PENALARAN DALAM MATEMATIKA A. PENDAHULUAN
Siswa belajar dimulai dari mengamati contoh-contoh atau fenomena Dari informasi-informasi yang diperoleh secara khusus siswa mencoba melakukan generalisasi secara umum. Kegiatan tersebut dikatakan menggunakan penalaran induktif
Di pihak lain, siswa belajar matematika dimulai dari hal-hal umum. Siswa menyimpulkan sesuatu yang khusus berdasarkan pada hal-hal yang bersifat umum. Kegiatan tersebut dikatakan menggunakan penalaran deduktif. Penalaran matematika sesungguhnya adalah penalaran deduktif. Namun matematika lebih mudah dipahami secara induktif.
B. PENALARAN INDUKTIF
Penyimpulan secara induktif dapat dimulai dari: mengenal pola, menduga-duga, dilanjutkan dengan membentuk generalisasi U(1) = 2 U(2) = 4 U(3) = 6 U(4) = 8 U(100) = …. Bagaimana aturan penentuan U(n)?
C. PENALARAN DEDUKTIF
Penyimpulan secara deduktif harus mendasarkan pada pernyataan-pernyataan yang sebelumnya telah diakui kebenarannya. Pernyataan awal (pernyataan pangkal) diterima kebenarannya tanpa melalui pembuktian, tetapi melalui kesepakatan saja. Pernyataan pangkal ini dinamakan aksioma atau postulat
Pengertian awal (pengertian pangkal, unsur primitif) merupakan unsur yang tidak didefinisikan, tetapi disepakati saja maknanya. Contoh: titik, garis, bidang, bilangan, himpunan, matriks. Berdasarkan pengertian pangkal disusunlah pengertian yang didefinisikan. Contoh: segitiga, persegipanjang, bilangan prima, bilangan komposit.
Berdasarkan pengertian pangkal, pengertian yang didefinisikan, dan aksioma dapat disusun dalil (teorema) yang kebenarannya harus dapat dibuktikan secara deduktif.
D. SISTEM MATEMATIKA
Sistem matematika adalah himpunan yang tidak kosong bersama dengan sebuah relasi, dan sebuah operasi. Contoh himpunan: (a) Himpunan bilangan asli (b) Himpunan bilangan cacah (c) Himpunan bilangan bulat (d) Himpunan bilangan real (e) Koleksi himpunan (f ) Himpunan vektor dalam ruang
Berkaitan dengan relasi, pada bilangan asli terdapat relasi “kurang dari’, “lebih dari”, dan “sama dengan”. Setiap dua bilangan asli selalu dapat dikaitkan dengan salah satu dari ketiga relasi tersebut. Pada himpunan terdapat relasi “saling lepas”, “berpotongan” dan “ekivalen”.
Berkaitan dengan operasi, Pada himpunan bilangan asli terdapat operasi penjumlahan dan perkalian. Pada himpunan bilangan asli tidak terdapat operasi pengurangan dan pembagian. Pada himpunan terdapat operasi gabung, irisan, pengurangan, dan lain-lain. Pada vektor terdapat operasi cross dan dot.
Ada operasi baku dan ada operasi tidak baku. Operasi baku (standar) berlaku secara umum di manamana (mis. “+”, “”, “”, dan “”), sedngkan operasi tidak baku didefinisikan sesuai dengan yang dikehendaki. Contoh: (1) x y = 3y – 2x.
(2) a ¤ b = 6a + b. Jika x y = 3y – 2x, maka 4 5 = 3.5 – 2.4 = 15 – 8 =7 5 4 = 3.4 – 2.5 = 12 – 10 = 2.
JIka a ¤ b = 6a + b maka 4 ¤ 5 = 6.4 + 5 = 24 + 5 = 29 5 ¤ 4 = 6.5 + 4 = 30 + 4 = 34
Sistem matematika terdiri dari sebuah himpunan tidak kosong, sebuah relasi, dan sebuah operasi. Contoh: Dimisalkan ada himpunan A : {1,2,3,4,…}, relasi “<”, dan operasi “+”. {A, <, +} disebut sistem matematika. Setiap ada dua anggota A yang berbeda, anggaplah a,bA, maka selalu berlaku a< b atau b
, } bukan sistem matematika sebab ada a,bA dan (a – b) bukan anggota A.
E. LOGIKA
Matematika umumnya disajikan secara aksiomatik dengan logika deduktif. (Logika berperan dalam matematika). Pernyataan (proposisi) merupakan pengertian pangkal. Suatu pernyataan (proposisi) bernilai salah satu dari “BENAR” atau “SALAH”. (bernilai “benar” saja atau “salah” saja, tidak keduanya).
Ada pernyataan tunggal (proposisi sederhana) dan ada pernyataan majemuk.
Dua pernyataan tunggal dapat dirangkai menjadi sebuah pernyataan majemuk menggunakan penghubung: “dan”, “atau”, “Jika … maka ….”, atau “ …jika dan hanya jika …” “p dan q” disebut Konjungsi “p atau q” disebut Disjungsi “Jika p maka q” disebut Implikasi/kondisional “ p jika dan hanya jika q” disebut Ekuivalensi
Contoh pernyataan majemuk: a) Selviana gemar matematika dan IPA b) Ferdinand pandai menari atau menyanyi c) Jika m bilangan ganjil maka 2m adalah bilangan genap. d) Empat habis dibagi dua jika dan hanya jika empat bilangan genap
1. Negasi Negasi dari pernyataan p merupakan ingkaran terhadap pernyataan p, ditulis “p”. Jika pernyataan p bernilai benar maka p bernilai salah, dan jika pernyataan p bernilai salah maka p bernilai benar. Contoh: p : Dua adalah bilangan genap p : Dua adalah bukan bilangan genap
2. Konjungsi p : Susanti membeli buku q : Susanti membeli pensil p q : Susanti membeli buku dan pensil
d : Dua adalah bilangan prima s : Tiga adalah bilangan prima d s : Dua dan tiga adalah bilangan prima.
3. Disjungsi p : Susanti membeli buku
q : Susanti membeli pensil p q : Susanti membeli buku atau pensil d : Dua adalah bilangan prima s : Tiga adalah bilangan prima d s : Dua atau tiga adalah bilangan prima.
4. Kondisional (Implikasi) p : Susanti membeli buku q : Susanti membeli pensil p q : Jika Susanti membeli buku maka Susanti membeli pensil
d : Dua adalah bilangan prima s : Tiga adalah bilangan prima d s : Jika dua bilangan prima maka tiga bilangan prima.
5. Bikondisional (Biimplikasi) p : Susanti membeli buku q : Susanti membeli pensil p q : Susanti membeli buku jika dan hanya jika Susanti membeli pensil d : Dua adalah bilangan prima s : Tiga adalah bilangan prima d s : Dua adalah bilangan prima jika dan hanya jika tiga bilangan prima.
F. KUANTIFIKASI
Kuantor meliputi dua hal, yaitu:Kuantor umum dan kuantor khusus. Kuantor umum (kuantor universal/universum quantifier) : “semua”, “setiap”. Kuantor khusus (kuantor eksistensial): “beberapa”, “terdapat”, “ada”.
Contoh pernyataan berkuantor umum: a) Semua penerbang adalah pria b) Setiap katak mempunyai ekor c) Tidak ada bilangan prima genap
d) Tiada hari tanpa olah raga e) Setiap motor yang diparkir dipasang kunci pengaman f)
Semua burung bernyanyi
Contoh pernyataan berkuantor khusus: a) Beberapa penerbang adalah wanita b) Ada katak mempunyai ekor c) Sedikitnya sebuah bilangan prima adalah genap d) Terdapat motor yang diparkir tanpa dipasang kunci pengaman e) Sekurang-kurangnya seekor burung bernyanyi
Untuk menyusun negasi dari pernyataan berkuantor dapat dipedomani sebagai beikut: p : Semua A adalah B
p : Beberapa A adalah B
p : Beberapa A bukan B
p : Semua A bukan B
