Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta

SIMILARITAS •Similaritas

•Pendiagonalan Matriks

•Similaritas dari Matriks Simetri

Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta

P Pengantar t • Cari C i akar k dan d vektor kt karakteristik k kt i tik dari d i A=

⎛ 2 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜1 3 1⎟ ⎜ 1 2 2⎟ ⎝ ⎠

⎛5 14 13⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜0 1 0 ⎟ ⎜0 0 1 ⎟ ⎝ ⎠

Si il it Similaritas • Dua matriks transformasi A dan B dikatakan similar jika terdapat matriks nonsingular R sehingga B = R-1AR • Contoh C h: A

⎛ 2 2 1⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 1 3 1⎟ ⎜ 1 2 2⎟ ⎝ ⎠

dan B =

⎛5 14 13⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 1 0 ⎟ ⎜0 0 1 ⎟ ⎝ ⎠

adalah similar

sebab terdapat matriks P = sehingga h B = P-11AP.

⎛1 3 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜1 4 3 ⎟ , ⎜1 3 4 ⎟ ⎝ ⎠

Sifat : 1) dua matriks yang similar mempunyai akar karakteristik yang sama 2 ) jika Y adalah vektor karakteristik dari B yang berhubungan dengan akar karakteristik λi, maka X = PY adalah vektor invarian A yang berhubungan dengan akar karakteristik λi.

Persoalannya sekarang adalah : Jika diketahui dua matriks A dan B, bagaimana mendapatkan matriks t ik P sehingga hi berlaku b l k P-1AP = B ?

• Cari akar dan vektor karakteristik dari ⎛5 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ D = ⎜0 4 0 ⎟ ⎜0 0 −3⎟ ⎝ ⎠

M t ik Diagonal Matriks Di l

D=

⎛−3 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 7 0⎟. ⎜ 0 0 9⎟ ⎝ ⎠

Akar dan vektor karakteristik dari matriks D

adalah λ1 = -33, λ2 = 7, 7 dan λ3 = 9. 9 Dengan vektor karakteristiknya bertutut-turut adalah

⎛1⎞ ⎜⎟ ⎜0⎟, ⎜0⎟ ⎝⎠

⎛0⎞ ⎜⎟ ⎜1⎟, dan ⎜0⎟ ⎝⎠

⎛0⎞ ⎜⎟ ⎜0⎟. ⎜1⎟ ⎝⎠

Setiap matriks diagonal berdimensi nxn pasti mempunyai n vektor yang bebas linear. linear

Similar dengan Matriks Diagonal : Pendiagonalan Matriks

• Teorema : Setiap matrik A bedimensi nxn yg mempunyaii n vektor k yang b bebas b linear similar dengan matriks diagonal.

B kti Bukti: Andaikan X1, X2, X3, …,, Xn adalah vektor invarian yg berhubungan dng akar karakteristik λ1, λ2, λ3, .., λn sehingga AXi = λi Xi (i = 1, 2, 3, …, n). Andaikan P = [X1 X2 X3 … Xn], ] maka AP = A[X1 X2 X3 … Xn] = [AX1 AX2 AX3 … AXn] AP = [λ1X1 λ2X2 λ3X3 … λnXn]

Bukti… AP = [X1 X2 X3 …

⎛ λ1 ⎜ ⎜0 ⎜0 Xn] ⎜ ⎜ ... ⎜0 ⎝

0

0

λ2

0

0 ...

λ3

0

0

...

0⎞ ⎟ ... 0 ⎟ .. 0 ⎟ ⎟ ... ... ⎟ ... λ n ⎟⎠ ...

AP = [X1 X2 X3 … Xn] diag(λ1, λ2, λ3, .., λn) AP = P D -1

-1

P AP = P P D -1

P AP = D Jadi matriks A similar dengan g matriks diagonal g D,, sebab ada matriks non singular P sehingga P-1AP = D.

• Matriks Anxn yg mempunyai n

vektor invarian yg bebas linear dinamakan diagonalisabel (dapat didi didiagonalkan lk / similar i il dengan d matriks diagonal). diagonal)

Algoritma utk mendiagonalkan matriks Anxn : (1) cari akar-akar karakteristik dari matriks A, yaitu λi (i = 1,2, 3, …, n) (2) cari vektor-vektor karakteristik dari A yg berhubungan dengan akar-akar karakteritik λi. (3) Jika banyaknya vektor invarian < n, maka A tidak di diagonalisabel. li b l Selesai. S l i (4) Jika banyaknya vektor invarian = n, maka A diagonalisabel Selanjutnya : diagonalisabel. (4.1). Ambil P = [X1 X2 X3 … Xn], dengan X adalah vektor invarian dari A. A (4.2). Cari P-1 (4.3). P-1AP = D = diag(λ1, λ2, λ3, .., λn), dengan λi adalah akar-akar karakteristik dari A. ((4.4). ) selesai.

contoh t h ⎛2 Apakah matriks A = ⎜⎜2 ⎝ -1

1⎞ ⎟⎟ diagonalisabel ?. Jika ya, cari 3⎠

matriks P sehingga P AP = D (diagonal).

contoh t h Apakah matriks A =

⎛ 1 1 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 2 2⎟ diagonalisabel ?. ? Jika ya, ya cari ⎜−1 1 3⎟ ⎝ ⎠ -1

matriks P sehingga gg P AP = D ((diagonal). g )

contoh t h •

⎛ 3 − 2⎞ ⎟⎟ Apakah matriks A =⎜⎜ ⎝− 2 6 ⎠

diagonalisabel di li b l ? JJika a ya, cari ca matriks at s P se sehingga gga P-1AP = D (Didagonal).

contoh t h ⎛ 2 −4 2 ⎞ ⎜ ⎟ • Apakah matriks B = ⎜−4 2 −2⎟ diagonalisabel di li b l ? ⎜ 2 −2 −1⎟ ⎝ ⎠ Jika ya, cari matriks P sehingga P-1BP = D (Diagonal). (Diagonal)

Similaritas dari matriks matriks--matriks Simetri

• Jika A matriks simetri, yaitu AT = A, maka k d dapatt dit ditemukan k matriks t ik ortogonal g R sehingga gg R-1AR = D (diagonal).

• Teorema : Vektor-vektor invarian dari matriks Vektorsimetri yg berasal dari akar karakteristik yg berbeda adalah saling ortogonal

bukti Andaikan X1 dan X2 adalah vektor invarian yg berasal dari λ1 dan d λ2 (dengan (d λ1 ≠ λ2 ) dari d i matriks t ik simetri i t i A, A maka k : AX1 = λ1X1 X 2T AX1 = X 2T λ1X1

(1)

T T T X X ( 2 AX1) = (λ1 2 X1)T

X1T ATX2 = λ1 X1T X2 X1T A X2 = λ1 X1T X2

(2)

bukti… Sementara itu juga : AX2 = λ2X2 T X 1T AX A 2 = λ2 X 1 X2 T

(3)

T

( X 1 AX2)T = (λ2 X 1 X2)T X 2T ATX1 = λ2 X 2T X1

X 2T A X1 = λ2 X 2T X1

dari (2) dan (3) : λ1 X 1 X2 = λ2 X 1 X2 T

T

λ1 X 1 X2 - λ2 X 1 X2 = 0 T

T

T T (λ1- λ2) X 1 X2 = 0 atau X 1 X2 = 0

Ini berarti X1 ortogonal X2.

(4)

Untuk matrik simetri A, algoritma untuk mendapatkan matriks ortogonal R sehingga R-1AR = D (diagonal) adlh (1) cari akar karakteristik dari A (2) cari vektor invarian dari A ((3)) jika j semua akar karakteristik berbeda,, maka vektor invarian X1, .., Xn adalah saling ortogonal. (3.1) normalisir vektorvektor-vektor X1, …, Xn sehingga menjadi Y1, Y2 Y2,…, Yn Yn. (3.2) Matriks ortogonal R = [Y1 Y2 … Yn]. (3.3) ( ) R-1AR = D ((diagonal). g ) Selesai. (4) Jika ada akar karakteristik yg sama, sama, misalnya λ1 = λ2, maka X1 dan X2 belum ortogonal; sedangkan X3, …, Xn sudah ortogonal. ortogonal (4.1) lakukan proses GramGram-Schmidt thd X1 dan X2 sehingga menjadi W1 dan W2 yang saling ortogonal. (4.2) Ambil W3 = X3, …, Wn = Xn (4.3) Normalisir vektorvektor-vektor W1, W2, W3, …, Wn sehingga menjadi Y1, Y1 Y2, Y2 Y3, Y3 .., Yn. Yn (4.4) Matriks ortogonal R = [Y1 Y2 … Yn]. (4.5) R-1AR = D (diagonal). Selesai.

contoh t h • Cari matriks ortogonal R sehingga R-1AR = D

⎛1 ⎜⎜ A = ⎝3

4⎞ ⎟⎟ 2⎠

contoh t h • Cari matriks ortogonal R sehingga R-1BR = D

⎛1 −3 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 −5 6⎟ B= ⎜ ⎟ ⎝0 −3 4⎠

contoh t h • Cari matriks ortogonal R sehingga R-1CR = D ⎛1 2 0⎞ ⎜ ⎟ 2 2 2⎟ ⎜ C= ⎜ ⎟ 0 2 3 ⎝ ⎠

contoh t h • Cari matriks ortogonal R sehingga R-1FR = D ⎛3 1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜2 4 2⎟ F= ⎜ ⎟ 1 1 3 ⎝ ⎠

L tih Latihan • Cari matriks ortogonal R sehingga

R-1AR = D (diagonal), jika matriks transformasi A=

⎛1 ⎜ ⎜2 ⎜2 ⎝

2 1 2

2⎞ ⎟ 2⎟ 1 ⎟⎠


R-1 BR = D (diagonal), jika matriks transformasi B=

⎛ 2 ⎜ ⎜ 0 ⎜−1 ⎝

0 2 0

− 1⎞ ⎟ 0 ⎟ 2 ⎟⎠


R-1 CR = D (diagonal), jika matriks transformasi C=

⎛2 ⎜ ⎜0 ⎜1 ⎝

0 3 0

1⎞ ⎟ 0⎟ 2 ⎟⎠


R-1 ER = D (diagonal), jika matriks transformasi E=

⎛3 ⎜ ⎜2 ⎜2 ⎝

2 2 0

2⎞ ⎟ 0⎟ 4 ⎟⎠


R-1 FR = D (diagonal), jika matriks transformasi F

⎛ 4 ⎜ =⎜ − 1 ⎜ 1 ⎝

−1 4 −1

1 ⎞ ⎟ − 1⎟ 4 ⎟⎠


R-1 GR = D (diagonal), jika matriks transformasi G=

⎛3 ⎜ ⎜1 ⎜1 ⎝

1 0 2

1⎞ ⎟ 2⎟ 0 ⎟⎠


R-1 HR = D (diagonal), jika matriks transformasi H=

⎛2 ⎜ ⎜2 ⎜2 ⎝

2 5 4

2⎞ ⎟ 4⎟ 5 ⎟⎠


R-1 KR = D (diagonal), jika matriks transformasi K

⎛ 7 ⎜ =⎜ − 4 ⎜− 4 ⎝

−4 1 −8

− 4⎞ ⎟ −8⎟ 1 ⎟⎠


R-1 LR = D (diagonal), jika matriks transformasi L

⎛ 7 ⎜ =⎜ − 2 ⎜ 1 ⎝

−2 10 −2

1 ⎞ ⎟ − 2⎟ 7 ⎟⎠

Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta

Recommend Documents