SLOUP NAMÁHANÝ TLAKEM A OHYBEM Posuďte únosnost centricky tlačeného sloupu délky 5,0 m, profil HEA 340, ocel S 355, γ M 0 = 1,00 γ M1 = 1,00 . Schéma podepření a zatížení je vidět na následujícím obrázku: NEd,z
NEd,z
5m
5m
NEd,y
schéma pro osu y-y
schéma pro osu z-z
NEd,z = 950 kN
NEd,z
MEd,y
= 250kNm y-y
z-z
Průřezové hodnoty pro HEA 340: h = 330mm, b = 300mm, tf = 16,5mm, tw = 9,5mm, r = 27mm A = 13510 mm 2 I y = 276,9 ⋅10 6 mm 4 , i y =144 mm
I z = 75,25 ⋅10 6 mm 4 , i z = 74,6 mm
tw z
y
d
h
r
tf
b
Zatřídění průřezu: Tlačená pásnice: c (300 − 9,5 − 2 ⋅ 27 ) / 2 235 = = 7,16 ≤ 9 ε = 9 = 38 ⋅ 0,81 = 7,32 . tf 16,5 fy
Pásnice je třídy 1 Stěna průřezu je namáhaná kombinací ohybu a tlaku: c = d = 330 − 2 ⋅16,5 − 2 ⋅ 27 = 243 mm c 243 = = 25,8 tw 9,5
α = 0,5 ⋅ 1 +
NEd 950 = 0,5 ⋅ 1 + = 1,08; ⋅ ⋅ , fy ⋅ tw ⋅ d 355 9 5 243
−1 ≤ α ≤ 1
α = 1,0 c 369 ⋅ ε 369 ⋅ 0,81 = 25,8 ≤ = = 26,73 tw 13 ⋅ α − 1 13 − 1
Stěna je třídy 1 Celý průřez je třídy 1 Únosnost sloupu budeme posuzovat zvlášť pro namáhání ve směru jednotlivých os. Pro namáhání kolmo na osu y-y budeme posuzovat průřez na kombinaci tlakové síly NEd a ohybového momentu MEd s uvažováním ztráty stability. Pro namáhání kolmo na osu z-z bude průřez namáhán pouze vzpěrným tlakem. Kritické délky: Lcr , y = 10000 mm ( pro konzolu ) Lcr , z = 5000 mm ( pro nosník podepřený kloubově na obou koncích )
Štíhlosti při vybočení v hlavních rovinách se vypočtou ze vztahu: λy =
Lcr , y 10 000 = = 69,44 , iy 144
λz =
Lcr , z 5 000 = = 67,02. iz 74,6
Pro válcovaný I profil se určí součinitel vzpěrnosti z příslušné křivky, pro poměrné štíhlosti
kde
λy =
λy λ1
βA =
69,44 ⋅ 1 = 0,91 76,40
pro křivku b
χ y = 0,66 ,
λz =
λz λ1
βA =
67,02 ⋅ 1 = 0,88 76,40
pro křivku c
χ z = 0,62 ,
λ1 = 93,9ε = 93,9
235 235 = 93,9 = 76,40 . fy 355
Posouzení pro osu z – z: Návrhová vzpěrná únosnost prutu (pro průřezy tříd 1, 2 a 3 se dosadí β A = 1,0 ) je rovna N b,Rd =
χ min A fy 0,62 ⋅13510 ⋅ 355 = = 2 973,5 ⋅ 10 3 N = 2 973 kN ≥ 950 kN . 1,00 γ M1
Prut vyhoví. Posouzení pro osu y – y: Prut je namáhán kombinací ohybového momentu a tlakové síly včetně možné ztráty stability. Klopení Pro získání součinitele klopení χ LT je možné využít postupu uvedeného v národní příloze normy ČSN EN 1993-1-1 (článek NB.3.2). Alternativně je možné postupovat podle postupu uvedeného v dokumentu Access Steel (viz: http://www.access-steel.com dokument SN002). Postupem dle zmíněného dokumentu lze získat přímo hodnotu λLT :
λ LT =
1 λ 1 ⋅ U ⋅ V ⋅ z βw = ⋅ U ⋅ V ⋅ λ z βw , λ1 C1 C1
kde C1
je parametr závisející na tvaru momentového obrazce, konzervativně C1 = 1,0
U
je parametr závisející na geometrii průřezu, daný vztahem U=
W pl, y ⋅ g I z , A Iw
I g = 1 − z nebo konzervativně g = 1,0. I y
g = 1 −
U=
V
75252 = 0,853 276900
W pl, y ⋅ g I z 1850 ⋅10 3 ⋅ 0,853 75252 ⋅10 3 = = 0,866 A Iw 13510 1824 ⋅10 9
je parametr vztažený ke štíhlosti. Není-li zatížení destabilizující, může být roven: buď konzervativně = 1,0 pro všechny průřezy symetrické okolo osy největší tuhosti,
nebo zjednodušeně platí V =
1 1 λz 41+ 20 h t f
2
pro dvouose symetrické válcované
průřezy tvaru I a H. Nejvíce přesná definice V, pokud zatížení není destabilizující, je: 1
V= 4
k kw
(λ )2 + 2 z π E A Iw 2
1
=
1 +
(67,02 )2
2
4
π 2 ⋅ 210 000
81 000
G It I z
⋅
= 0,88
13 510 1 824 ⋅ 10 9 ⋅ 3 1 272 ⋅ 10 75 252 ⋅ 10 3
kde λz
=
kL 5 000 = = 67,02 , iz 74,60
L
je vzdálenost mezi body příčného podepření tlačené pásnice
k
součinitel vzpěrné délky, který má být roven 1,0, pokud se neprokáže jiná hodnota =
βw
Wy = 1,0 pro průřez třídy 1 a 2. W pl, y
průřezový modul pro výpočet Mb,Rd:
Wy
λ1
Pro průřezy třídy 1 a 2:
Wy = Wpl,y
Pro průřezy třídy 3:
Wy = Wel,y
=π
E 210000 =π = 76,41 fy 355
stěny. λ LT = 0,75 ⋅ 0,853 ⋅ 0,88.
Tabulky hodnot
, kde fy je mez kluzu odpovídající tloušťce
67,02 1 = 0,49 76,41
1 pro různé momentové obrazce jsou na následující straně: C1
Tabulka 4.1
Hodnoty
1 pro zatížení koncovými momenty při k=1,0 C1
ψ
1 C1
+1,00
1,00
+0,75
0,94
+0,50
0,87
+0,25
0,81
0,00
0,75
-0,25
0,70
-0,50
0,66
-0,75
0,62
-1,00
0,63
M
ψM -1 ≤ ψ ≤ +1
Tabulka x.x
Hodnoty
1 pro případy s příčným zatížením při k=1,0 C1
Zatížení a podmínky podepření
Tvar momentového obrazce
1 C1
0,94
0,62
0.86
0,77
O únosnosti sloupu rozhoduje možnost ztráty stability prutu.
Vstupní hodnoty pro stabilitní posouzení: –
Vzpěrná délka pro vybočení kolmo na osu y: Lcr,y = 10 m
– Vzpěrná délka pro vybočení kolmo na osu y: Lcr,z = 5 m –
Vzpěrná délka na klopení: LLT = 5 m
Postup podle přílohy B normy ČSN EN 1993-1-1 Vnitřní síly: NEd = 950 kN My,Ed = 250 kNm relativní štíhlost λLT = 0,49
Protože h b = 330 300 = 1,1 < 2 , platí křivka klopení a. Součinitel klopení pro křivku a: χ LT = 0,978 Součinitele interakce kyy, kzy Pro určení součinitelů použijeme přílohu B. Součinitele budou určeny pro: – pruty citlivé na deformace zkroucením (platí pro všechny pruty otevřeného pruřezu) Součinitele ekvivalentního konstantního momentu: Cmy = 0,9 CmLT = 0,6 + 0,4 ψ = 0,6 > 0,4 pro poměr koncových momentů = 0 Interakční součinitel kyy – pro průřez třídy 1
950 ⋅10 3 = 0,9 1 + (0,91 − 0,2 ) = 1,092 0,66 ⋅13510 ⋅ 355 / 1,0 y Rk / γ M1 NEd 950 ⋅10 3 = 0,9 1 + 0,8 = 1,116 ≤ Cmy 1 + 0,8 / , / , χ γ N 0 66 13510 355 1 0 ⋅ ⋅ y Rk M1
(
k yy = Cmy 1 + λ y − 0,2 k yy
) χ NN
Ed
Je tedy kyy = 1,09 Interakční součinitel kzy – pro průřez třídy 1 a λ z > 0,4
k zy = 1 −
0,1λ z NEd 0,1 ⋅ 0,88 950 ⋅10 3 = − 1 = 0,919 (CmLT − 0,25 ) χ zNRk / γ M1 (0,6 − 0,25 ) 0,62 ⋅13510 ⋅ 355 / 1,0
0,1 NEd 0,1 950 ⋅10 3 = − 1 = 0,909 mLT − 0,25 ) χ zNRk / γ M1 (0,6 − 0,25 ) 0,62 ⋅13510 ⋅ 355 / 1,0
k zy ≥ 1 − (C
Je tedy kzy = 0,909 Po dosazení do podmínek (2.17) a (2.18):
M y,Ed NEd 950 ⋅10 3 250 ⋅10 6 + 1,09 = + k yy = χ y NRk χLT M y,Rk 0,66 ⋅13510 ⋅ 355 / 1,0 0,978 ⋅1850 ⋅10 3 ⋅ 355 / 1,0 γ M1 γ M1
= 0,30+0,424 = 0,724 < 1,0 Ve vztazích je: NRk = A fy; My,Rk = Wpl,y fy
M y,Ed NEd 950 ⋅10 3 250 ⋅10 6 + k zy = + 0,909 = χ z NRk χLTM y,Rk 0,62 ⋅13510 ⋅ 355 / 1,0 0,978 ⋅1850 ⋅10 3 ⋅ 355 / 1,0 γ M1 γ M1
= 0,32+0,35 = 0,67 < 1,0
Sloup na tlak s ohybem vyhoví.
