PERSAMAAN DIFFERENSIAL (DIFFERENTIAL EQUATION)
Suatu persamaan dimana terdapat hubungan antara variabel bebas, variabel tak bebas dan turunan-turunannya dinamakan persamaan differensial. Contoh :
dy d 2 y f (x, y, , , ………….. ) = 0 dx dx 2
∂ z ∂ 2z , , ……… ) = 0 g (x, y, z, ∂ x ∂x∂y
Ada 2 jenis persamaan differensial : - Persamaan differensial biasa → x
d2y dy + xy + y=0 2 dx dx
- Persamaan differensial partial →
∂ 2z ∂ 2z + + x2 + y2 = 0 ∂ x 2 ∂ x∂ y
Pembahasan hanya dibatasi pada persamaan differensial biasa.
PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA. Definisi : - Turunan tertinggi di dalam suatu persamaan differensial (PD) disebut orde dari persamaan differensial tersebut x
d2y d 3 y dy + y + + y=0 dx 2 dx 3 dx
⇒ persamaan differensial orde 3
- Pangkat tertinggi dari turunan tertinggi persamaan differensial disebut pangkat dari persamaan differensial tersebut. 3
2
d2y d 3 y dy x 2 + y 3 + + y = 0 ⇒ persamaan diff . orde 3 pangkat 2 dx dx dx 6
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 PANGKAT 1
I. Persamaan differensial dengan variabel yang dapat dipisahkan dy = f ( x , y) → dipisahkan menjadi M(x) dx + N(y) dy=0 dx
Bentuk Pers. Diff.
Dengan demikian variabel x dipisahkan dengan variabel y Contoh :
dy x 2 + =o dx y
1.
ydy + x2dx = 0
∫
y dy + 1 2
2.
∫
x 2 dx = c
y 2 + 13 x 3 = C ( Jawab umum)
y dy = 0 x
ex 1 − y 2 dx + � 𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 1
𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑
�1 − 𝑦𝑦 2
� 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑒𝑒 𝑥𝑥 ) − 2 �
= 𝐶𝐶
𝑑𝑑(1 − 𝑦𝑦 2 ) �1 − 𝑦𝑦 2 1
= 𝐶𝐶
𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑥𝑥 − � 𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 2 2 �1 − 𝑦𝑦 2 = 𝐶𝐶 𝑒𝑒 𝑥𝑥 (𝑥𝑥 − 1) − �1 − 𝑦𝑦 2 = 𝐶𝐶\
3.
𝑥𝑥 2 (𝑦𝑦 2 + 1)𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑦𝑦√𝑥𝑥 3 + 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 �
𝑑𝑑(𝑥𝑥 3 1 � 3 3
𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑
√𝑥𝑥 3 + 1
+ 1)
√𝑥𝑥 + 1 2 3
𝑥𝑥 2 (𝑦𝑦 2 + 1)𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝑦𝑦√𝑥𝑥 3 + 1 𝑑𝑑𝑑𝑑
+
+�
𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 =0 𝑦𝑦 2 + 1
𝑑𝑑(𝑦𝑦 2 + 1) 1 � 2 2 𝑦𝑦 + 1
= 𝐶𝐶
√𝑥𝑥 3 + 1 + 12𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑦𝑦 2 + 1) = 𝐶𝐶
Soal-soal : Carilah jawaban umum persamaan differensial berikut : 1.
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑
2. x 2
=
sin 2 𝑥𝑥 sin 𝑦𝑦
dy dy − y2 = x2 y dx dx
3.
dy dy = ln y + tan x sec 2 x dx dx
4.
1 arcsin x dx = (e y − 1)dy y
II. Persamaan Differensial Homogen (PDH) Definisi : Suatu f(x, y) dikatakan homogen, bila mempunyai sifat f(λx, λy) = λn f(x, y) Dimana λ = konstanta dan n = suatu bilangan Contoh : a) f(x, y) =
x 4 + y 4 → f (λx, λy ) = λ4 ( x 4 + y 4 ) = λ2
x 4 + y4
= λ2 f(x, y) → orde 2
x 2 + y2 → f (λx , λy ) b) f(x, y) = xy
λ2 ( x 2 + y 2 ) = λ2 ( xy) x 2 + y2 = λo xy
Persamaan differensial
= λo f ( x , y) orde nol
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, disebut Persamaan
Diferensial homogen bila berlaku M(x, y) dan N(x, y) adalah fungsi homogen dengan orde yang sama. Contoh : a) (x2 + y2) dx + x3 dy = 0 → bukan PDH karena orde N(x, y) ≠ M(x, y) b) (x2 + xy) dx + x2 dy = 0 → PDH dimana M(x, y) dan N(x, y) adalah fungsi homogen orde 2
Bentuk persamaan differensial
dy P( x , y) = juga disebut persamaan diferensial dx Q( x , y)
homogen bila terpenuhi fungsi homogen f(x, y) =
P ( x , y) mempunyai orde nol. Q( x , y )
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL HOMOGEN Untuk penyelesaian persamaan differensial homogen maka dapat digunakan: - permisalan y = ux dimana u = u(x) , sehingga didapat dy = x du + u dx - permisalan x = vy dimana v = v(y) , sehingga didapat dx = y dv + v dy
Contoh : Pecahkan persamaan differensial berikut : 1)
(x2 + xy) dx + x2 dy = 0 Jawab : M(x,y) = x2 + xy adalah fugsi homogen orde dua N(x,y) = x2
adalah fungsi homogen orde dua juga, dengan demikian
persamaan differensial diatas adalah pers. diff. Homogen Misal : y = ux → dy = x du + u dx Sehingga : (x2 + ux2) dx + x2 (x du + u dx) = 0 (x2 + ux2 + ux2) dx + x3 du = 0 x2 (1 + 2u) dx + x3 du = 0
∫
x2 x3
dx + ∫ 1+du2u = C1
ln x +
1 ln (1 + 2u ) = C1 2
ln x (1 + 2u)1/2 = ln C x (1 + 2u)1/2 = C y x 1 + 2 = C x
(jawab umum)
2)
3𝑦𝑦 3 −𝑥𝑥 3
𝑑𝑑𝑑𝑑
Carilah jawab umum dari : 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
3𝑥𝑥𝑥𝑥 2
Jawab:
f(x,y) =
3𝑦𝑦 3 −𝑥𝑥 3
adalah fungsi homogen orde nol, sehingga pers. diff.
3𝑥𝑥𝑥𝑥 2
diatas adalah pers diff homogen
misal :
du dy =u+x dx dx
y = ux →
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑢𝑢 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑢𝑢 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
�
𝑥𝑥
3𝑢𝑢 3 𝑥𝑥 3 −𝑥𝑥 3 3𝑢𝑢 2 𝑥𝑥 3
3𝑢𝑢 3 −1 3𝑢𝑢 2
3𝑢𝑢 3 −1−3𝑢𝑢 3
𝑑𝑑𝑢𝑢 −1 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 3𝑢𝑢2
𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 3𝑢𝑢2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 + 𝑢𝑢3 = 𝐶𝐶
𝑦𝑦 3 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 + � � = 𝐶𝐶 𝑥𝑥 𝑦𝑦
3
𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒 �𝑥𝑥 � = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑦𝑦 3
𝑥𝑥𝑒𝑒 �𝑥𝑥 � = 𝐶𝐶
Pecahkan soal-soal berikut: y y dy 1. x cos = y cos − x x x dx
2. ( x + y )
dy = x− y dx
dy y − x 2 − y 2 = 3. dx x 4.
dy y y = + dx x x ln y x
3𝑢𝑢 2
Rumus-rumus Differensial yang dapat dipergunakan untuk pemecahan persamaan differensial 1.
d(xy) = xdy + y dx
y x dy − y dx 2. d = x2 x
x x dy − y dx 3. d − = y2 y y x dy − y dx 4. d tan −1 = 2 x + y2 x 1 x + y x dy − y dx = 5. d ln x − y x2 − y2 2 y 2 2 xy dy − y 2 dx 6. d = x2 x
x dx + y dx 1 2 2 7. d ln ( x + y ) = x2 + y2 2 Contoh soal : 1. xdy + ydx = 2 x2 y dx
x dy + y dx = 2 x dx xy ∫ d {ln (xy)} =∫ 2x dx dengan demikian : ln (xy) = x2 + C 2. x2 (xdx + y dy) + y (x dy – y dx) = 0 Jawab : x dx + y dy =
1 d ( x 2 + y 2 ) dan x dy – y dx = x2 d (y/x) 2
Persamaan menjadi : x2 .
1 d(x2 + y2) + yx2 d(y/x) = 0 2
Substitusi : x2 + y2 = r2 , y/x = tan θ, x = r cos θ , y = r sin θ
Sehingga didapat :
dθ 1 2 r Cos 2 θ dr 2 + r3 Sin θ Cos2 θ . =0 Cos 2 θ 2 r3 Cos2 ϴ dr + r3 Sin θ dθ = 0
∫
dr +
∫
Sin θ dθ = C Cos 2 θ r+
1 =C Cos θ r+
1 r =C ⇒ r(1+ )=C x x
1 + x x2 + y2 =C x (x2 + y2) (1 + x)2 = Cx2
Carilah Jawab dari Persamaan Differensial berikut : 1. (x + e-x Sin y) dx – (y + e-x cos y) dy = 0 2. x dy – y dx = 2 x3 dx
III. PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER Bentuk umum :
dy + P(x) y = Q(x) ………. ( 1 ) pers. Bernoulli dx
Cara pemecahan : Misalkan : y = uv ………….............................. ( 2 ) dimana : u = u (x) dan v = v (x) dengan demikian didapat: dy du dv =v +u dx dx dx
…………................. ( 3 )
Dari (1), (2) dan (3) diperoleh : u
u
dv du + v + P( x) uv = Q ( x) dx dx
dv du + v + P( x) .u = Q( x) ………… ( 4 ) dx dx
Selanjutnya pilihlah u sedemikian rupa sehingga : du + P ( x) u = 0 ……………...................................... ( 5 ) dx
∫
du = − ∫ P ( x) dx u
ln u = − ∫ P( x) dx + C1 ambil C1 = 0, sehingga : u =𝑒𝑒 − ∫ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 .......................................( 6 ) dari (4) dan (5) didapat :
u
dv = Q( x ) dx
…………….. ( 7 )
− P ( x ) dx dv subsitusi pers (6) ke pers (7) didapat e ∫ = Q( x) dx
P ( x ) dx dv = Q( x ) e ∫ dx
v =
∫ Q(x ) e
∫ P ( x ) dx dx
Dengan demikian y = uv dapat diselesaikan.
Contoh soal :
Selesaikan persamaan differensial berkut : 1.
dy 2y − = ( x + 1) 5 / 2 dx x + 1 Jawab :
dy 2 − y = ( x + 1) 5 / 2 dx x + 1 dimana : P( x) = −
2 dan Q( x) = ( x +1) 5 / 2 x +1
Misal : y = uv dy dv du +v =u dx dx dx
v
dv du 2v 5/ 2 +u − = ( x + 1) dx dx x + 1
Pilihlah v sedemikian rupa sehingga :
dv 2v − =0 dx x +1
∫
dv dx = 2∫ v x +1
ln v = 2 ln x + 1 + C1 → ambil C1 = 0 ∴ v = (x + 1)2 v ( x + 1) 2
du = ( x + 1) 5 / 2 dx
du = ( x +1) 5 / 2 dx
du = (x + 1)1/2 dx u=
2 ( x +1) 3 / 2 + C 3
Maka : y = u v
[
]
y = 23 ( x +1)3 / 2 + C ( x + 1)2 2. Tentukan jawab dari :
2 dy = e−x − 2 x y dx
Jawab: 2 dy = e − x − 2 x y disederhakan menjadi dx
dy du dv =v +u dx dx dx
Misal : y = uv →
u
2 dv du +v + 2 ux = e − x dx dx
Pilihlah u sedemikian rupa sehingga : du + 2u x = 0 dx
2 dy + 2 xy = e − x dx
du = − 2 x dx u
ln u = - x2 + C1 → ambil C1=0
u = e− x u
2
2 2 dv 2 dv = e − x maka e − x = e−x dx dx
dv = dx v = x+C y = uv jadi jawab umumnya y = ( x + c) e − x
2
Soal-soal : Pecahkan Persamaan Differensial berikut : dy x 2 + 2 y 1. = dx x
2.
IV.
3. ( x 2 + 1)
dy = cos 3 x − y cos x dx
4.
dy + 2 xy = x 2 dx
dy y −1 = 2 dx x + 1
PERSAMAAN DIFFERENSIAL NON LINIER YANG
DAPAT
DIJADIKAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER dy + P( x) y = Q( x) y n ………………………………….………. ( 1 ) dx
Disebut persamaan differensial non linier. Pemecahan dilakukan dengan memisalkan : Z = y-n+1 ………..… ( 2 ) dy dy dz dz dz dy dz = ⇒ = = (−n + 1) y − n , maka . . karena dx dz dx dx dy dx dy
didapat :
dz dy = (− n + 1) y − n dx dx
dy 1 dz = yn …………………………. ( 3 ) dx − n + 1 dx Dari (1), (2) dan (3) maka diperoleh : 1 dz yn + P( x) y = Q( x) y n , kalikan dengan y − n sehingga didapat dx − n +1
1 dz + P ( x) y − n +1 = Q( x) kalikan dengan (-n + 1 ) sehingga didapat − n + 1 dx
dz + (−n + 1) P( x) y − n +1 = (−n + 1) Q( x) dx dz + (− n + 1) P( x ) . Z = (− n + 1) Q( x ) dx dz + H ( x) . z =W ( x) ⇒ persamaan differensial inier. dx
Dengan memisalkan z = uv maka persamaan differensial dapat diselesaikan.
Contoh soal : 1.
dy dy + y = xy 3 → +P ( x) y = x y 3 ⇒ persamaan differensial non linier dx dx Q( x) 1 Misalkan z = y-n+1 sehingga z= y-3+1 atau z= y-2 , dengan demikian maka dz − 2 y −2 = − 2 x dx
dz − 2z = − 2x dx
Mis :
z = uv ⇒ u
dv du +v − 2 uv = − 2 x dx dx
u
dv du + v − 2u = − 2 x dx dx
Pilihlah u sedemikian rupa sehingga : du − 2u = 0 ⇒ dx
∫ duu = ∫ 2 dx ln u = 2 x + C1 , ambil C1= 0 sehingga didapat u = e2x
u
dv dv = − 2 x ⇒ e2x = − 2x dx dx
dv = -2x e-2x dx v=
∫
x d e-2x
v = x e-2x +
1 -2x e +C 2
= e-2x (x + ½) + C ∴ Z = e2x [e-2x (x + ½) + C] y-2 = x +
1 + C e2x 2
1 dy 1 + 5 = x2 6 y dx xy
2.
dy 1 dy y + = x2 y6 ⇒ + y = ( x 2 ) y 6 → pers. differensial non linier dx x dx x Dengan memisalkan : z = y-5 maka didapat : dz z − 5 = − 5 x 2 → persamaan differensial linier dx x
Persamaan differensial diselesaikan dengan mengambil z = uv
Soal-soal : 1.
dy y y 2 − + =0 dx x x 2
2. x
dy + y = y 2 ln x dx
3.
x y2 dy xy − = dx 1 − x 2 1 − x 2
V. PERSAMAAN DIFFERENSIAL EXACT Suatu persamaan differensial : N(x, y) dx + M (x, y) dy = 0, disebut persamaan differensial exact bila mempunyai sifat bahwa : ∂N ∂M = ∂y ∂x
Misalkan F (x, y) = C merupakan jawaban persamaan differensial tersebut. maka dF =
∂F ∂F dx + dy ≡ 0 ∂x ∂y
bila
∂F = N ( x, y ) ∂x
⇒ N (x, y) dx + M(x, y) dy = 0 ∂F = M ( x, y ) ∂y
∂N ∂2F = ∂y ∂ y ∂x ∴
∂N ∂M = ∂y ∂x
∂M ∂2F = ∂x ∂ x ∂y Dari
∂F = N (x, y) didapat : F(x, y) = ∂x
∫
∂ ∂F = M ( x, y ) sehingga M(x, y) = ∂y ∂y
N(x, y) dx + g(y), sedangkan
[∫ N ( x, y) dx + g ( y)]
∴ g(y) = …………. ? (dapat dicari) Contoh soal : 1. (x2 + xy) dx + (y2 +
1 2 x ) dy = 0 2
x 2 + xy = N ( x, y ) ⇒
∂N =x ∂y ∂N ∂M = , jadi merupakan PD Exact ∂y ∂x
y2 +
1 2 ∂M =x x = M ( x, y ) ⇒ 2 ∂x
misal : F(x,y)=C adalah jawab persamaan differensial Exact tersebut ∂F = N ( x, y ) maka F (x, y) = ∫ N (x, y) dx ∂x
= sehingga F (x, y) =
∫
(x2 + xy) dx
1 3 1 2 x + x y+ g(y) 2 3
∂F 1 1 = M ( x, y ) ⇒ x 2 + g ' ( y ) = y 2 + x 2 ∂y 2 2
jadi : g , ( y ) = y 2 sehingga g ( y ) = Dengan demikian didapat : F(x, y) = sehingga:
1 3 y + C1 3
x3 x2 y y3 + + + C1 = C 2 3 2 3
1 3 1 2 1 x + x y + y 3 = C merupakan jawab PDE tersebut 3 2 3
2. (2xey + ex) dx + (x2 + 1) ey dy = 0 Karena N (x, y) = 2 x ey + ex →
M ( x, y ) = ( x 2 + 1) e y →
∂N = 2 xe y ∂y
dan
∂M ∂N ∂M = 2 xe y jadi : = ∂x ∂y ∂x P. D. E .
Karena
∂F = N ( x, y ) maka F(x, y) = ∂x
∫ N(x, y) dx + g( y)
= ∫ (2 x e y + e x ) dx + g ( y) = x2 ey + ex + g(y) sedangkan
∂F = M ( x, y ) ⇒ x 2 e y + g 1 ( y ) = ( x 2 + 1) e y ∂y
g1 (y) = ey g(y) = ey + C1 Jadi : F(x, y) = x2 ey + ex + ey + C1 = C2 Dengan demikian maka : ex + (x2 + 1) ey = C jawab umumnya
Soal-soal : 1. (y2 + 2 xy + 1) dx + (2x y + x2) dy = 0 2.
dy 2 x + y sin x = dx Cos x
3. ( x + y 2 + 1 ) dx – (y -
xy y2 + 1
) dy = 0
4. (ex + ln y +
x y ) dx + + ln x + sin y dy = 0 x y
y2 5. − 2 y dx + (2 y tan −1 x − 2 x + sinh y ) dy = 0 2 1+ x
6. dy +
y − sin x dx = 0 x
APLIKASI PERSAMAAN DIFFERENSIAL PADA RANGKAIAN LISTRIK
1.
1
R1
S 2
E
pada t < 0, saklar s di 1
R2
Pada t > 0, saklar s di 2
L
Tentukan i(t) pada t>0
Penyelesaian Pada t > 0, rangkaian menjadi : R1
R2
i(t)
(R1 + R2) i(t) + L
L
L
di (t ) =0 dt
di (t ) = − ( R1 + R2 ) i (t ) dt R +R2 di( t ) =− 1 dt i( t ) L
Jadi :
∫
R +R2 di =− 1 i L
∫ dt
R + R2 ln i = − 1 t +k L
i (t ) = ke
−
( R1 + R2 ) t L
Dari rangkaian diatas untuk t = 0 maka didapat i(0) =
E R1
sedangkan dari perhitungan untuk t=0 maka didapat i(0) = k dengan demikian
E R1
= k sehingga didapat i (t ) =
E R1
e
−
( R1 + R2 ) t L
Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut :
i(t)
E R1
t 2.
Selesaikan rangkaian berikut : R1
1 2
Pada t < 0, saklar di 1
R2
E
Pada t > 0, saklar di 2
C
Tentukan i(t) pada t > 0
Penyelesaian : Pada t > 0, rangkaian menjadi : R1
R2
i(t)
(R1 + R2) i(t) + (R1 + R2)
C
sehingga :
∫
1 i dt = 0 C ∫
di i( t ) + =0 dt C
di i( t ) =− dt (R 1 + R 2 ) C
di (t ) 1 =− dt i (t ) ( R1 + R2 )C ∫ ln i = −
t +k ( R1 + R2 )C
i (t ) = k e
− (R
t 1+ R2)C
Dari persamaan diatas didapat, pada t = 0 maka 𝑖𝑖(0) = 𝑘𝑘 , sedangkan dari 𝐸𝐸 rangkaian pada t=0 didapat 𝑖𝑖(0) = 𝑅𝑅 1 +𝑅𝑅 , sehingga 2
𝐸𝐸 demikian akan diperoleh 𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅 1 +𝑅𝑅 2
𝑡𝑡
− 𝑒𝑒 (𝑅𝑅 1 +𝑅𝑅 2 )𝐶𝐶
𝐸𝐸 𝑘𝑘 = 𝑅𝑅 1 +𝑅𝑅 2
jadi dengan
3. S
Pada t < 0, saklar s dibuka
R2
Pada t > 0, saklar s ditutup
R1 E
Jawab :
Tentukan i(t) pada t > 0
L
R2
Pada t > 0, rangkaian seperti terlihat disebelah : E
i(t)
L
sehingga didapat R2 i(t) + L
dengan demikian didapat :
Misalkan : i = pq →
di dp dq =q + p dt dt dt
q
dp dq R2 E + p + pq = dt dt L L
q
dp dq R E + p + 2 q = dt L L dt
Pilih q sedemikian rupa sehingga :
dq R + 2 q =0 dt L R R dq = − 2 dt ⇒ ln q = − 2 t + k q L L q=e
q
dp E sehingga e = dt L
−
− R2 t L
R2 t L
dp E = dt L R
E L2 t dp = e dt ∫ L∫ R
p=
E L L2 t . e + k2 L R2
di =E dt
di (t ) R2 E + i (t ) = dt L L
R
p=
E L2 t e + k2 R2
Dengan demikian didapat : i (t ) = e
−
R2 t L
E RL2 t e + k2 R2 R
− 2t E i (t ) = + k2 e L R2
Untuk t = 0 ⇒ i (0) =
Jadi :
E R1 + R2
E E = + k2 R1 + R2 R2 1 1 k 2 = E − R1 + R2 R2 R − R1 − R2 = E 2 R2 ( R1 + R2 )
jadi : k 2 = − maka i (t ) =
E R1 ( R1 + R2 ) R2
E R2
R − 2t R1 L 1 − e R +R 1 2
TUGAS 1 (dikumpulkan minggu depan) Carilah penyelesaian rangkaian berikut ini: 1.
S R2
pada t < 0, s ditutup
R1 E
L
pada t > 0, s dibuka Tentukan i( t ) pada t > 0
R1
2.
1S
pada t < 0, s di 1
2 E
R2
C
pada t > 0, s di 2 Tentukan i( t ) pada t > 0
Perhatikan
gambar
berikut,
bagaimanakah
persamaan
diffrensial
penyelesaiannya ?
-ky X F
m
VI. PERSAMAAN DIFFERENSIAL DENGAN ORDE LEBIH DARI SATU I. Bentuk :
dny = f ( x) ≡ x( x) dx n
Penyelesaian dengan menurunkan ordenya. Ambil :
dy d 2 y dp =p⇒ = dx dx 2 dx d3y d2 p = dx 3 dx 2 d n y d n−1 p = dx n dx n−1
Bila :
q=
dp dq d 2 p ⇒ = dx dx dx 2
∴
d n −1q d n − 2 p ......... dst. = dx n −1 dx n − 2
Contoh : Selesaikan persamaan differensial : Jawab : misal : p =
dy dp d 2 y ⇒ = dx dx dx 2 d2p d3y = dx 2 dx 3
d3y = x ex 3 dx
d3y d2p x = → = x ex x e dx 3 dx 2
ambil : q =
dp dq d 2 p → = dx dx dx 2
∴
dq = x ex dx
dq = x ex dx q = x ex – ex + C1
Dengan demikian maka :
dp = x e x − e x + C1 dx
dp = (x ex – ex + C1) dx p = x ex – ex – ex + C1 x + C2
y = ∫ pdx sehingga y = ∫ {( x − 2) e x + C1 x + C 2 )} dx
= ( x − 3) e x + C1 x 2 + C 2 x + C3
II. Bentuk :
dny = f ( y) ≡ g ( y) dx n
Misalkan :
p=
dy dp dp dy dp maka = . = p dx dx dy dx dy
d2y dp =p 2 dy dx d3y d = dx 3 dy
dp dy p dy dx 2
dp d2p = p + p 2 dy 2 dy demikian seterusnya Contoh : 1. Selesaikan PD berikut :
d2y d2y 2 + = 0 ⇒ = − a2 y a y 2 2 dx dx
Penyelesaian : Misalkan :
p=
dy dx
dp dp dy dp d 2 y = . =p = dx dy dx dy dx 2 ∴p
dp = −a2y dy
p dp + a2y dy = 0 1 2 1 2 2 p + a y = C1 2 2
p2 + a2y2 = C2 → ambil C2 = c2 p2 = c2 – a2 y2
c2 − a2 y2
p=+ dy =± dx
dy
dx =
x
=
c 2 − a 2 y 2 → ambil +
c2 − a2 y2
∫
dy c −a y 2
2
2
=
ay 1 arc sin + C3 a c
ay ∴ ax = arc sin + C3 c ay = sin (ax + c4 ) c
= sin ax cos c4 + cos ax sin c4 y = P cos ax + Q sin ax Soal-soal: d3y = x e−x 3 dx d2y 2. − a2 y = 0 2 dx
Selesaikan persamaan differensial : 1.
PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER ORDE N dy d 2 y dn y =0 Persamaan umum : F x , y, , , ..... , dx dx 2 dx n
Bila variabel bebas dan turunan-turunannya mempunyai pangkat tertinggi sama dengan 1, maka persamaan differensial ini disebut persamaan differensial linier. Bentuk umum persamaan differensial linier orde-n : dny d n −1 y dy an ( x) n + an −1 ( x) n −1 + ..... + a1 ( x) + a0 y = g ( x)................. (*) dx dx dx
bila : g(x) = 0 ⇒ disebut persamaan differensial homogen g(x) ≠ 0 ⇒ disebut persamaan differensial in-homogen Sifat Persamaan Differensial Homogen 1. Jika y1 merupakan jawaban persamaan * dan y2 juga merupakan jawaban persamaan *, maka y1+y2 juga merupakan jawaban persamaan *. Bukti : an
d n ( y1 + y 2 ) d n −1 ( y1 + y 2 ) d ( y1 + y 2 ) + + ..... + a1 + ao ( y1 + y 2 ) a n −1 n n −1 dx dx dx
d n y1 dn y2 d n −1 y1 d n −1 y 2 a a ..... a y a a + + + + + + ..... + a o y 2 n n −1 o 1 n n −1 n n −1 n n −1 dx dx dx dx
2. Jika y1 merupakan jawaban persamaan *, maka cy1, juga merupakan jawaban persamaan *. Bukti : an
d n (cy1 ) d n −1 (cy1 ) dcy1 a + + ..... + a 1 + a o cy1 = n −1 n n −1 dx dx dx
d n y1 d n −1 y1 dy1 C a n a + + ..... + a 1 + a o y1 = 0 n −1 n n −1 dx dx dx
3. Jika y1 dan y2 adalah jawaban persamaan *, maka y=c1y1+c2y2 juga merupakan jawaban persamaan *. Bukti :
dari sifat 1 dan 2 dapat disimpulkan bahwa y=c1y1+ c2y2
merupakan juga persamaan *.
4. Suatu persamaan differensial orde n akan mempunyai n jawaban yang bebas linier dan n jawaban yang linier. Bila y1, y2, y3, y4, ....., yn merupakan jawaban persamaan * maka y = c1 y1 + c2 y2 + c3 y3 + ..... + cn yn juga merupakan jawaban.
VII.
PEMECAHAN
PERSAMAAN
DIFFERENSIAL
DENGAN MENGGUNAKAN OPERATOR D
Didefinisikan : Sehingga :
D =
d dx
D2 =
d2 dx 2
D3 =
d3 dx 3
dn D = dx n n
Contoh : D2 x2 = D . Dx2
D sin x = cos x Dx2
= 2x
D3 cos x = - D2 sin x = - D cos x
= D.2x= 2 (Dx2) sin x 2
x D sin x
= sin x Hitung : θ2 sin x bila θ sin x = x cos x Jawab : θ2 sin x = θ . θ sin x = θ . x cos x = x
d ( x cos x) dx
= x (cos x - x sin x) = x cos x – x2 sin x
= 2 x sin x = x2 cos x
∴ Dx2 ≠ x2 D
HOMOGEN
Dengan menggunakan operator D persamaan diferensial homogen dapat ditulils : an
dny d n −1 y dy + a + ..... + a1 + ao y = 0 n −1 n n −1 dx dx dx
an Dny + an-1 Dn-1 y + ..... + a1 Dy + ao y = 0 atau (an Dn + an-1 Dn-1 + ..... + a1 D + ao) y = 0 Dapat ditulis pula sebagai: Φ (D) y = 0 Sehingga persamaan differensial ln-homogen dapat ditulis : Φ (D) y = g(x)
SIFAT-SIFAT OPERATOR D I.
(Dr + Ds) u = (Ds + Dr) u
⇒ Hk. Komutatif
II.
{Dr + (Ds + Dt)} u = {(Dr + Ds) + Dt} u
⇒ Hk. Asosiatip
III.
(Dr . Ds) u = (Ds . Dr) u
⇒ Hk. Komutatif Perkalian
IV.
Dr (Ds . Dt) u = (Dr Ds) . Dt u
⇒ Hk. Asosiatip
V.
Dr (Ds + Dt) u = (Dr Ds + Dr Dt) u
⇒ Hk. Distributip
VI.
(Dr Ds) u= Dr+s u
⇒ Rumus Pangkat
VII.
Dr (cu) = c Dr u
⇒ Sifat Turunan r, s, t = konstanta
SIFAT-SIFAT DARI φ (D) I. φ (D) emx = φ (m) emx Bukti : D emx = m emx D2 emx = m2 emx D3 emx = m3 emx Dn emx = mn emx
(m = konst)
Sedangkan : φ(D) emx = (an Dn + an-1 Dn-1 + ..... + a1 D + ao) emx = (an mn + an-1 mn-1 + ..... + a1 m + ao) emx = φ (m) emx (q e d) Contoh : a). (D2 – 2.D + 3) e2x = (22 – 2.2 + 3) e2x = 3 e2x b). (D3 – D2 – D + 6) e3x
= (33 – 32 – 3 + 6) e3x = (27 – 9 – 3 + 6) e3x = 21 e3x
II. φ(D) (u.emx) = emx φ(D + m) u dimana u = f(x) Bukti : Du emx
= emx Du + mu emx = emx (D + m) u
D2 (emxu) = D[D (emx.u)] = D[emx (D + m) u] misalkan (D+m)u = v = D(emx v) = emx (D + m)v = emx (D + m) (D + m) u = emx (D + m)2 u Jadi : φ(D) (u. emx) = (an Dn + an-1 Dn-1 + ..... + a1.D + ao) (u emx) = emx [an (D+m) n + an-1 (D+m)n-1 + ..... + a1 (D+m) + ao ]u = emx φ (D + m) u (q . e . d) Contoh : 1. (D2 – D + 6) e2x . x2
= e2x {(D + 2)2 – (D + 2) + 6} x2 = e2x (D2 + 3 D + 8) x2 = e2x (2 + 6 x + 8 x2)
2. (D2 + 2 D-3) (tan x -
2 2 2 2 ) = D2 (tan x - ) +2D(tan x - ) – 3 (tan x - ) x x x x 2 2 6 = D (sec2 x + 2 ) + 2 (sec2 x + 2 ) – 3 tan x + x x x 4 4 6 = 2 tan x sec2 x - 3 + 2 sec2 x + 2 - 3 tan x + x x x 1 = 2 sec2 x + 2 sec2 x tan x - 3 tan x + 3 (4 x + 6 x2 - 4) x
Kerjakan Soal berikut : 1) (D2 + 2 D – 3) (e2x sin x + ex cos x+ e-3x x2) 2) (D2 – 3 D +2) ex (x2 – 3 sin x) 3) (3 D2 + D + 2) e2x (ln 2 x -
1 ) x2
PERSAMAAN KARAKTERISTIK Telah diketahui bahwa bila φ(D)y=0 disebut persamaan differensial homogen sedangkan bila φ(D) y = g(x) disebut persamaan differensial in homogen Bila
φ(D) = (D - m1) (D - m2) ..... (D - mn) = 0
Maka φ(m) = (m – m1) (m – m2) .... (m – mn) = 0, sehingga : m = m1, m = m2 ....., m = mn Jadi bila φ(D) y = A (D – m1) (D – m2) ..... (D – mn) y = 0 sedang A = konstanta ≠ 0, maka akan berlaku : (D – m1) (D – m2) ..... (D – mn) y = 0 ........... ( 1 ) Misalkan: (D – m1) y1 = 0 memenuhi persamaan ini, maka dy1 dy − m1 y1 = 0 → 1 = m1 y1 dx dx dy1 = m1 dx → ln y1 = m1 x y1 y1 = c1 em1x Jelaskan bahwa y1 memenuhi φ(D)y = 0 Demikian pula jika (D – m2) y2 = 0 memenuhi persamaan (1) Maka y2 = c2 em2x akan memenuhi φ(D) y = 0 Sehingga : Didapat jawaban umum dari φ(D) y = 0 adalah : y = C1 em1x + C2 em2x + C3 em3x + ..... + Cn emnx
Contoh soal: Tentukan jawaban umum dari : 1. (D – 1) (D + 2) (D – 3) (D + 1) y = 0 Jawab : y = c1 ex + c2 e-2x + c3 e3x + c4 e-x 2.
d2y dy +5 + 6y = 0 2 dx dx
Jawab : (D2 + 5D + 6) y = 0 (D + 3) (D + 2) y = 0 ∴ y = c1 e-3x + c2 e-2x atau 3.
y = Ae-2x + Be-3x
d2y dy +4 + 4 y = 0 ⇒ ( D 2 + 4 D + 4) y = 0 2 dx dx
(D + 2)2 y = 0 maka y = ce-2x bukan jawaban lengkapnya karena akar harus ada dua jadi misalkan jawaban umumnya y = u(x) e-2x Substitusi ke (D + 2)2 y = 0 didapat (D + 2)2 u(x) e-2x = 0
Dengan menggunakan sifat : φ(D) u emx = emx φ (D + m) u Didapat : e-2x [D – 2 + 2]2 u(x) = 0 ⇒ e-2x D2u= 0 D2u = 0 Du = A u = Ax + B ∴ y = (Ax + B) e-2x atau y = (c1x + c2) e-2x merupakan jawaban umumnya.
Secara umum dapat diperoleh : Bila ∅(D) y = A (D – m1) (D – m2) ..... (D – ms)s ..... (D – mn) y = 0 Maka jawaban dari (D – ms)s ys = 0 adalah ys = u emsx
∴ (D – ms)s u emsx = emsx (D + ms – ms)s = 0 emsx Ds u = 0 ⇒ Dsu = 0 u = co + c1 x + c2 x2 + ..... + cs-1 xs-1 ∴ Jawaban umumnya :
ys = (co + c1 x + c2 x2 + ..... + cs-1 xs-1) ems x
Contoh : 1. (D – 1) (D + 2)3 (D – 3) (D + 1) y = 0 Jawab umumnya: y = c1e x + (c2 + c3 x + c4 x 2 )e −2 x + c5 e 3 x + c6 e − x Karena rangkap 3
2. (D – 1)2 (D + 1)3 (D – 2)2 Dy = 0 Akan mempunyai jawaban umum : y = (c1 + c2 x) ex + (c3 + c4 x + c5 x2) e-x + (c6 + c7x) e2x + C8 3. (D – 3)2 (D + 1)3 D5 y = 0 Akan mempunyai jawaban umum : y = (c1 + c2 x) e3x + (c3 + c4 x+ c5 x2) e-x + c6 + c7 x + c8 x2 + c9 x3 + c10 x4 Bila persamaan karakteristik mempunyai akar kompleks : m1 = α + i β atau m2 = α - i β, maka jawaban umum : y = c1 em1x + c2 em2x = c1 e(α+iβ)x + c2 e(α-iβ)x = c1 eαx eiβx + c2 eαx e-iβx = eαx (c1 eiβx + c2 e-iβx)
= eαx (c1 cos βx + i c1 sin βx + c2 cos βx – i c2 sin βx) = eαx [(c1 + c2) cos βx + i(c1 – c2) sin βx] = eαx [A cos βx + B sin βx)]
dimana : A = c1 + c2 B = i(c1 – c2)
∴ y = eαx (A cos βx + B sin βx)
Jika α = 0 ⇒
y = A cos βx + B sin βx
Contoh : 1. (D2 – 4D + 13) y = 0 ⇒ {(D – 2)2 + 9} y = 0 {(D – 2) +i3} {(D – 2) –i3} y = 0 (D – 2 + 3i) (D – 2 – 3i) y = 0 ∴ y = e2x (A cos 3x + B sin 3x) 2. (D6 + 4D4) y = 0
⇒
D4 (D2 + 4) y = 0 D4 (D + 2i) (D – 2i) y = 0
∴ y = (c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3) + (A cos 2x + B sin 2x) DAPAT DISIMPULKAN : Jika persamaan karakteristik φ(m) = 0 atau m2 + pm + q = 0, mempunyai akarakar sebagai berikut : a. m1 dan m2 riel, maka : y = c1 em1x + c2 em2x b. m1 = m2 = m (riel rangkap), maka : y = (c1 + c2 x) emx c. m1 = α + iβ & m2 = α-iβ, maka : y = eαx (A cos βx + B sin βx) dan bila α = 0 ⇒ y = A cos βx + B sin βx
Kerjakan Soal-soal berikut : 1. (D2 – 4 D + 4) y = 0
6. (D3 – 3 D2 – D + 3) y = 0
2. (D3 + 3D2 + 3D + 1) y = 0
7. (4D3 – 3D2 + D) y = 0
3. (D3 + 9D) y = 0
8. (D2 – 2D + 4) y = 0
4. (D4 – 2D3) y = 0
9. (D2 – 6 D + 10) y = 0
5. (D6 – 4D4+ 4D2) y = 0
10. (D3 – 1) y = 0
PERSAMAAN DIFFERENSIAL IN HOMOGEN an
dny d n −1 y dy + + ..... + a1 + a0 y = g ( x) .......................... ( I ) a n −1 n n −1 dx dx dx
Sifat-sifat: a. Bila yc = c1 y1 + c2 y2 + ..... + cn yn merupakan salah satu jawaban persamaan I (yc = jawaban complementer) dan yp merupakan jawaban lain dari persamaan I (jawaban partikelir / khusus), maka y = yc + yp merupakan jawaban umum dari persamaan I. yc didapat dengan mengambil g(x) = 0 , sedangkan yp tergantung dari g(x) Bukti :
an
d n (y c + y p ) dx n
+ a n −1
d n −1 ( y c + y p ) dx n −1
+ ..... + a o ( y c + y p ) =
n d n−1 y p d n yc d y p d n−1 ( yc ) + ..... + ao yc + an + an−1 + ..... + ao y p an n + an−1 n −1 n n −1 dx dx dx dx O
g ( x)
dn y d n −1 y b. Dari persamaan an + a n −1 n −1 + ..... + a o y = g 1 ( x ) + g 2 ( x ) ............. ( II ) dx n dx
Bila yp1 dan yp2 merupakan jawaban khusus dari persamaan II maka yp = yp1 + yp2 merupakan jawaban khusus persamaan II. Bukti : an
d n ( yp1 + yp2 ) d n −1 ( yp1 + yp2 ) a + + ..... + ao ( yp1 + yp2 ) = n −1 dx n dx n −1
n n d n −1 y p1 d n −1 y p 2 d y p1 d y p2 a a a y a a + + + + + ..... + ao y p 2 = 0 n n −1 o p n n −1 n n −1 n n −1 dx dx dx dx
φ (D) y = g(x) ⇒ A (D – m1) (D – m2) ..... (D – mn) y = g(x) Dapat diselesaikan dengan metode reduksi sebagai berikut : A (D – m1) (D – m2) (D – m3) ..... (D – mm) y = g(x) Mis : A (D – m2) (D – m3) ..... (D – mn) y = u(x) Shg : (D – m1) u(x) = g(x), merupakan persamaan differensial linier. Maka : u(x) dapat diperoleh. Dengan cara yang sama dapat dimisalkan : A (D – m3) D – m4) ..... (D – mn) y = v(x) Shg:
(D – m2) v(x) = u(x) ⇒ v(x) diperoleh
Demikian seterusnya sehingga akhirnya diperoleh : (D – mn) y = w(x) ⇒ y dapat dicari.
Contoh : (D + 1) (D – 1) (D + 2) y = x Dengan mengambil : ( D + 1)( D − 1)( D + 2) yc = 0 maka didapat : yc = c1e − x + c2 e x + c3e −2 x untuk mencari yp ambil : ( D − 1)( D + 2) y = u ( x) sehingga didapat ( D + 1)u ( x) = x, maka
Misalkan :
du + u = x (persamaan differensial linier) dx
u=p.q
p
dq dp +q + p.q = x dx dx
p
dq dp +q + p = x dx dx
Pilih q sedemikian rupa sehingga :
dp + p=0 dx
dp = − dx p
p = e-x p
dq dq = x ⇒ e−x =x dx dx
∫ dq = ∫ xe dx
sehingga q = xe x - ∫ e x dx
x
q = xe x - e x = e x (x - 1)
jadi u = ( x − 1) sehingga didapat
( D − 1)( D + 2) y = x − 1
sekarang misalkan ( D + 2) y = v( x) sehingga diperoleh ( D − 1)v( x) = x − 1 maka
Misalkan :
dv − v = x − 1 (persamaan differensial linier) dx
v=p.q
p
dq dp +q − p.q = x − 1 dx dx
p
dq dp +q − p = x −1 dx dx
Pilih q sedemikian rupa sehingga :
dp −p=0 dx dp = dx p
p = ex p
dq dq = x −1 ⇒ ex = x −1 dx dx
∫ dq = ∫ ( x − 1)e
−x
dx sehingga q = −( x − 1)e − x + ∫ e − x dx
q = −( x − 1)e − x − e − x = − xe − x
Jadi v = − x dengan demikian : ( D + 2) y = − x
Misalkan :
y=p.q
p
dq dp +q + 2 p.q = − x dx dx
p
dq dp +q + 2 p = − x dx dx
Pilih q sedemikian rupa sehingga :
dp + 2p = 0 dx
dp = − 2dx p
p = e-2x p
dq dq = x − 1 ⇒ e −2 x =− x dx dx
∫ dq = − ∫ xe
2x
dx sehingga q = − 12 ( xe 2 x − ∫ e 2 x dx )
q = − 12 xe 2 x + 14 e 2 x = (− 12 x + 14 )e 2 x
Jadi y p = − 12 x + 14 Dengan demikian jawab umumnya adalah : y = yc + y p = c1e − x + c2 e x + c3e −2 x − 12 x + 14
MENCARI y p DENGAN KOEFISIEN TAK TENTU Untuk mencari y p tergantung daripada bentuk persamaan diferensial inhomogen yang ingin dicari {tergantung dari g(x)}. I. a). ɸ(𝐷𝐷)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟 atau (𝑎𝑎𝑛𝑛 𝐷𝐷𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 𝐷𝐷𝑛𝑛−1 +. . +𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑚𝑚 𝐷𝐷𝑛𝑛 −𝑚𝑚 )𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟 pada ruas kiri pangkat x yang tertinggi ditentukan oleh a0 y dengan a0 ≠ 0
r yang berarti bahwa pangkat tertinggi dari polynom y p adalah x sehingga
y p dapat dimisalkan sebagai : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2 𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏3 𝑥𝑥 3 + ⋯ + 𝑏𝑏𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )
Contoh:
Pecahkan persamaan diferensial: (𝐷𝐷2 − 5𝐷𝐷 + 6)𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 3 + 5𝑥𝑥 − 6 Penyelesaian: ambil : (𝐷𝐷2 − 5𝐷𝐷 + 6)𝑦𝑦𝑐𝑐 =0 sehingga 𝑦𝑦𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒 3𝑥𝑥 misal : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝑐𝑐0 + 𝑐𝑐1 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐2 𝑥𝑥 2 + 𝑐𝑐3 𝑥𝑥 3 ) 𝑦𝑦𝑝𝑝′ = (𝑐𝑐1 + 2𝑐𝑐2 𝑥𝑥 + 3𝑐𝑐3 𝑥𝑥 2 ) 𝑦𝑦𝑝𝑝′′ = (2𝑐𝑐2 + 6𝑐𝑐3 𝑥𝑥 )
jadi: (𝐷𝐷2 − 5𝐷𝐷 + 6)𝑦𝑦𝑝𝑝 = 2𝑐𝑐2 + 6𝑐𝑐3 𝑥𝑥 − 5𝑐𝑐1 − 10𝑐𝑐2 𝑥𝑥 − 15𝑐𝑐3 𝑥𝑥 2 + 6𝑐𝑐0 + 6𝑐𝑐1 𝑥𝑥 + 6𝑐𝑐2 𝑥𝑥 2 + 6𝑐𝑐3 𝑥𝑥 3 = 6𝑐𝑐3 𝑥𝑥 3 − (15𝑐𝑐3 − 6𝑐𝑐2 )𝑥𝑥 2 + (6𝑐𝑐3 − 10𝑐𝑐2 + 6𝑐𝑐1 )𝑥𝑥 +(2c2 − 5c1 + 6c0 ) ≡ 2𝑥𝑥 3 + 5𝑥𝑥 − 6
1
dari koefisien 𝑥𝑥 3 didapat 6c3 =2 jadi c3 = 3
5
𝑥𝑥 2 didapat −15c3 + 6𝑐𝑐2 =0 jadi c2 = 6 𝑥𝑥1 𝑥𝑥
0
didapat 6c3 −10𝑐𝑐2 + 6c1 =5 jadi c1 =
17 9
8
didapat 2c2 −5𝑐𝑐1 + 6c0 = −6 jadi c0 = 27
dengan demikian didapat 𝑦𝑦𝑝𝑝 =278 + 179 𝑥𝑥 + 56𝑥𝑥 2 +13𝑥𝑥 3 jadi jawab umumnya adalah 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑐𝑐 + 𝑦𝑦𝑝𝑝 1 8 17 5 =𝐴𝐴𝐴𝐴 2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒 3𝑥𝑥 + 27 + 9 𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 2 +3𝑥𝑥 3
b). Bila ∅(𝐷𝐷)𝑦𝑦 = ∅1 (𝐷𝐷)𝐷𝐷 𝑠𝑠 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟 dimana ∅1 (𝐷𝐷) ≠ 0 yang berarti bahwa pangkat tertinggi polynom ∅ (𝐷𝐷)𝑦𝑦 ditentukan oleh orde turunan terendah 𝐷𝐷 𝑠𝑠 𝑦𝑦 ∅1 (𝐷𝐷)𝐷𝐷 𝑠𝑠 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟 maka 𝐷𝐷 𝑠𝑠 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2 𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏3 𝑥𝑥 3 + ⋯ + 𝑏𝑏𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 ) , dengan mengintegralkan 𝐷𝐷 𝑠𝑠 𝑦𝑦 sampai s kali maka didapat : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 𝑠𝑠 (𝑐𝑐0 + 𝑐𝑐1 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐2 𝑥𝑥 2 + 𝑐𝑐3 𝑥𝑥 3 + ⋯ + 𝑐𝑐𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 ) Contoh : 1. Pecahkan persamaan diferensial: (𝐷𝐷 − 1)(𝐷𝐷 + 1)𝐷𝐷2 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 Penyelesaian: ambil : (𝐷𝐷 − 1)(𝐷𝐷 + 1)𝐷𝐷2 𝑦𝑦𝑐𝑐 =0 sehingga 𝑦𝑦𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒 −𝑥𝑥 + (𝐶𝐶 + 𝐷𝐷𝐷𝐷) misal : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 2 (𝑔𝑔0 + 𝑔𝑔1 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔2 𝑥𝑥 2 ) = 𝑔𝑔0 𝑥𝑥 2 + 𝑔𝑔1 𝑥𝑥 3 + 𝑔𝑔2 𝑥𝑥 4 𝑦𝑦𝑝𝑝′ = (2𝑔𝑔0 𝑥𝑥 + 3𝑔𝑔1 𝑥𝑥 2 + 4𝑔𝑔2 𝑥𝑥 3 ) 𝑦𝑦𝑝𝑝′′ = (2𝑔𝑔0 + 6𝑔𝑔1 𝑥𝑥 + 12𝑔𝑔2 𝑥𝑥 2 ) 𝑦𝑦𝑝𝑝′′′ = (6𝑔𝑔1 + 24𝑔𝑔2 𝑥𝑥) 𝑦𝑦𝑝𝑝′′′′ = 24𝑔𝑔2 jadi: (𝐷𝐷4 − 𝐷𝐷2 )𝑦𝑦𝑝𝑝 = 24𝑔𝑔2 − 2𝑔𝑔0 − 6𝑔𝑔1 𝑥𝑥 − 12𝑔𝑔2 𝑥𝑥 2 ≡ 𝑥𝑥 2 1
dari koefisien 𝑥𝑥 2 didapat −12𝑔𝑔2 =1 jadi 𝑔𝑔2 = − 12 𝑥𝑥 didapat −6𝑔𝑔1 =0 jadi 𝑔𝑔1 =0 𝑥𝑥 0 didapat 24𝑔𝑔2 − 2𝑔𝑔0 = 0 jadi 𝑔𝑔0 = − 1 dengan demikian didapat 𝑦𝑦𝑝𝑝 =−𝑥𝑥 2 − 121 𝑥𝑥 4 jadi jawab umumnya adalah 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑐𝑐 + 𝑦𝑦𝑝𝑝 1 =𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒 −𝑥𝑥 + (𝐶𝐶 + 𝐷𝐷𝐷𝐷) − 𝑥𝑥 2 − 12 𝑥𝑥 4 2. Pecahkan PD: (𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 + 3)(𝐷𝐷 − 2)𝐷𝐷2 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 3 + 5𝑥𝑥 2 + 6 𝑦𝑦𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 −𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒 2𝑥𝑥 + 𝐶𝐶𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 + (𝐷𝐷 + 𝐸𝐸𝐸𝐸) 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 2 (𝐹𝐹𝑥𝑥 3 + 𝐺𝐺𝑥𝑥 2 + 𝐻𝐻𝐻𝐻 + 𝐼𝐼)
II. a) Bentuk ɸ(𝐷𝐷)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑞𝑞
karena ruas kanan mengandung e
y p = ue qx dimana
, maka permisalan yang diambil
u = u ( x) ini berarti bahwa:
sehingga 𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑞𝑞 ∅(𝐷𝐷 + 𝑞𝑞)𝑢𝑢 ∅(𝐷𝐷 + 𝑞𝑞)𝑢𝑢 misal ∅(𝐷𝐷 + 𝑞𝑞)𝑢𝑢 sehingga 𝐹𝐹(𝐷𝐷)𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑝𝑝 = 𝑔𝑔0 + 𝑔𝑔1 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔2 𝑥𝑥 2 + ⋯ + 𝑔𝑔𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 , sehingga 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝑔𝑔0 + 𝑔𝑔1 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔2 𝑥𝑥 2 + ⋯ + 𝑔𝑔𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑞𝑞 ∅(𝐷𝐷)𝑢𝑢𝑒𝑒
𝑞𝑞𝑞𝑞
qx
𝑟𝑟 𝑞𝑞𝑞𝑞
= 𝑥𝑥 𝑒𝑒
= 𝑥𝑥 𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑞𝑞 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟 = 𝐹𝐹(𝐷𝐷)𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟
b). Bila ∅1 (𝐷𝐷)𝐷𝐷 𝑠𝑠 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑞𝑞 dan D=0 maka ∅(𝑞𝑞) = 𝐹𝐹(0) = 0, mempunyai 𝑞𝑞 rangkap s kali, sehingga: 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 𝑠𝑠 (𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2 𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏3 𝑥𝑥 3 + ⋯ + 𝑏𝑏𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑞𝑞
Contoh:
1.(𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 + 3)𝑦𝑦 = 2𝑒𝑒 2𝑥𝑥 ,karena 𝑦𝑦𝑐𝑐 tidak mengandung 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 2𝑥𝑥
2.(𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 + 2)𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 ,karena 𝑦𝑦𝑐𝑐 tidak mengandung 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝐴𝐴𝑥𝑥 2 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶)𝑒𝑒 2𝑥𝑥 3.(𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 − 1)(𝐷𝐷 − 2)𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 ,karena 𝑦𝑦𝑐𝑐 mengandung 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥(𝐴𝐴𝑥𝑥 2 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶)𝑒𝑒 2𝑥𝑥 4.(𝐷𝐷 + 2)(𝐷𝐷 − 3)(𝐷𝐷 − 4)3 𝑦𝑦 = 4𝑒𝑒 4𝑥𝑥 ,karena 𝑦𝑦𝑐𝑐 mengandung 𝑒𝑒 4𝑥𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 3 𝑒𝑒 4𝑥𝑥 5.(𝐷𝐷 − 1)(𝐷𝐷 + 1)3 𝐷𝐷2 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 ,karena 𝑦𝑦𝑐𝑐 mengandung 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 3 (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶𝑥𝑥 2 )𝑒𝑒 −𝑥𝑥
6.(𝐷𝐷 − 1)(𝐷𝐷 + 1)3 𝐷𝐷2 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 3 ,karena 𝑦𝑦𝑐𝑐 mengandung 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 3 (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶𝑥𝑥 2 )𝑒𝑒 −𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 (𝐷𝐷 + 𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝐹𝐹𝑥𝑥 2 + 𝐺𝐺𝑥𝑥 3 ) III. a) Bentuk ɸ(𝐷𝐷)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑞𝑞 karena cos qx = 12 (e 1
iqx
+ e −iqx ) ,maka berarti bahwa: 1
∅(𝐷𝐷)𝑦𝑦 = 2 𝑥𝑥 𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 + 2 𝑥𝑥 𝑟𝑟 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 atau ∅(𝐷𝐷)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑥𝑥 𝑟𝑟 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
Jadi 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1 𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 + (𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑏𝑏𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 sehingga : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1 𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑞𝑞𝑞𝑞) + (𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑏𝑏𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑞𝑞 − 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑞𝑞𝑞𝑞) dengan demikian : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝑐𝑐0 + 𝑐𝑐1 𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑐𝑐𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑞𝑞) + (𝑑𝑑0 + 𝑑𝑑1 𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑞𝑞𝑞𝑞)
maka : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝑔𝑔0 + 𝑔𝑔1 𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑔𝑔𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )(𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑞𝑞)
b). Bila ∅1 (𝐷𝐷)𝐷𝐷 𝑠𝑠 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑞𝑞 maka : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 𝑠𝑠 (𝑔𝑔0 + 𝑔𝑔1 𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑔𝑔𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )(𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑞𝑞) Contoh:
1.(𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 − 1)𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥, karena 𝑦𝑦𝑐𝑐 tidak mengandung 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 2𝑥𝑥
2.(𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 + 2)𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥,karena 𝑦𝑦𝑐𝑐 tidak mengandung 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)(𝐶𝐶𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2𝑥𝑥)
3.(𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 − 1)2 (𝐷𝐷 + 2)𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 3 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥, karena 𝑦𝑦𝑐𝑐 tidak mengandung 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝐴𝐴𝑥𝑥 3 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 2 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐷𝐷)(𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥 + 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 2𝑥𝑥)
4.(𝐷𝐷 − 1)(𝐷𝐷 − 2𝑖𝑖)2 (𝐷𝐷 + 2𝑖𝑖)2 (𝐷𝐷 + 4)𝐷𝐷2 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 3 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥, karena 𝑦𝑦𝑐𝑐 mengandung 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2𝑥𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝐴𝐴𝑥𝑥 2 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶)(𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 + 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑥𝑥) + 𝑥𝑥 2 (𝐹𝐹𝑥𝑥 3 + 𝐺𝐺𝑥𝑥 2 + 𝐻𝐻𝐻𝐻 + 𝐼𝐼)(𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥 + 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 2𝑥𝑥)
Soal-soal yang diselesaikan
1. (𝐷𝐷2 − 1)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 maka (𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 − 1)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦𝑐𝑐 = (𝐴𝐴𝑒𝑒 −𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒 𝑥𝑥 ) misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝐶𝐶𝑥𝑥 2 + 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐸𝐸) maka didapat : 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 −𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒 𝑥𝑥 − (𝑥𝑥 2 + 2)
2. (𝐷𝐷4 + 𝐷𝐷2 )𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 maka 𝐷𝐷2 (𝐷𝐷2 + 1)𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 , sehingga dapat ditulis sebagai (𝐷𝐷 + 𝑖𝑖)(𝐷𝐷 − 𝑖𝑖)𝐷𝐷2 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑐𝑐 = (𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) + (𝐶𝐶 cos 𝑥𝑥 + 𝐷𝐷 sin 𝑥𝑥) misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 2 (𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝐹𝐹) 1 maka didapat : 𝑦𝑦 = (𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) + (𝐶𝐶 cos 𝑥𝑥 + 𝐷𝐷 sin 𝑥𝑥) + 𝑥𝑥 2 3
3. (𝐷𝐷2 − 3𝐷𝐷 + 2)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥 2𝑥𝑥 maka (𝐷𝐷 − 2)(𝐷𝐷 − 1)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥 2𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑐𝑐 = (𝐴𝐴𝑒𝑒 2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒 𝑥𝑥 ) misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥(𝐶𝐶 + 𝐷𝐷𝐷𝐷)𝑒𝑒 2𝑥𝑥 1
maka didapat : 𝑦𝑦 = ( 2 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 𝐴𝐴)𝑒𝑒 2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒 𝑥𝑥
4. (𝐷𝐷2 − 1)𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 2𝑒𝑒 𝑥𝑥 maka (𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 − 1)𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 2𝑒𝑒 𝑥𝑥 , sehingga didapat 𝑦𝑦𝑐𝑐 = (𝐴𝐴𝑒𝑒 −𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒 𝑥𝑥 )
misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝐶𝐶 + 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐸𝐸𝑥𝑥 2 ) + 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑒𝑒 𝑥𝑥 maka didapat : 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 −𝑥𝑥 + (𝑥𝑥 + 𝐵𝐵)𝑒𝑒 𝑥𝑥 − (3𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 6) Kerjakan dirumah :
IX.
1. (𝐷𝐷2 − 5𝐷𝐷 + 6)𝑦𝑦 = 12𝑥𝑥 2 − 20𝑥𝑥 + 4 + 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 2. (𝐷𝐷2 + 1)𝑦𝑦 = 2 cos 𝑥𝑥 − 3 cos 2𝑥𝑥 3. (𝐷𝐷2 + 5𝐷𝐷 + 5)𝑦𝑦 = 3 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥 − 10 4. (𝐷𝐷4 − 2𝐷𝐷3 + 𝐷𝐷2 )𝑦𝑦 = 6𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 2 5. (𝐷𝐷3 − 4𝐷𝐷)𝑦𝑦 = 24𝑥𝑥 2 + 12 + 8 sin 2𝑥𝑥 6. (2𝐷𝐷2 − 3𝐷𝐷 − 2)𝑦𝑦 = (15𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 − 5)𝑒𝑒 2𝑥𝑥 − 18𝑒𝑒 𝑥𝑥 7. (𝐷𝐷4 + 𝐷𝐷2 )𝑦𝑦 = 18𝑥𝑥 − 4 sin 𝑥𝑥
PERSAMAAN DIFFERENSIAL EULER
Persamaan Differensial Euler adalah suatu persamaan differensial dengan bentuk umum: (an XnDn + an-1Xn-1Dn-1+… + a1XD + ao)y = g(x), atau dapat pula ditulis sebagai
φ ( XD) y = g ( x)
d3y 2 d2y dy + 6x + 7 y = x2 contoh : 3x 3 + x 2 dx dx dx 3
Untuk memecahkan Persamaan Differensial Euler dapat dilakukan dengan x = ez sehingga ln x = z, Jadi : dz = 1 , sedangkan dx x
memisalkan :
diketahui pula bahwa : jadi : x
d d = dx dz
bila diambil
Dari
d d dz d 1 d = , sehingga didapat = , dx dz dx dx x dz
d d = Dz dan = D , maka diperoleh : XD = Dz dz dx
d 1 d d2 d 1 d = = maka dapat dicari : 2 dx x dz dx dx x dz 1 d 1 d d =− 2 + x dz x dx dz 1 d 1 d2 =− 2 + 2 2 x dz x dz
Dengan demikian maka : D 2 =
(
)
1 2 Dz − Dz atau X 2 D 2 = (Dz2 − Dz ) 2 x
Selanjutnya dapat dicari :
(
)
(
2 1 d3 = − 3 Dz2 − Dz + 3 Dz3 − Dz2 3 dx x x
)
atau : X 3 D 3 = − 2(Dz2 − Dz )+ (Dz3 − Dz2 ) =
(D
3 z
− 3Dz2 + 2 Dz
)
= Dz (Dz − 1)(Dz − 2 )
Dengan cara yang sama akan didapat : X 4 D 4 = Dz (Dz − 1)(Dz − 2 )(Dz − 3)
X 5 D 5 = Dz (Dz − 1)(Dz − 2 )(Dz − 3)(Dz − 4 )
.. .. X n D n = Dz (Dz − 1)(Dz − 2 )(Dz − 3).......(Dz − (n − 1) )
Contoh : 1. Selesaikan Persamaan Diferensial : (X3D3 + X2D2 – 4XD) y = 0
Jawab : Misal : ez = x maka z= lnx XD
= Dz
X2D2 = Dz (Dz – 1) X3D3 = Dz (Dz – 1) (Dz – 2) Dengan demikian : {Dz (Dz – 1) (Dz – 2) +Dz (Dz – 1) – 4 Dz} y = 0 Dz [D2z– 3Dz + 2 + Dz – 1 – 4] y = 0 Dz (D2z– 2Dz – 3) y = 0 Dz (Dz – 3) (Dz + 1) y = 0 Sehingga jawabannya : y = c1 + c2 e3z + c3 e-z y = c1 + c2 x3 + c3 x-1 2. Carilah Jawab Umum PD : (X2D2 – XD + 5) y = x + 1 Jawab: Misalkan: x = ez ⇒ z = ln x, dengan demikian (X2D2 – XD + 5) y = x + 1 menjadi: [Dz (Dz-1) – Dz + 5] y = x + 1 (D2z – 2 Dz + 5) y = x + 1
Sekarang ambil : (D2z – 2 Dz + 5)yc = 0 p.k : m2 – 2 m + 5 = 0 2 ± 4 − 4.5 m1,2 = 2 1 − 16 = 1 + 2 i =1+ 2 Jadi : yc = ez [A cos 2 z + B sin 2 z] = x [A cos 2 (ln x) + B sin 2 (ln x)] misal :
yp = cez +E y'p = cez y''p = cez
Jadi : (D2z - 2Dz + 5)yp = ez + 1 z z z ce – 2 ce + 5 ce +5E = ez + 1 4 cez +5E = ez + 1 dari koefisien ez didapat 4 c = 1 → c = ¼ dan E=1/5 ∴ yp = ¼ ez +1/5 1 Sehingga : y = x [A cos 2 (ln x) + B sin 2 (ln x)] + x +1/5 4 Kerjakan soal-soal berikut ini dirumah: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
(X2D2 + 2XD - 2) y = 0 (X3D3–3X2D2 +7 XD - 8) y = 0 (X2D2 – 3XD + 5) y = 0 (X2D2 – XD + 3) y = 4x (X2D2 – XD + 1) y = 6x + 2x3 (X2D2 + 2XD – 5) y = 4 + x2
X. PERSAMAAN DIFFERENTIAL SIMULTAN Untuk mencari persamaan diferensial simultan :
φ1 (D) y + φ3 (D) z = f1 (x) , φ2 (D) y + φ4 (D)z = f 2 (x)
maka dilakukan hal sebagai berikut
φ1 (D) φ2 (D) y + φ3 (D) φ2 (D) z = φ2 (D) f1 (x) φ1 (D) φ2 (D) y + φ4 (D) φ1 (D) z = φ1 (D) f 2 (x) − [{φ3 (D) φ2 (D) − φ4 (D) φ1 (D)} z = φ2 (D) f1 (x) - φ1 (D) f 2 (x)] melalui eliminasi y akan diperoleh nilai z, dengan demikian nilai y dapat pula dicari.
Contoh soal : 1.
Selesaikan Persamaan Diferensial (D – 1) y – (2D + 1)z = (1 – x) Dy + (D + 4)z = 1 + 4x
Penyelesaian: (D – 1) y – (2 D + 1) z = (1 – x)
kalikan D
Dy + (D + 4) z = 1 + 4x
kalikan D – 1, sehingga didapat:
D(D −1) y − D (2 D + 1)z = D . (1 − x ) D (D − 1) y + (D + 4)(D − 1)z = (D − 1)(1 + 4 x ) (− ) [D(2 D + 1) + (D − 1)(D + 4)]z = (D − 1)(1 + 4 x ) − D(1 − x )
(3D2 + 4D – 4) z
= 4 –1 – 4x + 1
(3D – 2) (D + 2) z = 4 – 4x (3D – 2) (D + 2) zc = 0 → zc = c1 e2/3 x + c2 e-2x Misal :
zp
= Ax + B
z'p
=A
z''p
= 0
sehingga didapat : (3D2 + 4D – 4) zp = 4 – 4x 4A – 4Ax – 4B pada komponen x didapat
= 4 – 4x
-4A= -4 → A= 1
pada komponen x0 didapat 4 – 4B= 4 → B= 0 jadi zp= x Maka jawab umum adalah : z = c1 e 2/3 x + c2 e-2x + x Untuk mencari y maka subsitusi z ke salah satu persamaan sehingga didapat: Dy + (D + 4) z = 1 +4 x Dy = 1 + 4 x – (D + 4) (c1 e2/3 x + c2 e-2x + x) 2 x 14 dengan demikian y = ∫ − c1 e 3 − 2 c2 e −2 x dx 3
= - 7 c1 e
2 x 3
+ c2 e −2 x + c
Dw = y+ z
2. Selesaikan Persamaan Diferensial berikut:
Dy = w + z Dz = w + y
Jawab: dari Dw = y + z didapat D 2 w = Dy + Dz = (w + z) + (w + y) = 2w + ( z + y ) = Dw + 2 w 2 jadi : D w − Dw − 2 w = 0 ( D − 2)( D + 1) w = 0 sehingga: w = c1e 2 x + c2 e − x dari Dy = w + z didapat D 2 y = Dw + Dz = ( y + z ) + ( y + w) = 2 y + (w + z) = Dy + 2 y 2 jadi : D y − Dy − 2 y = 0 ( D − 2)( D + 1) y = 0 sehingga: y = d1e 2 x + d 2 e − x dari Dz = x + y didapat D 2 z = Dx + Dy = ( y + z) + ( x + z) = 2 z + ( x + y) = Dz + 2 z 2 jadi : D z − Dz − 2 z = 0 ( D − 2)( D + 1) z = 0 sehingga: z = a1e 2 x + a2 e − x 3. Selesaikan Persamaan Diferensial berikut:
D (D − 1) y + z = 1 ( D − 1) y + Dz = 4 e − x
Penyelesaian:
D (D − 1) y + z = 1
D (D − 1) 1 dapat ditulis sebagai D ( D − 1) y + Dz = 4 e D −1 Dengan cara crammer didapat : D(D − 1) 1 1 1 y= ……………….. ( 1 ) , dan −x D −1 D 4e D −x
D(D − 1) 1 D(D − 1) 1 z= ...……………… ( 2 ) D −1 D D −1 4 e −x
y 1 = − x z 4e
Dari (1) didapat: {D2 (D-1) – (D-1) } y = 0 – 4 e-x (D3 – D2 – D+1) y = - 4 e-x (D2 – 1) (D – 1) y = - 4 e –x (D + 1) (D-1)2 y = - 4 e-x Ambil : (D+1)(D-1)2 yc = 0 ∴ yc = A e-x + (Bx + C) ex Missal : yp y'p y''p y'''p
= Px e-x = P e-x – Px e-x = -Pe-x - Pe-x + Pxe-x = -2 Pe-x + Pxe-x = 2Pe-x + Pe-x – Pxe-x = 3Pe-x – Pxe-x
(D3-D2–D+1)yp =-4e-x jadi 3Pe-x–Pxe-x+2Pe-x–Pxe-x–Pe-x+Pxe-x+Pxe-x = -4e-x maka 4Pe-x = -4e-x , sehingga didapat P = -1 , jadi : yp = -xe-x Jawab umum PD adalah: y = yc + yp = Ae-x + (Bx + C) ex – xe-x = (A-x) e-x + (B x+ C) ex Dari persamaan 2 maka z dapat dicari (cari sendiri dirumah)
Soal : Selesaikan Persamaan Diferensial dibawah ini 1. 2.
3. 4. 5.
(D+1) y + Dz = ex sin x (D+3) y + (D+2) z = ex cos x Dy = z Dz = w Dw = y Dy + 3 Z = 4 X D2y + (2 D + 1) Z = 3 2y + DZ = e3x (2D-3) y + D2 z = 2e2x – 6 (3D 2 + 3D + 2) y + ( D 2 + 2 D + 3) z = e x (2 D 2 − D − 2) y + ( D 2 + D + 1) z = 8
