Matematika Dasar
10/2/2013
PERSAMAAN & FUNGSI EKSPONEN M ATE M ATI K A D AS AR
TEP-FTP-UB
PENGERTIAN ☻Persamaan Eksponen suatu persamaan yang pangkatnya (eksponen), bilangan pokoknya, atau bilangan pokok dan eksponennya memuat suatu variabel.
TEP-FTP-UB
1
Matematika Dasar
10/2/2013
BENTUK PERSAMAAN EKSPONEN 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
a f(x) =1 a f(x) =p a f(x) = a g(x) a f(x) = b f(x) a f(x) = b g(x) A{a f(x)}2 + B{a f(x)} + C= 0 f(x)g(x) = 1, f(x)≠ g (x) f(x)g(x) = f(x)h(x) g(x)f(x) = h(x)f(x)
BENTUK PERSAMAAN EKSPONEN 1. Bentuk Persamaan a f(x) =1 Misalkan tdp persamaan a f(x) =1, dengan a>0 dan a≠1. Contoh :
3
x 2 4 x 5 3 x 1
1
Penyelesaian :
3
x 2 4 x 5 3 x 1
30
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 5}
TEP-FTP-UB
2
Matematika Dasar
10/2/2013
BENTUK PERSAMAAN EKSPONEN 2. Bentuk Persamaan a f(x) =p Misalkan tdp persamaan a f(x) =p, dengan a>0 dan a≠1. Contoh :
3
x 2 x 9
1 27
BENTUK PERSAMAAN EKSPONEN 2. Bentuk Persamaan a f(x) =p Selesaikan: 3
1 4 3 x 1 4 16 2
TEP-FTP-UB
3
Matematika Dasar
10/2/2013
BENTUK PERSAMAAN EKSPONEN 3. Bentuk Persamaan a f(x) = a g(x) Misalkan tdp persamaan a f(x) =a g(x) , dengan a>0 dan a≠1. Contoh :
4 x 2 3 83 x 1 Penyelesaian :
2
2 x 2
2
3
3 x 1 3
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-5}
BENTUK PERSAMAAN EKSPONEN 4. Bentuk Persamaan a f(x) = b f(x) Misalkan tdp persamaan a f(x) = b f(x) , dengan a≠b; a, b>0; a,b≠1. log a f ( x ) log b f ( x ) f ( x) log a f ( x) log b
Karena a≠b maka log a ≠ log b. Oleh karena itu, agar kedua ruas bernilai sama, f(x)=0. Jadi :
a f ( x ) b f ( x ) f ( x) 0
TEP-FTP-UB
4
Matematika Dasar
10/2/2013
BENTUK PERSAMAAN EKSPONEN 4. Bentuk Persamaan a f(x) = b f(x) Contoh : x 2 2 x 3 x 2 2 x 3
1 2
1 3
x2 2x 3 0
x 1x 3 0 x 1 atau x 3 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 3}
BENTUK PERSAMAAN EKSPONEN 5. Bentuk Persamaan a f(x) = b g(x) Misalkan tdp persamaan a f(x) = b g(x) , dengan a≤b; a, b>0; a, b≠1, dan f(x) ≠ g(x). log a f ( x ) log b g ( x )
Contoh :
TEP-FTP-UB
3x 2 23 x
5
Matematika Dasar
10/2/2013
BENTUK PERSAMAAN EKSPONEN 6. Bentuk Persamaan Aa f ( x ) Ba f ( x ) C 0 Tentukan: 2
22 x 1 2 x 6 0
mjd:
Menurut sifat eksponen, pers diatas dpt diubah
2 2x
2
2x 6 0
Misalkany 2 x 2 y2 y 6 0
2 y 3 y 2 0 y
3 atau y 2 2
BENTUK PERSAMAAN EKSPONEN 7. Bentuk Persamaan f(x)g(x) = 1, f(x)≠ g (x) Langkah: a) g(x)=0 krn ruas kanan nilainya 1 berarti g(x) harus sama dengan nol b) f(x)=1 krn jika f(x)=1 maka bilangan 1 dipangkatkan berapa pun nilainya 1 c)f(x)=-1, dengan syarat g(x) harus genap Tentukan himpunan penyelesaian dari pers eksponen :
4 x 33 x 6
TEP-FTP-UB
1
6
Matematika Dasar
10/2/2013
BENTUK PERSAMAAN EKSPONEN Penyelesaian :
4 x 33 x 6
1
Diketahui bahwa f(x)=4x-3 dan g(x)=3x+6 Persamaan f x g x 1 benar jika 1) g(x)=0 2) f(x)=1 atau 3) f(x)=-1 (untuk g(x) genap) dipenuhi
BENTUK PERSAMAAN EKSPONEN 8. Bentuk Persamaan f(x)g(x) = f(x)h(x) sama.
Langkah: a) g(x)=h(x) krn bil pokok sdh sama mk pangkat harus
b) f(x)=1 krn g(x)≠h(x) mk bil pokok hrs bernilai 1 agr pers bernilai benar. c) f(x)=-1, berakibat g(x) dan h(x) hrs bersama-sama bernilai genap atau sama-sama bernilai ganjil d) f(x)=0, dg g(x) dan h(x) masing2 bernilai positif dituliskan g(x)>0 dan h(x)>0.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pers eksponen :
5x 112 x 1 5x 11x 6
TEP-FTP-UB
7
Matematika Dasar
10/2/2013
BENTUK PERSAMAAN EKSPONEN 9. Bentuk Persamaan g(x)f(x) = h(x)f(x) a) f(x)=0 untuk g(x) ≠ 0 dan h(x) ≠ 0; b) g(x)=h(x)
Tentukan himpunan penyelesaian dari pers eksponen :
2 x
2
2x 3
6 2 x
2 x2
6 2 x
PENGERTIAN • Fungsi Eksponen suatu fungsi yang memetakan setiap x anggota himpunan bilangan real dengan tepat satu anggota bilangan real kax , dengan k suatu konstanta dan a bilangan pokok (basis), dengan a>0 dan a ≠ 1.
TEP-FTP-UB
8
Matematika Dasar
10/2/2013
EXPONENTIAL FUNCTION • Exponential function • Exponential function is defined as : f(x) = ax where a > 0, a ≠ 1, and x is any real number • Example : f(x) = 2x
x
f(x)
(x, f(x))
-2 -1 0 1 2
¼ ½ 1 2 4
(-2, ¼) (-1, ½) (0, 1) (1, 2) (2, 4)
EXPONENTIAL FUNCTION • Exponential function • Domain and Range ?
Graph of f(x) = ax, a >1
TEP-FTP-UB
Graph of f(x) = ax, 0 < a < 1
9
Matematika Dasar
10/2/2013
EXPONENTIAL FUNCTION • Exponential function • From the earlier equation of f(x) = 2x, draw : a. f(x) = 2x – 1 b. f(x) = 2-x
translation
reflection
GRAPH OF LOGARITHMIC FUNCTION • Exponential vs Logarithmic Fungsi Eksponensial di mana a > 1 ( f x a x )
TEP-FTP-UB
Fungsi Logaritma di mana a > 1 ( f x log a x )
Daerah asal berupa bilangan real Range merupakan bilangan real positif
Range berupa bilangan real Daerah asal merupakan bilangan real positif
Tidak terdapat titik potong pada sumbu x karena tidak ada nilai x yang dapat membuat fungsi bernilai =0
Tidak ada titik potong dengan sumbu y
Titik potongnya selalu (0,1) karena a 0 = 1
Titik potong dengan sumbu x selalu (1,0)
Grafiknya selalu meningkat Sumbu x ketika y = 0adalah asimtot horizontal untuk x -
Grafiknya selalu meningkat Sumbu y (di mana x = 0) adalah asimtot vertikal
10
Matematika Dasar
10/2/2013
GRAPH OF LOGARITHMIC FUNCTION • Exponential vs Logarithmic
Grafik Eksponensial
Grafik Logaritma
Grafik fungsi invers direfleksikan berdasarkan garis y = x
PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL A. Pertumbuhan (Pertambahan) Pertumbuhan secara eksponensial dapat dituliskan dlm fs f(x) = y = kax , dengan a=p+1 dan nilai p>0. p laju pertumbuhan Jika a=p+1, k>0, dan p>0, maka fungsi eksponen f(x)= y = kax dapat dinyatakan dalam bentuk:
f ( x) y k ( p 1) x 33
TEP-FTP-UB
11
Matematika Dasar
10/2/2013
PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL Pada pertumbuhan atau pertambahan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya banyak keadaan awal (modal) populasi atau besaran adalah Po. Jika terjadi pertumbuhan sebesar i (dalam %) per tahun (atau setiap satuan jangka waktu tertentu lainnya) maka jumlah populasi atau modal setelah t tahun adalah Pt Po (1 i)t
Apabila pertambahan terjadi secara kontinu maka: Pt Po eit
Dengan e=2,718281... (bilangan natural) i=besarnya pertumbuhan pd periode ttt
PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL Contoh : Adel menabung sebesar Rp 250.000 di suatu bank selama 5 th dengan bunga majemuk sebesar 10% per th. Pada setiap akhir tahun bunga pd th yg bersangkutan ditambahkan dengan uang yg tersimpan shg seluruhnya mjd modal awal th berikutnya. Berapa uang Adel pd akhir tahun ke-4?
TEP-FTP-UB
12
Matematika Dasar
10/2/2013
PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL B. Peluruhan (Pengurangan atau Penyusutan) Penyusutan secara eksponensial dapat dituliskan dlm fs f(x) = y = kax , dengan a=1-p. p laju penyusutan 0
Jika a=1-p, k>0, dan 0 < p < 1, maka fungsi eksponen f(x)= y = kax dapat dinyatakan dalam bentuk:
f ( x) y k (1 p) x 37
PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL Penyusutan contohnya penyusutan benda atau peralatan, peluruhan zat radioaktif (kimia), dsb. Apabila penyusutan terjadi secara kontinu maka: Pt Po e t
Dengan Pt = sisa benda saat t P0 = banyaknya benda mula-mula λ = tetapan peluruhan t = waktu
TEP-FTP-UB
13
Matematika Dasar
10/2/2013
PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL Contoh : Pada pukul 5.00 massa suatu zat radioaktif adalah 0,5 kg. Apabila laju peluruh zat radioaktif tsb 2% setiap jam, hitunglah sisa zat radioaktif pd pukul 9.00.
THANK YOU
TEP-FTP-UB
14