Persamaan Logistik Stokastik

Persamaan Logistik Stokastik

Herry Pribawanto Suryawan Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta

26. April 2014

Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 1 / USD 35

Isi Kuliah

Persamaan Logistik

Derau Putih dan Gerak Brown

Persamaan Diferensial Stokastik


Perluasan Model Logistik Stokastik


Persamaan Logistik


Model Pertumbuhan Populasi Model Malthus (1798):

dN(t) = rN(t) dt

N(0) = N0 > 0,

dengan

N(t) adalah banyaknya individu di dalam r adalah laju pertumbuhan intrinsik

populasi pada waktu

t

Solusi:

N(t) = N0 e rt

Tidak realistis!


Model Pertumbuhan Populasi Persamaan Logistik / Model Verhulst (1845):

Gb. 1 : sumber: en.wikipedia.org dN(t) = r (t)N(t) dt

1

−

N(t) K

,

N(0) = N0 > 0,

(1)

dengan

r : [0, ∞) → R

fungsi terintegral lokal adalah laju pertumbuhan individu

dalam populasi

K >0

adalah kapasitas ambang untuk mengakomodasi faktor-faktor daya

dukung ekosistem seperti ketersediaan makanan dan air, temperatur, kelembaban, intensitas cahaya, kehadiran predator, penyakit, dsb.


Persamaan logistik (1) adalah PD nonlinear, tapi dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel.

Solusi:

N(t) = Khususnya, jika

r (t) = r

N0 K N0 + (K − N0 )e −

Rt 0

r (s) ds

konstan:

N(t) =

N0 K N0 + (K − N0 )e −rt

(2)

Perilaku jangka panjang: r > 0: K:

kurva solusi berbentuk sigmoid dan bersifat stabil asimtotik menuju ke lim N(t) t→∞

r = 0:

populasi statis (sesuai dengan kondisi awal lim N(t) t→∞

r < 0:

=K N0 ):

= N0

terjadi pengurangan laju pertumbuhan per kapita dan kurva solusi

secara asimtotik menuju ke nol (kepunahan populasi): lim N(t) t→∞

= 0.


Kurva solusi persamaan logistik (kurva logistik) untuk laju pertumbuhan

r > 0:

Gb.2. : sumber: gummy-stu.org


Kurva solusi persamaan logistik (kurva logistik) untuk laju pertumbuhan

r >0

dengan berbagai kondisi awal:

Gb.3. : sumber: fr.wikipedia.org


Beberapa modikasi model logistik: 1

Persamaan logistik dengan ambang kepunahan Pada kenyataannya kepunahan populasi dapat terjadi apabila ukuran populasi terlalu kecil, sebab:

predasi dapat menghabiskan sisa individu dalam populasi, mencari pasangan untuk berkembang biak menjadi sulit, kurangnya keanekaragaman genetik yang mengakibatkan populasi rentan terhadap penyakit epidemik, dsb.

dN(t) = r (t)N(t) dt 2

N(t) −1 L

1

−

N(t) K

,

0

< L < K , N(0) = N0 > 0

Persamaan logistik stokastik Pada kenyataannya parameter-parameter dalam persamaan logistik tidak sepenuhnya dapat ditentukan, ada faktor-faktor eksternal yang bersifat

noise )):

probabilistik. Jadi perlu dipertimbangkan adanya derau (

dNt = Nt dt

1

−

Nt K

(α(t) + σ(t) · Dt )

N0 = Y > 0 Kita tidak tahu perilaku eksak dari derau

Dt ,

hanya distribusi peluang dari

Dt

yang diketahui.


kurva logistik deterministik vs stokastik

deterministik:

stokastik:

Gb. 4 : sumber: wolfram.com


Beberapa pertanyaan (matematis) yang muncul

Apa artinya dan formulasi matematika dari: Kuantitas acak

Nt

untuk setiap waktu

Keluarga kuantitas acak stokastik ( Derau

Dt

(Nt )t≥0

t

yang diindeks oleh waktu

stochastic processes )

=> derau putih Gaussian (

random variable )

=> peubah acak (

t

=> proses

Gaussian white noise ) (turunan dari

gerak Brown) Integral stokastik

Z 0

T

Nt · Dt dt

=> integral Ito atau integral Stratonovich Persamaan diferensial stokastik

dNt = Nt

Nt 1− K

(α(t) + σ(t) · Dt ) dt

=> persamaan integral stokastik


Derau Putih dan Gerak Brown


Tonggak sejarah gerak Brown dan derau putih 1 2 3

R. Brown (1827): percobaan serbuk sari tumbuhan pada larutan L. Bachelier (1900): pemodelan bursa saham Paris dengan gerak Brown A. Einstein (1905): teori pertama gerak Brown terkait dengan persamaan panas/difusi

4 5 6

N. Wiener (1923): fondasi matematika yang rigor untuk gerak Brown K. Ito (1942): penemuan kalkulus stokastik (integral terhadap gerak Brown) F. Black dan M. Scholes (1973): Rumus Black-Scholes untuk harga opsi tipe Eropa dalam keuangan

7

8

T. Hida (1976): fondasi matematika yang rigor untuk derau putih (white noise analysis ) L. Streit (1983): Pemecahan masalah integral Feynman di dalam mekanika kuantum dengan analisis derau putih

9

M. Scholes dan R. Merton (1997): Nobel Ekonomi untuk rumus Black-Scholes

10

W. Werner (2006): Medali Field untuk masalah self-intersection gerak Brown dimensi tinggi


Derau Putih (

White Noise )

Derau: takperiodik, kompleks, tidak menyenangkan, suara atau sinyal yang rusak (corrupted)

Derau putih: derau akustik atau elektrik yang memuat semua frekuensi yang dapat didengar dengan intensitas yang sama

Putih berarti derau tersebut tersusun dari semua frekuensi pada spektrum yang dapat didengar, terdistribusi secara acak. Hal ini analog dengan cahaya putih yang tersusun dari semua warna pada spektrum visual. Di dalam penerapan, derau putih digunakan sebagai sebuah idealisasi matematis dari fenomena-fenomena yang memuat uktuasi yang mendadak dan sangat besar. Derau putih

Gaussian (Gaussian white noise ): terkait dengan teori bahwa

derau putih adalah turunan (terhadap waktu) dari gerak Brown.


Derau Putih dan Gerak Brown:

Gb. 5 : sumber: http://technion.ac.il/ pavel/


Gerak Brown adalah proses stokastik B = (Bt )t≥0 ruang peluang 1 2 3 4

(Ω, F, P)

yang terdenisi pada sebuah

sehingga:

B0 = 0 P-hampir pasti B memiliki kenaikan yang bebas (independent increments ) Bt − Bs ∼ N (0, t − s) (normally distributed ) P-hampir pasti t 7→ Bt (ω) kontinu

Gb. 6 : sumber:math.uiuc.edu Partikel Brownian tidak memiliki laju:

Bt+ε − Bt 1 dBt Bt+ε − Bt ∼ N (0, ) =⇒ = lim tidak ada! ε→0 ε ε dt ε


Fakta: Dengan peluang satu, trayektori (lintasan sampel) gerak Brownian bersifat kontinu dimana-mana tapi tidak terdiferensial dimana-mana. => integral Riemann-Stieltjes tidak bisa digunakan Gerak Brown bersifat serupa diri (self-similar) => terkait dengan fraktal Gerak Brown adalah proses Markov => tidak punya memori Gerak Brown adalah proses Gaussian => Kajian probabilistik dan analitiknya relatif mudah

Derau putih adalah proses Gaussian Dt

yang saling bebas pada waktu yang

berbeda dan memiliki distribusi identik dengan rata-rata 0 dan variansi arti:

Z E(Dt Ds ) =

∞,

dalam

e i(t−s)x dx = δ(t − s)

R Denisi ini belum dapat diterima 100%.

Teori derau putih yang rigor secara matematika adalah melalui teori distribusi (generalized function) stokastik pada sebuah ruang vektor topologi berdimensi takhingga. (T. Hida,1976).


Persamaan Diferensial Stokastik


Persamaan diferensial dengan derau dXt = f (t, Xt ) dt + σ(t, Xt ) Dt dt, dituliskan sebagai

X0 = Y

persamaan diferensial stokastik dXt = f (t, Xt ) dt + σ(t, Xt ) dBt ,

X0 = Y

dan diinterpretasikan (dimaknai secara matematis) sebagai

stokastik

Z Xt = Y +

|0

t

Z f (s, Xs ) ds {z }

integral deterministik

integral deterministik

: integral Riemann,

+

|0

persamaan integral

t

σ(s, Xs ) dBs {z }

integral stokastik

integral Lebesgue, integral Henstock,

dsb

integral stokastik : integral Wiener, integral Ito, integral Stratonovich, integral Russo-Vallois, dsb


Teorema Eksistensi-Ketunggalan Solusi dalam kalkulus Ito

Theorem

Diberikan persamaan diferensial stokastik dXt = f (t, Xt ) dt + σ(t, Xt ) dBt ,

X0 = Y

(3)

dengan 1 fungsi f (t, x) dan σ(t, x) terukur pada [0, T ] × R 2 terdapat K > 0 sehingga untuk setiap t ∈ [0, T ] dan x, y ∈ R: 1 2

|f (t, x) − f (t, y )| + |σ(t, x) − σ(t, y )| ≤ K |x − y |, |f (t, x)|2 + |σ(t, x)|2 ≤ K (1 + |x|2 )

peubah acak Y memenuhi E(Y 2 ) < ∞ dan, untuk setiap t > 0, bebas terhadap gerak Brown B Maka terdapat sebuah solusi Xt dari (3) yang terdenisi pada [0, T ] yang kontinu P-hampir pasti, teradaptasi terhadap ltrasi yang dibangun oleh Y dan Bs , s ≤ t , memenuhi supt∈[0,T ] E(Xt2 ) < ∞, serta merupakan proses Markov. Lebih lanjut, solusi ini bersifat yakni apabila X dan Z dua tunggal lintasan-demi-lintasan, solusi, maka P supt∈[0,T ] |Xt − Zt | = 0 = 1. 3


Rumus Ito

Proses Ito adalah proses stokastik

Xt

yang dapat dituliskan dalam bentuk

dXt = f (t) dt + σ(t) dBt dengan

Rt 0

|f (s)| ds < ∞

dan

Rt 0

|σ(s)|2 ds < ∞.

Theorem

Apabila Xt adalah proses Ito dan g (t, x) ∈ C 2 ([0, ∞) × R), maka Y (t) = g (t, Xt ) juga merupakan proses Ito dan berlaku dY (t) =

∂g ∂g (t, Xt ) dt + (t, Xt ) dXt + ∂t ∂x

∂2g (t, Xt ) (dXt )2 , 2 ∂x 2

1

dengan (dXt )2 ditentukan menurut aturan dt.dt = dt.dBt = dBt .dt = 0, dBt .dBt = dt.




Penurunan persamaan logistik stokastik Dari persamaan logistik

dN(t) = r (t)N(t) dt

1

−

N(t) K

,

N(0) = N0 > 0

dengan memperhatikan gangguan acak (derau) pada laju pertumbuhan

r (t) = α(t) + σ(t).Dt

(4)

diperoleh persamaan logistik dengan derau

dNt = Nt dt Kita pilih derau

Dt

1

−

Nt K

(α(t) + σ(t) · Dt ) , N0 = Y > 0

adalah derau putih Gaussian, jadi dapat dipandang

Dt =

dBt . dt

Dengan demikian diperoleh persamaan logistik stokastik

dNt = Nt

Nt 1− K

(α(t) dt + σ(t)dBt ) , N0 = Y > 0

(5)


Eksistensi-Ketunggalan Solusi Positif

Theorem

Untuk setiap kondisi awal N0 sehingga N0 ∈ (0, K ) P-hampir pasti, terdapat dengan tunggal solusi positif yang kontinu seragam dari persamaan logistik stokastik (5).

Ide bukti: Teorema eksistensi-ketunggalan umum Rumus Ito

Teorema Kolmogorov-Chentsov : Diberikan X = (Xt )t≥0

adalah proses

C , η > 0 sehingga untuk setiap s, t ≥ 0 E (Xt − Xs )2 ≤ C |t − s|η . η Maka untuk setiap β ∈ 0, 2 , terdapat modikasi Z dari X yang bersifat kontinu Hölder order β . Gaussian terpusat dan terdapat


Jelas bahwa

Nt 6= 0

dan

Nt = 0 dan Nt = K Nt 6= K .

adalah solusi dari (5). Sekarang, kita misalkan

Sebut

g (t, x) := ln x, maka

g (t, Nt ) = ln

K − Nt Nt

= ln(K − Nt ) − ln(Nt ).

Selanjutnya, rumus Ito memberikan

dg (t, Nt ) dNt (dNt )2 dNt (dNt )2 − − + 2 k − Nt 2(K − Nt )2 Nt 2Nt ! ! 2 σ(t)2 σ(t)2 Nt 2 Nt =− α(t) − + + σ(t) dt + σ(t) dBt 2 2 K K =−


Jadi,

K − Nt = Ce Φt Nt

(6)

dengan

C=

K − N0 N0

dan

Z Φt = −

0

t

1

2

α(s) − σ(s) +

σ(s)2

2

2

Ns K

2 + σ(s)

2 Ns

!

K

! ds + σ(s) dBs

.

Terhadap kebergantungan terhadap kondisi awal, ada 2 kasus: 1

< N0 < K , maka C > 0 P-hampir P-hampir pasti, dan (6) menjadi

0

Nt = 2

Nt =

< Nt < K , t ≥ 0,

KN0 N0 + (K − N0 )e Φt

< K < N0 , maka C < 0 P-hampir P-hampir pasti, dan (6) menjadi

0

pasti, sehingga 0

pasti, sehingga 0

< k < Nt , t ≥ 0,

KN0 N0 − (K − N0 )e Φt


Kasus khusus, apabila

α(t) = α

dan

Nt =

σ(t) = σ ,

maka

KN0 N0 ± (K − N0 )e Ψt

dengan

Z Z t σ2 σ2 t 1 2 2 Ns ds + σBt . (Ns ) ds + Ψt = − αt − σ t + 2 2K 2 0 K 0 Lebih lanjut, apabila

σ = 0,

maka diperoleh solusi persamaan logistik

deterministik (2):

Nt =

KN0 N0 ± (K − N0 )e −αt


Kestabilan solusi

Theorem

Diketahui Nt adalah solusi positif yang kontinu seragam dari persamaan logistik stokastik (5) dengan kondisi awal N0 ∈ (0, K ). Maka 1 Jika α > σ 2 , maka lim E(K t→∞ 2

3

Jika α >

σ2

2

− Nt )2 = 0

, maka lim E(Nt ) t→∞

Jika α < −σ 2 , maka

2

lim E(Nt ) t→∞ 4

=K

=0

2

Jika α < − σ2 , maka

lim E(Nt ) t→∞

=0

Ide bukti: Metofe fungsi Lyapunov Rumus Ito


Perluasan Model Logistik Stokastik


Cara memperluas model logistik stokastik Salah satu cara memperbaiki model logistik stokastik adalah melihat kembali persamaan logistik dengan derau

dNt = Nt dt

1

−

Nt K

(α(t) + σ(t) · Dt ) , N0 = Y > 0

dan mempertimbangkan penggunaan derau

Dt

selain derau putih Gaussian.

Jadi, diperhatikan persamaan logistik stokastik

dNt = Nt dengan

Xt

Nt 1− K

(α(t) dt + σ(t)dXt ) , N0 = Y > 0

adalah sebuah proses stokastik yang lebih umum dari gerak Brown dan

ditentukan berdasarkan permasalahan real yang dihadapi. Secara umum, ada 2 macam proses stokastik yang biasa digunakan: 1

proses Levy

2

gerak Brown fraksional


Gerak Brown Fraksional

Gerak Brown fraksional dengan parameter Hurst H ∈ (0, 1) adalah proses Gaussian terpusat

BtH

yang terdenisi pada sebuah ruang peluang

(Ω, F, P)

dengan fungsi kovariansi

E(BtH BsH ) =

1 2

t 2H + s 2H − |t − s|2H .

Gb. 5 : sumber: iopscience.iop.org


Fakta: Jika

H=

1 2 , maka

BtH = Bt =>

gerak Brown fraksional adalah perumuman

dari gerak Brown Untuk semua

H a > 0, Bat =d aH BtH

=> serupa-diri dengan order

H:

sifat

fraktal Untuk semua

P-hampir

H h > 0, Bt+h − BhH =d BtH

=> kenaikan stasioner

pasti trayektori gerak Brown fraksional bersifat kontinu Hölder

dengan order

dan tidak terdiferensial di mana-mana => integral

Riemann-Stieltjes tidak bisa digunakan Untuk

H 6=

digunakan! Untuk

H 6=

1 2,

BtH

bukan semimartingale => kalkulus Ito tidak bisa

1 2,

BtH

bukan proses Markov => memiliki memori!

+: berguna

untuk pemodelan telekomunikasi, lalu lintas internet, keuangan, geologi, dsb,

-: alat2 analitik seperti semigrup operator tidak dapat digunakan.


Beberapa cara untuk mendenisikan kalkulus stokastik terhadap gerak Brown fraksional: Kalkulus lintasan-demi-lintasan ( Kalkulus Malliavin (

pathwise calculus ) => integral Young

Malliavin calculus ) => kalkulus variasi stokastik white noise analysis/Hida calculus ) => gerak Brown

Analisis derau putih (

fraksional didenisikan di ruang distribusi stokastik menggunakan operator integral/diferensial fraksional

Semuanya adalah area penelitian yang masih sangat aktif dan terus berkembang


Daftar Pustaka

B. Oksendal.

Stochastic Dierential Equations, 6th ed. , Springer, 2005

I. Karatzas and S. Shreve.

Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed,

Springer, 1999 T. Hida, H-H. Kuo, J. Pottho, and L. Streit.

Dimensional Calculus, Kluwer, 1993

White Noise. An Innite

A. Tsoularis. Analysis of Logistic Growth Model,

Res. Lett. Inf. Math. Sci.,

(2001) 2, 23-46. H. Schurz. Modeling, Analysis and Discretization of Stochastic Logistic Equations,

Int. J. Num. Anal. and Mod., (2011) 4(2), 178-197.

M. Khodabin and N. Kiaee. Stochastic Dynamical Logistic Population Growth Model,

J. Math. Sci.: Advances and Applications, (2011) 11(1),

11-29.


Terima kasih


Persamaan Logistik Stokastik

Recommend Documents