PENERAPAN KONSEP SPL DAN MATRIKS DALAM MENENTUKAN TEGANGAN DAN ARUS LISTRIK PADA TIAP-TIAP RESISTOR Rangga Ajie Prayoga1), Rizky Fauziah Setyawati1), Siti Gita Permana1), Hendra Kartika2) 1)
2)
Program Studi Pend. Matematika, FKIP Universitas Singaperbangsa Karawang Staff Pengajar Program Studi Pend. Matematika, FKIP Universitas Singaperbangsa Karawang
[email protected] Abstrak
Sistem Persamaan Linear dan Matriks merupakan salah satu bidang kajian didalam matematika. Suatu masalah yang rumit dan kompleks itu membuat seorang sulit memecahkannya jika didalam penyajian masalah tersebut tidak dibuat lebih sederhana. Sebaliknya suatu masalah yang sulit dipecahkan jika disajikan dalam bentuk yang lebih sederhana akan lebih mudah dalam memecahkannya. Seperti artikel ini membahas konsep SPL dan matriks serta penggunaannya dalam menentukan tegangan dan arus listrik pada rangkain kerja elektronika. Kata kunci : SPL (Sistem Persamaan Linear), matriks, hukum kirchoff 1 dan 2
PENDAHULUAN Informasi dalam bidang sains dan matematika seringkali ditampilkan dalam bentuk baris-baris dan kolomkolom yang membentuk jajar empat persegi panjang yang disebut matriks Matriks seringkali merupakan tabel-tabel data numerik yang diperoleh melalui pengamatan fisik, tetapi dapat juga muncul dalam berbagai macam konteks matematis. Charless (1993: 49) mendefinisikan matriks adalah suatu bilangan yang berbentuk persegi panjang. Cara yang biasa digunakan untuk menuliskan sebuah matriks dengan m baris dan n kolom, dan salah satu cara aplikasi penggunaaan matriks untuk mempersingkat sistem persamaan linear cara seperti ini disebut matriks diperbesar (Rorres, 2004: 25). Aplikasi matriks yang disusun dalam bentuk matriks diperbesar banyak mengilhami penyelesaian sistem persamaan linear, penyelesaian tersebut meliputi aturan Crammer, Eliminasi Gauss, Invers Matriks, dalam penggunaan metode-metode tersebut digunakan berbagai sifat-sifat operasi matriks. METODE PENELITIAN Penelitian ini merupakan kajian beberapa sumber informasi berupa jurnal atau buku dan informasi yang berada blog-blog di internet. Adapun buku yang dikaji yaitu buku MATRIKS PERSAMAAN LINEAR DAN PEMOGRAMAN LINEAR dengan penulisnya Dr. Ruminta lalu mengkaji beberapa blog yang alamat web nya tercantum pada daftar pustaka. Pelaksanaan dalam penelitian ini adalah untuk mengetahui hubungan antara atau implementasi dari bidang matematika ke bidang lain khususnya dalam penerapan sistem persamaan linear terhadap elektronika.
HASIL DAN PEMBAHASAN Pengertian Sistem Persamaan Linear Definisi persamaan linear : Secara umum sebuah persamaan linear dalam n variable , , …, . Dapat dinyatakan dalam bentuk : + +…+ = b, dengan , , …, dan adalah konstanta real. Variabelvariabel dalam suatu persamaan linear kadang disebut variabel bebas . Definisi sistem persamaan linear (SPL) : Himpunan berhingga dari persamaan linear- persamaan linear dalam n variable , , …, , dinamakan sistem persamaan linear atau sistem linear. Bentuk umum sistem persamaan linear (disingkat SPL) yang terdiri dari m persamaan dan n variable , , …, , dapat ditulis sebagai : + +…+ = + +…+ = :……………………………………. + +…+ =
(1)
Dengan dan ( ) adalah konstanta-konstanta Real. Jika ditinjau daribentuk sistem persamaan linear pada persamaan (1)maka dapat juga dinyatakan sebagai :
AX = B
Dengan
[
];
[
];
[
]
Dimana A merupakan matriks koefisien dari sistem persamaan linear. Penyelasaian Sistem Persamaan Linear sederetan angka ….. , disebut suatu penyelesaian sistem persamaan linear jika , , ….. , merupakan penyelesaian dari setiap persamaan dalam sistem tersebut. Suatu persamaan linear bisa mempunyai penyelesaian (konsisten) baik tunggal maupun tak hingga (penyelesaian banyak) dan tidak mempunyai penyelesaian (tak konsisten). Ada dua system persamaan lineat yaitu : 1.
Sistem Persamaan Linear Homogen Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Homogen dengan m persamaan dan n variabel dapat dituliskan sebagai berikut :
AX = O [
Dengan
][
]
[ ]
Sistem Persamaan Linear Homogen merupakan SPL konsisten, karena paling tidak memiliki penyeselaian , , ….. , , solusi ini disebut solusi trivial (unique). Sedangkan jika ada solusi lain maka dinamakan solusi tak trivial (infinite). 2.
Sistem Persamaan Linear Non Homogen Sistem Persamaan Linear Non Homogen adalah sejumlah persamaan linear dimana sisi sebelah kanan dari persamaan tersebut adalah tidak sama dengan nol ( ). Dapat dinotasikan sebagai berikut : AX = B
[
Dengan
][
]
[
]
Solusi persamaan linear non homogen: 1. 2.
( ) ( ) Jika ( = jumlahbilangan yang tidak diketahui) dan , maka penyelesaian persamaan adalah trivial (unique). ( ) Jika ( = jumlahbilangan yang tidak diketahui), penyelesaian persamaan adalah non trivial (infinite).
Ada beberapa metode penyelesaian SPL non homogen yaitu Grafik, Substitusi, Invers Matriks, Cramer, Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss Jordan, Dekomposisi Matriks. Penyelesaian SPL dengan Metode Crammer Jika A adalah matriks koefisien SPL nonhomogen dan ,
,
( )
, maka solusi dari SPL AX = B adalah :
,...,
Dimana An (n = 1,2,3, . . . , k) adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom ke-n pada matriks A oleh matriks kolom B.
Jika matriks A : A=[
]
Maka An (n = 1,2,3, . . ., k) adalah sebagi berikut :
A1 = [
] , A2 = [
], . . . . An = [
]
Hukum Kirchhoff Ada dua hukum Kirchoff yakni hukum I Kirchoff atau KCL(Kirchhoff’s Current Law) dan hukum II Kirchoff atau KVL (Kirchhoff’s voltage Law). Hukum Kirchhoff I menyatakan : Jumlah aljabar kuat arus yang menuju suatu titik cabang rangkaian listrik = jumlah aljabar arus yang meninggalkan titik cabang tersebut.
Pada gambar 4.1 arus , , dan menuju titik cabang A, sedangkan arus dan meninggalkan titik cabang A. Maka pada titik cabang A tersebut berlaku persamaan : menuju titik cabangmeninggalkan titik cabang + + = + Hukum II Kirchhoff menyatakan : Jumlah aljabar penurunan tegangan (voltage drop) pada rangkaian tertutup (loop) menuruti arah yang ditentukan = jumlah aljabar kenaikan tegangan (voltage rise) nya. Atau:
Pada gambar 4.2, arah pembacaan mengikuti arah jarum jam seperti yang ditunjukkan panah melingkar, jadi mengikuti arah a-b-c-d-e-f-a. Pada baterei, arah pembacaan dari a ke b atau dari – ke +, sehingga dari a ke b terjadi voltage rise sebesar E1, sebaliknya dari d ke e terjadi voltage drop sebesar E2. Pada resistor R1 arah pembacaan dari b ke c dan arus mengalir dari b ke c juga, oleh karena arus mengalir dari tegangan tinggi ke rendah, maka tegangan b lebih besar dari tegangan c sehingga dari b ke c terjadi voltage drop sebesar I R1. Dengan penalaran yang sama maka dari c ke d, e ke f, f ke a berturut-turut terjadi voltage drop sebesar I R2, I R4, dan I R3.
Maka pada loop berlaku persamaan : VdropVrise I R1 + I R2 + E2 + I R4 + I R3 = E1 I ( R1 + R1 + R1 + R1 ) = E1 - E2 Pada waktu menggunakan hukum tersebut, jika dari perhitungan diperoleh harga arus bertanda aljabar -, maka arah arus yang benar adalah berlawanan dengan arah yang telah ditentukan secara sembarang pada langkah awal. Penerapan Jika didalam sebuah rangkain kerja elektronika seperti gambar dibawah ini. Carilah tegangan dan arus listrik pada tiap-tiap resistor untuk rangkaian berikut ini
Penyelesaian Dengan mengunakan hukum Kirchoff 2, tentukan 4 buah loop sembarangan seperti pada gambar berikut ini.
Berdasarkan hukum kirchoff 2 didapat 4 persamaan yaitu Loop 1 didapat :
Loop2 didapat :
Loop 3 didapat :
Loop 4 didapat :
Kemudian buat menjadi sistem persamaan linear dari 4 persamaan yang diperoleh dari hukum kirchoff sebagai berikut.
lalu dari SPL tersebut rubah kedalam bentuk matriks Diperoleh :
Dengan menggunakan konsep SPL dan matriks kita akan mendapatkan SPL dan matriks tersebut salah satunya dengan menggunakan metode crammer
banyak cara untuk menyelesaikan
A . ̅= B -
Maka det (A) =
-
[
dengan menggunakan metode minor – kofaktor diperoleh det (A) = 10416
-
-
]
Lalu mencari det (A1) , det (A2), det (A3), dan det (A4)
-
-
Det (A1) =
= -11760
-
-
[
]
-
Det (A2) =
-
= -3360
-
[ Det (A3) = [
-
-
-
Det (A4) = [
]
= 3360 ]
-
-
-
= 11760 ]
Sehingga diperoleh :
Tanda (-) menyatakan arus
terbalik
Tanda (-) menyatakan arus
terbalik
Terlihat bahwa = dan = karena rangkain simetris. Sekarang menganalisa arus dalm rangkaian listrik dengan menggunakan hukum kirchoff 1. Perhatikan gambar dibawah ini
Dari titik H-G-F mengalir arus i1 yaitu : 1,13 A Dari titik D-E-F mengalir arus i4 yaitu : 1,13 A
Dari titik B-A-H mengalir arus i2 yaitu : 0,32 A Dan Dari titik B-C-D mengalir arus i3 yaitu : 0,32 A Bila ke 4 arus ini digambarkan ke dalam rangkaian di dapat :
4Ω
Maka tegangan tiap resistor dapat dihitung :
0.32 A 0.32 A
4Ω
VAB = VBC = 0.32A x 4Ω = 1.28 V
0.64 A
VAH = VCD = 0.32A x 2Ω = 0.64 V
0.81 A
4Ω
1.13 A
0.81 A
2Ω
2Ω
2Ω 0.32 A
0.81 A
4Ω
0.81 A
2.26 A
VBI = 0.64A x 2Ω = 1.28 V 0.32 A
VHI = VID = 0.81A x 4Ω = 3.24 V
1.13 A
VHG = VDE = 1.13A x 2Ω = 2.26 V VGF = VFE = 1.13A x 4Ω = 4.52 V
2Ω
2Ω
10V
2.26 A
4Ω
4Ω 1.13 A 1.13 A
KESIMPULAN Berdasarkan hasil penelitian dan pembahsan, dapat disimpulkan bahwa penggunaan konsep Sistem Persamaan Linear yang dihubungkan dengan konsep Matriks merupakan cara untuk memudahkan dalam menentukan tegangan dan arus listrik didalam elektronika dengan penyajian yang lebih sederhana serta banyak cara untuk menentukannya dengan banyaknya cara ini diharapkan mempermudah dalam mencarinya karena disesuaikan dengan kebutuhan yang ada. Berdasarkan kesimpulan yang dikemukakan beberapa saran, yaitu : 1) menyajikan Sistem Persamaan Linear tersebut kedalam bentuk Matriks. 2) menggunakan beberapa metode dalam mencari solusi tersebut yang sesuaikan dengan kebutuhan yang ada
DAFTAR PUSTAKA
Dr. Ruminta. 2014. Matrtiks Persamaan Linear dan Pemograman Linear. Bandung : Rekayasa Sains https://djukarna.wordpress.com/tag/resistor/ (Dilihat pada 20 November 2016) http://kreasiaspin.blogspot.co.id/2014/06/bunyi-dan-rumus-hukum-kirchoff-1-dan-2.html?m=1 (Dilihat pada 19 November 2016)
