PENALARAN MATEMATIKA BIOMETRIKA I
HISTORI • Gagasan pemakaian lambang-lambang dalam proses deduksi dirintis oleh Gottfried Liebniz, matematikawan Jerman pada abad XVII • Dilanjutkan olej George Boole dan Agustus de Morgan, matematikawan Inggris pada abad XIX • Logika deduksi sering disebut logika simbolik dan menjadi landasan teori dalam ilmu komputer
2.1. Pernyataan dan Lambang Pernyataan • Pernyataan ialah sebuah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi tidak keduaduanya (benar dan salah), • Jadi pernyataan ialah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran, biasanya dilambangkan dengan angka 0 (salah) dan angka 1 (benar) • Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa setiap pernyataan adalah sebuah kalimat akan tetapi sebuah kalimat belum tentu merupakan sebuah pernyataan
Contoh : • Setiap kalimat di bawah ini merupakan sebuah pernyataan : – Wina adalah ibukota Austria – Mandra orang Betawi asli – 7 + 3 = 11 – Pernyataan 1 dan 2 memiliki nilai 1 , sedangkan pernyataan 3 memiliki nilai 0 • Setiap kalimat di bawah ini bukan merupakan sebuah pernyataan karena tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya – Berapakah umur anda – Pergilah dari hadapanku – 2x+2 = y
Teladan • Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf-huruf kecil, seperti p, q, r, dan sebagainya. • Contoh : “p : Ikan Paus merupakan hewan mamalia ”, maka nilai kebenarannya dapat kita tulis n(p) = 1, sebaliknya “q = Mandra aktor Holywood”, maka nilai kebenarannya adalah n(q) = 0
2.2. Pengolahan terhadap Pernyataan
• Pernyataan-pernyataan dalam sub bab 2.1 merupakan pernyataan sederhana yang dapat dirangkai menjadi sebuah pernyataan majemuk, dan pernyataan majemuk dapat dirangkai menjadi gugus majemuk. • Sifat-sifat dari gugus majemuk serupa dengan aljabar gugus
Logika Simbolik • Ada lima macam perangkai dasar yang digunakan dalam logika simbolik, yaitu : – Ingkaran (bukan) merupakan pengolah tunggal – Konjungsi (dan) – Disjungsi (atau) – Pernyataan bersyarat (jika…..maka…), dan – pernyataan dwisayarat (….jika dan hanya jika….) yang merupakan pengolah biner • Karena nilai kebenaran hanya ada dua macam yaitu 0 dan 1, maka ada sebanyak 8 buah kemungkinan nilai 0 atau 1 sebagai nilai kebenaran bagi pernyataan majemuk yang disusun oleh tiga pernyataan, misal p, q, dan r
Teladan : . Pilihan bagi p Pilihan bagi q Pilihan bagi r Kemungkinan
1
0
1
0
1
0 0
1
0
1
000
001
010
011
0
1
0
1
100
101
110
111
teladan • Bentuk Daftar kebenaran untuk ingkaran pernyataan p:
p
p
1
0
0
1
(1)
(2)
Contoh Pernyataan p : hari ini hujan, maka ingkaran ~p : hari ini tidak hujan Pernyataan r : semua mahasiswa lulus ujian matematika lulus ujian matematika, maka ingkarannya ~r : ada mahasiswa yang tidak lulus ujian matematika, atau ~r : tida semua mahasiswa lulus ujian matematika, atau ~r : tidak benar bahwa semua mahasiswa lulus ujian matematika – Pernyataan r di atas biasanya dicatat sebagai x, r(x) : lambang x dibaca sebagai untuk semua (atau untuk setiap) x dan disebut KUANTOR UNIVERSAL. Sedangkan ingkarannya biasa ditulis x, ~r atau ~( x, r(x)); lambang x dibaca sebagai ada suatu x dan disebut kuantor eksistensi. A
A
E
E
A
• •
Konjungsi Daftar kebenaran konjungsi dua pernyataan : “dan” P 1 1 0 0
q 1 0 1 0
P ^q
(1)
(2)
(3)
1 0 0 0
Konjungsi dua pernyataan • Misalkan p dan q adalah dua pernyataan sembarang. Penyataan “p dan q” disebut konjungsi p dan q dan dilambangkan p^q. Nilai kebenaran p^q adalah selalu salah, kecuali dalam hal p dan q serempak benar
Disjungsi Daftar kebenaran konjungsi dua pernyataan : “ atau” P 1 1 0 0
q 1 0 1 0
P Vq
(1)
(2)
(3)
1 1 1 0
Disjungsi dua pernyataan • Misalkan p dan q adalah dua pernyataan sembarang. Pernyataan majemuk “p atau q” disebut disjungsi (inklusif) p dan q, dan dilambangkan sebagai p v q. Nilai kebenaran p v q selalu benar kecuali dalam hal p dan q serempak salah.
Dua Pernyataan Setara • Dua pernyataan p dan q dikatakan setara (logik), dilambangkan sebagai pó q, jika kedua pernyataan itu mempunyai kebenaran yang sama untuk setiap kombinasi nilai kebenaran pernyataan-pernyataan penyusunnya.
