Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta

BASIS DAN DIMENSI Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta

Basis dan Dimensi

Ruang vektor V dikatakan mempunyai dimensi terhingga n (ditulis dim V = n) jjika ada vektor vektor--vektor e1, e2, …,, en ∈ V yg bebas linear. Himpunan { e1, e2, …, en} disebut basis dari V; dan banyaknya maksimum vektor yang bebas linear adalah n. n

05/03/2009

budi murtiyasa ums surakarta

2

Andaikan V = {u1, u2, u3}, dengan 1 -1 1 u1= 2 u2= -1 dan u3 = 3 -1 2 0 amati bahwa himpunan p {u { 1, u2, u3} adalah bergantung g g linear;; karenanya tidak bisa menjadi basis untuk V. linear Tetapi misalnya himpunan {u1, u2} adalah bebas linear.. Jadi {u1, u2} adalah basis untuk ruang V. linear Karenanya dim V = 2. 2. Demikian halnya {u2, u3} juga bebas linear, linear, oleh k karena it itu iia juga j b i dari basis d i V, V dan d dim di V = 2. 2 Contoh tersebut menunjukkan bahwa basis suatu ruang vektor tidak tunggal. 05/03/2009


3

Andaikan ruang V = {u, v, w, s}, di mana : u

⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ = =,, ⎜ 1 ⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠

v

⎛1⎞ ⎜ ⎟ = ⎜−2⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠

,w

⎛−22⎞ ⎜ ⎟ =⎜1⎟ ⎜5⎟ ⎝ ⎠

, dan s =

⎛ −22⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜8⎟ ⎝ ⎠

.

cari basis dan dimensi dari ruang V ! Solusi : (menggunakan matriks) ⎛u⎞ ⎜ ⎟ ⎜v⎟ ⎜w⎟ ⎜ ⎟ ⎜s⎟ ⎝ ⎠

⎛ −1 1 ⎜ = ⎜ 1 −2 ⎜− 2 1 ⎜ ⎜ ⎝− 2 0

1⎞ ⎛ −1 1 1 ⎞ ⎛ −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ~ ⎜ 0 −1 3 ⎟ ~ ⎜ 0 ⎜ 0 −1 3 ⎟ ⎜0 5⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 8⎠ ⎝ 0 − 2 6⎠ ⎝0

1 1⎞ ⎟ −1 3⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 0⎟⎠

Basis dari V = {( {(--1, 1 1 1, 1)T, (0, (0 -1, 1 3)T}. } Dim V = 2. 05/03/2009


4

Cari basis dan dimensi dari Ruang g

05/03/2009

V = {u, {u v, v w}; jika


5

Untuk Rn; dengan e1 =

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜:⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠

, e2 =

⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜:⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠

, …, en =

⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜:⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1⎠

adalah basis dari Rn, dan dim Rn = n. n Basis {e1, e2, …, en} disebut basis natural atau basis standard standard..

1⎞ ⎛ Jadi basis natural dari R2 adalah e1 = ⎜⎜ ⎟⎟ 0⎠ 0 2 ⎝ ⎛ ⎞ d e2 = ⎜ ⎟ . Dim dan Di R = 2. 2 ⎜1⎟ ⎝ ⎠

05/03/2009


6

Teorema

Himpunan p {u1, u2, …, un} yyang g bebas linear dari ruang vektor V berdimensi n adalah sistem pembentuk bagi ruang vektor V.

05/03/2009


7

Catatan : setiap p sistem pembentuk p yang y g bebas linear adalah basis dari suatu ruang vektor. vektor setiap p himpunan p {u { 1, u2, …,, un} yyang g bebas linear adalah basis dari ruang vektor berdimensi n n.

05/03/2009


8

Contoh Co to : ⎛ 1⎞ u, v, w ∈ R2, dng u = ⎜⎜−1⎟⎟ , v = ⎝ ⎠

⎛−1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2⎠

,w=

⎛ 0⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 1⎠

dapat diselidiki bahwa {u, v, w} adalah b bergantung t lilinear; ia i juga j sistem i t pembentuk b t k R2. Tetapi {u, v, w} tidak bisa menjadi basis R2. sedangkan {u, {u w} adalah bebas linear, linear, ia juga sistem pembentuk bagi R2. Jadi himpunan { w}} adalah {u, d l h basis b i untuk t k R2 tersebut. t b t

05/03/2009


9

Teorema

Jika ruang g vektor V berdimensi n, maka setiap himpunan yang memuat n+1 +1 anggota t atau t llebih bih adalah d l h bergantung linear (dependen).

05/03/2009


10

Contoh : 1⎞ −11⎞ ⎛0⎞ ⎛ ⎛ u, v, w ∈ R2, dng u = ⎜⎜ ⎟⎟ , v = ⎜⎜ ⎟⎟, w = ⎜⎜1⎟⎟ . ⎝⎠ ⎝−1⎠ ⎝ 2⎠ dapat diselidiki bahwa {u, v, w} pasti bergantung linear; mengapa ?.

1 -1 2 1 3 V= 2 1 -1 3 2 -1 1 -2 2 -1 Bebas linear atau bergantung linear ? 05/03/2009


11

Ruang Jumlah

Jika U dan W adalah subspace p dari V, ruang jumlah dari U dan W adalah U + W = {u+w { + | u ∈ U dan d n w ∈ W}. W}

05/03/2009


12

05/03/2009


13--

05/03/2009


14

S l i: Solusi

U+W=

⎧⎛ 1 ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎜ −1⎟ ⎨⎜ ⎟ ⎪⎜ 2 ⎟ ⎪⎩⎜⎝ 1 ⎟⎠

⎛ − 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠

⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜3⎟ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠

⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠

⎛ −1⎞⎫ ⎜ ⎟⎪ ⎜ 3 ⎟⎪ ⎜ −3⎟⎬ ⎜ ⎟⎪ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎝ ⎠⎭

Untuk mencari basis U + W dikerjakan sebagai berikut : 05/03/2009


15

⎛ 1 −1 2 1 ⎞ ⎜ ⎟ 2⎟ ⎜− 2 1 1 ⎜ −1 0 3 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1 1 −1 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ 1 − 1 − 1 ⎜ ⎟ ⎜ −1 3 − 3 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝

−1

2

−1 0

5 1

0

0

0 0

0 0

1 ⎞ ⎟ 4 ⎟ 2 ⎟ ⎟ − 8⎟ − 8 ⎟⎟ 0 ⎟⎠

~

~

⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝ ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝

−1 −1

1 ⎞ ⎟ 4 ⎟ −1 5 4 ⎟ ⎟ 0 1 2 ⎟ 2 − 3 − 2 ⎟⎟ 2 − 1 2 ⎟⎠ 2 5

−1

2

−1

5

0

1

0

0

0

0

0

0

~

⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝

−1 −1

2 5

0 0 0

0 1 7

0

9

1 ⎞ ⎟ 4 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 2 ⎟ 6 ⎟⎟ 10 ⎟⎠

~

1⎞ ⎟ 4⎟ 2⎟ ⎟ 1⎟ 0 ⎟⎟ 0 ⎟⎠

Basis U+W ={(1,-1,2,1) {( , , , )T,( ,(0,-1,5,4) , , , )T,( ,(0,0,1,2) , , , )T,( ,(0,0,0,1) , , , )T} Dim U+W = 4. 05/03/2009


16

Teorema

Jika U dan W subspace p dari V, maka U+W adalah juga subspace dari V.

05/03/2009


17

Amati bahwa :

dim (U + W) = dim U + dim W – dim (U ∩ W)

Ruang Jumlah Langsung

U dan W subspace p V. Ruang g V adalah jumlah langsung (direct sum) dari U dan W, W ditulis U ⊕ W, W jika setiap vektor v ∈ V dapat dinyatakan dalam satu cara dan hanya satu cara sebagai v = u + w; di mana u∈ u∈U dan w∈W.

05/03/2009


19

Andaikan U dan W subspace V, di mana a 0 U= b dan W = 0 0 c a V = b adalah jumlah langsung dari U dan W c 4 4 0 Sebab misalnya : 8 = 8 + 0 7 0 7

05/03/2009


20

Andaikan U dan W subspace V, di mana a 0 a U= b dan W = b , maka V = b 0 c c adalah bukan jumlah langsung dari U dan W 4 4 0 Sebab misalnya : 8 = 5 + 3 atau 7 0 7 4 4 0 8 =2 + 6 dsb. 7 0 7 05/03/2009 budi murtiyasa ums surakarta 21

Teorema

Ruang g vektor V dikatakan jjumlah langsung dari subspace U dan W jika dan hanya jika ((1)) U + W = V,, dan (2) U ∩ W = { 0 }.

05/03/2009


22

Ruang Baris dan Ruang Kolom

Untuk matriks Amxn, maka

dimensi dari ruang baris = dimensi di i ruang kolom k l .

05/03/2009


23

•Berapa dimensi ruang baris dari : ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜2 1 1 ⎟ ⎜ 1 2 −1⎟ ⎜ ⎟ ⎜3 3 0 ⎟ ⎝ ⎠

H ~

⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 3 − 3⎟ ⎜ 0 3 − 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 6 − 6⎟ ⎝ ⎠

~

⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 3 − 3⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠

~

−1 1 0 0

⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝

2⎞ ⎟ −1⎟ 0⎟ ⎟ 0 ⎟⎠

Ada dua baris tidak nol, nol berarti dimensi = 2. 2 •Berapa Be apa dimensi ruang ang kolom dari da i : ⎛ 1 −1 ⎜ ⎜2 1 ⎜1 2 ⎜ ⎜3 3 ⎝

2⎞ ⎟ 1⎟ −1⎟ ⎟ 0 ⎟⎠

K ~

⎛1 ⎜ ⎜2 ⎜1 ⎜ ⎜3 ⎝

0 0⎞ ⎟ 3 − 3⎟ 3 − 3⎟ ⎟ 6 − 6⎟⎠

~

⎛1 ⎜ ⎜2 ⎜1 ⎜ ⎜3 ⎝

0 3 3 6

0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0 ⎟⎠

~

⎛1 ⎜ ⎜2 ⎜1 ⎜ ⎜3 ⎝

0 1 1 2

0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0 ⎟⎠

Ada dua kolom tidak nol, berarti dimensi = 2. 05/03/2009


24

05/03/2009


25

Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta

Recommend Documents