MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT – MATEMATIKA
PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky.
Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D.
[email protected]
MT – MATEMATIKA
Průběh funkce - CVIČENÍ
Cvičení 1 . Vyšetřete průběh funkce: 1. y = x3 − 2x2 + x Řešení. Postupně počítáme vlastnosti funkce a na závěr nakreslíme graf. b Definiční obor: D(f ) = R b Znaménko funkce (f (x) > 0 ⇒ kladná, f (x) < 0 ⇒ záporná): x3 − 2x2 + x > 0
x3 − 2x2 + x < 0
x(x2 − 2x + 1) > 0
x(x2 − 2x + 1) < 0
x(x − 1)2 > 0
x(x − 1)2 < 0
Nulové body: 0, 1 −
+ 0
+ 1
Kladná: (0, ∞) Záporná: (−∞, 0) Průsečíky s osou x (y = 0), průsečík s osou y (x = 0): y=0
x=0
0 = x3 − 2x2 + x
y = 03 − 2 · 02 + 0
0 = x(x2 − 2x + 1)
y=0
2
0 = x(x − 1) S osou x: [0, 0], [1, 0] S osou y: [0, 0]
b Parita - sudá (f (x) = f (−x)), lichá (f (x) = −f (−x)), ani jedno, obojí f (x) = x3 − 2x2 + x
f (−x) = (−x)3 − 2(−x)2 + (−x)
f (−x) = −x3 − 2x2 − x f (x) 6= f (−x)
Není sudá, není lichá.
f (x) = x3 − 2x2 + x − [f (−x)] = − −x3 − 2x2 − x −f (−x) = x3 + 2x2 + x f (x) 6= −f (−x)
2
MT – MATEMATIKA
Průběh funkce - CVIČENÍ
b Monotónnost a lokální extrémy - pomocí první derivace y ′ = (x3 − 2x2 + x)′ = (x3 )′ − (2x2 )′ + (x)′ = 3x2 − 2(x2 )′ + 1 = 3x2 − 4x + 1 y′ = 0 3x2 − 4x + 1 = 0
4±
x1,2 =
√
4±2 16 − 4 · 3 · 1 = 6 6
x1 = 1 1 x2 = 3 Nulové body: 1, 13 ր
ց
ր
+
1/3 1 −
+
Roste: (−∞, 13 ) ∪ (1, ∞) Klesá: ( 13 , 1) V bodě x = 31 je lokální maximum a v bodě x = 1 je lokální minimum. Lokální minimim: f (1) = 13 − 2 · 12 + 1 = 0. Souřadnice [1, 0]. 3 2 4 4 Lokální maximum: f ( 31 ) = 13 − 2 · 13 + 31 = 27 . Souřadnice [ 31 , 27 ].
b Konvexnost, konkávnost a inflexní body - pomocí druhé derivace
y ′′ = (3x2 − 4x + 1)′ = (3x2 )′ − (4x)′ + (1)′ = 3(x2 )′ − 4(x) + 0 = 6x − 4 y ′′ = 0 6x − 4 = 0 2 x= 3 Nulové body:
2 3
∩ −
∪ 2/3
+
3
MT – MATEMATIKA
Průběh funkce - CVIČENÍ
4
Konvexní: ( 32 , ∞) Konkávní: (−∞, 23 ) Inflexní bod je x = 32 . 3 Inflexní bod: f ( 32 ) = 23 − 2
2 2 3
+
2 3
=
2 27 .
2 Souřadnice [ 32 , 27 ].
b Asymptoty se směrnicí a bez směrnice - pomocí limit • se směrnicí y = ax + b f (x) = x x3 − 2x2 + x = lim = x→∞ x x3 = lim = x→∞ x = lim x2 = ∞
∞ : a = lim
x→∞
x→∞
a∈ /R Asymptota v ∞ neexistuje.
f (x) = x x3 − 2x2 + x = lim = x→−∞ x x3 = lim = x→−∞ x = lim x2 = ∞
− ∞ : a = lim
x→−∞
x→−∞
a∈ /R
Asymptota v −∞ neexistuje.
Ani v jednom případě nemá smysl počítat b. • bez směrnice - hledáme v bodech, kde funkce f (x) není definovaná Definiční obor funkce D(f ) = R. Nejsou body, kde bychom hledali asymptotu. Asymptoty bez směrnice neexistují.
MT – MATEMATIKA
Průběh funkce - CVIČENÍ
5
b Graf
y
0
2/3 1/3 1
x
MT – MATEMATIKA
Průběh funkce - CVIČENÍ
2
2. y = x x+1 Řešení. Postupně počítáme vlastnosti funkce a na závěr nakreslíme graf. b Definiční obor: x 6= 0 ⇒ D(f ) = R r {0} b Znaménko funkce (f (x) > 0 ⇒ kladná, f (x) < 0 ⇒ záporná): x2 + 1 <0 x ⇒ x∈ /R
x2 + 1 >0 x Nulové body čitatele: x2 + 1 = 0 Nulové body jmenovatele: x = 0 Nulové body: 0 −
+ 0
Kladná: (0, ∞) Záporná: (−∞, 0) Průsečíky s osou x (y = 0), průsečík s osou y (x = 0): y=0 x2
+1 x 0 = x2 + 1 0=
x∈ /R S osou x: nemá S osou y: nemá
x=0 02 + 1 0 nesmysl
y=
6
MT – MATEMATIKA
Průběh funkce - CVIČENÍ
b Parita - sudá (f (x) = f (−x)), lichá (f (x) = −f (−x)), ani jedno, obojí f (x) =
x2 + 1 x
(−x)2 + 1 (−x) x2 + 1 f (−x) = − x f (−x) =
x2 + 1 x 2 x +1 − [f (−x)] = − − x 2 x +1 −f (−x) = x f (x) =
f (x) 6= f (−x)
f (x) = −f (−x)
Není sudá, je lichá. b Monotónnost a lokální extrémy - pomocí první derivace ′ x2 + 1 (x2 + 1)′ (x) − (x2 + 1)(x)′ = = x x2 (2x)(x) − (x2 + 1)(1) 2x2 − x2 − 1 x2 − 1 = = = x2 x2 x2
y′ =
y′ = 0 x2 − 1 =0 x2 Čitatel i jmenovatel se rovná nule: x2 − 1 = 0
(x − 1)(x + 1) = 0
x2 = 0 x=0
Nulové body: 1, −1, 0 ր +
ց ց ⊖ −1 0 1 − −
ր +
7
MT – MATEMATIKA
Průběh funkce - CVIČENÍ
Roste: (−∞, −1) ∪ (1, ∞) Klesá: (−1, 0) ∪ (0, 1) V bodě x = −1 je lokální maximum a v bodě x = 1 je lokální minimum. 2 Lokální minimum: f (1) = 1 1+1 = 2. Souřadnice [1, 2]. Lokální maximum: f (−1) =
(−1)2 +1 −1
= −2. Souřadnice [−1, −2].
b Konvexnost, konkávnost a inflexní body - pomocí druhé derivace ′ x2 − 1 (x2 − 1)′ (x2 ) − (x2 − 1)(x2 )′ y = = = x2 x4 2x3 − (2x3 − 2x) 2x 2 (2x)(x2 ) − (x2 − 1)(2x) = = 4 = 3 = 4 x x4 x x ′′
y ′′ = 0 2 =0 x3 Čitatel i jmenovatel se rovná nule: 2=0
x3 = 0
nesmysl
x=0
Nulové body: 0 ∩ −
Konvexní: (0, ∞) Konkávní: (−∞, 0) Inflexní bod funkce nemá.
⊖ 0
∪ +
8
MT – MATEMATIKA
Průběh funkce - CVIČENÍ
9
b Asymptoty se směrnicí a bez směrnice - pomocí limit • se směrnicí y = ax + b ∞ : a = lim
x→∞
= lim
f (x) = x x2 +1 x
= x x2 + 1 1 · = = lim x→∞ x x x2 + 1 = lim = x→∞ x2 x2 = lim 2 = 1 x→∞ x x→∞
∞ : b = lim (f (x) − a · x) = x→∞
x2
+1 − 1 · x) = x→∞ x x2 + 1 − x2 = = lim x→∞ x 1 = lim =0 x→∞ x = lim (
Asymptota se směrnicí v ∞: y = 1 · x + 0 ⇒ y = x. Asymptota se směrnicí v −∞: y = 1 · x + 0 ⇒ y = x.
− ∞ : a = lim
x→−∞
= lim
f (x) = x x2 +1 x
= x x2 + 1 1 = lim · = x→−∞ x x x2 + 1 = lim = x→−∞ x2 x2 = lim 2 = 1 x→−∞ x x→−∞
− ∞ : b = lim (f (x) − a · x) = x→−∞
x2 + 1 − 1 · x) = x→−∞ x x2 + 1 − x2 = lim = x→−∞ x 1 = lim =0 x→−∞ x
= lim (
MT – MATEMATIKA
Průběh funkce - CVIČENÍ
10
• bez směrnice - hledáme v bodech, kde funkce f (x) není definovaná Definiční obor funkce D(f ) = R r {0}. V bodě x = 0 hledáme asymptotu. 0− :
lim f (x) = x→0−
V bodě x = 0 je asymptota bez směrnice.
x2 + 1 = lim = x x→0−
2
0 + 1
=
0− =
1
= −∞ = −0, 000 . . . 001
0+ :
lim f (x) =
x→0+ x2
+1 = lim = + x x→0
2
0 + 1
=
0+ =
1
=∞
= 0, 000 . . . 001
MT – MATEMATIKA
Průběh funkce - CVIČENÍ
11
b Graf
y
2
−1
01 −2
x
MT – MATEMATIKA
Průběh funkce - CVIČENÍ
12
2
3. y = x2x−1 Řešení. Postupně počítáme vlastnosti funkce a na závěr nakreslíme graf. b Definiční obor: (x2 − 1) 6= 0 ⇒ D(f ) = R r {1, −1} b Znaménko funkce (f (x) > 0 ⇒ kladná, f (x) < 0 ⇒ záporná): x2 >0 x2 − 1 Nulové body čitatele: x2 = 0 Nulové body jmenovatele: x2 − 1 = 0 (x − 1)(x + 1) = 0
x2 <0 x2 − 1 ⇒ x=0 ⇒
Nulové body: 0, 1, −1 +
− −1 0
−
+ 1
Kladná: (−∞, −1) ∪ (1, ∞) Záporná: (−1, 1) Průsečíky s osou x (y = 0), průsečík s osou y (x = 0): y=0 0=
x2 − 1
0 = x2 x=0 S osou x: [0, 0] S osou y: [0, 0]
x=0 x2
02 02 − 1 0 y= −1 y=0 y=
x = 1, −1
MT – MATEMATIKA
Průběh funkce - CVIČENÍ
b Parita - sudá (f (x) = f (−x)), lichá (f (x) = −f (−x)), ani jedno, obojí f (x) =
x2 x2 − 1
x2 x2 − 1 x2 − [f (−x)] = − 2 x −1 x2 −f (−x) = − 2 x −1 f (x) =
(−x)2 (−x)2 − 1 x2 f (−x) = 2 x −1
f (−x) =
f (x) = f (−x)
f (x) 6= −f (−x)
Je sudá, není lichá. b Monotónnost a lokální extrémy - pomocí první derivace ′ (x2 )′ (x2 − 1) − (x2 )(x2 − 1)′ x2 ′ = = y = x2 − 1 (x2 − 1)2 (2x)(x2 − 1) − (x2 )(2x) 2x3 − 2x − 2x3 −2x = = = 2 2 2 2 2 (x − 1) (x − 1) (x − 1)2 y′ = 0 −2x =0 − 1)2
(x2 Čitatel i jmenovatel se rovná nule: −2x = 0 x=0
(x2 − 1)2 = 0 x2 − 1 = 0
(x − 1)(x + 1) = 0
x = 1, −1
Nulové body: 0, 1, −1 ր +
ր ց ⊖ ⊖ −1 0 1 + −
ց −
13
MT – MATEMATIKA
Průběh funkce - CVIČENÍ
14
Roste: (−∞, −1) ∪ (−1, 0) Klesá: (0, 1) ∪ (1, ∞) V bodě x = 0 je lokální maximum. 2 0 = 0. Souřadnice [0, 0]. Lokální maximum: f (0) = 020−1 = −1 b Konvexnost, konkávnost a inflexní body - pomocí druhé derivace ′ −2x (−2x)′ ((x2 − 1)2 ) − (−2x)((x2 − 1)2 )′ ′′ y = = = (x2 − 1)2 (x2 − 1)4 (−2)(x2 − 1)2 + 2x(2(x2 − 1) · 2x) (−2)(x2 − 1)2 + 8x2 (x2 − 1) = = = (x2 − 1)4 (x2 − 1)4 (x2 − 1) · −2(x2 − 1) + 8x2 −2x2 + 2 + 8x2 6x2 + 2 = = = (x2 − 1)4 (x2 − 1)3 (x2 − 1)3 y ′′ = 0 6x2 + 2 =0 (x2 − 1)3 Čitatel i jmenovatel se rovná nule: 6x2 + 2 = 0
(x2 − 1)3 = 0
x2 − 1 = 0
kvadratická rovnice, která nemá řešení
(x − 1)(x + 1) = 0
x = 1, −1
Nulové body: 1, −1 ∪ +
Konvexní: (−∞, −1) ∪ (1, ∞) Konkávní: (−1, 1) Inflexní bod funkce nemá.
∩ ⊖ −1 −
⊖ 1
∪ +
MT – MATEMATIKA
Průběh funkce - CVIČENÍ
15
b Asymptoty se směrnicí a bez směrnice - pomocí limit • se směrnicí y = ax + b ∞ : a = lim
x→∞
= lim
f (x) = x x2 x2 −1
= x 1 x2 · = = lim 2 x→∞ x − 1 x x = lim 2 = x→∞ x − 1 x = lim 2 = x→∞ x 1 =0 = lim x→∞ x x→∞
∞ : b = lim (f (x) − a · x) = x→∞
= lim (
x2
− 0 · x) =
x2 − 1 x2 = = lim 2 x→∞ x − 1 x2 = lim 2 = x→∞ x = lim 1 = 1 x→∞
x→∞
Asymptota se směrnicí v ∞: y = 0 · x + 1 ⇒ y = 1. Asymptota se směrnicí v −∞: y = 0 · x + 1 ⇒ y = 1.
− ∞ : a = lim
x→−∞
= lim
f (x) = x x2 x2 −1
= x 1 x2 = lim 2 · = x→−∞ x − 1 x x = lim 2 = x→−∞ x − 1 x = lim 2 = x→−∞ x 1 = lim =0 x→−∞ x x→−∞
− ∞ : b = lim (f (x) − a · x) = x→−∞
x2 − 0 · x) = x→−∞ x2 − 1 x2 = lim 2 = x→−∞ x − 1 x2 = lim 2 = x→−∞ x = lim 1 = 1
= lim (
x→−∞
MT – MATEMATIKA
Průběh funkce - CVIČENÍ
16
• bez směrnice - hledáme v bodech, kde funkce f (x) není definovaná Definiční obor funkce D(f ) = R r {1, −1}. V bodě x = 1 hledáme asymptotu. 1− :
lim f (x) =
1+ :
lim f (x) =
x→1+
x→1−
V bodě x = 1 je asymptota bez směrnice.
x2 = lim 2 = x→1− x − 1
12
=
(1− )2 − 1 =
1
= = (0, 999)2 − 1
1
=
0, 999 − 1 =
1
= −∞ = −0, 000 . . . 001
V bodě x = −1 hledáme asymptotu. − 1− :
lim f (x) = x→−1−
x2 = lim = x→−1− x2 − 1
(−1)2
= = (−1− )2 − 1
1
=
(−1, 000 . . . 001)2 − 1 =
1
= = 1, 000 . . . 001 − 1
1
=
0, 000 . . . 001 = ∞
V bodě x = −1 je asymptota bez směrnice.
x2 = lim 2 = x→1+ x − 1
12
=
(1+ )2 − 1 =
1
=
= (1, 000 . . . 001)2 − 1
1
=
1, 000 . . . 001 − 1 =
1
=∞
= 0, 000 . . . 001
− 1+ :
lim f (x) =
x→−1+
x2 = lim = x→−1+ x2 − 1
(−1)2
=
= (−1+ )2 − 1
1
=
(−0, 999)2 − 1 =
1
=
= 0, 999 − 1
1
=
−0, 000 . . . 001 = −∞
MT – MATEMATIKA
Průběh funkce - CVIČENÍ
17
b Graf
y
1
−1
0
1
x
