Pengantar Statistika Matematika II

Pendahuluan Uji Hipotesis Uji Rasio Likelihood Uji Paling Kuasa

611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II Bab 6: Uji Hipotesis

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia


611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II


Inferensi Statistik

Inferensi Statistik

Inferensi statistik adalah metode untuk menarik kesimpulan mengenai suatu populasi. Inferensi statistik dibagi menjadi: 1

Penaksiran Menaksir parameter dengan menggunakan sampel populasi

2

Pengujian Hipotesis Menguji suatu ’keadaan’ berdasarkan observasi (data) yang ada di tangan kita




Inferensi Statistik

Pengujian Hipotesis

Seorang ahli biologi memberikan hipotesis bahwa rata-rata umur tanaman X lebih dari 3 tahun. Untuk itu, ahli biologi tersebut mengambil sampel berukuran n dari populasi tanaman X tersebut dan mengujinya pada tingkat signifikansi α. Akan diuji apakah sampel tersebut mendukung hipotesis ahli biologi.




Inferensi Statistik

Langkah-langkah pengujian hipotesis adalah sebagai berikut: 1

Menentukan H0 dan H1

2

Tingkat signifikansi: α

3

Menentukan statistik uji

4

Menentukan daerah kritis

5

Menghitung nilai statistik uji

6

Mengambil kesimpulan

◦ Dapat juga menggunakan p − value dalam mengambil keputusan




Uji Hipotesis Metode Evaluasi Uji Hipotesis Uji untuk Distribusi Normal dan Lain-lain

Uji Hipotesis

Definisi Hipotesis adalah pernyataan tentang parameter populasi. Definisi Dua hipotesis yang saling asing dalam persoalan uji hipotesis disebut hipotesis nol dan hipotesis alternatif, masing-masing dinyatakan dengan H0 dan H1 .





Bila θ menyatakan parameter populasi, format umum dari hipotesis nol dan alternatif adalah H0 : θ ∈ Θ0 dan H1 : θ ∈ Θ1 dengan Θ0 suatu himpunan bagian dari ruang parameter dan Θ1 adalah komplemennya. Biasanya uji hipotesis dinyatakan dalam bentuk uji statistik T (X ) = T (X1 , X2 , . . . , Xn ), yaitu fungsi dari sampel. Sebagai e ¯ contoh, suatu uji menentukan bahwa H0 akan ditolak bila X ¯ (mean sampel) lebih dari 3. Dalam hal ini, T (X ) = X adalah uji statistik dan daerah penolakannya adalah e ¯ > 3}. {(X1 , X2 , . . . , Xn ) : X





Metode Evaluasi Uji Hipotesis

Dalam memutuskan untuk menerima atau menolak hipotesis nol (H0 ) seseorang bisa membuat kesalahan. Biasanya uji hipotesis dievaluasi dan dibandingkan melalui peluangnya membuat kesalahan.





Peluang Kesalahan dan Fungsi Kuasa

Jenis kesalahan dalam mengambil keputusan pada uji hipotesis: H0 diterima H0 ditolak

H0 benar Keputusan benar Kesalahan tipe I (α)


H0 salah Kesalahan tipe II (β) Keputusan benar




Misalkan R menyatakan daerah penolakan untuk suatu uji hipotesis, maka untuk θ ∈ Θ0 , uji akan membuat kesalahan tipe I jika x ∈ R. Untuk θ ∈ Θ1 , uji akan membuat kesalahan tipe II jika e c . Sehingga x ∈R e Kesalahan Tipe I: menolak H0 padahal H0 benar α = P(H0 ditolak | H0 benar) = P T (X ) ∈ R | θ ∈ Θ0 e Kesalahan Tipe II: menerima H0 padahal H0 salah β = P(H0 diterima | H0 salah) = P T (X ) ∈ R c | θ ∈ Θ1 e = 1 − P T (X ) ∈ R | θ ∈ Θ1 e Atina Ahdika, S.Si, M.Si




Bila diringkas, kita memiliki ( α, jika θ ∈ Θ0 P(T (X ) ∈ R) = 1 − β, jika θ ∈ Θ1 e





Definisi Fungsi kuasa (power function) π(θ) dari suatu uji H0 adalah peluang menolak H0 bila parameter yang benar adalah θ. π(θ) = P(T (X ) ∈ R) e





Sebagai contoh untuk hipotesis H0 : θ = θ 0 H1 : θ = θ 1 maka fungsi kuasanya adalah π(θ0 ) = P(menolak H0 | θ = θ0 ) = α π(θ1 ) = P(menolak H0 | θ = θ1 ) = 1 − P(menerima H0 | θ = θ1 ) = 1 − β





Contoh 1

Misalkan X ∼ Binomial(5, θ), pandang uji H0 : θ ≤ 21 lawan H1 : θ > 12 . Pertama, pandang uji hipotesis yang menolak H0 jhj semua sukses terobservasi. Fungsi kuasa untuk uji ini adalah π1 (θ) = P(T (X ) ∈ R) = P(X = 5) = θ5 e





Sekarang, kita akan mengecek nilai fungsi kuasa untuk masing-masing θ pada masing-masing hipotesis Untuk θ ≤ 21 , maka 5 1 π1 (θ) ≤ 2 α ≤ 0.03125 Untuk θ > 12 , maka 5 1 2 1 − β > 0.03125 π1 (θ) >

β < 0.96875 Atina Ahdika, S.Si, M.Si




Perhatikan bahwa untuk daerah penolakan tersebut, peluang melakukan kesalahan tipe I cukup kecil, namun peluang melakukan kesalahan tipe II terlalu tinggi. Untuk mendapatkan peluang kesalahan tipe II yang lebih kecil, kita mungkin mempertimbangkan dengan menggunakan uji yang menolak H0 bila X = 3, 4, atau 5 (memperbesar daerah penolakan). π2 (θ) = P(X = 3, 4, atau 5) 5 5 5 3 2 4 1 = θ (1 − θ) + θ (1 − θ) + θ5 (1 − θ)0 3 4 5 = 10 θ3 (1 − θ)2 + 5 θ4 (1 − θ) + θ5





Selanjutnya, kita akan kembali mengecek nilai fungsi kuasa untuk masing-masing θ pada masing-masing hipotesis Untuk θ ≤ 21 , maka 3 2 4 5 1 1 1 1 1 π2 (θ) ≤ 10 +5 + 2 2 2 2 2 α ≤ 0.5 Untuk θ > 12 , maka 3 2 4 5 1 1 1 1 1 +5 + 2 2 2 2 2 1 − β > 0.5 π2 (θ) > 10

β < 0.5 Atina Ahdika, S.Si, M.Si




Bila harus memilih antara kedua tes tersebut, pertimbangannya adalah struktur kesalahan mana yang digambarkan, π1 (θ) atau π2 (θ) yang lebih diterima.





Contoh 2

Suatu teori menyatakan bahwa hasil suatu reaksi kimia tertentu berdistribusi normal, X ∼ N(µ, 16). Percobaan terdahulu menunjukkan bahwa µ = 10 jika tidak terdapat mineral tertentu, dan µ = 11, jika mineral itu ada. Percobaan kita akan mengambil sampel acak berukuran n. Berdasarkan sampel tersebut, kita akan memutuskan hal mana yang benar, yakni kita ingin menguji hipotesis nol H0 : µ = µ0 = 10 terhadap hipotesis alternatif H1 : µ = µ1 = 11.





¯ adalah statistik cukup untuk µ sehingga Dalam contoh tersebut, X kita dapat menyatakan dengan baik daerah kritis itu secara ¯ , dan kita akan langsung dalam bentuk variabel univariat X ¯ menamakan X itu sebagai statistik uji. Karena µ1 > µ0 , bentuk daerah kritis yang wajar untuk masalah ini adalah C = {(x1 , x2 , . . . , xn )|¯ x ≥ c}, dengan c suatu konstan tertentu yang sesuai. Yakni, kita akan menolak H0 jika x¯ ≥ c dan tidak menolak H0 jika x¯ < c. Sehingga fungsi kuasanya adalah ¯ ≥ c) π(θ) = P(T (X ) ∈ R) = P(X e





Misalkan diketahui n = 25, maka Untuk µ = µ0 = 10 ¯ ≥ c|µ = µ0 = 10) π(θ) = P(X ¯ X − µ0 c − µ0 √ ≥ √ α=P σ/ n σ/ n c − 10 =P Z ≥ √ 4/ 25 Untuk α = 0.05, dari tabel-z diketahui bahwa P(Z ≥ 1.645) = 0.05 Hal tersebut memberikan nilai c = µ0 + Z1−α · √σn = 10 + 1.645 · 45 = 11.316.





Jadi, uji berukuran 0.05 untuk H0 : µ = 10 terhadap alternatif H1 : µ = 11 adalah menolak H0 jika nilai pengamatan x¯ ≥ 11.316. Untuk kasus ini, kita akan mendapatkan kesalahan tipe 2 yaitu Untuk µ = µ1 = 11 ¯ ≥ c|µ = µ1 = 11) π(θ) = P(X ¯ c − µ1 X − µ1 √ ≥ √ 1−β =P σ/ n σ/ n 11.316 − 11 √ 1−β =P Z ≥ 4/ 25 1 − β = P(Z ≥ 0.395) 1 − β = 1 − P(Z < 0.395) β = 0.654





Berdasarkan contoh tersebut, kita memiliki nilai α yang cukup kecil, namun nilai β masih terbilang besar. Untuk mengatasi permasalahan ini, kita bisa mencoba kembali pengujian jika ukuran sampel diperbesar. Misalkan diambil sampel sebanyak n = 100, maka untuk menjaga α = 0.05, sekarang kita menggunakan 4 σ = 10.658 c2 = µ0 + Z1−α · √ = 10 + 1.645 · 10 n





Sehingga Untuk µ = µ1 = 11 ¯ ≥ c|µ = µ1 = 11) π(θ) = P(X ¯ c − µ1 X − µ1 √ √ ≥ 1−β =P σ/ n σ/ n 10.658 − 11 √ 1−β =P Z ≥ 4/ 100 1 − β = P(Z ≥ −0.855) 1 − β = 1 − P(Z < −0.855) β = 0.196





Secara lebih umum, mungkin kita ingin menguji H0 : µ = µ0 terhadap H1 : µ = µ1 (dengan µ1 > µ0 ) pada tingkat signifikansi α. Uji berdasarkan statistik uji Z=


¯ − µ0 X √ σ/ n




Berdasarkan kedua contoh tersebut, dapat disimpulkan bahwa untuk mendapatkan nilai α dan β sekecil mungkin kita dapat melakukan beberapa cara, di antaranya Memperbesar daerah penolakan Memperbesar ukuran sampel





Definisi: p-value p-value adalah ukuran α terkecil yang dapat menolak H0 berdasarkan nilai pengamatan statistik uji itu.





Contoh 3 Berdasarkan suatu sampel berukuran n = 25 dari suatu distribusi normal, Xi ∼ N(µ, 16), kita ingin menguji H0 : µ = 10 versus H1 : µ > 10. Misalkan kita amati x¯ = 11.40, maka p-value adalah ¯ X − 10 11.40 − 10 ¯ ≥ 11.40|µ = 10) = P √ ≥ √ P(X σ/ n σ/ n = P(Z ≥ 1.75) = 1 − P(Z ≤ 1.75) = 1 − 0.9599 = 0.04





Oleh karena 0.01 < 0.04 < 0.05 uji itu akan menolak H0 pada tingkat α = 0.05 tetapi tidak menolak H0 pada tingkat α = 0.01. Jika nilai p-value dilaporkan, maka kita dapat menggunakan kriteria kita masing-masing untuk mengambil keputusan.





Uji untuk Mean (σ 2 diketahui)

Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak pengamatan dari N(µ, σ 2 ) dengan σ 2 diketahui, dan misalkan pula Z0 =


¯ − µ0 X √ σ/ n




1. Uji berukuran α untuk H0 : µ ≤ µ0 versus H1 : µ > µ0 adalah menolak H0 jika Z0 ≥ Z1−α . Fungsi kekuatan uji ini adalah ¯ µ c −µ ¯ ≥ c|µ) = P X − √ ≥ √ π(µ) = P(X σ/ n σ/ n c −µ c −µ =P Z ≥ √ =1−P Z ≤ √ σ/ n σ/ n dengan c = µ0 + Z1−α ·

√σ , n

sehingga

µ0 + Z1−α · √σn − µ √ π(µ) = 1 − P Z ≤ σ/ n µ0 − µ √ = 1 − Φ Z1−α + σ/ n Atina Ahdika, S.Si, M.Si

!




2. Uji berukuran α untuk H0 : µ ≥ µ0 versus H1 : µ < µ0 adalah menolak H0 jika Z0 ≤ −Z1−α . Fungsi kekuatan uji ini adalah µ0 − µ √ π(µ) = Φ −Z1−α + σ/ n (Buktikan!) 3. Uji berukuran α untuk H0 : µ = µ0 versus H1 : µ 6= µ0 adalah menolak H0 jika Z0 ≤ −Z1− α2 atau Z0 ≥ Z1− α2 .





Uji untuk Mean (σ 2 tidak diketahui)

Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak pengamatan dari N(µ, σ 2 ) dengan σ 2 tidak diketahui, dan misalkan pula t0 =


¯ − µ0 X √ s/ n




1. Uji berukuran α untuk H0 : µ ≤ µ0 versus H1 : µ > µ0 adalah menolak H0 jika t0 ≥ t1−α (n − 1). Fungsi kekuatan uji ini adalah ¯ X − µ0 √ ≥ t1−α (ν)|µ π(µ) = P S/ n ¯ X − µ + (µ − µ0 ) √ =P ≥ t1−α (ν)|µ S/ n ! Z −δ ≥ t1−α (ν) =P p V /ν √

0) , dan Z dan V adalah dengan ν = n − 1, δ = n(µ−µ σ 2 independen, Z ∼ N(0, 1), V = (n − 1) Sσ2 ∼ χ2 (ν).





2. Uji berukuran α untuk H0 : µ ≥ µ0 versus H1 : µ < µ0 adalah menolak H0 jika t0 ≤ −t1−α (n − 1). 3. Uji berukuran α untuk H0 : µ = µ0 versus H1 : µ 6= µ0 adalah menolak H0 jika t0 ≤ −t1− α2 (n − 1) atau t0 ≥ t1− α2 (n − 1).





Uji untuk Variansi

Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn suatu sampel acak pengamatan dari 2 N(µ, σ 2 ) dan misalkan pula ν0 = (n − 1) Sσ2 .





1. Uji berukuran α untuk H0 : σ 2 ≤ σ02 versus H1 : σ 2 > σ02 adalah menolak H0 jika ν0 ≥ χ21−α (n − 1). Fungsi kekuatan untuk uji ini adalah π(σ 2 ) = P(ν0 ≥ χ21−α (n − 1)|σ 2 ) 2 S2 σ0 2 2 = P (n − 1) 2 ≥ χ1−α (n − 1)|σ σ σ2 2 σ0 2 =1−H χ1−α (n − 1); n − 1 σ2 dengan H(c; ν) adalah fungsi distribusi dari χ2 (ν).





2. Uji berukuran α untuk H0 : σ 2 ≥ σ02 versus H1 : σ 2 < σ02 adalah menolak H0 jika ν0 ≤ χ2α (n − 1). Fungsi kekuatan untuk uji ini adalah 2 σ0 2 χ (n − 1); n − 1 π(σ 2 ) = H α σ2 3. Uji berukuran α untuk H0 : σ 2 = σ02 versus H1 : σ 2 6= σ02 adalah menolak H0 jika ν0 ≤ χ2α (n − 1) atau ν0 > χ21− α (n − 1). 2




Uji Rasio Likelihood

Metode rasio likelihood dalam uji hipotesis berhubungan dengan estimator likelihood maksimum. Perhatikan jika X1 , X2 , . . . , Xn adalah sampel acak dari populasi dengan densitas f (x|θ) (θ bisa berupa vektor), maka fungsi likelihood didefinisikan sebagai L(θ|x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn |θ) =

n Y

f (xi |θ)

i=1




Misalkan Θ menyatakan ruang parameter. Uji rasio likelihood didefinisikan sebagai berikut Definisi Uji statistik rasio likelihood untuk uji H0 : θ ∈ Θ0 lawan H1 : θ ∈ Θc0 adalah L(θ0 |X ) λ(X ) = max e θ L(θ|X ) dengan L(θ0 |X ) adalah peluang dari data di bawah H0 maxθ L(θ|X ) adalah peluang terbesar yang mungkin dari data di bawah H1




Kita menolak H0 jika nilai λ(X ) cukup kecil, yaitu λ(X ) < k e di mana: e dengan k adalah suatu konstanta α = P(menolak H0 |θ ∈ Θ0 ) = P(λ(X ) < k|θ ∈ Θ0 ) e Jadi, nilai batas k bisa dihitung dengan menggunakan formula tersebut.




Contoh 4

Misalkan X1 , X2 , . . . , X25 sampel acak normal dengan variansi 100. Akan ditentukan daerah penolakan untuk uji H0 : µ = 0

versus H1 : µ = 1.5

pada tingkat signifikansi α = 0.1. Daerah penolakan akan ditentukan dengan menggunakan uji rasio likelihood.




Uji Rasio Likelihood L(µ0 ) λ(X ) = L(µ1 ) e

n 1 P 2 − 2σ2 (Xi − µ0 ) i=1 = n P n 1 2 √ exp − 2 (Xi − µ1 ) 2σ σ 2π i=1 " n #! n X 1 X = exp (Xi − µ1 )2 − (Xi − µ0 )2 2σ 2 √n exp σ 2π

i=1


i=1



Kita akan menolak H0 jika λ(X ) < k untuk suatu konstanta k, e " n #! n X 1 X λ(X ) = exp (Xi − µ1 )2 − (Xi − µ0 )2
i=1 n X

(Xi − µ1 )2 −

i=1

(Xi − µ0 )2 < 2σ 2 logk

i=1

¯ (µ0 − µ1 ) + n(µ21 − µ20 ) < 2σ 2 logk 2nX Sehingga daerah penolakannya adalah 2 2 2 ¯ < 2σ logk − n(µ1 − µ0 ) X 2n(µ0 − µ1 ) 2 ¯ < 200logk − 25(1.5 ) X 2(25)(−1.5) Atina Ahdika, S.Si, M.Si



Selanjutnya, kriteria nilai k dapat ditentukan dengan menggunakan fakta bahwa P(λ(X ) < k|µ = µ0 ) = α. e " #! ! n n X 1 X 2 2 α = P exp (Xi − µ1 ) − (Xi − µ0 ) < k|µ = µ0 2σ 2 i=1

i=1

.. . 2σ 2 logk − n(µ21 − µ20 ) ¯ |µ = µ0 α=P X < 2n(µ0 − µ1 ) ¯ 2 √ X − µ0 2σ logk − n(µ21 − µ20 ) n √ < =P − µ0 2n(µ0 − µ1 ) σ σ/ n √ ! 200logk − 25(1.52 ) 25 =P Z < . 50(−1.5) 10 56.25 − 200logk 0.1 = P Z < 150 Dengan menggunakan tabel z, diperoleh = 0.5073. Atina Ahdika, S.Si, kurva M.Si 611.01.010 PengantarkStatistika Matematika II


Contoh 5 Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak Poisson. Akan ditentukan rasio likelihood untuk uji H0 : λ = λ0 versus H1 : λ = λ1 , λ1 < λ0 pada tingkat signifikansi α = 0.1. Fungsi likelihood: n P

xi

λi=1 e −λn L= n Q (xi !) i=1




Misalkan λ0 = 2 dan λ1 = 1/2, maka rasio likelihoodnya adalah L(λ0 ) L(2) λ(X ) = = L(λ1 ) L(1/2) e n P

xi

2i=1 e −2n n Q (xi !) i=1 n P

=

xi

(1/2)i=1 e −(1/2)n n Q (xi !) i=1 n P

xi

2i=1 e −2n

=

n P

xi

(1/2)i=1 e −(1/2)n




Tolak H0 jika λ(X ) < k untuk suatu konstanta k, maka e n P

λ(X ) = e

xi

2i=1 e −2n n P

(1/2)i=1 e −(1/2)n n P

4 n X

i=1

! xi

i=1

Jadi, H0 ditolak jika

n P

xi

xi

e −(3/2)n < k

3 ln 4 − n < ln k 2

xi < k ∗ , dengan k ∗ =

i=1


ln k+ 23 n ln 4 .



Contoh 6

Perhatikan uji hipotesis berikut: H0 : p = 0.5 versus H1 : p = 0.6 Misalkan sampel acak Bernoulli berukuran n = 10 diambil untuk n P menguji hipotesis tsb, nilai Y = Xi yang mungkin adalah i=1

0, 1, . . . , 10. Tentukan nilai α dan β jika daerah penolakannya a. 8 ≤ Y ≤ 10 b. Y ∈ {7, 8, 9, 10}




Misalkan X ∼ Bernoulli(θ), maka fX (x|θ) = θx (1 − θ)1−x sehingga fungsi likelihoodnya adalah P

P

L(θ|x ) = θ x (1 − θ)n− e = θY (1 − θ)n−Y


x



Maka rasio likelihoodnya adalah L(0.5|x ) λ(X ) = e L(0.6|x ) e e 0.5Y (1 − 0.5)n−Y = 0.6Y (1 − 0.6)n−Y Y n Y 5 5 4 = 6 4 5




Batas rasio likelihoodnya adalah Y n Y 5 5 4 λ(X ) = ln k 45 − 46




Misal daerah penolakannya a. 8 ≤ Y ≤ 10, maka α = P(Y > 7) = 1 − P(Y ≤ 7) = 0.0547 b. Y ∈ {7, 8, 9, 10}, maka α = 0.1719




Uji Paling Kuasa Lemma Neyman-Pearson

Uji Paling Kuasa

Definisi Sebuah tes H0 : θ = θ0 versus H1 : θ = θ1 berdasarkan daerah kritis C ∗ merupakan tes paling kuasa berukuran α jika 1

πC ∗ (θ0 ) = α

2

πC ∗ (θ1 ) ≥ πC (θ1 ) untuk setiap daerah kritis C berukuran α (yaitu, πC (θ0 ) = α)

Daerah kritis C ∗ disebut sebagai daerah kritis paling kuasa.





Lemma Neyman-Pearson 0) Misalkan uji rasio likelihood menolak H0 jika L(θ L(θ1 ) < k pada tingkat signifikansi α. Maka, tes lain dengan tingkat signifikansi α∗ ≤ α memiliki kuasa yang lebih kecil atau sama dengan kuasa dari uji rasio likelihood. Catatan:

Lemma N-P menyatakan bahwa di antara semua tes pada tingkat signifikansi α, uji rasio likelihood akan meminimumkan β Lemma N-P menyatakan bahwa dari seluruh tes dengan tingkat sgnifikansi α, tes yang menolak H0 untuk nilai rasio likelihood yang kecil adalah tes yang paling kuasa (Most Powerful Test atau MP Test)





Misalkan X1 , . . . , Xn mempunyai fungsi peluang bersama fX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ; θ). Misalkan λ(x1 , . . . , xn ; θ0 , θ1 ) =

fX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ; θ0 ) fX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ; θ1 )

Misalkan C ∗ merupakan himpunan C ∗ = {(x1 , . . . , xn )|λ(x1 , . . . , xn ; θ0 , θ1 ) ≤ k} di maka k adalah suatu konstanta sedemikian sehingga P [(X1 , . . . , Xn ) ∈ C ∗ |θ0 ] = α Maka C ∗ adalah daerah kritis paling kuasa pada tingkat signifikansi α untuk uji H0 : θ = θ0 versus H1 : θ = θ1 . Atina Ahdika, S.Si, M.Si




Contoh 7

Misalkan sampel acak berukuran n dari distribusi Eksponensial Xi ∼ Eksp(θ). Kita akan melakukan uji hipotesis H0 : θ = θ0 versus H1 : θ = θ1 di mana θ1 > θ0 . Lemma N-P menyatakan tolak H0 jika P θ−n exp(− xi /θ0 ) λ(x, θ0 , θ1 ) = 0−n ≤k P θ1 exp(− xi /θ1 ) di mana k adalah konstanta sehingga P [λ(X ; θ0 , θ1 ) ≤ k|θ = θ0 ] = α





Sekarang P [λ(X ; θ0 , θ1 ) ≤ k|θ = θ0 ] hX i =P Xi (1/θ1 − 1/θ0 ) ≤ ln((θ0 /θ1 )n k)|θ = θ0 sehingga P [X ∈ C ∗ |θ = θ0 ] = P

hX

Xi ≥ k1 |θ = θ0

i

di mana k1 = ln((θ0 /θ1 )n k)/(1/θ1 − 1/θ0 ). Perhatikan bahwa tanda pertaksamaan berubah karena 1/θ1 − 1/θ0 < 0 dalam hal ini. Maka daerah kritis P paling kuasa mempunyai bentuk ∗ C = {(x1 , . . . , xn )| xi ≥ k1 }.





Perhatikan bahwa di bawah H0 : θ = θ0 , kita mempunyai P 2 Xi /θ0 ∼ χ2 (2n), maka k1 = θ0 χ2 (2n)/2 akan memberikan daerah kritis pada tingkat signifikansi tes yang P α dan sebuah 2 ekivalen akan menolak H0 jika 2 Xi /θ0 ≥ χ1−α (2n).





Contoh 8

Misalkan sampel acak berukuran n dari distribusi Normal dengan mean 0 Xi ∼ N(0, σ 2 ). Kita akan menguji H0 : σ 2 = σ02 versus H1 : σ 2 = σ12 di mana σ12 > σ02 . Maka





Contoh 9

Kita akan menentukan bentuk uji paling kuasa untuk menguji H0 : p = p0 versus H1 : p = p1 > p0 berdasarkan statistik S ∼ Binomial(n, p). Maka



Pengantar Statistika Matematika II

Recommend Documents