Slovní úlohy: Pohyb a) Stejným směrem Ze stejného města vyjely dva automobily různými rychlostmi. První vyrazil v 10:30 hodin stálou rychlostí 62 km/h. Deset minut za ním vyjel po stejné trase druhý automobil stálou rychlostí 72 km/h. Vypočtěte, v kolik hodin se obě vozidla setkají a na kterém kilometru.
Ze stejného města vyjely dva automobily různými rychlostmi. První vyrazil v 10:30 hodin stálou rychlostí 62 km/h. Deset minut za ním vyjel po stejné trase druhý automobil stálou rychlostí 72 km/h. Vypočtěte, v kolik hodin se obě vozidla setkají a na kterém kilometru. Rozdíl časů 10 minut Dráha – stejná 1. automobil má dráhu s = v1 . t = 62 . t 2. automobil má dráhu s = v2 . (t-10/60) = 72 . (t -10/60) 720 62⋅t=72⋅t – Rovnice: 60 12=10⋅t ⇒ t =1,2 h=1 h 12 minut Dráha: s=62⋅1,2 km=74,4 km
b) Proti sobě Ze dvou míst od sebe vzdálených 105 km vyjela současně proti sobě po přímé silnici dvě vozidla. První jelo stálou rychlostí 68 km/h a druhé se pohybovalo stálou rychlostí 58 km/h. Kdy a kde se vozidla setkají?
Ze dvou míst od sebe vzdálených 105 km vyjela současně proti sobě po přímé silnici dvě vozidla. První jelo stálou rychlostí 68 km/h a druhé se pohybovalo stálou rychlostí 58 km/h. Kdy a kde se vozidla setkají? Časy stejné Dráha – součet drah je 105 km 1. automobil má dráhu s1 = v1 . t = 68 . t 2. automobil má dráhu s2 = v2 . t = 58 . t 5 Rovnice: s 1 +s 2=105 ⇒68⋅t +58⋅t =105 ⇒ 126⋅t =105 ⇒t = =50 minut 6 5 2 58⋅5 1 =48 km Dráha: s 1 =68⋅ =56 km s 2 = 6 3 6 3
Vypočtěte, jakou stálou rychlostí by musel jet motocykl po stejné trase za dodávkou, když víte, že dodávka jela rychlostí 54 km za hodinu, motocykl za ní vyjel ze stejného místa s 21 minutovým zpožděním a dohonil ji za 36 minut.
Vypočtěte, jakou stálou rychlostí by musel jet motocykl po stejné trase za dodávkou, když víte, že dodávka jela rychlostí 54 km za hodinu, motocykl za ní vyjel ze stejného místa s 21 minutovým zpožděním a dohonil ji za 36 minut. Dráha – stejná Čas – rozdíl 21 minut; td = tm + 21 = 57 minut dodávka – s = vd . t = 54 . td = 54 . 57/60 = 51,3 km motocykl – s = vm . tm = vm . 36/60 36 Rovnice v m⋅ =51,3⇒ v m =85,5 km /h 60
Úlohy o směsích Kolik litrů vody musíme dolít do 5 litrů 75% roztoku lihu, abychom dostali 50% roztok lihu?
Kolik litrů vody musíme dolít do 5 litrů 75% roztoku lihu, abychom dostali 50% roztok lihu? 5 litrů 75% roztoku lihu obsahuje 75 % lihu, tedy 75 % z 5 l = ¾ z 5 l = 3 ¼ l
Kolik litrů vody musíme dolít do 5 litrů 75% roztoku lihu, abychom dostali 50% roztok lihu? 5 litrů 75% roztoku lihu obsahuje 75 % lihu, tedy 75 % z 5 l = ¾ z 5 l = 3 ¼ l Přilitím vody (té muselo být v 5 l roztoku s 3 ¼ l tedy 1 ¾ l) se koncentrace zmenší. Otázka zní, kolik vody musíme přilít, aby to bylo 50 %?
Kolik litrů vody musíme dolít do 5 litrů 75% roztoku lihu, abychom dostali 50% roztok lihu? 5 litrů 75% roztoku lihu obsahuje 75 % lihu, tedy 75 % z 5 l = ¾ z 5 l = 3 ¼ l Přilitím vody (té muselo být v 5 l roztoku s 3 ¼ l tedy 1 ¾ l) se koncentrace zmenší. Otázka zní, kolik vody musíme přilít, aby to bylo 50 %? Odpověď: Tolik, aby vody a lihu bylo stejně: 3 ¼ l – 1 ¾ l = 1 ½ l
Po přilití 0,5 l vody do 70% roztoku hypermanganu jsme dostali 30% roztok hypermanganu. Jaký byl objem původního roztoku?
k1 koncentrace před ředěním; k2 koncentrace po ředění Vk objem/množství koncentrátu (ředěné látky) Vř objem/množství ředidla (ředící látky) ΔVř změna – přírůstek ředidla k 1=
Vk V k +V m
+ΔV m
k 2=
Vk V k +V m +ΔV m
Po přilití 0,5 l vody do 70% roztoku hypermanganu jsme dostali 30% roztok hypermanganu. Jaký byl objem původního roztoku? 0,7=
Vk V k +V m
0,3=
Vk V k +V m +0,5
Rovnice: z 1. 0,7⋅V m =0,3⋅V k ⇒V m = z 2.
0,3 ⋅V 0,7 k
0,3 0,3 V m +0,15=0,7 V k ⇒ 0,3⋅ ⋅V k +0,15=0,7⋅V k ⇒ 0,09⋅V k +0,105=0,49⋅V k ⇒ 0,7 0,105=0,4⋅V k ⇒V k =2,625l ∧V m =1,125 l ⇒V =3,75 l
Společná práce První cisternou se nádrž zaplní za 8 hodin, druhou cisternou za 6 hodin. Obě cisterny plnili nádrž 3 hodiny, pak se první porouchala a nádrž doplnila druhá cisterna. Jak dlouho trvalo naplnění nádrže?
První cisternou se nádrž zaplní za 8 hodin, druhou cisternou za 6 hodin. Obě cisterny plnili nádrž 3 hodiny, pak se první porouchala a nádrž doplnila druhá cisterna. Jak dlouho trvalo naplnění nádrže? První cisterna za 1 hodinu naplní 1/8 nádrže Druhá cisterna za 1 hodinu naplní 1/6 nádrže První cisterna plnila 3 hodiny => 3/8 nádrže Druhá cisterna plnila 3 + x hodiny => (3+x)/6 nádrže Nádrž byla naplněna, takže oba příspěvky dají dohromady jeden celek Rovnice:
3+x 3 3 + =1⇒ 12+4⋅x+9=24 ⇒ x= 6 8 4
Naplnění nádrže trvalo 3 ¾ hodiny.
Za jak dlouho by stihl práci udělat sám František, když Josef ji zvládne za 7 dní a společně ji zvládli za 3 dny? Uvažujme ideální případ, že František práci zvládne sám. Josef za 1 den udělá 1/7 František za 1 den udělá 1/f Oba za 1 den udělali 1/3 práce Rovnice:
1 1 1 21 1 = + ⇒ 7f =3f +21⇒ f = =5 3 7 f 4 4
František by práci stihl za 5 ¼ dne.
