PRUŽNOST A PLASTICITA

PRUŽNOST A PLASTICITA

Ing. Petr Konečný LPH 407/3 tel. 59 732 1384 [email protected] http://fast10.vsb.cz/konecny

Povinná literatura

http://mi21.vsb.cz/modul/pruznost-plasticita

Doporučená literatura

Benda: Stavební statika I. VŠB-TU Ostrava 2005

Šmířák: Pružnost a plasticita I VUT Brno 1999

Podmínky zápočtu:

Šmířák, Hlavinková: Pružnost a plasticita I Příklady VUT Brno 2000

Jurčíková, Krejsa, Lausová, Michalcová: Stavební statika VŠB-TU Ostrava 2013

- Stavební statika (zápočet) - aktivní účast na cvičeních 70% - znalosti (bodové ohodnocení 18-35 bodů) *nepovinné testy bez opravných termínů *3 zápočtové testy správně vypracované s možnosti dvou opravných termínů - vypracované a odevzdané programy bez bodového ohodnocení

Podmínky zápočtu: • • •

Stavební statika (zápočet) aktivní účast na cvičeních 70% znalosti (bodové ohodnocení 18-35 bodů) – –

•

nepovinné testy bez opravných termínů 3 zápočtové testy správně vypracované s možnosti dvou opravných termínů

vypracované a odevzdané programy bez bodového ohodnocení

Podmínky zkoušky: • • • •

Pružnost a plasticita (zápočet) Zkouška ze Stavební statiky a prerekvizitních předmětů zápočet (bodové ohodnocení 18-35 bodů) úspěšná písemná zkouška (18-35 bodů)

•

ústní a písemná zkouška část zkoušky dohromady min 33b.

Vnější a vnitřní síly (opakování Stavební statika) Vnější síly: • objemové (působí v elementech objemu), patří k nim: vlastní tíha, odstředivé síly atd. • povrchové síly působí jako zatížení na ploše a to jako: spojité zatížení na ploše a na čáře (přímce) a bodové síly (singulární síly). Objemové a plošné zatížení je reálné, bodové zatížení a zatížení na čáře je abstraktní, idealizuje zatížení plošné. Vnitřní síly vznikají vlivem vnějšího zatížení, jsou jím indukovány. 5

Základní typy namáhání v rovině xz

Název

Vnitřní síla

(indexy vnitřních sil):

Napětí (intenzita vnitřních sil)

Osové namáhání

Nx

sx

Ohyb

My

sx

Smyk

Vz

txy, txz

T

t

(tah, prostý tlak)

Kroucení

(někdy také značení Mx)

Výchozí předpoklady klasické lineární pružnosti:

Kapitola 1.2. skript včetně poznámek

Tyto předpoklady jsou velmi hrubým obrazem objektivní skutečnosti, umožňují ale uplatnění některých zásadních matematicko-fyzikálních principů ve výpočtech jako např. principu superpozice (skládání účinků), který je založen na linearitě všech matematických závislostí.

Výchozí předpoklady klasické lineární pružnosti:

Látka tělesa je • homogenní, může být přitom a) izotropní b) anizotropní • dokonale pružná a to a) lineárně b) nelineárně (nebudeme se zatím zabývat) • deformace tělesa působením vnějších vlivů jsou malé – geometricky lineární teorie pružnosti • počáteční napjatost je nulová, nepůsobí-li na těleso vnější síly. 8

Základní zákony statiky - zopakovat Issac Newton (1642 - 1727)

1) Princip akce a reakce: Každá akce vyvolává reakci stejně velikou, ale opačného smyslu. Tlačí-li těleso tíhy G na podložku (základ), musí tato působit na těleso stejně velikou, ale opačného smyslu. 2) Princip superpozice (skládání) účinků (platí pouze v lineární oblasti): Rozdělíme-li obecnou soustavu sil působící na těleso do dílčích silových soustav (dále jen SS) 1, 2, ... n , od každé stanovíme účinky R1, R2, ... Rn , pak výsledný účinek obdržíme vektorovým součtem účinků od jednotlivých dílčích SS. 3) Princip úměrnosti: Působí-li na těleso SS F1 , F2 , ... , Fn vyvolávající výsledný účinek R , potom SS k.F1 , k.F2 , ... , k.Fn vyvolává výsledný účinek k.R pro k = konst.

Typy namáhání Základní typy namáhání: a) prosté (osové, ohyb, kroucení, smyk) b) složené Kombinace základních případů namáhání: • prostorový (obecný) ohyb • excentrický tah a tlak (kombinace ohybu s tahem nebo tlakem) • kroucení s tahem nebo tlakem a s ohybem Díky principu superpozice, který platí v lineárně pružném oboru, pak lze řešit složené případy namáhání rozkladem na základní stavy a výsledné účinky složit – superponovat.

Saint - Venantův princip lokálního účinku F

F

Jean Claude Saint-Venant (1797-1886)

neovlivněná část

oblast poruchy

Usnadňuje řešení napjatosti těles.

F

• Rovnovážná soustava ovlivní stav napjatosti jen v blízkém okolí

q

oblast blízkého okolí

• Ve vzdálenějších bodech má zanedbatelné účinky

Používá se: a) ke zjednodušení povrchového zatížení jeho náhradou - staticky ekvivalentním, pro výpočet výhodnějším zatížením (spojité zatížení na malé ploše lze nahradit osamělým břemenem) b) skutečné rozměry prutu možno idealizovat do střednice.

F

(síla působí na střednici prutu nikoliv na horní nebo spodní líc)

Rbz

Raz

F Raz

Rbz

oblast blízkého okolí, nutno provést korekci

Po provedení výpočtu, zejména jsou-li vyčíslena i napětí v průřezech, je nutno provést korekce napětí s ohledem na provedené idealizace.

Schwedlerovy vztahy – opakování ze Stavební statiky Teorie vychází ze Schwedlerových vztahů, zopakovat ze stavební statiky, nebo kapitola 1.3.2 ve skriptech:

dM dx

y

 Vz

Základní pojmy předmětu Pružnost a plasticita Napětí (míra intenzity vnitřních sil) – dnešní hodina Deformace – dnešní hodina Stabilita (štíhlé tlačené pruty – kapitola 9. skript)

Materiál Lineárně pružný materiál – Hookeův zákon – dnešní hodina Nepružný materiál – Plasticita

– částečně dnešní hodina

Zatížení (namáhání) Vnější silové zatížení

– částečně dnešní hodina

Zatížení teplotou – dnešní hodina Popuštění podpor (předmět SSKI)

Napětí Míra intenzity vnitřních sil

Napětí

Poměr elementární síly a velikosti plošky je napětí na této plošce:

  Fn pn  A

Směr napětí je shodný se směrem síly působící na danou plošku. Zmenšuje-li se velikost plošky A k nule, získá se napětí pn v bodě:

  Fn dFn  pn  lim  A0 A dAn n

Základní jednotkou napětí je Pascal Pa [N/m2], jeho násobky pak:

MPa [N/mm2] nebo [MN/m2], kPa [kN/m2]

15

Napětí, pokračování Při rozložení síly dFn do směru normály n a stopy v plošky dA je: dN sn  dA

t nv

dV  dA

Platí přitom:

pn  s n2 + t nv2

sn je normálové napětí, působí ve směru normály n tnv je smykové napětí, působí v rovině plošky dA ve směru stopy v síly dFn

16

Vnitřní síly, napětí

Indexy napětí

Znaménková konvence: Pravidlo pravé ruky Konvence dle Stavební statiky

Stav napjatosti tělesa

Znaménková konvence, indexy u napětí

Stav napjatosti tělesa

Věta o vzájemnosti smykových napětí - důležité

Věta o vzájemnosti smykových napětí - důležité

Posuny (přemístění) konkrétních bodů zkoumaného tělesa

Deformace a posuny v tělese Poměrné deformace (přetvoření)

Posuny (přemístění) konkrétních bodů zkoumaného tělesa

Poměrné deformace (přetvoření) Délkové poměrné deformace

Poměrné deformace (přetvoření) Úhlové poměrné deformace

Geometrické rovnice Popisují vztahy mezi složkami poměrných deformací tělesa a složkami posunů libovolných bodů v tomto tělese.

Vysvětlení bude na osově namáhaném prutu.

Materiál - Pracovní diagramy (tady oceli a betonu – osově namáhaný prut) vyjadřují vztah mezi napětím a deformací (poměrnou) kapitola 2.2 skript nebo Stavební hmoty

Plasticita: schopnost materiálu deformovat se trvale bez porušení. Tažnost: plastické protažení přetržené tyče (vzdálenost /OT/), ocel 15%.

Pracovní diagram ideálně pružnoplastického materiálu v tahu i tlaku (platí i pro smyk – viz dále)

fy

napětí na mezi kluzu

εx

V pružné (lineární) oblasti (do hodnoty napětí na mezi kluzu) platí Hookeův zákon:

s x  e x .E E…Modul pružnosti v tahu a tlaku [MPa] (jedna ze tří materiálových konstant) Platí pro kladné hodnoty napětí (tah) i záporné (tlak)

Lineárně pružný materiál - Hookeův zákon Hookeův zákon - definuje vztahy mezi napětími a deformacemi, závisí na fyzikálních a mechanických vlastnostech materiálu, platí pouze v lineární oblasti. Matematicky ho popisují fyzikální rovnice.

Fyzikální rovnice pro tah a prostý tlak (zakresleno pouze pro tah): +sx

Pružná oblast

εelast.

s x  e x .E

Oblast platnosti Hookeova zákona

Y

fy

mez kluzu

Hookeův zákon

ex ... poměrné deformace [-] (prodloužení, zkrácení)

sx ... normálové napětí [Pa]

tan  

s

s E e

(jedna ze tří materiálových konstant)

Strmost přímky (arctg E) závisí na pružnosti materiálu

 = arctg E ε

E ... Youngův modul pružnosti v tahu a tlaku [Pa]

ex = ∆l/l

Lineárně pružný materiál jiné znění Hookeova zákona

+sx

Odvození pro tah a prostý tlak (zakresleno pouze pro tah):

Pružná oblast

εelast. Oblast platnosti Hookeova zákona

Y

fy

mez kluzu

s x  e x .E

Hookeův zákon

do Hookeova zákona dosadit co již známo:

tan  

s

s E e

 = arctg E ε

ex = ∆l/l

sx 

N , A

Nl l  EA

ex 

l l

jiné znění Hookeova zákona

Lineárně pružný materiál - Hookův zákon ve smyku Hookeův zákon - definuje vztahy (fyzikální) mezi napětími a deformacemi, závisí na fyzikálních a mechanických vlastnostech materiálu, platí pouze v lineární oblasti

txz

t xz   xz G tan  

t G 

xz ... zkosení txz ... smykové napětí [Pa] G ... modul pružnosti ve smyku [Pa]

 = arctan G xz

(jedna ze tří materiálových konstant)

Zatížení osově namáhaného prutu – napětí a deformace 1. Vnější zatížení

Osa x vždy osa prutu – pozor u sloupu!!!

R

x

F

l N

+

a) Napětí taženého (tlačeného) prutu Vnější osové zatížení F → vnitřní síla N →normálové napětí σx

[MPa]

(intenzita vnitřních sil)

Tah, tlak – pozor jednotky!!! (řády) Př.: Jak velké napětí vznikne, je-li N=10kN a A=10cm2?

b) deformace taženého (tlačeného) prutu (geometrické rovnice) naučit kap.1.3 učebnice

F

h x

l deformace podélná (bezrozměrná veličina) rozměrové změny:

deformace příčná

ν  0,5

y

Δl

ex 

h´

b b´

l

z

l b´ = b+∆b h´ = h+∆h

l´= l + ∆l

e y  e z  e x

ey 

b b

ez 

h h

Poissonův součinitel příčné deformace (jedna ze tří materiálových konstant) Kruhový průřez průměr d?

Materiálové konstanty

E  2 1 + υ  G

2) Změna teploty +ΔT

Nosník se v podpoře b posune, nevznikne N ani napětí b

a +ΔT

a) napětí

není-li bráněno deformaci → napětí = 0 → neplatí Hookeův zákon bude vysvětleno zachvíli

b) deformace

e xT  e yT  e zT   T  T T

- součinitel teplotní roztažnosti

l  

T

[°C-1]

.  T .l

εxT = Δl/l = Δb/b = Δh/h = Δd/d

l´= l + ∆l b´ = b+∆b h´ = h+∆h

Příklad domácí úkol

a = 0,15m

E2=33 500MPa ν2 = 0,2

d´= 30,009mm, a´= 150,029mm, b´= 100,019mm, h1´=499,495mm, h2´=199,809mm, h´= 699,304mm σ1= -212,21MPa, σ2= -32,0MPa … normálové napětí

-

beton 2

P2

b = 0,1m

P2=165kN

E1 = 210 000MPa ν1 = 0,3

h2=0,2m

ocel 1

h1=0,5m

Určete rozměrové změny a napětí v oceli a v betonu. Konstrukce dle obrázku. N P1=150kN d1 = 0,03m

Okruhy problémů k ústní části zkoušky 1. Pružnost a pevnost ve stavebním inženýrství Výchozí předpoklady klasické lineární pružnosti Pojem plasticita, teorie malých deformací,teorie II.řádu Napětí, stav napjatosti tělesa 2. Vztahy mezi napětími a vnitřními silami v průřezu prutu, diferenciální podmínky rovnováhy Základní typy namáhání - prosté a složené Saint - Venantův princip lokálního účinku 3. Deformace a posuny v tělese, geometrické rovnice 4. Fyzikální rovnice, Hookeův zákon, lineárně pružný materiál 5. Pracovní diagramy stavebních materiálů Nepružný a ideálně pružno-plastický materiál, tažnost 6. Deformace od změny teploty 7. Napětí při osovém tahu a tlaku 8. Přetvoření taženého a tlačeného prutu 9. Materiálové konstanty

Základní typy namáhání 1. Osové namáhání

2. Ohyb

3. Kroucení

4. Smyk

Normálová síla N  0 pro průřez platí: N  Nx N

N

a

b

Rax

N

a

Rax

F

tah N

b

tlak

+

F

Základní typy namáhání 1. Osové namáhání

2. Ohyb

3. Kroucení

4. Smyk

Ohybový moment My , Mz  0 pro rovinu xz platí: M  My F M

M tlak

a

b

+

tah

Raz

Rbz tah a

b

tlak Raz

M

F

M

Rbz

-

Základní typy namáhání 1. Osové namáhání

2. Ohyb

3. Kroucení F3

2

4. Smyk

F2

3 F1

1 nv = 6

+y

Např. prostorově lomený nosník Kroutící (torzní) moment T  0 Při kroucení platí: T  Mx

+z

+x

Vnitřní síly na prutu 2 od vnějšího zatížení: F1: N, Mz F2: Vy, Mz F3: Vz, Mx, My

Základní typy namáhání 1. Osové namáhání

2. Ohyb

3. Kroucení

4. Smyk

Posouvající síla Vy , Vz  0 pro rovinu xz platí: V  Vz F

+ V a

Raz

V

V

V b

Rbz