6/15/2015
OBJECTIVES MINIMALISASI BIAYA MENGGUNAKAN
Understand why and where optimization occurs
GOLDEN SECTION AND HOOK JEEVES METHODS
Be able to distinguish between linear and
in engineering problem solving.
Understand the major elements of the general
optimization problem: (1) objective function, (2) decision variables, and (3) constraints. nonlinear optimization, and between constrained and unconstrained problems
PUSTAKA James B. Riggs, 1988, “An Introduction to Numerical Methods for Chemical Engineers”, Texas: Texas Tech University Press, Chapter 6 Steven C. Chapra & Raymond P. Canale, 2003,“Numerical Methods for Engineers: With Software and Programming Applications”, 4th edition, New York: McGraw-Hill Company Inc, Part Four
etc.
INTRODUCTORY EXAMPLE Persoalan pemilihan diameter pipa untuk mengangkut fluida dari satu proses ke proses yang lain.
Diameter pipa optimum, berdasarkan: Biaya investasi, dan biaya operasi
$ / year Cost components
Pipe diamater (in) 1
Operating Costs
1,25
1,5
4697 660
2
2,5
312
164 56
Pipe capital costs 168
308
389
474 660
Pump capital costs
401
192
150
150 150
Total
5266 1160 852
788 866
Diameter pipa mana yang akan Anda pilih?
PENGANTAR-1
Definisi dan Jenis Optimasi
Definisi optimasi Jenis optimasi: 1- maksimasi; 2- minimasi Dua hal penting dalam studi optimasi: 1- fungsi objektif dan decision variables; 2- kendala (constraints)
Optimasi merupakan suatu proses untuk mencari kondisi yang optimum, dalam arti paling menguntungkan.
Contoh-contoh persoalan optimasi dalam bidang
Engineering
Contoh-contoh constraints yang menyertai persoalan optimasi
PENGANTAR-2
Fungsi Objektif Secara umum, fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif (objective function), sedangkan harga-harga yang berpengaruh dan bisa dipilih disebut variabel (perubah) atau decision variable. Secara analitik, nilai maksimum atau minimum dari suatu persamaan: y = f(x) dapat diperoleh pada harga x yang memenuhi: y’ = f’(x) = 0 Untuk fungsi yang sulit untuk diturunkan atau mempunyai turunan yang sulit dicari akarnya, proses optimasi dapat dilakukan secara numerik.
Optimasi bisa berupa maksimasi atau minimasi. Jika berkaitan dengan masalah keuntungan, maka keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan keuntungan maksimum (maksimasi). Jika berkaitan dengan masalah pengeluaran/pengorbanan, maka keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan pengeluaran/pengorbanan minimum (minimasi).
Ilustrasi maksimasi (secara grafik):
Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang Engineering
Beberapa istilah: Maksimum lokal Maksimum global
Design pump and heat transfer equipment for maximum
efficiency
Design waste water treatment system to meet water-quality
standards of least cost Optimal planning and scheduling Optimal pipeline network Inventory control Maintenance planning to minimize cost etc.
A unimodal function
One hump or one valley Catatan: Analog, untuk kasus minimasi
1
6/15/2015
PENGANTAR-4
PENGANTAR-3 Maksimum dan minimum lokal dan global:
Tinjaulah sebuah fungsi dengan satu variabel sbb.:
METODE GOLDEN SECTION
y = f(x)
Golden section merupakan salah satu cara atau
Ingin dicari harga x yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi). Dalam hal ini, x yang diperoleh merupakan nilai x optimum fungsi.
metode optimasi numerik yang bisa dipakai untuk fungsi yang bersifat unimodal. Kedua tipe optimasi, yaitu maksimasi dan minimasi dapat diselesaikan dengan cara ini.
Golden-section (search) method merupakan
Beberapa metode yang akan dibahas
metode optimasi satu variabel yang sederhana, dan mempunyai pendekatan yang mirip dengan metode bisection dalam penentuan akar persamaan tak linier.
Metode golden section Metode Newton Metode interpolasi kuadrat dsb.
PENGANTAR-5
Perbedaan antara persoalan optimasi dengan pencarian/ penentuan akar persamaan:
Ilustrasi grafik optimasi dua variabel:
METODE GOLDEN
SECTION
Tinjaulah fungsi f(x) yang akan ditentukan maksimumnya, pada rentang x = xl dan x = xu
(perhatikan gambar di samping). , ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baru. Secara matematik:
ALGORITMA (kasus maksimasi):
METODE GOLDEN SECTION Karena:
l0 l1 l2 ,
maka:
l1 l 2 l1 l2 l1
R
l2 l1
Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan:
l1 l2 l1 l1 l2
l l 1 atau 1 2 1 atau : 1 R l1 l2 R
Nilai akar positifnya : 5 1 0,61803 ...... 2
(kasus maksimasi): 1. Mulai dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu, yang mengapit titik maksimum. 2. Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang xl dan xu, sesuai dengan golden ratio (R)
5 1 X u X l 2 x1 x1 d
d
Sehingga: R 2 R 1 0
R
ALGORITMA
(R biasa disebut sebagai Golden ration atau golden number)
x2 xu d
3. Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2), diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi, sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya. Jadi hanya diperlukan 1 titik baru. Ada 2 kasus: (a) Jika: f(x1) > f(x2) Maka: domain x antara xl dan x2 dieliminasi x2 lama = xl baru x1 lama = x2 baru xu lama = xu baru x1 baru ditentukan (b) Jika: f(x2) > f(x1) Maka: domain x antara x1 dan xu dieliminasi x1 lama = xu baru x2 lama = x1 baru xl lama = xl baru x2 baru
ditentukan
2
6/15/2015
METODE GOLDEN SECTION Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas.
EXAMPLE : DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 – 8X + 12 KNOWN
Efektivitas evaluasi dengan metode golden section: Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0,001 dari semula, maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah:
L
Jumlah evaluasi = 2 + (N – 1) x 1 = 16
5 1 0.618 2
XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0 XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4 TOL = 0.001 (SAMPLE) X=XA = 0 YA = (2*02) - (8*0) + 12 = 12
(0,618)N = 0,001 N = 14,3 ≈ 15
XP=XA + (1 – L) * (XB – XA) = 0 + ( 1 – 0.618) * (4 – 0) =1,53 YP = (2 * 1,5322) – (8*1,53) +12 = 4,44 XQ=XA + L*(XB – XA) = 0 + 0.618*(4 – 0) = 2,472 YQ= (2*2,4722) – (8*2,472) + 12 = 4,45 XPNEW=1,53 + (1 – L)*(2,472 – 1,53) = 1,8898 YPNEW=( 2*1,88982) – (8*1,8898) + 12 = 4,02
XQNEW=1,53 + 0,618*(2,472 – 1,53) = 1,915 YPNEW = (2*1,9152) – (8*1,915) +12 = 4,01
DST……
X=XB=4 YB = (2*42 )– (8*4) +12 =12
Silakan Pelajari Contoh Soal
METODE NEWTON
METODE INTERPOLASI KUADRAT
Metode ini menggunakan pendekatan yang sama dengan metode Newton dalam penentuan akar persamaan tak linier, melalui pendefinisian fungsi: g(x) = f’(x) Karena pada kondisi optimum:
f '(x*) = g (x*) = 0 (x* menyatakan nilai x optimum) maka, nilai x* dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut:
xi 1 xi
f ' ( xi ) f " ( xi ) Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut
OPTIMASI BANYAK VARIABEL Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb: y = f(x1, x2, x3, ….., xn) Ingin dicari harga x1, x2, x3, ….., xn yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi).
METODE INTERPOLASI KUADRAT Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0, x1, dan x2) yang mengapit titik optimumnya, maka sebuah parabola dapat difit-kan melalui ketiganya.
Metode ini dapat digunakan untuk melakukan optimasi secara numerik.
Diferensiasikan persamaan yang diperoleh, set hasilnya menjadi sama dengan nol, dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb.:
Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomial orde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekat titik optimumnya.
f ( x0 )( x1 x2 ) f ( x1 )( x2 x0 ) f ( x2 )( x0 x1 ) 2 f ( x0 )( x1 x2 ) 2 f ( x1 )( x2 x0 ) 2 f ( x2 )( x0 x1 ) 2
x3
(Perhatikan gambar di samping…)
2
2
X1
X2
Y
Komentar
METODE HOOKE-JEEVES
1
2
16
36,5
Basis
Prinsip metode Hooke-Jeeves:
2
16
31,5
Sukses
2
18
47,5
Gagal
2
14
19,5
Sukses
(1) Eksplorasi nilai Δxi (2) Mengulangi langkah sukses
Mengulangi langkah sukses 12
8,5
Sukses
Pengelompokan metodenya secara garis besar: (1) non gradient methods, dan (2) gradient methods
4
10
3,5
Sukses
y = (x1 – 4)2 + 0,5.(x2 – 9)2 + 3
5
8
4,5
Gagal
Beberapa metode yang akan dibahas:
Sebagai cek, dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4, x2 = 9, dan harga ymin =3.
5
10
4,5
Gagal
3
10
4,5
Gagal
4
12
7,5
Gagal
4
8
3,5
Gagal
Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1, x2 = 16, serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2.
Hooke Jeeves -2
Eksplorasi dengan Δ x1 = 1, Δ x2 =2
3
Metode Hooke-Jeeves Metode langsung/ random search Metode steepest ascent (ascending)/ descent (descending)
2
Penentuan x3 dilakukan secara iteratif, melalui strategi yang sama dengan metode golden section, hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen.
Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut. Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi:
2
Hasil Perhitungan
Eksplorasi dengan Δ x1 = 1, Δ x2 =2
3
6/15/2015
X1
X2
Y
Hooke Jeeves -4
Komentar
Eksplorasi dengan Δ x1 = 0,2, x2 =0,4 4,2
10
3,54
Gagal
3,8
10
3,54
Gagal
4
10,4
4,96
Gagal
4
9,6
3,18
Sukses
Hooke Jeeves -3
Mengulangi langkah sukses 4
9,2
3,02
Sukses
4
8,8
3,02
Gagal
X1
9,2
3,06
Gagal
3,8
9,2
3,06
Gagal
4
9,6
3,18
Gagal
4
8,8
3,02
Gagal
Y
Komentar
Eksplorasi dengan Δ x1 = 0,04, Δ x2 =0,08
Hasil Perhitungan
Eksplorasi dengan Δx1 = 0,2 ; x2 =0,4 4,2
X2
4,04
9,2
3,021
Gagal
3,96
9,2
3,021
Gagal
4,00
9,28
3,039
Gagal
4,00
9,12
3,007
Sukses
METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH) Sesuai dengan namanya, metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak. Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi, maka kondisi optimumnya akan teramati. tidak efisien…! Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun. Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)
Mengulangi langkah sukses 4,00
9,04
3,0008
Sukses
4,00
8,96
3,0008
Gagal
Silahkan Pelajari Contoh
PENCARIAN TITIK OPTIMUM METODE STEEPEST ASCENT/DESCENT
Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana.
Terminologi:
steepest ascent untuk pencarian maksimum fungsi steepest descent untuk pencarian minimum fungsi
Prinsip pencarian optimum:
Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensional function) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function), berdasarkan gradien arah pencarian.
Sebagai ilustrasi, f(x,y) tinjaulah fungsi 2 variabel f(x,y) yang akan ditentukan titik maksimumnya. (lihat
Secara Numerik: Misal, untuk sebuah fungsi 2 variabel: f(x,y) yang akan dicari titik optimumnya, dengan nilai awal:
gambar di samping)
Berdasarkan nilai awal x = x0 & y = y0, dapat ditentukan nilai gradien (atau arah steepest ascent)-nya, yakni sebesar h0.
Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif).
x = x0 dan y = y0 Pada langkah iterasi pertama, nilai x dan y yang baru dapat ditentukan dengan:
x x0 Berdasarkan h0, nilai maksimum fungsi dapat ditentukan, yakni pada titik “1”. Demikian seterusnya, proses ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh titik optimum sesungguhnya.
f x
h x 0 , y0
and y y0
f y
h x 0 , y0
Contoh Aplikasi:
f f merupakan turunan parsial fungsi f(x,y) and terhadap x dan y x y Dalam hal ini, vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg:
f
f f i j x y
Pada kasus ini, sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan y, f(x,y), ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satu variabel dalam h, g(h).
LOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU
Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xi,yi) menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi. Akan dibangun suatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebut. Ongkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbah berbanding lurus dengan debit pangkat 0,6. Ingin ditentukan posisi (koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutan limbah minimum.
Ongkos transport total:
Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimum. Misal:
Analisis:
H arg a k ( jarak )(debit) 0,6
Misal: Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP, yP) Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya. Demikian seterusnya.
Jarak pabrik (xi,yi) ke lokasi pengolah limbah:
di ( x p xi ) 2 ( y p yi ) 2 Ongkos transport dari pabrik (xi, yi):
Silahkan Pelajari Contoh
Dimisalkan pula: nilai k = 1 Ci k.Qi0,6 ( x p xi ) 2 ( y p yi ) 2
4
6/15/2015
OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIK
(sebuah perbandingan)
Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel: f(x,y) Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori:
f(x,y) mempunyai minimum lokal: jika det(H) > 0 dan f(x,y) mempunyai maksimum lokal: jika det(H) > 0 dan f(x,y) mempunyai titik belok (saddle point): jika det(H) < 0 det(H) merupakan nilai determinan matriks Hessian yang dinyatakan sebagai
5
