INDUKSI MATEMATIKA A. Penalaran Induktif dan Deduktif Penalaran dalam matematika ada dua jenis, yaitu penalaran induktif dan penalaran deduktif. 1. Penalaran induktif Penalaran Induktif adalah proses berpikir untuk menarik suatu kesimpulan yang berlaku umum berdasarkan atas fakta-fakta yang bersifat khusus. Penalaran induktif digunakan oleh beberapa cabang ilmu pengetahuan seperti fisika, kimia, biologi, dan sebagainya untuk membangun suatu teori baru. Secara umum, langkah-langkah penalaran induktif yang digunakan dalam matematika sebagai berikut :
Mengamati pola-pola yang terjadi,
Membuat dugaan (konjektur) tentang pola umum yang mugkin berlaku,
Membuat generalisasi,
Membuktikan generalisasi secara deduktif.
Contoh 1: Buatlah segitiga lancip dan ukurlah besar tiap-tiap sudutnya dengan busur derajat. Berapa derajatkah besar ketiga sudutnya? Buatlah pula segitiga siku-siku dan segitiga tumpul. Berapa derajatkah jumlah ketiga sudut dari tiap-tiap segitiga tersebut? Pada contoh 1 ini, terdapat 3 buah segitiga yang akan diukur besar tiap-tiap besar sudutnya. Dan diperoleh bahwa jumlah ketiga sudut dalam masing-masing segitiga yang telah buat adalah 180 derajat. Dari tiga contoh segitiga yang dibuat itu maka dapat kesimpulan bahwa jumlah besar ketiga sudut dalam segitiga adalah 180 derajat. Penarikan kesimpulan dari contoh-contoh seperti ini menggunakan penalaran induktif.
1
Berapakah hasil penjumlahan berikut ini? 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 199 Untuk menjawab pertanyaan tersebut dibuta pola sebagai berikut! Banyak suku
Penjumlahan
Hasil
1
1
1 = 12
2
1 + 3
4 = 22
3
1 + 3 + 5
9 = 32
4
1 + 3 + 5 + 7
16 = 42
5
1 + 3 + 5 + 7 + 9
25 = 52
6
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
36 = 62
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 199
10.000 = 1002
dst. 100
2. Penalaran Deduktif Dalam matematika penalaran yang digunakan adalah penalaran deduktif yaitu proses berpikir berdasarkan atas suatu pernyataan dasar yang berlaku umum untuk menarik suatu kesimpulan yang bersifat khusus. Aturan yang berlaku secara umum tersebut, pada umumnya dibuktikan terlebih dahulu kebenarannya dan setelah terbukti kebenarannya baru diterapkan untuk kasus-kasus yang bersifat khusus. Contoh: Jumlah dua bilangan ganjil akan menghasilkan bilangan genap. Buktikan kebenaran atau kesalahan pernyataan tersebut secara deduktif. Dibuktikan secara deduktif dengan melakukan pemisalan secara umum bahwa bilangan ganjil dapat dituliskan sebagai 2n + 1 untuk n bilangan asli. Maka 2 bilangan ganjil dijumlahkan menjadi (2n + 1)+(2n + 1) = (2n + 2n + 1 + 1) = 4n + 2 = 2(2n + 1) Karena 2n + 1 merupakan bilangan ganjil maka 2 kali bilangan ganjil pasti akan menghasilkan bilangan genap, sehingga terbukti bahwa jumlah dari 2 bilangan ganjil akan menghasilkan bilangan genap.
2
B. Prinsip Induksi Matematika Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan. Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu. Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal statements n A, S(n) dengan A N dan N adalah himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan asli. S(n) adalah fungsi propositional. Prinsip-prinsip Induksi Matematika 1. Induksi Sederhana. Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita perlu menunjukkan bahwa:
p(1) benar, dan
Jika p(n) benar maka p(n + 1) juga benar, untuk semua bilangan bulat positif n 1,
Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi. Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi. Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
3
Contoh 1. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2. Penyelesaian: (i) Basis induksi: Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 12 = 1. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1. (ii) Langkah induksi: Andaikan p(n) benar, yaitu pernyataan 1+ 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2 juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut: 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n +1) = n2 + 2n + 1 n2 + (2n + 1)= (n + 1)2 Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkan benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2. C. Penerapan Induksi Matematis 1. Penerapan Induksi Matematika Dalam Atm Multi Pecahan Uang a. Konsep ATM Secara Umum di Indonesia ATM, pada umumnya, hanya memiliki satu jenis nominal uang. Logikanya ialah sebuah ATM hanya memiliki satu cartridge uang, yang hanya dapat diisi oleh sebuah nominal (entah itu Rp 20.000,-, Rp 50.000,-, maupun Rp 100.000,-). Nah, pengolahan berapa jumlah uang yang dikeluarkan tidak secara langsung dihitung dari jumlah nominal uang yang ditarik, tapi dikonversikan dahulu, pecahan uang yang tersedia pada cartridge harus dikeluarkan sebanyak berapa lembar agar uang yang ingin ditarik pelanggan tercukupi4. Misal pelanggan ingin menarik uang sebanyak Rp 200.000,-. Maka ada tiga kemungkinan : -
Jika ATM tersebut berisi uang pecahan Rp 20.000,-, maka cartridge penyimpan uang akan diperintahkan menghitung dan mengeluarkan sebanyak 10 lembar.
4
-
Jika ATM tersebut berisi uang pecahan Rp 50.000,-, maka cartridge penyimpanan uang akan diperintahkan menghitung dan mengeluarkan sebanyak 4 lembar.
-
Jika ATM tersebut berisi uang pecahan Rp 100.000,-, maka cartridge penyimpanan uang akan diperintahkan untuk menghitung dan mengeluarkan uang sebanyak 2 lembar. Terdapat beberapa kelemahan dalam ATM yang memiliki sistem seperti ini,
antara lain: Pelanggan ingin menarik uang yang tidak genap (misal ingin menarik uang sebesar Rp 70.000,- ). Pada kenyataannya, masalah ini memang sudah ditanggulangi dengan mengeluarkan pernyataan “Mesin ini hanya mengeluarkan uang dalam pecahan kelipatan Rp 20.000,- (atau Rp 50.000,- atau Rp 100.000,-). Masyarakat juga telah memaklumi keadaan ini. Namun, apakah tidak jauh lebih mudah jika dapat dilakukan penarikan tunai dengan nominal yang tidak genap seperti itu? Apa sebenarnya keistimewaan cara berpikir ATM Multi Pecahan Uang? b. Penerapan Induksi Matematika dalam ATM Multi Nominal Penerapan Induksi Matematik dalam ATM Multi Nominal yakni dengan penggunaan Prinsip Induksi yang Dirampatkan (prinsip pertama) pada proses penghitungan uang yang akan dikeluarkan dari cartrige penyimpanan uang. Ada beberapa ketentuan dalam pengambilan uang pada ATM Multi Nominal ini. Ketentuan tersebut antara lain : -
Jumlah minimal penarikan
-
Jumlah kelipatan penarikan dari jumlah minimalnya
-
pecahan uang berapa yang ada di ATM tersebut Jadi, bagaimana cara perhitungannya?
Ambil sebuah contoh, dalam satu ATM terdapat pecahan uang Rp 20.000,- dan Rp 50.000,-. Berapakah jumlah kelipatan penarikan dengan jumlah minimal yang dapat diambil pelanggan melalui ATM tersebut adalah Rp 40.000,-? Penyelesaian: 5
1. tunjukkan bahwa f(n0) benar (berlaku) Basis induksi: Untuk mengeluarkan uang dengan jumlah Rp 40.000,- dapat digunakan 2 lembar uang Rp 20.000,-. f(n0) jelas benar (berlaku) !! 2. Jika f(n) benar (berlaku) maka tunjukkan f(n+k) juga benar (berlaku) untuk semua bilangan bulat n ≥ n0. (k ialah kelipatan pengambilan uang di ATM) Langkah induksi: Jika f(n) benar, yaitu untuk mengeluarkan uang dengan jumlah Rp 40.000 dapat digunakan e lembar uang Rp 20.000,- (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa f(n+k) juga benar, yaitu untuk mengeluarkan uang sebesar n+k juga dapat menggunakan pecahan uang Rp 20.000,- dan/atau Rp 50.000,-.
Ada dua kemungkinan yang perlu diperiksa: a. Kemungkinan pertama, misalkan tidak ada uang pecahan Rp 50.000,- yang dikeluarkan, maka uang yang dikeluarkan senilai Rp n,- menggunakan pecahan Rp 20.000,- semuanya. Karena n ≥ Rp 40.000,-, setidaknya harus digunakan dua lembar pecahan Rp 20.000,-. Dengan mengganti dua lembar uang Rp 20.000,- dengan selembar uang Rp 50.000, akan menjadikan uang yang dikeluarkan ATM sebesar Rp n+k,- dengan k senilai Rp 10.000,-. b. Kemungkinan kedua, misalkan ATM mengeluarkan uang senilai Rp n,- dengan sedikitnya satu lembar pecahan Rp 50.000,-. Dengan mengganti satu lembar pecahan Rp 50.000,- dengan tiga lembar uang pecahan Rp 20.000,- akan menjadikan uang yang dikeluarkan ATM sebesar Rp n+k,- dengan k senilai Rp 10.000,Dari penjelasan di atas,, dapat diketahui bahwa nilai k (kelipatan) uang yang dapat diambil dari ATM tersebut, dengan minimal jumlah pengambilan sebesar Rp 40.000,-, ialah sebesar Rp 10.000,-.
6
