Persamaan Diferensial Stokastik dan Beberapa Penerapannya

Persamaan Diferensial Stokastik dan Beberapa Penerapannya Herry Pribawanto Suryawan 3. April 2014

Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD)

Seminar FST USD

3. April 2014

1 / 24

Isi Presentasi

Motivasi Derau Putih dan Gerak Brown Persamaan Diferensial Stokastik Beberapa Penerapan


Seminar FST USD

3. April 2014

2 / 24

Motivasi


Seminar FST USD

3. April 2014

3 / 24

Model Pertumbuhan Populasi Model Malthus (1798): dN(t) = rN(t) dt

N(0) = N0 > 0

Tidak realistis! Persamaan Logistik / Model Verhulst (1845): dN(t) N(t) = rN(t) 1 − , dt K

Penyelesaian: N(t) =

N(0) = N0 > 0

N0 K N0 + (K − N0 )e −rt

dan perilaku jangka panjang (long time behaviour) lim N(t) = K .

t→∞ Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD)

Seminar FST USD

3. April 2014

4 / 24

Beberapa cara untuk memperbaiki model logistik: 1

Persamaan logistik yang dimodikasi: dN(t) = rN(t) dt

2

N(t) N(t) −1 1− , L K

0 < L < K , N(0) = N0 > 0

Laju pertumbuhan takkonstan: N(t) dN(t) = r (t)N(t) 1 − , dt K

3

N(0) = N0 > 0

Persamaan logistik stokastik (mempertimbangkan adanya derau (noise)): dNt = rNt dt

1−

Nt K

+ αNt · Dt

N0 = Y > 0

Kita tidak tahu perilaku eksak dari derau Dt , hanya distribusi peluang dari Dt yang diketahui. Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD)

Seminar FST USD

3. April 2014

5 / 24

kurva logistik deterministik vs stokastik deterministik:

stokastik:


Seminar FST USD

3. April 2014

6 / 24

Beberapa pertanyaan (matematis) yang muncul Apa artinya dan formulasi matematika dari:

Kuantitas acak Nt untuk setiap waktu t => peubah acak (random variable) Keluarga kuantitas acak (Nt )t≥0 yang diindeks oleh waktu t => proses stokastik (stochastic processes) Derau Dt => derau putih Gaussian (Gaussian white noise) (turunan dari gerak Brown) Integral stokastik Z T

0

Nt · Dt dt

=> integral Ito atau integral Stratonovich Persamaan diferensial stokastik dNt = rNt dt

N 1− t K

+ αNt · Dt

=> persamaan integral stokastik Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD)

Seminar FST USD

3. April 2014

7 / 24

Derau Putih dan Gerak Brown


Seminar FST USD

3. April 2014

8 / 24

Tonggak sejarah gerak Brown dan derau putih 1 2 3

4 5 6

7

8

9

10

(1827): percobaan serbuk sari tumbuhan pada larutan L. Bachelier (1900): pemodelan bursa saham Paris dengan gerak Brown A. Einstein (1905): teori pertama gerak Brown terkait dengan persamaan panas/difusi N. Wiener (1923): fondasi matematika yang rigor untuk gerak Brown K. Ito (1942): penemuan kalkulus stokastik (integral terhadap gerak Brown) F. Black dan M. Scholes (1973): Rumus Black-Scholes untuk harga opsi tipe Eropa dalam keuangan T. Hida (1976): fondasi matematika yang rigor untuk derau putih (white noise analysis) L. Streit (1983): Pemecahan masalah integral Feynman di dalam mekanika kuantum dengan analisis derau putih M. Scholes dan R. Merton (1997): Nobel Ekonomi untuk rumus Black-Scholes W. Werner (2006): Medali Field untuk masalah self-intersection gerak Brown dimensi tinggi R. Brown


Seminar FST USD

3. April 2014

9 / 24

Derau Putih (White

Noise )

Derau:

takperiodik, kompleks, tidak menyenangkan, suara atau sinyal yang rusak (corrupted) Derau putih: derau akustik atau elektrik yang memuat semua frekuensi yang dapat didengar dengan intensitas yang sama Putih berarti derau tersebut tersusun dari semua frekuensi pada spektrum yang dapat didengar, terdistribusi secara acak. Hal ini analog dengan cahaya putih yang tersusun dari semua warna pada spektrum visual. Di dalam penerapan, derau putih digunakan sebagai sebuah idealisasi matematis dari fenomena-fenomena yang memuat uktuasi yang mendadak dan sangat besar. Derau putih Gaussian (Gaussian white noise): terkait dengan teori bahwa derau putih adalah turunan (terhadap waktu) dari gerak Brown.


Seminar FST USD

3. April 2014

10 / 24

Gerak Brown:

Derau Putih:


Seminar FST USD

3. April 2014

11 / 24

Gerak Brown adalah proses stokastik B = (Bt )t≥0 yang terdenisi pada sebuah ruang peluang (Ω, F, P) sehingga: 1 B0 = 0 P-hampir pasti 2 B memiliki kenaikan yang bebas (independent increments) 3 Bt − Bs ∼ N (0, t − s) (normally distributed) 4 P-hampir pasti t 7→ Bt (ω) kontinu

Partikel Brownian tidak memiliki laju: 1 dBt Bt+ε − Bt Bt+ε − Bt ∼ N (0, ) =⇒ = lim ε→0 ε ε dt ε

tidak ada!

Fakta:

Dengan peluang satu, trayektori (lintasan sampel) gerak Brownian bersifat kontinu dimana-mana tapi tidak terdiferensial dimana-mana. => integral Riemann-Stieltjes tidak bisa digunakan Gerak Brown bersifat serupa diri (self-similar) => terkait dengan fraktal Gerak Brown adalah proses Markov => tidak punya memori Gerak Brown adalah proses Gaussian => Kajian probabilitik dan analitiknya relatif mudah


Seminar FST USD

3. April 2014

12 / 24

Proses stationer lemah adalah proses stokastik (Xt )t≥0 dengan sifat: 1

E(Xt ) = m

2

E((Xt+u − m)(Xu − m)) = F (t)

F positif denit dan F (0) = E(Xu − m)2 = σ 2 . Dengan asumsi F kontinu,

teorema Bochner memberikan

Z F (t) =

e itx f (x) dx.

R

adalah sebagai proses Gaussian stationer lemah sehingga fungsi kepadatan spektralnya f konstan. Akibatnya, σ 2 = ∞. Derau putih adalah proses Gaussian Dt yang saling bebas pada waktu yang berbeda dan memiliki distribusi identik dengan rata-rata 0 dan variansi ∞, dalam arti: Z Derau putih

e i(t−s)x dx = δ(t − s)

E(Dt Ds ) = R

(secara matematika, kedua denisi di atas belum bisa diterima 100 persen) Teori derau putih yang rigor secara matematika adalah melalui teori distribusi (generalized function) stokastik pada sebuah ruang vektor topologi berdimensi takhingga. (T. Hida,1976). Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD)

Seminar FST USD

3. April 2014

13 / 24

Persamaan Diferensial Stokastik


Seminar FST USD

3. April 2014

14 / 24

Contoh Persamaan Langevin

dXt = −bXt dt + a dBt ,

X0 = x0

Solusi PDS ini adalah proses Ornstein-Uhlenbeck Xt = e −bt x0 + a

Z 0

t

e −b(t−u) dBu

Persamaan Logistik Stokastik

dNt = rNt

1−

Nt K

dt + αNt dBt ,

N0 = Y > 0

Solusi PDS ini adalah proses Logistik 1

Nt = Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD)

2

e (rK − 2 α )t+αBt Rt 1 2 Y −1 + r 0 e (rK − 2 α )s+αBs ds Seminar FST USD

3. April 2014

15 / 24

Secara umum:

Persamaan diferensial stokastik dXt = f (t, Xt ) dt + σ(t, Xt ) Dt dt,

X0 = Y

dituliskan sebagai dXt = f (t, Xt ) dt + σ(t, Xt ) dBt ,

X0 = Y

dan diinterpretasikan (dimaknai secara matematis) sebagai persamaan integral stokastik Z t Z t Xt = Y +

|0

f (s, Xs ) ds {z }

integral deterministik

+

|0

σ(s, Xs ) dBs {z }

integral stokastik

integral deterministik : integral Riemann, integral Lebesgue, integral Henstock, dsb integral stokastik: integral Ito, integral Stratonovich, integral Russo-Vallois, dsb


Seminar FST USD

3. April 2014

16 / 24

Teorema Eksistensi-Ketunggalan Solusi dalam kalkulus Ito Theorem

Misalkan f (t, x) dan σ(t, x) adalah fungsi-fungsi terukur pada [0, T ] × R yang memenuhi kondisi Lipschitz dan kondisi membesar secara linear dalam peubah x , dan Y adalah peubah acak yang teradaptasi terhadap F0 dengan E(Y 2 ) < ∞. Maka persamaan integral Z Xt = Y +

0

t

Z f (s, Xs ) ds +

t

0

σ(s, Xs ) dBs

mempunyai sebuah solusi kontinu yang tunggal. Lebih lanjut solusi ini adalah sebuah proses Markov. Alat penting lainnya: Rumus Ito Diberikan sebuah fungsi kontinu f (t, x) dengan turunan-turunan parsial yang ∂f ∂2f kontinu ∂f ∂t , ∂x , dan ∂x 2 , maka f (t, Bt ) = f (0, B0 ) +

Z


0

t

∂f (s, Bs ) dBs + ∂x

Z t 0

Seminar FST USD

∂f 1 ∂2f (s, Bs ) + (s, Bs ) ∂t 2 ∂x 2 3. April 2014

ds 17 / 24

Beberapa Penerapan


Seminar FST USD

3. April 2014

18 / 24

Penyaringan Stokastik (stochastic ltering) Keadaan sistem (proses

input)

Xt pada setiap waktu t :

dXt = α(t) dBt + β(t)Xt dt, X0 pada saat t = 0, α(t), β(t) fungsi deterministik, Bt gerak Brown, distribusi awal X0 saling bebas dengan Bt

Observasi (proses

output)

Zt dari sistem pada waktu t :

dZt = f (t) dWt + g (t)Xt dt,

Z0 = 0,

f (t), g (t) fungsi deterministik, Wt gerak Brown yang saling bebas dengan Bt dan X0

Masalah penyaringan:

berdasarkan nilai-nilai yang teramati Zs , 0 ≤ s ≤ t , bagaimana menentukan estimator terbaik Xˆt dari keadaan Xt dari sistem pada waktu t ?


Seminar FST USD

3. April 2014

19 / 24

Penyelesaian dengan menggunakan metode kesalahan rata-rata kuadrat

(least mean square error method): Dicari estimator Xˆt yang meminimalkan kesalahan rata-rata kuadrat:

terkecil

Rt := E

Xt − Xˆt

2

2 ≤ E (Xt − Y )

untuk setiap peubah acak Y ∈ L2 (P) yang terukur terhadap aljabar-σ FtZ := σ {Zs : s ≤ t} .

Estimator Xˆt adalah proyeksi ortogonal dari Xt ke ruang Hilbert L2 (FtZ ) dan berlaku Xˆt = E Xt FtZ

Jadi, ekspektasi bersyarat adalah estimator terbaik untuk keadaan Xt dari sistem berdasarkan observasi Zs , 0 ≤ s ≤ t . Bagaimana menentukan E Xt FtZ ?


Seminar FST USD

3. April 2014

20 / 24

Theorem (Kalman-Bucy) Jika

keadaan Xt dari sebuah sistem diberikan oleh dXt = α(t) dBt + β(t)Xt dt , distribusi initial X0 saling bebas dengan gerak Brown Bt dan memiliki rata-rata µ0 dan variansi σ02 3 Observasi Zt dari sistem diberikan oleh dZt = f (t) dWt + g (t)Xt dt , Z0 = 0, dengan gerak Brown Wt saling bebas dengan Bt dan X0 , ˆt = E Xt FtZ adalah penyelesaian dari persamaan maka ekspektasi bersyarat X diferensial stokastik 1 2

d Xˆt =

g (t)2 Rt ˆ g (t)Rt dZ + β(t) − Xt dt, t f (t)2 f (t)2

Xˆ0 = µ0 ,

dengan Rt adalah penyelesaian persamaan Riccati dRt g (t)2 2 = α(t)2 + 2β(t)Rt − R , dt f (t)2 t Lebih lanjut, Rt = E (Xt − Xˆt )2 . Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD)

Seminar FST USD

R0 = σ02 .

3. April 2014

21 / 24

Penerapan lainnya dari Gerak Brown, derau putih dan PD stokastik Matematika keuangan (dinamika harga saham/aset berharga/nilai kurs valuta asing, dsb) Rangkaian listrik dengan derau Pergerakan acak dari (mikro)organisme Masalah turbulensi dalam dinamika uida (persamaan Navier-Stokes stokastik) Pemodelan polimer pada sika Integral Feynman dalam mekanika kuantum Transformasi Fourier dimensi takhingga Masalah Dirichlet dalam persamaan diferensial parsial dsb


Seminar FST USD

3. April 2014

22 / 24

Daftar Pustaka B. Oksendal. Stochastic Dierential Equations, 6th ed. , Springer, 2005 I. Karatzas and S. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed, Springer, 1999 J.M. Steele. Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer, 2001 P. Kall and J. Mayer. Stochastic Linear Programming, 2nd ed. Springer, 2011 J. Xiong. An Introduction to Stochastic Filtering Theory, OUP, 2008 M. Bachar, et al. Stochastic Biomathematical Models, Springer, 2013 P. Kloeden and E. Platen. Numerical Solution of SDEs, Springer, 1992 R. Khasminskii. Stochastic Stability of Dierential Equations, 2nd ed. Springer, 2012 C. Prevot and M. Röckner. A Concise Course on Stochastic Partial Dierential Equations, Springer, 2007 T. Hida, H-H. Kuo, J. Pottho, and L. Streit. White Noise. An Innite Dimensional Calculus, Kluwer, 1993 Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD)

Seminar FST USD

3. April 2014

23 / 24

Terima kasih


Seminar FST USD

3. April 2014

24 / 24

Persamaan Diferensial Stokastik dan Beberapa Penerapannya

Recommend Documents