Persamaan Logistik Stokastik
Herry Pribawanto Suryawan Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta
26. April 2014
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 1 / USD 35
Isi Kuliah
Persamaan Logistik
Derau Putih dan Gerak Brown
Persamaan Diferensial Stokastik
Persamaan Logistik Stokastik
Perluasan Model Logistik Stokastik
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 2 / USD 35
Persamaan Logistik
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 3 / USD 35
Model Pertumbuhan Populasi Model Malthus (1798):
dN(t) = rN(t) dt
N(0) = N0 > 0,
dengan
N(t) adalah banyaknya individu di dalam r adalah laju pertumbuhan intrinsik
populasi pada waktu
t
Solusi:
N(t) = N0 e rt
Tidak realistis!
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 4 / USD 35
Model Pertumbuhan Populasi Persamaan Logistik / Model Verhulst (1845):
Gb. 1 : sumber: en.wikipedia.org dN(t) = r (t)N(t) dt
1
−
N(t) K
,
N(0) = N0 > 0,
(1)
dengan
r : [0, ∞) → R
fungsi terintegral lokal adalah laju pertumbuhan individu
dalam populasi
K >0
adalah kapasitas ambang untuk mengakomodasi faktor-faktor daya
dukung ekosistem seperti ketersediaan makanan dan air, temperatur, kelembaban, intensitas cahaya, kehadiran predator, penyakit, dsb.
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 5 / USD 35
Persamaan logistik (1) adalah PD nonlinear, tapi dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel.
Solusi:
N(t) = Khususnya, jika
r (t) = r
N0 K N0 + (K − N0 )e −
Rt 0
r (s) ds
konstan:
N(t) =
N0 K N0 + (K − N0 )e −rt
(2)
Perilaku jangka panjang: r > 0: K:
kurva solusi berbentuk sigmoid dan bersifat stabil asimtotik menuju ke lim N(t) t→∞
r = 0:
populasi statis (sesuai dengan kondisi awal lim N(t) t→∞
r < 0:
=K N0 ):
= N0
terjadi pengurangan laju pertumbuhan per kapita dan kurva solusi
secara asimtotik menuju ke nol (kepunahan populasi): lim N(t) t→∞
= 0.
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 6 / USD 35
Kurva solusi persamaan logistik (kurva logistik) untuk laju pertumbuhan
r > 0:
Gb.2. : sumber: gummy-stu.org
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 7 / USD 35
Kurva solusi persamaan logistik (kurva logistik) untuk laju pertumbuhan
r >0
dengan berbagai kondisi awal:
Gb.3. : sumber: fr.wikipedia.org
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 8 / USD 35
Beberapa modikasi model logistik: 1
Persamaan logistik dengan ambang kepunahan Pada kenyataannya kepunahan populasi dapat terjadi apabila ukuran populasi terlalu kecil, sebab:
predasi dapat menghabiskan sisa individu dalam populasi, mencari pasangan untuk berkembang biak menjadi sulit, kurangnya keanekaragaman genetik yang mengakibatkan populasi rentan terhadap penyakit epidemik, dsb.
dN(t) = r (t)N(t) dt 2
N(t) −1 L
1
−
N(t) K
,
0
< L < K , N(0) = N0 > 0
Persamaan logistik stokastik Pada kenyataannya parameter-parameter dalam persamaan logistik tidak sepenuhnya dapat ditentukan, ada faktor-faktor eksternal yang bersifat
noise )):
probabilistik. Jadi perlu dipertimbangkan adanya derau (
dNt = Nt dt
1
−
Nt K
(α(t) + σ(t) · Dt )
N0 = Y > 0 Kita tidak tahu perilaku eksak dari derau
Dt ,
hanya distribusi peluang dari
Dt
yang diketahui.
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 9 / USD 35
kurva logistik deterministik vs stokastik
deterministik:
stokastik:
Gb. 4 : sumber: wolfram.com
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 10 / USD 35
Beberapa pertanyaan (matematis) yang muncul
Apa artinya dan formulasi matematika dari: Kuantitas acak
Nt
untuk setiap waktu
Keluarga kuantitas acak stokastik ( Derau
Dt
(Nt )t≥0
t
yang diindeks oleh waktu
stochastic processes )
=> derau putih Gaussian (
random variable )
=> peubah acak (
t
=> proses
Gaussian white noise ) (turunan dari
gerak Brown) Integral stokastik
Z 0
T
Nt · Dt dt
=> integral Ito atau integral Stratonovich Persamaan diferensial stokastik
dNt = Nt
Nt 1− K
(α(t) + σ(t) · Dt ) dt
=> persamaan integral stokastik
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 11 / USD 35
Derau Putih dan Gerak Brown
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 12 / USD 35
Tonggak sejarah gerak Brown dan derau putih 1 2 3
R. Brown (1827): percobaan serbuk sari tumbuhan pada larutan L. Bachelier (1900): pemodelan bursa saham Paris dengan gerak Brown A. Einstein (1905): teori pertama gerak Brown terkait dengan persamaan panas/difusi
4 5 6
N. Wiener (1923): fondasi matematika yang rigor untuk gerak Brown K. Ito (1942): penemuan kalkulus stokastik (integral terhadap gerak Brown) F. Black dan M. Scholes (1973): Rumus Black-Scholes untuk harga opsi tipe Eropa dalam keuangan
7
8
T. Hida (1976): fondasi matematika yang rigor untuk derau putih (white noise analysis ) L. Streit (1983): Pemecahan masalah integral Feynman di dalam mekanika kuantum dengan analisis derau putih
9
M. Scholes dan R. Merton (1997): Nobel Ekonomi untuk rumus Black-Scholes
10
W. Werner (2006): Medali Field untuk masalah self-intersection gerak Brown dimensi tinggi
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 13 / USD 35
Derau Putih (
White Noise )
Derau: takperiodik, kompleks, tidak menyenangkan, suara atau sinyal yang rusak (corrupted)
Derau putih: derau akustik atau elektrik yang memuat semua frekuensi yang dapat didengar dengan intensitas yang sama
Putih berarti derau tersebut tersusun dari semua frekuensi pada spektrum yang dapat didengar, terdistribusi secara acak. Hal ini analog dengan cahaya putih yang tersusun dari semua warna pada spektrum visual. Di dalam penerapan, derau putih digunakan sebagai sebuah idealisasi matematis dari fenomena-fenomena yang memuat uktuasi yang mendadak dan sangat besar. Derau putih
Gaussian (Gaussian white noise ): terkait dengan teori bahwa
derau putih adalah turunan (terhadap waktu) dari gerak Brown.
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 14 / USD 35
Derau Putih dan Gerak Brown:
Gb. 5 : sumber: http://technion.ac.il/ pavel/
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 15 / USD 35
Gerak Brown adalah proses stokastik B = (Bt )t≥0 ruang peluang 1 2 3 4
(Ω, F, P)
yang terdenisi pada sebuah
sehingga:
B0 = 0 P-hampir pasti B memiliki kenaikan yang bebas (independent increments ) Bt − Bs ∼ N (0, t − s) (normally distributed ) P-hampir pasti t 7→ Bt (ω) kontinu
Gb. 6 : sumber:math.uiuc.edu Partikel Brownian tidak memiliki laju:
Bt+ε − Bt 1 dBt Bt+ε − Bt ∼ N (0, ) =⇒ = lim tidak ada! ε→0 ε ε dt ε
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 16 / USD 35
Fakta: Dengan peluang satu, trayektori (lintasan sampel) gerak Brownian bersifat kontinu dimana-mana tapi tidak terdiferensial dimana-mana. => integral Riemann-Stieltjes tidak bisa digunakan Gerak Brown bersifat serupa diri (self-similar) => terkait dengan fraktal Gerak Brown adalah proses Markov => tidak punya memori Gerak Brown adalah proses Gaussian => Kajian probabilistik dan analitiknya relatif mudah
Derau putih adalah proses Gaussian Dt
yang saling bebas pada waktu yang
berbeda dan memiliki distribusi identik dengan rata-rata 0 dan variansi arti:
Z E(Dt Ds ) =
∞,
dalam
e i(t−s)x dx = δ(t − s)
R Denisi ini belum dapat diterima 100%.
Teori derau putih yang rigor secara matematika adalah melalui teori distribusi (generalized function) stokastik pada sebuah ruang vektor topologi berdimensi takhingga. (T. Hida,1976).
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 17 / USD 35
Persamaan Diferensial Stokastik
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 18 / USD 35
Persamaan diferensial dengan derau dXt = f (t, Xt ) dt + σ(t, Xt ) Dt dt, dituliskan sebagai
X0 = Y
persamaan diferensial stokastik dXt = f (t, Xt ) dt + σ(t, Xt ) dBt ,
X0 = Y
dan diinterpretasikan (dimaknai secara matematis) sebagai
stokastik
Z Xt = Y +
|0
t
Z f (s, Xs ) ds {z }
integral deterministik
integral deterministik
: integral Riemann,
+
|0
persamaan integral
t
σ(s, Xs ) dBs {z }
integral stokastik
integral Lebesgue, integral Henstock,
dsb
integral stokastik : integral Wiener, integral Ito, integral Stratonovich, integral Russo-Vallois, dsb
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 19 / USD 35
Teorema Eksistensi-Ketunggalan Solusi dalam kalkulus Ito
Theorem
Diberikan persamaan diferensial stokastik dXt = f (t, Xt ) dt + σ(t, Xt ) dBt ,
X0 = Y
(3)
dengan 1 fungsi f (t, x) dan σ(t, x) terukur pada [0, T ] × R 2 terdapat K > 0 sehingga untuk setiap t ∈ [0, T ] dan x, y ∈ R: 1 2
|f (t, x) − f (t, y )| + |σ(t, x) − σ(t, y )| ≤ K |x − y |, |f (t, x)|2 + |σ(t, x)|2 ≤ K (1 + |x|2 )
peubah acak Y memenuhi E(Y 2 ) < ∞ dan, untuk setiap t > 0, bebas terhadap gerak Brown B Maka terdapat sebuah solusi Xt dari (3) yang terdenisi pada [0, T ] yang kontinu P-hampir pasti, teradaptasi terhadap ltrasi yang dibangun oleh Y dan Bs , s ≤ t , memenuhi supt∈[0,T ] E(Xt2 ) < ∞, serta merupakan proses Markov. Lebih lanjut, solusi ini bersifat yakni apabila X dan Z dua tunggal lintasan-demi-lintasan, solusi, maka P supt∈[0,T ] |Xt − Zt | = 0 = 1. 3
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 20 / USD 35
Rumus Ito
Proses Ito adalah proses stokastik
Xt
yang dapat dituliskan dalam bentuk
dXt = f (t) dt + σ(t) dBt dengan
Rt 0
|f (s)| ds < ∞
dan
Rt 0
|σ(s)|2 ds < ∞.
Theorem
Apabila Xt adalah proses Ito dan g (t, x) ∈ C 2 ([0, ∞) × R), maka Y (t) = g (t, Xt ) juga merupakan proses Ito dan berlaku dY (t) =
∂g ∂g (t, Xt ) dt + (t, Xt ) dXt + ∂t ∂x
∂2g (t, Xt ) (dXt )2 , 2 ∂x 2
1
dengan (dXt )2 ditentukan menurut aturan dt.dt = dt.dBt = dBt .dt = 0, dBt .dBt = dt.
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 21 / USD 35
Persamaan Logistik Stokastik
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 22 / USD 35
Penurunan persamaan logistik stokastik Dari persamaan logistik
dN(t) = r (t)N(t) dt
1
−
N(t) K
,
N(0) = N0 > 0
dengan memperhatikan gangguan acak (derau) pada laju pertumbuhan
r (t) = α(t) + σ(t).Dt
(4)
diperoleh persamaan logistik dengan derau
dNt = Nt dt Kita pilih derau
Dt
1
−
Nt K
(α(t) + σ(t) · Dt ) , N0 = Y > 0
adalah derau putih Gaussian, jadi dapat dipandang
Dt =
dBt . dt
Dengan demikian diperoleh persamaan logistik stokastik
dNt = Nt
Nt 1− K
(α(t) dt + σ(t)dBt ) , N0 = Y > 0
(5)
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 23 / USD 35
Eksistensi-Ketunggalan Solusi Positif
Theorem
Untuk setiap kondisi awal N0 sehingga N0 ∈ (0, K ) P-hampir pasti, terdapat dengan tunggal solusi positif yang kontinu seragam dari persamaan logistik stokastik (5).
Ide bukti: Teorema eksistensi-ketunggalan umum Rumus Ito
Teorema Kolmogorov-Chentsov : Diberikan X = (Xt )t≥0
adalah proses
C , η > 0 sehingga untuk setiap s, t ≥ 0 E (Xt − Xs )2 ≤ C |t − s|η . η Maka untuk setiap β ∈ 0, 2 , terdapat modikasi Z dari X yang bersifat kontinu Hölder order β . Gaussian terpusat dan terdapat
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 24 / USD 35
Jelas bahwa
Nt 6= 0
dan
Nt = 0 dan Nt = K Nt 6= K .
adalah solusi dari (5). Sekarang, kita misalkan
Sebut
g (t, x) := ln x, maka
g (t, Nt ) = ln
K − Nt Nt
= ln(K − Nt ) − ln(Nt ).
Selanjutnya, rumus Ito memberikan
dg (t, Nt ) dNt (dNt )2 dNt (dNt )2 − − + 2 k − Nt 2(K − Nt )2 Nt 2Nt ! ! 2 σ(t)2 σ(t)2 Nt 2 Nt =− α(t) − + + σ(t) dt + σ(t) dBt 2 2 K K =−
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 25 / USD 35
Jadi,
K − Nt = Ce Φt Nt
(6)
dengan
C=
K − N0 N0
dan
Z Φt = −
0
t
1
2
α(s) − σ(s) +
σ(s)2
2
2
Ns K
2 + σ(s)
2 Ns
!
K
! ds + σ(s) dBs
.
Terhadap kebergantungan terhadap kondisi awal, ada 2 kasus: 1
< N0 < K , maka C > 0 P-hampir P-hampir pasti, dan (6) menjadi
0
Nt = 2
Nt =
< Nt < K , t ≥ 0,
KN0 N0 + (K − N0 )e Φt
< K < N0 , maka C < 0 P-hampir P-hampir pasti, dan (6) menjadi
0
pasti, sehingga 0
pasti, sehingga 0
< k < Nt , t ≥ 0,
KN0 N0 − (K − N0 )e Φt
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 26 / USD 35
Kasus khusus, apabila
α(t) = α
dan
Nt =
σ(t) = σ ,
maka
KN0 N0 ± (K − N0 )e Ψt
dengan
Z Z t σ2 σ2 t 1 2 2 Ns ds + σBt . (Ns ) ds + Ψt = − αt − σ t + 2 2K 2 0 K 0 Lebih lanjut, apabila
σ = 0,
maka diperoleh solusi persamaan logistik
deterministik (2):
Nt =
KN0 N0 ± (K − N0 )e −αt
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 27 / USD 35
Kestabilan solusi
Theorem
Diketahui Nt adalah solusi positif yang kontinu seragam dari persamaan logistik stokastik (5) dengan kondisi awal N0 ∈ (0, K ). Maka 1 Jika α > σ 2 , maka lim E(K t→∞ 2
3
Jika α >
σ2
2
− Nt )2 = 0
, maka lim E(Nt ) t→∞
Jika α < −σ 2 , maka
2
lim E(Nt ) t→∞ 4
=K
=0
2
Jika α < − σ2 , maka
lim E(Nt ) t→∞
=0
Ide bukti: Metofe fungsi Lyapunov Rumus Ito
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 28 / USD 35
Perluasan Model Logistik Stokastik
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 29 / USD 35
Cara memperluas model logistik stokastik Salah satu cara memperbaiki model logistik stokastik adalah melihat kembali persamaan logistik dengan derau
dNt = Nt dt
1
−
Nt K
(α(t) + σ(t) · Dt ) , N0 = Y > 0
dan mempertimbangkan penggunaan derau
Dt
selain derau putih Gaussian.
Jadi, diperhatikan persamaan logistik stokastik
dNt = Nt dengan
Xt
Nt 1− K
(α(t) dt + σ(t)dXt ) , N0 = Y > 0
adalah sebuah proses stokastik yang lebih umum dari gerak Brown dan
ditentukan berdasarkan permasalahan real yang dihadapi. Secara umum, ada 2 macam proses stokastik yang biasa digunakan: 1
proses Levy
2
gerak Brown fraksional
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 30 / USD 35
Gerak Brown Fraksional
Gerak Brown fraksional dengan parameter Hurst H ∈ (0, 1) adalah proses Gaussian terpusat
BtH
yang terdenisi pada sebuah ruang peluang
(Ω, F, P)
dengan fungsi kovariansi
E(BtH BsH ) =
1 2
t 2H + s 2H − |t − s|2H .
Gb. 5 : sumber: iopscience.iop.org
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 31 / USD 35
Fakta: Jika
H=
1 2 , maka
BtH = Bt =>
gerak Brown fraksional adalah perumuman
dari gerak Brown Untuk semua
H a > 0, Bat =d aH BtH
=> serupa-diri dengan order
H:
sifat
fraktal Untuk semua
P-hampir
H h > 0, Bt+h − BhH =d BtH
=> kenaikan stasioner
pasti trayektori gerak Brown fraksional bersifat kontinu Hölder
dengan order
dan tidak terdiferensial di mana-mana => integral
Riemann-Stieltjes tidak bisa digunakan Untuk
H 6=
digunakan! Untuk
H 6=
1 2,
BtH
bukan semimartingale => kalkulus Ito tidak bisa
1 2,
BtH
bukan proses Markov => memiliki memori!
+: berguna
untuk pemodelan telekomunikasi, lalu lintas internet, keuangan, geologi, dsb,
-: alat2 analitik seperti semigrup operator tidak dapat digunakan.
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 32 / USD 35
Beberapa cara untuk mendenisikan kalkulus stokastik terhadap gerak Brown fraksional: Kalkulus lintasan-demi-lintasan ( Kalkulus Malliavin (
pathwise calculus ) => integral Young
Malliavin calculus ) => kalkulus variasi stokastik white noise analysis/Hida calculus ) => gerak Brown
Analisis derau putih (
fraksional didenisikan di ruang distribusi stokastik menggunakan operator integral/diferensial fraksional
Semuanya adalah area penelitian yang masih sangat aktif dan terus berkembang
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 33 / USD 35
Daftar Pustaka
B. Oksendal.
Stochastic Dierential Equations, 6th ed. , Springer, 2005
I. Karatzas and S. Shreve.
Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed,
Springer, 1999 T. Hida, H-H. Kuo, J. Pottho, and L. Streit.
Dimensional Calculus, Kluwer, 1993
White Noise. An Innite
A. Tsoularis. Analysis of Logistic Growth Model,
Res. Lett. Inf. Math. Sci.,
(2001) 2, 23-46. H. Schurz. Modeling, Analysis and Discretization of Stochastic Logistic Equations,
Int. J. Num. Anal. and Mod., (2011) 4(2), 178-197.
M. Khodabin and N. Kiaee. Stochastic Dynamical Logistic Population Growth Model,
J. Math. Sci.: Advances and Applications, (2011) 11(1),
11-29.
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 34 / USD 35
Terima kasih
Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, MAG-D Fakultas ITB, Sabtu Sains dan 26 April TeknologiUniversitas 2014 Sanata Dharma 26. April Yogyakarta 2014 (Mat 35 / USD 35