PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAN MODEL WAKTU KONTINU DENGAN PENDEKATAN PERSAMAAN STRUKTURAL MENGGUNAKAN METODE BOOTSTRAP WIDHATUL MILLA

PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAN MODEL WAKTU KONTINU DENGAN PENDEKATAN PERSAMAAN STRUKTURAL MENGGUNAKAN METODE BOOTSTRAP

WIDHATUL MILLA

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa disertas berjudul Pendugaan Selang Kepercayaan Parameter Model Waktu Kontinu dengan Pendekatan Persamaan Struktural Menggunakan Metode Bootstrap adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor,

Agustus 2014

Widhatul Milla G151120201

* pelimpahan hak cipta atas karya tulis dari penelitian kerjasama dengan pihak luar IPB harus didasarkan pada perjanjian kerjasama yang terkait

RINGKASAN WIDHATUL MILLA. Pendugaan Selang Kepercayaan Parameter Model Waktu Kontinu dengan Pendekatan Persamaan Struktural Menggunakan Metode Bootstrap. Dibimbing oleh ASEP SAEFUDDIN dan BAGUS SARTONO. Model deret waktu sangat banyak ditemukan pada berbagai aspek kehidupan. Pemodelan-pemodelan mengenai data deret waktu sudah banyak diterapkan namun belum mampu mengatasi bentuk data deret waktu yang tidak lengkap. Selain itu analisis-analisis data deret waktu tidak mampu menduga suatu nilai untuk jangka panjang dengan interval yang berbeda. Kelemahan dalam analisis data deret waktu tersebut dapat diatasi dengan menggunakan analisis model waktu kontinu. Keberadaan model waktu kontinu muncul akibat adanya keterbatasan dalam merekam data sehingga waktu yang melekat pada data bersifat diskret tidak bersifat kontinu. Model waktu kontinu memiliki dua pendekatan yaitu pendekatan kalman filter dan pendekatan persamaan struktural. Secara umum kedua pendekatan ini merupakan model diskret sehingga penduga parameter yang diperoleh merupakan parameter diskret. Namun, beberapa peneliti telah membuktikan bahwa adanya persamaan dari struktur matriks yang dihasilkan yaitu penduga parameter hasil penurunan dari model waktu kontinu merupakan elemen-elemen matrik dari hasil analisis model persamaan struktural. Oleh karena itu, dalam menduga parameterparameter model waktu kontinu dapat menggunakan pendekatan persamaan struktural. Trend dan juga sebaran dari penduga parameter model waktu kontinu perlu diamati lebih lanjut guna untuk melakukan pengujian signifikansi dengan cara melihat seang kepercayaan dari penduga parameter. Dalam hal ini selang kepercayaan yang merupakan kisaran dari suatu nilai yang dianggap memuat parameter sebenarnya dapat dilakukan. Salah satu metode yang dapat dilakukan dalam menduga selang kepercayaan adalah metode bootstrap. Dengan demikian tujuan dari penulisan ini adalah untuk mendapatkan sebaran dari nilai penduga parameter model waktu kontinu dan trend dari dugaan parameter tersebut. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa dugaan parameter model waktu kontinu khususnya dengan pendekatan persamaan struktural tidak menyebar normal. Dengan demikian uji signifikansi pada parameter model waktu kontinu tidak dapat di dekati dengan menggunakan distribusi normal. Hasil pendugaan selang terpendek juga menunjukkan trend penduga parameter model waktu kontinu yang memiliki kecenderungan signifikan dalam melakukan pendugaan untuk satuan waktu yang berbeda. Hal tersebut dibuktikan oleh adanya nilai standar deviasi yang kecil dan dalam selang yang diperoleh tidak memuat nol. Pada kasus penelitian ini, peubah laten prestasi matematika sudah tidak signifikan ketika dilakukan prediksi pada variabel tersebut untuk 80 tahun yang akan dating sedangkan untuk peubah laten pengalaman guru mengajar sudah tidak signifikan ketika dilakukan prediksi pada 30 tahun ke depan. Kata kunci : model waktu kontinu, persamaan struktural, selang kepercayaan, bootsrap

SUMMARY WIDHATUL MILLA. Estimation of confidence interval on the continuous time model using bootstrap. Supervised by ASEP SAEFUDDIN and BAGUS SARTONO Time series model is commonly found in various aspects of life. Modelings of the time series data has been widely applied but have not been able to overcome if the form of time series data are incomplete. In addition, analyzes of time series data is not able to guess a value for the long term with different intervals. Weaknesses in the analysis of time series data can be overcome by using analysis of continuous time models. The existence of a continuous time models arise due to limitations in the data record that time attached to the discrete nature of data is not continuous. Continuous time models have two approaches method, they are Kalman filter approach and also using structural equation approach. In general, these two approaches are discrete models so that the resulting of parameters estimation are discrete parameters. However, some researchers have proven that the similarity of the resulting structure matrix is the same with the result of decreasing in the parameters of a continuous time model matrix elements of the results of the analysis of structural equation models. Therefore, the assumed parameters of continuous time models can use structural equation approach. Stabilization and also the distribution of the parameter estimators of continuous time models be examined further in order to perform significance testing. In this case the confidence interval is a range of parameter values considered actual load can be done. One method that can be performed within the confidence interval is suspect bootstrap method. Thus the purpose of this is to get penulusan distribution of alleged continuous time model parameters and the stability of the parameters allegations. The results obtained show that the alleged continuous time model parameters, especially with structural equation approaches a normal distribution. Thus the significance test on continuous time model parameters can not be approached by using a normal distribution. The shortest interval estimation results also show the trend estimate continuous time model parameters that have a significant tendency in making predictions at a different time unit. This is evidenced by the presence of small value and the standard deviation obtained in the interval does not contain zero. In the case of this study, the latent variables are not significant mathematical achievements already made a prediction on when these variables for 80 years to come while the latent variables of teachers teaching experience has been not significant when the prediction is done in the next 30 years. Keywords : continuous time model, structural equation, confidence interval, bootstrap

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2014 Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah, dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apapun tanpa izin IPB

PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN MODEL WAKTU KONTINU DENGAN PENDEKATAN PERSAMAAN STRUKTURAL MENGGUNAKAN METODE BOOTSTRAP

WIDHATUL MILLA

Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Statistika

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir. Hari Wijayanto M.Si

Judul Tesis : Pendugaan Selang Kepercayaan Parameter Model Waktu Kontinu dengan Pendekatan Persamaan Struktural Menggunakan Metode Bootstrap Nama : Widhatul Milla NIM : G151120201

Disetujui oleh Komisi Pembimbing

Prof.Dr.Ir.Asep Saefuddin Ketua

Dr. Bagus Sartono, M.Si Anggota

Diketahui oleh

Ketua Program Studi Statistika

Dekan Sekolah Pascasarjana

Dr. Ir. Anik Djuraidah, MS.

Dr. Ir. Dahrul Syah, MSc. Agr

Tanggal Ujian : 13 Agustus 2014

Tanggal Lulus :

PRAKATA Puji syukur kehadirat Allah SWT atas kemudahan dan kelancaran serta ridhoNya sehingga tesis dengan judul “ Pendugaan Selang Kepercayaan Parameter Model Waktu Kontinu dengan Pendekatan Persamaan Struktural Menggunakan Metode Bootstrap “ ini dapat terselesaikan dengan baik. Penelitian untuk penulisan tesis ini diaplikasikan pada kasus data terapan yang diambil dari TIMSS mengenai prestasi matematika siswa kelas 8. Terimakasih penulis ucapkan kepada pihak-pihak yang telah membantu proses penyusunan tesis ini, yaitu: 1. Prof. Dr. Ir. Asep saefuddin, M.Sc dan Dr. Bagus Sartono M.Si selaku dosen pembimbing, atas arahan dan bimbingannya serta kesabarannya dalam membimbing selama penulisan tesis ini. 2. Dr.Ir. Anik Djuraidah, MS, selaku Ketua Program Studi Stastistika S2 yang telah turut membantu demi kelancaran penyusunan tesis ini. 3. Dr. Ir. Hari Wijayanto M.Si, selaku penguji tesis yang telah meluangkan banyak waktunya dan memberikan arahan-arahan demi terciptanya kelengkapan dan ketepatan pada tesis ini. 4. Keluarga Besar Program Studi Statistika dan Statistika Terapan IPB, 5. Orang tua serta seluruh keluarga dan sahabat atas segala dukungan, doa dan kasih sayangnya. Penulis menyatakan sepenuhnya bahwa tesis ini masih banyak kekurangan. Kritikan yang membangun sangat penulis harapkan demi perbaikan tesis ini di masa yang akan datang dan penulis berharap semoga tesis ini dapat bermanfaat terutama bagi para pembaca. Bogor,

2014

Widhatul Milla

DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN

vi vi vi

1 PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Penelitian

1 1 3

2 TINJAUAN PUSTAKA Prestasi Matematika TIMSS Model Persamaan Struktural Model Waktu Kontinu Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu Pendugaan Selang Kepercayaan Parameter Model Waktu Kontinu

3 3 6 8 9 11

3 METODE PENELITIAN Data Metode Analisis

13 13 14

4 HASIL DAN PEMBAHASAN Eksplorasi Data Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu Pendugaan Selang Kepercayaan

15 15 17 21

5 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran

29 29 29

DAFTAR PUSTAKA

29

LAMPIRAN RIWAYAT HIDUP

30 32

DAFTAR TABEL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Proporsi Kemampuan pada Dimensi Konten dalam Studi TIMSS Proporsi Kemampuan pada Dimensi Kognitif dalam Studi TIMSS Statistik Deskriptif Nilai Matematika Kelas 8 TIMSS Statistik Deskriptif Nilai Matematika Kelas 8 Indonesia Hasil Pendugaan Parameter-Parameter EDM Hasil pendugaan Parameter-Parameter Model Waktu Kontinu Hasil pendugaan parameter diskret dengan berbagai ∆𝑡𝑖 Hasil Uji Normalitas Kolmogorov Smirnov Hasil Pendugaan Selang Terpendek Peubah Laten Prestasi matematika Hasil Pendugaan Selang Terpendek Peubah Laten Pengalaman Guru Mengajar

4 5 15 17 18 19 20 23 24 27

DAFTAR GAMBAR 1 Ilustrasi hubungan Autoregreesive dan Cross Lagged 2 Sebaran data Nilai Matematika TIMSS tahun 1995-2011 3 Histogram nilai dugaan Parameter Model Waktu Kontinu pada Peubah Laten Prestasi Matematika 4 Histogram nilai Parameter Model Waktu Kontinu pada Peubah Laten Pengalaman Guru Mengajar 5 Keragaman Pendugaan Parameter pada Peubah Laten Prestasi Matematika 6 Keragaman Pendugaan Parameter pada Peubah Laten Pengalaman Guru Mengajar 7 Lebar Selang Koefisien Autoregressive untuk Peubah Laten Prestasi Matematika dengan berbagai Δt i 8 Lebar Selang Koefisien Autoregressive untuk Peubah Laten Pengalaman Guru Mengajar dengan berbagai Δti

9 16 22 22 25 26 28 28

DAFTAR LAMPIRAN 1 Ilustrasi Analisis Model Waktu Kontinu pada Data Penelitian TIMSS 2 Plot masing-masing nilai parameter diskret dengan berbagai ∆t i untuk Peubah Laten Prestasi Matematika 3 Plot masing-masing nilai parameter diskret dengan berbagai ∆𝑡𝑖 untuk Peubah Pengalaman Guru Mengajar 4 Nilai dugaan selang kepercayaan parameter CT dan nilai lebar selang pada alpha 5% ∆𝑡𝑖 = 1 5 Program Mplus untuk menduga nilai awal 6 Program R CT (Open Mx) 7 Program R untuk menduga Parameter Diskret dengan Berbagai ∆𝑡𝑖

31 32 35 37 39 41 49

1 PENDAHULUAN Latar Belakang Data deret waktu adalah serangkaian data kuantitatif mengenai nilai-nilai suatu peubah yang tersusun secara bederet (beruntun) dalam suatu periode waktu tertentu. Data deret waktu telah banyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu tidak lain pada bidang pendidikan. Sebagai contoh data deret waktu pada bidang pendidikan adalah nilai rata-rata ujian nasional mata pelajaran matematika kelas 6 Sekolah Dasar di Indonesia mulai dari tahun 1995 hingga tahun 2014. Beberapa metode yang telah berkembang hingga saat ini hanya mampu mengatasi suatu kejadian deret waktu dengan cara mencatat suatu kejadian tersebut dalam titiktitik waktu tertentu seperti model pemulusan (smoothing), dekomposisi, regresi, ekonometrik, ARIMA Box Jenskins, model regresi time series, fungsi transfer, neural network, kalman filter dan lain sebagainya. Pada umumnya metode-metode analisis data deret waktu dipengaruhi oleh interval waktu tertentu seperti harian, mingguan, bulanan ataupun tahunan sehingga apabila data yang disajikan berupa data deret waktu dengan interval waktu yang bersifat tahunan maka akan kehilangan informasi data yang bersifat bulanan. Selain itu metode-metode analisis data deret waktu tidak mampu menganalisis suatu data deret waktu yang tidak lengkap. Ketidaklengkapan data pada kasus ini seperti suatu data tahunan yang pada tahun 1995 tercatat namun pada tahun 1996 dan tahun 1997 tidak tercatat sedangkan pada tahun 1998 tercatat dan berikutnya tidak tercatat kembali. Pada metode analisis data deret waktu umumnya tidak mampu mengatasi ketidaklengkapan data seperti halnya ilustrasi tersebut. Kelemahan-kelemahan tersebut yang menjadikan para peneliti mengembangkan suatu metode yang mampu mengatasi permasalahan tersebut yaitu dengan cara mengembangkan sebuah model kontinu. Model kontinu erat hubungannya dengan model waktu kontinu yang pertama kali dicetuskan oleh Philips (1959). Philips mengembangkan algoritma rinci pertama untuk mengestimasi model waktu kontinu dari data diskret yang digunakan dalam makroekonomi. Model waktu kontinu yang juga disebut sebagai model dinamik didefinisikan sebagai model yang berubah secara kontinu berdasarkan waktu. Yu (2011) pengembangan model waktu kontinu ini didasari atas fakta bahwa banyak peubah yang mengalami perubahan yang bersifat kontinu, akan tetapi karena keterbatasan dalam merekam data menjadi seolah-olah waktu yang melekat pada data tersebut bersifat diskret. Penelitian selanjutnya dilakukan oleh Bergstrom (1966) yang memperkenalkan EDM (Exact Discrete Model) yaitu model yang menghubungkan paramter model waktu diskret ke dalam nilai yang mendasari parameter model waktu kontinu dengan hubungan non linier. Malinvaud (1980) menggunakan metode jarak terdekat (Minimum Distance) untuk pendugaan parameter EDM. Selanjutnya Harvey & Stock (1985) menggunakan algoritma kalman filter untuk meduga parameter EDM. Metode-metode analisis yang telah banyak dikembangkan oleh para peneliti yang berhubungan dengan analisis data deret waktu tersebut masih memiliki keterbatasan yaitu hanya melihat pengaruh suatu peubah dengan peubah itu sendiri berdasarkan waktu sebelumnya namun tidak mampu melihat pengaruh

2 dengan peubah lainnya. Analisis yang mampu melihat kedua pengaruh antara pengaruh objek dengan pengaruh waktu disebut analisis data panel. Data panel merupakan penggabungan antara data yang berupa objek dan waktu sehingga mampu melihat pengaruh waktu dan objek secara bersama jika yang terlibat dalam model lebih dari satu objek pengamatan (Baltagi 2005). Menurut Gujarati (2003) penggunaan data panel memiliki kelebihan, yaitu lebih komprehensif, karena jumlah objek pengamatan yang meningkat mampu meningkatkan efisiensi dalam penaksiran parameternya. Namun selain itu Baltagi (2005) menyebutkan bahwa salah satu kelemahan dari data panel yaitu terletak pada rancangan dan pengumpulan data. Penelitian empiris yang menggunakan data panel telah banyak berkembang di berbagai bidang seperti dilakukan Heshmati et al. (1995) yang melakukan penelitian data panel untuk industry pork, Frazier & Kockleman (2005) menggunakan regresi panel spasial untuk penelitian transportasi, Niu et al. (2011) melakukan penelitian mengenai pertumbuhan ekonomi, konservasi energy dan reduksi emisi di delapan negara. Oud & Singer (2000) melakukan penelitian pada data panel di bidang psikologi dengan model waktu kontinu. Ait & Sahalia (2007) menggunakan pendekatan yang paling sederhana untuk model waktu kontinu yaitu menggunakan metode indirect dengan cara menduga koefisien parameter menggunakan teknik pendugaan diskret kemudian menggunakan koefisien tersebut untuk model waktu kontinu. Oud & Singer (2008) telah melakukan penelitian model waktu kontinu dengan menggunakan metode Kalman Filter yang pada penelitian tersebut masih memiliki kekurangan yaitu adanya autokorelasi pada sisaannya. Voekle et al. (2012) menggunakan model persamaan struktural (Struktural Equation Model) dalam menduga parameter-parameter model waktu kontinu. Model persamaan struktural (SEM) adalah suatu model berupa gabungan dari analisis faktor dan regresi berganda yang dapat digunakan untuk menguji serangkaian hubungan dependen yang terdiri dari beberapa struktur secara serentak (Hair et al. 1998). Oleh karena itu, data panel yang diaplikasikan sebagai penerapan model waktu kontinu tersebut menggunakan peubah latent. Oud & Delsing (2010) mengatakan bahwa untuk mendapatkan parameter kontinu pada model waktu kontinu tetap menggunakan pendekatan-pendekatan diskret. Adapun pendekatan diskret yang pada umumnya digunakan adalah metode Exact Discrete Model (EDM) dan metode Approximate Discrete Model (ADM). Toharudin et al. (2007) menuliskan bahwa parameter kontinu dari model waktu kontinu diperoleh dengan pendekatan matematika yang dapat dituliskan sebagai berikut A ti  e Ati Berdasarkan persamaan tersebut diatas dapat dikatakan bahwa parameter kontinu dan parameter diskret memiliki hubungan secara matematis yang biasa disebut sebagai matriks drift. 𝑨∆𝑡𝑖 dilambangkan sebagai matriks drift untuk model waktu diskret sedangkan 𝑨 dilambangkan sebagai matriks drift untuk model waktu kontinu. Adapun diagonal utama dari matriks drift merupakan penduga dari parameter autoregressive sedangkan diagonal lainnya merupakan penduga dari parameter cross lagged. Dalam membangun sebuah model baik model waktu diskret maupun model waktu kontinu tentunya mengevaluasi suatu kebaikan model maupun

3 pengujian signifikansi parameter merupakan hal yang paling utama. Beberapa kriteria kebaikan model antara lain seperti AIC, BIC dan juga dugaan selang kepercayaan dari parameter yang diperoleh. Selang kepercayaan merupakan suatu kisaran nilai yang dianggap mengandung nilai parameter populasi yang sebenarnya. Hal terpenting yang digunakan untuk mengevaluasi baik buruknya selang kepercayaan adalah lebar selang dan seberapa besar peluang selang tersebut dapat mencakup nilai parameter yang sesungguhnya (Casella & Berger 2002). Lebar selang sangat dipengaruhi oleh keragaman data sehingga berdasarkan selang kepercayaan parameter mampu melihat keragaman dari parameter model dan juga kestabilan dari parameter model yang didapatkan. Metode pendugaan selang kepercayaan banyak dikaji oleh para peneliti adalah metode bootstrap yang diantaranya yaitu Hall (1988a), Hall (1988b), dan Benton & Krishnamoorthy (2002). Bootstrap adalah prosedur statistika berbasis komputer menggunakan teknik pengambilan sampel ulang dengan pengembalian (resampling with replacement). Metode yang diperkenalkan oleh Efron (1979) ini merupakan salah satu alternatif metode untuk menduga sebaran statistik, galat baku statistik, bias, selang kepercayaan, dan beberapa parameter lain selain rata-rata (Efron 1981; Efron & Tibsirani 1993). Efron memberikan dua pendekatan bootstrap, yaitu bootstrap non parametrik dan bootstrap parametrik. Berdasarkan uraian diatas, peneliti melakukan penelitian yang berjudul pendugaan selang kepercayaan parameter model waktu kontinu dengan pendekatan persamaan struktural menggunakan metode bootstrap. Sebagai ilustrasi peneliti menggunakan data terapan yang diambil dari Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) mengenai prestasi matematika dan pengalaman guru mengajar kelas 8. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini, antara lain : 1. Mengetahui sebaran dari penduga parameter model waktu kontinu yang digunakan untuk uji signifikansi berdasarkan hasil sebaran yang diperoleh. 2. Menduga selang kepercayaan terpendek dari sebaran penduga parameter model waktu kontinu. 3. Mengetahui trend nilai penduga parameter dengan membandingkan hasil prediksi dengan menggunakan berbagai ∆𝑡𝑖

2 TINJAUAN PUSTAKA Prestasi Matematika TIMSS TIMSS adalah studi internasional tentang pergerakan matematika dan sains. Studi ini diselenggarakan oleh International Association for Evaluation of Educational Achievment (IEA) yaitu sebuah asosiasi internasional untuk menilai prestasi dalam matematika. TIMSS berpusat di Lynch School of Education, Boston College, USA. TIMSS bertujuan untuk mengetahui peningkatan pembelajaran matematika dan sains yang salah satu kegiatan TIMSS adalah

4 menguji prestasi matematika siswa kelas 4 SD (Sekolah Dasar) dan kelas 8 SMP (Sekolah Menengah Pertama). Metode sampling yang digunakan TIMSS adalah metode Stratified Two Stage Sampling atau teknik strata 2 tahap. Pada penelitian TIMSS strata pertama yang digunakan adalah sekolah yang pada tahap pertama ini metode sampling yang digunakan adalah metode pengambilan sampel systematik. Pada survey TIMSS ini, TIMSS dibantu oleh Koordinator Riset Nasional Negara yang dalam hal ini sudah tersedia sampling frame sekolah yang memiliki siswa yang layak berpartisipasi pada penilaian. Sampling Frame sekolah tersebut diurutkan berdasarkan daerah demografis. Selanjutnya strata kedua yang digunakan adalah strata kelas. Pada tahapan kedua ini seluruh siswa pada kelas yang telah terpilih berpartisipasi pada penilaian TIMSS. TIMSS untuk siswa SMP terbagi menjadi dua dimensi yitu dimensi konten dan dimensi kognitif dengan memperhatikan kurikulum yang berlaku di negara yang bersangkutan. Dimensi konten terdiri atas empat kategori yaitu aljabar, geometri, data dan peluang. Setiap kategori pada dimensi konten meliputi topik bilangan cacah, pecahan dan desimal, bilangan bulat, perbandingan , proporsi, dan presentase. Tabel 1 menunjukkan proporsi kemampuan yang diuji dalam setiap kategori yang dinilai pada dimensi konten. Selanjutnya pada Tabel 2 menunjukkan proporsi kemampuan yang diuji dalam setiap kategori yang dinilai pada dimensi kognitif. Tabel 1. Proporsi Kemampuan pada Dimensi Konten dalam Studi TIMSS Dimensi Penilaian Konten

Kategori Bilangan

Proporsi (%) 30

Aljabar

30

Geometri

20

Data dan Peluang

20

Topik Bilangan cacah Pecahan dan desimal Bilangan bulat Rasio , proporsi dan persen Pola dan hubungan Ekspresi aljabar Persamaan dan fungsi Bentuk-bentuk geometri Pengukuran Letak dan perpindahan Organisasi dan representasi data Menafsirkan data Peluang

Pada dimensi kognitif terdiri atas tiga kategori yaitu mengetahui fakta dan prosedur (pengetahuan), menggunakan konsep dan memecahkan masalah rutin (penerapan), dan memecahkan masalah nonrutin (penalaran). Pada dimensi kognitif dimaknai sebagai perilaku yang diharapkan dari siswa ketika siswa tersebut menghadapi masalah pada persoalan dalam dimensi konten. Oleh karena itu pada dimensi kognitif, fokus utamanya adalah pemecahan masalah dalam soalsoal tes yang terkait dengan hampir semua topik dalam dimensi konten. Bentuk soal-soal dalam TIMSS adalah pilihan ganda, isian singkat dan uraian. Adapun penilaian untuk soal pilihan ganda yaitu nilai 1 jika benar dan 0 jika salah begitu pula dengan isian singkat yaitu 0 jika salah dan 1 jika benar.

5 Sedangkan pada bentuk soal uraian dengan nilai maksimal 10 dan nilai minimalnya adalah nol. Pada soal uraian apabila terdapat jawaban yang tidak sempurna, maka proporsi nilai untuk jawaban mengacu pada kunci jawaban. Nilai ideal pada penilaian prestasi matematika TIMSS yang meliputi kedua konten tersebut adalah 1000 namun mulai dari tahun 1995 hingga berturut-turut tahun 199, 2003, 2007 dan 2011 nilai prestasi matematika siswa berada pada kisaran 265-625. Tabel 2. Proporsi Kemampuan pada Dimensi Kognitif dalam Studi TIMSS Dimensi Penilaian Kognitif

Kategori Penerapan (knowing)

Proporsi (%) 30

Topik Mengingat, mengenali, menghitung, mengukur,mengklarifikasi, mengurutkan

Penerapan (applying)

30

Memilih, merepresentasi, memodelkan, menerapkan, memecahkan masalah rutin

Penalaran (reasoning)

20

Menganalisa, menggeneralisasi, mengintegrasi, memberi, alasan, memecahkan soal non-rutin

TIMSS mengelompokkan kemampuan matematika baik aljabar, data dan peluang, bilangan maupun geometri berdasarkan Math International Benchmark, yaitu: kemapuan siswa dengan skor kurang dari 400, antara 400 sampai kurang dari 475, antara 475 sampai kurang dari 550, antara 550 sampai kurang dari 625, dan skor 625 ke atas. Berdasarkan hasil survey 2007, skor matematika siswa Indonesia berada pada rata-rata 397,1 dan ini termasuk ke dalam kategori sangat rendah dan berada di bawah skor rata-rata TIMSS. Secara umum banyak sekali faktor yang dapat mempengaruhi prestasi belajar baik internal maupun eksternal. Faktor internal adalah faktor yang berasal dari siswa yang terdiri dari aspek fisiologis dan psikologis. Aspek psikologis dapat mempengaruhi kuantitas dan kualitas perolehan pembelajaran siswa, beberapa hal yang dipandang penting adalah tingkat kecerdasan, sikap siswa terhadap pelajaran, bakat, minat dan motivasi siswa (Syah 2005). Sedangkan pendidikan orang tua, cita-cita pendidikan siswa, jumlah buku yang dimiliki siswa di rumah, ketersediaan perangkat komputer, sosial ekonomi, waktu pengerjakan pekerjaan rumah merupakan faktor eksternal dari siswa yang berpengaruh terhadap prestasi akademiknya (Mullis et al 2005). Khusus dalam bidang matematika, Santoso (Puspendik 2009) telah merangkum faktor-faktor baik internal maupun eksternal yang dapat mempengaruhi prestasi matematika siswa yaitu sebagai berikut: 1. Sikap/motivasi belajar matematika siswa: suka matematika, menikmati belajar matematika, senang belajar matematika, belajar matematika dengan baik, belajar matematika lebih cepat, ingin belajar lebih banyak matematika, matematika akan membantu menyelesaikan masalah kehidupan sehari-hari, matematika dibutuhkan untuk mempelajari pelajaran lain, matematika dibutuhkan untuk masuk perguruan tinggi, matematika dibutuhkan untuk mencari pekerjaan. Persepsi siswa terhadap sekolah: senang berada di

6

2. 3.

4. 5. 6. 7.

8.

sekolah, para siswa giat belajar di sekolah, para guru sangat mendorong siswa untuk belajar lebih giat. Persepsi siswa terhadap matematika: matematika sangat sulit, matematika bukan keahlainku, matematika membosankan. Minat belajar siswa: berlatih matematika tanpa kalkulator, memecahkan pecahan dan desimal, memecahkan soal-soal geometri, menyajikan data dalam tabel dan diagram, menuliskan persamaan dan fungsi, menghapal rumus-rumus matematika, mengaitkan matematika dengan kehidupan sehari-hari, belajar kelompok, membahas pekerjaan rumah, mendengarkan penjelasan guru, memperoleh kuis dan tes. Perilaku siswa: terlambat sekolah, bolos sekolah, rebut di kelas, meninggalkan jam pelajaran. Sosial ekonomi orang tua: tingkat pendidikan orang tua, kepemilikan buku pelajaran, meja belajar, komputer, internet. Latar belakang guru: lama mengajar, tingkat pendidikan, program studi yang ditempuh. Penilaian guru terhadap sekolah: kepuasan kerja, pemahaman guru terhadap kurikulum dan tujuan pembelajaran, dorongan orang tua, harapan siswa untuk berprestasi. Sarana prasarana sekolah: gedung sekolah, ruang kelas, laboratorium komputer, perpustakaan, buku-buku pelajaran. Model Persamaan Struktural

Model persamaan struktural (SEM) merupakan salah satu analisis peubah ganda yang mampu menganalisis hubungan variabel secara kompleks. Analisis ini pada umumnya digunakan untuk penelitian-penelitian yang menggunakan banyak variabel dan mampu menganalisis model yang rumit secara simultan. Analisis pada model persamaan struktural ini dapat juga disebut sebagai analisis yang mengkombinasikan beberapa aspek yang terdapat pada analisis jalur dan analisis faktor untuk menduga beberapa persamaan simultan. Analisis jalur adalah metode yang menganalisis sistem pada persamaan struktural dengan membentuk diagram lintas yang menjelaskan mekanisme hubungan antar peubah dengan cara menguraikan kovarian dan korelasi menjadi pengaruh langsung dan tidak langsung (Bollen 1989). Sedangkan analisis faktor adalah analisis koragam diantara peubah yang dijelaskan dalam sejumlah kecil faktor umum (common factor) ditambah dengan sebuah faktor unik untuk setiap peubah dimana faktor tersebut tidak secara eksplisit diamati yang dikenal dengan peubah laten (Johnson & Winchern 2002). Peubah laten merupakan konsep abstrak, seperti perilaku orang, sikap, perasaan dan motivasi. Peubah laten hanya dapat diamati secara tidak langsung dan tidak sempurna melalui pengaruhnya pada peubah teramati. Persamaan struktural mempunyai 2 jenis peubah laten, yaitu peubah eksogen yang dinotasikan dengan dengan ξ (“ksi”) dan peubah endogen dinotasikan dengan η(“eta”). Selanjutnya peubah teramati adalah peubah yang dapat diamati atau dapat diukur secara empiris dan sering disebut sebagai indikator. Peubah teramati merupakan pengaruh atau ukuran dari peubah laten. Model umum persamaan struktural didefinisikan sebagai berikut:

7

  B  Γ  

(1)

dengan matriks koefisien peubah laten endogenous berukuran 𝑚𝑥𝑚 matriks koefisien peubah laten eksogenous berukuran 𝑚𝑥𝑛 vektor peubah laten endogenous berukuran 𝑚𝑥1 vektor peubah laten eksogenous berukuran 𝑛𝑥1 vektor sisaan acak hubungan antara 𝜂 dan 𝜉 berukuran 𝑚𝑥1 Berikut model persamaan struktural dengan p adalah banyaknya indikator atau peubah teramati pada peubah laten endogen sedangkan q adalah banyaknya indikator atau peubah teramati pada peubah laten eksogen: B: Γ: : : :

dengan 𝑦 : 𝑥 : Λ𝑦 : Λ𝑥

:

𝜀 𝛿

: :

y   y  

Cov   

x   x  

Cov   

(2) ( (3)

vektor peubah penjelas tidak bebas yang berukuran p × 1 vektor peubah penjelas bebas yang berukuran q × 1 matriks koefisien regresi antara y terhadap peubah η yang berukuran p × m matriks koefisien regresi antara x terhadap peubah ζ yang berukuran q × n vektor sisaan pengukuran terhadap y yang berukuran p × 1 vektor sisaan pengukuran terhadap x yang berukuran q × 1

Kesalahan struktural muncul disebabkan peubah bebas tidak dapat memprediksi secara sempurna peubah terikat. Kesalahan ini diasumsikan tidak berkorelasi dengan peubah eksogen dari model dan dinotasikan dengan 𝜁 . Kesalahan pengukuran disebabkan oleh indikator-indikator atau peubah-peubah teramati tidak dapat secara sempurna mengukur peubah laten terkait. Komponen kesalahan yang berkaitan dengan peubah teramati η dinotasikan dengan 𝛿 , sedangkan yang berkaitan dengan peubah y dinotasikan dengan 𝜀 (Johnson & Winchern 2002). Pendugaan Parameter Model Persamaan Struktural Parameter-parameter yang harus diduga dalam model persamaan struktural yaitu Β, Γ, Φ, Ψ. Pendugaan dilakukan dengan cara meminimumkan fungsi θ=f 𝐵, Γ, Φ, Ψ sedemikian sehingga matriks kovarian yang diturunkan dari model yaitu







I  B 1  '   I  B 1 ' '        1 ' ' ' B  I  B   





I  B  B   BB '    1

(4)

8 sedekat mungkin atau sama dengan matriks kovarian populasi dari peubah-peubah teramati, Σ, yang didekati dengan matriks kovarian sampel dari peubah-peubah teramati yaitu cov y, y  cov y, x  S (5)   covx, y  covx, x  Pendugaan dilakukan secara iteratif dengan meminimumkan fungsi pengepasan (fitting function). Fungsi pengepasan merupakan fungsi dari S dan Σ(θ) yaitu F(S, Σ(θ)). Menurut Bollen (1989), beberapa karakteristik dari F(S, Σ(θ)) adalah: 1. F(S, Σ(θ)) adalah skalar. 2. F(S, Σ(θ)) ≥ 0. 3. F(S, Σ(θ)) = 0 jika dan hanya jika Σ(θ) = S. 4. F(S, Σ(θ)) kontinu dalam S dan Σ(θ). Pendugaan parameter dengan metode kemungkinan maksimum secara iteratif akan meminimumkan fungsi pengepasan, F(S, Σ(θ)), yaitu (Oud & Jansen 2000):





FML    log    tr S  1    log S   p  q 

(6)

dengan asumsi Σ(θ) dan S definit positif, x dan y berdistribusi normal ganda, dan S memiliki distribusi Wishart (Bollen 1989).

Model Waktu Kontinu Model waktu kontinu memodelkan hubungan antara suatu peubah dengan peubah itu sendiri dan dengan peubah lainnya pada k periode waktu sebelumnya dengan parameter model yang bersifat kontinu pada berbagai interval waktu. Menurut Yu (2011) pengembangan model waktu kontinu ini didasari atas fakta bahwa banyak peubah yang mengalami perubahan yang bersifat kontinu, akan tetapi karena keterbatasan merekam data menjadi seolah-olah waktu yang melekat pada data tersebut bersifat diskret. Misalnya seorang peneliti melakukan pengamatan selama satu tahun terhadap perkembangan harga emas pada perusahaan ANTAM dengan waktu pengamatan selama 1 minggu ∆𝑡1 = ∆𝑡2 = ⋯ = ∆𝑡𝑇 = 1 minggu , selanjutnya hasil pengamatan tersebut dapat digambarkan ke dalam model diskret autoregressive sebagai berikut:

xi  xi 1  wi

(

i  1,2,, T

(6)

Persamaan (6) tersebut menggambarkan hubungan antara suatu peubah dengan peubah itu sendiri berdasarkan waktu. Dalam hal ini jika peneliti akan melakukan penelitian pergerakan harga emas yang dihubungkan dengan faktor lain seperti harga tukar rupiah dalam seminggu maka, 𝑥 𝑡𝑖 adalah vektor berukuran V 1 dari hasil pengamatan dua peubah yang saling berhubungan yang diamati pada beberapa waktu secara bersama-sama. Oleh karena itu, persamaan (6) dapat dituliskan berikut: xti   Ati xti  ti   wti 

i  1,2,, T

( (8)

9 dengan, 𝑨 ∆𝑡𝑖 adalah matriks drift dan 𝑤 ∆𝑡𝑖 adalah vektor dari galat yang berukuran 𝑉 × 1, yang diasumsikan tidak berkorelasi antar waktu selanjutnya ∆𝑡𝑖 merupakan interval waktu pengamatan. Oud & Delsing (2010) menuliskan bentuk umum dari model waktu kontinu dengan memasukan komponen intersep b adalah sebagai berikut. dxt  dW t   Axt   b  G dt dt

(9)

dengan, Axt 

b G

dW t  dt

: : :

matriks drift intersep sisaan model waktu kontinu

Matriks drift merupakan matriks yang terdiri atas pengaruh autoregressive pada diagonal utama dan pengaruh cross-lagged pada diagonal lainnya. Cross-lagged yaitu hubungan antara suatu peubah dengan peubah lainnya sedangkan autoregressive yaitu hubungan antara suatu peubah dengan peubah itu sendiri pada saat t+1. Pada Gambar 1 menggambarkan hubungan antara peubah 𝑥𝑝 dan peubah 𝑎𝑐 dari tahun pertama hingga tahun berikutnya. Berdasarkan ilustrasi pada Gambar 1 terlihat bahwa kedua peubah mempunyai hubungan autoregressive dan hubungan cross lagged, yang mana hubungan autoregressive terlihat pada parameter 𝑎11 , 𝑎22 sedangkan hubungan cross-lagged terlihat pada parameter 𝑎12 , 𝑎21 . Parameter 𝑎11 artinya hubungan antara peubah 𝑥𝑝𝑡 dengan peubah 𝑥𝑝𝑡+1 atau dapat diartikan bahwa peubah 𝑥𝑝 pada saat ini memiliki hubungan dengan peubah itu sendiri pada waktu berikutnya, begitu pula dengan parameter 𝑎22 . Kemudian parameter 𝑎12 artinya peubah 𝑥𝑝𝑡 memiliki hubungan dengan peubah 𝑎𝑐𝑡+1 dan sebaliknya parameter 𝑎21 artinya peubah 𝑎𝑐𝑡 memiliki hubungan dengan peubah 𝑥𝑝𝑡+1 . 𝑎11

𝑥𝑝𝑡 𝑎12 𝑎𝑚𝑡

𝑎22

𝑥𝑝𝑡+1

𝑎11

𝑥𝑝𝑡+2

𝑎12

𝑎21 𝑎𝑚𝑡+1

𝑎21 𝑎22

𝑎𝑚𝑡+2

Gambar 1. Ilustrasi hubungan autoregressive dan cross-lagged 2 peubah

Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu Oud & Delsing (2010) menjelaskan bahwa parameter dari model waktu kontinu pada persamaan (6) di atas dapat diduga dengan pendekatan-pendekatan diskret baik dengan metode EDM maupun metode ADM. Adapun model umum metode EDM (Exact Discrete Model) adalah sebagai berikut: xti  Ati xti ti  bti  wti ti (10)

10 dengan, 𝑐𝑜𝑣 𝑤𝑡 𝑖 −Δ𝑡 𝑖 = 𝑄Δ𝑡 𝑖 Parameter-parameter diskret pada persamaan (9) tersebut dapat diperoleh dengan cara menduga parameter-parameter persamaan struktural pada persamaan (1) dan (2). Berdasarkan persamaan (1) dan (2) yang diduga dengan meminimukan nilai fungsi 𝜃 akan memperoleh matriks B dan Ψ . Dalam Voelkle et al. (2012), matriks 𝑨∆𝑡𝑖 , 𝒃∆𝑡𝑖 , dan matriks kovarian Q ∆ti dari model waktu diskret dapat diduga dari matriks B dan Ψ dalam persamaan struktural yaitu:  0 A  t1  0 B    0   0

0



0

0

0

0

0

Ati

0

0

0

0

 0 0

Ati T  0

0 0

 xt 

bt1  bti     bti T   0  0

(11)

dan xt 0  0  0 Qt1    0 ψ 0  0  0 0  0  0

 0

Qtii

0 0

0 0

Qti T 0

        1

(12)

Parameter waktu kontinu berupa matriks drift A yang menunjukkan bagaimana hubungan antara suatu peubah dengan peubah itu sendiri dan peubah lainnya pada k periode waktu sebelumnya merupakan parameter yang bersifat kontinu terhadap berbagai interval waktu. Hubungan antara parameter kontinu A dengan parameter diskret yaitu (Toharudin et al. 2007) A ti  e Αti





bti  A 1 e Ati  I b

  1 #

Qti  irow A e

A#ti





 I rowQ

(13)

Q  GG ' , A #  A  I  I  A

dengan, ∆𝑡𝑖 = ∆𝑡1 , ∆𝑡2 , ⋯ , ∆𝑡𝑇−1 . Operasi ⊗ merupakan perkalian Kronecker , row artinya menjadikan matriks sebagai vektor dan irow sebagai lawan dari perintah row yang artinya mengembalikan bentuk vector semula menjadikan bentuk matriks kembali. Pada persamaan (12) menunjukkan adanya hubungan antara parameter waktu diskret dengan parameter waktu kontinu. Pada beberapa pengamatan yang mempunyai interval waktu yang berbeda maka ∆𝑡𝑖 akan selalu berbeda lain halnya dengan pengamatan yang memiliki interval waktu yang sama maka nilai ∆𝑡𝑖 akan sama. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa ∆𝑡𝑖 akan bergantung pada interval pengamatan yang dilakukan. Secara matematis, hubungan antara parameter model waktu diskret dengan parameter model waktu kontinu dapat dibuktikan dengan cara menurunkan

11 persamaan model waktu diskret pada persamaan (9) terhadap ∆𝑡𝑖 yang dapat dituliskan sebagai berikut dxt   Axt  dt

dengan

xt   eAt t 0  xt0 

(14)

(15)

dimana 𝑥 𝑡0 = 𝑥 𝑡𝑖 − ∆𝑡𝑖 dan ∆𝑡𝑖 = 𝑡 − 𝑡0 . Dalam hal ini persamaan (15) akan dibuktikan dengan menggunakan deret Taylor berikut 

At k

k 0

k!

e At  

 I  At 

1 At 2  1 At 3   2! 3!

(16)

Perhatikan jika persamaan (13) diturunkan terhadap 𝑡 maka diperoleh de At 1 1  0  A  A 2  A 3t 2  A 4 t 3   dt 2! 3! 1 1   2 3  A I  At  At   At    2 ! 3 !   At  Ae

(17)

Selanjutnya dapat diperoleh persamaan 𝑒 𝐴∆𝑡𝑖 = 𝐴 ∆𝑡𝑖 seperti tercantum pada persaman (13), dengan cara menyamakan persamaan (15) dengan persamaan (10). Dengan demikian parameter model waktu kontinu dapat diperoleh dengan pendekatan deret Taylor seperti pada persamaan (13) yang dapat dituliskan seperti berikut

e Ati  At i   I  At i  

1 2 1 2 3 (18) A t i   A 3 t i    2! 3! Persamaan (17) digunakan untuk melakukan pendugaan parameter diskret dengan nilai ∆𝑡𝑖 yang berbeda-beda sesuai dengan kebutuhan pada Penelitian. Hal ini telah diilustrasikan pada Bab berikutnya.

Pendugaan Selang Kepercayaan Parameter Model Waktu Kontinu Selang Kepercayaan Penduga bagi parameter populasi ada dua jenis, yaitu penduga titik dan penduga selang atau disebut sebagai selang kepercayaan. Selang kepercayaan merupakan penduga parameter yang berupa kisaran nilai. Sebuah selang kepercayaan dengan tingkat kepercayaan sebesar C bagi parameter adalah selang yang dihitung dari data contoh dengan suatu metode tertentu yang memiliki peluang sebesar C untuk menghasilkan selang yang mengandung nilai parameter sesungguhnya (Moore & McCabe 1998). Secara matematis, Casella & Berger (2001) mendefinisikan selang dugaan tertutup bagi parameter 𝜃 yaitu selang tertutup yang ujung bawah dan ujung atasnya masing-masing 𝐵 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 dan 𝐴 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 atau 𝐵 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 , 𝐴 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 untuk 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 anggota ruang sampel 𝑋. Jika 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 adalah sampel yang terambil secara acak, maka

12 𝐵 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 , 𝐴 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 disebut selang dugaan acak adalah sampel acak, maka 𝐵 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 , 𝐴 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 (acak) bagi 𝑋1 . ⋯ , 𝑋𝑛 . Sedangkan, peluang dari 𝐵 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 , 𝐴 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 untuk mencakup nilai pencakupan” dituliskan sebagai berikut: 𝑃 𝜃𝜖 𝐵 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 , 𝐴 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛

bagi 𝜃. Jika 𝑋1 . ⋯ , 𝑋𝑛 disebut selang penduga selang penduga bagi, 𝜃 disebut “peluang

= 𝑃𝜃 𝐵 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 ≤ 𝜃 ≤ 𝐴 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛

Jika besarnya peluang pencakupan adalah 1 − 𝛼 , maka selang ini disebut selang kepercayaan 1 − 𝛼 x 100% bagi 𝜃 . Misalnya, untuk 𝛼 = 0.05 maka diperoleh selang kepercayaan 95% bagi 𝜃. Bentuk umum dari selang kepercayaan adalah (Moore & McCabe 1998) : Dugaan titik ± batas kesalahan Dugaan titik adalah perkiraan untuk parameter yang tidak diketahui. Batas kesalahan (margin of error) menunjukkan seberapa akurat nilai dugaan tersebut dapat dipercaya, berdasarkan variasi dugaan yang diperoleh. Levy & Lemeshow (1999) memaknai selang kepercayaan 95% yaitu jika melakukan pengambilan sampel berukuran dari sebuah populasi yang sama berulangkali, dan untuk setiap sampel dilakukan perhitungan selang kepercayaan, maka 95% dari selang kepercayaan tersebut akan mencakup nilai parameter populasi yang sesungguhnya. Penentuan selang kepercayaan bagi parameter populasi dapat dilakukan dengan pembalikan statistik uji, menggunakan besaran pivot, pivoting fungsi sebaran kumulatif, dan metode bayes. Baik buruknya dugaan selang kepercayaan yang diperoleh dapat dievaluasi dengan melihat dua aspek, yaitu lebar selang dan peluang pencakupan. Lebar selang didefinisikan sebagai selisih antara batas atas dan batas bawah selang kepercayaan (Casella & Berger 2001). Metode Bootstrap Bootstrap adalah prosedur statistika berbasis komputer menggunakan teknik pengambilan sampel ulang dengan pengembalian (resampling with replacement). Metode yang diperkenalkan oleh Efron (1979) ini merupakan salah satu alternatif metode untuk menduga sebaran statistik, galat baku statistik, bias, selang kepercayaan, dan beberapa parameter lain selain rata-rata (Efron 1981; Efron dan Tibsirani 1993). Efron memberikan dua pendekatan bootstrap, yaitu bootstrap non parametrik dan bootstrap parametrik. Berikut akan dijelaskan bagaimana konsep kedua pendekatan ini dan kapan pendekatan tersebut cocok digunakan. 1. Bootstrap non parametrik Pada pendekatan bootstrap non parametrik, sebaran peluang populasi tidak diketahui. Metode ini bertujuan untuk memperoleh dugaan parameter dan sebaran populasi. Asumsikan 𝑍 = 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 adalah sampel acak dari sebaran peluang populasi 𝑃 yang tidak diketahui dan 𝛽 = 𝑡 𝑃 adalah parameter yang ingin diduga. Prinsip pembangkitan sampel bootstrap adalah sebagai berikut : a. Ambil sampel berukuran n secara acak dengan pengembalian dari fungsi sebaran empiris (𝐹𝑛 ) . Fungsi sebaran empiris tersebut adalah sebaran

13 1

diskret yang menentukan peluang 𝑛 untuk setiap pengamatan 𝛼𝑖 untuk 𝑖 = 1,2, ⋯ 𝑛. b. Proses tersebut dilakukan berulang-ulang hingga sebanyak 𝐵 kali. c. Untuk setiap sampel yang diambil pada proses bootstrap kemudian dihitung dugaan 𝛽 ∗ , sehingga diperoleh gugus data 𝛽1∗ , 𝛽2∗ , ⋯ 𝛽𝐾∗ . Sebaran dari sebanyak 𝐾 buah 𝛽 ∗ dapat digunakan untuk menduga sebaran dari 𝛽. Pada umumnya, ukuran B antara 50–200 untuk menduga galat baku , dan paling sedikit 500 untuk menduga selang kepercayaan (Efron dan Tibsirani 1993). 2. Bootstrap parametrik Pada bootstrap parametrik, sebaran populasi data asli diketahui, tetapi sebaran statistiknya tidak diketahui (Otieno 2002). Pendekatan bootstrap parametrik membangkitan sampel bootstrap dengan sebaran parametrik (Amiri et al. 2008). Berikut adalah prosedur dari pendekatan ini : Misalkan 𝑍 = 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 adalah sampel dari pengamatan yang berasal dari populasi dengan fungsi sebaran 𝛼, 𝛽 . 𝛽 adalah parameter yang tidak diketahui. Dari data tersebut, dihitung dugaan 𝛽 . Ambil sampel bootstrap, 𝑍 ∗ , berukuran 𝑛 dari sebaran 𝐹 𝛼, 𝛽 . Hitung penduga dari setiap sampel bootstrap, 𝛽 ∗ . Ulangi proses ini sebanyak 𝐾 kali, sehingga diperoleh 𝛽1∗ , 𝛽2∗ , … , 𝛽𝐵∗ . Sebaran penarikan sampel dari 𝛽 dapat didekati dengan frekuensi sebaran dari 𝛽𝑖∗ (Benton dan Krishnamoorthy 2002). Efron (1993) memberikan ilustrasi bootstrap parametrik untuk menghitung galat baku dari koefisien korelasi. Bootstrap parametrik cenderung memberikan dugaan yang lebih halus mengenai sebaran dari data dengan ukuran sampel kecil dan untuk parameter yang hanya melibatkan sedikit nilai numerik dari data sampel, misalnya median, nilai minimum, dan nilai maksimum (Otieno 2002).

3 METODE PENELITIAN Data Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data terapan yang diperoleh dari Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS). TIMSS mengukur pergerakan kemampuan siswa kelas 4 dan kelas 8 dalam bidang matematika dan sains dengan survei yang dilakukan di beberapa negara secara berkala setiap 4 tahun sekali dimulai sejak dari tahun 1995. Data terapan pada penelitian ini yaitu data prestasi matematika kelas 8 dari 74 negara di dunia pada tahun 1995, 1999, 2003, 2007, dan 2011. Data diambil dari http://www.timssandpirls.bc.edu/#. Ilustrasi data TIMSS yang diaplikasikan pada model waktu kontinu terlampir pada Lampiran 1. Prestasi matematika diukur dengan rata-rata nilai siswa yaitu rata-rata dari 2 aspek baik secara perhitungan maupun secara kognitif. Pada aspek perhitungan nilai matematika dilihat berdasarkan 4 mata pelajaran yaitu pelajaran geometri, data dan peluang, bilangan, dan aljabar sedangan pada aspek kognitif prestasi matematika diukur dengan 3 indikator yaitu indikator applying, knowing dan reasoning. Selanjutnya Data hasil rata-rata dari kedua aspek tersebut telah

14 dikelompokkan oleh TIMSS berdasarkan Math International Benchmark ke dalam lima kategori yaitu: 1. Sangat rendah {skor kurang dari 400 atau (<400)} 2. Rendah {skor antara 400 sampai kurang dari 475 atau [400;475]} 3. Sedang {skor antara 475 sampai kurang dari 550 atau [475;550]} 4. Tinggi {skor antaara 550 sampai kurang dari 625 atau[550;625]} 5. Advance {skor lebih dari 625 atau [>625]} Penerapan pemodelan waktu kontinu pada data tersebut untuk melihat hubungan prestasi matematika dengan pengalaman guru mengajar. Pengalaman guru dalam mengajar tersebut hanya diukur dengan 1 indikator yaitu lamanya mengajar dalam satuan tahun. Pada variabel latent pengalaman guru berikut yang diukur berdasarkan lamanya mengajar juga dikategorikan menjadi 7 kategori yaitu (0-2, 2-5, 5-9,9-14,14-20,20-27 dan >27). Metode Analisis Eksplorasi Data Menghitung statistika deskriptif sebagai informasi awal dalam menganalisis data sebagai pemodelan dan pendugaan selang. Pada hasil analisis statistik deskriptif tersebut dapat diketahui ketidaklengkapan data yang digunakan berdasarkan banyaknya negara yang tidak berpartisipasi di setiap tahunnya. Pendugaan Selang Berikut merupakan tahapan-tahapan dalam menduga selang dengan menggunakan model waktu kontinu dengan pendekatan persamaan struktural : Tahapan 1: 1. Melakukan resampling pada peubah latent prestasi matematika yang diukur berdasarkan 2 aspek yaitu perhitungan dan kognitif untuk setiap negara dan setiap tahun. 2. Melakukan resampling pada peubah latent motivasi siswa untuk setiap negara di masing-masing tahun. 3. Menghitung nilai rata-rata untuk masing-masing peubah latent dari data hasil resampling langkah 1 dan 2. Tahapan 2: Berdasarkan prosedur analisis data pada tahapan 1 akan memperoleh satu data set yang nantinya akan dianalisis untuk mendapatkan parameter-parameter waktu kontinu. Adapun langkah-langkah untuk mendapatkan parameter-parameter kontinu adalah sebagai berikut: 1. Menduga parameter diskret dari model persamaan struktural yaitu 𝛣, 𝛤, 𝛷, 𝛹 . Analisis pada langkah ini dilakukan dengan menggunakan software MPlus 7. 2. Sesuai dengan persamaan (5) dan (6), dari langkah 1 akan mendapatkan parameter-parameter diskret pada model EDM. Analisis pada langkah ini dilakukan dengan menggunakan OpenMx versi 1.3.2-2301 pada software R versi 2.15.2. 3. Selanjutnya menduga parameter kontinu yang secara matematik tertulis pada persaman (9) Tahapan 3: Langkah 1 dan langkah 2 dilakukan sebanyak B=1000 kali sehingga akan didapatkan nilai penduga parameter model waktu kontinu berdasarkan hasil

15 bangkitan tersebut. Selanjutnya pendugaan selang kepercayaan diperoleh dengan cara menduga lebar selang yang terpendek dengan tingkat kesalahan sebesar 5%. Lebar selang didefinisikan sebagai selisih antara batas atas dan batas bawah selang kepercayaan. Menduga lebar selang dari masing-masing nilai ∆𝑡𝑖 dan melakukan analisis berdarkan hasil lebar selang dugaan yang diperoleh.

4 HASIL DAN PEMBAHASAN Eksplorasi Data Data terapan yang digunakan pada penelitian ini melibatkan 74 negara termasuk Indonesia mulai dari tahun 1995 dan berturut-turut pada tahun 1999, 2003, 2007 dan 2011 dengan interval waktu yang sama yaitu 4 tahun. Pada data terapan yang digunakan ini tidak semua negara tercatat oleh TIMSS di setiap tahunnya. Seperti halnya Indonesia pada tahun pertama yaitu pada tahun 1995, Indonesia belum tercacat oleh TIMSS namun pada tahun-tahun berikunya Indonesia sudah tercatat oleh TIMSS. Begitu pula dengan negara lainnya seperti halnya negara Austria yang pada tahun pertama TIMSS melakukan penelitian pada bidang matematika dan ilmu pengetahuan untuk kelas 4 dan kelas 8 ini negara Austria sudah tercatat oleh TIMSS namun pada tahun-tahun berikutnya seperti pada tahun 1999, 2003 dan 2007 negara Austria sudah tidak tercatat oleh TIMSS sedangkan pada tahun 2011 negara Austria kembali tercatat oleh TIMSS. Berikut merupakan ringkasan dari statistik deskriptif untuk data prestasi matematika kelas 8 yang dilakukan oleh TIMSS: Tabel 3. Statistik Deskriptif Nilai Rata-Rata Matematika kelas 8 TIMSS Nilai Rata-Rata Matematika kelas 8 TIMMS Ukuran

Tahun Tahun 1995 1999 N* 33.00 37 Rata-rata 507.3 486.3 Minimal 260.9 275 Maksimal 643.0 604 Standar Deviasi 67.80 73.1 N* jumlah negara yang tidak tercatat

Tahun 2003 25 463.8 264 605 75.8

Tahun 2007 25 450.8 307 598 73.4

Tahun 2011 32 473 334 614 71.3

Berdasarkan Tabel 3 terlihat bahwa dari tahun 1995 hingga berturut-turut tahun 1999, 2003 dan tahun 2007 rata-rata nilai matematika mengalami penurunan sedangkan pada tahun 2011 telah merangkak kembali mengalami kenaikan. Pada tahun 1995 merupakan nilai rata-rata matematika TIMSS tertinggi dibandingkan dengan 4 tahun lainnya sedangkan nilai terendahnya pada tahun 1995 tidak lebih tinggi dengan nilai pada tahun 2011. Selanjutnya dapat diamati pula pada tahun 1995 nilai standar deviasinya paling kecil dibandingkan dengan nilai standar deviasi pada 4 tahun amatan lainnya. Hal tersebut menunjukkan pada tahun 1995 bahwa keheterogenan nilai matematika siswa pada kelas 8 TIMSS relatif kecil yaitu sebesar 67,8. Naik turunnya nilai matematika, ini dapat pula disebabkan oleh adanya pengambilan contoh siswa yang berpartisipasi pada penilaian TIMSS. Negara-negara yang selalu tercatat oleh TIMSS mulai pada tahun 1995 hingga berturut-turut tahun 1999, 2003, 2007 dan 2011 yaitu negara Inggris,

16 Hongkong, Hungaria, Iran, Italia, Jepang, Korea, Lithuania, Rusia, Romania, Singapura, Slovenia, dan USA. Negara Singapura mulai dari periode tahun 1995, 1999 dan 2003 menjadi negara yang memiliki nilai rata-rata matematika siswa kelas 8 TIMSS tertinggi sedangkan pada tahun 2007 negara yang memiliki nilai rata-rata matematika tertinggi adalah negara China. Selanjutnya pada tahun 2011 negara Korea yang menjadi negara yang memiliki nilai rata-rata matematika tertinggi. Pada periode tahun pertama sampai tahun ketiga yaitu berturut-turut pada tahun 1995, 1999 dan tahun 2003 negara yang memiliki nilai rata-rata matematika terendah adalah negara Afrika Selatan selanjutnya pada tahun 2007 semenjak negara Qatar tercatat oleh TIMSS negara Qatar yang menjadi negara yang memperoleh nilai rata-rata matematika kelas 8 TIMSS terendah. Namun pada tahun terakhir yaitu pada tahun 2011 negara Qatar sudah mengalami kenaikan dan yang memperoleh nilai rata-rata matematika terendah adalah negara Ghana 600

Prestasi Matematika tahun 1999

Prestasi Matematika tahun 1995

700

600

500

400

300

550 500 450 400 350 300

0

10

20

30

40 negara

50

60

70

0

80

10

20

(a). Tahun 1995

40 negara

50

60

70

80

(b). Tahun 1999

650

600

Prestasi Matematika tahun 2007

600 550 500 450 400 350 300

550 500 450 400 350 300

250 0

10

20

30

40 negara

50

60

70

80

0

10

20

(c). Tahun 2003

30

40 negara

600 550 500 450 400 350 300 0

50

60

(d). Tahun 2007

650

Prestasi Matematika tahun 2011

Prestasi Matematika tahun 2003

30

10

20

30

40

50

(e). Tahun 2011

60

70

80

70

80

17 Gambar 2. Sebaran data nilai matematika TIMSS tahun 1995-2011 Berdasarkan Gambar 2 memaparkan mengenai sebaran data nilai matematika dari tahun 1995 sampai periode tahun 2011 dari beberapa negara di dunia terlihat bahwa negara-negara yang awalnya tercatat oleh TIMSS namun pada tahun selanjutnya negara tersebut tidak tercatat kembali oleh TIMSS begitu pula sebaliknya. Kasus data yang seperti ini yang sangat cocok menggunakan analisis data model kontinu. Pada Gambar 2 tersebut juga menunjukkan mulai dari tahun awal amatan TIMSS yaitu pada tahun 1995 hingga berturut-turut pada tahun 1999, 2003, 2007 dan 2011 memiliki sebaran pola yang berbeda-beda di setiap tahunnya. Selain itu, pengaruh autoregressive antara waktu t dengan waktu t+1 juga tidak dapat diperoleh karena adanya negara-negara yang tidak semuanya tercatat tersebut. Negara Indonesia pada tahun 1995 belum tercatat oleh TIMSS sedangkan pada tahun-tahun berikutnya Indonesia selalu tercatat oleh TIMSS. Indonesia selain tidak sebagai negara yang memiliki nilai rata-rata matematika tertinggi namun nilai rata-rata matematika siswa kelas 8 di negara Indonesia yang tercatat oleh TIMSS juga masih berada di bawah nilai rata-rata matematika dari 74 negara yang tercatat oleh TIMSS di setiap tahunnya. Berikut merupakan ringkasan dari statistik deskriptif nilai matematika kelas 8 yang dilakukan oleh TIMSS untuk negara Indonesia: Tabel 4. Statistik Deskriptif Nilai Matematika Kelas 8 Indonesia Ukuran Rata-rata Minimal Maksimal Standar Deviasi

Nilai Matematika kelas 8 Indonesia Tahun Tahun Tahun Tahun 1999 2003 2007 2011 400.21 418.59 402.65 400.89 275.47 137.88 82.69 87.64 592.84 699.36 687.58 658.54 71.60 85.01 84.93 78.02

Nilai rata-rata matematika negara Indonesia pada tahun 1999 hingga berturut-turut tahun 2003, 2007 dan 2011 relatif mengalami penurunan kecuali pada tahun 2003 nilai rata-rata matematika untuk negara Indonesia lebih tinggi dibandingkan pada tahun 1999. Namun dapat diamati pada Tabel 4 menunjukkan pada tahun 2003 meskipun nilai rata-rata matematika lebih tinggi dibandingkan pada tahun 1999 akan tetapi nilai terendah pada tahun 2003 lebih kecil dibandingkan dengan tahun sebelumnya. Selain itu standar deviasi juga menunjukkan bahwa pada tahun 2003 lebih besar dibandingkan pada tahun 1999. Artinya bahwa pada tahun 2003 ini terdapat keheterogenan nilai matematika siswa kelas 8 Indonesia yang tercatat TIMSS yang relatif besar mungkin disebabkan oleh variansi dari sekolah-sekolah yang dalam bidang matematika menonjol atau dapat pula disebabkan oleh adanya faktor lainnya. Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu Beberapa tahapan-tahapan penelitian yang telah dipaparkan pada Bab sebelumnya yaitu bahwa untuk menduga parameter waktu kontinu perlu dilakukan pendugaan parameter waktu diskret yaitu dengan menggunakan EDM. Parameter-

18 parameter hasil analisis dengan menggunakan EDM digunakan sebagai nilai awal untuk memperoleh nilai penduga parameter waktu kontinu. Adapun hasil parameter-parameter EDM (𝑨∆𝑡𝑖 , 𝒃∆𝑡𝑖 dan 𝒘∆𝑡𝑖 ) tersaji pada Tabel 5. Berdasarkan Tabel 5, dapat diketahui bahwa pengaruh autoregressive untuk peubah prestasi matematika (am) dan peubah pengalaman guru mengajar (xp) masing-masing signifikan pada taraf nyata 5%. Adapun nilai penduga parameter autoregressive untuk peubah prestasi matematika (am) dan peubah pengalaman guru mengajar (xp) masing-masing yaitu 0.879 dan 0.823. Dalam hal ini dapat disimpulkan bahwa dengan menggunakan model yang dibangun yaitu model waktu kontinu dengan pendekatan persamaan struktural memperoleh hasil bahwa peubah prestasi matematika (am) pada saat ini memiliki pengaruh dengan peubah prestasi matematika itu sendiri pada waktu sebelumnya. Begitu pula dengan peubah pengalaman guru mengajar (xp) pada saat ini memiliki pengaruh dengan dengan dirinya sendiri pada waktu sebelumnya. Dengan kata lain bahwa peubah pengalaman guru mengajar (xp) dan peubah pada saat ini memiliki hubungan yang signifikan antara peubah peubah prestasi matematika (am) dan peubah pengalaman guru mengajar (xp) pada saat sebelumnya. Tabel 5. Hasil Pendugaan parameter-parameter EDM Parameter Pengaruh Autoregressive aamam axpxp Pengaruh Cross Lagged aamxp axpam Kontanta Peubah Laten bam bxp Sisaan Var(wam) Var(wxp) Cov (wxpam) Pengukuran M(amt0) M(xpt0) Var(amt0) Var(xpt0) Cov(amt0,xpt0) *Signifikan pada taraf 5%

Pendugaan

SE

0.879* 0.823*

0.0035 0.045

0.045 -0.015

0.037 0.054

0.114 0.797

0.211 0.167

0.131 0.242 0.144

0.0166 0.029 0.092

2.479 4.448 0.487 0.626 0.023

0.094 0.112 0.104 0.144 0.02

Selanjutnya berdasarkan Tabel 5 juga dapat dilihat bahwa untuk pengaruh cross lagged tidak signifikan karena nilai signifikansi lebih dari 0.05 artinya bahwa tidak ada pengaruh antara peubah prestasi matematika pada saat ini dengan peubah pengalaman guru mengajar pada waktu sebelumnya. Pengaruh cross lagged pada kasus ini tidak signifikan meskipun nilai dari standar error yang dihasilkan relatif kecil. Dengan demikian, nilai penduga parameter dari model waktu diskret yang telah disajikan pada Tabel 5 diperoleh matriks drift dari model waktu diskret 𝑨 ∆𝑡𝑖 yaitu:  0.879 0.045  0.015 0.823  

19

Selain matriks drift untuk model waktu diskret yang memuat pengaruh autoregressive dan pengaruh cross lagged, pada model waktu diskret terdapat konstanta untuk masing-masing peubah laten yang digunakan. Konstanta untuk peubah laten prestasi matematika adalah 0.045 sedangkan konstanta untuk peubah laten pengalam guru mengajar adalah -0.015. Dan selain konstanta dan matriks drift pada model waktu diskret yang dalam menduga parameternya menggunakan metode ED ini memuat matriks sisaan. Matriks sisaan ini memuat konstanta sisaan untuk masing-masing peubah laten dan kovarian sisaan antara kedua peubah yang digunakan. Keseluruhan hasil penduga parameter EDM yang telah tersaji pada Tabel 5 tersebut kemudian digunakan sebagai nilai awal untuk menduga parameter-parameter model waktu kontinu. Adapun matriks drift 𝑨 ∆𝑡𝑖 yang didapatkan tersebut perlu untuk dilakukan inisialisasi dengan menggunakan persamaan (16) yaitu At i   I  A.t i

dan karena parameter untuk pengaruh cross lagged tidak signifikan maka akan diperoleh matriks drift baru yaitu matriks drift untuk model waktu kontinu 𝑨 pada ∆𝑡𝑖 = 1 0  0.03025   0  0.04425  Nilai matriks drift untuk model waktu kontinu 𝑨 tersebut digunakan sebagai nilai awal dalam menduga parameter model waktu kontinu. Selain dengan menggunakan matriks drift 𝑨, keseluruhan penduga parameter yang dihasilkan pada Tabel 5 yaitu konstanta model, sisaan dan pendugaan parameter pengukuran juga digunakan sebagai nilai awal dalam menduga parameter-parameter model waktu kontinu namun tanpa melakukan inisialisasi seperti pada matriks drift.

Tabel 6. Hasil Pendugaan parameter-parameter Model Waktu Kontinu Parameter Pengaruh Autoregressive aacac axpxp Pengaruh Cross Lagged aacxp axpac Kontanta Peubah Laten bac bxp Sisaan Var(wac) Var(wxp) Cov (wxpac) Pengukuran M(act0) M(xpt0) Var(act0) Var(xpt0)

Pendugaan

SE

-0.029 -0.052

0.0096 0.0134

0 0

-

0.0746 0.2225

0.0253 0.0589

0.0369 0.0748 0.0079

0.0047 0.0104 0.0056

2.480 4.462 0.494 0.622

0.0945 0.1106 0.1061 0.1434

20 Cov(act0,xpt0)

0.155

0.0917

Berdasarkan Tabel 6 tersebut menunjukkan parameter-parameter model waktu kontinu dan diperoleh matriks drift untuk model waktu kontinu yaitu: 0   0.029  0  0.052  Pada hasil penduga parameter-parameter model waktu kontinu yang disajikan pada Tabel 6 menunjukkan bahwa matriks drift yang diperoleh hanya memuat pengaruh autoregressive dari kedua peubah yang digunakan yaitu peubah prestasi matematika dan peubah pengalaman guru mengajar. Matriks drift untuk model waktu kontinu yang tersaji pada Tabel 6 tersebut tidak jauh berbeda dengan nilai awal yang digunakan atau nilai dugaan matriks drift yang dihasilkan pada model waktu diskret. Selain itu, nilai dugaan konstanta pengaruh autoregressive dari kedua peubah yang digunakan menghasilkan nilai standar error yang relatif lebih kecil apabila dibandingkan dengan hasil penduga EDM. Ukuran kebaikan untuk model waktu kontinu dan kajian mengenai uji signifikansi dari nilai penduga parameter model waktu kontinu hingga saat ini belum ada sehingga kebaikan dari hasil penduga parameter untuk model waktu kontinu dengan pendekatan persamaan struktural dapat diamati dengan menggunakan nilai standar error yang diperoleh seperti yang tersaji pada Tabel 6 tersebut. Selain pengaruh autoregressive, pada Tabel 6 juga menunjukkan nilai dugaan untuk konstanta model waktu kontinu yaitu untuk masing-masing-masing peubah prestasi matematika dan peubah pengalaman guru mengajar yaitu masingmasing sebesar 0.0746 dan 0.2225. Tabel 7. Hasil Pendugaan Matriks 𝐴 ∆𝑡𝑖 dengan berbagai ∆𝑡𝑖 ∆𝑡𝑖 0.25 0.5 1 3 5 7

Parameter 𝐴 ∆𝑡𝑖 0  0.993  0 0.987  0  0.986  0 0.974 

0,971  0  0,917  0  0,865  0  0,816  0 

0  0,944 0  0,855 0  0,771 0  0,695

∆𝑡𝑖 10 20 30 50 70 80

Parameter 𝐴 ∆𝑡𝑖 0  0,7483  0 0,5940  0  0,5599  0 0,3513 

0  0,4812  0 0,2663  0  0,224  0  0,238  0  0,057  0  2.082  0   0.063  0  4.45 

Nilai dugaan untuk pengaruh autoregressive peubah prestasi matematika yaitu 0,9714 dan nilai penduga parameter model waktu kontinu dari pengaruh autoregressive peubah pengalaman guru mengajar yaitu 0,9492. Selanjutnya apabila nilai dari penduga parameter model waktu kontinu yang telah diperoleh

21 seperti yang terlihat pada Tabel 6 tersebut dilakukan inisialisasi dengan menggunakan ∆𝑡𝑖 yang berbeda-beda telah disajikan pada Tabel 7. Kelebihan dari model waktu kontinu yang telah dibangun dan telah dipaparkan pada Bab sebelumnya yaitu kemampuan model dalam menduga parameter-parameter dengan satuan waktu yang berbeda. Pada penelitian ini interval waktu yang digunakan oleh TIMSS dalam melakukan survey yaitu dengan interval waktu 4 tahun. Dalam hal ini jika menduga konstanta pengaruh autoregressive dan pengaruh cross lagged untuk ∆𝑡𝑖 = 1 artinya menduga konstanta pengaruh autoregressive dan pengaruh cross lagged pada model waktu kontinu untuk satuan waktu satu tahun. Kemudian jika dengan menggunakan ∆𝑡𝑖 = 1/2 artinya menduga konstanta pengaruh autoregressive dan pengaruh cross lagged untuk satuan waktu dengan interval 6 bulan dan selanjutnya dengan menggunakan ∆𝑡𝑖 = 1/4 artinya telah menduga konstanta pengaruh autoregressive dan pengaruh cross lagged untuk satuan waktu dengan interval 3 bulan. Begitu pula kelipatannya seperti yang telah tersaji pada Tabel 7 tersebut dengan menggunakan ∆𝑡𝑖 = 2 artinya menduga parameter untuk satuan waktu dengan interval 2 tahun. Berdasarkan hasil analisis yang telah disajikan pada Tabel 7 hasil pendugaan parameter-parameter model waktu kontinu dalam bentuk matriks drift tersebut terlihat bahwa semakin meningkat nilai ∆𝑡𝑖 yang digunakan maka pengaruh autoregressive akan semakin menurun dan sebaliknya jika semakin menurun nilai ∆𝑡𝑖 yang digunakan maka pengaruh autoregressive akan semakin meningkat. Hal tersebut sama halnya dengan suatu model prediksi yang dibangun pada model-model diskret pada umumnya seperti ARIMA maka semakin jauh memprediksi maka akan semakin jauh pula dari nilai sebenarnya. Pada hasil analisis yang tersaji pada Tabel 7 tersebut menunjukkan adanya hasil pendugaan titik untuk suatu model tertentu selanjutnya akan dilakukan pendugaan selang. Pendugaan Selang Kepercayaan Parameter Model Waktu Kontinu Dalam menduga selang kepercayaan untuk parameter model waktu kontinu dari peubah laten prestasi matematika dan peubah laten pengalaman guru mengajar dilakukan dengan melakukan pendugaan parameter model waktu kontinu dengan cara berulang-ulang. Metode yang digunakan dalam pengulangan ini adalah metode bootstrap. 90 80 70

Frekuensi

60 50 40 30 20 10 0

-0.075

-0.070

-0.065

-0.060 -0.055 a(acac)

-0.050

-0.045

-0.040

Gambar 3. Histogram nilai Dugaan Parameter Model Waktu Kontinu pada Peubah Prestasi Matematika

22 Alasan dalam penggunaan metode tersebut yaitu dikarenakan dalam metode bootstrap pengulangan yang dilakukan secara acak artinya tidak dengan menghilangkan satu per satu dalam melakukan pengulangan. Adapun pada kasus penelitian ini peubah yang dilkakukan pengulangan adalah nilai rata-rata siswa kelas 8 untuk seluruh negara mulai dari tahun 1995, tahun 1999, 2003, 2007, dan tahun 2011. Selain itu pengulangan juga dilakukan pada peubah pengalaman guru mengajar yang diukur menggunakan peubah lamanya guru mengajar untuk seluruh negara dengan tahun yang sama seperti pada peubah prestasi matematika. Dalam pengulangan ini dilakukan sebanyak 1000 kali dan sampel yang diambil untuk setiap ulangan sebanyak 500. Artinya 1 kali ulangan adalah dengan mengambil sampel sebanyak 500 siswa dan 500 guru untuk setiap negara dan di setiap tahun. Oleh karena pengulangan yang digunakan sebanyak 1000 kali maka akan mendapatkan penduga parameter model waktu kontinu dengan pendekatan persamaan struktural sebanyak 1000 penduga parameter. Berikut merupakan hasil penduga parameter model waktu kontinu yang telah dilakukan sebanyak 1000 kali yang disajikan dalam bentuk diagram batang seperti terlihat pada Gambar 3 dan Gambar 4.

120

100

Frekuensi

80

60

40

20

0 -0.03500 -0.03375 -0.03250 -0.03125 -0.03000 -0.02875 -0.02750 -0.02625 a(xpxp)

Gambar 4. Histogram nilai Dugaan Parameter Model Waktu Kontinu pada Peubah Pengalaman Guru Mengajar Hasil dugaan selang kepercayaan yang telah ditunjukkan seperti pada Gambar 3 yaitu khususnya penduga parameter model waktu kontinu pada peubah laten prestasi matematika memperlihatkan bahwa rata-rata dari penduga parameter model waktu kontinu yang dilakukan sebanyak 1000 kali ulangan adalah sebesar -0,02873. Angka tersebut menunjukkan bahwa rata-rata yang didapatkan dari 1000 kali ulangan pada pendugaan parameter model waktu kontinu tidak jauh berbeda dengan dugaan awal parameter model waktu kontinu pada peubah laten prestasi matematika yaitu sebesar -0,029. Hasil pendugaan parameter model waktu kontinu tersebut juga didukung dengan nilai standar deviasi yang relatif kecil yaitu sebesar 0,001049.

23 Berdasarkan hasil dugaan parameter model waktu kontinu pada peubah laten prestasi matematika memperoleh dugaan selang kepercayaan terpendek 95% yaitu [-0.0302 ; -0.0271 ]. Selanjutnya hasil penduga parameter model waktu kontinu pada peubah laten pengalaman guru mengajar menunjukkan rata-rata dari penduga parameter tidak jauh berbeda dengan penduga parameter -0,052 yaitu sebesar -0,05460. Sedangkan standar deviasi yang dihasilkan dari penduga parameter model waktu kontinu pada peubah laten pengalaman guru mengajar adalah 0,005457. Kemudian dugaan selang kepercayaan terpendek 95% dari penduga parameter model waktu kontinu pada prestasi pengalaman guru mengajar yaitu [-0.063 ; -0.046 ]. Adapun lebar dugaan selang kepercayaan model waktu kontinu untuk masing-masing peubah laten yaitu prestasi matematika dan pengalaman guru mengajar adalah 0.0031 dan 0.017. Dalam hal ini terlihat bahwa dengan menggunakan dugaan selang terpendek diperoleh lebar selang yang terpendek dari seluruh kemungkinan dengan batas kesalahan 5%. Pada penelitian ini selang kepercayaan terpendek diperoleh dengan cara mengurutkan nilai penduga parameter mulai dari yang terkecil hingga terbesar kemudian melihat bagaimana kombinasi proporsi persentasi batas atas maupun batas bawah untuk selang yang akan dibentuk. Secara umum, selang terpendek dari penelitian ini diperoleh dengan mengambil sebanyak 50 data terkecil dan sebanyak 50 data terbesar dari data yang telah diurutkan. Kemudian mencari kombinasi kemungkinan proporsi persentase dari batas atas dan batas bawah dan kemudian menghitung selisih dari keseluruhan kemungkinan yang diperoleh. Berdasarkan hasil tersebut akan diperoleh selisih yang terkecil dan oleh karena itu kombinasi yang memiliki selang terkecil merupakan selang yang terpendek. Proses dalam perhitungan selang terpendek khususnya untuk ∆𝑡𝑖 = 1 telah dipaparkan pada Lampiran 4. Berdasarkan ilustrasi yang telah dipaparkan melalui sebuah histogram yang tergambar pada Gambar 3 dan Gambar 4 menunjukkan bahwa nilai penduga parameter model waktu kontinu khususnya pada pengaruh autoregressive terlihat bahwa keduanya condong ke kiri. Artinya bahwa dari pengulangan sebanyak 1000 kali pada pendugaan parameter model waktu kontinu tidak berdistribusi normal. Berikut ini merupakan hasil dari uji normalitas dengan menggunakan uji normalitas Kolmogorov_Smirnov. Tabel 8. Hasil Uji Normalitas Kolmogorov Smirnov Ukuran

Peubah Laten Prestasi Matematika

N KS p_value

1000 0.042 < 0.01

Pengalaman Guru Mengajar 1000 0.029 0.047

Berdasarkan hasil uji Normalitas yang telah disajikan pada Tabel 8 tersebut menunjukkan bahwa untuk peubah laten prestasi matematika diperoleh nilai yang tidak signifikan yaitu nilai p_value yang kurang dari batas kesalahan 5% (0.05) sehingga dapat dikatakan bahwa tidak berdistribusi normal. Begitu pula dengan peubah laten pengalaman guru mengajar juga menunjukkan hasil yang sama yaitu nilai dugaan parameter model waktu kontinu tidak berdistribusi normal.

24 Adapun hasil analisis dugaan selang terpendek untuk masing-masing peubah laten apabila dilakukan pendugaan dengan menggunakan ∆𝑡𝑖 berbedabeda telah disajikan pada Tabel 9 dan Tabel 10. Hasil dari pendugaan selang terpendek dari parameter model waktu kontinu khususnya parameter untuk pengaruh autoregressive pada peubah pretasi matematika seperti yang telah ditunjukkan pada Tabel 9 menunjukkan bahwa dengan ∆𝑡𝑖 = 1 nilai dugaan 0.9714 berada dalam selang terpendek tersebut yaitu berada pada batas bawah 0.9702 dan batas atas 0.9732. Selanjutnya dengan ∆𝑡𝑖 = 0.5 terlihat bahwa nilai dugaan 0.9856 pada Tabel 7 berada dalam dugaan selang terpendek tersebut yaitu dengan batas bawah 0.9850 dan batas atas 0.9865. Begitu pula dengan ∆𝑡𝑖 lainnya menunjukkan hal yang sama yaitu nilai dugaan yang sesuai dengan ∆𝑡𝑖 yang digunakan untuk memprediksi berada pada selang terpendek dengan batas kesalahan 5%. Tabel 9. Hasil Pendugaan Selang Terpendek untuk Peubah Prestasi Matematika Δ𝑡i 0.25 0.5 1 3 5 7 10 20 30 50 70 80

Dugaan Selang Terpendek

0.9925;0.9932 0.9850;0.9865 0.9702;0.9732 0.9133;0.9218 0.8597;0.8731 0.8093;0.8270 0.7392;0.7624 0.5463;0.5811 0.4032;0.4427 0.2070;0.2503 0.0256;0.0986  0.1153;0.004

Lebar Selang

Rata-rata

Standar Deviasi

0.001 0.002 0.003 0.009 0.013 0.018 0.023 0.035 0.040 0.043 0.073 0.12

0.993 0.986 0.972 0.917 0.866 0.818 0.750 0.563 0.422 0.228 0.062  0.055

0.0002 0.0005 0.001 0.003 0.005 0.006 0.008 0.012 0.013 0.014 0.026 0.045

Selain itu dari masing-masing hasil analisis pendugaan selang kepercayaan dari parameter model waktu kontinu menunjukkan bahwa memprediksi pendugaan parameter diskret dengan ∆𝑡𝑖 yang semakin mengecil maka lebar selang semakin sempit begitu pula sebaliknya dengan ∆𝑡𝑖 yang semakin membesar maka lebar selang semakin melebar. Hal tersebut ditunjukkan seperti pada Tabel 9 menunjukkan bahwa dengan ∆𝑡𝑖 = 0.25 lebar selang yang dihasilkan dari pendugaan selang kepercayaan terpendek tersebut sebesar 0.00077 sedangkan dengan ∆𝑡𝑖 = 3 lebar selang yang dihasilkan dari pendugaan selang kepercayaan tersebut sebesar 0.0085. Dalam hal ini dapat disimpulkan bahwa semakin meningkat ∆𝑡𝑖 yang digunakan dalam menduga suatu nilai parameter model waktu kontinu khususnya model waktu kontinu dengan pendekatan persamaan struktural maka semakin tidak akurat nilai dugaan yang dihasilkan. Nilai dugaan yang dimaksud dalam hal ini tidak hanya berupa nilai dugaan titik namun juga nilai dugaan selang. Pernyataan tersebut juga diperkuat dengan adanya nilai standar deviasi yang didapatkan. Hal tersebut terlihat ada hasil analisis yang telah tercantum pada Tabel 9 maupun Tabel 10 menunjukkan bahwa keragaman dari nilai dugaan

25 parameter model waktu kontinu semakin membesar apabila pendugaan dengan menggunakan ∆𝑡𝑖 yang semakin besar. 200

180 160 140

150

Frekuensi

Frekuensi

120

100

100 80 60

50

40 20

0

0

0.9915

0.9918

0.9921

0.9924

0.9927

0.9930

0.9933

0.9936

0.9828

0.9834

0.9840

0.9852

0.9858

0.9864

0.9870

(b) ∆𝑡𝑖 = 0.5

120

120

100

100

80

80

Frekuensi

Frekuensi

(a) ∆𝑡𝑖 = 0.25

60

60

40

40

20

20

0

0.9846

a(acac)

a(acac)

0.96625

0.96750

0.96875

0.97000

0.97125

0.97250

0 0.9325

0.97375

0.9350

0.9375

0.9400

0.9425

0.9450

0.9475

0.9500

a(acac)

a(acac)

(c) ∆𝑡𝑖 = 1

(d) ∆𝑡𝑖 = 2 180 160 140

Frekuensi

120 100 80 60 40 20 0

0.900

0.904

0.908

0.912

0.916

0.920

0.924

a(acac)

(e) ∆𝑡𝑖 = 3 Gambar 5.

Keragaman Pendugaan Parameter untuk Peubah Pengalaman Guru Mengajar

Ilustrasi dari masing-masing hasil parameter model waktu kontinu untuk pengaruh autoregressive pada peubah prestasi matematika telah disajikan pada Gambar 5 dan ilustrasi keragaman pada ∆𝑡𝑖 lainnya telah terlampir. Berdasarkan ilustrasi tersebut membuktikan bahwa dengan ∆𝑡𝑖 yang semakin menurun akan memperkecil lebar selang begitu pula sebaliknya. Hal tersebut terlihat pada Gambar (a) yaitu dengan tampak kurva normalitas lebih sempit bila dibandingkan dengan Gambar (e) yaitu dengan ∆𝑡𝑖 = 3 tampak bahwa kurva normalitas lebih lebar. Dengan demikian dapat disimpulkan pula apabila semalin lebar dugaan

26 selang yang diperoleh maka nilai parameter-parameter yang dihasilkan akan semakin jauh dari nilai dugaan parameter-parameter yang sebenarnya. 80

70

70

60

60

50

50

Frekuensi

Frekuensi

80

40

40

30

30

20

20

10

10

0 0.98125

0

0.98250

0.98375

0.98500

0.98625

0.98750

0.98875

0.9650

0.99000

0.9675

0.9700

a(xpxp)

(a) ∆𝑡𝑖 = 0.25

0.9725 a(xpxp)

0.9750

0.9775

0.9800

(b) ∆𝑡𝑖 = 0.5

90

90

80

80

70

70

Frekuensi

Frekuensi

60 50 40 30

50 40 30

20

20

10 0

60

10 0.930

0.935

0.940

0.945

0.950

0.955

0

0.960

0.864

a(xpxp)

0.872

0.880

0.888

0.896

0.904

0.912

0.920

a(xpxp)

(c) ∆𝑡𝑖 = 1

(d) ∆𝑡𝑖 = 2

90 80 70

Frekuensi

60 50 40 30 20 10 0

0.8000

0.8125

0.8250

0.8375

0.8500

0.8625

0.8750

0.8875

a(xpxp)

(e) ∆𝑡𝑖 = 3 Gambar 6.

Keragaman Pendugaan Parameter untuk Peubah Pengalaman Guru Mengajar

Hasil dari pendugaan selang terpendek dari parameter model waktu kontinu khususnya parameter untuk pengaruh autoregressive pada peubah pengalaman guru mengajar tidak berbeda jauh dengan peubah pretasi matematika seperti yang telah ditunjukkan pada Tabel 10 menunjukkan bahwa dengan ∆𝑡𝑖 = 1 nilai dugaan 0.9442 berada dalam selang terpendek tersebut yaitu berada pada batas bawah 0.9387 dan batas atas 0.9554. Selanjutnya dengan ∆𝑡𝑖 = 0.5 terlihat bahwa nilai dugaan 0.9743 pada Tabel 7 berada dalam dugaan selang terpendek tersebut yaitu dengan batas bawah 0.9689 dan batas atas 0.9775. Begitu

27 pula dengan ∆𝑡𝑖 lainnya menunjukkan hal yang sama yaitu nilai dugaan yang sesuai dengan ∆𝑡𝑖 berada dalam selang terpendek pada batas kesalahan 5%. Seperti pada peubah laten prestasi matematika, hasil analisis untuk peubah pengalam guru mengajar yang tercantum pada Tabel 10 menyatakan kesimpulan yang sama. Pendugaan selang kepercayaan dari parameter model waktu kontinu menunjukkan bahwa semakin nilai pendugaan dengan ∆𝑡𝑖 yang menurun maka lebar selang semakin sempit begitu pula sebaliknya dengan ∆𝑡𝑖 yang semakin meningkat maka lebar selang semakin melebar. Hal tersebut ditunjukkan seperti pada Tabel 10 menunjukkan bahwa dengan ∆𝑡𝑖 = 0.25 lebar selang yang dihasilkan dari pendugaan selang kepercayaan tersebut sebesar 0.00077 sedangkan dengan ∆𝑡𝑖 = 3 lebar selang yang dihasilkan dari pendugaan selang kepercayaan tersebut sebesar 0.0085. Dalam hal ini dapat disimpulkan yang sama antara pengaruh autoregressive pada peubah prestasi matematika dengan pengalaman guru mengajar bahwa semakin meningkat nilai ∆𝑡𝑖 yang digunakan dalam menduga suatu nilai parameter model waktu kontinu khususnya model waktu kontinu dengan pendekatan persamaan struktural maka semakin tidak akurat nilai dugaan yang dihasilkan. Tabel 10. Pendugaan Selang Terpendek untuk Peubah Pengalaman Guru Mengajar ∆𝑡𝑖 0.25 0.5 1 3 5 7 10 20 30 50 70 80

Dugaan Selang Terpendek

0.9843;0.9887 0.9689;0.9775 0.9387;0.9554 0.8271;0.8722 0.7287;0.7962 0.6421;0.7268 0.5310;0.6339 0.2772;0.4012 0.0988;0.2472  0.905;0.043  6.281;0.951  13.23;2.085

Lebar Selang

Rata-rata

Standar Deviasi

0.004 0.009 0.017 0.045 0.068 0.085 0.103 0.124 0.148 0.862 5.32 11.14

0.986 0.973 0.947 0.849 0.761 0.683 0.58 0.335 0.172  0.39  3.08  6.56

0.0013 0.002 0.005 0.013 0.02 0.026 0.032 0.038 0.045 0.29 1.79 3.75

Kestabilan dari hasil pendugaan parameter model waktu kontinu dapat dilihat pada Gambar 7 dan Gambar 8. Pada Gambar 7 menunjukkan adanya kestabilan hasil pendugaan parameter model waktu kontinu pada peubah laten prestasi matematika beradasarkan penggambaran dugaan selang terpendeknya dengan ∆𝑡𝑖 tertentu. Berdasarkan analisis yang tercantum pada Tabel 9 dan Gambar 7 tersebut menunjukkan bahwa pada ∆𝑡𝑖 = 80 hasil prediksi untuk model waktu kontinu sudah tidak signifikan. Artinya memprediksi prestasi matematika siswa selama 80 tahun ke depan dugaan parameter model waktu kontinu tidak dapat digunakan sebagai acuan prediksi. Hal tersebut dikarenakan nilai dugaan selang terpendek yang dihasilkan pada ∆𝑡𝑖 = 80 memuat nol sehingga dapat dikatakan nilai dugaan parameter tidak signifikan.

28 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2

0,25

0,5

1

3

5

7

10

20

30

50

70

80

t i Gambar 7. Lebar Selang Koefisien Autoregressive untuk berbagai ∆𝑡𝑖 Pada Peubah Laten Prestasi Matematika matematika Dengan demikian untuk melakukan prediksi prestasi matematika siswa kelas 8 TIMSS selama 80 tahun tidak dapat menggunakan hasil analisis parameter model waktu kontinu seperti yang telah dijabarkan pada Tabel 6. Hal tersebut disebabkan oleh beberapa kemungkinan misalnya seperti kurikulum, bahan ajar ataupun pola pikir siswa di masa itu. Selanjutnya pada peubah laten pengalaman guru mengajar sudah tidak dapat dinyatakan sebagai hasil prediksi yang signifikan karena dugaan selang yang diperoleh sudah memuat nol pada ∆𝑡𝑖 = 30. Artinya bahwa prediksi untuk 30 tahun ke depan nilai dugaan parameter untuk peubah pengalam guru mengajar sudah tidak signifikan. Hal tersebut seperti dapat terlihat pada Gambar 10 yang batas bawah dugaan selang yang diperoleh pada ∆𝑡𝑖 = 30 bernilai negatif. Selain itu terlihat juga pada Gambar 10 bahwa semakin jauh waktu yang digunakan untuk melakukan pendugaan semakin besar variansi dugaan yang dihasilkan karena lebar selang yang semakin lebar semakin meningkatkan nilai ∆𝑡𝑖 . 1,5 1 0,5 0 0,25

0,5

1

3

5

7

10

20

30

50

-0,5 -1 -1,5

Gambar 8.

t i

Lebar Selang Koefisien Autoregressive untuk berbagai ∆𝑡𝑖 5 Peubah SIMPULAN DAN SARAN Pada Laten Pengalaman Guru Mengajar

29 Simpulan Berdasarkan hasil analisis penduga selang kepercayaan model waktu kontinu dengan pendekatan persamaan struktural menggunakan metode bootstrap dapat disimpulkan: 1. Sebaran dari penduga parameter model waktu kontinu baik pada peubah laten prestasi matematika maupun pengalaman guru mengajar adalah tidak mengikuti distribusi normal. Dengan demikian pengujian signifikansi pada model waktu kontinu tidak dapat didekati dengan menggunakan kurva normal (tabel z) pada kasus penelitian ini. 2. Model waktu kontinu cukup baik digunakan untuk memprediksi untuk jangka waktu ke depan namun tidak dapat memprediksi jangka panjang karena variansinya akan membesar. Dan model waktu kontinu mampu prediksi dengan satuan waktu yang berbeda dengan lebar selang yang kecil. 3. Trend signifikansi pengaruh Autoregressive untuk kasus ini khususnya pada peubah laten prestasi matematika sudah tidak signifikan pada saat Δ𝑡𝑖 = 80 sedangkan untuk peubah laten pengalaman guru mengajar sudah tidak signifikan lagi pada saat Δ𝑡𝑖 = 30. Saran Berikut merupakan beberapa saran untuk penelitian lebih lanjut para pembaca dalam menganalisis model waktu kontinu, yaitu: 1.

Pada penelitian ini dihasilkan distribusi dari nilai-nilai penduga parameter model waktu kontinu yang tidak berdistribusi normal, disarankan untuk menggunakan jenis data yang lain untuk memperkuat hasil analisis pada penelitian ini atau dengan menggunakan data simulasi. 2. Data yang digunakan pada penelitian ini pengaruh cross lagged tidak signifikan sehingga dapat menerapkan metode ini pada data lainnya yang mana pada data tersebut mampu menunjukkan adanya pengaruh cross lagged yang signifikan guna mengetahui bagaimana sebaran dari penduga parameter model waktu kontinu. 3. Pengujian signifikansi parameter model waktu kontinu pada penelitian ini dapat dengan menggunakan pengujian non parametrik artinya dapat diasumsikan normal. Oleh karena itu perlu dilakukan simulasi untuk mengetahui apakah sebaran penduga parameter model waktu kontinu secara umum. 4. Pada penelitian ini belum melakukan prediksi untuk nilai matematika di masing-masing negara, oleh karena itu pembaca dapat mengembangkan penelitian ini dengan melakukan prediksi dan melakukan ranking untuk negara-negara yang berpartisipasi pada TIMSS khususnya untuk prestasi matematika siswa melalui pendekatan model waktu kontinu.

30

DAFTAR PUSTAKA Ait, Sahalia Y. (2007). Estimating Continuous-Time Models Using Discretely Sampled Data. In Advances in Economics and Econometrics, Theory and Applications, Ninth World Congress Cambridge Univ Pr. Baltagi BH. (2005). Econometric Analysis of Panel Data. 3th ed. England (GB): J Wiley. Benton D, Krishnamoorthy K. (2002). Performance of the Parametric Bootstrap Method in Small Sample Interval Estimates. Adv. & Appl. In Stat, 2:269-285. Bollen KA. (1989). Structural Equation Modelling with Latent Peubahs. New York: John Wiley &Son,Inc. Casella G, Berger RL. (2002). Statistical Inference. California : Duxbury. Efron B. (1979). Another Look at the Jackknife. The Annals of Statistics, 7:1 – 26. Efron B, Tibsirani RJ. (1993). An Introduction to The Bootstrap. New York : Chapman Hall. Efron B. (1981). Nonparametric Standard Errors and Confidence Intervals. Can. J. Statist, 9 : 589 – 599. Frazier C, Kockelman KM. (2005). Spatial Econometric Models for Panel Data: Incorporating Spatial and Temporal Data. Transportation Research, Record No. 1902: 80-90. Gujarati DN. (2003). Basic Econometrics. New York : McGraw-Hill. Hair JF,Anderson RE, Tatham RL, Black WC. (1998). Multivariate Data Analysis 5th ed. New Jersey: John Wiley &Son,Inc. Hall P. (1988a). On Symetric Bootstrap Confidence Intervals. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (methodological), 50 : 35 – 45. Hall P. (1988b). Theoretical Comparison of Bootstrap Confidence Intervals. The Annals of Statistics, 16 : 927 – 953. Heshmati A, Kumbhakar SC, Lennart H. (1995). Efficiency of the Swedish pork industry: A farm level study using rotating panel data 1976-1988. European Journal Operational Research Vol 88: 519-533. Johnson RA, Winchern DW. (2002). Applied Multivariate Statistical Analysis 5th ed.New Jersey: Prentice Hall.Inc Mullis IV S et al. 2005. TIMSS 2007: Assessment Frameworks from IEA’s Trends in International Mathematics and Science Study at the fourth and Eight Grades. MA, Boston, TIMSS International Study Center: Boston College. Munthen LK, Muthen BO. (1998). Mplus users’ guide (6th ed). Los Angeles: Muthen&Muthen. Niu et al.(2011). Economic growth, energy conservation and emissions reduction : A Comparative analysis based on panel data for 8 Asian Pasific countries. Energy Policy Vol 39: 1057-1111. Oud JHL, Jansen, RARG. (2000). Continuous time state space modeling of panel data by means of SEM. Psychometrika. 65:199-215. Oud JHL. (2002). Continuous time modeling of the cross-lagged panel design. Kwantitatieve Methoden. 69:1-27. Oud JHL, Singer H. (2008). Continuous time modeling of panel data: SEM versus filter techniques. Statistica Neerlandica. 62(1):4-28.

31 Oud JHL, Delsing, MJMH. (2010). Continuous time modeling of panel data by means of SEM. In K.van Montfort, J.Oud, & A.Satorra. Longitudinal research with latent variables (pp.201-244). New York :Springer. Otieno BS. (2002). An Alternative Estimate of Preferred Direction for Circular Data. Disertasi. Virginia Polytechnic Institute and State University. Santoso A. 2009. Faktor-faktor yang mempengaruhi prestasi siswa : tinjauan berdasarkan data TIMSS 2007. prosiding Seminar Mutu pendidikan dasar dan menengah hasil penelitian Puspendik. Jakarta 28-29 Oktober 2009. Jakarta: Badan Penelitian dan pengembangan departemen pendidikan nasional Syah M. 2005. Psikologi Pendidikan dengan Pendekatan Baru (Edisi Revisi). Bandung: PT Remaja Rosda Karya. Toharudin T, Oud JHL, Billiet JB. (2007). Assessing the relathionships between Nationalism, Ethnocentrism, and Individualsm in Flanders using Bergstorm’s approximate discrete model. Statistica Neerlandica. 378:1-21. Voelkle MC, Oud JHL, Davidov E, Schmidt P. (2012). An SEM Approach to Continuous Time Modeling of Panel Data: Relating Authoritarianism and Anomia. Psychological Methods. April 9, 2012. doi: 10.1037/a0027543

32 Lampiran 1 Ilustrasi analisis model waktu kontinu pada data penelitian TIMSS 𝜀𝑎𝑐

𝜀𝑎𝑐

𝜀𝑎𝑐

𝜀𝑎𝑐

𝜀𝑎𝑐

yac(t0)

yac(t1)

yac(t2)

yac(t3)

yac(t4)

𝜔𝑎𝑐

ac(t0)

𝜔𝑎𝑐

𝜔𝑎𝑐

ac(t2)

ac(t1)

)

𝜔𝑎𝑐

ac(t3)

x

ac(t4)

)

1 11 xp(t0)

xp(t2)

xp(t1) 𝜔𝑥𝑝

𝜔𝑥𝑝

𝜔𝑥𝑝

𝜔𝑥𝑝

yxp (t0)

yxp (t1)

yxp (t2)

𝜀𝑥𝑝

𝜀𝑥𝑝

𝜀𝑥𝑝

xp(t0)

xp(t3)

yxp (t3)

𝜀𝑥𝑝

yxp (t4)

𝜀𝑥𝑝

1

33

160

160

140

140

120

120

100

100

Frekuensi

Frekuensi

Lampiran 2 Plot masing-masing nilai parameter diskret dengan berbagai ∆𝑡𝑖 untuk Peubah Laten Prestasi Matematika

80 60

80 60

40

40

20

20

0

0.840

0.846

0.852

0.858

0.864

0.870

0

0.876

0.784

0.792

0.800

a(acac)

0.808

0.816

0.824

0.832

a(acac)

(a) ∆𝑡𝑖 = 5

(b) ∆𝑡𝑖 = 7

120

200

100

150

Frekuensi

Frekuensi

80

60

100

40

50

20

0

0.71

0.72

0.73

0.74

0.75

0.76

0

0.77

a(acac)

0.495

0.510

0.525

0.540

0.555

0.570

0.585

a(acac)

(c) ∆𝑡 = 10

(d) ∆𝑡 = 20

200

160 140 120

Frekuensi

Frekuensi

150

100

50

100 80 60 40 20

0

0.360

0.375

0.390

0.405

0.420

a(acac)

(e) ∆𝑡 = 30

0.435

0.450

0

0.16

0.18

0.20

0.22

a(acac)

(f) ∆𝑡 = 50

0.24

0.26

0.600

34

200

200 150

Frekuensi

Frekuensi

150

100

50

0

100

50

-0.12

-0.08

-0.04

0.00

0.04

0.08

0.12

0

-0.36

-0.30

-0.24

-0.18

-0.12

a(acac)

a(acac)

(g) ∆𝑡𝑖 = 70

(h) ∆𝑡𝑖 = 80

-0.06

0.00

35 Lampiran 3 Plot masing-masing nilai parameter diskret dengan berbagai ∆ti untuk Peubah Laten Pengalaman Guru Mengajar 120

90 80

100

70 60

Frekuensi

Frekuensi

80

60

40

50 40 30 20

20

10 0

0.70

0.72

0.74

0.76

0.78

0

0.80

0.600

0.625

0.650

a(xpxp)

0.675

0.700

0.725

0.750

a(xpxp)

(a) ∆𝑡𝑖 = 5

(b) ∆𝑡𝑖 = 7

140

200

120

150

Frekuensi

Frekuensi

100 80 60 40

100

50

20 0

0.48

0.51

0.54

0.57

0.60

0.63

0

0.66

0.495

0.510

0.525

a(xpxp)

0.540

0.555

0.570

0.585

-0.4

0.0

a(xpxp)

(d) ∆𝑡𝑖 = 20

(c) ∆𝑡𝑖 = 10 180

100

160 80

140

Frekuensi

Frekuensi

120 60

40

100 80 60 40

20

20 0

0.00

0.05

0.10

0.15

a(xpxp)

(e) ∆𝑡𝑖 = 30

0.20

0.25

0.30

0

-2.4

-2.0

-1.6

-1.2

a(xpxp)

(f) ∆𝑡𝑖 = 50

-0.8

0.600

36 140 140

120

120 100

80

Frekuensi

Frekuensi

100

60 40

60 40

20 0

80

20

-15.0

-12.5

-10.0

-7.5

a(xpxp)

(g) ∆𝑡𝑖 = 70

-5.0

-2.5

0.0

0

-35

-30

-25

-20

-15

-10

a(xpxp)

(h) ∆𝑡𝑖 = 80

-5

0

37 Lampiran 4 Nilai dugaan selang kepercayaan parameter CT dan nilai lebar selang pada alpha 5% ∆𝑡𝑖 = 1 No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Batas Bawah 0.9657 0.9658 0.9658 0.9665 0.9668 0.9668 0.9670 0.9678 0.9679 0.9685 0.9685 0.9694 0.9695 0.9695 0.9696 0.9696 0.9697 0.9697 0.9698 0.9698 0.9698 0.9698 0.9698 0.9698 0.9699

Batas Atas 0.9744 0.9743 0.9742 0.9742 0.9741 0.9741 0.9741 0.9741 0.9740 0.9740 0.9739 0.9739 0.9739 0.9739 0.9739 0.9739 0.9738 0.9737 0.9737 0.9737 0.9737 0.9737 0.9736 0.9736 0.9736

Lebar Selang 0.0088 0.0085 0.0084 0.0077 0.0074 0.0073 0.0071 0.0062 0.0061 0.0055 0.0054 0.0045 0.0045 0.0044 0.0043 0.0042 0.0042 0.0039 0.0039 0.0039 0.0039 0.0039 0.0038 0.0038 0.0038

No 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Batas Bawah 0.9699 0.9700 0.9700 0.9700 0.9700 0.9700 0.9700 0.9700 0.9701 0.9701 0.9701 0.9701 0.9701 0.9701 0.9701 0.9702 0.9702 0.9702 0.9702 0.9702 0.9702 0.9702 0.9702 0.9702 0.9702

Batas Atas 0.9736 0.9735 0.9735 0.9735 0.9735 0.9735 0.9735 0.9735 0.9735 0.9734 0.9734 0.9734 0.9734 0.9734 0.9734 0.9734 0.9734 0.9734 0.9733 0.9733 0.9733 0.9733 0.9732 0.9732 0.9746

Parameter Diskret untuk Peubah Laten Pengalaman Guru Mengajar Lebar Batas Atas No Batas Bawah Batas Atas Selang 26 0.9272 0.9604 0.0332 0.9371 0.9568 27 0.9276 0.9598 0.0323 0.9372 0.9568 28 0.9324 0.9597 0.0273 0.9373 0.9568 29 0.9326 0.9594 0.0268 0.9374 0.9568 30 0.9329 0.9592 0.0263 0.9375 0.9567 31 0.9335 0.9590 0.0255 0.9375 0.9565 32 0.9336 0.9589 0.0253 0.9376 0.9565 33 0.9345 0.9588 0.0243 0.9376 0.9565 34 0.9356 0.9582 0.0226 0.9379 0.9564 35 0.9356 0.9581 0.0225 0.9379 0.9564 36 0.9357 0.9581 0.0223 0.9380 0.9562 37 0.9359 0.9580 0.0221 0.9380 0.9561 38 0.9359 0.9580 0.0221 0.9381 0.9560 39 0.9359 0.9579 0.0220 0.9382 0.9560 40 0.9362 0.9577 0.0216 0.9382 0.9560 Batas Bawah

Lebar Selang 0.0037 0.0036 0.0035 0.0035 0.0035 0.0035 0.0035 0.0034 0.0034 0.0034 0.0033 0.0033 0.0033 0.0033 0.0032 0.0032 0.0032 0.0032 0.0032 0.0032 0.0031 0.0030 0.0030 0.0030 0.0044

Lebar Selang

0.0197 0.0196 0.0195 0.0194 0.0192 0.0191 0.0190 0.0189 0.0185 0.0184 0.0182 0.0181 0.0179 0.0179 0.0178

38 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0.9362 0.9362 0.9363 0.9365 0.9365 0.9366 0.9368 0.9369 0.9370 0.9370

0.9575 0.9575 0.9575 0.9574 0.9574 0.9573 0.9572 0.9570 0.9569 0.9568

0.0213 0.0213 0.0212 0.0209 0.0209 0.0208 0.0204 0.0201 0.0198 0.0198

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

0.9382 0.9383 0.9384 0.9385 0.9385 0.9386 0.9386 0.9386 0.9387 0.9388

0.9557 0.9557 0.9557 0.9557 0.9557 0.9556 0.9555 0.9554 0.9554 0.9604

0.0175 0.0174 0.0172 0.0172 0.0171 0.0171 0.0169 0.0168 0.0168 0.0217

39 Lampiran 5 Program Mplus untuk menduga nilai awal

TITLE: DATA:

DISCRETE TIME MODEL; FILE IS "TIMSS_DATA.dat";

VARIABLE: NAMES ARE act1 xpt1 act2 xpt2 act3 xpt3 act4 xpt4 act5 xpt5; MISSING ARE act1 xpt1 act2 xpt2 act3 xpt3 act4 xpt4 act5 xpt5 (999.00); MODEL: ! A) MEASUREMENT MODEL xp1 BY xpt1@1; xp2 BY xpt2@1; xp3 BY xpt3@1; xp4 BY xpt4@1; xp5 BY xpt5@1; ac1 BY act1@1; ac2 BY act2@1; ac3 BY act3@1; ac4 BY act4@1; ac5 BY act5@1; [xpt1-xpt5@0]; (manifest) [act1-act5@0]; xpt1-xpt5@0; zero) act1-act5@0;

! Experience

! achievement

! Zero intercepts

! Measurement error (set to

! B) STRUCTURAL MODEL ac2 ON ac1 ac3 ON ac2 ac4 ON ac3 ac5 ON ac4

(acac); (acac); (acac); (acac);

xp2 ON xp1 xp3 ON xp2 xp4 ON xp3 xp5 ON xp4

(xpxp); (xpxp); (xpxp); (xpxp);

ac2 ON xp1 ac3 ON xp2 ac4 ON xp3 ac5 ON xp4

(acxp); (acxp); (acxp); (acxp);

! Cross- and auto-effects

40 xp2 ON ac1 xp3 ON ac2 xp4 ON ac3 xp5 ON ac4

(xpac); (xpac); (xpac); (xpac);

[xp1] (lintxp1); [ac1] (lintac1); [xp2] (lintxp); [ac2] (lintac); [xp3] (lintxp); [ac3] (lintac); [xp4] (lintxp); [ac4] (lintac); [xp5] (lintxp); [ac5] (lintac); ac1 WITH xp1 ac2 WITH xp2 ac3 WITH xp3 ac4 WITH xp4 ac5 WITH xp5 ac1 xp1 ac2 xp2 ac3 xp3 ac4 xp4 ac5 xp5

(psiac1); (psixp1); (psiac); (psixp); (psiac); (psixp); (psiac); (psixp); (psiac); (psixp);

! Latent intercepts t1 ! Latent intercepts

(pac1xp1); (psiacxp); (psiacxp); (psiacxp); (psiacxp);

! Error covariances t1 ! Error covariances

! Error variances t1 ! Error variances

41 Lampiran 6 Program R CT (Open Mx) ################################################################## ### OpenMx Syntax for Continuous Time Modeling (April, 2014) ### ################################################################## setwd("E:/T.H.E.S.I.S/") # set workspace require(OpenMx) # load OpenMx package input_file <- "TIMSS_DATA.dat" # name of input file [columns = time points; rows = subjects] n.manifest <- 2 # total number of indicators for ALL factors. n.latent <- 2 # number of latent variables PHI1 <- matrix(c(0.541, 0.334, 0.334, 0.722 ),nrow=n.latent, ncol=n.latent, byrow=TRUE) # var/cov matrix of latent variables at first time point latentM1 <- matrix(c(2.489, 4.320),nrow=n.latent, ncol=1, byrow=TRUE) # means of latent variables at first time point manifestM <- matrix(c(0,0),nrow=n.manifest, ncol=1, byrow=TRUE) # intercepts of manifest variables (usually fixed to zero) LAMBDA

<- matrix(c(1,0, 0,1 ),nrow=n.manifest, ncol=n.latent,byrow=TRUE) # factor

loading matrix

THETA <- matrix(c(0,0, 0,0 ),nrow=n.manifest, ncol=n.manifest) # var/cov matrix of measurement error DRIFT

<- matrix(c(-0.01925, 0, 0, -0.026),n.latent,n.latent) # drift matrix

CINT <- matrix(c(0.178, 0.608 ),ncol=n.latent, nrow=1, byrow=TRUE) # continuous time intercepts Q <- matrix(c(0.069, 0.006, 0.006,0.131),n.latent, n.latent) # diffusion matrix delta_t <- c(4,4,4,4) # vector of (possibly different) time intervals #---PREPROCESSING--------------------------------------------------------------------# data <- read.table(file = input_file, header = FALSE) is.na(data)=data==999 # optional: specify missings (default = 999) data <- data[,c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)] # optional: rearrange order of variables (default is stated above) #eBETA <- eigen(BETA) # optional: obtain continuous time starting values for the drift matrix from a discrete time model

42 #DRIFT <(eBETA$vectors)%*%log(diag(eBETA$values)+(matrix(1,n.latent,n.latent)diag(n.latent)))%*%solve(eBETA$vectors) Tpoints <- ncol(data)/n.manifest measurements <- 1:(Tpoints-1)

#----------------------------------------------------------------------------------------## DO NOT CHANGE ANYTHING BELOW THIS LINE #---------------------------------------------------------------------------------------------# lambda.differ <- FALSE theta.differ <- FALSE #---MATRIX SPECIFICATION FOR OPENMX--------------------------------------# ################### ### 1. A matrix ### ################### Avalues <- matrix(0,nrow=(n.manifest*Tpoints+n.latent*Tpoints), ncol=(n.manifest*Tpoints+n.latent*Tpoints)) for (i in seq(n.latent,n.latent*(Tpoints-1),n.latent)){ Avalues[(1+i):(i+n.latent), ((1+i)-n.latent):i] <- NA } for (j in 1:Tpoints){ Avalues[((1+n.latent*Tpointsn.manifest)+j*n.manifest):(n.latent*Tpoints+j*n.manifest), (j*n.latentn.latent+1):(j*n.latent)] <- LAMBDA } Afree <- ((Avalues != 0) & (Avalues != 1) & is.na(Avalues) == F) DRIFTfree <- ((DRIFT != 0) & (DRIFT != 1)) Alabels <- matrix(,nrow=(n.manifest*Tpoints+n.latent*Tpoints), ncol=(n.manifest*Tpoints+n.latent*Tpoints)) for (i in 1:(Tpoints-1)){ temp <- matrix((paste("EXPd", i, sep = "")), nrow=n.latent, ncol=n.latent, byrow=TRUE) BETA_labels <- temp for (k in 1:n.latent){ for(j in 1:n.latent){ BETA_labels [k,j] = paste(BETA_labels[k,j], "[",k,",",j,"]",sep="")

43 }} Alabels[(1+i*n.latent):(n.latent+i*n.latent), (i*n.latentn.latent+1):(i*n.latent)] <- BETA_labels } templambda <- matrix((paste("lambda", 1:(n.manifest*n.latent), sep = "")), nrow=n.manifest, ncol=n.latent, byrow=FALSE) for (l in 1:Tpoints){ if(lambda.differ) LAMBDA_labels <- paste(templambda, "_", l, sep="") else LAMBDA_labels <- templambda Alabels[((1+n.latent*Tpointsn.manifest)+l*n.manifest):(n.latent*Tpoints+l*n.manifest), (l*n.latentn.latent+1):(l*n.latent)] <- LAMBDA_labels } ################### ### 2. S matrix ### ################### Svalues <- matrix(0,nrow=(n.manifest*Tpoints+n.latent*Tpoints), ncol=(n.manifest*Tpoints+n.latent*Tpoints)) for(i in 1:Tpoints){ Svalues[(i*n.latent-n.latent+1):(i*n.latent), (i*n.latentn.latent+1):(i*n.latent)] <- NA } Svalues[1:n.latent, 1:n.latent] <- PHI1 for(j in 1:Tpoints){ Svalues[((n.latent*Tpoints+1)+j*n.manifestn.manifest):((n.latent*Tpoints)+j*n.manifest), ((n.latent*Tpoints+1)+j*n.manifest-n.manifest):((n.latent*Tpoints)+j*n.manifest)] <- THETA } Sfree <- ((Svalues != 0) & (Svalues != 1) & is.na(Svalues) == F) Qfree <- ((Q != 0) & (Q != 1)) Slabels <- matrix(,nrow=(n.manifest*Tpoints+n.latent*Tpoints), ncol=(n.manifest*Tpoints+n.latent*Tpoints)) for (i in 1:Tpoints){

44 temp <- matrix((paste("Qd", i-1, sep = "")), nrow=n.latent, ncol=n.latent, byrow=TRUE) PSI_labels <- temp Qd.ind <- matrix(1:n.latent**2,n.latent,n.latent) for (k in 1:n.latent){ for(j in 1:n.latent){ PSI_labels [k,j] = paste(PSI_labels[k,j], "[",Qd.ind[k,j],",",1,"]",sep="") } } Slabels[(i*n.latent-n.latent+1):(i*n.latent), (i*n.latentn.latent+1):(i*n.latent)] <- PSI_labels } tempphi <matrix(paste("phi",1:n.latent,matrix(1:n.latent,n.latent,n.latent,byrow=T),sep=""), n.latent,n.latent) for(i in 1:n.latent){ for(j in 1:n.latent){ if(Svalues[i,j]==Svalues[j,i]) tempphi[i,j]=tempphi[j,i] } } Slabels[1:n.latent, 1:n.latent] <- tempphi temptheta <matrix(paste("theta",1:n.manifest,matrix(1:n.manifest,n.manifest,n.manifest,byro w=T),sep=""),n.manifest,n.manifest) for (j in 1:Tpoints){ if(theta.differ) THETA_labels<- paste(temptheta, "_", j, sep="") else THETA_labels <- temptheta Slabels[((n.latent*Tpoints+1)+j*n.manifestn.manifest):((n.latent*Tpoints)+j*n.manifest), ((n.latent*Tpoints+1)+j*n.manifest-n.manifest):((n.latent*Tpoints)+j*n.manifest)] <- THETA_labels } ################### ### 3. F matrix ### ################### Fvalues <- cbind(matrix(0,nrow=(n.manifest*Tpoints), ncol = n.latent*Tpoints), diag(1,(n.manifest*Tpoints))) Fnamesy <- c(c(paste("F", 1:(n.latent*Tpoints), sep="")), c(paste("V", 1:(n.manifest*Tpoints), sep="")))

45 Fnamesx

<- c(paste("V", 1:(n.manifest*Tpoints), sep=""))

################### ### 4. M matrix ### ################### Mvalues <- matrix(,nrow=(n.manifest*Tpoints+n.latent*Tpoints), ncol=1) for (i in 1:Tpoints){ Mvalues[(i*n.latent-n.latent+1):(i*n.latent), 1] <- NA } Mvalues[1:n.latent, 1] <- latentM1

# first time point

for (j in 1:Tpoints){ Mvalues[((n.latent*Tpoints+1)+j*n.manifestn.manifest):((n.latent*Tpoints)+j*n.manifest), 1] <- manifestM } Mfree <- ((Mvalues != 0) & (Mvalues != 1) & is.na(Mvalues)==F) CINTfree <- ((CINT!= 0) & (CINT!= 1)) Mlabels <- matrix(,nrow=(n.manifest*Tpoints+n.latent*Tpoints), ncol=1) for (i in 1:(Tpoints-1)){ M_labels <- matrix((paste("intd", i, sep = "")), nrow=n.latent, ncol=1, byrow=TRUE) for(j in 1:n.latent){ M_labels [j,1] = paste(M_labels[j,1], "[",j,",",1,"]",sep="") } Mlabels[(1+i*n.latent):(n.latent+i*n.latent), 1] <- M_labels } Mlabels[1:n.latent, 1] <- matrix((paste("m", 1:n.latent, sep = "")), nrow=n.latent, ncol=1, byrow=TRUE) for (j in 1:Tpoints){ Mlabels[((1+n.latent*Tpointsn.manifest)+j*n.manifest):(n.latent*Tpoints+j*n.manifest), 1] <- NA } ################################### ### Remaining labels for Output ### ###################################

46

CINTlabels

<- paste("cint",1:n.latent,sep="")

DRIFTlabels <- matrix(,n.latent,n.latent) for (i in 1:n.latent){ for (j in 1:n.latent){ DRIFTlabels[i,j] = paste("F",i,j,sep="") } } Qlabels

<- matrix(,n.latent,n.latent)

for (i in 1:n.latent){ for (j in i:n.latent){ Qlabels[j,i] = paste("q",i,j,sep="") } Qlabels[i,j] <- Qlabels[j,i] } #-----------------------------------Algebra functions---------------------------------# ############### Algebra 1): ################ EXP_Function <- function(number, value) { eval(substitute(mxAlgebra(EVEC %*% (exp(replace2 %x% EVA) tempa)%*% solve(EVEC), name = paste("EXPd", replace1, sep="")), list(replace1 = number, replace2 = value))) } ############### Algebra 2): ################ int_Function <- function(number2, value2) { eval(substitute(mxAlgebra(solve(DRIFT)%*%((EVEC %*% (exp(replace4 %x% EVA) - tempa)%*% solve(EVEC))-II)%*%t(CINT), name = paste("intd", replace3, sep="")), list(replace3 = number2, replace4 = value2))) } ############### Algebra 3): ################ Qd_Function <- function(number3, value3) { eval(substitute(mxAlgebra(((solve(DRIFTHATCH)%*%((EVECH%*%(exp(repl ace6%x%EVAH)-tempb)%*%solve(EVECH))-(II%x%II))%*%rvectorize(Q))) , name = paste("Qd", replace5, sep="")), list(replace5 = number3, replace6 = value3)))

47 } #---RUN OPENMX-----------------------------------------------------# colnames(data)=Fnamesx

# rename columns of dataset

model=mxModel("EDM", type="RAM", mxData(observed=data, type="raw"), mxMatrix(type="Full", labels=DRIFTlabels, values=DRIFT, byrow=TRUE, free=DRIFTfree, name="DRIFT"), mxMatrix(type="Full", labels=CINTlabels, values=CINT, free=CINTfree, name="CINT"), mxMatrix(type="Full", labels=Qlabels, values=Q, byrow=TRUE, free=Qfree, name="Q"), mxMatrix(type="Iden", nrow=n.latent, ncol=n.latent, free=FALSE, name="II"), mxMatrix( values=Avalues, free=Afree, labels=Alabels, name="A"), mxMatrix( values=Svalues, free=Sfree, labels=Slabels, name="S"), mxMatrix( values=Fvalues, free=FALSE, dimnames=list(Fnamesx, Fnamesy), name="F"), mxMatrix( free=t(Mfree), values=t(Mvalues), labels=t(Mlabels), dimnames=list(1, Fnamesy), name="M"), ############################################################ ### different intervals for all timepoints (see delta_t) ### ############################################################ ############### drift matrix (Alabels) ############### mxAlgebra(vec2diag(eigenval(DRIFT)), name = "EVA"), mxAlgebra(eigenvec(DRIFT), name = "EVEC"),

48 mxMatrix("Full", values=(matrix(1,n.latent,n.latent)-diag(n.latent)), name = "tempa"), EXP_algebras <- mapply(EXP_Function, measurements, delta_t), Algebra 1)

# see

############### intercepts (Mlabels) ############### int_algebras <- mapply(int_Function, measurements, delta_t), Algebra 2)

# see

############### Q matrix (Slabels) ############### mxAlgebra(DRIFT%x%II + II%x%DRIFT, name = "DRIFTHATCH"), mxAlgebra(vec2diag(eigenval(DRIFTHATCH)), name = "EVAH"), mxAlgebra(eigenvec(DRIFTHATCH), name = "EVECH"), mxMatrix("Full", values=(matrix(1,n.latent**2,n.latent**2)-diag(n.latent**2)), name = "tempb"), Qd_algebras <- mapply(Qd_Function,measurements,delta_t), # see Algebra 3) ############### matrices in the model ############### mxRAMObjective("A","S","F","M") ) model2=mxModel(model,EXP_algebras,int_algebras,Qd_algebras) fit=mxRun(model2) summary(fit)

49 Lampiran 7 Program R untuk menduga Parameter Diskret dengan Berbagai ∆𝑡𝑖 z<-function(data,d) { nb<-nrow(data) nk<-ncol(data) B<-matrix(rnorm(nb*nk),nb,nk) for(i in 1:nb) { de <- 30 dat<-data[i,] s<-as.matrix(dat) A<-matrix(s,2,2) I<-diag(rep(1,nk/2)) t<-0 for(j in 1:5) { e<-(A^j)*(de^j)/factorial(j) sume<-t+e t<-sume} se<-t+I x<-as.vector(se) B[i,]<-x } list(B) } z(x,1)

50

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Madiun pada tanggal 4 Mei 1990, sebagai anak pertama dari pasangan Dijono dan Kuning Sejati. Pendidikan sekolah menengah ditempuh di SMA Negeri 1 Surakarta dengan Program IPA, lulus pada tahun 2008. Pada tahun yang sama penulis diterima di program studi Matematika Universitas Negeri Yogyakarta dan lulus mendapatkan predikat sarjana sains pada tahun 2012. Pada tahun yang sama yaitu pada tahun 2012, Penulis melanjutkan studi S2 lewat rekomendasi para dosen di kampus S1 di Program Statistika Sekolah Pascasarjana IPB. Selama perkuliahan penulis pernah menjadi asisten dosen mata kuliah Analisis Statistika (STK 511) pada Sekolah Pascasarjana IPB. Penulis juga menghasilkan karya ilmiah yang telah dipublikasikan dalam jurnal internasional, yaitu : Milla W, Saefuddin A, Sartono B. 2014. Estimation of Confidence Interval on the Continuous Time Parameter using Bootstrap. IOSR Journal of Mathematics (IOSR-JM) e-ISSN: 2278-5728, p-ISSN: 2319-7656. Volume 10, Issue 4 Ver. I (Jul-Aug 2014), PP 32-37, www.iosrjournals.org.