Noordhoff Uitgevers bv

er sb v

Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules

Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules Voorkennis

b

V-2a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

V-3a

Hester houdt e 15,00 – 2 3 e 1,85 – 2 3 e 3,29 = e 15,00 – e 3,70 – e 6,58 = e 4,72 over. e 15,00 – 2 3 (e 1,85 + e 3,29) = e 15,00 – 2 3 e 5,14 = e 15,00 – e 10,28 = e 4,72 62 – 32 = 36 – 9 = 27 9 – (52 – 4) = 9 – (25 – 4) = 9 – 21 = –12 103 – 62 = 1000 – 36 = 964 12 – 42 = 12 – 16 = –4 –7 3 –3 + 18 = 21 + 18 = 39 82 – 6 3 7 = 64 – 42 = 22 (5 – 2)2 3 (2 + 3) = 32 3 5 = 9 3 5 = 45 (9 – 13) 3 –2 = –4 3 –2 = 8 –2 3 (–5)2 = –2 3 25 = –50 –5 3 (6 – 32) = –5 3 (6 – 9) = –5 3 –3 = 15 p q

–4 7

–3 5

–2 3

–1 1

0 –1

q 10 8 6 4

q = 4 – 2p

ev

Ui tg

V-1a

1 –3

2 –5

3 –7

4 –9

2 –4

–3

–2

–1 O –2

1

2

3

–4 –6 –8

q = –2p – 1

b

p q

–4 12

–3 10

4

5

dh

–10

p

off

–5

–2 8

–1 6

0 4

1 2

2 0

3 –2

4 –4

Zie de tekening hierboven.

b

c

©

No

Invullen van a = 2 geeft b = 3 3 22 = 3 3 4 = 12. Invullen van a = 4 geeft b = 3 3 42 = 3 3 16 = 48, invullen van a = 7 geeft b = 3 3 72 = 3 3 49 = 147 en invullen van a = 12 geeft b = 3 3 122 = 3 3 144 = 432. Invullen van k = 10 in de eerste formule geeft m = 102 + 2 3 10 = 100 + 20 = 120. Invullen van k = 10 in de tweede formule geeft m = 3 3 102 = 3 3 100 = 300. De uitkomsten zijn niet hetzelfde, dus de formules zijn niet hetzelfde.

or

V-4a

Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo

0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 121

© Noordhoff Uitgevers bv

⁄ 121 11-04-2008 11:32:49

c

d

e

V-6a

b

c

V-7a

b

c

d

e

f

V-8a

b

c

b = 9a t = 13s kan niet korter r = 10s2 kan niet korter

f k = 5l + m

q = 5p + 15 s = 21 + 3t r = 10v + 35

d a = 6b + 2b2

g p = 16w2 – 6 h s = 5t – 4

y = x2 + 4x – 4 j r = 2p2 – 5p i

e w = 5z + z2 f y = 4x + x2

r = 2s2 + 4s + 6s + 12 r = 2s2 + 10s + 12 k = 3p2 + 15p + 2p + 10 k = 3p2 + 17p + 10 y = 6x2 + 12x + 3x + 6 y = 6x2 + 15x + 6 b = 2c2 + 35c + 2,4c + 42 b = 2c2 + 37,4c + 42 h = 15j + 35 + 3j2 + 7j h = 3j2 + 22j + 35 a = 6b + 24b2 + 3,5 + 14b a = 24b2 + 20b + 3,5

ev

b

Ui tg

De formule y = 2x2 – 1 is een kwadratische formule. Invullen van x = 3 geeft y = 2 3 32 –1 = 2 3 9 – 1 = 18 – 1 = 17. x y

–3 17

–2 7

off

V-5a

er sb v


–1 1

0 –1

1 1

2 7

3 17

1a

nummer n aantal driehoeken a

dh

5-1 Kwadratische formules 1

2

3

4

1

4

9

16

b

c

+7

In de toenamen komt steeds 2 meer bij.

No

+5

or

+3

n=5

d

e

©

Er zitten 25 driehoeken in deze figuur. Het aantal driehoeken neemt met 25 – 16 = 9 toe. Dat is weer 2 meer dan 7. Dus het klopt. Bij deze rij figuren hoort de formule a = n2 . In de 27e figuur zitten 272 = 729 driehoeken.

⁄ 122




11-04-2008 11:32:51

2a

b

3a

b

Invullen van n = 1 geeft g = 12 × 12 + 12 × 1 = 1 , invullen van n = 2 geeft g = 12 × 2 2 + 12 × 2 = 3 , invullen van n = 3 geeft g = 12 × 32 + 12 × 3 = 6 , invullen van n = 4 geeft g = 12 × 4 2 + 12 × 4 = 10 en dat klopt. Invullen van n = 1 geeft b = 12 × 12 − 12 × 1 = 0 , invullen van n = 2 geeft b = 12 × 2 2 − 12 × 2 = 1 , invullen van n = 3 geeft b = 12 × 32 − 12 × 3 = 3 , invullen van n = 4 geeft b = 12 × 4 2 − 12 × 4 = 6 en dat klopt. Voor het aantal driehoeken geldt a = g + b . Invullen van g = 12 n2 + 12 n en b = 12 n2 − 12 n geeft a = 12 n2 + 12 n + 12 n2 − 12 n dus a = n2 en dat klopt. Invullen van x = −1 geeft y = ( −1)2 = −1 × −1 = 1 . x y

–3 9

–2 4

c

–1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

y 8 6

y=x2

4 2 –5

–4

–3

–2

–1 O –2

1

2

3

4

5

x

y=x –4 2

–4 –6

d

x y

e

Zie de tekening hierboven. De coördinaten van het laagste punt van de grafiek van y = x 2 − 4 zijn (0, –4).

4a

b

–1 –3

0 –4

1 –3

2 0

3 5

Invullen van x = −1 geeft y = −( −1)2 = − − 1 × −1 = −1 . x y

–3 –9

–2 –4

–1 –1

y

c

4 2 –5

–4

–3

–2

–1 O –2

1 –1

2 –4

3 –9

2 –3

3 –8

y = –x 2 + 1 1

2

3

4

5

or

–4

0 0

dh

–2 0

off

–3 5

Ui tg

10

ev

er sb v


x

–6

y = –x 2

–8

–10

d

e

–3 –8

–2 –3

–1 0

0 1

1 0

Zie de tekening hierboven. De y-as of de lijn x = 0 is in beide gevallen de symmetrieas.

©

x y

No




⁄ 123 11-04-2008 11:32:59

5a

b

c

d

e

Bij een stapgrootte van bijvoorbeeld 1 zou het assenstelsel veel te hoog worden. De coördinaten van de top zijn (0, 0). x y

–3 13

–2 3

–1 –3

0 –5

1 –3

2 3

3 13

Het kwadraat van een getal en het kwadraat van het tegengestelde getal zijn altijd gelijk, bijvoorbeeld 32 = ( −3)2 = 9 . y

40 35

ev

30 25

y = 2x 2

20 15 10

–5

6a

–1 O –5

–2

1

2

3

4

5

x

De coördinaten van de top zijn (0, –5). 200

s in meters

f

–3

–4

180 160 140 120

Ui tg

y = 2x 2 – 5

5

er sb v


off

100 80 60 40 20 0

1

0

2

3

5

4

6

7

b

c

dh

t in seconden

Je krijgt een ‘halve’ parabool omdat je voor de tijd geen negatieve getallen kunt invullen. Bij de tabel hoort de formule s = 5t 2 .

7a/b

y

or

10 8 6 4 2

No

y=8–x2

–5

–4

–3

–2

–1 O –2

1

2

3

4

5

x

–4

–6 –8

y = 9 – 2x 2

©

–10

⁄ 124




11-04-2008 11:33:2

5-2 Haakjes wegwerken met negatieve getallen

9a

A = 2 x 2 + 3x r = t (t + 9 )

b

t

3 t

t2

6 6a

w = 0, 5(0, 4t + 3)

f

+2a +2a2

c

y = 3 x(5 x + 2)

5x 15x2

3 3x

g

+2 +6x

3

1 k2 2

1 4

1 k2 8

d

h

+4q

18m

–4 8

2

1 2

+t +t2

q = 3t + t 2 –3 3

–2 0

–1 –1

y

b/c

24 22 20

0 0

1 3

2 8

3 15

off

x y

+1

+ 1m

3 3t

10a

9m2

q = t (3 + t ) 3 t

b = 45 + 30q

4

h = 9m + m

45 +30q

2

+1 1

1 4

2

6

71

2

1m 2

b = 7 12 (6 + 4q) 3

+5

a = k +1 h = m(18 m + 1) 1 8 1 2

3

y = 15 x 2 + 6 x

+3 +1,5

w = 0, 2t + 1, 5 a = 14 ( 12 k 2 + 5)

h = 6a + 2a2

0,4t 0,2t

3 0,5

r = t 2 + 9t h = a(6 + 2 a) 3 a

e

+9 +9t

ev

8

Ui tg

er sb v


4 24

y = x (x + 2)

18

dh

16 14

12 10 8

or

6

4

2

–6 –5

d

e

f

11a

1

2

3

4

x

p = −5(b + 3) b –5b

+3 –15

p = −5b − 15 p = −5(b − 3)

© b

–1 O –2

De coördinaten van de top van de parabool zijn (–1, –1). Het is een dalparabool. De snijpunten van de grafiek met de horizontale as zijn (–2, 0) en (0, 0).

3 –5

–3 –2

No

–4

3 –5

b –5b

–3 +15




⁄ 125 11-04-2008 11:33:9

c

er sb v


p = −5b + 15 k = −1(4 m − 7) 3 –1

4m –4m

–7 +7

k = −4 m + 7 v = −1(8 + w) 3 –1

8 –8

+w –1w

b

c

d

e

13a

De oppervlakte van de boomgaard is 70 3 50 = 3500 m2. De oppervlakte van het weiland zonder weg is 120 × (60 − b) m2. Voor de overblijvende oppervlakte A in m2 geldt dan A = 3500 + 120 × (60 − b) . Je moet eerst vermenigvuldigen en dan pas optellen. 60 7200

3 120

–b –120b

A = 3500 + 7200 − 120b A = 10 700 − 120b Invullen van b = 6 in de formule van Ruben geeft A = 3500 + 120 × (60 − 6) = 3500 + 120 × 54 = 3500 + 6480 = 9980 . Invullen van b = 6 in de formule van opdracht d geeft A = 10 700 − 120 × 6 = 10 700 − 720 = 9980 . Ja, je krijgt dezelfde uitkomst. h = −2(t − 5) 3 –2

t –2t

–5 +10

y = −3( −3 x + 4) 3 –3

–3x 9x

c

k = − (t − 6 ) 3 –1

d

t –t

3

−2 1 2

g

–6 +6

k = −t + 6 j = 5a − (5a − 5) 5a –5a

h

–5 +5

j = 5a − 5a + 5 j=5

+6 +12r

4q

–10q

+3 −7 1 2

p = −10q − 7 12 h = 8 − 2 x( −3 x + 4)

3 –2x

No

3 –1

r 2r2

b = 14 r + 2 r 2 + 12 r b = 2 r 2 + 26 r p = −2 12 (4q + 3)

or

f

+4 –12

y = 9 x − 12

b = 14 r + 2 r(r + 6)

dh

b

e

3 2r

h = −2t + 10

Ui tg

12a

off

ev

v = −8 − 1w

–3x 6x2

+4 –8x

h = 8 + 6 x2 − 8 x y = 2 + 13 (6t − 12)

3

6t

–12

1 3

2t

–4

y = 2 + 2t − 4 y = 2t − 2

©

⁄ 126




11-04-2008 11:33:18

b = 4 f (3 f − 7) + 16 3f 12f2

3 4f

e

–7 –28f

b = 12 f 2 − 28 f + 16

b

p = 13m + 2(5 m2 + 3) 5m2

3 2

10m2

f

+3 +6

c

g = −5(3 − p) + 6 p 3 –15

3 –5

d

g

–p +5p

7k

−1 2

−3 1 k 2

h

–10

3p +5 6p2 +10p

k = 2 p + 6 p2 + 10 p k = 6 p2 + 12 p t = 3a 2 + 2 a 2 (a − 1) a 2a3

a = 11 − 3 k + 5 a = 16 − 3 k De formule is niet kwadratisch.

b3 –2b4

+b –2b2

u = −2b4 − 2b2 − 5b2 u = −2b4 − 7b2 De formule is niet kwadratisch.

off

1 2 1 2

–1 –2a2

t = 3a 2 + 2 a 3 − 2 a 2 t = 2a3 + a2 De formule is niet kwadratisch. u = −2b(b3 + b) − 5b2 3 –2b

+5

+3 +6

w = 10 m − 10 m + 6 w=6 De formule is niet kwadratisch. k = 2 p + 2 p(3 p + 5)

3 2a2

g = −15 + 5 p + 6 p g = −15 + 11 p De formule is niet kwadratisch. a = 11 − 12 ( 7k − 10) 3

–5m –10m

3 2p

p = 13m + 10 m2 + 6

w = 10 m + 2( −5 m + 3) 3 2

ev

14a

Ui tg

er sb v


5-3 Formules met dubbele haakjes 15a

b

16a

x

x2

2

2x

3

c

14

–2

p

+6

p2

+6p

–2p

–12

No

b

Samennemen van 6p en –2p geeft 4p. h = p2 + 4 p − 12

©

7x

A = x 2 + 2 x + 7 x + 14 A = x 2 + 9 x + 14

p

7

dh

x

or




⁄ 127 11-04-2008 11:33:26

y = ( x + 5)( x + 2) 3

x

x

x2 +5x

+5

b

t t2

+2 1

+2 1 t

2

c

2

e

+2x

–3t

–3t

f

+4 +4t

3

c

–1

c

c2

–c

–2c

+2

–2

+10

s = c 2 − 3c + 2

g

p = (2q + 3)(q − 5)

n

+4

3

n

n2

+4n

2q

–2n

–8

+3

a = n + 2n − 8 m = (e − 3)(8 − e)

h

19a

8

–e

e

8e

–e2

4m

–3

–24

+3e

+5

3

y = (2 x + 5)( x 2 + 8) 3

x2

+8

2x

2x3

+16x

+5x2

+40

d

y = 2 x + 5 x 2 + 16 x + 40 De formule is niet kwadratisch.

+3

x2

x4

+3x2

e

or

3

x2 –3x2

–9

y= x −9 De formule is niet kwadratisch. 4

y = (2 x 3 + 4)( x − 4)

No

c

–5

16m2

–20m

+20m

–25

x

–4

2x3

2x4

–8x3

+4

+4x

–16

3

©

y = 2 x 4 − 8 x 3 + 4 x − 16 De formule is niet kwadratisch.

⁄

128 Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo


y = 3 x 2 + ( x + 8)( − x + 4)

3

–x

+4

x

–x2

+4x

+8

–8x

+32

y = 3 x 2 − x 2 − 4 x + 32 y = 2 x 2 − 4 x + 32 De formule is kwadratisch. y = x 2 + ( x + 3)(2 x − 6)

dh

y = ( x 2 − 3)( x 2 + 3)

–3

4m

l = 16 m2 − 25

3

b

–15

Voor figuur 1 geldt A = x( x − 3) en A = x 2 − 3 x . Voor figuur 2 geldt A = ( x − 3)( x − 3) en A = x 2 − 6 x + 9 .

+5

+3q

off

–5 –10q

p = 2q − 7q − 15 l = (4 m + 5)(4 m − 5)

18

q 2q2 2

m = −e 2 + 11e − 24

+6t2

q = 6t 2 − 19, 4t + 8, 2 s = (c − 2)(c − 1)

3

3

–2t

+10

2

d

1

8,2 –16,4t

k = t 2 + 6 12 t + 10 a = ( n − 2)( n + 4)

–2

q = (8, 2 − 3t )(1 − 2t ) 3 8,2

y = x 2 + 7 x + 10 k = (t + 2 12 )(t + 4) 3 t

+2

ev

17a

Ui tg

er sb v


f

3

2x

–6

x

2x2

–6x

+3

+6x

–18

y = x 2 + 2 x 2 − 18 y = 3 x 2 − 18 De formule is kwadratisch. y = (2 x + 2)( x − 6) + 3 x( x + 4) 3

x

–6

2x

2x2

–12x

+2

+2x

–12

3 3x

2x 6x2

+4 +12x

y = 2 x 2 − 10 x − 12 + 6 x 2 + 12 x y = 8 x 2 + 2 x − 12 De formule is kwadratisch. © Noordhoff Uitgevers bv

11-04-2008 11:33:36

20a

x y

–5 –7

–4 0

–3 5

b/c

–2 8

–1 9

0 8

1 5

2 0

er sb v


3 –7

y 10

y = ( x + 4 )( 2 – x )

8 6 4 2

–5

–3

–4

–2

–1 O –2

1

2

3

4

x

ev

–6

–4 –6 –8

e

f

g

21a

De coördinaten van de top zijn (–1, 9). De coördinaten van de snijpunten met de horizontale as zijn (–4, 0) en (2, 0). Invullen van x = 4 in de formule geeft y = (4 + 4)(2 − 4) = 8 × −2 = −16 . Het punt met x = 4 ligt 5 rechts van de symmetrieas, dus het ander punt ligt 5 links van de symmetrieas en dat is bij x = −1 − 5 = −6 . Het andere punt is (–6, –16). x

–3

–2

–1

y = (x + 1)(x − 1)

8

3

0

y = x2

9

4

1

10 y=x2

8 6 4

e

f

0

1

4

9

–4

–3

–2

–1 O –2

1

2

3

4

5

x

Er zijn twee dalparabolen getekend. Dat had je aan de formule kunnen zien omdat daarin een positief getal voor de x2 staat. De coördinaten van de snijpunten van de grafiek bij de formule y = ( x + 1)( x − 1) met de horizontale as zijn (–1, 0) en (1, 0). De coördinaten van het snijpunt van de grafiek bij de formule y = x 2 met de horizontale as zijn (0, 0). y = x2 − 1 Je moet de grafiek bij de formule y = ( x + 1)( x − 1) één naar boven verschuiven om de grafiek bij de formule y = x 2 te krijgen.

or

3

8

©

No

d

2

3

dh

–5

1

0

y = ( x + 1 )( x – 1)

2

c

0

–1

y

b

Ui tg

d

off




⁄ 129 11-04-2008 11:33:40

22a

p

–3

q = (2 − p )(p + 2) q = 1 − p2

–2

–1

0

1

2

3

–5

0

3

4

–8

–3

0

1

3

0

–5

0

–3

–8

q 6

b q = (2 – p)(p + 2)

4 2

–4

–3

–2

–1 O –2

1

2

3

4

5

p

ev

–5

–4 –6 –8

q=1–p2

–10

d

e

f

23a

b

c

Ui tg

Er zijn twee bergparabolen getekend. Dat had je aan de formule kunnen zien omdat daarin een negatief getal voor de x2 staat. De coördinaten van de snijpunten van de grafiek bij de formule q = (2 − p)( p + 2) met de horizontale as zijn (–2, 0) en (2, 0). De coördinaten van de snijpunten van de grafiek bij de formule q = 1 − p2 met de horizontale as zijn (–1, 0) en (1, 0). q = 4 − p2 Je moet de grafiek bij de formule q = (2 − p)( p + 2) drie naar beneden verschuiven om de grafiek bij de formule q = 1 − p2 te krijgen. Invullen van x = −2 geeft y = ( −2)2 + −2 × (0, 5 − −2) = 4 − 2 × 2, 5 = 4 − 5 = −1 . Invullen van x = −1 geeft y = ( −1)2 + −1 × (0, 5 − −1) = 1 − 1 × 1, 5 = 1 − 1, 5 = −0, 5 . Invullen van x = 0 geeft y = 0 2 + 0 × (0, 5 − 0) = 0 − 0 × 0, 5 = 0 − 0 = 0 . Invullen van x = 1 geeft y = 12 + 1 × (0, 5 − 1) = 1 + 1 × −0, 5 = 1 − 0, 5 = 0, 5 . Invullen van x = 2 geeft y = 2 2 + 2 × (0, 5 − 2) = 4 + 2 × −1, 5 = 4 − 3 = 1 . De grafiek kan bij de formule horen. Sacha, kijk eens wat beter naar de formule en werk de haakjes weg. De formule zonder haakjes schrijven geeft y = x 2 + 0, 5 x − x 2 oftewel y = 0, 5 x en de grafiek daarbij is een rechte lijn.

off

c

dh

er sb v


24a

b

Invullen van r = 3 geeft A = 6 × 32 = 6 × 9 = 54 . Dan moet gelden r 2 = 4 . En dan is r = 2 .

©

No

or

5-4 Kwadratische vergelijkingen

⁄ 130




11-04-2008 11:33:47

25a

x y

–3 10

–2 5

b

–1 2

0 1

1 2

2 5

er sb v


3 10

y 12 10 8 y=x2+1

6 4

–5

d

e

f

26a

b

c

27a

–2

O

–1

1

2

3

s 8

4

–4

–3

2 –2

–1 O –2 –4 –6

28a

b

c

d

e

4

5

p

or

3

Dan moet gelden x 2 = 49 . De vergelijking x 2 − 1 = 48 heeft de twee oplossingen x = −7 en x = 7 . Dan moet gelden x 2 = 6 . De tweede oplossing is x = − 6 . 2 Invullen van x = 6 geeft 6 − 1 = 6 − 1 = 5 en dat klopt. Invullen van x = − 6 geeft ( − 6 )2 − 1 = 6 − 1 = 5 en dat klopt.

No

d

2

De vergelijking p2 − 4 = 5 heeft twee oplossingen. De vergelijking p2 − 4 = −3 heeft twee oplossingen. De vergelijking p2 − 4 = −5 heeft geen oplossingen.

©

c

1

dh

–5

x

x2 − 1 = 3 x2 = 4 x = −2 of x = 2 x 2 − 1 = −1 x2 = 0 x=0 De horizontale lijn door y = −2 heeft geen snijpunten met de grafiek, want het laagste punt van de grafiek is (0, –1), dus de vergelijking x 2 − 1 = −2 heeft geen oplossingen.

s = p2 – 2

b

5

Bij y = 5 horen x = −2 en x = 2 . Bij y = 10 horen x = −3 en x = 3 . Bij y = 1 hoort één waarde van x, namelijk x = 0 . Bij y = 0 hoort geen waarde van x, want de kleinste waarde hoort bij y = 1 .

6

4

Ui tg

c

–3

off

–4

ev

2




⁄ 131 11-04-2008 11:33:56

d

e

f

g

h

i

j

ev

c

Ui tg

off

b

dh

x 2 = 16 x = 4 of x = −4 Invullen geeft 4 2 = 16 en ( −4)2 = 16 en dat klopt. p2 + 1 = 10 p2 = 9 p = 3 of p = −3 Invullen geeft 32 + 1 = 9 + 1 = 10 en ( −3)2 + 1 = 9 + 1 = 10 en dat klopt. a2 − 1 = 3 a2 = 4 a = 2 of a = −2 Invullen geeft 2 2 − 1 = 4 − 1 = 3 en ( −2)2 − 1 = 4 − 1 = 3 en dat klopt. x2 + 5 = 7 x2 = 2 x = 2 of x = − 2 2 Invullen geeft 2 + 5 = 2 + 5 = 7 en ( − 2 )2 + 5 = 2 + 5 = 7 en dat klopt. 50 − 2 y2 = 0 2 y2 = 50 y2 = 25 y = 5 of y = −5 Invullen geeft 50 − 2 × 52 = 50 − 2 × 25 = 0 en 50 − 2 × ( −5)2 = 50 − 2 × 25 = 0 en dat klopt. 1 − y2 = −15 y2 = 16 y = 4 of y = −4 Invullen geeft 1 − 4 2 = 1 − 16 = −15 en 1 − ( −4)2 = 1 − 16 = −15 en dat klopt. 20 + x 2 = 23 x2 = 3 x = 3 of x = − 3 2 Invullen geeft 20 + 3 = 20 + 3 = 23 en 20 + ( − 3 )2 = 20 + 3 = 23 en dat klopt. 5 + x2 = 3 x 2 = −2 Dit kan niet. De vergelijking heeft geen oplossing. ( x + 1)2 = 25 x + 1 = 5 of x + 1 = −5 x = 4 of x = −6 Invullen geeft (4 + 1)2 = 52 = 25 en ( −6 + 1)2 = ( −5)2 = 25 en dat klopt. 8 − 2 k 2 = −10 2 k 2 = 18 k2 = 9 k = 3 of k = −3 Invullen geeft 8 − 2 × 32 = 8 − 2 × 9 = −10 en 8 − 2 × ( −3)2 = 8 − 2 × 9 = −10 en dat klopt.

or

29a

©

No

er sb v


⁄ 132




11-04-2008 11:34:10

l

30a

( x − 3)( x + 3) = 16 x 2 − 9 = 16 x 2 = 25 x = 5 of x = −5 Invullen geeft (5 − 3)(5 + 3) = 2 × 8 = 16 en ( −5 − 3)( −5 + 3) = −8 × −2 = 16 en dat klopt. (2 x − 1)2 = 36 2 x − 1 = 6 of 2 x − 1 = −6 2 x = 7 of 2 x = −5 x = 3 12 of x = −2 12 Invullen geeft (2 × 3 12 − 1)2 = ( 7 − 1)2 = 6 2 = 36 en (2 × −2 12 − 1)2 = ( −5 − 1)2 = ( −6)2 = 36 en dat klopt. 6 4

y y = 4 – 2x 2

2 –2

–1

O –2

ev

k

y=2 1

2

–4 –6

c

d

Zie de tekening hierboven. De coördinaten van de snijpunten van de twee grafieken zijn (–1, 2) en (1, 2). 4 − 2 x2 = 2 2 x2 = 2 x2 = 1 x = 1 of x = −1 De antwoorden kloppen met het antwoord bij opdracht b. Het hoogste punt van de grafiek bij de formule y = 4 − 2 x 2 is het punt (0, 4). De vergelijking 4 − 2 x 2 = a heeft geen oplossingen als a groter dan 4 is.

off

b

©

No

or

dh

x

Ui tg

er sb v





⁄ 133 11-04-2008 11:34:17

er sb v


5-5 Gemengde opdrachten 31a

b

c

90 − 2 12 a 2 = 0 2 12 a 2 = 90 a 2 = 36 a = 6 (of a = −6 ) Na 6 dagen zit er geen vitamine C meer in het pak. a

0

p

90

1

2

87 1

3

2

4

67 1

80

50

2

5 27 1

ev

2

p 100 90

70

Ui tg

80 p = 90 – 2 1–2 a 2

60 50 40 30 20 10 0

d

32a

1

2

3

4

5

6

7

x = −(6q − 7)

6q –6q

–7 +7

–14 14d

3 –d

v = 14d + 2d c

g

5q –2q4 2 45q –18q5

m = 45q 2 − 18q 5 d

b = 17 − 17( y + 1)

No

3 –17

y –17y

4 12e

+1 –17

b = 17 − 17 y − 17 b = −17 y

h

–2e –6e2

m = 5e + 12e − 6e 2 m = 17e − 6e 2 k = ( h3 − 4)(4 h + 1)

3

4h

+1

h3

4h4

+h3

–16h

–4

–4

m = 9q(5q − 2q 4 ) 3 9q

f

or

–2d +2d2

2

m = 5e + 3e(4 − 2e)

dh

v = −d( −14 − 2d)

e

3 3e

x = −6q + 7 b

a

De grafiek snijdt de horizontale as in het punt (6, 0) en dat klopt.

3 –1

8

off

0

k = 4 h + h − 16 h − 4 k = 2d(5d 2 − 1) + 7d

3 2d

4

3

5d2 10d3

–1 –2d

k = 10d 3 − 2d + 7d k = 10d 3 + 5d p = −8u 2 + (4u + 5)(2u − 5) 3

2u

–5

4u

8u2

–20u

+5

+10u

–25

p = −8u 2 + 8u 2 − 10u − 25 p = −10u − 25

©

33a

⁄ 134

a = ( x + 2)( x + 2)




11-04-2008 11:34:25

3

x

+2

x

x2

+2x

+2x

+4

+2

er sb v


a = x + 4x + 4 b = ( x − 3)2 2

3

x

–3

x

x2

–3x

–3x

+9

–3

b = x − 6x + 9 c = ( x + 4)( x − 4) 3

x

–4

x

x2

–4x

+4x

–16

+4

ev

2

c = x − 16 d = ( x − 11)( x + 11) 3

x

x

x2

+11x

–11x

–121

–11

Ui tg

2

+11

d = x 2 − 121

b

c

De formules c = ( x + 4)( x − 4) en d = ( x − 11)( x + 11) kun je als een tweeterm schrijven. p = (a + 3)(a − 3) 3

a

–3

a

a2

–3a

+3a

–9

+3

3

a

+15

a

a2

+15a

+15a +225

q = a 2 + 30 a + 225 r = (a − 112)2

dh

+15

off

p = a2 − 9 q = (a + 15)(a + 15)

3

a

–112

a

a2

–112a

–112a

+12 544

–112

3 a –11,2

+11,2

+11,2a

–11,2a

–125,44

No

d

a

a2

s = a 2 − 125, 44 De formules p = (a + 3)(a − 3) en s = (a − 11, 2)(a + 11, 2) kun je als een tweeterm schrijven. De overeenkomst van alle vier moet zijn y = ( x + getal )( x − getal ) .

©

or

r = a − 224 a + 12 544 s = (a − 11, 2)(a + 11, 2) 2




⁄ 135 11-04-2008 11:34:30

y = (2 x + 5)(2 x − 5) 3

2x

2x

4x2

–10x

+5

+10x

–25

d

–5

y = 4 x 2 − 25

b

y = ( x 2 + 5)( x 2 + 3)

e

2x

x

2x2

–5x

+2

+4x

–10

y = x 2 + 2 x 2 − x − 10 y = 3 x 2 − x − 10 y = ( x 3 + 4)(2 x − 7)

+3

3

2x

–7

x2

x4

+3x2

x3

2x4

–7x3

+5x2

+15

+4

+8x

–28

y = x + 8 x 2 + 15 y = ( x 2 − 7)( x 4 − 7)

f

y = 2 x 4 − 7 x 3 + 8 x − 28 y = ( x − 10)(2 x + 20) − 6 x

3

x4

–7

3

2x

x2

x6

–7x2

x

2x2

+20x

–7

–7x4

+49

–10

–20x

–200

y = x 6 − 7 x 4 − 7 x 2 + 49

c

d

36a

b

c

d

e

x 2 = 36 x = 6 of x = −6 Invullen geeft 6 2 = 36 en ( −6)2 = 36 en dat klopt. p2 − 1 = 24 p2 = 25 p = 5 of p = −5 Invullen geeft 52 − 1 = 25 − 1 = 24 en ( −5)2 − 1 = 25 − 1 = 24 en dat klopt. 3 − c2 = 5 c 2 = −2 Dit kan niet. De vergelijking heeft geen oplossing. ( x + 1)2 + 5 = 21 ( x + 1)2 = 16 x + 1 = 4 of x + 1 = −4 x = 3 of x = −5 Invullen geeft (3 + 1)2 + 5 = 4 2 + 5 = 16 + 5 = 21 en ( −5 + 1)2 + 5 = ( −4)2 + 5 = 16 + 5 = 21 en dat klopt. 48 − 3e 2 = 0 3e 2 = 48 e 2 = 16 e = 4 of e = −4 Invullen geeft 48 − 3 × 4 2 = 48 − 3 × 16 = 0 en 48 − 3 × ( −4)2 = 48 − 3 × 16 = 0 en dat klopt.

off

dh

b

or

99 × 101 = (100 − 1)(100 + 1) = 100 2 − 12 = 10 000 − 1 = 9999 33 × 27 = (30 + 3)(30 − 3) = 30 2 − 32 = 900 − 9 = 891 88 × 112 = (100 − 12)(100 + 12) = 100 2 − 12 2 = 10 000 − 144 = 9856 999 × 1001 = (1000 − 1)(1000 + 1) = 1000 2 − 12 = 1000 000 − 1 = 999 999

©

No

35a

+20

y = 2 x 2 − 200 − 6 x

–5

x2

4

c

3

3 +5

y = x 2 + ( x + 2)(2 x − 5)

ev

34a

Ui tg

er sb v


⁄ 136




11-04-2008 11:34:42

h

i

j

k

l

ev

Ui tg

g

off

(2 a + 1)2 = 49 2 a + 1 = 7 of 2 a + 1 = −7 2 a = 6 of 2 a = −8 a = 3 of a = −4 Invullen geeft (2 × 3 + 1)2 = (6 + 1)2 = 72 = 49 en (2 × −4 + 1)2 = ( −8 + 1)2 = ( −7)2 = 49 en dat klopt. 2(1 + x)2 = 18 (1 + x)2 = 9 1 + x = 3 of 1 + x = −3 x = 2 of x = −4 Invullen geeft 2 × (1 + 2)2 = 2 × 32 = 2 × 9 = 18 en 2 × (1 + −4)2 = 2 × ( −3)2 = 2 × 9 = 18 en dat klopt. 1 + g2 = 7 g2 = 6 g = 6 of g = − 6 2 Invullen geeft 1 + 6 = 1 + 6 = 7 en 1 + ( − 6 )2 = 1 + 6 = 7 en dat klopt. ( x + 2)2 = 81 x + 2 = 9 of x + 2 = −9 x = 7 of x = −11 Invullen geeft ( 7 + 2)2 = 9 2 = 81 en ( −11 + 2)2 = ( −9)2 = 81 en dat klopt. 2 k 2 + 3 = 21 2 k 2 = 18 k2 = 9 k = 3 of k = −3 Invullen geeft 2 × 32 + 3 = 2 × 9 + 3 = 18 + 3 = 21 en 2 × ( −3)2 + 3 = 2 × 9 + 3 = 18 + 3 = 21 en dat klopt. 2( x + 3)2 = 50 ( x + 3)2 = 25 x + 3 = 5 of x + 3 = −5 x = 2 of x = −8 Invullen geeft 2 × (2 + 3)2 = 2 × 52 = 2 × 25 = 50 en 2 × ( −8 + 3)2 = 2 × ( −5)2 = 2 × 25 = 50 en dat klopt. 3 + (2 x − 1)2 = 67 (2 x − 1)2 = 64 2 x − 1 = 8 of 2 x − 1 = −8 2 x = 9 of 2 x = −7 x = 4 12 of x = −3 12 Invullen geeft 3 + (2 × 4 12 − 1)2 = 3 + (9 − 1)2 = 3 + 8 2 = 3 + 64 = 67 en 3 + (2 × −3 12 − 1)2 = 3 + ( −7 − 1)2 = 3 + ( −8)2 = 3 + 64 = 67 en dat klopt.

dh

f

©

No

or

er sb v





⁄ 137 11-04-2008 11:34:57

er sb v


y

37a

6 y = 5 – 2x 2

4 y=3

2 –5

–4

–3

–2

–1 O –2

1

2

3

4

5

x

–4 –6 –8

ev

–10 y = –1 – 2x 2 –12 –14

c

d

e

f

Ui tg

5 − 2x = 3 2 x2 = 2 x2 = 1 x = 1 of x = −1 Zie de tekening hierboven. De x-coördinaten van de twee snijpunten zijn x = −1 en x = 1 en dat klopt. De horizontale lijn door y = 7 heeft geen snijpunten met de grafiek, want het hoogste punt van de grafiek is (0, 5), dus de vergelijking 5 − 2 x 2 = 7 heeft geen oplossingen. Zie de tekening hierboven. Het hoogste punt van de grafiek is (0, –1), dus de vergelijking −1 − 2 x 2 = 0 heeft geen oplossingen en de bijbehorende parabool snijdt de x-as nergens. Invullen van x = 2 en y = 2 geeft 2 = a − 2 × 22 2 = a−2×4 2=a−8 a = 10 Voor a = 10 gaat de parabool door het punt (2, 2).

38a/b

5

y

4

a=1

3 2 1

d

e

⁄ 138

–1

O

1

2

x

Invullen van x = 12 en y = 3 geeft 3 = 4 − a × ( 12 )2 3 = 4 − 14 a 1 a=1 4 a=4 Als a een steeds groter getal wordt, dan wordt de vorm van de poorten steeds smaller. Bij a = −2 hoort de formule y = 4 + 2 x 2 en de grafiek daarvan heeft niet de vorm van een poort, maar de vorm van een dalparabool.

No

c

©

a=2

or

–2

off

b

dh

2




11-04-2008 11:35:5

ICT Formules met dubbele haakjes

I-1a

x

7

x

x2

7x

2

2x

14

x+2

c

I-2a

A = x 2 + 2 x + 7 x + 14 A = x 2 + 9 x + 14 a r = 2 s 2 + 5 s + 3 2 b k = 2 n + 9 n + 4 2 c y = 10 x + 9 x + 2 2 d b = v + 4v + 4 2 e h = 4 j + 14 j + 12 2 f d = 12c + 7c + 1 2 g z = 0, 2 y + 10, 6 y + 30 2 h p = 14 q + 4q + 12 3

p

+6

p

p2

+6p

–2p

–12

Ui tg

b

ev

x+7

–2

b

c

Samennemen van 6p en –2p geeft 4p. h = p2 + 4 p − 12

I-3a

b

c

d

e

f

g

h

©

No

or

dh

off

y = x 2 + 7 x + 10 k = t 2 + 6 12 t + 10 a = n2 + 2 n − 8 m = −e 2 + 11e − 24 q = 6t 2 − 19, 4t + 8, 2 s = c 2 − 3c + 2 p = 2q 2 − 7q − 15 l = 16 m2 − 25

er sb v





⁄ 139 11-04-2008 11:35:12

y = (2 x + 5)( x 2 + 8) 3

x2

+8

2x

2x3

+16x

+5

+5x2

+40

d

y = 2 x 3 + 5 x 2 + 16 x + 40 De formule is niet kwadratisch.

b

y = ( x 2 − 3)( x 2 + 3) 3

x2

+3

x2

x4

+3x2

–3

–3x2

–9

e

y = x4 − 9 De formule is niet kwadratisch.

c

y = (2 x 3 + 4)( x − 4)

f

y = 3 x 2 + ( x + 8)( − x + 4) 3

–x

x

–x2

+4x

+8

–8x

+32

y = 3 x 2 − x 2 − 4 x + 32 y = 2 x 2 − 4 x + 32 De formule is kwadratisch. y = x 2 + ( x + 3)(2 x − 6) 3

2x

x

2x2

–6x

+3

+6x

–18

x

–4

3

2x4

–8x3

2x

+4

+4x

–16

+2

y = 2 x 4 − 8 x 3 + 4 x − 16 De formule is niet kwadratisch.

–6

y = x 2 + 2 x 2 − 18 y = 3 x 2 − 18 De formule is kwadratisch. y = (2 x + 2)( x − 6) + 3 x(2 x + 4)

2x3

3

+4

ev

I-4a

3 3x

Ui tg

er sb v


x

–6

2x2

–12x

+2x

–12

2x

+4

6x2

+12x

b

c

d

e

f

I-6a

b

c

d

dh

De lijn x = 1 is de symmetrieas van de grafiek. De coördinaten van de top zijn (1, 1). De coördinaten van de snijpunten met de horizontale as zijn (0, 0) en (2, 0). y = − x2 + 2 x Ja, de twee grafieken vallen samen. Je krijgt twee dalparabolen in beeld. De coördinaten van de snijpunten van de grafiek bij de formule y = ( x + 1)( x − 1) met de horizontale as zijn (–1, 0) en (1, 0). De coördinaten van het snijpunt van de grafiek bij de formule y = x 2 met de horizontale as zijn (0, 0). y = x 2 − 1 Ja, de grafiek bij deze korte formule valt samen met de grafiek bij de formule y = ( x + 1)( x − 1) . Je moet de grafiek bij de formule y = ( x + 1)( x − 1) één naar boven verschuiven om de grafiek bij de formule y = x 2 te krijgen.

or

I-5a

©

No

off

y = 2 x 2 − 10 x − 12 + 6 x 2 + 12 x y = 8 x 2 + 2 x − 12 De formule is kwadratisch.

⁄ 140




11-04-2008 11:35:18

b

c

d

I-8a

b

c

d

I-9a

b

c

ev

Bij de bovenste parabool hoort de formule q = (2 − p)( p + 2) en bij de onderste parabool hoort de formule q = 1 − p2 . De coördinaten van de snijpunten van de grafiek bij de formule q = (2 − p)( p + 2) met de horizontale as zijn (–2, 0) en (2, 0). De coördinaten van de snijpunten van de grafiek bij de formule q = 1 − p2 met de horizontale as zijn (–1, 0) en (1, 0). q = 4 − p2 Je moet de grafiek bij de formule q = (2 − p)( p + 2) drie naar beneden verschuiven om de grafiek bij de formule q = 1 − p2 te krijgen. Om de grafieken samen te laten vallen moet op de stippen dus het getal –3 staan. Bij de grafiek op je scherm hoort de formule y = x 2 . Bij deze parabool hoort de formule y = x 2 − 1 . De grafiek snijdt de horizontale as in de punten (–1, 0) en (1, 0) en dat is ook het geval bij de grafiek bij de formule y = ( x − 1)( x + 1) . Verder krijg je als je in de formule y = ( x − 1)( x + 1) de haakjes wegwerkt de formule y = x 2 − 1 . y = x 2 − 4 en y = ( x − 2)( x + 2)

Ui tg

I-7a

Je ziet nu de grafiek bij de formule y = 2 x 2 op je scherm. Bij deze parabool hoort de formule y = 2 x 2 − 2 . 2 x2 − 2 = 0 2 x2 = 2 x2 = 1 x = 1 of x = −1

off

er sb v


Test jezelf T-1a

x y

–4 10

–3 3

–2 –2

–1 –5

10 8 6 4

–5

–4

–3

or

2

–2

–1 O –2

1 –5

2 –2

3 3

4 10

dh

y 12

0 –6

1

2

3

4

5

x

–4

No

–6 –8

b

Een grafiek als die uit opdracht a noem je een dalparabool.

©




⁄ 141 11-04-2008 11:35:25

b

T-3a

t = 4(2w + 1) 2w 8w

3 4

e

+1 +4

r = 13(5 − n) 5 65

3 13

c

3

51 2

+2x

−5 1 2

–2x

–1

k = −9( − a − 6)

y = −5 − 2 x − 4 y = −9 − 2 x h = 4c + 2c(3 + 9c 2 )

–a 9a

1 2 1 2

f = −b(4b + 7)

3 2c

4b –4b2

f = −4b2 − 7b

+7 –7

3 6c

h

+9c2 +18c3

h = 4c + 6c + 18c 3 h = 10c + 18c 3 q = −16e 2 + 3e 2 ( −5e − 8)

3 3e2

–5e –15e3

–8 –24e2

q = −16e 2 − 15e 3 − 24e 2 q = −40e 2 − 15e 3

dh

3 –b

g

–6 +54

k = 9 a + 54 d

p = 5 g + 4 g 2 + 28 g p = 4 g 2 + 33g y = −(5 12 + 2 x) − 4

r = 65 − 13n

3 –9

f

–n –13n

+7 +28g

off

b

g 4g2

3 4g

t = 8w + 4

p = 5 g + 4 g ( g + 7)

ev

1 De coördinaten van de top zijn (0, 3) en het is een dalparabool. 2 De coördinaten van de top zijn (0, 0) en het is dalparabool. 3 De coördinaten van de top zijn (0, 23) en het is dalparabool. 4 De coördinaten van de top zijn (0, 3) en het is bergparabool. 5 De coördinaten van de top zijn (0, 3) en het is bergparabool. 6 De coördinaten van de top zijn (0, 29) en het is bergparabool. Bij formule A hoort parabool 2, bij formule B hoort parabool 3, bij formule C hoort parabool 5, bij formule D hoort parabool 4, bij formule E hoort parabool 1 en bij formule F hoort parabool 6.

Ui tg

T-2a

er sb v


©

No

or

⁄ 142




11-04-2008 11:35:31

q = (r − 1)(r + 10)

3

r

r

r2

+10r

–1

–r

–10

e

+10

q = r + 9 r − 10

x x2

−1

f

–6 –6x

−1x

2

+3

2

n = x − 6 12 x + 3 y = (5 + e)(e − 2) 2

c

+9,8

w = t + 6, 3t + 9, 8 + 4, 2t w = t 2 + 10, 5t + 9, 8 g = (b2 + 4)(6b − 7)

g

3

6b

–7

b2

6b3

–7b2

+4

+24b

–28

g = 6b3 − 7b2 + 24b − 28 d = (3 + 4 a)(2 − 4 a) + 2 a(2 + 8 a)

–2

5

5e

–10

3

+e

+e2

–2e

+4a 3 2a

v = ( h − 8)( h − 8)

h

–8

h

h

h2

–8h

4k2

–8h

+64

–1

v = h − 16 h + 64

–4a

6

–12a

+8a

–16a2

2 4a

+8a +16a2

d = −16 a 2 − 4 a + 6 + 16 a 2 + 4 a d=6 p = (4 k 2 − 1)(k 3 − 4)

3 –8

2

3

y = e 2 + 3e − 10

d

+3,5t

+2,8t

e

3

t 2

n = ( x − 12 )( x − 6) 3 x

+3,5

ev

b

t t2

+2,8

2

w = (t + 2, 8)(t + 3, 5) + 4, 2t 3

Ui tg

T-4a

er sb v


3

k3

–4

4k5

–16k2

–k3

+4

p = 4 k − k − 16 k 2 + 4 5

a 2 − 49 = 0 2 a = 49 a = 7 of a = −7 b e 2 + 3 = 0 e 2 = −3 Dit kan niet. c (2 y + 1)2 = 25 2 y + 1 = 5 of 2 y + 1 = −5 2 y = 4 of 2 y = −6 y = 2 of y = −3

d

e

5 − d2 = 5 d2 = 0 d=0 2 x 2 = 98 x 2 = 49 x = 7 of x = −7 (k − 2)(k + 2) = 12 k 2 − 4 = 12 k 2 = 16 k = 4 of k = −4

dh

T-5a

3

off

2

©

No

or

f




⁄ 143 11-04-2008 11:35:43

T-6a

x y

–4 12

–3 5

–2 0

–1 –3

0 –4

1 –3

2 0

3 5

4 12

y

b

14 12 10 8 6 4

–5

–4

–3

–2

–1 O –2

1

2

3

4

5

ev

2 x

–4 –6

c

d

e

f

g

De verticale as is de symmetrieas. (18, 320) ligt op de grafiek en dus (–18, 320) ook, (20, 396) ligt op de grafiek en dus (–20, 396) ook De coördinaten van de top van de parabool zijn (0, –4). Het is een dalparabool. De coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de x-as zijn (–2, 0) en (2, 0).

Ui tg

b

c

d

3

10

–2z

off

De oppervlakte van het vierkant is 10 3 10 = 100 cm2. Elk van de vier kleine vierkantje heeft oppervlakte z 3 z = z2 cm2. Voor de oppervlakte A in cm2 van deze figuur geldt dan A = 100 − 4 z2 . Bij de lengte van 10 cm komt links en rechts z cm bij. Voor de lengte van die figuur geldt dan l = 10 + 2 z . Voor de breedte geldt de formule b = 10 − 2 z . A = (10 + 2 z)(10 − 2 z)

T-7a

er sb v


100

–20z

+2z

+20z

–4z2

A = 100 − 4 z2 Het blijkt dat de oppervlakte van figuur 4 gelijk is aan de oppervlakte van figuur 1. Dat komt omdat figuur 4 uit figuur 1 ontstaat door te knippen te plakken.

©

No

or

dh

10

⁄ 144




11-04-2008 11:35:45

er sb v


y

T-8a

12 10 8 6 4 2 –5

–4

–3

–2

–1 O –2

1

2

3

4

5

x

ev

–4 –6 –8 –10 –12

c

2 x2 − 7 = 1 2 x2 = 8 x2 = 4 x = 2 of x = −2 De oplossing klopt met de grafiek, want die snijdt de horizontale as in de punten met x = −2 en x = 2 . De horizontale lijn door y = −11 heeft geen snijpunten met de grafiek, want het laagste punt van de grafiek is (0, –7), dus de vergelijking 2 x 2 − 7 = −11 heeft geen oplossingen. Of: Oplossen van de vergelijking 2 x 2 − 7 = −11 geeft 2 x 2 = −4 , dus x 2 = −2 en een kwadraat kan niet gelijk zijn aan een negatief getal.

Ui tg

b

©

No

or

dh

off




⁄ 145 11-04-2008 11:35:49

Noordhoff Uitgevers bv

Recommend Documents