PELUANG
Prinsip Perkalian
Bila suatu kegiatan dapat dilakukan dalam n1 cara yang berbeda, dan kegiatan yang lain dapat dilakukan dalam n2 cara yang berbeda, maka seluruh peristiwa tersebut dapat dikerjakan dalam (n1 X n2) cara yang berbeda. Jika seluruhnya ada banyak kegiatan, dan masing-masing berturut-turut dapat dilakukan dalam n1, n2, n3, .., nk cara, maka seluruh kegiatan gabungan tersebut dapat dilakukan dalam (n1X n2 X n3X ..X nk) cara
Prinsip Penjumlahan
Bila suatu kegiatan dapat dilakukan dalam n1 cara yang berbeda, dan kegiatan yang lain dapat dilakukan dalam n2 cara yang berbeda, maka banyaknya kegiatan yang merupakan kegiatan pertama atau kegiatan kdua dan bukan keduanya secara bersamaan adalah (n1 n2) yang berbeda. Jika seluruhnya ada banyak kegiatan, dan masing-masing berturut-turut dapat dilakukan dalam n1, n2, n3, .., nk cara, maka banyaknya cara yang merupakan kegiatan pertama saja, kedua saja, …, atau ke-k saja dan tidak ada kegiatan yang terjadi bersamaan, adalah (n1 n2 n3 … n2) cara.
Permutasi
Permutasi dapat diartikan sebagai susunan unsur-unsur yang diperhitungkan atau diperhatikan urutannya. Jadi susunan AB dianggap berbeda dengan susunan BA. Jika empat unsur A, B, C, dan D akan disusun menjadi permutasi dua-dua, maka permutasipermutasunya adalah sebagai berikut. AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC ( diperoleh 12 permutasi).
Jika empat unsur A, B, C, dan D akan disusun menjadi permutasi tiga-tiga, maka permutasipermutasinya adalah sebagai berikut.
ABC, ABD, ACD, ACB, ADB, ADC, BAC,BAD, BCD, BCA, BDA, BDC, CAB, CAD, CBD, CBA, CDA, CDB, DAB, DAC, DBC, DBA, DCA, DCB. Ternyata diperoleh 24 permutasi. Banyaknya permutasi k unsur berbeda yang diambil dari n unsur berbeda, untuk k n adalah
Pkn
n! (n - k)!
atau nPk
n! (n k )!
n! n( n 1)( n 2)...3.2.1
Permutasi yang dibuat dengan susunan unsur secara melingkar disebut permutasi melingkar. Permutasi melingkar ABC, BCA, dan CAB dianggap sebagai permutasi yang sama, dan dianggap sebagai satu permutasi. Banyaknya permutasi melingkar n unsur berbeda yang diambil dari n unsur berbeda adalah
P ( n 1)!
Jika akan disusun permutasi n unsur yang diambil dari n unsur yang terdiri dari dua macam unsur, anggaplah ada k1 unsur yang sama dan k2 unsur lain lagi yang sama, sehingga k1 k2 n maka banyaknya permutasi yang dapat dibuat adalah
P
n! k1!.k 2 !
Jika banyaknya unsur yang sama adalah k1, k1, k1, …, kr sehingga k1 k1 k1 … kr n, maka banyaknya permutasi n unsur adalah
P
n! k1!.k 2 !....k r !
Kombinasi
Kombinasi dapat diartikan sebagai susunan unsur-unsur yang tidak diperhitungkan atau tidak diperhatikan urutannya. Jadi susunan AB dianggap sama dengan susunan BA, susunan ABD dianggap sama dengan susunan BAD maupun DAB.
Jika empat unsur A, B, C, dan D akan disusun menjadi kombinasi dua-dua, maka kombinasikombinasinya adalah sebagai berikut. AB, AC, AD, BC, BD, CD ( diperoleh 6 kombinasi). Jika empat unsur A, B, C, dan D akan disusun menjadi kombinasi tiga-tiga, maka kombinasikombinasinya adalah sebagai berikut. ABC, ABD, ACD, BCD ( diperoleh 6 kombinasi). Banyaknya kombinasi k unsur berbeda yang diambil dari n unsur berbeda untuk k n adalah
n n! k!(n k )! k
atau
nk
n! k!(n - k)!
Peluang (Probabilitas)
Suatu percobaan yang akan dilaksanakan dapat memberikan satu atau lebih kemungkinan. Misalkan akan dilakukan percobaan melempar (mengetos) sebuah dadu. Hasil yang akan muncul adalah muka 1, muka 2, muka 3, muka 4, muka 5, atau muka 6. Hasil-hasil tersebut dinamakan titik sampel. Jadi semua ada enam titik sampel, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Himpunan semua titik sampel atau semua alternatif hasil yang dapat terjadi dinamakan ruang sampel (ruang terok). Jadi ruang sampel dari percobaan di atas adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Bagian dari ruang sampel disebut kejadian. Contoh kejadian misalnya kejadian munculnya muka bilangan komposit.
Contoh kejadian pada pelemparan dua dadu sekaligus misalnya A adalah kejadian munculnya muka dadu dengan jumlah keduanya adalah delapan. A {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)). Jadi kejadian A tersebut memuat lima titik sampel.
Bilangan yang menyatakan perbandingan banyaknya muncul kejadian A dengan frekuensi percobaan yang dilakukan disebut frekuensi relatif. Jika dari 60 kali percobaan yang dilakukan ternyata muncul kejadian A sebanyak 15 kali, maka frekuensi relatif munculnya kejadian A pada percobaan tersebut adalah
Fr(A)
15 1 atau 0,25. 60 4
Jika percobaan dilakukan n kali dengan n bilangan bulat yang sangat besar,maka nilai frekuensi relatif mendekati suatu bilangan tertentu yang dinamakan peluang. Peluang munculnya kejadian A dihitung dengan rumus sebagai berikut. P(A) : Peluang munculnya kejadian A P(A)
n( A) n( S )
n ( A) : Banyaknya titik sampel pada kejadian A n (S )
: Banyaknya titik sampel di ruang sampel
Peluang suatu kejadian berkisar dari nol sampai dengan satu. 0 P ( A) 1
Peluang tidak terjadinya kejadian A dihitung sebagai berikut.
P ( A c ) 1 P ( A) Jika kejadian A selalu terjadi atau pasti terjadi, maka kejadian A disebut suatu kepastian. Peluang suatu kepastian adalah 1. Jika kejadian A tidak mungkin terjadi atau mustahil terjadi, maka kejadian A disebut kemustahilan.
Kejadian Majemuk
Jika di dalam suatu ruang sampel S terdapat kejadian A dan kejadian B, maka peluang terjadinya kejadian A atau B adalah P( A atau B ) P ( A) P ( B ) P ( A dan B )
Jika kejadian A dan B saling bebas maka berlaku hubungan berikut. P( A dan B ) P ( A) P ( B )
Jika kejadian A dan B saling asing, maka berlaku hubungan berikut. P( A atau B ) P ( A) P ( B )
Kejadian Bersyarat
Anggaplah di dalam ruang sampel S terdapat kejadian A dan B. Kejadian A dan B dapat terjadi bersamaan.
A
B
Jika dari percobaan telah diketahui bahwa kejadian B telah terjadi, maka peluang terjadinya kejadian A dengan syarat bahwa kejadian B tersebut telah terjadi, dinamakan kejadian bersyarat. Peluang terjadinya kejadian A bersyarat B dihitung sebagai berikut.
P( A / B)
P( A B) P( B)
2.1 Rangkuman
(1) Keterangan yang diperlukan untuk memecahkan suatu masalah dinamakan data, (2) ukuran tendensi sentral meliputi: modus, median, dan mean. Modus adalah nilai yang paling sering muncul. Median adalah nilai yang posisinya di tengah-tengah dari data yang ada setelah nilai-nilai itu diurutkan. Mean (rerata) dihitung dengan cara jumlah keseluruhan nilai dalam distribusi dibagi banyaknya data. (3) Ukuran dispersi dari sekelompok data meliputi: range (rentang atau jangkauan), kuartil, simpangan kuartil, simpangan rata-rata, dan simpangan baku. (4) Permutasi dapat diartikan sebagai susunan unsur-unsur yang diperhitungkan atau diperhatikan urutannya. (5) Kombinasi dapat diartikan sebagai susunan unsur-unsur dengan tidak diperhitungkan atau tidak diperhatikan urutannya. (6) Hasil-hasil dari sebuah percobaan dinamakan titik sampel. Himpunan semua titik sampel atau semua alternatif hasil yang dapat terjadi dinamakan ruang sampel (ruang terok). Bagian dari ruang sampel disebut kejadian. (7) Peluang suatu kejadian berkisar dari nol sampai dengan satu. (8) Jika kejadian A selalu terjadi atau pasti terjadi, maka kejadian A disebut suatu kepastian. Peluang suatu kepastian adalah 1. Jika kejadian A tidak mungkin terjadi atau mustahil terjadi, maka kejadian A disebut kemustahilan.
2.2 Tugas
(1) Perjalanan dari kota A ke kota C hanya dapat ditempuh melalui kota B. Hanya ada 6 cara perjalanan dari kota A ke kota B, dan dari kota B ke kota C hanya ada 5 cara perjalanan. Tentukanlah banyaknya cara menempuh perjalanan dari kota A ke kota B tersebut. (2) Dalam suatu perlombaan, seorang siswa hanya boleh memilih satu mata lomba. Jika mata lomba yang disediakan 5 mata lomba cabang atletik, dan 3 mata lomba dari cabang permainan, berapa banyak mata lomba yang dapat menjadi alternatif pilihan bagi seorang anak?
(3) Dari 6 calon akan dipilih empat orang untuk menduduki ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara pada sebuah yayasan. Tentukanlah banyaknya kemungkinan yang dapat dipilih. (4) Seoarng pelukis akan membuat campuran yang terdiri dari 3 warna cat. Warna dasar yang tersedia adalah merah, kining, hijau, putih, biru, ungu, hijau, dan jingga. Tentukanlah banyaknya macam campuran cat yang dapat dibuat! (5) Pada percobaan melempar atau mengetos dua mata uang sekaligus, tentukanlah: (a) Titik sampelnya. (b) Ruang teroknya (c) Kejadian munculnya muka satu gambar. (d) Kejadian munculnya dua angka. (6) Pada percobaan mengetos dua dadu, buatlah 5 contoh kejadian. (7) Pada percobaan melempar satu keping uang logam sebanyak 80 kali, ternyata muka Gambar muncul sebanyak 34 kali. Tentukanlah frekuensi relatif munculnya muka angka. (8) Pada percobaan melempar sebuah dadu dan satu keping uang logam, tentukanlah peluang munculnya: (a) muka bilangan genap pada dadu dan muka gambar pada uang logam. (b) Muka bilangan prima ganjil pada dadu dan muka angka pada uang logam. (9) Buatlah masing-masing 3 (tiga) contoh kejadian yang merupakan kepastian, dan kejadian kemustahilan. (10) Peluang Dimas memperoleh nilai di atas 6 dalam mata pelajaran IPA adalah 0,7 dan peluangnya untuk memperoleh nilai di atas 6 dalam mata pelajaran IPS adalah 0,6. Tentukanlah peluang Dimas memperoleh nilai di atas 6 baik pada mata pelajaran IPA maupun IPS. (11) Pada percobaan melempar dua dadu sekaligus, tentukanlah peluang munculnya muka kedua dadu dengan jumlah kurang dari 5 atau lebih dari 10. (12) Dari 40 orang siswa dalam satu kelas terdapat 10 orang yang memenuhi syarat untuk memperoleh beasiswa, salah satu diantaranya adalah Hendri. Namun beasiswa hanya tersedia untuk 4 orang saja. Tentukanlah peluang bahwa Hendri akan mendapat beasiswa tersebut.
