3. MAGNETISMUS 3.1 Magnetické pole ve vakuu a v látkovén prostředí 3.1.1 Určete magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole ve vzdálenosti a = 5 cm od velmi dlouhého přímého vodiče, jestliže jím protéká proud I = 5 A. 3.1.2 Válcovou trubicí o poloměru R prochází stejnosměrný proud I. Vyjádřete závislost indukce magnetického pole na vzdálenosti od osy trubice. Uvažujte oblast vně i uvnitř trubice. 3.1.3 Homogenním vodičem tvaru válce o poloměru R prochází proud I. Vyjádřete závislost intenzity magnetického pole na vzdálenosti od osy vodiče. Uvažujte oblast vně i uvnitř vodiče. 3.1.4 Kruhovým vodičem o poloměru R protéká proud I. Určete magnetickou indukci a) ve středu kruhového vodiče , b) na ose uvedeného kruhového vodiče ve vzdálenosti a od středu . 3.1.5 Vypočtěte magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole v bodech A, B ležících na ose solenoidu délky l = 1 m s počtem závitů z = 2000 a poloměrem R = 2 cm. Závity protéká proud I = 5 A. Bod A leží ve středu solenoidu a bod B na jeho konci. 3.1.6 Solenoid o délce 20 cm a o poloměru 2 cm obsahuje 200 závitů těsně vinutého drátu. Proud ve vinutí je 5 A. Vypočítejte magnetickou indukci v bodech na ose solenoidu v těchto vzdálenostech od středu: d = 0,4,10,20 cm. 3.1.7 Solenoid má délku 50 cm, 1 000 závitů a poloměr a) 2 cm, b) 8 cm. Vypočítejte intenzitu magnetického pole ve středu a v osovém bodě na konci solenoidu, jestliže jeho závity prochází proud 4 A. 3.1.8 Měděný drát o průměru d = 2 mm je navinut v cívku se z = 100 závity vinutými těsně vedle sebe. Průměr závitu je d = 2 cm. Jaké musí být napětí zdroje připojeného k cívce, aby intenzita magnetického pole ve středu cívky byla H = 10 000 A.m-1 ?
41
3.1.9 Dřevěný prstenec, jehož střední průměr je d = 10 cm, je opatřen vinutím o z = 500 závitech. Vypočítejte magnetickou indukci v bodě středního obvodu prstence, když vinutím protéká proud I = 0,3 A. 3.1.10 Na kruhovém železném jádře, jehož střední délka je l = 40 cm, je navinuto z = 3 500 závitů. Protéká-li vinutím proud I = 0,1 A, je indukce magnetického pole v jádře B = 1 T. Určete relativní permeabilitu jádra. 3.1.11 Velmi dlouhý přímý vodič, kterým teče proud I = 10 A, vytváří v určitém místě kruhový závit s poloměrem R = 4,28 cm, ležící v rovině proložené proudovodičem. Vypočítejte magnetickou indukci ve středu uvedeného závitu. 3.1.12 Velmi dlouhý přímý vodič, kterým teče proud I = 10 A, vytváří v určitém místě kruhový závit s poloměrem R = 4,28 cm, ležící tak, že normála na rovinu závitu je rovnoběžná s přímou částí vodiče s tím rozdílem, že kruhová část vodiče je otočená okolo vodorovné osy o 90°. Vypočítejte směr a velikost magnetické indukce ve středu uvedeného závitu. 3.1.13 Vypočítejte indukci magnetického pole buzeného dvěma přímými nekonečně dlouhými rovnoběžnými vodiči, vzdálenými od sebe a = 10 cm, kterými prochází stejný proud I = 2 A v témž směru, ve vzdálenosti a1 = 4 cm od prvního na společné kolmé spojnici obou vodičů. 3.1.14 Vypočítejte intenzitu magnetického pole vyvolaného úsekem přímého vodiče, kterým protéká proud I = 10 A, a to v bodě nacházejícím se ve vzdálenosti d = 5 cm kolmo od středu tohoto úseku vodiče. Délka vodiče je taková, že je ji vidět z bodu, ve kterém intenzitu magnetického pole počítáme, pod zorným úhlem α = 60°. 3.1.15 Dvěma vodiči kruhového tvaru s poloměry R1 = 10 cm, R2 = 15 cm protéká proud I1 = 2 A, I2 = 5 A, takže ve svém I1 I2 okolí budí magnetické R1 R2 A pole. Vypočítejte intenzitu magnetického x1 x2 pole v bodě A na ose těchto kruhových vodičů (viz obr. 3.1), jestliže Obr. 3.1 r1 = 5 cm, r2 = 10 cm.
42
3.1.16 Dvěma kruhovými závity, z nichž každý má poloměr a, prochází stejný proud I v témž směru, roviny obou závitů jsou rovnoběžné a ve vzdálenosti b. Určete magnetickou indukci ve středu každého závitu. 3.1.17 Dva kruhové vodiče, každý z nich s poloměrem r = 5 cm, jsou upevněné tak, že mají společný střed a jejich roviny svírají pravý úhel. Vypočítejte velikost intenzity magnetického pole ve středu závitů, jestliže proudy protékající vodiči jsou I1 = 3 A a I2 = 4 A ? 3.1.18 Dlouhý přímý vodič, kterým teče proud I = 100 A, se nachází v homogenním magnetickém poli s indukcí B = 20. 10-4 T (viz obr. 3.2). Jaká je indukce výsledného magnetického pole v bodech P,Q,R,S, které leží na kružnici s poloměrem r = 1 cm, obklopující přímý vodič ?
B
B
P
S
I
Q
+
I r R
Obr. 3.2
3.1.19 Na obvodu kotouče s poloměrem r = 10 cm je rovnoměrně rozložený náboj Q = 10-8 C. Kotouč se otáčí kolem osy procházející jejím středem s frekvencí f = 100 s-1. Vypočítejte velikost intenzity magnetického pole ve středu kotouče. 3.1.20 Vypočítejte hodnotu magnetické indukce ve středu závitu tvaru čtverce se stranou a = 10 cm, kterým protéká proud I = 5 A. 3.1.21 Určete indukci magnetického pole uprostřed obdélníkového rámu o stranách a,b, protéká-li jím proud I. 3.1.22 Vypočítejte hodnotu magnetické indukce ve středu závitu tvaru šestiúhelníku s celkovou délkou obvodu l, kterým protéká proud I. 3.1.23 Dlouhým vodičem, který je ohnut v pravém úhlu (viz obr. 3.3), prochází proud I = 20 A. Vypočítejte intenzitu magnetického pole v bodě A, je-li a = 2 cm.
43
I
a a
A
I
Obr. 3.3
Obr. 3.4
3.1.24 Dlouhým vodičem, který je ohnut v úhlu ϕ = 56°, prochází proud I = 30 A. Vypočítejte intenzitu magnetického pole v bodě A, který leží na ose úhlu ve vzdálenosti a = 5 cm od vrcholu úhlu. 3.1.25 Nekonečný přímý vodič vytváří v jistém místě půlkružnici s poloměrem a (viz obr. 3.4). Vodičem teče proud I. Vypočítejte magnetickou indukci ve středu půlkružnice. 3.1.26 Nekonečný vodič je ohnutý do tvaru U podle obr. 3.5. Poloměr ohybu je R. Vodičem teče proud I. Vypočítejte magnetickou indukci v bodě P (ve středu ohybové kružnice) a určete její směr.
I
P R
Obr. 3.5 3.1.27 Zdroj napětí je připojen ke dvěma protilehlým vrcholům vodiče ve tvaru čtverce. Jakou intenzitu magnetického pole vyvolávají proudy tekoucí vodičem ve středu čtverce? 3.1.28 Z drátu je zhotoven kruhový závit o poloměru R a připojen ke zdroji elektromotorického napětí. Jak se změní intenzita magnetického pole uprostřed závitu, uděláme-li z téhož drátu dva závity o poloměru R/2 ? 3.1.29 Jaký je magnetický indukční tok Φ plochou závitu tvaru pravoúhlého trojúhelníku, který je umístěný v magnetickém poli s indukcí, která se mění se vzdáleností podle vztahu B =
A (viz obr. 3.6), jestliže x
a = 8 cm, b = 10 cm, c = 10 cm a A = 10-4 Wb.m-1 ? Dané magnetické pole je kolmé na rovinu xy, tedy i na rovinu trojúhelníku.
44
y
a
b
c
O
x
Obr. 3.6 3.1.30 Určete magnetickou indukci ve středu solenoidu, který má celkový počet závitů z = 20, délku l = 10 cm a prochází jím proud I = 5 A. Jaký je celkový indukční tok protékající závity solenoidu, jestliže průřez solenoidu S = 6 cm2 ? 3.1.31 Magnetická indukce homogenního magnetického pole je B = 15 T. Určete magnetický indukční tok přes plochu S = 1 dm2, jejíž normála svírá se směrem indukce magnetického pole úhel α = 30°. 3.1.32 Magnetická indukce homogenního magnetického pole v určité oblasti je B = 2 T a má směr kladné osy x (viz obr. 3.7). Určete magnetický tok plochou a) ABCD, b) BECF, c) AEFD. y B
30 cm
E
40 cm
A
30 cm
l
I
I
x
C F D
50 cm a
Obr. 3.7
b
c
Obr. 3.8
45
3.1.33 Dva rovnoběžné vodiče a obdélníkový rámeček leží v jedné rovině (viz obr. 3.8). Určete magnetický indukční tok plochou rámečku, prochází-li oběma vodiči stejně veliký proud opačnými směry. 3.2. Elektromagnetická indukce 3.2.1 Vodič tvaru dvou kruhových závitů s poloměry R = 5 cm je uložený v magnetickém poli s indukcí B = 0,6 T kolmo na směr indukce. Jaké je elektromotorické napětí, které se v tomto vodiči indukuje, jestliže magnetické pole za ∆t = 0,5 s rovnoměrně zmizí? 3.2.2 Jaké střední elektromotorické napětí se indukuje za půl otočky v obdélníkovém závitu o rozměrech a = 0,3 m, b = 0,2 m, který se otáčí s frekvencí f = 30 s-1 kolem strany a, kolmé na magnetické pole s intenzitou H = 4.105 A.m-1 ? 3.2.3 Přímý vodič délky l = 15 cm rotuje s frekvencí f = 60 s-1 kolem jednoho svého konce v homogenním magnetickém poli o indukci B = 0,5 T. Rovina rotace vodiče je kolmá k indukčním čarám. Určete elektromotorické napětí, které se indukuje ve vodiči. 3.2.4 V homogenním magnetickém poli s indukcí B = 0,2 T se v rovině r kolmé na B rovnoměrně otáčí vodivá tyč délky l = 10 cm. Osa otáčení je kolmá na tyč a prochází koncovým bodem tyče. Vypočítejte frekvenci otáčení tyče, jestliže se v ní indukuje elektromotorické napětí hodnoty Ui = 0,628 V. 3.2.5 Čtvercový rám z měděného drátu se nachází v magnetickém poli s indukcí B = 0,2 T. Průřez drátu je Sd = 2 mm2, plošný obsah čtvercového rámu je Sr = 25 cm2. Normála k ploše rámu je rovnoběžná s vektorem magnetické indukce. Jaké množství el. náboje projde vodičem rámu při vypnutí pole ? 3.2.6 Najděte indukčnost uzavřené cívky prstencovitého tvaru, jejíž závity jsou navinuty na železné jádro, jestliže počet závitů z = 1 000, průřez jádra S = 25 cm2, střední průměr jádra d = 20 cm, proud I = 1 A a permeabilita, která odpovídá tomuto proudu, µ =700µ0. 3.2.7 Vypočítejte elektromotorické napětí, které se indukuje v cívce s indukčností L = 0,06 H, jestliže v ní proud rovnoměrně roste tak, že se každou sekundu zvětší o ∆I = 10 A.
46
3.2.8 Kovová tyč se pohybuje stálou rychlostí v = 2 m.s-1 rovnoběžně s dlouhým přímým drátem, jímž prochází proud I = 40 A (viz obr. 3.9). Vypočítejte elektromotorické napětí indukované v tyči.
I a = 10 cm b = 100 cm
3.2.9 V homogenním magnetickém poli indukce B = 2 T se pohybuje rychlostí v = 10 m.s-1 kolmo na indukční Obr. 3.9 čáry vodič s ohmickým odporem Rv = 0,1 Ω a délkou l = 30 cm. Konce vodiče jsou připojené na odpor R = 0,4 Ω. Vypočítejte, jaký výkon je potřebný na pohyb vodiče. 3.2.10 Elektromagnet s počtem závitů z = 1 000 se napájí proudem I = 0,5 A, odpor jeho vinutí R = 10 Ω, magnetická indukce v železném jádru B = 1,2 T, průřez tohoto jádra S = 100 cm2. Jaké samoindukované elektromotorické napětí vznikne, jestliže proud klesne na nulu za ∆t = 0,01 s ? 3.2.11 Určete samoindukované elektromotorické napětí v cívce s indukčností L = 0,06 H, jestliže v ní proud rovnoměrně roste tak, že za každou sekundu se proud změní o ∆I = 11 000 A. 3.2.12 Uzavřený obdélníkový závit z měděného drátu s průřezem S = 5 mm2 a s rozměry a = 20 cm, b = 30 cm se nachází v homogenním magnetickém poli vzduchové mezery elektromagnetu. Jaký proud bude procházet závitem, jestliže ho vytáhneme z magnetického pole rychlostí v = 20 m.s-1 kolmo na pole B = 0,5 T tak, že vektor rychlosti je ve směru strany a ? Měrný odpor mědi je ρ = 0,018.10-6 Ω.m. 3.2.13 Vzájemná indukčnost dvou cívek je Lmn = 10 mH. V první cívce se proud mění podle vztahu I = I0sinωt, přičemž I0 = 20 A a T = 0,02 s. Určete časovou závislost elektromotorického napětí, které se indukuje v druhé cívce. 3.2.14 Plochá cívka o z = 50 závitech a průřezu S = 100 cm2 se otáčí v homogenním magnetickém poli o indukci B = 0,1 T a koná 50 otáček za sekundu. Osa otáčení cívky je kolmá k indukčním čarám. Jaká je maximální hodnota indukovaného elektromotorického napětí v cívce ?
47
3.3. Energie a silové účinky magnetického pole 3.3.1 Dvěma dlouhými přímými navzájem rovnoběžnými vodiči tečou proudy opačných směrů I = 400 A. Vzdálenost mezi vodiči je d = 30 cm. Najděte velikost a směr síly působící na l = 10 m délky každého z vodičů. 3.3.2 Dva rovnoběžné velmi dlouhé vodiče, jimiž protékají proudy I1= 250 A a I2 = 300 A, se nachází ve vzájemné vzdálenost a = 1 cm. Jakou silou působí jeden vodič na úsek délky s = 20 cm druhého vodiče? 3.3.3 Dva přímé velmi dlouhé rovnoběžné vodiče se nacházejí v určité vzdálenosti od sebe. Vodiči protékají proudy I1 = 40 A a I2 = 30 A ve stejných směrech. Na zvětšení vzájemné vzdálenosti vodičů na trojnásobek je třeba vykonat určitou práci. Vypočítejte část této práce, která připadá na jednotkovou délku vodiče. 3.3.4 V homogenním magnetickém poli s indukcí horizontálního směru je kolmo na indukční čáry uložený v horizontálním směru vodič s měrnou tíhou G = 1N.cm-1. Tímto vodičem teče proud I = 1 A. Jakou hodnotu má mít indukce magnetického pole, aby uvažovaný vodič nepadal, ale vznášel se ? 3.3.5 Přímým drátem d prochází proud I1 = 20 A. Obdélníkovou smyčkou, jejíž delší strany jsou rovnoběžné s drátem, prochází proud I2 = 10 A. Určete velikost a směr výsledné síly, kterou působí magnetické pole drátu na smyčku, je-li a1 = 1 cm, a2 = 10 cm, l = 20 cm (viz obr. 3.10). d
3 cm I1
4 cm 7g
I2
l
10 g
a1
a2
Obr. 3.10
Obr. 3.11
48
3.3.6 Vahadlem vah podle obr. 3.11 prochází proud I = 10 A. Určete směr a velikost magnetické indukce potřebné k tomu, aby vahadlo bylo v horizontální poloze. 3.3.7 Kulička o poloměru R = 1 cm je nabita na potenciál ϕ = 3 kV a pohybuje se kolmo ke směru magnetického pole o intenzitě H = 80 000 A.m-1 rychlostí v = 105 cm.s-1. Jak velká síla působí na kuličku ? 3.3.8 Elektron je vržen do magnetického pole, jehož indukce je B = 10 T, rychlostí v = 3.107 m.s-1 ve směru kolmém k poli. Vypočtěte sílu, jakou působí pole na elektron, a srovnejte ji s tíhovou silou. 3.3.9 Elektron vlétne do magnetického pole o intenzitě H = 7,96.103 A.m-1, přičemž se v něm pohybuje dále stále stejnou rychlostí rychlostí v = 4,8.104 cm.s-1 kolmo k indukčním čarám. Určete dráhu elektronu. 3.3.10 Elektron vlétne do homogenního magnetického pole kolmo k indukčním čarám a koná kruhový pohyb s periodou T = 10-8 s. a) Vypočítejte magnetickou indukci. b) Jaký poloměr bude mít dráha elektronu, získal-li elektron počáteční rychlost potenciálním rozdílem U = 3 000 V ? c) Proveďte výpočet také pro proton. 3.3.11 Elektron, který proběhl potenciálním rozdílem U = 320 V a vlétl kolmo do homogenního magnetického pole o indukci B = 6.10-4 T, opisuje kruhovou dráhu o poloměru R = 10 cm. Určete měrný náboj elektronu. 3.3.12 Homogenní magnetické pole ( B = 10-4 T) a homogenní el. pole ( E = 300 V.m-1) jsou navzájem kolmá. Jaký musí být směr a velikost rychlosti elektronu, aby se pohyboval po přímce ? 3.3.13 Svazek elektronů prochází současně homogenním el. polem o intenzitě E = 3,4.105 V.m-1 a homogenním magnetickým polem o indukci B = 2.10-3 T. Obě pole jsou navzájem kolmá a kolmá ke směru pohybu elektronů. Určete rychlost elektronů, které proletí a nejsou odchýleny od původního směru. Jaký je poloměr kruhové dráhy elektronu, když elektrické pole bude zrušeno ? 3.3.14 Elektron se pohybuje v homogenním magnetickém poli o indukci B = 2.10-3 T po šroubovici (vektor rychlosti elektronu svírá s vektorem
49
magnetické indukce stálý úhel α). Poloměr šroubovice je R = 2 cm a výška jednoho závitu je h = 5 cm. Jaká je velikost rychlosti elektronu ? 3.3.15 Částice, jejíž el. náboj je rovný náboji elektronu, vletěla ve vakuové trubici do homogenního magnetického pole s magnetickou indukcí o velikosti B = 1,0.10-2 T. Vektor její rychlosti svírá s indukčními čarami úhel α = 45°. V magnetickém poli se pohybuje po šroubovici, jejíž závity mají vzájemnou vzdálenost h = 20 mm. Určete velikost hybnosti částice. 3.3.16 Elektron se pohybuje rychlostí o velikosti v = 2,5.106 m.s-1 ve vakuu, v homogenním magnetickém poli s intenzitou o velikosti H = 75 A.m-1 tak, že vektor jeho rychlosti svírá se směrem vektoru intenzity magnetického pole úhel α = 30°. a) Vypočtěte poloměr závitu šroubovice, po níž se elektron pohybuje. r b) Vypočtěte vzdálenost, kterou elektron urazí ve směru vektoru H za dobu, za niž proběhne tři závity této šroubovice. 3.3.17 Jaká je energie magnetického pole proudu I = 2mA, jestliže proud protéká cívkou délky l = 50 cm, která má z = 10 000 závitů s průměrem d = 6 cm ? 3.3.18 Jaká je objemová hustota energie magnetického pole ve středu solenoidu délky l = 2 m, s počtem závitů z = 4 000, kterými prochází proud I = 10 A ? 3.3.19 Jak velká je energie homogenního magnetického pole s magnetickou indukcí B = 10 T ve vzduchové mezeře rozměrů 0,2 m x 0,2 m x 0,01 m ? 3.3.20 Magnetický dipól, kterého moment má hodnotu -11 3 -2 -1 M = 1,257.10 m .kg.s .A , se může volně otáčet v homogenním magnetickém poli s intenzitou hodnoty H = 1 000 A.m-1 okolo osy kolmé na směr intenzity pole. Jaké maximální hodnoty může dosáhnout otáčivý moment dvojice sil, kterou magnetické pole na dipól působí, a jaká je minimální hodnota potenciální energie, které může dipól v tomto magnetickém poli nabývat ? 3.3.21 Vinutí elektromagnetu má odpor R = 10 Ω, indukčnost L = 0,2 H a je pod konstantním napětím. Za jakou dobu se vyvine ve vinutí takové množství tepla, které se rovná energii magnetického pole v jádře ?
50
