Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládané znalosti: Elektrické pole mezi dvěma nabitými rovinami – Příklad 21 Kapacita kondenzátoru je konstanta udávající vztah mezi nábojem a napětím na elektrodách: Q C ⋅U Kapacita je závislá na tvaru a vzájemné poloze elektrod a také na permitivitě izolačního materiálu mezi elektrodami. Na obrázku je nakreslen deskový kondenzátor, S značí plochu desek kondenzátoru. Budeme-li předpokládat, že mezi desky kondenzátoru přiložíme napětí, objeví se na deskách stejně veliký ale opačný náboj, na levé desce například +Q, na pravé desce –Q. Mezi deskami vznikne elektrické pole, které je totožné s polem dvou rovnoběžných rovin (Příklad 21) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Q D ( x) konst σ S

Intenzita elektrického pole bude:

E ( x)

D ( x) ε

Q ε 0⋅ ε r S

Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro daný náboj na deskách Q, je možné zpětně dopočítat odpovídající napětí mezi deskami : x d

U

⌠  ⌡x

E ( x) dx 0

Q ⋅d ε 0⋅ ε r S

Pozn.: Vztah mezi napětím a intenzitou pole v této podobě platí v případě, že integrační dráha vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být skalární součin intenzity pole a vektoru ve směru dráhy. Uvážíme-li, že platí : Q

C ⋅U

Potom po úpravě v našem případě :

ε 0⋅ ε r S ⋅U d Pro kapacitu deskového kondenzátoru vyplyne vztah: Q

C

ε 0⋅ ε r S d

Z technického hlediska je velice důležitá úloha vypočítat pro zadané napětí a zadaný tvar elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzita pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolačních materiálů rozumíme obvykle maximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vztah pro intenzitu v závislosti na napětí je možno získat zpětným dosazením za náboj do výchozího vztahu pro intenzitu elektrického pole: E ( x)

Q ε 0⋅ ε r⋅ S

ε 0⋅ ε r⋅ S 1 ⋅ U⋅ d ε 0⋅ ε r⋅ S

U d

V deskovém kondenzátoru je podle předpokladu všude stejně veliká intenzita elektrického pole, je dána podílem napětí a vzdálenosti mezi deskami. V případě homogenního dielektrika intenzita elektrického pole vůbec nezávisí na velikosti permitivity.

Příklad 23 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru se složeným dieletrikem Předpokládané znalosti: Elektrické pole mezi dvěma nabitými rovinami – Příklad 21

Kapacita kondenzátoru je konstanta udávající vztah mezi nábojem a napětím na elektrodách: Q

C ⋅U

Kapacita je závislá na tvaru a vzájemné poloze elektrod a také na permitivitě izolačního materiálu mezi elektrodami. Na obrázku je nakreslen deskový kondenzátor se složeným dielektrikem, S značí plochu desek kondenzátoru. Budeme-li předpokládat, že mezi desky kondenzátoru přiložíme napětí, objeví se na deskách stejně veliký ale opačný náboj, na levé desce například +Q, na pravé desce – Q. Mezi deskami vznikne elektrické pole, které je totožné s polem dvou rovnoběžných rovin (Příklad 21) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Q D ( x) konst σ S Pozn. Elektrická indukce není závislá na prostředí, ale pouze na volných nábojích, které jsou zdrojem elektrického pole a na geometrii elektrod. ( indukce je tedy shodná jako v Příkladu 22 u kondenzátoru s neděleným dielektrikem)

Intenzita elektrického pole je závislá na permitivitě, odráží se zde vliv vázaných nábojů v dielektriku, bude pro každý úsek s rozdílnou permitivitou jiná : Intenzita elektrického pole bude: v úseku 1 : 0 ≤ x≤ d1

E 1 ( x)

D ( x) ε1

Q ε 0 ⋅ ε r1 S

v úseku 2: d1 ≤ x≤ d2

E 2 ( x)

D ( x) ε2

Q ε 0 ⋅ ε r2 S

v úseku 3: d2 ≤ x≤ d3

D ( x) ε3

E 3 ( x)

Q ε 0 ⋅ ε r3 S

Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro daný náboj na deskách Q, je možné zpětně dopočítat odpovídající napětí mezi deskami ( integraci je třeba rozdělit na tři úseky, ve kterých je intenzita elektrického pole spojitá) : d1

x d

U U

⌠  ⌡x

E ( x) dx 0

⌠  ⌡0

d2

⌠ E 1 ( x) dx +  ⌡d

1

d3

⌠ E 2 ( x) dx +  ⌡d

E 3 ( x) dx 2

Q Q Q ⋅ d1 + ⋅ d2 + ⋅ d3 ε 0 ⋅ ε r1 S ε 0 ⋅ ε r2 S ε 0 ⋅ ε r3 S

Pozn.: Vztah mezi napětím a intenzitou pole v této podobě platí v případě, že integrační dráha vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být skalární součin intenzity pole a vektoru ve směru dráhy. Uvážíme-li, že platí : Q

C ⋅U

Potom po úpravě v našem případě :

Q

1

d3  d2  d1 + +   ε 0 ⋅ ε r1 S ε 0 ⋅ ε r2 S ε 0 ⋅ ε r3 S 

⋅U

Pro kapacitu deskového kondenzátoru s děleným dielektrikem vyplyne vztah:

C

1

1

d3  d2  d1 + +   ε 0 ⋅ ε r1 S ε 0 ⋅ ε r2 S ε 0 ⋅ ε r3 S 

1

C1

+

1

C2

+

1

C3

Z výsledného vztahu pro kapacitu je patrno, že si můžeme celý problém představit v podobě pomyslných dílčích kondenzátorů jednotlivých úseků, které jsou spojeny do série: C1

ε 0 ⋅ ε r1 S d1

C2

ε 0 ⋅ ε r2 S d2

C3

ε 0 ⋅ ε r3 S d3

Z technického hlediska je velice důležitá úloha vypočítat pro zadané napětí a zadaný tvar elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzita pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolačních materiálů rozumíme obvykle maximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vztah pro intenzitu v závislosti na napětí je možno získat zpětným dosazením za náboj do výchozích vztahů pro intenzitu elektrického pole:

E1 ( x)

E 1 ( x)

Q ε 0 ⋅ ε r1 S

U d2

⋅

1

d3  ε 0 ⋅ ε r1 S  d1 + +   ε 0 ⋅ ε r1 S ε 0 ⋅ ε r2 S ε 0 ⋅ ε r3 S 

U  d1 d2 d3 + + ε r1⋅  ε ε ε r3  r1 r2 

Podobně i ve zbylých dvou úsecích:

E 2 ( x)

E 3 ( x)

U  d1 d2 d3 + + ε r2⋅   ε r1 ε r2 ε r3 

U  d1 d2 d3 + + ε r3⋅  ε ε ε r3  r1 r2 

V deskovém kondenzátoru se složeným dielektrikem se intenzita elektrického pole rozdělí na jednotlivé úseky v poměru permitivit, není závislá na absolutní hodnotě permitivity.

Příklad 24 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v kondenzátoru s kulovými elektrodami a jednoduchým dielektrikem Předpokládané znalosti: Elektrické pole mezi dvěma opačně nabitými koulemi – Příklad 19 Kapacita kondenzátoru je konstanta udávající vztah mezi nábojem a napětím na elektrodách: Q C ⋅U Kapacita je závislá na tvaru a vzájemné poloze elektrod a také na permitivitě izolačního materiálu mezi elektrodami. Na obrázku je nakreslen kondenzátor, jehož elektrody tvoří sférické plochy o poloměru a a b: Budeme-li předpokládat, že mezi elektrody kondenzátoru přiložíme napětí, objeví se na nich stejně veliký ale opačný náboj, na vnitřní elektrodě například +Q, na vnější –Q. Mezi elektrodami vznikne elektrické pole, které je totožné s polem mezi dvěma opačně nabitými koncentrickými koulemi (Příklad 21) : Elektrická indukce tohoto pole bude : D ( r)

Q 2

4⋅π ⋅ r

Intenzita elektrického pole bude:

D ( r) ε

E ( r)

Q 1 ⋅ 2 4⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r r

Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro daný náboj na elektrodách Q, je možné zpětně dopočítat odpovídající napětí mezi deskami : b

U

⌠  E ( r) dr ⌡a

b

⌠ 1 Q  ⋅ 2 dr  4⋅ π ⋅ε 0⋅ε r r ⌡a

Q 1 1 ⋅  −  b 4⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r  a

Pozn.: Vztah mezi napětím a intenzitou pole v této podobě platí v případě, že integrační dráha vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být skalární součin intenzity pole a vektoru ve směru dráhy. Uvážíme-li, že platí : Q C ⋅U Potom po úpravě v našem případě :

Q

4⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r

 1 − 1  a b

⋅U

Pro kapacitu kulového kondenzátoru vyplyne vztah: C

4⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r

 1 − 1  a b

Z technického hlediska je velice důležitá úloha vypočítat pro zadané napětí a zadaný tvar elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzita pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolačních materiálů rozumíme obvykle maximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vztah pro intenzitu v závislosti na napětí je možno získat zpětným dosazením za náboj do výchozího vztahu pro intenzitu elektrického pole: E ( r)

1 Q ⋅ 2 4⋅ π ⋅ε 0⋅ε r r

4⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r

 1 − 1  a b

⋅ U⋅

1 4⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r

⋅

1

U

2

1 1 2 r ⋅  −  a b

r

V kulovém kondenzátoru klesá intenzita s kvadrátem poloměru. V případě homogenního dielektrika intenzita elektrického pole vůbec nezávisí na velikosti permitivity.

Poznámka 1 : V případě, že bude mít vnější elektroda hodně velký poloměr, přejde vztah pro kapacitu na:

C

4⋅ π ⋅ ε 0⋅ ε r⋅ a

V této souvislosti lze mluvit o kapacitě osamocené koule proti elektrodě v nekonečnu.

Příklad 25 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v kondenzátoru s kulovými elektrodami a složeným dieletrikem Předpokládané znalosti: Elektrické pole mezi dvěma nabitými koulemi – Příklad 19 Kapacita kondenzátoru je konstanta udávající vztah mezi nábojem a napětím na elektrodách: Q C ⋅U Kapacita je závislá na tvaru a vzájemné poloze elektrod a také na permitivitě izolačního materiálu mezi elektrodami. Na obrázku je nakreslen kondenzátor s kulovými elektrodami a složeným dielektrikem. Budeme-li předpokládat, že mezi elektrody kondenzátoru přiložíme napětí, objeví se na elektrodách stejně veliký ale opačný náboj, na vnitřní elektrodě například +Q, na vnější – Q. Mezi elektrodami vznikne elektrické pole, které je totožné s polem dvou koncentrických koulí (Příklad 19) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Q D ( r) 2 4⋅π ⋅ r Pozn. Elektrická indukce není závislá na prostředí, ale pouze na volných nábojích, které jsou zdrojem elektrického pole a na geometrii elektrod. ( indukce je tedy shodná jako v Příkladu 24 u kondenzátoru s neděleným dielektrikem) Intenzita elektrického pole je závislá na permitivitě, odráží se zde vliv vázaných nábojů v dielektriku, bude pro každý úsek s rozdílnou permitivitou jiná : Intenzita elektrického pole bude: v úseku 1 : r1 ≤ r ≤ r2

E 1 ( r)

D ( r) ε1

Q 1 ⋅ 2 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r1 r

v úseku 2:

r2 ≤ r ≤ r3 E 2 ( r)

D ( r) ε2

Q 1 ⋅ 2 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r2 r

v úseku 3: r3 ≤ r ≤ r4

E 3 ( r)

D ( r) ε3

Q 1 ⋅ 2 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r3 r

Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro daný náboj na deskách Q, je možné zpětně dopočítat odpovídající napětí mezi deskami ( integraci je třeba rozdělit na tři úseky, ve kterých je intenzita elektrického pole spojitá) : r4

U

U

⌠  ⌡r

r2

E ( r) dr 1

⌠  ⌡r

1

r3

⌠ E 1 ( r) dr +  ⌡r

2

r4

⌠ E 2 ( r) dr +  ⌡r

E 3 ( r) dr 3

1 1  1 1  1 1  Q Q Q ⋅  − + ⋅  − + ⋅  − r 2  4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r2  r 2 r 3  4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r3  r 3 r 4  4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r1  r 1

Pozn.: Vztah mezi napětím a intenzitou pole v této podobě platí v případě, že integrační dráha vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být skalární součin intenzity pole a vektoru ve směru dráhy. Uvážíme-li, že platí : Q C ⋅U Potom po úpravě v našem případě : Q

4⋅π ⋅ ε 0

 1 ⋅ 1 − 1  + 1 ⋅ 1 − 1  + 1 ⋅ 1 − 1   ε r     r1  1 r 2  ε r2  r 2 r 3  ε r3  r 3 r 4  

⋅U

Pro kapacitu kondenzátoru s kulovými elektrodami a děleným dielektrikem vyplyne vztah: C

4⋅π ⋅ ε 0

1

 1 ⋅ 1 − 1  + 1 ⋅ 1 − 1  + 1 ⋅ 1 − 1   ε r     r1  1 r 2  ε r2  r 2 r 3  ε r3  r 3 r 4  

1

C1

+

1

C2

+

1

C3

Z výsledného vztahu pro kapacitu je patrno, že si můžeme celý problém představit v podobě pomyslných dílčích kondenzátorů jednotlivých úseků, které jsou spojeny do série: C1

4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r1

 1 − 1 r  1 r 2

C2

4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r2

 1 − 1 r  2 r 3

C3

4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r3

 1 − 1 r  3 r 4

Z technického hlediska je velice důležitá úloha vypočítat pro zadané napětí a zadaný tvar elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzita pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolačních materiálů rozumíme obvykle maximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vztah pro intenzitu v závislosti na napětí je možno získat zpětným dosazením za náboj do výchozích vztahů pro intenzitu elektrického pole:

E 1 ( r)

E 1 ( r)

Q 1 ⋅ 2 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r1 r

4⋅π ⋅ ε 0

 1 ⋅ 1 − 1  + 1 ⋅ 1 − 1  + 1 ⋅ 1 − 1   ε r     r1  1 r 2  ε r2  r 2 r 3  ε r3  r 3 r 4  

⋅ U⋅

1 2

4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r1 ⋅ r

U ε r1⋅ r ⋅  2

1  1 1  1 1  1  1 1  1  ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −   ε r1  r 1 r 2  ε r2  r 2 r 3  ε r3  r 3 r 4  

Podobně i ve zbylých dvou úsecích:

E 2 ( r)

E 3 ( r)

U ε r2⋅ r ⋅  2

1  1 1  1 1  1  1 1  1  ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −   ε r1  r 1 r 2  ε r2  r 2 r 3  ε r3  r 3 r 4   U

ε r3⋅ r ⋅  2

1  1 1  1 1  1  1 1  1  ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −   ε r1  r 1 r 2  ε r2  r 2 r 3  ε r3  r 3 r 4  

V kondenzátoru se složeným dielektrikem se intenzita elektrického pole rozdělí na jednotlivé úseky v poměru permitivit, není závislá na absolutní hodnotě permitivity. V každém úseku je největší intenzita elektrického pole na vnitřním poloměru tohoto úseku.

Příklad 26 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v kondenzátoru s válcovými elektrodami a jednoduchým dielektrikem Předpokládané znalosti: Elektrické pole mezi dvěma opačně nabitými válci – Příklad 20 Kapacita kondenzátoru je konstanta udávající vztah mezi nábojem a napětím na elektrodách: Q C ⋅U Kapacita je závislá na tvaru a vzájemné poloze elektrod a také na permitivitě izolačního materiálu mezi elektrodami. Na obrázku je nakreslen válcový kondenzátor poloměrech elektrod a a b . Budeme-li předpokládat, že mezi elektrody kondenzátoru přiložíme napětí, objeví se na nich stejně veliký ale opačný náboj, na vnitřní elektrodě například náboj o liniové hustotě +τ, na vnější –τ. Mezi elektrodami vznikne elektrické pole, které je totožné s polem mezi dvěma opačně nabitými koncentrickými válci (Příklad 20) : Elektrická indukce tohoto pole bude :

D ( r)

τ 2⋅π ⋅ r

Intenzita elektrického pole bude:

D ( r) ε

E ( r)

τ 2⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r

⋅

1

r

Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro daný náboj na elektrodách, je možné zpětně dopočítat odpovídající napětí mezi deskami : b

U

⌠  E ( r) dr ⌡a

b

⌠ τ 1  ⋅ dr  2⋅ π ⋅ε 0⋅ε r r ⌡a

b ⋅ ln  2⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r  a τ

Pozn.: Vztah mezi napětím a intenzitou pole v této podobě platí v případě, že integrační dráha vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být skalární součin intenzity pole a vektoru ve směru dráhy. Uvážíme-li, že platí : Q C ⋅U Celkový náboj je dán liniovou hustotou náboje a délkou kondenzátoru : τ ⋅h C ⋅U

Potom po úpravě v našem případě : 2⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r τ ⋅U b  ln  a Pro kapacitu válcového kondenzátoru vyplyne vztah: 2⋅ π ⋅ε 0⋅ε r τ ⋅h C ⋅h U b  ln a V případě koaxiálních kabelů, které se z hlediska elektrostatického pole chovají jako válcové kondenzátory, se často specifikuje kapacita na jednotku délky : 2⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r C l

b ln   a

Z technického hlediska je velice důležitá úloha vypočítat pro zadané napětí a zadaný tvar elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzita pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolačních materiálů rozumíme obvykle maximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vztah pro intenzitu v závislosti na napětí je možno získat zpětným dosazením za náboj do výchozího vztahu pro intenzitu elektrického pole: 2⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r τ 1 1 1 U E ( r) ⋅ ⋅ U⋅ ⋅ b b 2⋅ π ⋅ε 0⋅ε r r 2⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r r ln  r ⋅ ln   a a Ve válcovém kondenzátoru klesá intenzita nepřímo úměrně s poloměrem. V případě homogenního dielektrika intenzita elektrického pole vůbec nezávisí na velikosti permitivity.

Příklad 27 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole ve válcovém kondenzátoru se složeným dieletrikem Předpokládané znalosti: Elektrické pole mezi dvěma nabitými válci – Příklad 20 Kapacita kondenzátoru je konstanta udávající vztah mezi nábojem a napětím na elektrodách: Q C ⋅U Kapacita je závislá na tvaru a vzájemné poloze elektrod a také na permitivitě izolačního materiálu mezi elektrodami. Na obrázku je nakreslen válcový kondenzátor se složeným dielektrikem. Budeme-li předpokládat, že přiložíme mezi elektrody kondenzátoru napětí, objeví se na elektrodách stejně veliký ale opačný náboj, na vnitřní elektrodě například náboj o liniové hustotě +τ, na vnější –τ. Mezi elektrodami vznikne elektrické pole, které je totožné s polem dvou koncentrických válců (Příklad 20) : Elektrická indukce tohoto pole bude :

D ( r)

τ 2⋅π ⋅ r

Pozn. Elektrická indukce není závislá na prostředí, ale pouze na volných nábojích, které jsou zdrojem elektrického pole a na geometrii elektrod. ( indukce je tedy shodná jako v Příkladu 26 u kondenzátoru s neděleným dielektrikem) Intenzita elektrického pole je závislá na permitivitě, odráží se zde vliv vázaných nábojů v dielektriku, bude pro každý úsek s rozdílnou permitivitou jiná : Intenzita elektrického pole bude: v úseku 1 : r1 ≤ r ≤ r2 E1 ( r)

D ( r) ε1

τ 2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r1

⋅

1

⋅

1

r

v úseku 2:

r2 ≤ r ≤ r3 E2 ( r)

D ( r) ε2

τ 2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r2

r

v úseku 3: r3 ≤ r ≤ r4

τ

D ( r) ε3

E3 ( r)

2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r3

⋅

1

r

Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro daný náboj na elektrodách, je možné zpětně dopočítat odpovídající napětí mezi elektrodami ( integraci je třeba rozdělit na tři úseky, ve kterých je intenzita elektrického pole spojitá) : r

U

⌠4  E ( x) dx ⌡r 1

U

τ 2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r1

r

⌠2  E1 ( x) dx + ⌡r 1

r

⌠3  E2 ( x) dx + ⌡r 2

r

⌠4  E3 ( x) dx ⌡r 3

 r2  τ  r3  τ  r4  + ⋅ ln + ⋅ ln  r1  2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r2  r2  2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r3  r3 

⋅ ln

Pozn.: Vztah mezi napětím a intenzitou pole v této podobě platí v případě, že integrační dráha vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být skalární součin intenzity pole a vektoru ve směru dráhy. Uvážíme-li, že platí : Q C ⋅U Po vyjádření pomocí liniové hustoty náboje : τ ⋅h

C ⋅U

Potom po úpravě v našem případě : τ

2⋅π ⋅ ε 0

 r2   r3   r4  ln ln ln  r1  +  r2  +  r3  ε r1

ε r2

⋅U

ε r3

Pro kapacitu kondenzátoru s kulovými elektrodami a děleným dielektrikem vyplyne vztah: C

τ ⋅h U

2⋅ π ⋅ε 0

 r2   r3   r4  ln ln  r1  +  r2  +  r3 

ln

ε r1

ε r2

ε r3

⋅h

1 1

C1

+

1

C2

+

1

C3

Z výsledného vztahu pro kapacitu je patrno, že si můžeme celý problém představit v podobě pomyslných dílčích kondenzátorů jednotlivých úseků, které jsou spojeny do série: C1

2⋅ π ⋅ε 0⋅ε r

 r2  ln  r1 

⋅h

C2

2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r2

 r3  ln  r2 

⋅h

C3

2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r3

 r4  ln  r3 

⋅h

U koaxiálních kabelů, které představují z hlediska elektrického pole také válcový kondenzátor, se často uvádí kapacita na jednotku délky kabelu: C l

2⋅π ⋅ ε 0

 r2   r3   r4  ln ln  r1  +  r2  +  r3 

ln

ε r1

ε r2

ε r3

Z technického hlediska je velice důležitá úloha vypočítat pro zadané napětí a zadaný tvar elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzita pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolačních materiálů rozumíme obvykle maximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vztah pro intenzitu v závislosti na napětí je možno získat zpětným dosazením za náboj do výchozích vztahů pro intenzitu elektrického pole:

E1 ( r)

τ 2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r1

⋅

2⋅π ⋅ ε 0

1

r

 r2   r3   r4  ln ln  r1  +  r2  +  r3 

ln

ε r1

E1 ( r)

ε r2

U

  r2   r3   r4   ln ln ln   r1  +  r2  +  r3   ε r1⋅ r ⋅  ε r1 ε r2 ε r3  

Podobně i ve zbylých dvou úsecích:

ε r3

⋅ U⋅

1

( 2⋅ π ⋅ ε 0⋅ ε r1)

⋅

1

r

E2 ( r)

E3 ( r)

U

  r2   r3   r4   ln ln ln   r1  +  r2  +  r3   ε r2⋅ r ⋅  ε r1 ε r2 ε r3   U

  r2   r3   r4   ln ln ln   r1  +  r2  +  r3   ε r3⋅ r ⋅  ε r1 ε r2 ε r3  

V kondenzátoru se složeným dielektrikem se intenzita elektrického pole rozdělí na jednotlivé úseky v poměru permitivit, není závislá na absolutní hodnotě permitivity. V každém úseku je největší intenzita elektrického pole na vnitřním poloměru tohoto úseku.

Příklad 28 : Kapacita mezi dvěma kulovými dostatečně vzdálenými elektrodami Přepokládané znalosti: Potenciál nabité vodivé koule – Příklad 13 Intenzita elektrického pole nabité koule – Příklad 8 Kapacita kondenzátoru je konstanta udávající vztah mezi nábojem a napětím na elektrodách: Q C ⋅U Kapacita je závislá na tvaru a vzájemné poloze elektrod a také na permitivitě izolačního materiálu mezi elektrodami. Budeme-li předpokládat, že mezi kulové elektrody přiložíme napětí, objeví se na elektrodách stejně veliký ale opačný náboj, na levé elektrodě například +Q, na pravé –Q. Mezi elektrodami vznikne elektrické pole. Výsledné elektrické pole lze snadno vypočítat za předpokladu, že se náboj na elektrodách rozloží rovnoměrně se sférickou symetrií podobně jako u samostatných nabitých kulových elektrod. To platí v případě, že poloměry kulových elektrod a1 i a2 jsou podstatně menší než vzdálenost s.

a 1 , a2 < s Výsledné elektrické pole je potom možno počítat jako superpozici polí dvou osamocených kulových elektrod. Z veličin vzniklého elektrického pole lze zpětně dopočítat velikost napětí a tím získat závislost mezi napětím a nábojem. Pro výpočet napětí mezi elektrodami je možné v tomto případě použít potenciály elektrického pole. Potenciály od jednotlivých nábojů lze v každém bodě sčítat, napětí mezi dvěma body je dáno rozdílem potenciálů těchto bodů. V bodě 1 na elektrodě A je : příspěvek potenciálu od vlastní elektrody A a příspěvek od elektrody B:

φ A1

Q 1 ⋅ + K1 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r a1

φ B1

−Q 1 ⋅ + K2 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r s − a1

V bodě 1 je výsledný potenciál : Q 1 1 −Q φ 1 φ A1 + φ B1 ⋅ + K1 + ⋅ + K2 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r a1 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r s − a1

V bodě 2 na elektrodě B je : příspěvek potenciálu od elektrody A a příspěvek od vlastní elektrody B: Q 1 −Q 1 φ A2 ⋅ + K1 ⋅ + K2 φ B2 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r s − a2 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r a2

V bodě 2 je výsledný potenciál : Q 1 1 −Q ⋅ + K1 + ⋅ + K2 φ 2 φ A2 + φ B2 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r s − a2 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r a2

Mezi elektrodami ( mezi bodem 1 a 2) je napětí : U

φ1 − φ2

Q 1 1 1 1  ⋅  − − + s − a1 s − a2 a2  4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r  a1

Poloměry a1 a a2 můžeme ve srovnání se vzdáleností zanedbat, což je důležitý výchozí předpoklad tohoto výpočtu, můžeme je tedy zanedbat i ve výsledném vztahu pro napětí, jejich uvažováním se stejně přesnost výpočtu nezlepší:

U

1 2 1  Q ⋅  − + s a2  4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r  a1

Na konstantách K1 a K2 vůbec nezáleží, použijeme-li potenciál pro výpočet napětí, konstanty se navzájem odečtou. Mezi nábojem a napětím platí vztah: Q

C ⋅U

V našem případě tedy : 4⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r Q ⋅U  1 −2+ 1 a s a 2  1 Z toho vyplývá vztah pro velikost kapacity mezi kulovými elektrodami : C

4⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r

 1 −2+ 1 a s a 2  1

Zcela stejné vztahy obdržíme integrací výsledné hodnoty intenzity elektrického pole mezi kulovými elektrodami.

Výsledné elektrické pole bude mít velikost: Q 1 1  ⋅  2 + 2  4⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r  x ( s − x) 

EA ( x) + EB ( x)

E ( x)

Při výpočtu je třeba uvážit, že se v tomto prostoru elektrické pole kladně i záporně nabité kulové elektrody sčítá. Pro výsledné napětí bude platit : s −a2

s −a2

U

⌠  ⌡a

1

E ( x) dx

⌠   ⌡a

1 1 Q  dx ⋅  2 + 2  4⋅ π ⋅ε 0⋅ε r  x ( s − x) 

1

U

1 1 1 1  Q ⋅  − − + s − a1 s − a2 a2  4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r  a1

To jsou zcela identické vztahy jako při výpočtu napětí pomocí potenciálů.

Příklad 29 : Kapacita mezi dvěma rovnoběžnými válcovými dostatečně vzdálenými vodiči (dvouvodičové vedení) Předpokládané znalosti: Potenciál a intenzita elektrického pole nabitého válcového vodičePříklad 17 Kapacita kondenzátoru je konstanta udávající vztah mezi nábojem a napětím na elektrodách: Q C ⋅U Použijeme-li tento vztah pro jednotkovou délku vedení, je na ní náboj daný liniovou hustotou τ, vedení má kapacitu na jednotku délka C/l a platí: C τ ⋅U l Kapacita je závislá na tvaru a vzájemné poloze elektrod a také na permitivitě izolačního materiálu mezi elektrodami.

Budeme-li předpokládat, že mezi vodiče přiložíme napětí, objeví se na vodičích stejně veliký ale opačný náboj, na levém vodiči například náboj o liniové hustotě +τ, na pravém náboj o liniové hustotě -τ. Mezi vodiči vznikne elektrické pole. Výsledné elektrické pole lze snadno vypočítat za předpokladu, že se náboj na vodičích rozloží rovnoměrně s válcovou symetrií podobně jako u samostatných nabitých válcových vodičů. To platí v případě, že poloměry vodičů a jsou podstatně menší než vzdálenost s. a< s Výsledné elektrické pole je potom možno počítat jako superpozici polí dvou osamocených válcových vodičů. Z veličin vzniklého elektrického pole lze zpětně dopočítat velikost napětí a tím získat závislost mezi napětím a nábojem. Pro výpočet napětí mezi vodiči je možné v tomto případě použít potenciály elektrického pole. Potenciály od jednotlivých vodičů lze v každém bodě sčítat, napětí mezi dvěma body je dáno rozdílem potenciálů těchto bodů. V bodě 1 na vodiči A je : příspěvek potenciálu od vlastního vodiče A a příspěvek od vodiče B: τ −τ 1 1  φ A1 ⋅ ln  + K 1 φ B1 ⋅ ln +K2 2⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r  a 2⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r  s − a

V bodě 1 je výsledný potenciál :

φ1

φ A1 + φ B1

−τ 1 1  ⋅ ln  + K 1 + ⋅ ln +K2 2⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r  a 2⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r  s − a τ

V bodě 2 na vodiči B je : příspěvek potenciálu od vodiče A a příspěvek od vlastního vodiče B:

φ A2

τ 2⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r

+K1  s − a

⋅ ln

1

φ B2

−τ

1 ⋅ ln  + K 2 2⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r  a

V bodě 2 je výsledný potenciál : −τ τ 1  1 φ 2 φ A2 + φ B2 ⋅ ln + K1+ ⋅ ln  + K 2 2⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r  s − a 2⋅ π ⋅ε 0⋅ε r a

Mezi vodiči (mezi bodem 1 a 2) je napětí : U

φ 1−φ 2

τ

1 1  1  1 ⋅  ln  − ln − ln + ln   2⋅ π ⋅ε 0⋅ε r   a   s − a  s − a  a 

Poloměr a můžeme ve srovnání se vzdáleností zanedbat, což je důležitý výchozí předpoklad tohoto výpočtu, můžeme jej tedy zanedbat i ve výsledném vztahu pro napětí, jeho uvažováním se stejně přesnost výpočtu nemůže zlepšit: U

τ π ⋅ ε 0⋅ ε r

⋅ ln

s − a  a 

τ

s ⋅ ln  π ⋅ε 0⋅ε r  a 

Na konstantách K1 a K2 vůbec nezáleží, použijeme-li potenciál pro výpočet napětí, konstanty se navzájem odečtou. Mezi nábojem a napětím platí vztah: C τ ⋅U l V našem případě tedy : π ⋅ε 0⋅ε r τ ⋅U s  ln a Z toho vyplývá vztah pro velikost kapacity na jednotku délky mezi dvěma rovnoběžnými válcovými vodiči: π ⋅ε 0⋅ε r C l

s ln  a

Zcela stejné vztahy obdržíme integrací výsledné hodnoty intenzity elektrického pole mezi válcovými vodiči. Výsledné elektrické pole bude mít velikost: τ

E ( x)

2⋅ π ⋅ε 0⋅ε r

⋅ 

1

x

+

 s − x 1

Při výpočtu je třeba uvážit, že se v tomto prostoru elektrické pole kladně i záporně nabitého vodiče sčítá.

Pro výsledné napětí bude platit : s −a

s −a

U

⌠  ⌡a

E ( x) dx

⌠   ⌡a

τ 2⋅ π ⋅ε 0⋅ε r

⋅ 

1

x

+

 dx s − x 1

τ π ⋅ε 0⋅ε r

⋅ ln

s − a  a 

To jsou zcela identické vztahy jako při výpočtu napětí pomocí potenciálů.

Příklad 30 : Kapacita kulové elektrody proti vodivé nekonečně rozlehlé rovině Předpokládané znalosti: Potenciál nabité vodivé koule – Příklad 13 Intenzita elektrického pole nabité koule – Příklad 8 Kapacita mezi kulovými elektrodami – Příklad 28 Vodivá rovina je z hlediska elektrického pole : a) ekvipotenciální plocha ( fi=konst) b) siločáry elektrického pole vstupují do této roviny kolmo Splnění uvedených podmínek dosáhneme náhradním uspořádáním, ve kterém vliv vodivé roviny nahradíme stejně velkým ale opačným nábojem, umístěným symetricky na druhé straně roviny ( metoda zrcadlení). Potom je potenciál v libovolném bodě roviny skutečně konstantní . Každý bod na rovině musí mít totiž stejnou vzdálenost od kladného i záporného náboje, například vzdálenost rX jako na obrázku. Pro výsledný potenciál na rovině bude platit :

φ ( rx)

Q 1 1 Q ⋅ + K1 − ⋅ + K2 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r rx 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r rx

K1 + K2

konst

Intenzita elektrického pole v libovolném místě roviny, například v bodě o vzdálenosti rX , je dána součtem intenzity od kladného i záporného náboje. Výslednice (viz obrázek) skutečně směřuje ve směru normály k rovině. Libovolnou veličinu elektrického pole, intenzitu i potenciál, lze potom vypočítat pomocí superpozice dvou nábojů v náhradní soustavě.

Budeme-li uvažovat, že mezi kulovou elektrodu a vodivou rovinu připojíme napětí o velikosti U, potom se na elektrodě objeví náboj +Q a na rovině náboj –Q. Vypočteme-li zpětně pomocí náboje velikost pole, můžeme dopočítat velikost napětí a najít vztah pro kapacitu. Napětí lze vypočítat jako rozdíl potenciálů v bodě 1 a 2.

Dále uvedené vztahy platí pouze za předpokladu, že pole kulových elektrod zachová svojí sférickou symetrii – rozložení náboje na elektrodách nebude podstatně ovlivněno

výsledným rozložením elektrického pole. Příspěvky jednotlivých nábojů lze potom počítat ze vztahů platných pro osamocené kulové elektrody. To vše je splněno za podmínky, že poloměr kulové elektrody je podstatně menší, než vzdálenost k vodivé rovině.

Potenciál v bodě 1 je dán součtem potenciálu kladného a záporného náboje v tomto bodě: φ1

Q 1 1 −Q ⋅ + K1 + ⋅ + K2 4⋅ π ⋅ε 0⋅ε r a 4⋅ π ⋅ε 0⋅ε r 2⋅h − a

Konstanta K1 a K2 může být zcela libovolná, při výpočtu napětí na velikosti konstant nezáleží. Potenciál v bodě 2 je dán součtem potenciálu kladného a záporného náboje v tomto bodě: φ2

Q 1 1 −Q ⋅ + K1 + ⋅ + K2 4⋅ π ⋅ε 0⋅ε r h 4⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r h

K1 + K2

konst

Napětí mezi bodem 1 a 2 ( napětí mezi vodičem a rovinou) je potom dáno vztahem: U

φ1 − φ2

Q 1 1  ⋅  − 2⋅ h − a  4⋅ π ⋅ε 0⋅ε r  a

V tomto vztahu lze poloměr kulové elektrody zanedbat proti vzdálenosti kulové elektrody od roviny. Vzdálenost od roviny musí být podstatně větší než poloměr vodiče, jinak by uvedený výpočet neplatil. Toto zanedbání nemůže tedy přesnost výpočtu ani poškodit, ani vylepšit. U

1 1  Q ⋅  − 2⋅ h  4⋅ π ⋅ε 0⋅ε r  a

Pro vztah mezi nábojem a kapacitou platí: Q C ⋅U V našem případě je tedy : Q

4⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r

 1 − 1   a 2⋅ h 

⋅U

Z toho vyplývá vztah po kapacitu kulové elektrody proti vodivé rovině: C

4⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r

 1 − 1   a 2⋅ h 

Příklad 31 : Kapacita válcového vodiče proti vodivé nekonečně rozlehlé rovině Předpokládané znalosti: Potenciál válcového vodiče – Příklad 17 Intenzita elektrického pole válcového vodiče – Příklad 17 Kapacita mezi rovnoběžnými vodiči – Příklad 29 Koule nad vodivou rovinou – podobná úloha – Příklad 30

Vodivá rovina je z hlediska elektrického pole : a) ekvipotenciální plocha ( fi=konst) b) siločáry elektrického pole vstupují do této roviny kolmo Splnění uvedených podmínek dosáhneme náhradním uspořádáním, ve kterém vliv vodivé roviny nahradíme stejně velkým ale opačně nabitým fiktivním vodičem, umístěným symetricky na druhé straně roviny ( metoda zrcadlení) Potom je potenciál v libovolném bodě roviny skutečně konstantní . Každý bod na rovině musí mít totiž stejnou vzdálenost od kladného i záporného náboje, například vzdálenost rX jako na obrázku. Pro výsledný potenciál na rovině bude platit :

φ ( r x)

τ 2⋅ π ⋅ε 0⋅ε r

−τ 1  + K1+ ⋅ ln  + K 2 2⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r rx rx

⋅ ln

1

K1+ K2

konst

Intenzita elektrického pole v libovolném místě roviny, například bodě o vzdálenosti rX , je dána součtem intenzity od kladně i záporně nabitého vodiče. Výslednice (viz obrázek) skutečně směřuje ve směru normály k rovině. Libovolnou veličinu elektrického pole, intenzitu i potenciál, lze potom vypočítat pomocí superpozice dvou nábojů v náhradní soustavě.

Budeme-li uvažovat, že mezi vodič a vodivou rovinu připojíme napětí o velikosti U, potom se na vodiči objeví náboj +τ a na rovině náboj s hustotou odpovídající hodnotě –τ. Vypočteme-li zpětně pomocí náboje velikost pole, můžeme dopočítat velikost napětí a najít vztah pro kapacitu. Napětí lze vypočítat jako rozdíl potenciálů v bodě 1 a 2.

Dále uvedené vztahy platí pouze za předpokladu, že pole válcového vodiče zachová svojí válcovou symetrii – rozložení náboje na vodiči nebude podstatně ovlivněno výsledným rozložením elektrického pole. Příspěvky jednotlivých nábojů lze potom počítat ze vztahů platných pro osamocené válcové vodiče. To vše je splněno pouze za předpokladu, že poloměr válcového vodiče je podstatně menší, než vzdálenost k vodivé rovině.

Potenciál v bodě 1 je dán součtem potenciálu kladně a záporně nabitého vodiče v tomto bodě: φ1

−τ 1 1  ⋅ ln  + K 1 + ⋅ ln +K2 2⋅ π ⋅ε 0⋅ε r a 2⋅ π ⋅ε 0⋅ε r  2h − a  τ

Konstanta K1 a K2 může být zcela libovolná, při výpočtu napětí na velikosti konstant nezáleží. Potenciál v bodě 2 je dán součtem potenciálu kladně a záporně nabitého vodiče v tomto bodě φ2

−τ 1 1 ⋅ ln  + K 1 + ⋅ ln  + K 2 2⋅ π ⋅ε 0⋅ε r h 2⋅ π ⋅ε 0⋅ε r  h τ

K1+ K2

konst

Napětí mezi bodem 1 a 2 ( napětí mezi vodičem a rovinou) je potom dáno vztahem: U

τ

φ 1−φ 2

2⋅ π ⋅ε 0⋅ε r

ln

2h −

a

 a 

V tomto vztahu lze poloměr válcového vodiče zanedbat proti vzdálenosti od roviny. Vzdálenost od roviny musí být podstatně větší než poloměr vodiče, jinak by uvedený výpočet neplatil. Toto zanedbání nemůže tedy přesnost výpočtu ani poškodit, ani vylepšit. U

τ 2⋅ π ⋅ε 0⋅ε r

ln

2h 

a

Pro vztah mezi nábojem a kapacitou platí: C τ ⋅U l

V našem případě je tedy : τ

2⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r 2h ln  a

⋅U

Z toho vyplývá vztah po kapacitu na jednotku délky vodiče proti vodivé rovině: C l

2⋅π ⋅ ε 0⋅ ε r

ln

2h 

a

Příklad 32 :

Kapacita válcového vodiče proti dvěma vodivým nekonečně rozlehlým kolmým rovinám Předpokládané znalosti: Potenciál válcového vodiče – Příklad 17 Intenzita elektrického pole válcového vodiče – Příklad 17 Vodič nad vodivou rovinou – podobná úloha - Příklad 30 Vodivé roviny jsou z hlediska elektrického pole : a) ekvipotenciální plochy ( fi=konst) b) siločáry elektrického pole vstupují do těchto rovin kolmo Splnění uvedených podmínek dosáhneme náhradním uspořádáním, ve kterém vliv vodivých rovin nahradíme doplněním fiktivních vodičů s náboji jako na obrázku. Potenciál v libovolném bodě obou z rovin je potom skutečně konstantní . Každý bod na rovině má totiž stejnou vzdálenost od kladných i záporných nábojů.

Libovolnou veličinu elektrického pole, intenzitu i potenciál, lze potom vypočítat pomocí superpozice pole nabitých vodičů v náhradní soustavě. Budeme-li uvažovat, že mezi vodič a vodivou rovinu připojíme napětí o velikosti U, potom se na vodiči objeví náboj +τ a na rovinách náboj s hustotou odpovídající hodnotě –τ. Vypočteme-li zpětně pomocí náboje velikost pole, můžeme dopočítat velikost napětí a najít vztah pro kapacitu. Napětí lze vypočítat jako rozdíl potenciálů mezi body 1 a 2.

Uvedené vztahy platí podobně jako v předchozím příkladu ( Příklad 30 ) pouze za předpokladu, že vzdálenost od rovin je podstatně větší, než poloměr vodiče. Potenciál v bodě 1 je dán součtem potenciálu skutečného vodiče i fiktivních obrazů, zvolíme-li navíc potenciál na vodivých rovinách nulový, budou nulové i všechny integrační konstanty u potenciálů a bude platit : φ1

φ1

−τ τ −τ 1 1  1 1  + ⋅ ln  + ⋅ ln + ⋅ ln ⋅ ln  2⋅π ⋅ε 0⋅ε r  a  2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r  2 ⋅ h 1  2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r  2 ⋅ h 12 + h 22  2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r  2 ⋅ h 2  τ



τ 2⋅ π ⋅ε 0⋅ε r

2⋅ h 1⋅h 2

⋅ ln



2 2  a⋅ h 1 + h 2 

Potenciál v bodě 2 na rovině je konstantní, jeho hodnota byla zvolena nulová : φ2

0

Napětí mezi bodem 1 a 2 ( napětí mezi vodičem a rovinou) je potom dáno vztahem: U

φ 1−φ 2



τ 2⋅ π ⋅ε 0⋅ε r

⋅ ln

2⋅ h 1⋅h 2



2 2  a⋅ h 1 + h 2 

Pro vztah mezi nábojem a kapacitou platí: C τ ⋅U l

V našem případě je tedy : τ

2⋅ π ⋅ε 0⋅ε r

 2⋅ h 1⋅h 2  ln 2 2  a⋅ h 1 + h 2 

⋅U

Z toho vyplývá vztah po kapacitu na jednotku délky vodiče proti vodivým rovinám: C l

2⋅ π ⋅ε 0⋅ε r



ln

2⋅ h 1⋅h 2



2 2  a⋅ h 1 + h 2 