2 2  PC  DP

3 3   3 3   6 23 3 3 3  2



2

6 2

27  27  36 18 1    54 54 3

6 C

A 3

P

6

3

B 10. UN 2013 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik G ke diagonal BE adalah…. A. 3 6 cm B. 6 6 cm C. 9 6 cm D. 3 10 cm E. 9 10 cm Solusi: [A] Perhatikan BEG adalah segitiga sama sisi.

H

BE  EG  BG  6 2 GP sin GEB  EG GP  EG sin GEB  6 2 sin 60  6 2 

G

E

F

D P

1 3  3 6 cm 2

C

A B Jadi, jarak titik G ke diagonal BE adalah 3 6 cm 11. UN 2013 Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. Nilai kosinus sudut antara bidang AFC dan bidang ABCD adalah…. 1 6 A. 2

1 3 1 C. 2 1 D. 2 1 E. 3 B.

6 3 2 H

G

3

Solusi: [E] Perhatikan AFC adalah segitiga sama sisi.

AC  AF  CF  12 2 FP sin FAP  AF

F

E

D

C P

A

5 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014

B

FP  AF sin FAP  12 2 sin 60  12 2 

1 3  6 6 cm 2

Menurut Teorema Pythagoras:

BD  AB 2  AD 2  122  122  12 2 1 1 BP  BD   12 2  6 2 2 2 cos  AFC , ABCD  

BP 6 2 1 1    3 FP 6 6 3 3

12. UN 2013 Jarak titik A ke bidang BCHE pada balok berikut ini adalah.... A. B. C. D. E.

40 cm 3 15 cm 2 20 cm 3 16 cm 3 24 cm 5

H

G

E 6 cm

A

F R D

C 4 cm B

8 cm

Solusi: [E] Menurut Teorema Pythagoras:

H

G

BE  AB  AE  8  6  10 2

2

2

2

Lambang ABC  menyatakan luas ABC

ABE   1 AB  AE  1 BE  AP

2 2 AB  AE 8  6 48 24 AP     BE 10 10 5

E 6 cm

D

A

 Jarak titik A ke bidang BCHE pada balok berikut ini adalah

F R

P

C 4 cm 8 cm

B

24 cm. 5

13. UN 2013 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Nilai kosinus sudut antara bidang ABCD dengan DBG adalah.... A.

1 3 1 C. 2 1 D. 3 1 E. 2 B.

2 3 3 6 6

6 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014

Solusi: Perhatikan BDG adalah segitiga sama sisi.

E

BD  BD  DG  a 2 GP sin GBP  BG

H G

F

GP  BG sin GBP  a 2 sin 60  a 2 

1 a 3 6 cm 2 2

A

D

Menurut Teorema Pythagoras:

P

AC  AB  BC  a  a  a 2 2

2

2

2

a

B

C

1 1 a AC   a 2  2 2 2 2 a 2 CP 2 1 1 cos  ABCD , DBG      3  [B] a GP 3 3 6 2 14. UN 2013 Jarak titik A ke bidang BCHE pada balok berikut ini adalah …. 40 cm A. 3 H G 15 cm B. 2 E F 20 cm C. R 6 cm 3 D C 16 cm D. 4 cm 3 B A 8 cm 24 cm E. 5 Solusi: [E] Perhatikan ABE siku-siku di A. H Menurut Teorema Pythagoras: CP 

BE  AB 2  AE 2  82  62  10

Lambang ABC  menyatakan luas ABC

ABE   1 AB  AE  1 BE  AP

2 2 AB  AE 8  6 48 24 AP     BE 10 10 5

E 6 cm

F R

P D

A

 Jarak titik A ke bidang BCHE pada balok berikut ini adalah

G

C 4 cm 8 cm

B

24 cm. 5

15. UN 2013 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Jarak titik E ke garis AG adalah…. A. 2 3 cm B. 3 2 cm C. 2 6 cm 7 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014

D. 3 6 cm E. 6 2 cm Solusi: [C] Menurut Teorema Pythagoras:

H

G

EG  EF 2  FG 2  62  62  6 2 cm AG  EG 2  AE 2 

6 2   6 2

2

 6 3 cm

E

F

Lambang ABC  menyatakan luas ABC.

ABC   1 AE  EG  1 AG  EP 2 2 EP 

D

AE  EG 6  6 2   2 6 cm AG 6 3

P C

A

B

Jadi, jarak titik E ke garis AG adalah 2 6 cm 16. UN 2013 Nilai kosinus sudut antara bidang BDE dan bidang BDG seperti terlihat pada gambar prisma segi-4 ABCD.EFGH beraturan berikut adalah…. 2 A. G H 6 3 E B. F 6 8 cm 4 C. 6 7 D C D. 9 4 cm 8 E. A B 4 cm 9 Solusi: [D] Menurut Teorema Pythagoras:

EG  EF 2  FG 2  4 2  4 2  4 2 cm AC  EG  4 2 cm 1 AP  AC  2 2 cm 2

E

 

PE  AE 2  AP 2  82  2 2

2

F 8 cm

 72  6 2 cm D

PG  PE  6 2 cm Lambang ABC  menyatakan luas ABC.

ABC   1 AE  EG  1 AG  EP 2

G

H

C 4 cm

P A

2

AE  EG 6  6 2   2 6 cm AG 6 3 Menurut Aturan Kosinus: EP 

8 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014

4 cm

B

cos BDE , BDG  

      2

2

6 2  6 2  4 2 PE 2  PG 2  EG 2  2  PE  PG 26 2 6 2

2



72  72  32 112 7   144 144 9

17. UN 2013 Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. Nilai kosinus sudut antara bidang AFH dan bidang ABCD adalah.... A. B. C. D. E.

1 2 1 3 1 2 1 2 1 3

6 6 3 2 3

Solusi: [E] Menurut Teorema Pythagoras:

FH  FG 2  GH 2  122  122  12 2 Karena FH  AF  AH  12 2 , maka AFH adalah segitiga sama sisi. AP  AF sin AFP  12 2 sin 60  6 6 cm

G P

EG  FH  AC  12 2 cm 1 1 AQ  AC  12 2  6 2 2 2

cos  AFH , ABCD  

H

E

F

D

AQ 6 2 1 1    3 AP 6 6 3 3

C Q A B 12 18. UN 2013 Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. Jarak titik A ke diagonal FH adalah…. A. 2 2 cm B. 2 6 cm C. 3 6 cm D. 2 7 cm H

E. 3 7 cm Solusi: [B] Perhatikan AFH adalah segitiga sama sisi.

G P

E

F

AF  AH  HF  42  42  4 2 cm

AP  AF sin AFP  4 2 sin 60  4 2 

1 3  2 6 cm 2

Jadi, Jarak titik A ke diagonal FH adalah 2 6 cm . 19. UN 2013

9 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014

D A

C a

B

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan sudut  adalah sudut antara bidang BDG dan bidang BDHF . Nilai dari tan   .... A.

3

B.

2

1 3 2 1 2 D. 2 1 E. 2 Solusi: [D] Ambillah panjang rusuk kubus adalah 2a. Menurut Teorema Pythagoras: C.

EG  EF 2  FG 2 

2a 2  2a 2

H

G P

 2a 2

E

F

1 EG  a 2 2 PQ  2a PG 

tan  

 D Q

PG a 2 1   2 PQ 2a 2

A

20. UN 2013 Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Sudut dan bidang BDG. Nilai cos adalah.... A. B. C. D. E.

1 4 1 3 1 2 1 3 1 2

C B

 adalah antara garis CG

3 3

3 6 6

Solusi: [D] Perhatikan BDG adalah segitiga sama sisi, dengan BD  BG  DG adalah diagonal sisi kubus. Menurut Teorema Pythagoras:

H

G F 

E

BD  BC  CD  6  6  6 2 cm 2

2

2

2

GP  BG sin GBP  6 2 sin 60  6 2 

1 3  3 6 cm 2

CG 6 1   6 GP 3 6 3 21. UN 2013 cos 

10 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014

D

C P

A

6

B

Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD seperti pada gambar. Sudut a adalah sudut antara bidang TAD dengan bidang TBC. Nilai cos  ....

10 11 10 B. 12 11 C. 12 11 D. 13 12 E. 13 Solusi: [C] PQ  AB  2 cm A.

T

5 cm D

A

C B

2 cm

BP  CP  1cm Menurut Teorema Pythagoras:

T

TP  TB 2  BP 2  52  12  24  2 6 cm 5 cm

TQ  TP  2 6 cm Menurut Aturan Kosinus: cos TAD ,TBC   cos 

2 6   2 6   2  22 6 2 6  2

2

2



D

TP 2  TQ 2  PQ 2 2  TP  TQ

C 1 P cm 1 cm

Q A

B

2 cm

24  24  4 44 11   48 48 12

22. UN 2013 Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. Jarak titik C ke bidang AFH adalah.... A. B. C. D. E.

3 8 6 8 8 6 6 8 8 3

3 cm 2 cm 3 cm 3 cm H

G

3 cm

Solusi 1: [E]

P E

CE  AB 2  BC 2  AE 2  42  42  42  4 3 cm 2 Jarak titik C ke bidang AFH adalah CQ   panjang diagonal ruang 3

D A

11 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014

F

Q

C 4

B

2 8  4 3  3 cm 3 3 Solusi 2: [E] Menurut Teorema Pythagoras:

FH  FG 2  GH 2  42  42  4 2 Karena FH  AF  AH  4 2 , maka AFH adalah segitiga sama sisi. AP  AF sin AFP  4 2 sin 60  2 6 cm AP  CP  2 6 cm

AC  AB 2  BC 2  42  42  4 2 cm Lambang ABC  menyatakan luas ABC

ACP   ACGE   2APE   AE  AC  2  1  AE  EP 2

1  4  4 2  2   4  2 2  8 2 cm2 2

ACP   1 AP  t 2 1 8 2  2 6 t 2 t

8 2 6



3 3 3

Jadi, jarak titik C ke bidang AFH adalah

8 3 cm 3

23. UN 2013 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Sudut  adalah sudut antara bidang BEG dan bidang EFGH. Nilai dari tan   .... A.

1 6 3

B.

3

C.

1 3 3

D.

2

E.

1 2 2

Solusi: [D] Menurut Teorema Pythagoras:

GE  EF 2  FG 2  a 2  a 2  a 2 cm 1 a GP  GE  2 cm 2 2 PQ  a cm Perhatikan PQG adalah segitiga siku-siku. PQ a 2 tan      2 GP a 2 2 2

H

G P



E

F

D

C Q

A

12 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014

a

B

24. UN 2013 Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki panjang AB  4 cm dan TA  6 cm . Jarak titik C ke garis AT =…. 1 14 cm A. 4 2 14 cm B. 3 3 14 cm C. 4 4 14 cm D. 3 3 14 cm E. 2 Solusi: [D] Menurut Teorema Pythagoras: T AC  AB 2  BC 2  4 2  4 2  4 2

AP 

1 1 AC   4 2  2 2 2 2

Q

 

TP  TA2  AP 2  6 2  2 2

2

 28  2 7

6 cm

D A 1 1 ATC    4 2  2 7   6  AQ 4 cm P 2 2 C B 4 cm 4 22 7 4 AQ   14 6 3 4 14 cm . Jadi, jarak titik A ke TC adalah 3 25. UN 2013 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Sudut  adalah sudut antara bidang BEG dan bidang EFGH . Nilai dari tan   .... 1 6 A. 3 B. 3 1 3 C. 3 D. 2 1 2 E. 2 Solusi: [D] E H 2 2 2 2 P FH  FG  GH  a  a  a 2 cm

1 a FP  FH  2 cm 2 2 BEG, EFGH    FB a 2 tan      2 FP a 2 2 2

F

13 | Husein Tampomas, Soal-soal dan Solusi Ujian Nasional 2013-2014



G

A B

D a

C