POZEMNÍ KOMUNIKACE I

VYSOKÉ U ENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ

PETR HOLCNER

POZEMNÍ KOMUNIKACE I. MODUL BM01-M02 SM ROVÉ EŠENÍ POZEMNÍCH KOMUNIKACÍ

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Pozemní komunikace I. · Modul BM01-M02

© Petr Holcner, Brno 2005

- 2 (40) -

Obsah

OBSAH 1 Úvod ...............................................................................................................5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba pot ebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klí ová slova.........................................................................................5 2 Polom ry sm rových oblouk .....................................................................7 2.1 Minimální polom r otá ení – geometrie vozidla ..................................7 2.2 Minimální polom r sm rového oblouku – úvod...................................8 2.3 Minimální polom r sm rového oblouku – bezpe nost proti p eklopení vozidla...................................................................................................9 2.4 Minimální polom r sm rového oblouku – bezpe nost proti usmyknutí vozidla.................................................................................................11 2.5 Minimální polom r sm rového oblouku – bezpe nost podle SN 73 6101 .......................................................................................12 2.6 Bezpe nost sm rových polom r navržených podle normy...............13 3 P echodnice a její výpo et .........................................................................15 3.1 K ivost a její pr b h ve sm rovém oblouku .......................................15 3.2 Klotoidická p echodnice .....................................................................17 3.3 Vyty ovací hodnoty klotoidy..............................................................20 3.4 Výpo et hlavních vyty ovacích hodnot klotoidy................................22 3.5 Výpo et podrobných bod klotoidy....................................................23 4 Délka p echodnice ......................................................................................25 5 P echodnice ve sm rových obloucích .......................................................28 6 Výpo et symetrických oblouk .................................................................29 6.1 Volba parametru a úhlová podmínka pro symetrický oblouk.............29 6.2 Postup výpo tu....................................................................................29 6.3 Tabulky I. – geometrická podobnost klotoid ......................................31 7 Výpo et a vyty ení nesymetrických oblouk ...........................................33 7.1 Volba parametru a úhlová podmínka pro nesymetrický oblouk .........33 7.2 Postup výpo tu....................................................................................33 8 Složené oblouky ..........................................................................................36 9 Postup vyty ení p echodnicového oblouku ..............................................38 10 Záv r ............................................................................................................39 10.1 Shrnutí................................................................................................39 10.2 Studijní prameny .................................................................................39 10.2.1 Seznam použité literatury .....................................................39 10.2.2 Seznam dopl kové studijní literatury ...................................40 10.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny ...........................40

- 3 (40) -

Úvod

1

Úvod

Návrh trasy pozemních komunikací v sob zahrnuje sm rovou složku a výškovou složku. Sm rové ešení vidíme názorn v situa ních výkresech, do podélných profil se dostává pouze v podob schématického popisu. Naopak výškové ešení je názorn zobrazené v podélných profilech, do situace se dostane nanejvýš v podob popisu u sklonovník , pokud jsou v bec vykresleny. Pro sm rové ešení a pro výškové ešení se navrhuje samostatn podle požadavk normy, ale je nutné si uv domovat, že trasa pozemní komunikace je v sob zahrnuje sm rovou i výškovou složku ešení. Tento text se ale soust edí pouze na sm rové ešení odd len od výškového ešení. Výškové ešení, vzájemné vztahy výškového a sm rového ešení, zásady trasování jsou vysv tlené v modulu BM01-M01.

1.1

Cíle

Cílem je zvládnout sm rové ešení pozemních komunikací. D raz je kladen na pochopení, z eho jsou odvozeny návrhové parametry. Na to navazuje stru ný vý et nejd ležit jších parametr požadovaných normou SN Projektování silnic a dálnic. Absolvent bude schopný po ítat r znými metodami jednotlivé prvky sm rového ešení a z nich složené motivy. Bude v d t, jaké jsou možnosti a omezení návrhu sm rového ešení. Spo ítané oblouky bude um t vyty it.

1.2

Požadované znalosti

Následující text p edpokládá základní znalosti matematiky a fyziky. P edpokládá se absolvovaný úvod do pozemních komunikací na úrovni BO01 Konstrukce a dopravní stavby, základní znalost geodézie, znalost ortogonálního a polárního vyty ování bod , znalost hlavních vyty ovacích prvk sm rového oblouku.

1.3

Doba pot ebná ke studiu

Asi 28 hodin.

1.4

Klí ová slova

Osa komunikace, sm rový oblouk, kružnicový oblouk, p echodnice, klotoida, k ivost, polom r, parametr klotoidy, návrhové prvky, bezpe nost, p í ný sklon.

- 5 (40) -

Polom ry sm rových oblouk

2


Je žádoucí navrhovat takové sm rové ešení, které bude respektovat reálné možnosti pr jezdu vozidla sm rovým obloukem. Opa n e eno, není vhodné, aby se po vozovce pohybovala vozidla, která nerespektují nebo nemohou respektovat osu (sm rové ešení) komunikace. V p í ném ezu má dopravní proud (a tedy každé vozidlo) vymezený prostor, který se nazývá jízdní pruh, a za normálních okolností by se vozidlo m lo pohybovat výhradn v tomto prostoru. To je mimo jiné p edepsáno v Zákon o provozu na pozemních komunikacích . 364/2000 Sb. v §11 Sm r a zp sob jízdy: „(1) Na pozemní komunikaci se jezdí vpravo, a pokud tomu nebrání zvláštní okolnosti, p i pravém okraji vozovky, pokud není stanoveno jinak.“ Návrh sm rového ešení je tedy za r zných okolností pod ízen r zným dále uvedeným požadavk m.

2.1

Minimální polom r otá ení – geometrie vozidla

Za velmi nízkých rychlostí, nap . p i parkování nebo p i pojížd ní mimo ve ejné komunikace je rozhodující minimální polom r otá ení vozidla. Absolutní minimum použitelného polom ru (za p edpokladu pr jezdu obloukem najednou bez vracení) je dáno vlastnostmi vozidla. V technické dokumentaci lze v tšinou najít vn jší obrysový pr m r otá ení. Pro vozidla stejné kategorie jsou si tyto hodnoty blízké (nap . Škoda Fabia 10,48, Škoda Octavia 10,8, Ford Focus 10,9). Tomu odpovídá polom r otá ení na vnit ní hran asi 3,4 m, v ose asi 4,4 m. Velikost tohoto minimálního polom ru závisí p edevším na rozvoru náprav a na rejdovém úhlu (maximální úhel nato ení kol iditelné nápravy od polohy pro p ímou jízdu). Pokud budeme uvažovat nejen o stop vozidla, ale o pot ebném prostoru pro pohyb vozidla, budou d ležité i rozm ry karosérie, p edevším p evisy karosérie. Minimální polom ry otá ení jsou samoz ejm velmi rozdílné pro r zné typy vozidel – nejv tší budou pro nákladní soupravy a menší pro autobusy, t žká a lehká nákladní vozidla, dodávky a osobní automobily. Samoz ejm jsou geometrické vlastnosti vozidel odlišné pro r zné zna ky a typy vozidel v každé kategorii. Minimální polom r otá ení je tedy nutn vztažen k uvažovanému typu vozidla, které se bude po komunikaci pohybovat. Tento minimální polom r najde uplatn ní p i návrhu neve ejných obslužných komunikací jako nap .p íjezd do garáže na vlastním pozemku a p i ur ování rozm r manipula ních ploch na parkovištích. Nejmenší hodnoty sm rových polom r , které se vyskytují v normových p edpisech jsou v SN 73 6102 Projektování k ižovatek na silni ních komunikacích v l. 6.9.1: „…Nejmenší polom r vnit ní hrany jízdních pruh u k ižovatek silnic a místních komunikací je 12 m. Nejmenší doporu ený polom r u komunikací obslužných je 9 m, p ípustný je 6 m …“ U existujících komunikací lze najít na k ižovatkách i polom ry obrubník v hodnotách podstatn nižších, které pak už mají charakter zaoblení a nikoliv vymezení jízdní dráhy (nap . u budovy fakulty k ižovatka Veve í – Resslova i

- 7 (40) -


Veve í – Rybkova). Je nutné ale k takovému místu p istupovat s v domím, že plocha, kterou pot ebuje vozidlo k pohybu bude výrazn odlišná od plochy takto vymezené obrubníkem. Jde tedy už o p ípad, kdy návrh sm rového ešení nerespektuje reálné možnosti vozidla. Pohyb po takto malých polom rech je možný jen p i extrémn malých rychlostech. Nap . 12 metrová hodnota polom ru podle SN 73 6102 odpovídá návrhové rychlosti 20 km/h p i p í ném sklonu 2%. Pokuste se odhadnout nebo zm it polom ry na m stských k ižovatkách a porovnejte je s polom ry otá ení osobních vozidel, nákladních vozidel a autobus . Umož ují všechny k ižovatky pohyb vozidel podle navržených polom r ? Na k ižovatkách je rozhodující obrubníková hrana a její polom r.

2.2

Minimální polom r sm rového oblouku – úvod

Mimo výše uvedené p ípady se samoz ejm p edpokládá, že dopravní proud a jednotlivá vozidla se budou pohybovat p ibližn stálou rychlostí. Rozhodn je nežádoucí, aby vozidla musela náhle m nit rychlost kv li sm rovým oblouk m. Prakticky je tento p irozený požadavek zajišt ný tím, že na pozemních komunikacích (mimo k ižovatek) je pro pot eby projektování p edepsaná (v dlouhých souvislých tazích) návrhová rychlost. Ta platí pro sm rov p ímé ešení, ale i pro všechny sm rové oblouky na trase. Polom r sm rového oblouku pak odpovídá této návrhové rychlosti. Jak je vysv tleno dále, polom r závisí i na velikosti dost edného p í ného sklonu (klopení) komunikace. Názorným p íkladem klopení z jiné oblasti je úprava cyklistické dráhy na velodromu s extrémním klopením, která umož uje pr jezd velmi malých polom r vysokou rychlostí (závodní cyklisté jezdí vlastn rychlostí srovnatelnou s automobily – kolem 60 km/h). Jednostopé vozidlo (závodní kolo) p kn demonstruje, co se p i pr jezdu sm rovým obloukem d je. P i pr jezdu obloukem p sobí na cyklistu i jeho stroj odst edivá síla p ímo úm rná druhé mocnin rychlosti a nep ímo úm rná polom ru oblouku. Jednostopé vozidlo se musí vklán t do oblouku tak, aby výslednice odst edivých sil a tíhové síly sm ovala do místa opory, tj. p edního a zadního kola bicyklu. Jinými slovy do stopy (reprezentované vpodstat dv ma body), ve které se bicykl pohybuje. Jízdní kolo nemá žádnou jinou oporu, cyklista udržuje kolo p i jízd v souladu s výslednicí odst edivé a tíhové síly. Rovina proložená jízdní stopou a t žišt m cyklisty (v etn jeho stroje) je rovinou, ve které musí ležet výslednice sil. Tedy naklon ní kola nám (kte í se na cyklistu díváme zvenku) dává výstižnou informaci o výsledných silách. Cyklista by mohl samoz ejm zatá et i na vodorovném velodromu, ale bylo by nebezpe í (od jisté hrani ní rychlosti by to byla jistota), že t ecí a adhezní síly neudrží kola v požadované stop a po smyku cyklista havaruje. Sm rové oblouky na velodromu jsou tedy klopené. Ideální p ípad je ten, kdy povrch bude kolmý k výslednici sil. Pak nebude existovat v míst styku kola s dráhou žádná bo ní síla a cyklista nedostane smyk. Cyklistická dráha se tedy navrhuje zhruba ve sklonu, který je kolmý k bicyklu p i pr jezdu p edpokládanou rychlostí. Je pravdou, že ne všichni cyklisté dosahují stejné rychlosti a pro- 8 (40) -


to není každý pr jezd za ideálních podmínek (kolo kolmé k povrchu). Zvlášt patrné to je v p ípadech, kdy se z r zných d vod (t eba kv li taktice nebo už po závodu) pokouší cyklista projížd t obloukem velmi pomalu. Dost asto se stává, že uklouzne na velikém sklonu dol a havaruje. Zkušenosti z cyklistického velodromu nám pomohou lépe pochopit požadavky na klopení pozemních komunikací. Pro danou návrhovou rychlost budeme stanovovat polom r sm rového oblouku spolu s dost edným p í ným sklonem ve sm rovém oblouku. Návrhová rychlost vn, minimální polom r sm rového oblouku Rmin a p í ný sklon p% jsou spolu vzájemn provázány. Na silnicích mají obdobné vlastnosti jako kola motocykly. Automobily se odlišují p edevším tím, že se opírají o plochu (ur enou ty mi koly), nikoliv o p ímku, jako jednostopá vozidla. Znamená to, že automobily se nemohou „vklán t do zatá ky“. Na druhé stran jsou stabiln jší s ohledem na p eklopení, ale tato stabilita je rovn ž limitována. K usmyknutí ale m že dojít zrovna tak, jako u cyklisty, který jede pomalu po naklopené dráze nebo rychle po nenaklopené dráze. Na rozdíl od cyklistického velodromu na silnicích musíme zaru it i bezpe nost vozidl m, která se pohybují pomalu nebo stojí, dost edný sklon tedy je na silnicích podstatn menší než na závodní dráze pro cyklisty, i když se auta pohybují rychleji. Je nutné na pozemních silnicích zajistit bezpe nost proti p eklopení a bezpe nost proti usmyknutí. P í ný sklon ale musí být bezpe ný i pro vozidla pohybující se malou rychlostí za nevhodných adhezních podmínek (p i náledí) – z tohoto plyne omezení maximálního dost edného sklonu a pokud nem žeme navrhovat p í ný libovoln velký, existuje pro návrhovou rychlost i absolutní limit sm rového polom ru. P edstavte si, že jste vezeni nejd ív po p ímém úseku a následn sm rovým obloukem, který má nulové klopení. Jednou pokus absolvujete s automobilem a jednou na motocyklu (jde o jeden z mála vyrobených kapotovaných motocykl )a nevidíte p itom ven. Uvnit v kabin auta máte zav šené závaží na niti – kyvadlo, stejné kyvadlo máte zav šené v motocyklu. Poznáte uvnit v aut a uvnit v motocyklu podle náklonu kyvadlo, že projíždíte sm rovým obloukem? Je možné vymyslet takové ešení, že v žádném p ípad nepoznáte podle kyvadla pr jezd sm rovým obloukem? Mají tyto úvahy n jaký význam pro návrh polom r sm rových oblouk ?

2.3

Minimální polom r sm rového oblouku – bezpe nost proti p eklopení vozidla

P edpokládáme vozidlo projížd jící sm rovým obloukem o neznámém polom ru R. Sm rový oblouk je klopený sm rem ke st edu oblouku (dost edný sklon). Na vozidlo, které se pohybuje ve sm rovém oblouk p sobí tyto síly: •

tíha vozidla Q = m ⋅ g

v2 Q v2 = ⋅ R g R • odst edivá síla Na obrázku je sklon vyjád ený jako úhel α m ený od vodorovné roviny. Tíhová síla G je orientována svisle (ve shod s gravitací), odst edivá síla je orientoC = m⋅

- 9 (40) -


vaná vodorovn . Pro další úvahy rozložíme síly p sobící na vozidlo (v t žišti vozidla) do sm ru rovnob žného s povrchem vozovky a do sm ru kolmého k povrchu vozovky. Vozidlo je popsáno svou ší kou (rozchod b) a výškou t žišt h. Minimální polom r bude p i pevn daných rozm rech vozidla závislý na návrhové rychlosti a p í ném sklonu vozovky.

Bezpe nost vozidla proti p evržení vozidla se posuzuje s použitím moment síly. Kritický stav nastává ve chvíli, kdy sou et všech moment sil vzhledem k bodu otá ení (na obrázku je ozna en O) je nulový. Momentová rovnice má v následujících t ech ádcích tento tvar:

b b − Q ⋅ cos(α ) ⋅ − Q ⋅ sin (α ) ⋅ h = 0 2 2 2 Q⋅v b b ⋅ cos α ⋅ h − sin α ⋅ = Q ⋅ cos α + sin α ⋅ h g⋅R 2 2

C ⋅ cos(α ) ⋅ h − C ⋅ sin (α ) ⋅

v2 b b ⋅ cos α ⋅ h − sin α ⋅ = cos α + sin α ⋅ h g⋅R 2 2 V prvním ádku je momentová rovnice vyjád ena s pomocí odst edivé a tíhové síly. Do druhého ádku je odst edivá síla vyjád ena pomocí tíhové síly a graviv2 Q v2 ta ního zrychlení: C = m ⋅ = ⋅ R g R Po úprav ve t etím ádku ve vztahu nefiguruje ani hmotnost ani tíha. Polom r není závislý na hmotnosti vozidla, ale pouze na rychlosti a na geometrii vozidla, jak je vid t dále:

R=

2

v ⋅ g

cos α ⋅ h − sin α ⋅ cosα

b 2

b + sin α ⋅ h 2 - 10 (40) -


Další úpravy sm ují ke zjednodušení vztahu. Vynásobíme itatele i jmenova2 tele cos α . Zatím jsme uvažovali o rovnovážném vztahu a pro n j zjiš ovali nutný polom r. V tší polom ry nám budou vyhovovat, proto nahradíme rovnost nerovností.

p% v (2 ⋅ h − b ⋅ tgα ) v 100 R≥ ⋅ = ⋅ p% g (b + 2 ⋅ h ⋅ tgα ) g b + 2⋅h⋅ 100 2

2

2⋅h −b⋅

Tangentu úhlu jsme nahradili p í ným sklonem, který se b žn používá pro popis p í ného sklonu. Dosazením do ší ky a výšky t žišt zkoumaného vozidla za b a h najdeme minimální polom r, zaru ující bezpe nost vozidla proti p evržení p i dané rychlosti a p í ném sklonu vozovky. Dosa te rozm ry a odhadnutou výšku t žišt pro osobní automobil a pro špatn naložený nákladní automobil (t žký náklad ve velké výšce - vysoká poloha t žišt ) a zjist te pro tato vozidla polom r bezpe ný proti p eklopení p i p í ných sklonech 0 %, 2,5% (základní p í ný sklon) a 6%. Porovnejte dále s polom ry bezpe nými proti usmyknutí.

2.4

Minimální polom r sm rového oblouku – bezpe nost proti usmyknutí vozidla

Op t jako v p edchozím p ípadu p edpokládáme pr jezd sm rovým obloukem p i daném dost edném p í ném sklonu. Hledáme polom r, p i kterém nastane rovnováha sil p sobících sm rem ven a sm rem do oblouku. Uvažujeme op t s odst edivou silou C a tíhovou silou Q, jak jsou definovány výše. Bezpe nost vozidla proti usmyknutí se posuzuje sou tem sil rovnob žných s povrchem vozovky. Kritický stav nastává ve chvíli, kdy je sou et sil p sobících ve sm ru ven z oblouku a ve sm ru opa ném nulový. Sm rem z oblouku p sobí složka odst edivé síly rovnob žná s povrchem. Proti usmyknutí p sobí p edevším t ecí síla (ta je úm rná silám p sobícím kolmo k povrchu a koeficientu t ení f). V p ípad nenulového dost edného p í ného sklonu p ispívá ke t ení i složka odst edivé síly kolmá k povrchu a složka tíhové síly rovnob žná s povrchem. Rovnice silové rovnováhy vypadá takto:

(Q ⋅ cosα + C ⋅ sin α ) ⋅ f

= C ⋅ cosα − Q ⋅ sin α

Rovnici upravíme vyd lením cosα a zm níme ji na nerovnici:

(Q + C ⋅ tgα ) ⋅ f + Q ⋅ tgα ≥ C Q ⋅ ( f + C ⋅ tgα ) ≥ C ⋅ (1 − f ⋅ tgα ) po dosazení

C=

Q v2 ⋅ g R

- 11 (40) -


Q ⋅ ( f + tgα ) ≥ R≥

Q v2 ⋅ ⋅ (1 − f ⋅ tg ⋅ α ) g R

v 2 (1 − f ⋅ tg ⋅ α ) ⋅ ( f + tgα ) g

zjistíme, že minimální polom r závisí na rychlosti, na úhlu (resp. na p í ném sklonu) a na koeficientu t ení. Bezpe nost proti usmyknutí není nijak závislá na geometrických charakteristikách vozidla – nezávisí ani na ší ce vozidla ani na výšce t žišt . Protože hodnota f*tgα je relativn malá (asi do 0,05), v dalších úvahách ji zanedbáme a v itateli bude 1 místo (1 − f ⋅ tgα ) . Pak vypadá použitelný vzorec následovn (po dosazení p evodu jednotek u návrhové rychlosti – protože návrhová rychlost se b žn udává v km/h a do vzorce pot ebujeme m/s): R≥

v n2 1 ⋅ g ( f + tgα )

R≥

v n2 127 ⋅ ( f ± 0,01 ⋅ p % )

Minimální polom r je závislý na návrhové rychlosti vn a na p í ném sklonu p%. Záporné znaménko se použije v p ípad , že sklon není dost edný, ale sm uje ven z oblouku. Po dosazení reálných hodnot rozm r a reálných koeficient t ení (uvažuje se pom rn nízký koeficient t ení f pro špatné adhezní podmínky o hodnot p ibližn 0,2) se prokáže, že podmínka pro usmyknutí je p ísn jší. Potvrzuje to i b žná zkušenost, dostat vozidlo do smyku je snazší a b žn jší než p evrátit vozidlo. Spo ítejte polom ry bezpe né proti usmyknutí pro koeficient t ení f=0,2% p i p í ných sklonech 0 %, 2,5% (základní p í ný sklon) a 6%. Porovnejte s polom ry bezpe nými proti p eklopení, které jste spo ítali výše.

2.5

Minimální polom r sm rového oblouku – bezpe nost podle SN 73 6101

SN 73 6101 vychází ze vztahu pro bezpe nost proti usmyknutí, kde je polom r oblouku p ímo úm rný druhé mocnin rychlosti, ale nezávisí nijak na geometrických charakteristikách vozidla. Vztah je zjednodušen do následující po podoby:

Rmin =

const. ⋅ v n2 p%

P ípadné zm ny názoru na míru bezpe nosti lze pak snadno zavést do normy zm nou velikosti koeficientu. V sou asnosti se používají dva r zné koeficienty - const.=0,3 pro rychlosti vn 80 km/h a const.=0,36 pro rychlosti vn>80 km/h, viz SN 73 6101, p íloha C, str. 100.

- 12 (40) -


Pro projek ní pot eby jsou p íslušné minimální polom ry v norm tabelovány v podob , jak je dále uvedeno.

Porovnejte d íve spo ítané polom ry bezpe né proti p eklopení a proti usmyknutí s normovými hodnotami.

2.6

Bezpe nost sm rových podle normy

polom r

navržených

Nutno dodat, že koeficient t ení nabývá hodnot ve velikém rozsahu a pro extrémní hodnoty není zajišt no, že k usmyknutí nedojde. V takových p ípadech platí ustanovení silni ních p edpis o p izp sobení jízdy podmínkám. Naopak za dobrých podmínek dokážou auta projížd t sm rovým obloukem v tší rychlostí, než je uvažovaná rychlost návrhová nebo sm rodatná. Pojem bezpe nosti tak, jak ho používá norma, nelze brát jako absolutní bezpe nost, ale statisticky jako p ijatelnou míru bezpe nosti, ne které se shodli normotv rci a spole nost a která je podložena empiricky. Další nutným upozorn ním je, že takto navržené polom ry nezaru ují automaticky dostate né bezpe né rozhledové vzdálenosti ve sm rovém oblouku v ší ce silni ní koruny. V tabulce je upozorn ní, že polom ry vpravo od p erušované áry je t eba rozhledové vzdálenosti ov it, p ípadn zaru it úpravami v blízkosti komunikace.

- 13 (40) -


Další v norm uvedené upozorn ní se týká nutnosti prov it výsledný sklon (pro polom ry vpravo od plné áry). Norma totiž na jiném míst omezuje velikost výsledného sklonu a jeho p ekro ení hrozí p i soub hu velkého p í ného s velkým podélným sklonem. Naopak norma umož uje pro velké polom ry sm rových oblouk nepoužít dost edný sklon. To m že být v n kterých p ípadech výhodné a používá se dost asto na dálnicích, kde se takto velké polom ry vyskytují. Lze se takto vyhnout nutnosti „okláp ní“ (zm ny p í ného sklonu) mezi protism rnými oblouky (je to výhodné pro odvodn ní komunikace, protože na ní pak nejsou místa s nulovým p í ným sklonem). Na dálnicích lze s „nedost edným“ p í ným sklonem odvod ovat povrch vozovky k p íkop m, nemusí se budovat odvodn ní u st edového pásu. Tyto úpravy jsou ale možné pouze pro velké polom ry – viz pravý sloupec tabulky. Spo ítejte pro normové polom ry a p í né sklony rychlost bezpe nou proti usmyknutí pro koeficient t ení f=0,05 (náledí, namrzající déš ) a porovnejte s návrhovou rychlostí. P i jízd na náledí pak vhodn aplikujte bezpe nou rychlost.

- 14 (40) -

P echodnice a její výpo et

3


Doposud jsme se zabývali polom rem sm rového oblouku s jakýmsi automatickým p edpokladem, že oblouk znamená kružnici. Je to pravda, ale ne úplná. Podstatnou ástí (tém ) každého oblouku je p echodnice. SN ist kružnicový oblouk p ipouští, ale jen v p ípad , že odsun oskula ní kružnice použité p echodnice (bude vysv tleno dále) je menší, než 0,25 m. Rozhodn ale takové sm rové ešení norma nedoporu uje. P echodnice je pro pot eby sm rových oblouk „k ivka, která plynule m ní svou k ivost a v míst napojení na jiné sm rové prvky (kružnice nebo p ímky) má k ivost stejnou jako napojované prvky.“ Nej ast ji se používá p echodnice zvaná klotoida, která je popsána níže. Krom klotoidy se jako p echodnice mohou používat následující k ivky: • • •

lemniskáta kubická parabola (používá se asto v železni ním stavitelství kvadratická parabola (je použitelná pro vyty ení oblouku pouhým pásmem nebo primitivním m ítkem v podob provazu, není to však oblouk normový a p echodnice nemá v míst dotyku nulovou k ivost • parabola tvrtého stupn • sinusoida (nulová k ivost je v inflexním bod sinusoidy • Schrammova k ivka Odhadn te, jaký je pr b h k ivosti tzv. volantové k ivky, což je trajektorie vykreslená p i reálném pr jezdu vozidla obloukem. Navrhn te vhodný model volantové k ivky a porovnejte ho s klotoidickým obloukem, který je popsán v dalším textu.

3.1

K ivost a její pr b h ve sm rovém oblouku

K ivost je definovaná jako inverzní hodnota k polom ru.

ρ=

1 R

Pro kružnici má tedy k ivost konstantní hodnotu (polom r je konstantní) po celé délce kružnice. Na p ímce má k ivost nulovou hodnotu

ρ =0 platí tedy, že:

R→∞ protože R=

1

ρ

Graf k ivosti sm rového motivu te na – kružnice – te na, který je uvedený v následujícím obrázku, dokazuje, že tento motiv je nevýhodný pro jízdu vozidla.

- 15 (40) -


V bod dotyku vzniká tzv. „p í ný ráz“, za p edpokladu, že vozidlo je pevn vedeno (proto vzniká p í ný ráz u kolejových vozidel, pokud je oblouk bez p echodnice nebo je špatn provedený). Jako p í ný ráz je vnímána neplynulá, skoková zm na zrychlení. Graf k ivosti je totožný s grafem dost edivého zrychlení. Silni ní vozidla nejsou pevn vedená, p í ný ráz u nich nevzniká, ale je to za tu cenu, že se mohou odchylovat od dráhy ur ené vyty enou naprojektovanou k ivkou. Pokud by vozidlo m lo dodržet trajektorii te na – kružnice – te na, musel by idi p i konstantní nenulové rychlosti nastavit polom r dráhy na požadovanou kružnici (oto it volantem do kone né polohy) za nulový as v míst skokové zm ny k ivosti. To není možné. Jinou možností je zm nit v bod dotyku rychlost na nulovou, nastavit polom r a pokra ovat v jízd . To zase není moc praktické, rozumné a užite né. B žný zp sob ešení tohoto rozporu je odchýlit se trajektorií od vyty ené dráhy. P i malých odchylkách to neznamená nic nebezpe ného, p i velikých (v závislosti na polom ru, rychlosti, rychlosti zm ny k ivosti, ší ce jízdního pruhu) to m že vést ke kolizi s vozidly v jiném pruhu nebo k vyjetí mimo vozovku). Zásadní zp sob, jak se vypo ádat s tímto problémem je použít oblouk s p echodnicí. Pokuste se s libovolným vozidlem nakreslit „volantovou k ivku“ ve tvaru p ímka, kružnice, p ímka a vysv tlete, pro není toto ešení vhodné pro b žný provoz.

- 16 (40) -


3.2

Klotoidická p echodnice

Použití p echodnice umožní pr jezd kolejového vozidla obloukem bez p í ného rázu a pro silni ní vozidla umožní návrh sm rového ešení blízkého realistické trajektorii. V silni ním stavitelství se b žn používá jako p echodnice klotoida. Platí pro ni to, co je uvedeno v obecné definici p echodnice, ale navíc je jednozna n up esn ná závislost k ivosti na délce klotoidy (p esn ji na vzdálenosti od zaátku klotoidy, tj. od bodu s nulovou k ivostí. Má lineární závislost k ivosti na délce (na vzdálenosti od za átku klotoidy). Zde je uvedený graf k ivosti oblouku kružnicového s klotoidickými p echodnicemi ( ervená tenká ára) v porovnání s pr b hem k ivosti ist kružnicového oblouku (tlustá fialová ára). Sv tle zelená tenká ára imituje volantovou k ivku, což je název pro skute nou p irozenou trajektorii, která není matematicky definovaná a každý idi ji p i každém pr jezdu vykreslí po svém.

Proti ist kružnicovému oblouku má oblouk s klotoidickými p echodnicemi p ízniv jší pr b h a trajektorie se s ním m že shodovat s dostate nou p esností. Slovní definice klotoidy je následující: Klotoida je k ivka, která m ní svou k ivost v lineární závislosti na délce. Za délku se považuje vzdálenost od za átku klotoidy ke zkoumanému bodu a k ivostí je mín na p íslušná k ivost klotoidy ve zkoumaném bod . Za átek klotoidy má nulovou k ivost. Defini ní popis (lineární závislost k ivosti na délce) lze zapsat vztahem:

ρ = l ⋅ konst , resp.

1 1 = l ⋅ konst , resp. l ⋅ R = = const. R konst - 17 (40) -


Ten poslední výraz je používaný jako základní rovnice klotoidy. Klotoida je tedy definovaná základní rovnicí klotoidy:

l ⋅ R = const. 1 R v bod vzdáleTato rovnice vyjad uje skute nost, že k ivost klotoidy ném od za átku klotoidy o l je p ímo úm rná práv délce l (tedy k ivost je lineárn závislá na délce). Jako konstanta se volí druhá mocnina parametru klotoidy A. Základní rovnice klotoidy se nej ast ji píše ve tvaru:

ρ=

A2 = l ⋅ R

Tímto zp sobem je pro každou hodnotu parametru A definována jednozna n k ivka, která je nekone n dlouhá a má tvar „spirály“, která se zavíjí sama do sebe s rostoucí k ivostí (klesajícím polom rem oskula ní kružnice) pro vzdálen jší body). Klotoidy s r zným parametrem A jsou si geometricky podobné a liší se svými rozm ry v pom ru parametr . Parametr klotoidy A udává „velikost klotoidy“. V nekone né délce l se klotoida blíží bodu o sou adnicích: x=y=

A ⋅ π 2

V tomto vztahu je názorn vid t, že pro rostoucí parametr se zv tšuje „velikost“ klotoidy v p ímé úm e k velikosti parametru A.

Zde uvedený obrázek je p evzatý z http://www.fce.vutbr.cz/PKO/0M2/PREDN2/klotoid/klo.htm, kde si m žete vyzkoušet libovolné výpo ty klotoid (ve skute nosti ale neumíme po ítat pr b h klotoidy nekone n dlouhé, p estože je definovaná, v tomto p ípad je omezení spo itatelné délky úhlem zhruba 34 rad, což je asi 2160 grad ). Zp sobem, který je zde použitý, m žeme tedy vypo ítat klotoidu, která se do sebe zavine 5,41 krát. Je jasné, že tak dlouhou klotoidu pro praktické pot eby nepot ebujeme, b žn vysta íme s klotoidami v úhlovém rozsahu 2 až 50 grad . V následujícím ob-

- 18 (40) -


rázku je ve stejném prost edí spo ítaná tatáž klotoida o stejném parametru ale s desetkrát menší délkou s prakticky použitelným koncovým úhlem 20,37 grad . Ješt jednou zd raz uji, jde o stejnou klotoidu, pouze z ní použijeme kratší ást. Nutno dodat, že nej ast jší koncové úhly klotoid jsou ješt menší - do 10 grad .

Na tomto p íkladu vidíme, že klotoida je jednozna n definovaná svým parametrem A jako nekone n dlouhá k ivka s lineárním nár stem k ivosti. Parametr A ur uje „rychlost“ nár stu k ivosti a tím „velikost“ klotoidy. Z takto definované klotoidy o nekone né délce si vybíráme vhodnou použitelnou ást. Nej ast ji pot ebujeme tu ást, která má na za átku nulovou k ivost a na konci definovaný polom r k ivosti. V základní rovnici klotoidy, která platí pro libovolný bod na délce klotoidy a tedy i pro koncový bod klotoidy, A2 = l ⋅ R

vidíme, že pro jednozna ný popis klotoidy (ve smyslu – klotoida o požadovaném parametru A a požadované délce nebo koncovém polom ru) pot ebujeme dva parametry. Nap íklad parametr A a délku l. Jak uvidíme dále, je možné zadat klotoidu i jinými zp soby. V dalším obrázku grafu k ivosti uvažujeme o nulové k ivosti na za átku oblouku a o k ivosti 1/R uprost ed oblouku. Vidíme, že m žeme m nit „rychlost“ zm ny k ivosti, tedy navrhovat pro daný koncový polom r klotoidy s r zným parametrem A. Velmi rychlá zm na znamená malou délku klotoidy (malý parametr A) a limitem je ist kružnicový oblouk, kde délka klotoidy l 0. Nejdelší možná klotoida je omezená délkou kružnicové ásti oblouku, která zbývá, o 0. Jak uvidíme dále, z geometrických vlastností klotoidy plyne, že tuto podmínku m žeme p ehledn zformulovat jako úhlovou podmínku. Všimn te si rovn ž d ležité skute nosti, že klotoidy zv tšují celkovou délku oblouku. P ibližn platí, že polovina délky klotoidy je na úkor p vodního ist kružnicového oblouku a polovina prodlužuje celkovou délku oblouku. Strm jší klotoidy (menší parametr A) prodlužují oblouk mén , pozvoln jší klotoidy (v tší parametr A) znamenají delší oblouk.

- 19 (40) -


Na adrese http://www.fce.vutbr.cz/PKO/0M2/PREDN2/klotoid/klo.htm si vyzkoušejte vliv parametru klotoidy a délky klotoidy na koncový polom r a na koncový úhel. Na Ústavu pozemních komunikací nebo v knihovn FAST si vyp j ete klotoidické tabulky (Veselý, Kašpárek: Klotoida) a rovn ž si ov te praktický vztah koncového úhlu, délky klotoidy, koncového polom ru a parametru.

3.3

Vyty ovací hodnoty klotoidy

Zatím známe ke klotoid t i charakteristiky – parametr A, délku klotoidy l a R polom r oskula ní kružnice v koncovém bod klotoidy. Tyto hodnoty jsou provázány vztahem, který jsme nazvali základní rovnice klotoidy. Z ní vidíme, že k jednozna nému ur ení pot ebn ásti klotoidy sta í dva ze t í výše uvedených údaj , t etí dopo ítáme. A2 = l ⋅ R

Význam parametru byl vysv tlený již výše. Význam délky je snad z ejmý, pro up esn ní lze uvést, že se jedná o délku m enou po klotoidické k ivce! od zaátku klotoidy až do koncového bodu, pro který provádíme výpo et. Polom r R je polom r oskula ní kružnice této klotoidy v tomto bod . Základní rovnice platí pro libovolný zkoumaný bod klotoidy. Další základní charakteristikou klotoidy je koncový úhel klotoidy . Ten je definovaný jako úhel, který spolu svírají te ny klotoidy v po áte ním a v koncovém bod , jak je vid t z obrázku. D ležitý je vztah koncového úhlu (jedná se úhel v obloukových jednotkách – radiánech) k délce klotoidy a koncovému polom ru:

τ=

l 2⋅ R

- 20 (40) -


Dozvídáme se, že úhel oblouku klotoidického je p i stejné délce oblouku polovi ní, než u kružnicového oblouku. Užite n jší je pro nás p evrácená informace, že pro stejný úhel je klotoida dvakrát delší, než kružnice o stejném polom ru jako je koncový polom r klotoidy. Hlavn tento vztah umož uje p evést zadané hodnoty na koncový úhel, se kterým pak pracuje výpo etní algoritmus. Doposud uvedené charakteristiky klotoidy umož ují p ímý výpo et (postup bude dále vysv tlen) celého souboru „hlavních vyty ovacích hodnot“. Následující charakteristiky taky mohou jednozna n klotoidu definovat, ale neumož ují p ímý výpo et. Dalšími hlavními vyty ovacími hodnotami tedy jsou (viz obrázek): • x,y pravoúhlé sou adnice koncového bodu • xS poloha paty kolmice spušt né ze st edu oskula ní kružnice na hlavní te nu • xM poloha pr se íku koncové te ny s hlavní te nou • st •

délka koncové te ny R odsun oskula ní kružnice od hlavní te ny

• z vzep tí, vrcholová vzdálenost, vzdálenost pr se íku te en od vrcholu oblouku (tato hodnota má rozumný význam jen pro ist p echodnicový symetrický oblouk bez kružnicové ásti)

- 21 (40) -


3.4

Výpo et hlavních vyty ovacích hodnot klotoidy

Podstatou výpo tu a hlavním problémem je výpo et sou adnic koncového bodu x, y. Vstupními hodnotami jsou libovolné dv ze ty základních charakteristik umož ujících p ímý výpo et (A, l, R, ). Pro výpo et podle níže uvedeného algoritmu pot ebujeme délku l a koncový úhel . V p ípad pot eby dopo ítáme pomocí výše uvedených základních vztah . Sou adnice koncového bodu m žeme s p edem zvolenou p esností (neexistuje p esný analytický vztah) jako sou et rozumného po tu len nekone n dlouhé matematické ady:

x=

∞ n =1

y=

∞ n =1

l ⋅ (− 1)

n +1

l ⋅ (− 1)

n +1

⋅ ⋅

τ 2⋅n − 2

(4 ⋅ n − 3) ⋅ (2 ⋅ n − 2)! τ 2⋅n−1

(4 ⋅ n − 1) ⋅ (2 ⋅ n − 1)!

Úhel τ se dosazuje v radiánech. ada velmi rychle konverguje, sta í porovnávat absolutní velikost každého lenu ady se stanovenou p esností b žn 0,001m). Pro b žné výpo ty sta í asto první t i leny. Ze sou adnic koncového bodu se další vyty ovací hodnoty snadno dopo ítají pomocí goniometrických vztah , které lze snadno odvodit z pravoúhlých trojúhelník ve výpo etním schématu.

Dále jsou uvedené p íslušné vztahy pro jejich výpo et z x a y. Vyty ení je vztažené k za átku klotoidy. x S = x − R ⋅ sin (τ )

x M = x − y ⋅ cot g (τ )

- 22 (40) -


1 sin (τ ) ∆R = y − R ⋅ (1− cos(τ )) 1 z = y⋅ cos(τ ) Výše uvedené výpo ty v tšinou nebudete sami opakovan provád t, ale jsou základem specializovaných výpo etních a grafických softwar , které se b žn používají p i projektování. Znalost tohoto postupu a jeho pochopení je však velmi d ležité, protože dává p edstavu, jaký výpo et je možný a jaký ne. Nebudete pak od SW žádat nemožné, což m že skon it obtížn odhalitelnou chybou. Pomocí výše uvedeného postupu byly spo ítány „Klotoidické tabulky“, které lze rovn ž použít p i projektování. Jejich nevýhodou ve srovnání se SW je samoz ejm v tší pracnost a chyb jící interaktivita vzhledem k výkresu, ale výhodou je jejich názornost a p ehlednost. st = y ⋅

Odvo te výše uvedené vztahy pro výpo et vyty ovacích hodnot xS, xM, st , R, z. P epokládejte, že pravoúhlé sou adnice x, y koncového bodu znáte.

3.5

Výpo et podrobných bod klotoidy

Osa se krom hlavních bod vyty uje rovn ž v podrobných bodech, ty jsou standardn popsány svým stani ením (nej ast ji v celých násobcích 20 m). Vyty it podrobný bod na klotoid tedy znamená vyty it bod na klotoid , který je daný svou vzdáleností od za átku klotoidy (po výpo tu stani ení). Pro vyty ování se používá polární nebo ortogonální metoda. Za po átek souadnicové soustavy (polární nebo ortogonální) pro vyty ení podrobných bod na klotoid se volí nej ast ji za átek klotoidy a orientace je dána te nou klotoidy v za átku. Výpo et vyty ení podrobného bodu je pak výpo et totožný s výpo tem sou adnic x, y, jak je výše uvedeno pro hlavní vyty ovací hodnoty. Jen je zapot ebí stanovit vzdálenost vyty ovaného bodu od za átku klotoidy. V tšinou se požaduje vyty ení podrobných bod v celých násobcích dvaceti metr stani ení, odtud tedy vyplyne požadavek na polohu vyty ovaného bodu. Z ortogonálního vyty ení (sou adnice x,y) snadno p epo ítáme vyty ení polární, pokud je t eba. Lze použít i starobylé vyty ovací tabulky. Pro snadné vyty ení podrobných bod je ur ena ást II. Klotoidických tabulek (auto i Veselý, Kašpárek). Ta obsahuje spo ítané x-ové a y-ové sou adnice pro ortogonální vyty ení v konkrétních vzdálenostech l od za átku klotoidy. Tyto výpo ty jsou tam nachystány pro širokou škálu klotoid s okrouhlými parametry. Mezi délkami lze interpretovat. Mezi parametry rovn ž, ale dvojí interpolace by už znamenala naprostou ztrátu výhody rychlého a snadného vyty ení. Proto se parametry klotoid b žn volí (pokud je to možné) takové, které se vyskytují v tabulkách II. Pro polární vyty ení lze pot ebné hodnoty p epo ítat z ortogonálních nebo použít tabulku III. Ta je op t spo ítaná pro jednotkovou klotoidu s parametrem 100, takže je zapot ebí p epo ítávat skute nou vyty ovanou délku a poté inter-

- 23 (40) -


polovat mezi tabulkovými hodnotami, což je pracné a zdlouhavé. Tabulky III. jsou se azeny (na rozdíl od tab. I.) podle délky. Spo ítejte nebo najd te v tabulkách pro klotoidu vhodn zvoleného rozm ru aspo 6 podrobných bod a vyneste od hlavní (po áte ní) te ny pravoúhlými sou adnicemi na milimetrový papír nebo v prost edí grafického editoru.

- 24 (40) -

Délka p echodnice

4

Délka p echodnice

Požadavky na délku p echodnice jsou tyto: 1) p echodnice má být tak dlouhá, aby p ír stek odst edivého zrychlení za jednotku asu byl v mezích zaru ujících p im ený komfort jízdy P ír stek odst edivého zrychlení k by se m l držet v doporu ených mezích, což je k=0,3 až 0,6 m/s3 (Chochol, Lehovec, Pošvá , Rondoš: Cesty a dia nice 1, str. 287) a v2 1 k= = ⋅ t R t Z toho:

v 2 t = R ⋅ k

a protože pro konstantní rychlost na délce p echodnice platí: L v= t , pro délku L lze psát: v2 v3 L = v ⋅t = v ⋅ = R⋅k k ⋅R Pokud chceme do vztahu rychlost vkládat v km/h místo v m/s (a silni á i to tak v tšinou cht jí), ve vztahu se objeví p epo tový koeficient:

v3 v3 L= ≅ 3,6 3 ⋅ k ⋅ R 47 ⋅ k ⋅ R

Když za R dosadíme podle SN 73 6101 (pro vn 80 km/h) 0,3 ⋅ v n2 Rmin = p% , dostaneme závislost délky p echodnice L na návrhové rychlosti vn:

v n3 v ⋅ p% = 2 47 ⋅ k ⋅ 0,3 0,3 ⋅ v n 47 ⋅ k ⋅ p% Pak pro k=0,3 a pro p í ný sklon v hodnot (nap íklad) 3% vychází délka L asi 0,7 * vn, pro k=0,3 a pro p í ný sklon v hodnot (nap íklad) 6% vychází délka L asi 1,4 * vn. L=

Pro parametr A klotoidy definované základní rovnicí A 2 = R ⋅ L lze pak psát závislost parametru na rychlosti: 3

v v3 v3 A= = 47 ⋅ k 47 ⋅ k ⋅ R 47 ⋅ k a potom Práv parametr klotoidy udává rychlost zm ny k ivosti, které odpovídá rychlost zm ny dost edivého zrychlení. A2 = R ⋅

- 25 (40) -


2) p echodnice má být tak dlouhá, aby as pot ebný na zm nu polom ru trajektorie z p ímky na hodnotu na konci p echodnice odpovídal možnostem vozidla a idi e Doba pot ebná ke zm n k ivosti trajektorie (nato ení volantu do polohy odpovídající polom ru oblouku) závisí na hodnot polom ru, rychlosti vozidla, typu vozidla a jeho konstrukci (nákladní – osobní, s nebo bez posilova e ízení, stabilita vozidla), na reak ních asech idi e aj. Tato doba se uvádí v hodnotách p ibližn 3 až 5 sekund (Chochol, Lehovec, Pošvá , Rondoš: Cesty a dia nice 1, str. 288). Potom délka p echodnice je: L = 3 ⋅ v až 5 ⋅ v pro rychlost v m/s L = 0,8 ⋅ v n až 1,4 ⋅ v n pro návrhovou rychlost v km/h 3) p echodnice má být tak dlouhá, aby zm na p í ného sklonu provád ná na délce p echodnice odpovídala požadavk m a délku a sklon vzestupnice (požadavky na vzestupnice a sestupnice specifikuje SN 73 6101 v l. 8.12 a l. 8.13) P edpokládá se, že vzestupnice (zm na p í ného sklonu) se provede na délku p echodnice. Pak je limitem délky p echodnice minimální a maximální sklon vzestupnice. 4) délka p echodnice má vyhov t estetickým a jízdn -psychologickým požadavk m Tyto požadavky nelze definovat jednozna n . Jejich uplatn ní závisí na zkušenostech projektanta. Obecn lze íci, že pro velké polom ry oblouk je vhodné používat dlouhé p echodnice, což znamená, že parametr p echodnic pro velké polom ry bude mnohem v tší. 5) minimální délka p echodnice podle SN 73 6101 6) doporu ená délka p echodnice podle SN 73 6101 Požadavky SN jsou na následujícím obrázku. Mezi uvedenými pravidly je samoz ejm nejd ležit jší závazné minimum normy (bod 5) – v norm l. 8.8.3, jist stojí zato je ješt jednou opsat. Minimální délka klotoidy závisí na zp sobu klopení a je l min = 1,0 ⋅ vn pro klopení „kolem osy jízdního pásu“ l min = 1,5 ⋅ vn pro klopení „kolem vn jší hrany vodicího proužku“. Délka p echodnice z tohoto vztahu je v metrech, návrhová rychlost po silni á sku v km/h. Projektanti se asto p iklán jí k p echodnicím o délce blízké minimální. Rozumným d vodem pro výb r spíše kratších p echodnic je spolehlivé odvodn ní vozovky. Zm na p í ného sklonu se totiž v tšinou provádí na celou délku p echodnice a krátká p echodnice pak znamená minimalizaci úseku s p í ným sklonem blízkým nule.

- 26 (40) -

Délka p echodnice

Porovnejte délky p echodnic podle bod 1) až 6).

- 27 (40) -


5

P echodnice ve sm rových obloucích

Pro správný návrh sm rového ešení je nutné používat p echodnice. Jejich délka musí být delší než minimální (podle p edcházejícího textu), shora délka omezena není. Polom r oblouku R musí být v tší než minimální (podle textu v p edcházející p ednášce). Oblouk je limitován úhlem αS, který spolu svírají te ny, respektive strany sm rového (te nového) polygonu. Nejb žn jší ešení sm rového oblouku je takové, že kružnicová ást oblouku je napojena na te ny krajovými p echodnicemi. Ty mohou být symetrické – parametry i délka klotoid v oblouku jsou shodné - (graf k ivosti takového motivu jsme již vid li výše) nebo mohou být nesymetrické – zvolíme pro klotoidy r zné parametry a klotoidy jsou pak r zn dlouhé – (graf k ivosti takového motivu následuje).

V grafu k ivostí je ješt p edstaven jeden reprezentant tzv. „složených oblouk “ – je to sv tle modrý graf. O složeném oblouku se hovo í, pokud se v n m vyskytuje více než jeden kružnicový oblouk. I takové ešení je možné, jeho výpo et ale nebude popsán v tomto textu. Oblouky se složené z jednotlivých prvk (kružnicových oblouk a klotoid) se navrhují jako plynulé a hladké oblouky. Tím je mín no p edevším, že v každém bod oblouku existuje práv jedna te na. Jinými slovy, jednotlivé prvky na sebe navazujeme tak, aby m ly spole nou te nu. To musí být spln no vždy Další podmínka je mén silná, jde o to, aby na sebe jednotlivé na sebe navazující prvky m ly v bod napojení stejnou k ivost. Prakticky nejsou malé odchylky na závadu a norma dokonce p ipouští výjime n napojení dvou stejnosm rných oblouk , jejichž polom ry jsou v pom ru až 2:1. Uvažte, jaký je vliv parametru klotoidy na délku klotoidy a na délku celého oblouku.

- 28 (40) -

Výpo et symetrických oblouk

6


Za symetrické oblouky se ozna ují všechny ty, které jsou symetrické kolem osy, která p lí úhel dopl kový ke st edovému úhlu αS. Takové oblouky mají dv d ležité vlastnosti: 1) sta í po ítat pouze polovinu oblouku (aspo pro hlavní body, pro podrobné nebývají umíst ny symetricky), 2) délka hlavní te ny je totožná pro ob sousedící strany te nového polygonu. To znamená, že symetrické oblouky úsp šn užijeme tam, kde se nám poda í navrhnout te nový polygon s p ibližn stejn dlouhými stranami, nebo tam, kde rezignujeme na inflexní ešení a jsme ochotní vkládat mezi n které oblouky mezip ímé.

6.1

Volba parametru a úhlová podmínka pro symetrický oblouk

1) Parametr blížící se nule znamená délku klotoidy blížící se nule a ešení blízké prostému kružnicovému oblouku. Koncový úhel klotoidy τ je velmi malý, blíží se nule. 2) Pro minimální délku p echodnice Lmin dostáváme ze základní rovnice klotoidy A 2 = R ⋅ Lmin parametr rozumn použitelné klotoidy. Koncový úhel klotoidy τ nabývá hodnot v rozmezí 0 < 2 ⋅ τ < α S Sm rový motiv se nazývá kružnicový oblouk se symetrickými p echodnicemi. 3) Délku klotoidy, parametr klotoidy a koncový úhel klotoidy τ nem žeme zv tšovat libovoln . Jsme limitováni st edovým úhlem αS tak, že 2 ⋅ τ ≤ α S . Sm rový motiv, kde 2 ⋅ τ = α S nazýváme symetrický ist p echodnicový oblouk (symetrická biklotoida). K ivost 1/R je dosažena práv jen v koncovém bod klotoidy v tzv. vrcholu oblouku. Celková délka oblouku L+L je dvojnásobná proti délce o ist kružnicového oblouku o stejném polom ru. Odpovídajícím zp sobem se prodlouží délka hlavní te ny t takového motivu. ist p echodnicový oblouk budeme používat tam, kde pot ebujeme dosáhnout maximální délky te ny p i daném polom ru a v p ípadech, kdy požadujeme co nejpomalejší nár st k ivosti. Jaká je souvislost mezi vrcholovým úhlem te nového polygonu a délkou p echodnic?.

6.2

Postup výpo tu

Oblouk je zadán jednou z vyty ovacích hodnot klotoidy (v tomto p íkladu koncovým polom rem R) a st edovým (vrcholovým) úhlem S, který spolu svírají te ny sm rového polygonu. Je to úhel, který máme k dispozici pro navrhovaný oblouk. Musíme p i volb parametru klotoid dodržet podmínku 3) z p edcházejícího odstavce. Nem žeme tedy libovoln zv tšovat délku klotoidy (tzn. nem žeme libovoln zv tšovat parametr), protože koncový úhel klotoidy se zv tšuje. Parametr klotoidy tedy musíme zvolit rozumn , aby vyhov l norm a jiným požadavk m a abychom nep ekro ili zmi ovanou podmínku 3).

- 29 (40) -


Pro zadaný polom r zvolíme vhodnou p echodnici. S využitím základních vztah : A2 = l ⋅ R

τ=

l 2⋅ R

dopo ítáme pot ebné hodnoty úhlu, délky, parametru a ov íme návrh podle úhlové podmínky. Ur íme hlavní vyty ovací hodnoty klotoidy, jak bylo ukázáno výše v kapitole „Výpo et hlavních vyty ovacích hodnot klotoidy“. Cílem dalšího výpo tu je umožnit vyty ení celého motivu do te nového (sm rového) polygonu. Výpo et tedy musí dosp t až k ur ení délky hlavní te ny T, která udává vzdálenost za átku klotoidy od vrcholu te nového polygonu. Až se nám poda í vyty it za átek klotoidy (oblouku), budeme um t vyty it všechny další pot ebné hodnoty – vyty ovací hodnoty jsou totiž vztaženy k za átku klotoidy. Po bližším prozkoumání schématu vidíme, že pro výpo et délky hlavní te ny T m žeme použít hlavní vyty ovací hodnoty klotoidy. V obrázku vidíme, že délka hlavní te ny T = xS + t S xS je jednou ze spo ítaných vyty ovacích hodnot. tS se snadno dopo ítáme. Když si p edstavíme kružnici soust ednou s kružnicovou ástí oblouku. Tato pomocná kružnice má polom r r+ r a dotká se hlavních te en. tS je pak délka te ny této pomocné kružnice. Tu umíme velmi snadno spo ítat

t S = (r + ∆r ).tg

αS 2

- 30 (40) -


Dále musíme spo ítat vyty ovací hodnoty pro kružnicovou ást. Úhel vlastn už po ítali p i ov ování úhlové podmínky.

0

jsme

α 0 = α S − 2 ⋅τ Je to úhel, který spolu svírají te ny kružnicové ásti oblouku. Hlavní vyty ovací hodnoty kružnice a její vyty ení zvládáme z d ív jšího studia:

t = R ⋅ tg

αS 2

x = R ⋅ sin

αS 2

y = R ⋅ 1 − cos

z = R⋅

1 cos

αS

αS 2 −1

2

2 ⋅π ⋅ R ⋅α S 400 Pak už T dopo ítáme a úloha je vy ešená a motiv lze vyty it. o=

D kladn prozkoumejte výpo etní a vyty ovací schéma. Uv domte si vzájemnou polohu oskula ní kružnice, jejího st edu, te en oblouku. Rozmyslete a vyzkoušejte, jaký vliv bude mít zm na parametru klotoid na délku klotoidy, na délku oblouku, na velikost odsunu oskula ní kružnice a na délku kružnice.

6.3

Tabulky I. – geometrická podobnost klotoid

Pro praktické použití (v dob , kdy výpo etní technika nebyla b žn dostupná) byly spo ítány Klotoidické tabulky (auto i Veselý, Kašpárek), které lze s úsp chem a ú inn používat. Jejich pochopení je d ležité pro pochopení vlastností klotoidy. Jejich ást I. má univerzální platnost. ást I. obsahuje vypo ítané vyty ovací hodnoty pro jednu konkrétní klotoidu o parametru A = 100 (tzv. jednotkový parametr) v rozsahu koncového úhlu klotoidy τ od 0g do 135g. Spo ítané hodnoty jsou se azeny podle τ, úhly se liší o malou hodnotu. Pro konkrétní hodnoty τ tedy máme výpo et hotový (pro jednotkovou klotoidu) a hodnoty m žeme rovnou opsat. Pro mezilehlé hodnoty použijeme lineární interpolaci mezi dv ma nejbližšími hodnotami. Mezi tabulkovými hodnotami se vyskytuje i koncový polom r R , ten ale bude odlišný od našeho požadovaného polom ru. V dalším postupu využijeme geometrické podobnosti klotoid. Každá jednotlivá klotoida (nekone n dlouhá k ivka) je definovaná rychlostí zm ny k ivosti a je jednozna n popsaná svým parametrem A. Všechny takové klotoidy jsou si geometricky podobné. To platí i pro ásti r zných klotoid (s r zným parametrem A). Pokud se zabýváme dv ma r znými klotoidami se stejným koncovým úhlem klotoidy τ, platí pro n geometrická podobnost. Pro všechny rozm ry, - 31 (40) -


které lze na klotoidách o stejném koncovém úhlu τ ur it, platí, že pom r všech rozm r je shodný s pom rem parametr t chto klotoid: y A1 l1 ∆R1 x S 1 x M 1 st1 z1 t1 x1 = = = = = = = = = 1 ∆R 2 x S 2 x M 2 s t 2 z 2 t 2 x 2 y 2 A2 2 P itom, nutno zd raznit a opakovat:

τ1 = τ 2 Jednoduchým p epo tem lze tedy ur it pro požadovaný polom r správný parametr a dopo ítat všechny vyty ovací hodnoty. Takto lze i ur it vyty ovací hodnoty pro klotoidu danou jiným požadavkem, t eba , parametrem klotoidy, délkou klotoidy, délkou te ny, odsunem oskula ní kružnice,… Koncový úhel klotoidy τ je pevn daný jako polovina úhlu sev eného te nami oblouku. Ov te geometrickou podobnost klotoid na adrese http://www.fce.vutbr.cz/PKO/0M2/PREDN2/klotoid/klo.htm.

- 32 (40) -

Výpo et a vyty ení nesymetrických oblouk

7


Protože v tšinou usilujeme o inflexní ešení a te ny, které jsou k dispozici pro sm rový oblouk nebývají stejné délky na obou stranách, nevysta íme vždy se symetrickými oblouky. Rozdíly v délce stran polygonu m žeme áste n kompenzovat nesymetrickým ešením oblouku. Nesymetrie se dociluje použitím p echodnic s rozdílným parametrem, tedy s r znou délkou a rozdílným koncovým úhlem. Typickým takovým motivem je kružnicový oblouk s nesymetrickými p echodnicemi.

7.1

Volba parametru a úhlová podmínka pro nesymetrický oblouk

Délku (a parametr) oblouku, jak jsem se již d íve dov d li, nem žeme volit libovoln . Úhlová podmínka má pro nesymetrické oblouky tuto podobu:

τ1 +τ 2 < α S P ípustné je ješt

ešení za podmínky

τ1 +τ 2 = α S kdy se jedná o ist p echodnicový oblouk – nesymetrickou biklotoidu.

7.2

Postup výpo tu

Zadání m že být r zné, ale musí umožnit zjišt ní délek klotoid a koncových úhl ze známých základních vztah . Musí tedy být zadány nebo zvoleny v souladu s požadavky normovými a jinými dva „defini ní parametry“.

- 33 (40) -


Dále tedy p edpokládáme zadaný st edový úhel αS, polom r kružnicové ásti oblouku R a koncové úhly τ1.a τ2 Obdobn tedy platí tento postup:

1) Dopo ítáme st edový úhel α0 p ipadající na kružnicovou ást oblouku a ov íme, jestli je v tší než nula (nebo aspo roven – pro ist p echodnicový oblouk). α0 = α S −τ1 −τ 2 2) Ur íme hlavní vyty ovací hodnoty klotoidy, jak bylo ukázáno výše v kapitole „Výpo et hlavních vyty ovacích hodnot klotoidy“. Výpo et lze samoz ejm provést pomocí známých tabulek I. (Veselý, Kašpárek), p i p esném dodržení úhl τ1.a τ2 je nutné interpolovat. Ve v tšin praktických p ípad je možné si práci zjednodušit a nedodržet úhly τ1.a τ2 (a tím pádem A1, A2 a l1, l2) p esn podle zadání. Praktické rozdíly jsou malé a mohou být asto akceptovány. Ve v tšin p ípad je m nit i polom r. Všechny zm ny se ale musí udržet v rámci p edepsaných normových hodnot. Pak m žeme použít i tabulek IV. (Veselý, Kašpárek). Tam jsou p ímo spo ítány vyty ovací hodnoty pro konkrétní klotoidické p echodnice s vybranými okrouhlými parametry a vybranými okrouhlými koncovými polom ry. Další výhodou krom tohoto pohodlného „výpo tu“ (opsání spo ítaných hodnot) je snadné vyty ení podrobných bod , kde m žeme opisovat spo ítané hodnoty pro ortogonální vyty ení klotoid s okrouhlými parametry p i konkrétních délkách l v tabulkách II. (Veselý, Kašpárek). 3) Abychom mohli motiv vyty it, musíme ur it délky hlavních te en t1 a t2. Uváží se odsuny oskula ní kružnice ∆R1 a ∆R2. Z výše ukázaného schématu se budeme zabývat ástí blízko pr se íku hlavních te en V a pr se íku pomocných te en V’ (ty se dotýkají oskula ní kružnice a jsou rovnob žné s hlavními). Oblast je ozna ena v obrázku obdélníkem a zde ji vidíme v detailu.

Nejd íve spo ítáme délku te en oskula ní kružnice, to je vzdálenost

- 34 (40) -


bod dotyku od pr se íku pomocných te en V’. Protože kružnice sama o sob je symetrická, jsou ob te ny stejn dlouhé: t1′ = t 2′ = R ⋅ tg

αS 2

4) Ve vyšrafovaných trojúhelní cích provedeme následující výpo ty: ∆R1 a1 = tg (α S )

b1 =

∆R2 sin (α S )

a2 =

∆R2 tg (α S )

b2 =

∆R1 sin (α S )

5) Potom délky hlavních te en spo ítáme jako sou et pomocné te ny oskula ní kružnice t1´= t2´, p íslušných stran trojúhelní k a1, b1, a2, b2 a p íslušných vyty ovacích hodnot xS1 a xS2 obou klotoid: t1 = t1′ − a1 + b1 + x S 1 t 2 = t 2′ − a 2 + b2 + x S 2

6) Vyty ení motivu je standardní. Podrobný postup je uvedený níže. Nejd íve se na te ny vynese od vrcholu délka hlavních te en a tím se získá za átek a konec oblouku. Odtud se vynášejí další hlavní vyty ovací hodnoty a podrobné body. Kružnicová ást oblouku, se vyty uje od te en kružnice. Ty získáme jako prodloužení koncových te en klotoidy. Tento výpo et je univerzálním výpo tem pro libovolné oblouky s dv ma krajními p echodnicemi. M žete si ho ov it i pro oblouky s velkým st edovým úhlem (nad 100g). Používá se t eba pro „vratné rampy“ na mimoúrovových k ižovatkách. Za n kterých okolností ( S>200g)vychází délka te ny záporná, což znamená, že se pr se ík te en dostane na „opa nou stranu“ vzhledem ke sm rové ose.

- 35 (40) -


8

Složené oblouky

Složené oblouky jsou ty oblouky, které se skládají z více prvk . Víme z d ív jška, že za geometrické prvky sm rového ešení se používají p ímka (ta se v oblouku samoz ejm neužívá), kružnice a p echodnice (víme, že se b žn používá klotoida). D íve probrané sm rové motivy (kružnicový oblouk, kružnicový oblouk se symetrickými nebo nesymetrickými p echodnicemi, ist p echodnicový oblouk symetrický nebo nesymetrický) se v b žné mluv za složené neozna ují. Za složené se ozna ují ty, které jsou složit jší než výše uvedené. Je to nap . už i kružnicový oblouk s více než jedním polom rem. Dále to jsou p echodnicové oblouky s kružnicemi, ve kterých je použit více než jeden kružnicový oblouk. A dále ist p echodnicový oblouk s více než dv ma p echodnicemi. Poslední dva p ípady se vyzna ují tím, že se v nich vyskytuje mezilehlá p echodnice. Úvodní tvrzení tedy opravíme. Složené oblouky jsou: • složené kružnicové oblouky (p i moderním trasování se prakticky neužívají) • p echodnicové oblouky, ve kterých se vyskytuje mezilehlá p echodnice (navíc ke krajovým p echodnicím) • složené oblouky mají více než jeden kružnicový oblouk (m že být i o nulové délce Názorn lze ukázat složené oblouky v diagramech k ivosti oblouk .

Vyty ovací schéma složených oblouk bývá pon kud složit jší. Výpo et je pom rn pracný a záleží na vstupních podmínkách pro výpo et. Pokud je výpo et provád ný n jakým SW, nemusí nás jeho složitost p íliš trápit. Je však na nás, abychom zadali takové okrajové podmínky, které rozumný výpo et umožní. Použití složených oblouk m že být motivováno t mito okolnostmi:

- 36 (40) -

Složené oblouky

• pot ebujeme m nit rychlost ve sm rovém oblouku, to m že nastat t eba na k ižovatkové ramp , u které se mohou lišit požadavky na vjezdovou a výjezdovou rychlost • snažíme se m nit polohu osy tak, abychom prošli požadovaným prostorem, manipulace s k ivostí k tomu m že mírn p isp t, m že to nastat v p ípad pot eby vést osu po existujícím objektu nebo p i nutnosti naopak se vyhnout existujícímu objektu Podle pom ru za sebou následujících polom r , resp. podle pr b hu k ivosti se rozeznávají kombinace s názvy: košovka, vejcovka a spirální oblouk (pro složené oblouky se t emi kružnicemi) a pro složené oblouky ist p echodnicové.

Použité názvy jsou z ejmé a pochopitelné z tvaru takových oblouk . Na rtn te tvar oblouk , které jsou popsané výše uvedenými grafy k ivosti.

- 37 (40) -


9

Postup vyty ení p echodnicového oblouku

Vyty ení oblouku znamená vynesení spo ítaných vyty ovacích hodnot oblouku (na papír, nebo spíše do terénu) tak, aby byla známá a fyzicky ur ená poloha (nakreslený bod na papí e, nebo spíše vykolíkovaný bod v terénu) oblouku v dostate ném po tu bod (podrobné body) pro další použití. Jako výchozí situaci pro vyty ení uvažujeme známou a vyty enou pozici te nového polygonu, respektive u jednotlivého oblouku známe pr se ík te en a sm r te en (úhel te en). Postup je následující:

1) Vyty ení za átku a konce oblouku – délka hlavní te ny t 2) vyty ení koncového bodu klotoidy – x, y 3) vynesení koncové te ny klotoidy – bod M pomocí xM a spojit M s koncovým bodem klotoidy, ov it vynesením úhlu τ z bodu M a délky te ny st 4) vynesení podrobných bod ortogonáln nebo polárn – po átek a orientace sou adnicové soustavy je v za átku klotoidy a ve sm ru hlavní te ny Vyty ení musí být navrženo tak, aby se docílilo dostate né p esnosti, aby nebylo pracné a aby bylo prakticky proveditelné. Tomu musí odpovídat návrh vhodného sou adnicového systému. Nej ast ji a b žn se používá zde popsaný p irozen se nabízející zp sob, kdy se za átek systému ztotožní se za átkem prvk sm rového ešení (za átek oblouku, za átek klotoidy), je orientovaný ve sm ru te en a je navázaný na te nový polygon. Vynášené vzdálenosti nejsou veliké (velké vzdálenosti snižují p esnost a zvyšují pracnost) a lze doufat, že body používané pro vyty ení budou v terénu dostupné a jejich okolí bude vymýcené a budou viditelné. Lze samoz ejm použít i vyty ení z jiných bod nebo z jiného polygonu ( a n kdy je to výhodné nebo nutné), ale to p edpokládá p epo ítání pro jiný souadnicový systém. Pro libovolný provedený výpo et sm rového ešení si vyzkoušejte postup vyty ení. Vyty ení za íná od jednoho známého bodu (pr se ík hlavních te en = vrchol te nového polygonu). Znáte sm r te en (jejich vzájemný úhel) P i každém kroku vyty ení si musíte být jistí, ž .

- 38 (40) -

Záv r

10

Záv r

Po nastudování tohoto textu jste p ipraveni navrhovat, po ítat a vyty ovat sm rové ešení. Je jedno, jestli budete používat n jaký více i mén sofistikovaný software, tabulkový procesor, pomocný program, který si sami napíšete, programovatelnou kalkula ku nebo staré dobré papírové tabulky. Vždy si musíte uv domovat vnit ní souvislosti a zákonitosti ve sm rovém motivu, aby vaše o ekávání a cíle, kterých chcete dosáhnout sm rovým návrhem, byly reálné. A dále je d ležité, aby vaše ešení bylo bezpe né. V tomto ohledu brzy pochopíte, že nesta í pouze respektovat požadavky normy, zjistíte, že lze i v normových parametrech navrhnout komunikaci zcela nevhodnou a nebezpe nou. Dalším d ležitým aspektem bude hospodárnost návrhu, za len ní do terénu a hlavn n kde na za átku je d ležité rozhodnutí zda, kudy a co stav t. Pokud vaším povoláním budou pozemní komunikace, zjistíte, že získané znalosti budou zhodnocovány dlouhodobou zkušeností.

10.1

Shrnutí

Pro sm rové ešení se používají p ímky a oblouky. Sm rový oblouk se skládá výhradn z kružnicových oblouk a klotoidických p echodnic. Jiné prvky nejsou ve sm rovém ešení p ípustné. Sm rové ešení musí být plynulé, to znamená, že jednotlivé prvky mají v míst napojení spole nou te nu. Skokové zm ny k ivosti jsou nežádoucí. Výpo et sm rového ešení musí umožnit jednozna né vyty ení. Nejjednodušší je vyty ování od sm rového polygonu, ale jsou možná i jiné postupy. Hodnoty návrhových prvk pro sm rové ešení jsou stanoveny normou SN 73 6101 Projektování silnic a dálnic. Vycházejí ze známých fyzikálních zákonitostí a respektují p ijatelnou míru bezpe nosti. Shrnujícím návrhovým parametrem pozemních komunikací je návrhová rychlost, k ní jsou vztaženy parametry návrhových prvk .

10.2 Studijní prameny 10.2.1 Seznam použité literatury [1]

Veselý, V., Kašpárek, J. Klotoida. VUT v Brn

[2]

Adámková I., Holcner, P.Silnice a dálnice I. – trasování VUT v Brn , 1992

[3]

Kraj ovi M. a kol. Dopravní stavby I., VUT v Brn , 1998

[4]

Kraj ovi M., J za P. Dopravní stavby I. - návody na cvi ení, VUTIUM, 1998

[5]

eská technická norma, SN 73 6101 Projektování silnic a dálnic, eský normaliza ní institut, íjen 2004

- 39 (40) -


[6]

eská technická norma, SN 73 6102 Projektování k ižovatek na silni ních komunikacích, eský normaliza ní institut, b ezen 1994

10.2.2 Seznam dopl kové studijní literatury [7]

Chochol Š., Lehovec F., Pošvá J., Rondoš . Cesty a dia nice I - projektovanie, Alfa Bratislava, 1989

[8]

Brockenbrough, R. Highway Engineering Handbook 2ND Edition, McGraw-Hill Professional Publishing, 2003

[9]

A Policy on Geometric design of Highways and Streets, American Association of State Highway and Transportation Officials, 1990

10.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny [10]

http://www.fce.vutbr.cz/PKO/0M2/

[11]

http://www.fce.vutbr.cz/PKO/0M2/PREDN2/klotoid/klo.htm

- 40 (40) -

POZEMNÍ KOMUNIKACE I

Recommend Documents