KAPACITA KONDENZÁTORY ENERGIE ELEKTRICKÉHO POLE DIELEKTRIKA
KAPACITA Kondenzátor Mechanickou energii lze uchovat jako energii potenciální: natažení pružiny, stlačení plynu, zvednutí tělesa, … Energii elektrického pole lze uchovat v kondenzátorech. Kondenzátor (obecně): dva vodiče blízko sebe ale elektricky izolovány.
Deskový kondenzátor
Kapacita kondenzátoru Náboj kondenzátoru Q : Absolutní hodnota náboje jedné z elektrod. Napětí na kondenzátoru U : Absolutní hodnota rozdílu potenciálu jeho elektrod. Náboj Q a napětí U jsou u každého kondenzátoru navzájem přímo úměrné
Q = CU
Q ⇒ C= U
součinitel úměrnosti - kapacita
Kapacita • pro daný kondenzátor je konstantní • závisí pouze na geometrii kondenzátoru a jeho dielektriku Jednotka
[C] = 1 C.V-1 = 1F (1 Farad) Jednotka je příliš velká. Častěji: mikrofarad (1 µF = 10-6F), nanofarad (1 nF = 10-9F), pikofarad (1 pF = 10-12F)
Výpočet kapacity – obecný postup 1. Použijeme vztah C = Q U . Předpokládáme, že na kondenzátoru je náboj Q, hledáme odpovídající napětí U. G 2. K výpočtu napětí U budeme potřebovat G G elektrickou intenzitu E . Získáme ji z Gaussova zákona ( v∫ EdS = Q / ε 0 ) . S
3. Vypočítáme napětí na kondenzátoru, což je podle jeho definice absolutní hodnota rozdílu potenciálů mezi jeho elektrodami. 4. Integrační cestu budeme začínat vždy na kladné elektrodě. 5. U kond = ϕ ( − ) f − ϕ ( + ) i
1 (−) P (−) G G ° = − ∫ Edr = − ∫ Edr cos 0
= ∫ Edr , tedy: U kond = ∫ Edr (−)
(−)
(+)
(+)
kladné
(+)
(+)
Q 6. Vypočítané napětí na kondenzátoru dosadíme do C = . Napětí U bude záviset na náboji Q. Náboj se tedy vykrátí.
Deskový kondenzátor Gaussův zákon G G v∫ EdS = Q ε 0 S
° EdS cos 0 + 0 = Q ε0 ∫ S
E ∫ dS = Q ε 0 S
ES = Q ε 0
Intenzita elektrického pole
E =Q
ε0S
(−)
Napětí na kondenzátoru Kapacita
C=
ε0S d
(−)
d
Q Q Qd U = ∫ Edr = ∫ dr = dr = ∫ ε S ε0S 0 ε0S (+) (+) 0 Qε 0 S ε 0 S Q Q C= = = = U Qd ε 0 S Qd d
(deskový kondenzátor)
Válcový kondenzátor Gaussův zákon G G v∫ EdS = Q ε 0 S
° EdS cos 0 + 0N ∫
= Q ε0
základny
S
E ∫ dS = Q ε 0 S
ES = Q ε 0
Intenzita elektrického pole
E = Q ε 0 S = Q ε 0 2π rL = Q 2πε 0 Lr (−)
Napětí na kondenzátoru
U=
∫
(+)
(−)
Edr =
Q
∫ 2πε Lr
(+)
0
dr =
Q
b
dr Q b = ln 2πε 0 L ∫a r 2πε 0 L a
Q Q L = 2πε 0 C= = ln(b a ) U Q ln(b a ) 2πε 0 L
Kapacita
L C = 2πε 0 ln(b a )
(válcový kondenzátor)
Kulový kondenzátor Gaussův zákon G G
v∫ EdS = Q ε
0
S
° EdS cos 0 = Q ε0 ∫ S
E ∫ dS = Q ε 0 S
ES = Q ε 0
Intenzita elektrického pole
(−)
Napětí na kondenzátoru Kapacita
ab C = 4πε 0 b−a
1
Q E = Q ε 0 S = Q ε 0 4π r = 4πε 0 r 2 2
dr Q ⎛1 1⎞ Q ⎛b−a⎞ U = ∫ Edr = =− ⎜ − ⎟= ⎜ ⎟ 2 ∫ 4 r 4 b a 4 ab πε πε πε ⎠ ⎠ 0 a 0 ⎝ 0 ⎝ (+) Q
b
Q Q ab C= = = 4πε 0 U Q(b − a ) 4πε 0 ab b−a (kulový kondenzátor)
ZAPOJENÍ KONDENZÁTORŮ Paralelní
Při spojení kondenzátorů paralelně (vedle sebe) je napětí na celé skupině kondenzátorů stejné jako napětí na každém z nich. Celkový náboj soustavy:
Q = Q1 + Q2 + Q3 = C1U + C2U + C3U = (C1 + C2 + C3 )U
Cp
Kapacita soustavy je Cp =
Q U
⇒
C p = C1 + C2 + C3
Sériové
Při spojení kondenzátorů do série (za sebou) je napětí na celé skupině kondenzátorů rovno součtu napětí na jednotlivých kondenzátorech. Na každém kondenzátoru – stejný náboj Q . Celkové napětí na sériové kombinaci:
U = U1 + U 2 + U 3 ⎛ 1 Q Q Q 1 1 ⎞ + + = Q⎜ + + ⎟ U= C1 C2 C3 C1 C2 C3 ⎠ ⎝
1
Kapacita soustavy je Q Cs = U
⇒
1 1 1 1 = + + Cs C1 C2 C3
Cs
ENERGIE ELEKTRICKÉHO POLE K nabití kondenzátoru musí být vnějším působením vykonána práce Î Tato práce je pak obsažena v elektrickém poli mezi elektrodami ve formě potenciální energie E p ! Nezaměnit ! energii (značka E má většinou nějaký index)
G intenzitu elektrického pole (často bez indexu – vektor E o velikosti E)
– Práce vykonaná při přenesení náboje Q z místa s potenciálem ϕ1 do místa s potenciálem ϕ2 je
W = Qϕ2 − Qϕ1 = QU
– Při nabíjení kondenzátoru s každým dalším přeneseným nábojem dW = U ′ dQ′ napětí o hodnotu – Práce potřebná k přenesení celkového náboje Q je pak
Q
dQ′ narůstá
Q
2 Q
Q′ 1 Q′ W = ∫ dW = ∫ U ′dQ´= ∫ dQ´= C C 2 0 0
Elektrická energie nabitého kondenzátoru:
0
1 Q2 = 2 C
1 Q2 1 Eel = = CU 2 2 C 2
Vztah platí nezávisle na geometrickém tvaru kondenzátoru.
Elektrická energie nabitého kondenzátoru je soustředěna v elektrickém poli mezi jeho elektrodami. Elektrickou energii připadající na objem jednotkové velikosti (1 m3) nazveme Hustota elektrické energie wel Pro deskový kondenzátor S 2 2 ε0 U 1 1 celková el. energie Eel CU 2 U ⎛ ⎞ d wel = = = = = ε0 ⎜ ⎟ = ε0E2 objem V 2 Sd 2 Sd 2 ⎝d⎠ 2
Odvozený vztah však platí nejen pro deskový kondenzátor, ale obecně pro libovolné elektrické pole, tzn. 1 wel = ε 0 E 2 2
KONDENZÁTOR S DIELEKTRIKEM Vložíme-li mezi desky kondenzátoru dielektrikum, kapacita vzroste εr krát
C = ε r C0 (veličina εr – relativní permitivita; εr ≥ 1, charakterizuje dané
dielektrikum) Např. pro deskový kondenzátor
S C = ε r ε 0 = ε r ⋅ C0 N d N
vakuum
C0
V prostoru vyplněném dielektrikem platí všechny zákony a vztahy elektrostatiky, pokud ε 0 nahradíme ε = ε 0ε r (ε - permitivita nebo absolutní permitivita). Intenzita pole bodového náboje:
1
Q E= 4πε 0ε r r 2
σ E= Intenzita elektrického pole nabité desky: 2ε 0ε r Důsledek: Intenzita elektrického pole uvnitř dielektrika je ε r -krát menší než ve vakuu Î dielektrikum zeslabuje vnější pole
E=
E0
εr
DIELEKTRIKA Co se děje v dielektriku při vložení do elektrického pole? Rozlišit: a) Polární dielektrikum b) Nepolární dielektrikum
Polární dielektrikum Molekuly polárního G dielektrika mají stálé elektrické dipóly (např. H2O). Ve vnějším poli E0 se molekuly natáčí ve směru vnějšího pole,
G G rostoucí vlastní pole souboru molekul E ′ působí proti vnějšímu G poli E0
E0
Orientace dipólů je tím úplnější, čím větší je elektrická intenzita a čím je teplota dielektrika nižší (neruší ji nahodilý tepelný pohyb).
Nepolární dielektrikum Bez vnějšího pole jsou jsou molekuly nepolárního dielektrika neutrální. Ve vnějším poli dochází k polarizaci molekul Î v dielektriku vzniká indukovaný povrchový náboj Î pole povrchového náboje
G G E ′ zeslabuje vnější pole E0 .
G G E0 ↑↓ E ′
Výsledné pole uvnitř dielektrika:
G G G E = E0 + E ′
⇒
E = E0 − E ′
GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY PRO DIELEKTRIKA a) Kondenzátor bez dielektrika:
G. z.
v∫
G Q G E0 ⋅ dS =
E0 S =
Q
ε0
E=
Q − Q′ 1 Q = εr N Sε 0 Sε 0
E0
E0
εr
v∫
G G Q − Q′ E ⋅ dS =
ε0
(S )
Q ⇒ E0 = Sε 0
Pro dielektrika platí:
E
G. z.
ε0
(S )
b) Kondenzátor s dielektrikem:
ES =
, dosadíme za
Q − Q′
ε0
⇒
Q − Q′ E= Sε 0
E0 a E ,
odtud dostaneme vztah Q − Q´=
Q
εr
Získaný vztah
Q − Q´=
Q
εr
můžeme také zapsat ve tvaru:
Q´= Q −
Q
εr
Rovnice ukazuje, že velikost indukovaného povrchového náboje Q´ • je menší než velikost volného náboje Q , Q ′ < Q , • je rovna 0, není-li přítomno dielektrikum, tj. je-li v rovnici bráno ε r =1. Pro kondenzátor s dielektrikem jsme napsali Gaussů zákon ve tvaru
v∫ (S )
G G Q − Q′ Q E ⋅ dS = po dosazení ze vztahu Q − Q´= získáme jeho všeobecně
ε0
εr
používaný tvar: Gaussův zákon elektrostatiky pro dielektrika
v∫ (S )
G G Q E ⋅ dS =
ε rε 0
nebo
G G ε 0 v∫ ε r E ⋅ dS = Q (S )
Zahrneme-li výraz ε r do integrandu lze řešit i obecné případy, kdy ε r není na Gaussově ploše konstantní.
Zavedeme novou veličinu.G G Vektor ε 0ε r E , označíme D a nazveme Elektrická indukce. G G ε 0ε r E = D . Uvážíme-li, že
v∫ (S )
G G Q E ⋅ dS =
ε rε 0
lze přepsat na
G G r ε 0 E ⋅ dS = Q v∫ εN G
(S )
D
můžeme Gaussův zákon elektrostatiky pro dielektrika psát ve tvaru G G v∫ D ⋅ dS = Q (S )
kde Q je celkový volný náboj, který je plochou S obklopen. Indukovaný (vázaný) náboj Q′ není v této rovnici obsažen. Jeho vliv na elektrické pole je již započten zavedením relativní permitivity na levé straně rovnice.
