Téma 8 Přetvoření nosníků namáhaných ohybem I

Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského studia

Téma 8 Přetvoření nosníků namáhaných ohybem I. • Základní vztahy a předpoklady řešení • Přetvoření nosníků od nerovnoměrného oteplení • Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry • Clebschova metoda Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Přetvoření konzoly Přetvoření (deformace) - geometrické změny rozměrů a tvaru těles F a b

l

2,00

1,80

0,80 0,02

1,60

0,60 0,01

1,40

0,40 0,00

1,20

0,20 0,00

1,00

0,00 0,00

Průhyb

0,2

Přetvoření nosných konstrukcí namáhaných ohybem

Průhyb

0,08

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,0

Délka nosníku

2 / 35

Přetvoření prostého nosníku q = konst.

a

b

l

6,00

5,40

3,60 0,147

4,80

3,00 0,154

4,20

2,40 0,147

1,80

1,20

0,60

0,00

Průhyb

0,3


0,000

0,048

0,092

0,125

0,125

0,092

0,048

0,000

Průhyb

0,0

Délka nosníku

3 / 35

Základní typy namáhání – prostý ohyb

Princip ohybové zkoušky Základní vztahy a předpoklady řešení

4 / 35


Ohybová zkouška Základní vztahy a předpoklady řešení

5 / 35

Přetvoření betonového průvlaku

Nerespektování přetvoření betonového průvlaku, foto: Prof. Ing. Radim Čajka, CSc. Přetvoření nosných konstrukcí namáhaných ohybem

6 / 35

Havárie přetížení sněhem, Divišov

Nadměrné přetvoření střechy vlivem extrémního zatížení sněhem, foto: Prof. Ing. Radim Čajka, CSc.


7 / 35

Havárie přetížení sněhem, Divišov

Nadměrné přetvoření střechy vlivem extrémního zatížení sněhem, foto: Prof. Ing. Radim Čajka, CSc.


8 / 35

Přetvoření konzoly jeřábové dráhy

Porušení štítové stěny vlivem nerespektování přetvoření konzoly jeřábové dráhy, hala Baška Přetvoření nosných konstrukcí namáhaných ohybem

9 / 35

Přetvoření konzoly jeřábové dráhy

Porušení štítové stěny vlivem nerespektování přetvoření konzoly jeřábové dráhy, hala Baška Přetvoření nosných konstrukcí namáhaných ohybem

10 / 35


Zkouška betonových trámů, ČVUT, Praha

Základní vztahy a předpoklady řešení

11 / 35




12 / 35




13 / 35




14 / 35

Přetvoření nosníků namáhaných ohybem Nutno zjišťovat z důvodů: • posudek dle mezního stavu použitelnosti • výpočet staticky neurčitých konstrukcí

Ohybová čára Je-li nosník dostatečně štíhlý, určuje deformační stav křivka, do níž přejde původně přímá osa nosníku vlivem zatížení.

qz

r w( x )

a

x

b tečna

l

ϕy

x

w ... průhyb (kladný směr dolů) r ... poloměr křivosti

ϕ y ... pootočení

z, w Základní vztahy a předpoklady řešení

15 / 35

Ohybová čára qz

r a

x

b

w( x )

x

tečna

ϕy

ϕ y [rad] ... směry

+

-

l z, w teorie malých deformací: w << l

dw = w′ ϕ y ≈ tan ϕ y = dx

vztah pro křivost z matematiky:

1 =− r

r ... poloměr křivosti v rovině xz

w′′

(1 + w′ )

3 2 2

znaménko mínus znamená, že střed křivosti leží nad nosníkem Základní vztahy a předpoklady řešení

16 / 35

Poměrné přetvoření za ohybu B

A C

Téma č.6

x

E z

dϕ

r

dx

εx =

Δdx z.dϕ z = = dx r.dϕ r

r ... poloměr křivosti

Dle Hookova zákona

εx =

σx E

→

z r

σ x = ε x .E = .E

Z toho plyne

My M y = ∫ (σ x .z )dA → 1 = r E .I y A Základní vztahy a předpoklady řešení

B D E

A C dx dx ′

z Δdx

17 / 35

Vztahy mezi statickými a přetvárnými veličinami 1 =− r

w′′

(1 + w′ )

3 2 2

1 = − w′′ r

1 My = r E .I y

Teorie malých deformací: w′′ = −

→

My E .I y

w′ << 1

→ M y = − E.I y .w′′

→

w′2 ≅ 0

Diferenciální rovnice II.řádu

Při E.I y ... konst. → Diferenciální podmínky rovnováhy přímého nosníku (Schwedlerovy vztahy – Téma č.1)

Ohyb ve svislé rovině xz :

dV z = −q z dx

dM y dx

qz a tečna


ϕy

= Vz

→

ϕ y = w′ M y = − E.I y .w′′

b

w( x )

w(x ) = ?

Vz = − E.I y .w′′′ q z = E.I y .wIV 18 / 35

Deformace od změny teploty Téma č.2

dy’ dy

( )

ΔT oC dx dx’

ε x ,T = ε y ,T = ε z ,T = α T .ΔT

γ xy = γ yz = γ zx = 0

αt … součinitel tepelné roztažnosti [oC-1]

Ocel Beton

αt =12.10-6 oC-1 αt =10.10-6 oC-1

Přetvoření nosníků od nerovnoměrného oteplení

Dřevo Zdivo

αt =3.10-6 oC-1 αt =5.10-6 oC-1 19 / 35

Nerovnoměrné oteplení ΔT

ΔT − 2

T2 A

B

C

E

h 2

x

h 2 T1

dx

DE = α T .dx.

Ts

ΔT 2

ΔT 2 ... přírůstek spodních vláken

AB dx dϕ = = r AS

ΔT = T1 − T2

Ts =

dϕ

T1 + T2 2

r

ΔT DE α T .dx. 2 = dϕ = h DB 2

B

A dx α T .ΔT .dx = r h

1 α .ΔT w′′ = − = − T r h

Přetvoření nosníků od nerovnoměrného oteplení

D

C dx

E

h2 dϕ

20 / 35

Přímá integrace diferenciální rovnice ohybové čáry Staticky určité případy ohýbaných nosníků E.I y .w′′ = − M y E.I y .w′ = − ∫ M y .dx + C1

[

]

E.I y .w = − ∫ ∫ M y .dx .dx + C1.x + C2

C1 ,C2 ... integrační konstanty

Integrační konstanty se určí z deformačních okrajových podmínek

w=0

b

w=0

a

osa symetrie

a

b

w = 0, w′ = 0

w′ = 0 Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry

21 / 35

Příklad 1 Zadání: určete rovnici ohybové čáry Reakce:

Ma

b a

Raz =

x

Ma M ( ↓ ) Rbz = a (↑ ) l l

x l

Raz

Rbz

Vnitřní síly: V( Lx) = − Raz = konst.

-

V

M (Lx ) = − Raz .x + M a = −

− Raz

V Ma

Ma .x + M a l

Řešení:

+ 2x integrace

Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry

E.I y .w′′ = − M ( x ) =

Ma .x − M a l 22 / 35

Příklad 1 – určení integračních konstant C1 a C2 Integrace M E.I y .w′′ = − M (x ) = a .x − M a l M a x2 E.I y .w′ = . − M a .x + C1 l 2 M a x3 x2 E.I y .w = . − M a . + C1.x + C2 l 6 2

Ma

b

a

x

x l

Raz

Rbz

2 neznámé integrační konstanty lze určit z deformačních okrajových podmínek:

Okrajové deformační podmínky M a 03 02 w( x =0 ) = 0 E.I y .w = . − M a . + C1.0 + C2 = 0 → C2 = 0 l 6 2 M a l3 l2 w( x =l ) = 0 E.I y .w = . − M a . + C1.l + 0 = 0 l 6 2

→ C1 = − → C1 =


M a .l l ⎛1 1⎞ + M a . = M a .l.⎜ − ⎟ 6 2 ⎝ 2 6⎠

M a .l 3 23 / 35

Příklad 1 – výsledné rovnice ohybové čáry a pootočení Výsledné rovnice (po dosazení):

Platí pro: x ∈ 0, l

x 2 M a .l ⎤ M a ⎡ x 3 x 2 l.x ⎤ 1 ⎡ M a x3 w( x ) = .⎢ . − M a. + .x ⎥ = .⎢ − + ⎥ E.I y ⎣ l 6 E I 2 3 . 2 3⎦ y ⎣ 6l ⎦

Ohybová čára

M a .l ⎤ M a ⎡ x 2 l⎤ 1 ⎡ M a x2 w(′x ) = x = − + . .⎢ . − M a .x + ⎥ ⎥ ⎢ E .I y ⎣ l 2 3 ⎦ E.I y ⎣ 2l 3⎦

Pootočení – sklon tečny ohybové čáry

• Největší průhyb v místě kde je nulová první derivace, tj. pootočení (stejně jako největší M tam, kde V=0)

n+3 n+4


q=konst. q=0

q 2º

n+1 n+2

1º

1º

0º

V M 3º

2º

1º

4º

3º

2º

5º

4º

3º

ϕ w

Derivace

• Vzrůstající řád polynomů jednotlivých veličin

Integrace

Závěry:

Polynom stupně n

24 / 35

Příklad 1 s konkrétními vstupními údaji Zadání: l = 6m

M a = 15kNm

Ma

b

a

E = 210000MPa (ocel)

x

x l

Raz

Rbz

h = 10cm


0,020

0,028

0,035

6,00 0,000

5,40 0,010

4,80

4,20

3,00 0,039

3,60

2,40 0,039

1,80

1,20 0,030

0,037

Graf pro: x ∈ 0, l

0,018

M a ⎡ x 3 x 2 l .x ⎤ w( x ) = .⎢ − + ⎥ E.I y ⎣ 6l 2 3⎦

Průhyb

Průhyb: Rovnice ohybové čáry

0,000

b = 5cm

0,60

0,00

Délka nosníku

25 / 35

Příklad 1 s konkrétními vstupními údaji Zadání: l = 6m

M a = 15kNm

Ma

b

a

E = 210000MPa (ocel)

x

x l

Raz

Rbz


-0,015

-0,017

4,80

5,40

-0,017

-0,013 4,20

-0,009

-0,004

0,001

6,00

3,60

3,00

2,40

1,80

1,20

0,60

Graf pro: x ∈ 0, l

Délka nosníku 0,00

M a ⎡ x2 l⎤ w(′x ) = .⎢ − x + ⎥ E.I y ⎣ 2l 3⎦

0,008

Pootočení: Rovnice pro pootočení

0,016

Maximální průhyb 0,025

0,034

b = 5cm

Pootočení

h = 10cm

26 / 35

Příklad 1 s konkrétními vstupními údaji Určení maximálního průhybu:

Ma

a Kvadratická rovnice (2 kořeny)

w′ = 0

Ma ⎡x l⎤ R 1 2 l .⎢ − x + ⎥ = 0 → .x − x + = 0 az 3⎦ E.I y ⎣ 2l 2l 3

b

x

x

2

1.

⎛ 3⎞ ⎜ ⎟.l = 1,57735.l x1 = ⎜1 + 3 ⎟⎠ ⎝

2.

⎛ 3⎞ ⎟.l = 0,422649.l x2 = ⎜⎜1 − ⎟ 3 ⎝ ⎠

l

Rbz

Nereálný kořen (mimo nosník)

Po dosazení do rovnice ohybové čáry:

wmax

M a ⎡ x23 x22 l.x2 ⎤ = w( x2 ) = .⎢ − + ⎥= E.I y ⎣ 6l 2 3 ⎦

M a .l 2 3 M a .l 2 = ≅ 0,06415. . E .I y 27 E.I y Maximální průhyb: wmax = w( x2 ) = 39,59mm Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry

27 / 35

Clebschova metoda určování rovnice ohybové čáry Rudolf Friedrich Alfred Clebsch (1833 – 1872)

Metoda pro určení rovnice ohybové čáry staticky určitých případů ohýbaných nosníků se složitějším zatížením.

M

F

q2

q1

a

b

1 a1

2

j

j +1

...

x

n

aj l z, w Při složitějších případech zatížení (nespojitém) nebo při podepření nosníku mimo jeho konce nelze průběh M vyjádřit jediným výrazem. Clebschova metoda

28 / 35

Podstata Clebschova způsobu integrace M

F

q2

q1

b x

a

1 a1

2

j

j +1

...

n

aj

l

Analýza:

z, w

• Integrace provádí zvlášť v jednotlivých intervalech • Počet intervalů: n

→

počet integračních konstant: 2n C1 j , C2 j ( j = 1..n )

• Okrajové podmínky: 2 v místě podepření, 2.(n-1) na hranicích intervalů (podmínky spojitosti) Celkem tedy: 2n → w( x =0 ) = 0 Clebschova metoda

w( x =l ) = 0

w j (a ) = w j +1(a ) j j

w′j (a ) = w′j +1(a ) Náročné úlohy, s využitím j j výpočetní techniky 29 / 35

Zásady při řešení dle Clebschovy metody Clebschova metoda výhodná pro ruční výpočet → pouze 2 neznámé F1

q1

F2

b

a

x

a1 Raz

a2

a3 a4

l

z, w

Zásady při řešení dle Clebschovy metody: a) při sestavování M(x) nutno převzít M z předchozího intervalu a doplnit o účinek nového zatížení. Pak lze M(x) vyjádřit jedním aritmetickým výrazem. M ( x ) = Raz .x − F1.( x − a1 ) − F2 .( x − a2 x > a1

Clebschova metoda

x > a2

2 2 ( ( x − a3 ) x − a4 ) ) − q. + q.

2

x > a3

2

x > a4

využití fiktivního zatížení v posledním členu výrazu 30 / 35

Zásady při řešení dle Clebschovy metody F1

q1

F2

a

b

x

a1 Raz

a2

a3 a4

l

z, w

b) při integrování neodstraňovat závorky u dvojčlenů (x-aj) a považovat je za samostatnou proměnnou – Clebschův způsob integrace.

(x − a1 ) + F . (x − a2 ) + q. (x − a3 ) − q. (x − a4 ) + C x2 EI y .w′ = − Raz . + F1. 2 1 2 2 2 2.3 2.3 2

x > a1

3

2

x > a3

x > a2

3

x > a4

(x − a1 ) + F . (x − a2 ) + q. (x − a3 ) − q. (x − a4 ) + C .x + C x3 EI y .w = − Raz . + F1. 2 1 2 2.3 2.3 2.3 6.4 6.4 3

x > a1

Clebschova metoda

4

3

x > a2

x > a3

4

x > a4

31 / 35

Příklad 2 Zadání:

Ohybový moment:

q

F

c

a

l

b

l

2

x Důležitá volba!

3

l⎞ ⎛ − . q x ⎜ ⎟ x2 2 ⎠ +C EI y .w′ = F . + ⎝ 1 2 6

Clebschova metoda

l⎞ ⎛ q.⎜ x − ⎟ 2⎠ M (Lx ) = − F .x − ⎝ 2

Lze vyjádřit 1 výrazem:

2

l⎞ ⎛ q.⎜ x − ⎟ 2⎠ M (Lx ) = − F .x − ⎝ 2 x>

2

l 2

E.I y .w′′ = − M ( x )

Clebschův způsob integrace:

l 2

M (Lx ) = − F .x

2

EJ y = konst.

x>

l 2 l x> 2

x<

4

→

l⎞ ⎛ − q . x ⎜ ⎟ x3 2 ⎠ + C .x + C EI y .w = F . + ⎝ 1 2 6 24 x>

Pouze 2 neznámé

l 2

32 / 35

Příklad 2 – určení integračních konstant C1 a C2 Z okrajových podmínek:

q

F

c

a

w(′x =l ) = 0

l 3

l⎞ ⎛ − . q x ⎟ ⎜ x2 2⎠ ⎝ + C1 EI y .w′ = F . + 2 6 x>

l 2

2

l

b

2

3

⎛ l⎞ q . ⎜l − ⎟ 2 F .l 2 q.l 3 l 2⎠ ⎝ − + C1 = 0 → C1 = − → F. + → 2 48 6 2

w( x =l ) = 0 4

l⎞ ⎛ q x − . ⎜ ⎟ x3 2⎠ ⎝ EI y .w = F . + + C1.x + C2 6 24 x>

→

l 2

4

⎛ l⎞ q . ⎜l − ⎟ l3 2⎠ + C1.l + C2 = 0 → → F. + ⎝ 6 24

l3 l 3 q.l 4 q.l 4 F .l 3 7.q.l 4 C2 = − F . + F . − + + → C2 = 6 2 384 48 3 384

Clebschova metoda

33 / 35

Příklad 2 – výsledky

Clebschova metoda

3,00 3,00 0,000

0,000

2,70 -0,017

-0,031 2,40 0,010

-0,053 1,80

2,10 0,021

0,053

0,072

0,094

0,116

0,140

wmax

1 ⎡ F .l 3 7.q.l 4 ⎤ = w( x =0 ) = + .⎢ ⎥ EI y ⎣ 3 384 ⎦

0,164

Maximální průhyb:

0,035

-0,062 1,50

-0,069 1,20

0,90

0,60

l 2

0,30

x>

0,00

4

l⎞ ⎛ q.⎜ x − ⎟ 3 2 3 3 4 x 2 ⎠ F .l .x q.l .x F .l 7.q.l ⎝ EI y .w = F . + − − + + 6 24 2 48 3 384

-0,043

Ohybová čára

2,70

0,90 -0,074

2

0,003

0,60 -0,078

b

2,40

0,30 -0,080

2

0,00

l 2

l

-0,081

x>

l

2,10

2

1,20

l⎞ ⎛ q.⎜ x − ⎟ 2 x q.l 3 2 ⎠ F .l ⎝ − − EI y .w′ = F . + 2 6 2 48

c

a

1,80

Pootočení 3

q

F

1,50

Výsledné tvary rovnic:

34 / 35

Okruhy problémů k ústní části zkoušky

1. Schwedlerovy vztahy, diferenciální rovnice ohybové čáry 2. Nerovnoměrné oteplení nosníků 3. Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry staticky určitých nosníků 4. Clebschova metoda určování rovnice ohybové čáry staticky určitých nosníků

Podklady ke zkoušce

35 / 35

Téma 8 Přetvoření nosníků namáhaných ohybem I

Recommend Documents