PENGGUNAAN TRANSFORMASI TIETZE DALAM PERHITUNGAN GENERATOR MODUL HOMOTOPI KEDUA

PENGGUNAAN TRANSFORMASI TIETZE DALAM PERHITUNGAN GENERATOR MODUL HOMOTOPI KEDUA Yanita1; Abdul Ghafur Ahmad2 1

Jurusan Matematika Fakultas MIPA, Universitas Andalas Jl Kampus Limau Manis, Padang, Indonesia

2

Pusat Pengajian Sains Matematik, Fakulti Sains Dan Teknologi, Universiti Kebangsaan Malaysia 43000 Bangi, Malaysia [email protected]; [email protected]

ABSTRACT This paper discusses about generator calculation of second homotopy module, P , using Tietze transformation. The calculation is associated with properties of spherical picture. The Tietze tranformation technique is implemented to two group presentation, P and Q which are isomorphic. From this transformations we obtain several group presentation between P and Q. For each group presentation we obtain different second homotopy modules. This transformation technique produces P can be the process of generator calculation of second homotopy module, so that generator of Q. converted to be a generator for Keywords: generator, second homotopy module, Tietze transformation

ABSTRAK Artikel ini membahas tentang perhitungan generator modul homotopi kedua, P menggunakan transformasi Tietze. Perhitungan generator modul homotopi kedua berkaitan dengan sifat-sifat pada spherical picture. Teknik transformasi ini dilakukan pada dua presentasi grup yang berisomorphisma, P dan Q. Dari transformasi ini diperoleh beberapa presentasi grup di antara P dan Q. Untuk setiap presentasi grup diperoleh modul homotopi kedua yang berbeda. Teknik transformasi ini menghasilkan proses perhitungan generator modul homotopi kedua sehingga generator untuk P dapat diubah menjadi generator untuk Q. Kata kunci: generator, modul homotopi kedua, transformasi Tietze

176

Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 2 Juli 2012: 176-187

PENDAHULUAN Suatu picture atas P disebut sebagai himpunan generator P jika P :P membangun P (Baik, et.al, 1998). Selanjutnya Bogley dan Pride (1993) menyebutkan bahwa modulhimpunan generator hanya jika setiap spherical picture atas P dapat ditransformasikankan ke picture hampa dengan operasi-operasi pada picture. Perlu diingat pada artikel ini terdapat beberapa istilah akan digunakan dan istilah-istilah itu dapat di lihat pada (Yanita & Ahmad, 2009). P yang dilakukan oleh Bogley dan Pride (1993) hanya untuk Perhitungan generator melihat generator-generator yang diketahui saja. Sementara untuk yang tidak diketahui tidak disebutkan oleh beliau. Oleh karena itu, pada tulisan ini diberikan sifat yang dapat digunakan untuk mencari generator untuk suatu P yang tidak diketahui, yaitu melalui presentasi grup lain yang diperoleh dengan melakukan suatu metode transformasi. Metode yang digunakan untuk perhitungan generator tulisan ini metode difokuskan pada metode transformasi Tietze.

(P) adalah metode geometri. Pada

(P) menggunakan metode Tujuan tulisan ini adalah mengkaji perhitungan generator transformasi Tietze dengan melibatkan operasi-operasi picture pada spherical picture.

METODE Transformasi Tietze Suatu grup dapat mempunyai beberapa presentasi; diberikan himpunan yang membangun unsur-unsur untuk (dan terkait dengan simbol generator) maka terdapat beberapa kemungkinan himpunan-himpunan yang mendefinisikan relator-relator. Sebagai ilustrasi, misalkan grup permutasi pada 1 2 3; tiga-lingkaran (123) dan dualingkaran (12) membentuk himpunan generator unsur-unsur untuk . Pada pemetaan 123 , dan juga boleh dipresentasikan dengan 12 , mempunyai presentasi , ; , , , ; , , . Oleh karena pendefinisian relator-relator dari , ; , , adalah penurunan relator-relator dalam , ; , , dan sebaliknya, maka , ; , , dan , ; , , mendefinisikan grup kelas-kelas ekivalensi yang sama. Secara umum, jika

mempunyai dua presentasi, ,

,…; , ,…

(1)

,

,…;

(2)

dan ,

,…

pada pemetaan yang sama, maka setiap yang mendefinisikan relator pada (2.2) diturunkan dari relatorrelator dalam (1). Lebih lanjut lagi, presentasi lain untuk dapat diperoleh dengan menggunakan himpunanhimpunan lain dari unsur-unsur generator untuk . Sebagai contoh, pertimbangkan grup permutasi yang dibangun oleh dua-lingkaran (13) dan (23). Dibawah pemetaan 13 , 23 , mempunyai presentasi

Penggunaan Transformasi Tietze …... (Yanita; Abdul Ghafur Ahmad)

177

,

;

,

,

(3)

Apakah terdapat suatu metode untuk mengubah presentasi , ; , , ?

, ;

,

,

menjadi presentasi

Pada tahun 1908, Tietze menunjukkan bahwa diberikan suatu presentasi , , ,…; , , ,… untuk suatu grup , sebarang presentasi lain untuk penjelmaaan berikut ke (4):

(4)

dapat diperoleh dengan penerapan berulang

(T1)

Jika word S, T, … terturunkan dari P, Q, R, … , tambahkan S, T, … ke dalam himpunan relator dalam (4).

(T2)

Jika beberapa relator, katakanlah S, T, … , berada di antara pendefinisian relator P, Q, R, … yang dapat diturunkan dari yang lainnya, hapuskan S, T, … , dari pendefinisian relator dalam (4).

(T3)

Jika K, M, … adalah sebarang word dalam a, b, c, … , masukkan simbol x, y, … , ke dalam himpunan generator dalam (4) dan masukkan relator , , … , ke dalam himpunan relator dalam (4).

(T4)

Jika beberapa pendefinisian relator dalam (4) berbentuk , , … ,yang p, q,… , adalah generator dalam (4) dan V, W, … , adalah word dalam generator yang lain dari p, q,…, maka hapus p, q, … dari generator, hapus , , … dari pendefinisian relator, dan ganti p, q, … dengan V, W, … masing-masing, dalam sisa pendefinisian relator dalam (4).

Transformasi (T1), (T2), (T3) dan (T4) disebut transformasi Tietze. Transformasi ini disebut dasar jika memuat penambahan atau penghapusan dari satu pendefinisian relator, atau penambahan atau penghapusan satu generator dan pendefinisian relator yang terkait. Definisi transformasi Tietze secara umum dapat dilihat pada beberapa buku teks. Definisi yang dipresentasikan di sini adalah yang terdapat di dalam Johnson (1997) dan Magnus, et.al. (1976). Definisi transformasi Tietze secara umum dapat dilihat seperti berikut: Definisi 1 (Definisi Transformasi Tietze) 1

; dan P ; presentasi yang mendefinisikankan grup . Andaikan P Jika word boleh diturunkan dari unsur-unsur dalam , maka tambahkan S ke dalam himpunan relator, ; ; ,

2

Jika word boleh diturunkan dari unsur-unsur dalam , maka hapuskan himpunan relator, ; , ; . ( 2 merupakan kebalikan dari 1)

3

Jika adalah word pada , dan bukan suatu simbol yang bukan dalam himpunan generator maka masukkan y ke dalam , tambahkan ke dalam himpunan generator dan ke dalam himpunan relator. tambahkan word

4

, yang bukan terjadi dalam , hapuskan Jika terdapat relator berbentuk dan hapuskan dari himpunan generator, ubah semua dalam word-word relator dengan . ( 4 merupakan kebalikan dari 3).

dari dalam

Transformasi Tietze tidak mengubah grup yang didefinisikan oleh suatu presentasi, seperti yang disebutkan pada Teorema berikut ini.

178


Teorema 2 (Miller, 2004) Andaikan grup yang dipresentasikan oleh dua presentasi ; dan ; adalah berisomorfisma. Maka terdapat suatu barisan transformasi Tietze dari ; ke ; . Jika presentasi ini keduanya barisan berhingga, barisan transformasi Tietze dapat menjadi suatu jumlah berhingga dari langkah transformasi tunggal. Sifat yang sama juga disebutkan dalam proposisi berikut ini: Proposisi 3 (Johnson, 1997) Diberikan dua presentasi berhingga dari grup yang sama, maka presentasi yang satu dapat diperoleh dari persembaan yang lain dengan berhingga barisan transformasi Tietze. Contoh 2.4 Akan ditunjukkan langkah-langkah transformasi Tietze dari presentasi grup ke presentasi grup , ; , , . , ;

,

, ;

,

,

,

, , ; , , , Tambahkan generator dalam himpunan generator dengan relasi

.

, , , ; , , , , Tambahkan generator ke dalam himpunant generator dengan relasi , , , ; , , , , , Tambahkan ke dalam himpunan relator karena diturunkan dari 1 karena 1. , , , ; , , , , , , Tambahkan ke dalam himpunan relator karena diturunkan dari

. , yaitu:

, yaitu:

karena

1 karena

1 dan

1.

, , , ;, , , , , , , , Tambahkan ke dalam himpunan relator karena diturunkan dari , yaitu:

,

,

dan

karena karena karena karena 1 karena

1

1.

, , , ; , , , , , , Hapuskan dari himpunan relator karena diturunkan dari

,


,

dan

.

179

, , , ; , , , , , Hapuskan dari himpunan relator karena diturunkan dari , , ; Hapus generator

, , , , dari himpunan generator karena

, ;, , , Hapus dari himpunan generator. Jadi diperoleh , ; , ,

,

;,

, yaitu

dan ubah semua

,

,

1. menjadi .

.

Perhitungan Generator Modul Homotopi Kedua Perhitungan generator modul homotopi kedua yang telah dilakukan oleh Bogley dan Pride (1993) hanya melihat pada generator dan relator yang terdapat dari modul homotopi yang diketahui. Untuk perubahan generatornya tidak dibincangkan oleh beliau. Pada tulisan ini hal itu diperlihatkan, terutama dengan mempertimbangkan dua presentasi grup yang akan disajikan. Sebelum mempertimbangkan hal tersebut tersebut, dua teorema dan dua korolari yang disajikan berikut ini merupakan hasil kajian dalam tulisan ini. Teorema 3 Andaikan P ; dan P ; , presentasi grup yang mendefinisikan grup , P dibangun dimana suatu word yang diturunkan secara siklik dan 1 (relatif ). Jika maka P dibangun oleh berbentuk , dengan oleh

di mana

suatu picture dalam P dengan

Bukti: Andaikan P1 =

;

.

dibangun oleh P1

;

. Perhatikan bahwa: T

P2

; ,

(5)

merupakan satu langkah transformasi Tietze. Dari (3.1) diketahui bahwa adalah relator yang 1. Oleh karena itu dengan Lemma van Kampen, ditambahkan pada P , berdasarkan sifatnya . Maka picture berikut ini merupakan satu terdapat suatu picture dalam P1 dengan spherical picture (Gambar 1).

Gambar 1 Spherical picture

180


Oleh karena dalam mempunyai disk , tidak dapat diperoleh dari picture dalam P . Oleh karena itu, merupakan satu lagi generator bagi P . Dari sini diperoleh generator bagi P adalah generator bagi P ditambah dengan picture . Andaikan spherical picture dalam P2. Kita pertimbangkan dua kasus, yaitu: (1) mempunyai disk ; (2) mempunyai disk .

tidak

Andaikan tidak mempunyai disk , merupakan picture dalam P1. Jadi 1 (relatif P1). Andaikan mempunyai disk seperti dalam Gambar 2, di mana S adalah picture yang tidak memuat disk .

Gambar 2

dengan disk

Selanjutnya boleh diletakkan picture pada Gambar 1 di sebelah kiri picture pada Gambar 2. Lakukan operasi jembatan untuk menghapus kedua pasangan invers disk . Ulangi proses sampai P dibangun oleh tiada lagi disk dalam . Maka dari itu, dapat disimpulkan bahwa . Korolari 2 ; , dan P ; , yang suatu word, yang suatu word yang Andaikan P P dibangun oleh maka P terturun secara siklik dan 1 (relatif ). Andaikan . dibangun \ Teorema 3 ; dan P Andaikan P grup yang mendefinisikan grup . Maka Bukti: Andaikan P

;

, ; , yang suatu word dalam , presentasi P mempunyai generator yang sama dengan P .

dibangun oleh P

;

. Perhatikan bahwa: P

, ; ,

merupakan satu langkah transformasi Tietze. Diingat bahwa jika P ; dengan generator maka generator ini adalah suatu spherical picture berlabel . Dengan menggunakan transformasi berlabel , sehingga Tietze 3 (T3) berarti ditambahkan suatu generator lain ke P1, Andaikan diperoleh grup presentasi baru P2 , ; , . (P2) tetapi bukan generator bagi (P1). Jadi mesti Andaikan generator bagi . Oleh karena spherical picture kurva menghubungkan ke suatu disk yang lain mempunyai disk yang merupakan pasangan invers maka dapat dilakukan operasi jembatan. Operasi jembatan dilakukan


181

sampai tiada lagi disk . Oleh karena itu, generator P dilabeli oleh , sehingga diperoleh generator P adalah . Korolari 4 , ; , dan P ; Andaikan P P dibangun oleh picture-picture yang sama dalam

Andaikan P dibangun oleh maka dengan kurva diganti dengan kurva .

HASIL DAN PEMBAHASAN Untuk melihat kegunaan teorema-teorema dan korolari-korolari yang disajikan pada subbab dan , ; , . Metode, pada bagian ini dipertimbangkan dua presentasi grup , ; , Kedua presentasi grup ini berdasarkan Teorema 2 berisomorfisma karena dapat dilakukan transformasi ke , ; , . Tietze dari , ; , Lemma 1 Grup yang dipresentasikan oleh Bukti:

dipresentasikan oleh untuk , ; , , ;

Transformasi Tietze dari 1. 2. 3.

4.

5.

, , ; , , Tambahkan generator

Tietze

,

dengan

, , , ; , , , , Tambahkan ke dalam himpunan relator karena diturunkan dari 1 , , , ; Tambahkan

7.

, , ; Hapus generator

8.

, ; , Hapus generator karena , ;

,

, karena

, ;

yang

. . , yaitu

, , , , , ke dalam himpunan relator karena diturunkan dari 1

, , , ; , , , , karena diturunkan dari Hapus relator

grup

,

, , , ; , , , Tambahkan generator ke dalam himpunan generator dengan relasi

, , , ; , , , karena diturunkan dari Hapus relator

182

, ;

berisomorfisma 1.

ke dalam himpunan generator dengan relasi

6.

Jadi

, ; , dan

, yaitu

.

,

.

,


Menurut Bogley dan Pride (1993) generator untuk modul adalah generator yang memuat disk , ; , dan disk , yaitu:

Sedangkan generator untuk , yaitu:

, ;

,

homotopi

adalah generator yang memuat disk

kedua

dan disk

berisomorfisma dengan , ; , , , ; , Jadi diketahui walaupun , ; , dan walaupun generator untuk , ; , , ; , tidak berisomorfisma dengan telah diketahui, akan ditunjukkan juga bagaimana generator untuk , ; , dan untuk dapat ditukar menjadi generator untuk , yaitu melalui , ; , , ; , perhitungan sebagai berikut: 1.

, , ;

,

,

2.

, , , ; , , , Pada tahap 1 dan 2 generatornya masih sama berdasarkan Teorema 3.3.

3.

, , , ; , , , , Pada tahap ini berdasarkan Teorema 3.1, terdapat generator baru yang memuat disk dan , di mana adalah: Generatornya adalah ,

4.

, , , ; , , , , , Pada tahap ini terdapat generator baru yang memuat disk dan , di mana adalah: adalah , ,


.

(Teorema 3.1). Generatornya

183

5.

6.

, , , ; , , , , dan mengganti disk menjadi disk . Pada tahap ini terdapat penghapusan relator adalah generator dan . Generator baru ini masing-masing diberi Generator yang memuat dan . nama Generator

:

Generator

:

, , , ; , , , dan mengganti disk Pada tahap ini terdapat penghapusan

184

menjadi disk

(Korolari 3.2)


Generator-generator yang memuat dan . masing diberi nama

7.

Generator

:

Generator

:

adalah generator

, , ; , , Pada tahap ini terdapat penghapusan generator

dan

dan mengganti


. Generator baru ini masing-

menjadi

(Korolari 3.4).

185

Generator-generator yang memuat adalah generator dan . diberi nama masing-masing

8.

Generator

:

Generator

:

, ; , Pada tahap ini terdapat penghapusan generator

dan

dan mengganti

Generator-generator yang memuat z adalah generator dan . diberi nama masing-masing Generator

:

Generator

:

Jadi diperoleh generator yang memuat disk

dan disk

dan

. Generator-generator baru ini

menjadi

(Korolari 3.4).

. Generator-generator baru ini

.

Contoh berisomorfisma dengan grup yang dipresentasikan Grup yang dipresentasikan , ; , oleh , ; , dan walaupun generator untuk tidak berisomorfisma dengan , ; , generator untuk tetapi dapat dilakukan perhitungan generator sehingga generator , ; , untuk dapat ditukar menjadi generator untuk . , ; , , ; , Untuk pembuktian dan perhitungan generator pada contoh ini dilakukan secara analog dengan Lemma 1.

186


DAFTAR PUSTAKA Baik, Y. G., Harlander, J., Pride, S. J. (1998). The Geometry of Group Extensions. Group Theory, 1(4): 395 – 416. Bogley, W. A., Pride, S. J. (1993). Calculating Generators of . Two-Dimensional Homotopy And Combinatorial Group Theory: London Math. Soc. Lecture Note Ser., 197: 157 – 188. Cambridge: Cambridge University Press Johnson, D. L. (1997). Presentation of Group (2nd edition). London Mathematical Society, Student Text, 15. Cambridge: Cambridge University Press. Magnus, W., Karras, A., & Solitar, D. (1976). Combinatorial Group Theory: Presentations of Groups in Terms of Generator and Relations. New York: Dover Publications. Miller III, C. F. (2004). Combinatorial Group Theory. Melbourne: University of Melbourne. Yanita & Ahmad, A. G. (2009). Sifat-Sifat Generator Modul Homotopi Kedua dengan Menggunakan Transformasi Nielsen. Jurnal Teori dan Terapan Matematika, 9(1): 1 – 6.


187

PENGGUNAAN TRANSFORMASI TIETZE DALAM PERHITUNGAN GENERATOR MODUL HOMOTOPI KEDUA

Recommend Documents