Západočeská univerzita 'V Plzni Institut technologie a spolehlivosti Americká 42, 306 14 Plzeň
:MOT: (531-9.01+531.15/.16):517.2
Doc. Ing. Rudolf BREPTA, DrSc.
TENKÁ VÁLCovÁ SKOŘEPINA KRUHOVÉHO TVARU nonovš RADIÁLNt ZATíŽENÁ RÁZEM - KOREKCE NA NATÁČENí HMOTNÝCH ELEMENTŮ
Číslo zprávy:
126 VP
Číslo kopie: ' vy'.cAWIWčI _ t_ _ .L Druh zpravy:
Grant GAčR číslo 101/93/1195 ZODPOVĚDNÝ ŘEŠITEL: Ing. František VALEŠ, CSc. ŘEDITEL ÚSTAVU: Doc. Ing. Miroslav BAlDA, DrSc.
Plzeň, červenec
1994
ROZDĚLovNÍK
výtisk č, výtisk č. výtisk č, výtisk č.
1 2 3 4
arclůvní
knihovna rrs Doc. Ing. Brepta, DrSc. Ing. Valeš, CSc.
Čislo ~právy: 126 VP Plzeň, červenec
MDT: (531-09.01+531.15/.16):517.2
1994
BREPTA,R. Tenká válcová skořepina kruhového tvaru bodově radiálně zatižena rázem. - Korekce na natáčeni hmotných elementů
Tato výzkumná lpfáva úzce navazuje na výzkumnou zprávu "Tenká válcová skořepina kruhového tvaru bodově radiálně zatížená rázem" , která vycházela u Sandersovy teorie tenkých skořepin. Tato teorie respektovalapouze tři složky p0suvů elementů skořepiny, nikolivjejich natočení. Neposkytovala tedy možnost sledovat pohyb vlnových čel , protože fázové rychlostivln rostou bez omezení s narůstajícím vlnovým číslem. Tento nedostatek má alespoň částečně odstranit teorie respektující natáčeni hmotných elementů skořepiny při pohybu. Teorie tohoto typu je východiskem řešení problému uvedeného v této výzkumné zprávě. Jedná se zde opět o "bodově" radiálně zatíženou skořepinu jako ve zprávě výše citované. Počet s1ran :
27
Počet obrázků:
KUčová
slova:
2
Tenká válcová skořepina Radiální zatížení Vliv natáčení prvků
OBSAH Strana
1. Použité omačení 2. ÍJvod 3. Pohybové rovnice 4. Řešení pohybových rovnic 5. Závěr 6. Použitá literatura 7. Příloha
. . . . . .. .
5 6 8 11 25 26 27
5
1. pouŽITÉ OZNAČENÍ
R, L, h
rozměry válcové skořepiny
z, q>, r
souřadnice
u", u»
Uz,
ve válcové soustavě souřadnic
složkyvektoru posuvu ve válcové soustavě souřadnic
p
hustota materiálu
Cl
rychlost dilatační vlny - rovinná napjatost
a,
ao
rozměry ploft:ys vnějšún
zatížením
jednotková síla vnějšllio zatížení skořepiny t
čas
H(t)
Heavisideova funkce času
E
modul pružnostiv tahu Poissonovo číslo radiální napětí
r"\
".&0
C]
=R
charakteristická frekvence
!f!- obrazy posuvů p
komplexní proměnná !R-- transfonnace
k, n, s
sumační indexy
6 2. ÚVOD
Vnější
"bodové" zatížení (viz obr. 1) nahrazujeme zatížením na elementánú čtvercové plošce o rozměrech 2a a 'lRa.o . Radiální zatfženi je dáno vztahem q r(Z, q>, t) = o ;r(Z, q» •H( t) (1)
kd~je Orr=OOCOS
ll cp) (i'iiO
·COS
(lli'az) 1
q> E (-«o, +a.o) ; Z E (-o, +0) .
Ur L
L
.
--r--
---'''''''Z,uZ
a-R«o
- - - - - - - - - --
It-I--- ~
a
-----.--+-
DBR.1
a,a
1
Rozvoj vyjadřujícl "prostorovou" část tohoto zatížení dvojitou řadou je v Přiloze
této zprávy.
7 Počáteční
i okrajové podmínky
řešení jsou
stejné jako u
řešení
uvedeného ve
zprávě
/1/,
zde jsou uvedeny v kapitole 3.
v
práci .~ ~ji pro zestn1čnění zšpísu symboly [.... II a [.... ll,n . Pak všechny veličiny
v závorce [. ] jsou závislé na možných chyb.
sčítacích
indexech k resp.
~
. Redukuje se 1fm rozsah
8
3. POHYBOVÉ ROVNICE
Integrační podmínky
Počáteční podmínky
Skořepina je v čase t = O v klidu a není defonnovaná, čili U z = Ucp = O, Úcp = O, Ur = O, ů r = O .
O , Ůz = O,
Okrajové podmínky
Pro
z=-L
Pro
z= +L
Ucp= O ur=O Mz=O Nz=O
Ucp= O ur=O Mz=O Nz=O.
Východiskem řešení jsou pohybové rovnice uvedené ve výzkunmé zprávě /2/. Po uži1í
J!- -transfonnace máme:
ci (1 I h2 ) z + -(I-Jl) 2 - ' R2 + 48R2
2 iflfi C3' c3z2
+(I-Jl) • 1J2 • ci 24
ci [(I+Jl) _ R
2
R2
R
(I-Jl) • h2 ] 32 R2
iflliz
• mp2 -
2-
ci [(I+Jl) -2- -
P u, + R'
(I-Jl) 1J2 ]
32R2
iflfilp
Otpaz
ci aur
+ J.1R'a;+
. aJfir = O
(2)
c3zmp2
iflliz 0lpc3z
+
(I-Jl) 2(1 2 C3
+
h2 ) 16 R2
1...
O2lilp
ci (1
az2 + R2
+
.i.. 1J2) 02filp _ 12
R2
0lp2
(3)
(4)
9
t.
Počáteční
i okrajové podmínky jsou stejné jako v práci /1/, budou tedy stejné i tvaty
čili:
kmitání;
- = ulp
U. cos o
Ur = Q cos o
[(2k-l)7t(Z) I ] 2
[(2k;I)7t(f) ]
sin (ncp)
o
o
(5)
cos (ncp)
Dosazením do rovnic (2) až (4) se přesvědčfme, že těmto rovnicim odhadnuté řešení (5) skutečně
vyhowje. Dále toto řešeni splňuje
zavedeme do rovnice (4) vyjádření zatížení
i okrajové podmínky. DaIšim krokem
a"1lp) pomocí řad z vIas1nfch funkcí (viz
Příloha):
(6)
1 Jil 2 aur O +no R'" op ap =
2-
-n U
r:
'" str. 13
r
Jíl 2 a'-fi r 1 Jíl 2 a'-flr +-op o-+-o-op 0-+ 12 az2 12 R'" O!p'-
Při vIas1nim řešení
budou amplitudy Z, U a Q závislé na indexech ~ a ll, viz
(7)
10
I.
ll.
(8)
(9) C3
R=QO'
(10)
11
4. ŘEŠENÍ POHYBOVÝCH ROVNIC Partikulární
řešeni
rovnic (6) až (8) provedeme
výrazu L Řešeni odhadneme ve tvan1
-z U
postupně.
Nejprve yyhovfme
(z) ]
Pt . [(2k-l = [Cz ]1c • srn 2 L
Pt (Z - =[C"h' COS [<2k-1 u" 2 L)]
(11)
Dosazením Z = ±L se přesvědčíme, že toto řešení splňůje všechny okrajové podmínky. Dalším dosazením do pohybových rovnic dostaneme
(12)
2(1 + 163 . Jíl) [(2k-1Pt]2 (1 + 121 . Jíl) 2L -
(1-1.1) { --2- . C3
Rl
Rl
•P
2}
. [C"h = O
(13)
(14)
Z rovnice (13) ihned plyne, že musí být a (14) upravíme zavedenún veličiny
no
[C"h = O pro každé k.
Zbývající rovnice (12)
podle vzorce (10) a převedením na bezrozměrové
veličiny:
(15)
Mll a M 22
.lavedenfm. koeficient6
(16)
daných vzorci
(11)
M 22 = 1 + l;(~) 2(~) 4(~) \2k-1)4
3
se soustava rovnic (15) a (16) 2jednoduií takto
(18)
l(
M 12 • [C~h + M 22 + 4qo
1
= i:
COl [
{1+A(~)2(~Y(i)\2i-lf ci
~(Í) ]
rci . [1-(f)2(2i-lf
j"rl . [C,.h = (19)
J
Detenninantje
[Aoh =
(Mll +~)(M22 + {I + 1~W2(fr(ir(2k-l)2}~) -~2 (20)
Součinitel
[Czll je
Mu ] 490 COlI[~(i)] [c~11 = -pl[~(P) l · ~o~ • [(a)2 ..zJ"
--o
3
1- L
(21-l}
~ vzato, měly by být tyto koeficienty opatřeny
indexem k. Pro 2jednodulenf
užijeme "velkých" závorek u slotitějlích výrazd - viz Pomámka v úvodu.
., Součinitel
13
[Cr] k je
Spojením se vztahy /11/ dostáváme první část řešení
- 1"'\2 __
4Qo.
-
1"'\2= 4qo
Ur:"~o
1t
~
![ Mu]
2 k=l ~ P 1t
U z :" 050 -
co ! ~
2 k=1 ~ P
A_(P)
'""U
•
C08[~(Í)J .. [<2k-l}7t(~)]
[( 1- Í
k
[(Mll+~)] 00
•
A_(P) '""U
)2<21-1)2]
Sin
2
L
cos[C2k-l)ll(a)J -2- I .COS [(21-l}7t(~)] [ ( )2 ] 2 L 1- Í (21-1)2
(21)
•
(22)
k
Druhá část rovnic (6) až (8) - řešení splňující výraz ll. Řeiení odhadnemev následujícím tvaru - funkce splňují okrajové podmínky:
-u, = nn . L.l.l Jk.n • Sin
[<21-l}7t(Z)] 2 L
• COs(n
-Ulp = l:rSJ k.n· COS [<21-l}7t(Z)] . sin (ncp) 2 L -U r = [TJ k.n • COS [<21-l}7t(Z)] 2 L
(23)
• COS (ncp).
-(Q~{ (ir(~r(2k-l)' +~[ 1+~W'] .n'} +p.) . -Q~(i) Cf)[!!f2 - ~(~r] . 1)n.
[mi;.-
(2k -
[Sli;.-
-Q~(i)Cf)(2k-l)[I1-~(~rn']. [TJ.... =0
(24)
14
+.;(~) 2n- p2) . [1]k,n = O
Ú)'W
4 (2k - l)4
(25)
+l~(i)'W 2(f)'(2k_1)2n 2 +[1+ ~W2n4] }+)
+{ I +,;W'[(j)2(f) 2(2k-1)2 +n2] }. p2) . [1]l.o = (26) Pro ~ednodukni rovnic (24 až (26) zavedeme tyto koeficienty Ln,
L12, ..... L33
15
(27)
Nyní lze rovnice (24 až (26) napsat takto:
(Ln + ~) . [H]k,lI + L 12 • [8]1,11 + L l3 • [111,11 = O
+L 12[H]". +
{L22 +[1+ AW 2] .~ }[S]". +[L23 + I~W 2n- ~]
. [1]". = O (28)
Determinant této soustavy je
[~tlk,lI =
(Ln + :i) , =
L12 L13
L L13 {Ln + [1 + :z(~) 2J~} , [L23 + :z(~rn~ ] [L23 + 1~(ir~ ] ' (L33 + {I + :z (i) (i) \~) 2(2lc-li +,r Jl) ~ 12
l
16
(29)
(30) Výpočet
[S]k,n :
8qo
on
o
cos(~)
1
[S].._ = - ..~. p[A.J..",
• [._(':")'''
r
cos[~(Í)J
r)[
{(
1
[1-(I)'<2l-I)'] u, + ~ L23 + 12
(h) 2 ji
•
~] -LI~13}. (31)
Výpočet
[1]k,n : 8qo
[1]k,n
= r02o
cos(nao)
1 o
p[At
1Jk,/I .
o
[
(]k-t)K COl [ 2-
(a) L ] ((
r)
(2CXO) 2n2 ] [(12)2 2J Ln + n2 {L 22+ [l + 1- L (2k-I) .~
1- I r
o
+I~ . W2] .~} -Li2). Celkově
jsou obrazy posuvů: (viz rovnice (21), (22), (27), (30), (31), (32»
(32)
17
(33)
(34)
-Ur~"o 1"'\2 = 4qo1 ~ P![(Mll+~)l. cos[~(f)J.J COS [(21-21>X(=.)] A_(P) [ ( )1 L + 4J
n 1=1
1-
uo
f
(21-1)1
k
8qo CIO CIO 1 +-7~~2 n ~11=1 P
{Ln+[ 1+1.(4) 2J .L}_Lf2J ~ U ~ [(Lll+r)
C08(nao)
R
• .
A1 (P)
[
I-Ci') 2r ]
k,n
cos[~(f) ]
°r 1- (,,)2 1° cos L (21-l~ Zpě1ná 1ransfonnace
[(21-l>X(~) ] 2
L
°COS (mp).
(35)
J?-obraz6 (33). (34). (35)
Při 7pě1né 1ransfonnaci se uplatní derivace determinantů
(20) a (29):
18
il{~)4 = ~({MII[ 1+A(~rW2(~)\2k-1)2]
+M22}+
+2 [I +1~W2(~r(~r(2k-1)2. ~] ) (36)
a[.61(P)]k,n
ap
[1
1
2P[({L 22+L II 1 + 12(h)2]} =~ ji + 2[ 1 + 12(h)2] ji
{L33 +{1+AW l (~r(~r(2k-l)2 +n
2
] }.
2
p ) o~·
~)+
2]
{(Lil +~){L22 +[1 +AW . ~} -Li2) .{I +AWl(~r
(37)
Výsledek napíšeme v kompaktním tvaru (38)
Transfonnace prynf části obrazu (33)
Z fyzikální podstaty děje plyne, že siDgularity jsou jednoduché póly 4 rozložené na imaginární ose Gaussovy roviny. Poloha
těchto pólů
je dána podmínkami p
[Ao(P)h = O . Pro reziduum v pólu p = O platf, že
Rez{[::~]k} = [Z~)]k P=O
a pro vAechny hodnoty indexu k se tedy přfspěvek tohoto pólu k řeienf rovná 4
Viz "Dodatek" ve výzkumné zprávě /1/ nebo pramen /3/.
=
O a
19
Další singuJarity jsou póly dané kořeny rovnice vzniIdé anulovánim determinantu (20)
(Mll + ~) (M22 + fl + I~(~) 2(f) 2(i) 2(2k-1)21·~) -Mt2 =O.
(40)
Je to bikvadratická rovnice - póly leží souměrně vzbledem k počátku Gaussovy roviny. Pro tyto kořeny proto musí platit, že
PI.2
=±
ip 10 0 ,
P3,4
Kořeny jsou funkcf indexu
=±
(41)
k, jsou vždy reáhté a pla1i pro ně, že
odpovídají vIas1nfm frekvencím souřadnici
iP200.
skořepiny,
PI, P2 > O . Číselně
pro které pfísluiné tvary kmitu nezávisi na
cp . Po dosazení z (41) do (20) máme rovnici pro výpočet
PI, resp. P2 (42)
Výpočet rezidua pro pól
P = +ip 100 • Pro velikost rezidua pla1i (při pevném k), že
Rez[....] = P=iP100
lim [(P-~~~M12 .eP1] = e+iOo/limMI2[ ~~~o)]
p .....;plOO
p ....."P100
(43) Výpočet rezidua pro pól
p = -ip 100.
Stejným postupem jako v pledchozfm pffpadě dostaneme následujcf hodnotu
rezidua (44)
20
Příspěvek dvojice sdružených pólů P = ±if31Q~ je dán součtemvztahů (43) a (44)
(45) Pfispěvek druhé dvojice pólů
P = ±if32Qo je obdobně
(46) všech čtyř jednoduchých pólů k řešeni je dán - po sumaci podle indexu k -
Příspěvek
vztahem
cos[~(f)J
[1-(f/<2k-l)2 . . [<2k-l}7t(.!)] SlO
2
L
r
.
(47)
Transformace druhé části obrazu (33). Singularity jsou opět jednoduché póly, jejich poloha je dána vztahy:
p = O a [Al(P)]k,n = O. Příspěvek
rezidua pólu v
počátku
(48) Gaussovy roviny P
indexech k J. II :
Po sumaci "ples" všechna k a II je:
=O
k fdenf je dán - při plných
21
(49)
Přfs.pěvky rezidui v pólech daných kořeny rovnice
[A1(P)]1:.11 = O.
Póly musí ležet na imaginární ose G.-roviny a proto kořeny této bikubické rowice
musí mít tvar P = iyQo (1 jsou čfsehté hodnoty vlas1lúch frekvencí kmitáni). Anulovaná rovnice (29) pak nabyde tvaru
(50) Stejným způsobem musíme upravit vztahy (37) a (38) na tvar
.~33 -{I +l~Wl(~r(~r(2k-l)'+n'] }1o)+ +(Lll-Y'~L22 -[ 1+ I~W'] y.} -Lb). {I + l~Wl(~r (51)
22 Šest kořenů rovnice (50) je ±y1; ± 12; Rezidumn v pólu P = +ty 10 0 je
Rez
± 13
a vieclmy jsou reálné.
lL12[L23+~(~/ ~~] -L13{Ln+[ l+fi(~/J ~}}~ pAl(P)
=
P=+fhOo
=
(52)
Rezidumn ve sdruženém pólu P =
-ty 10 0
najdeme stejným způsobem; dostaneme
(L L23-~(it n-rl] -L13{Ln{ l+~(~/J rl}) l1 [
=-
~...:....._---=--~--=----=-~.
2rl>.. . :
e-lylOot.
(53)
(Yl)
Celkový přfspěvek k řeiení, plynoucí od prvních sdružených pólů je:
=-
(L1Z[L:u-~(~t n-rl] -L13{Ln { l+~(~tJ rl}) . cos(110 0 / ) . rl ? (Tl)
Stejně postup~eme u ~cich sdružených dvojic pólů
P = ±ty200 a p
(54)
= ±ty300 .
Celkový přfspěvek rezidui všech šesti pólů je pak dán součtem (při pevných indexech k a n):
(55)
Vztah odpovídající plfspěvlcům rezidui v těchto pólech k veHkosti posuvu u z je:
'\ ,l.
23
(56) Celý vztah pro posuv u z je dán součtem výrazů (39), (47), (49) a (56).
Obdobným postupem, jak byl popsán u IR.. -obrazu (33), najdeme vztahy pro posuvy
u, a
u,. Uvádímejenswnámě'VŠeCJmyvýsledky:
uzn~ = -
q 4:
f[
7t 1:=1
.cos(n
Mu
Mll~-Afu
ClO
ClO
8qo ~ ~
]. C08U~f(i)] . sin [<2k-1)7t(:.)] + k [1-(i) <21-1 yJ 2 L
coe(nao).
C08[~(!!.)J 2
L
n ".,11:=1 [l-(~) 2 "z] [I-(i) 2(2k-IY]
•
2
(57)
24
(58)
(59)
25
5. ZÁVĚR Ve výzkumné tenké válcové
skořepiny.
elementů skořepiny. skořepinou
zprávě
řešení
dynamického
přetvoření radiálně
namáhané
Používá se vylepšená Sandersova teorie, která respektuje
natáčení
Tím se má dosáhnout lepší reprezentace vlnových čel, která budou
postupovat
konečnou
skořepiny před těmito čely.
tohoto cíle dosaženo.
se uvádí
rychlostí, Má se tím dosáhnout nulových deformací
Teprve srovnávací výpočty a experimenty ukážou, nakoJik bylo
26 6. POUŽITA UTERA1VRA
/1/
Brepta, R.: Tenká válcová skořepina kruhového tvaru
bodově radiálně
zatíženárázem. úTSSK ČSAV, 115 VP, Plzeň 1992 /2/
Brepta, R.: Odvození pohybovýchrovnic rotační tenké válcové skořepiny při
respektování rotace jejich hmotných elementů.
ITS ZČU, 125 VP, Plzeň 1994 /3/
Veit, J.: Integrální transformace, SmL Praha, 1979.
27 7. PŘÍLOHA
Rozvoj vnějlfho za1ížení skořgJiny v řadu vlastních funkcí Z Q
..
a a a
L
Oť.o=-
R
silu nahrazujeme radiálním normálovým napě1fm a ,.,(z,
je dáno vztahem
an{z,
(~ . ~)
. cos (~.
s)
+ao) ze (-a, +a}.
Rozvoj má tvar s :
a rr =
8
n3
(a) {
1- I
<21-1)
COS
>n(z)] L +
[<21- 1 2
~ C08<~) J. cos (mp) ~~ [C08[~(t)J «21-1>n(z)J }. ()2 ] . L Í <21-l~
+2 11=1 ~ [ 1-(~ )2,,1
1=1
1-
COS
2
Odvozeni vztahů pro koeficienty rozvojeje uvedenove výzk. ~ /1/.
