1
2
Obsah Předmluva ...........................................................................
4
1. Elektrostatika 1.1. Elektrostatické pole ve vakuu ...................................... 1.2. Elektrostatické pole v dielektriku ................................. 1.3. Kapacita. Kondenzátor .................................………… 1.4. Energie elektrostatického pole .....................................
5 19 22 26
2. Elektrický proud 2.1. Elektrický odpor, práce a výkon elektrického proudu ... 2.2. Elektrické obvody a sítě. Kirchhoffovy zákony ............. 2.3. Vedení elektrického proudu a kapalinách .....................
28 33 39
3. Magnetismus 3.1. Magnetické pole ve vakuu a v látkovém prostředí ........ 3.2. Elektromagnetická indukce ........................................... 3.3. Energie a silové účinky magnetického pole ..................
41 46 48
Výsledky ............................................................................... 51 Tabulky ................................................................................. 64 Literatura ............................................................................... 67
3
Předmluva Toto skriptum je určeno pro studenty učitelství fyziky, ale též pro posluchače neučitelských směrů jako pomůcka ke cvičením a přednáškám z obecné fyziky a k samostatnému domácímu studiu. Úvodní kurz fyziky představuje obtížnou část studia. Výběr úloh je proto proveden tak, aby jejich řešení pomohlo studentům k hlubšímu pochopení přednášené látky. První část skript tvoří zadání úloh. U náročnějších úloh nebo u úloh, na nichž lze ukázat metodiku řešení fyzikálních problémů, je ve skriptu uveden rozbor a úplné řešení. Pro jednodušší orientaci v textu jsou některé klíčové fyzikální pojmy vyznačeny tučně. Označují zpravidla skupinu úloh, které po nich následují a které se vztahují k danému tématu, označenému klíčovým slovem. Ve druhé části jsou výsledky úloh. Podle předpokládané obtížnosti jsou u jednodušších příkladů uvedeny pouze výsledky, u obtížnějších úloh je návod, který má ukázat cestu k řešení. Na konci skript jsou pak zařazeny tabulky vybraných fyzikálních a materiálových konstant. Závěrem bych chtěla poděkovat recenzentům Doc. RNDr. E. Vavřincovi,CSc. a Doc. RNDr. D. Novotnému,CSc. Za cenné rady patří můj dík též RNDr. J. Pavlíkovi, CSc. Doufám, že předložená skripta se stanou dobrou pomůckou posluchačům a budou je provázet během celého jejich studia. Ústí nad Labem 17.11. 1999
E. Hejnová
4
1. Elektrostatika 1.1. Elektrostatické pole ve vakuu 1.1.1 Dvě stejné částice, jejichž rozměry můžeme zanedbat, jsou nabity náboji rovnými náboji elektronu. Jakou hmotnost by tyto částice musely mít, aby přitažlivá gravitační síla působící mezi nimi byla v rovnováze se silou elektrostatickou? Kolikrát by tato hmotnost byla větší než hmotnost elektronu? 1.1.2 Jak velké stejné náboje musíme umístit do středu dvou homogenních koulí, z nichž každá má hmotnost rovnou hmotnosti Země (Mz = 6.1024 kg), aby gravitační a elektrostatická síla byly v rovnováze? 1.1.3 Porovnejte elektrickou odpudivou a gravitační přitažlivou sílu dvou elektronů. 1.1.4 Dvě kuličky zanedbatelného průřezu jsou od sebe vzdáleny 1 m. Jedna z nich je nabita nábojem +1.10-3 C, druhá nábojem –3.10-3 C. a) Jak velkou silou se budou kuličky přitahovat? b) Jak velkou silou na sebe budou působit, jestliže se před umístěním do předepsané vzdálenosti kuličky dotkly? 1.1.5 Dva stejné náboje, uložené na malých kuličkách, které jsou od sebe vzdálené 10 cm, působí na sebe ve vakuu silou 4,9.10-6 N. Vypočtěte velikost nábojů. 1.1.6 Dvě stejné kapky jsou nabity náboji rovnými náboji elektronu. Jaké jsou poloměry kapek, je-li síla elektrického odpuzování stejně veliká jako gravitační síla, kterou se přitahují? 1.1.7 V Bohrově modelu vodíkového atomu obíhá elektron po kruhové dráze kolem protonu. Je-li poloměr dráhy 5,28.10-9 cm, vypočtěte: a) kolikrát oběhne elektron kolem jádra za sekundu, b) jaká je jeho postupná rychlost. 1.1.8 Ve vzdálenosti l od sebe jsou pevně umístěné dva kladné náboje Q a 4Q. Kde na spojnici mezi oběma náboji je třeba umístit třetí náboj Q´, aby výsledná síla, která na něj působí, byla nulová?
5
1.1.9 Dva hmotné body, každý o hmotnosti m = 1 g, jsou v gravitačním poli s tíhovým zrychlením g = 9,81 m.s-2 zavěšeny na nehmotných závěsech délky l = 1 m. Tyto hmotné body se po nabití stejnými náboji rozestoupí na vzdálenost r = 5.10-2 m. Jak velký náboj nese každý hmotný bod ? 1.1.10 Dvě malé vodivé kuličky jsou zavěšeny na dlouhých nevodivých nitích na jednom háčku. Kuličky jsou nabity stejnými náboji a jsou od sebe vzdáleny r = 5 cm. Co se stane, když jedna z kuliček ztratí náboj? 1.1.11 Ve vrcholech čtverce o straně a jsou stejné náboje e. Jaký náboj Q musíme umístit doprostřed čtverce, aby síly působící na každý náboj byly rovny nule ? Je tato rovnováha stabilní? 1.1.12 V rozích rovnostranného trojúhelníka jsou umístěny stejné náboje Q. Jak velký náboj q musíme umístit do středu trojúhelníka, aby elektrické síly působící na náboje byly nulové? 1.1.13 Ve vrcholech A, B, C rovnoramenného trojúhelníka o základně d = 1 m, s pravým úhlem při vrcholu B, jsou umístěny el. náboje QA = +1 C, QC = - 0,1 C. Jaká musí být velikost náboje QB, aby výsledná síla, působící na náboj QC , směřovala rovnoběžně s úsečkou spojující body AaB? 1.1.14 Jaká je intenzita el. pole v bodě ležícím uprostřed mezi náboji o velikosti Q1 = 1.10-3 C a Q2 = 3.10-3 C ? Tyto náboje jsou od sebe vzdáleny 1 m. Řešení: Výslednou intenzitu nalezneme jako vektorový součet intenzit elektrického r r r pole od jednotlivých nábojů E = E1 + E 2 , tedy r E=
Q1 r 1 Q2 r .r + . .r2 . 3 1 4πε 0 r1 4πε 0 r23 r r Veličiny r1 resp. r2 jsou vektory mající velikost a směr spojnice náboje Q1 1
.
resp. Q2 a místa, v němž zjišťujeme intenzitu pole. Oba tyto vektory leží na jedné přímce, jsou stejně veliké ( r1 = r2 = 0,5 m), mají však opačný směr. r r Pomocí jednotkového vektoru n , který má stejný směr jako vektor r2 , r r můžeme vektory r1 , r2 vyjádřit ve tvaru r r r r r1 = −r1 n , r2 = r2 n .
6
Předchozí vztah pak můžeme psát ve tvaru r E=
1 Q1 Q2 r -1 r − 2 + 2 n = 7,19.10 7 n V.m 4πε 0 r1 r2
1.1.15 Najděte v místě A ve vakuu velikost intenzity el.pole buzeného dvěma bodovými el. náboji Q1 = - 4.10-7 C a Q2 = 5.10-7 C. Jejich vzájemná poloha a poloha vzhledem k bodu A je zřejmá z obr. 1.1.
Obr. 1.1 Řešení: Pro celkovou intenzitu el. pole v místě A je možné psát r r r E = E1 + E 2 , r r kde E1 a E 2 jsou příspěvky jednotlivých nábojů k celkové intenzitě pole. Pro absolutní hodnotu celkové intenzity E je možno vhledem k označení na obr. 1.1 psát E = E12 + E 22 − 2 E1 E 2 cos α
Úhel α můžeme určit ze vztahu
r 2 = r12 + r22 − 2r1 r2 cos α ,
r12 + r22 − r 2 40 2 + 30 2 − 50 2 = = 0, takže cos α = 2r1 r2 2.40.30
z čehož vyplývá, že α = 90° . Tedy E = E12 + E 22 . Jestliže E1 = 22,5.103 V.m-1 a E2 = 49,9.103 V.m-1, je E = 54,7.103 V.m-1. 1.1.16 Dva bodové náboje Q1 = 8 µC, Q2 = 5 µC jsou ve vzdálenosti d = 20 cm. a) Ve kterém místě na jejich spojnici se intenzita el. pole rovná nule? b) Ve kterém místě na jejich spojnici jsou potenciály, buzené oběma náboji, stejné?
7
1.1.17 Ve dvou bodech vzdálených od sebe d = 1 m jsou umístěny náboje Q1 = +3C a Q2 = -1C. Na spojnici těchto nábojů je umístěn náboj q = +0,1C. Kde musí být tento náboj umístěn, aby na něj nepůsobila žádná síla? Určete intenzitu el. pole v tomto bodě. 1.1.18 Dva stejně velké bodové náboje opačného znaménka jsou ve vzdálenosti l od sebe. Jaká je velikost intenzity el. pole v bodě, který je ve vzdálenosti r1 od prvého a ve vzdálenosti r2 od druhého náboje? 1.1.19 Jaká je velikost intenzity el. pole uprostřed šestiúhelníku o straně a, v jehož vrcholech je umístěno: a) šest stejně velkých nábojů téhož znaménka, b) šest stejně velkých nábojů, z nichž tři jsou kladné a tři záporné? 1.1.20 Izolovaná kulička o poloměru R = 2 cm je umístěna daleko od ostatních předmětů a je nabita na potenciál 4 500 V. Určete a) náboj kuličky, b) intenzitu těsně při povrchu kuličky, c) intenzitu ve vzdálenosti r =28 cm od povrchu kuličky. Poznámka k příkladům týkajících se výpočtu el. potenciálu: Ve všech úlohách, pokud není řečeno jinak, uvažujte potenciál v nekonečnu za nulový. 1.1.21 Jak velké je napětí mezi dvěma body A a B, které jsou v elektrostatickém poli náboje Q = 5.10-7 C, a to tak, že bod A je od náboje Q vzdálený 2 cm a bod B 10 cm v tom samém směru? 1.1.22 Z vodivé mýdlové bubliny o poloměru r = 2 cm a nabité na potenciál ϕ = 10 kV vznikne po prasknutí kapka vody o poloměru r1 = 0,5 cm. Jak velký je potenciál kapky ϕ1 ? 1.1.23 Jak velký musí být poloměr koule, aby na ní bylo možno umístit náboj 1 C bez toho, aby vzniklo sršení ? ( Maximální intenzita pole, při které ještě nevznikne sršení ve vzduchu, je 25 kV. cm-1.) 1.1.24 Vypočtěte potenciál na povrchu Země a náboj Země, jestliže intenzita elektrického pole těsně nad povrchem Země má hodnotu E = 110 V.m-1 a je-li poloměr Země Rz = 6 378 km.
8
1.1.25 Osm kapek vody se slije do jedné větší kapky. Určete potenciál této kapky, když každá menší kapka měla poloměr r = 1 mm a náboj Q = 10-10 C. 1.1.26 27 rtuťových kapiček o poloměru r = 1 cm, z kterých každá má el. náboj Qr = 1.10-4 C, se slily v jednu kapku o poloměru R. Vypočtěte velikost el. potenciálu ϕr na povrchu kapiček před jejich slitím, náboj QR a el. potenciál ϕR kapky. 1.1.27 Jaká je tíha vodivé koule o průměru 2r = 1 m, která má záporný potenciál hodnoty ϕ = 106 V a která se v určitém místě zemského elektrického pole, kde intenzita pole má hodnotu E = 104 V.m-1, právě vznáší ve vakuu? Předpokládejte, že koule se nachází v blízkosti zemského povrchu. 1.1.28 Vypočítejte celkový náboj Země a plošnou hustotu náboje na jejím povrchu, jestliže gradient potenciálu el. pole zemského ovzduší je na povrchu Země 100 V.m-1 a jestliže poloměr Země je 6 378 km? 1.1.29 Poměr velikostí dvou bodových nábojů různých znamének je n, vzdálenost obou nábojů je a. Dokažte, že pro zadanou soustavu nábojů existuje nulová ekvipotenciální plocha, jejíž body mají konečnou vzdálenost od obou nábojů. Vyšetřete tvar této ekvipotenciální plochy. 1.1.30 El. pole je buzeno nábojem Q = 1 µC , který je rovnoměrně rozložen po kruhové desce o poloměru R = 10 cm. Vypočítejte potenciál a intenzitu el. pole na rotační ose této desky ve vzdálenosti a = 20 cm od jejího středu. Řešení: x
r
dr
R dx r dS
A a
a0
z
y Obr. 1.2
9
Jestliže se v tomto případě jedná o elektrické pole v okolí elektrického náboje, který je spojitě rozložený po povrchu vodiče, budeme potenciál počítat podle vztahu ϕ=∫
1 4πε 0
.
σdS r
,
kde σ je plošná hustota náboje a v našem případě pro ni platí vztah σ =
Q . πR 2
Vzhledem k symetrii úlohy zvolíme pravoúhlou soustavu souřadnic (O; x,y,z) s počátkem O ve středu disku a s osou z kolmou na rovinu disku. Plošný element dS můžeme v tomto případě (viz obr.1.2) vzhledem k osové symetrii rozložení nábojů uvažovat ve tvaru mezikruží šířky dr, takže dS = 2πr dr. Pro potenciál v místě A je možné psát Q .2πr 2 Q R π . dr = ϕ =∫ 4πε 0 r 2πε 0 R 2 0 R
1
R
∫ 0
r z +r 2
2
dr =
Q 2πε 0 R
2
[z
2
+ r2
]
R
0
=
Q 2πε 0 R
2
(z
2
+ R2 − z
(Návod: pro výpočet integrálu použijte substituce t = z2+r2.) Po dosazení číselných hodnot dostaneme pro z = a , že ϕ = 4,25.104 V Intenzitu elektrického pole zjistíme pomocí vztahu r ∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ E = − gradϕ = − i+ j+ ∂y ∂z ∂x
r k .
Protože v našem případě je intenzita pole v místě A pouze funkcí proměnné z, je možné psát r ∂ϕ r E=− a0 ∂z
r
kde a0 je jednotkový vektor ve směru osy z. Platí tedy r E=−
1 r 2.z a0 . − 1 2πε 0 R 2 2 R 2 + z 2 Q
tj. pro z = a r E=
a 1 − 2πε 0 R R2 + a2 Q
2
r a0 = 1,899.10 5 ar0 V.m-1.
1.1.31 Na kulovém vodiči s poloměrem R = 10 cm je el. náboj Q = 60 µC. Najděte poloměry ekvipotenciálních hladin el. pole, buzeného tímto nábojem, jestliže potenciály těchto hladin se od sebe liší o 105 V, považujeme-li za první ekvipotenciální hladinu povrch vodiče.
10
)
1.1.32 Mezi dvěma rovnoběžnými vertikálními deskami vzdálenými od sebe d = 0,5 cm se nachází elektricky nabitá kapička hmotnosti m = 10-9 g. Když desky nabijeme na rozdíl potenciálů U = 400 V, volně puštěná kapička padá pod úhlem α = 7°25′ vzhledem k vertikále. Určete náboj kapičky. 5 3
1.1.33 Kulička o hmotnosti m = 10 g je el. nabitá nábojem Q = .10 −9 C. S jakým zrychlením se bude tato kulička pohybovat v homogenním el. poli s intenzitou E = 300 V.cm-1 ? Tíhové pole neuvažujte. σ
1.1.34 Jsou dané tři paralelní roviny A,B,C (viz obr.1.3). Rovina A je uzemněná, rovina B ve vzdálenosti a od roviny A je nenabitá a rovina C ve vzdálenosti b od roviny A je nabitá plošným nábojem σ. Roviny jsou vodivé. Vypočítejte potenciály rovin B a C.
C B
a b A
Obr. 1.3 1.1.35 Tři paralelní vodivé roviny A,B,C jsou umístěné podle obr. 1.4. Na rovině B je plošný náboj σ. Roviny A a C jsou vodivě spojené a nenabité. Určete plošné náboje na vnitřních plochách rovin A a C.
A d1
σ
B
d2 C
Obr.1.4 Řešení: Platí (viz obr. 1.5) E1 d1 = E 2 d 2 E1 + E 2 =
z čehož plyne E1 =
σd 2
ε 0 (d1 + d 2 )
=−
σ , ε0
σA σd 1 σ , E2 = =− B, ε0 ε 0 (d1 + d 2 ) ε0
11
kde σA a σB jsou plošné náboje na rovinách A a B, takže σA =−
σd 2 d1 + d 2
,σ B = −
σd 1 d1 + d 2
.
A d1
σ
E1 B E2
d2
C
Obr. 1.5 1.1.36 Dva bodové náboje A,B jsou ve vzdálenosti 30 cm, první náboj má velikost
8 .10-7 C, druhý –10-7 C. 3
a) Jaký je potenciál v bodě D, který je ve vzdálenosti 10 cm od B a 20 cm od A? b) Jaký je potenciál v bodě C, který je ve vzdálenosti 5 cm od A a 25 cm od B? c) Jak velká práce se vykoná, přenese-li se náboj
5 .10-8 C z bodu D do bodu 3
C? 1.1.37 Středy dvou vodivých koulí A, B, z nichž každá má poloměr 10 cm, jsou ve vzdálenosti 1 m. Koule A má náboj 3.10-8 C a koule B náboj -6.10-8 C. Vypočtěte napětí mezi koulemi, nepřihlížíme-li ke změně rozdělení náboje na koulích vlivem přitažlivých sil. 1.1.38 Každá ze dvou vodivých koulí o poloměrech 1 cm a 2 cm má náboj 10-8 C. Vzdálenost středů koulí je 1 m. Jaký bude konečný náboj a potenciál každé z nich, jsou-li spojeny tenkým drátkem ? 1.1.39 Na vodivé kouli A o poloměru 1 cm je rovnoměrně rozložen náboj 10-8 C. Vedle ní se nachází vodivá koule B o poloměru 10 cm, která neobsahuje žádný náboj. Obě koule spojíme tenkým drátkem, takže vzdálenost středů koulí je 50 cm. Určete a) náboje obou koulí, b) plošnou hustotu náboje na obou koulích. 1.1.40 Vypočtěte intenzitu el. pole v bodě M, který je ve vzdálenosti a od přímky rovnoměrně nabité s lineární hustotou náboje τ.
12
Řešení: dEy1 dE y2 dE1 dE 2 dE x1 r
dx
α α dE x2 a
r
0
dx
x
Obr. 1.6
Nekonečně dlouhá přímka je rovnoměrně nabita (viz obr. 1.6). Abychom vypočítali intenzitu elektrického pole v bodě M ve vzdálenosti a od přímky, zvolíme souřadný systém tak, že osu x zvolíme ve směru přímky a osu y tak, aby procházela daným bodem M.Vzdálenost bodu M od osy y je a. Je-li τ náboj připadající na délkovou jednotku přímky, bude na délkovém elementu r dx náboj dQ = τ.dx. Intenzitu pole dE1 náboje dQ v bodě M rozložíme do r r složek dE y1 a dE x1 rovnoběžných s osami souřadnic. Ke zvolenému délkovému elementu dx existuje vzhledem k počátku element souměrně r r ležící, jehož náboj vyvolá v bodě M pole o intenzitě dE 2 , resp. složkách dE x 2 r r r a dE y 2 . Složky dE x1 a dE x 2 jsou stejně veliké, mají opačný směr a vzájemně se r r r ruší. Výsledné pole dE je dáno součtem stejně velkých složek dE y1 a dE y 2 , takže dostaneme dE = 2dE1 cos α . Náboj dQ lze považovat za bodový, takže dE1 má velikost dE1 =
po dosazení za r =
1 τdx
4πε 0 r 2
;
a dostaneme cos α
τ cos 3 α dE = 2 dx. 4πε 0 a 2
Intenzita pole je pak dána vztahem E=
τ ∞ cos 3 α dx. ∫ 2πε 0 0 a 2
Integrál vypočteme, zvolíme-li novou integrační proměnnou α a použijeme-li vztahů x = a.tgα , dx = E=
a π dα . Integrujeme-li v mezích od 0 do , dostaneme 2 2 cos α
τ τ τ ∞ cos 3 α τ π /2 π /2 dx = cos . d = [ sin ] = . α α α ∫ ∫ 0 2πε 0 0 a 2 2πε 0 a 0 2πε 0 a 2πε 0 a
13
Vektor intenzity elektrostatického pole nekonečně dlouhé nabité přímky má směr k ní kolmý a jeho velikost klesá nepřímo úměrně se vzdáleností od přímky. 1.1.41 Náboj q = –5. 10-9 C je rovnoměrně rozložen po kružnici o poloměru R = 10 cm. 1) Vypočítejte intenzitu elektrického pole buzeného tímto nábojem a) ve středu kružnice, na které je náboj rozložen, b) v bodě ležícím na ose této kružnice ve vzdálenosti x od středu kružnice. 2) Určete vzdálenost xo na ose kružnice, ve které je intenzita elektrického pole maximální. Jaká je intenzita v této vzdálenosti ? Řešení: 1a) E = 0 1b) Délková hustota náboje na kružnici je τ=
dl dα
q = −8.10 −9 C.m −1 . 2πR
q
Každé dva elementy dl nacházející se na průměru kružnice podle obr. 1.7 vytvoří v bodě P osovou intenzitu pole (směřující do středu kružnice) dE = 2
1 τ .dl
4πε 0 ρ 2
ρ
..
ϕ dE dE 1 P ϕ
x
dE2
R dl
cos ϕ =
1
Obr. 1.7
τR.dα
2πε 0 R 2 + x 2
cos α =
τR x.dα 2πε 0 R 2 + x 2
(
)
3/ 2
.
Integrací posledního výrazu od 0 do π dostaneme výraz pro velikost intenzity pole v bodě P ( ve vzdálenosti x od středu kružnice) ve tvaru E=
1
(
qx
4πε 0 R 2 + x 2
)
3/ 2
.
∂E 2) Velikost intenzity je maximální ve vzdálenosti x = x0, kde
∂x x = x0
=0 a
∂2E < 0. 2 ∂x x = x
zároveň
0
Pro první derivaci platí
14
(
R 2 + x 02 R 2 − 2 x02
q ∂E = ∂x x = x0 4πε 0
(R
2
+ x02
)
3
) = 0.
Z posledního výrazu plyne pro x0 hodnota x0 =
R 2
= 7,1.10 −2 m.
Výpočtem druhé derivace se přesvědčíme, že ve vzdálenosti x0 intenzita nabývá svého maxima, pro které platí Emax =1,73.103 V.m-1 . 1.1.42 Vypočítejte průběh intenzity elektrického pole vně i uvnitř homogenně nabité koule o poloměru R. Celkový náboj koule je Q. Při výpočtu použijte Gaussovy věty. Řešení: U některých vodičů s velkou symetrií, na kterých je náboj rovnoměrně rozložen, můžeme předem odhadnout tvar silokřivek. V těchto případech je výhodné použít k výpočtu intenzity pole E Gaussovy věty, podle které je tok intenzity pole uzavřenou plochou S roven 1/ε0 –násobku náboje Q uvnitř plochy r r Q N = ∫ E.dS = .
ε0
(S )
Plochu, přes kterou počítáme tok intenzity el. pole, volíme tak, aby části této plochy byly buď kolmé na silokřivky nebo byly s nimi rovnoběžné. V těchto případech je výpočet toku intenzity jednoduchý, neboť tok plochou rovnoběžnou se silokřivkami je nulový. Pokud je na ploše kolmé k siločarám intenzita el. pole konstantní, je tok touto plochou roven N = ES. U nabité koule lze z důvodů symetrie předpokládat, že siločáry budou mít tvar polopřímek vycházejících ze středu koule. Plochu, kterou počítáme tok intenzity, proto volíme jako soustřednou kulovou plochu poloměru r procházející bodem, v němž chceme spočítat intenzitu. Na této ploše bude mít zřejmě intenzita konstantní velikost. Tok intenzity bude roven N = ES = 4πr 2 E =
q
ε0
,
kde q je náboj uvnitř plochy. Pokud R < r , bude q = Q, takže E=
1
Q . 4πε 0 r 2
15
Pro r < R bude q = Q
r3 , takže R3 E=
1
Q r. 4πε 0 R 3
Intenzita vně rovnoměrně nabité koule bude stejná, jako by náboj byl umístěn v jejím středu. Uvnitř koule roste intenzita přímo úměrně vzdálenosti od středu. 1.1.43 Určete pomocí Gaussovy věty intenzitu pole následujících nabitých ploch: a) nekonečně dlouhé válcové plochy poloměru R s plošnou hustotou náboje σ, b) kulové plochy o poloměru R, c) roviny, d) dvou rovnoběžných souhlasně nabitých rovin. 1.1.44 Považujte atomové jádro za rovnoměrně nabitou kouli. Zjistěte, jak závisí velikost intenzity el. pole buzeného uvnitř jádra na vzdálenosti od jeho středu. Zjistěte, kde nabývá intenzita svého maxima a vypočtěte jeho hodnotu. Poloměr jádra R = 1,5.10-15. A1/3 m, náboj Q = Ze (A – atomová hmotnost, Z – atomové číslo, e – elementární náboj). 1.1.45 Dva bodové náboje o velikosti +Q a -Q jsou umístěny ve vzájemné vzdálenosti 2a. Vypočítejte velikost toku N intenzity el. pole kruhovou plochou o poloměru R, jejíž střed leží v poloviční vzdálenosti nábojů a kruhová plocha je kolmá na spojnici nábojů. 1.1.46 Velká svislá deska je rovnoměrně nabita nábojem o plošné -2 hustotě σ = 3.10-5 C. m . V jednom bodě desky je upevněno hedvábné vlákno, na němž visí kulička o hmotnosti m = 1 g. Jaký náboj nese kulička, o svírá-li vlákno s rovinou desky úhel ϕ = 30 ? 1.1.47 Rovina je rovnoměrně nabita elektrickým nábojem s plošnou hustotou σ. Ve středu roviny je kruhový otvor, jehož poloměr a je malý ve srovnání s rozměry roviny.Vypočtěte velikost intenzity elektrického pole E v bodě, který leží na kolmici k výše uvedené rovině, přičemž kolmice prochází středem otvoru a bod je ve vzdálenosti b od roviny. 1.1.48 Při přenosu velkých elektrických výkonů koaxiálním kabelem je potřeba volit poloměry válcových vodičů kabelů tak, aby při daném rozdílu jejich potenciálů U na kabelu, bylo elektrické pole na povrchu vnitřního
16
vodiče minimální. Jaký máme zvolit poloměr a vnitřního vodiče v koaxiálním kabelu, aby při konstantním poloměru pláště b a konstantním napětí U na kabelu byla intenzita elektrického pole na povrchu vnitřního vodiče E(a) minimální. 1.1.49 Vypočítejte intenzitu elektrického pole mezi dvěma souosými válcovými plochami, prakticky nekonečně dlouhými, s kruhovým průřezem, vnitřním poloměrem ro a vnějším poloměrem Ro, jestliže vnitřní válec je nabitý na potenciál ϕo a vnější válec je uzemněný. 1.1.50 Dva dlouhé tenké vodiče, uložené rovnoběžně ve vzdálenosti d od sebe, jsou nabity rs lineární hustotou náboje +λ a -λ ( λ = konst). Určete intenzitu el. pole E v bodě, který leží v rovině symetrie vodičů ve vzdálenosti x od roviny, v níž leží vodiče. 1.1.51 Ve vzdálenosti r = 4 mm od přímého drátu délky l = 150 cm, na kterém je rovnoměrně rozložen náboj Q = 0,2 µC, je zrníčko prachu s nábojem Q´=
5 .10-16 C. Vypočítejte sílu, která působí na zrníčko. Změnu 3
rozložení náboje na drátu vlivem přítomnosti prachového zrnka zanedbejte. 1.1.52 Najděte vztah vyjadřující intenzitu el. pole v okolí el. dipólu o r momentu pr = Ql . Při výpočtu předpokládejte, že vzdálenost místa, v němž počítáme intenzitu pole od středu dipólu, je mnohem větší než délka l dipólu.
Řešení:
r2
r1
r
α-Q
α l
α+ +Q
Obr. 1.8
17
Elektrické pole v okolí dipólu je vlastně výsledným polem v okolí dvou nábojů. Můžeme proto pro potenciál v místě A psát (viz obr. 1.8)
ϕ=
Q 4πε 0 r2
−
Q 4πε 0 r1
Q
=
4πε 0
.
r1 − r2 r1r2
(1)
Pokud předpokládáme, že r1,r2 >> l, můžeme s dostatečnou přesností psát r1 .r2 = r 2 , r1 - r2 = l cos α , (2) α+ ≅ α− ≅ α , r r r r kde α je úhel, který svírají vektory l a r , a tedy i vektory p a r . Po dosazení (2) do (1) dostáváme
Ql cos α p cos α = . 4πε 0 r 2 4πε 0 r 2 rr Vzhledem k tomu, že skalární součin p.r = pr cos α , můžeme předchozí výraz
ϕ=
psát ve tvaru ϕ=
1
.
rr p.r
4πε 0 r 3
.
Intenzita elektrického pole v určitém místě souvisí s potenciálem elektrického r pole v tom samém místě podle vztahu E = − gradϕ , takže je možno psát r E = − gradϕ = − grad
rr p.r . 4πε 0 r 3
Po dosazení dostaneme
r rr r r rr r r 3r 1 1 3( p.r )r p 1 3( p.r )r r r r r − E = − p.r − .p = − 3= − p = 5 3 4πε 0 r 5 r 4πε 0 r 3 r 2 4πε 0 r 4πε 0 r rr r r 1 3 p.r 0 r 0 − p . = 4πε 0 r3
(
)
Pozn: vzorec platí přesně pro tzv. elementární dipól, který vznikne z konečného dipólu limitním přechodem l → 0, Q → ∞ tak, že součin Ql je konečný. 1.1.53 Najděte výraz pro velikost intenzity el. pole el. dipólu, jehož moment má velikost p, ve vzdálenosti r (vzdálenost od středu dipólu) a) ve směru dipólového momentu (tzv. 1. poloha), b) ve směru kolmém na dipólový moment (tzv. 2. poloha) . Předpokládejte, že r >> l.
18
1.1.54 El. dipól délky 10 cm má náboj 12.10-9 C. Určete intenzitu v bodech A, B, C (viz obr. 1.9). y
C
B
10 cm
Cl
10 cm
p
H
B 4 cm
-
A 4 cm
A
x
+
Obr. 1.9
Obr. 1.10
1.1.55 Molekula kyseliny solné je umístěna v počátku souřadnic tak, že osa H-Cl je totožná s osou y (viz obr. 1.10). Jaký je směr a velikost intenzity el. pole v bodě A na ose x ve vzdálenosti 10-9 m a v bodě B na ose y ve stejné vzdálenosti od počátku souřadnic? Dipólový moment molekuly HCl je 3,44.10-30 C.m a směřuje od Cl k H. Počátek souřadného systému je zvolen v těžišti dipólového momentu. Předpokládáme, že vzdálenost bodu A od těžiště dipólového momentu je podstatně větší, než jsou rozměry molekuly. 1.1.56 Molekulu vody můžeme považovat za dipól, jehož el. moment je 6,2.10-30 C.m. Vypočtěte: a) délku dipólu za předpokladu, že tento dipól se skládá z kladného a záporného náboje stejné absolutní hodnoty jako náboj e, b) intenzitu el. pole vzbuzeného dipólem ve vzdálenosti 3.10-7 cm od středu dipólu pro 1. a 2. polohu, c) největší sílu, kterou na sebe vzájemně působí molekula vody a ion vodíku, který je od ní vzdálen 3.10-7 cm. Vzdálenost mezi molekulami je 5.10-8 cm. 1.1.57 Vypočítejte velikost intenzity homogenního el. pole, které působí na el. dipól s momentem o velikosti p = 2.10-10 C.m dvojicí sil, kterých moment má hodnotu D = 2.10-7 N.m. 1.2 Elektrostatické pole v dielektriku 1.2.1 Dvě kuličky nabité náboji Q1 = - 0,1.10-5 C, Q2 = - 0,1.10-6 C o hmotnostech m1 = m2 = 1 g jsou zavěšeny na nitích o délce l = 0,2 m, které
19
svírají úhel α = 45°. Vypočtěte relativní permitivitu prostředí εr , ve kterém se kuličky nacházejí. 1.2.2 Dva bodové náboje ve vakuu působí na sebe ze vzdálenosti 11 cm stejnou silou jako v terpentýnu ze vzdálenosti 7,4 cm. Určete relativní permitivitu terpentýnu. 1.2.3 Dvě stejné kuličky o hmotnosti m a poloměru R jsou nabité náboji Q a zavěšené na nitích stejné délky. V důsledku odpudivé síly mezi náboji se kuličky rozestoupí tak, že nitě svírají úhel ϕ. Tento systém nábojů je ponořený do dielektrické kapaliny s hustotou ρ a permitivitou εr. Jaká musí být hustota kapaliny, aby se úhel ϕ mezi nitěmi po ponoření kuliček do kapaliny nezměnil ? 1.2.4 Dvě kovové kuličky mají stejný poloměr R = 1 cm a stejný náboj Q = 4.10-9 C, jedna kulička je ponořena do nádobky s olejem (εr = 3), druhá je ve vzduchu. Jak velké budou náboje na kuličkách, spojíme-li je tenkým drátkem? Poznámka k příkladům 1.2.5 až 1.2.8: okrajové jevy zanedbáváme. 1.2.5 Desky kondenzátoru mají vzdálenost d = 5 mm a velikost S = 2 m2. Kondenzátor je nabit na napětí U0 = 10 000 V. Mezi desky se pak vsune vrstva dielektrika o relativní permitivitě εr = 5. Vypočtěte: a) el. indukci v dielektriku, b) el. intenzitu v dielektriku, c) napětí na kondenzátoru, d) kapacitu kondenzátoru. 1.2.6 Vypočítejte hustotu polarizačních nábojů na povrchových rovinách slídové destičky ( εr = 6) o tloušťce d = 2 mm, která je izolátorem v rovinném kondenzátoru nabitém na U = 400 V. 1.2.7 Dvě rovnoběžné desky o ploše S = 1 m2 mají stejné náboje Q = 30 µC opačného znaménka. Prostor mezi nimi je vyplněn vrstvou dielektrika o relativní permitivitě εr = 1,7. Vypočítejte : a) el. intenzitu v dielektriku, b) plošnou hustotu polarizačního náboje na plochách dielektrika, c) složku el. intenzity v dielektriku pocházející od volného náboje, d) složku intenzity pocházející od polarizačního vázaného náboje.
20
1.2.8 Dvě destičky o plochách S = 2 dm2 jsou ponořeny do petroleje ve vzdálenosti d = 4 mm od sebe. Určete sílu, kterou na sebe působí, je-li mezi nimi napětí U = 150 V. 1.2.9 Kulový kondenzátor je tvořen kovovými kulovými plochami o poloměrech r1 = 2 cm a r2 = 6 cm. Na vnější straně vnitřní koule je vrstva vosku o tloušťce d = 3 cm (εr1 = 2) a zbývající prostor je vyplněn kapalinou o relativní permitivitě εr2 = 4,2. a) Určete kapacitu kondenzátoru. b) Vypočtěte energii kondenzátoru, je-li na něm napětí U = 3 000 V. 1.2.10 Vzduchový válcový kondenzátor h = 1 m vysoký má kapacitu C0 = 5.10-11 F a je ve svislé poloze připojen přes galvanometr na baterii o napětí U = 1 000 V. Kondenzátorem stoupá rovnoměrně zdola destilovaná voda rychlostí v = 10 cm.s-1. a) Určete náboj na deskách kondenzátoru, vystoupá-li voda do poloviny jeho výšky? b) Jaký proud ukazuje galvanometr při stoupání vody ? 1.2.11 Mezera mezi deskami rovinného kondenzátoru široká d = 1 mm je vyplněna deskou ze skla ( εr = 5). Plocha kondenzátoru je S = 200 cm2. Jak se změní energie kondenzátoru, vyjmeme-li skleněnou desku ? Úlohu řešte za těchto podmínek: a) kondenzátor je stále připojen ke zdroji elektromotorického napětí 300 V, b) kondenzátor byl původně připojen k témuž zdroji, potom odpojen a nakonec vytažena deska. 1.2.12 Deskový kondenzátor s dielektrikem je nabitý na jistý potenciální rozdíl U, přičemž jeho energie je 3.10-5 J. Na vyjmutí dielektrika z kondenzátoru je potřebné vynaložit práci 5.10-5 J. Jaká je relativní permitivita dielektrika ? 1.2.13 Deskový kondenzátor je ponořený do dielektrické kapaliny o hustotě ρ a permitivitě εr (obr. 1.11). Kondenzátor je udržovaný na napětí U. Vypočítejte výšku, do které vystoupí kapalina mezi desky kondenzátoru.
U d h
εr
ρ
Obr. 1.11
21
U
1.2.14 Vypočítejte sílu, kterou je vtahované dielektrikum o permitivitě εr mezi desky kondenzátoru (viz obr. 1.12). Na kondenzátoru je konstantní napětí U.
S εr
d
Obr. 1.12 1.3. Kapacita. Kondenzátor Poznámka k příkladům kapitoly 1.3: ve všech úlohách, pokud není řečeno jinak, předpokládáme, že se el. pole vytváří ve vakuu. 1.3.1 El. intenzita mezi dvěma rovnoběžnými deskami s opačnými náboji, z nichž každá má plochu 100 cm2, je 10 V.m-1. Určete náboj každé desky za předpokladu, že nepřihlížíme k účinku okrajů.
C1
1.3.2 Jaká je výsledná kapacita soustavy ( viz obr. 1.13)? Hodnoty kapacit jsou tyto: C1 = 6 µF, C2 = 2 µF, C3 = 3 µF, C4 = 3 µF,
C1
C1 C4
C3
C2 Obr. 1.13
1.3.3 Vzduchový kondenzátor s rovinnými deskami má kapacitu C0 = 10 pF a vzdálenost desek d = 1 cm. Do středu mezi desky vložíme plech tloušťky ∆ = 1 mm. Jaká bude nová kapacita celého zařízení? Okrajové jevy zanedbáváme. 1.3.4 Vypočítejte kapacitu válcového kondenzátoru výšky h = 20 cm s poloměry elektrod r1 = 3 cm, r2 = 4 cm, jestliže mezi elektrodami je vakuum. r1
Řešení:
R
Na výpočet kapacity potřebujeme nejprve zjistit napětí např.vnitřní (kladné) elektrody vzhledem k vnější. Toto napětí se rovná podílu
dR
r2 h
+Q
-Q E
Obr. 1.14
22
práce W, kterou musíme vykonat při přenesení velmi malého náboje Q´ proti silám tohoto pole, například z vnější na vnitřní elektrodu, a velikosti přenášeného náboje Q´. Je možné tedy psát r r r1 r1 W 1 1 r r 1 1 r r U= = F .dr = (− EQ´).dr = ∫ Edr = − ∫ E.dR Q´ Q´ r∫2 Q´ r∫2 r2 r2
r
protože intenzita pole a elementární vektor dr jsou opačného směru (viz obr. 1.14) a dr = -dR. Velikost intenzity elektrostatického pole dostaneme pomocí Gaussovy věty, podle které tok povrchem myšleného válce s poloměrem R se rovná podílu velikosti náboje uvnitř válce a permitivity okolního prostředí. Tedy Q
E.2πRh =
,
ε0
jestliže tok základnou válce vzhledem ke směru intenzity pole je nulový. Z toho E=
Q 2πε 0 Rh
.
Pro napětí potom dostáváme r1
U = ∫ − E.dR = r2
Q 2πε 0
r1
− h∫ r2
r dR Q = . ln 2 . R 2πε 0 h r1
Pro kapacitu válcového kondenzátoru tedy plyne C=
Q 2πε 0 h = = 38,7.10 −12 F . r2 U ln r1
1.3.5 Vypočítejte kapacitu kulového kondenzátoru vytvořeného dvěma soustřednými vodivými plochami s poloměry r1 a r2, jestliže je mezi nimi prostředí s permitivitou ε. Řešení: Postupujeme analogicky jako v příkladě s válcovým kondenzátorem, tedy velikost intenzity E určíme použitím Gaussovy věty. Můžeme psát π R 2 .E =
Q
ε
,
kde R je poloměr libovolné myšlené koule mezi kulovými elektrodami se společným středem. Napětí určíme podle vztahu r1
r1
r1
r2
r2
r2
U = ∫ − E.dr = ∫ E.dR = ∫ −
Q 1 Q 1 1 Q r2 − r1 − = . 2 dR = . , 4πε R 4πε r1 r2 4πε r1 .r2
23
neboť dr = - dR. Kapacita kulového kondenzátoru potom bude C=
rr Q = 4πε . 1 2 . U r2 − r1
1.3.6 Elektrody kondenzátoru jsou od sebe izolované porcelánovou deskou tloušťky 5 mm a vzduchovou vrstvou tlustou též 5 mm. Vypočtěte intenzitu el. pole ve vzduchu a v porcelánu ( εr = 6), jestliže potenciálový rozdíl elektrod je 10 kV. Jaké je napětí ve vzduchové vrstvě a porcelánové desce? 1.3.7 Dvě vodivé desky rovinného kondenzátoru jsou navzájem vzdálené d = 10,5 mm. Mezi tyto desky vložíme další kovovou desku tloušťky ∆ = 0,5 mm tak, že její rovina je s oběma předcházejícími deskami rovnoběžná a její vzdálenost od bližší desky kondenzátoru d1 = 4 mm. Jaký je potenciál kovové desky, jestliže potenciál bližší desky kondenzátoru ϕ1 = +50 V a potenciál druhé desky ϕ2 = - 60 V ? 1.3.8 Deskový kondenzátor se skládá ze dvou elektrod o obsahu S = 226 cm2, mezi nimiž je vzdálenost d = 0,4 mm. Prostor mezi elektrodami vyplňují dvě vrstvy dielektrika. Jedno z dielektrik, které vyplňuje polovinu objemu kondenzátoru, je charakterizováno relativní permitivitou εr1 a druhé, které rovněž vyplňuje polovinu objemu kondenzátoru, je charakterizováno relativní permitivitou εr2. Rozhraní povrchů dielektrik je kolmé na desky kondenzátoru. Vypočtěte kapacitu C kondenzátoru. 1.3.9 Jaká je kapacita kondenzátoru složeného z 20 vzájemně rovnoběžných desek, které jsou od sebe vzdálené d = 1 mm, jestliže každé dvě sousední desky se překrývají v plošném obsahu S = 20 cm2 ? 1.3.10 Baterie dvou za sebou spojených kondenzátorů ( C1 = 300 pF, C2 = 500 pF) je nabitá na napětí U = 12 000 V. Vypočítejte napětí na prvním a druhém kondenzátoru. 1.3.11 Dva stejné kondenzátory o kapacitě 1 µF jsou spojeny paralelně a připojeny na baterii o napětí 1 200 V. Po odpojení baterie jsou desky jednoho kondenzátoru oddáleny tak, že jeho kapacita klesne na polovinu. Vypočtěte: a) napětí na každém kondenzátoru, b) náboj na každém kondenzátoru.
24
1.3.12 Vzduchový kondenzátor se skládá ze dvou rovnoběžných blízkých desek a má kapacitu 1 000 pF. Náboj každé desky je 1 µC. a) Jaké je napětí mezi deskami? b) Je-li náboj stálý, jaké bude mezi nimi napětí, jestliže vzdálenost desek se zdvojnásobí? c) Jakou práci je nutno vykonat, aby bylo dosaženo zdvojnásobení této vzdálenosti? 1.3.13 Kondenzátor o kapacitě 20 µF je nabit na potenciální rozdíl 1 000 V. Desky kondenzátoru jsou připojeny ke svorkám nenabitého kondenzátoru o kapacitě 5 µF. Vypočítejte: a) původní náboj na soustavě, b) konečné napětí na každém kondenzátoru, c) konečnou energii soustavy, d) úbytek energie, když jsou kondenzátory spojeny. 1.3.14 Dva kondenzátory, jejichž kapacity C a C´ jsou v poměru k:1, byly spojeny za sebou a nabity na potenciální rozdíl U. Pak byly spojeny vedle sebe a bylo zjištěno, že na kondenzátor C přešel náboj q. Určete kapacity C a C´. 1.3.15 Elektron je vržen do homogenního el. pole mezi dvěma rovnoběžnými deskami počáteční rychlostí 107 m.s-1, která je kolmá ke směru pole (viz obr. 1.15). a) Určete velikost intenzity el. pole za předpokladu, že elektron vstupuje do pole v bodě ležícím uprostřed mezi deskami a vystupuje z pole právě u konce spodní desky. b) Jaká je rychlost elektronu při výstupu z pole? v - 0 1 cm 1.3.16 Elektron se pohybuje ve směru siločar homogenního pole, jehož 2 cm intenzita je 120 V.m-1. Jakou vzdálenost proletí ve vakuu, než se úplně zastaví, je-li jeho Obr. 1.15 počáteční rychlost 1 000 km.s-1? Jak dlouho při tom poletí?
25
1.3.17 Kolik elektronů obsahuje náboj kuličky o hmotnosti 10-11 g, jestliže je kulička udržována v rovnováze v rovinném kondenzátoru, jehož desky mají vzdálenost 5 mm a je mezi nimi napětí 76,5 V ? 1.3.18 Dvě rovnoběžné vodivé desky mají kladný náboj rovnoměrně rozložený po své ploše. Náboj jedné desky je 1 µC, náboj druhé desky je 2 µC. Plocha každé desky je 1 m2, jejich vzdálenost je 1,77 cm. Určete rozdíl potenciálů mezi deskami. 1.3.19 Jaký je třeba zvolit poloměr a vnitřní koule v kulovém kondenzátoru (poloměr vnější koule je b), aby při daném potenciálovém rozdílu U byla intenzita el. pole na povrchu vnitřní koule minimální? 1.3.20 Deskový kondenzátor je zaplněný dielektrikem, jehož permitivita se mění podle vztahu ε ( x ) =
ε 0 (x + a ) a
, kde a je vzdálenost desek a x je osa kolmá
na rovinu desek. Plocha každé desky je S. Vypočítejte kapacitu kondenzátoru. 1.4. Energie elektrostatického pole 1.4.1 Tři náboje –e, e, -e jsou umístěny na přímce v uvedeném pořadí ve stejné vzdálenosti a mezi sousedními náboji. Určete: a) sílu působící na každý náboj, b) elektrostatickou potenciální energii soustavy. 1.4.2 Najděte takové geometrické uspořádání jednoho protonu a dvou elektronů na přímce, aby potenciální energie soustavy byla nulová. 1.4.3 Vzduchový deskový kondenzátor, skládající se ze dvou desek s plošným obsahem S = 1 000 cm2, vzdálených od sebe d = 1 mm, nabijeme na potenciálový rozdíl U = 1 000 V. Jakou silou se přitahují tyto desky? 1.4.4 Kondenzátory C1 = 1 µF, C2 =10 µF jsou zapojeny do série. Na svorky kondenzátorové baterie připojíme napětí Uo = 200V. Jaká je energie každého z kondenzátorů? 1.4.5 Dvě desky kondenzátoru s plošným obsahem S = 500 cm2 a vzdálené od sebe d =1 cm jsou nabité na napětí U1 = 5 000 V. Jakou práci je třeba vykonat, jestliže chceme desky oddálit od sebe na vzdálenost d´= 4 cm ?
26
1.4.6 Rovinný vzduchový kondenzátor kapacity C1 = 500 pF je nabitý na napětí U1 = 5 000 V. Dielektrikum kondenzátoru tvoří deska z materiálu s relativní permitivitou εr = 5. Jaká práce je potřebná na odstranění této desky a jak se změní napětí na deskách kondenzátoru odstraněním izolační desky z kondenzátoru ? 1.4.7 Kondenzátor, který se skládá ze dvou vodivých desek, každá má plošný obsah S = 10 cm2, vzdálených od sebe d = 0,1 cm, je nabitý na U = 600 V. Jak se změní energie kondenzátoru, jestliže objem mezi deskami, původně vyplněný vzduchem, zaplníme olejem s relativní permitivitou εr = 3 v případě, že a) kondenzátor je stále připojený ke zdroji napětí, b) kondenzátor po nabití a před nalitím oleje odpojíme od zdroje napětí ? 1.4.8 Kapacita proměnného kondenzátoru se může měnit od 50 pF do 950 pF otočením od 0° do 180°. Při nastavení na 180° je kondenzátor spojen s baterií 400 V. Po nabití je kondenzátor odpojen od baterie a kotouč natočen na 0°. a) Určete náboj kondenzátoru. b) Jaké je napětí na kondenzátoru, když je nastaven na 0° ? c) Jaká je energie kondenzátoru v poloze podle b) ? d) Jakou práci je nutno vykonat při otočení na údaj stupnice 180°, nepřihlížíme-li ke tření ? 1.4.9 Mějme n baterií kondenzátorů, z nichž každá má m kondenzátorů spojených paralelně. Kapacita jednoho kondenzátoru nechť je C a napětí U. Určete celkovou energii této soustavy kondenzátorů. 1.4.10 Koule poloměru R, nabitá nábojem Q, se vyznačuje ve vakuu určitou potenciální energií. Jak se změní potenciální energie koule, jestliže ji ponoříme do tekutiny s relativní permitivitou εr ?
27
