-1Tato Příloha 898 je součástí článku č. 22. Větrné turbíny a ventilátory, http://www.transformacnitechnologie.cz/vetrne-turbiny-a-ventilatory.html. Odvození základních rovnic aerodynamického výpočtu větrné turbíny
Obvodová síla působící na element lopatky větrné turbíny Kontrolní objem lopatky rotoru bez skříně je uveden v [TT12, id285]: dFu =(c 1u−c 2u ) d m+ ˙ dF p ,u+ dFh , u [TT12, id196] c1u-c2u=Δcu lu=u·Δcu [TT12, id284] aplikováno na axiální stupeň Δcu =
lu u
lu=aopt (při zanedbání ztrát) 1 ˙ d m= c ⋅2⋅π⋅R⋅ρ⋅dR z a
z [-] počet lopatek, dFp, u =0 dFh,u=0 (zanedbání hmotnostních sil) dFu =
a opt c 2⋅π⋅R⋅ρ⋅dR . z⋅u a
www.transformacni-technologie.cz
-2Axiální síla působící na element lopatky větrné turbíny dF a=(c 1a −c 2a )d m+ ˙ dFp , a+ dFh ,a [TT12, id196]
c1a=c2a (čistě axiální stupeň, nestlačitelné proudění) dFp,a=(p1-p2)dS
1 dS= 2· π · R · dR z 1 dFp , a=(p 1−p 2) 2· π · R · dR z
p1-p2=Δp dFh,a=0 (zanedbání hmotnostních sil). 2 dFa= Δp· π ·R · dR . z
Rozdíl tlaků před a za rotorem větrné turbíny Δp=? 2
2
p c p c ai = 1 + 1 − 2 − 2 =a opt [TT11, id543] (při zanedbání ztrát) ρ 2 ρ 2 c 2−c 2 Δp =aopt + 2 1 ρ 2 c 2 =c 2uc 2a [TT12, id285] 2
2
2
c 2u=c 1u−Δcu =c 1u−
aopt u
c1u=0 [TT23, id166] c 2a=c a [TT23, id153]
www.transformacni-technologie.cz
-32
( )
a c = opt + c a2 u 2 2
c 21 =c 21uc 21a [TT12, id285] c 1a=c a [TT23, id153] c 21 =c 2a 2
2
c −c Δp =aopt + 2 1 ρ 2 2
( )
aopt + c 2a−c 2a u Δp 1 aopt =aopt + =a opt+ ρ 2 2 u
2
( )
[ ( )]
1 aopt Δp=ρ a opt+ 2 u
2
.
Síla Fa je tedy dána jednoznačně, kdežto pro obvodovou sílu je řešení pro jakékoliv ca:
Rychlost větru před rotorem větrné turbíny Rychlost ca samozřejmě nemůže být libovolná a může být pouze v intervalu: c a ∈(0 ;c i ) . Axiální síla působící na na elementární mezikruží efektivní část rotoru je: ˙ i−c e )=ρ⋅dA ef⋅ca (c i−ce ) dT=d m(c
T [N] axiální síla působící na efektivní část rotoru ce [m·s-1] rychlost vzduchu na výstupu z proudové
www.transformacni-technologie.cz
-4trubice rotoru, Aef [m2] efektivní plocha rotoru (tu co vytváří svým pohybem efektivní délka lopatky). Tato síla při proudění beze ztrát je dána rozdílem tlaků: dT=dAef·Δp. Z Bernoulliho rovnice pro proudové vlákno před a za rotorem: (a) 0=
pok c 2i p1 c 2a + − − ρ 2 ρ 2
[TT11, id543] (při zanedbání
ztrát) 0=
pok c 2e p2 c 2a + − − . ρ 2 ρ 2
Z poslední dvou rovnic pro diferenci tlaku
( ) ( )
c 2i −c 2e Δp=ρ 2
c 2i −c 2e dT=ρ dA ef . 2
z rovnosti první a poslední rovnice:
( ) 2
2
c −c e ρ i dAef =ρ⋅dA ef⋅ca (c i−ce ) 2 c2i −c 2e =ca (c i−c e ) 2 c+ c c a= i e . 2
Při optimálních podmínkách lze odvodit souvislost mezi
www.transformacni-technologie.cz
-5rychlostmi ci a ce:
1 c e= c i [TT12, id313]. 3
Potom 2 c a= ci . 3
To znamená, že rychlost ca je konstantní po výšce efektivní části lopatky což by mělo korespondovat i se změnou tlaku. Tlak vzduchu před turbínou se vypočítá ze součtu tlaku vzduchu za turbínou a tlakovému rozdílu Δp.
Tlak vzduchu za větrnou turbínou Vycházíme-li ze zjednodušujícího předpokladu proudění po válcových souřadnicích skrz rotor, potom lze pro výpočet tlaku za rotorem použít rovnici radiálních rovnováhy pro proudění po válcových souřadnicích: 2 1 ∂ p 2 c 2u = [TT21, id711] ρ ∂r R
R
∫
R
dp 2=ρ
Rmin
∫ Rmin
c 22u dR R
Rmin [m] minimální poloměr, na kterém by ještě mohlo teoreticky dojít k přenesení práce aopt. Obvodová složka rychlosti lze vypočítat z konstanty K1: c 2u =−
K1 R
[TT23, id153].
www.transformacni-technologie.cz
-6R
∫
R
dp 2=ρ⋅K
2 1
∫
2
ρ⋅K 1 1 1 1 dR=p 2 (R)−p Rmin= − 2 3 2 2 Rmin R R
Rmin
Rmin
p2 (R)−prmin =
ρ⋅K 21 1 1 − 2 . 2 2 Rmin R
( (
ρ⋅K 21 1 1 p2 (R)=prmin + − 2 2 2 Rmin R
(
)
) ).
Je zřejmé, že rozdíl tlaku Δp může být maximálně roven celkovému tlaku vzduchu před proudovou trubicí turbíny pic. V tomto případě by musel tlak vzduchu za rotorem na poloměru Rmin být teoreticky roven 0, a před rotorem právě pci a tedy rychlost ca by musela být nulová. Ale zpět k rovnici tlaku před rotorem: Rovnice pro tlak těsně před větrnou turbínou
[ ( )]
ρ⋅K 21 1 1 1 a opt p1=p 2+ Δp= − 2 + ρ aopt + 2 2 Rmin R 2 u
(
)
2
.
Pro transformaci energie v proudové trubice beze ztrát bude platit rovnost mezi obvodovou práci a optimální práci větrné turbíny: lu=aopt . Odtud z [TT23, id153]: aopt =ω⋅K 1 . Současně pro obvodovou rychlost: u=ω·R [TT11, id548]
www.transformacni-technologie.cz
-7-
) [ ( ) ( )
( )] ( )
ρ⋅K 21 1 1 1 ω⋅K 1 p1= − + ρ ω⋅K + 1 2 2 Rmin 2 ω⋅R R2
(
2
2
ρ K1 ρ K1 ρ K1 p1= − + ρ⋅ω⋅K 1+ 2 Rmin 2 R 2 R
2
2
2
( ) ( )
ρ K1 p1= + ρ⋅ω⋅K 1 2 Rmin 2
ρ aopt p1= + ρ⋅aopt . 2 ω⋅Rmin
Tlak p1 je skutečně konstantní a je funkcí poloměru Rmin. Současně tlak p1 lze vypočítat z rovnice (a): p1 pok c 2i c 2a pok c 2i p 4 5 2 = + − = + − c 2i = ok + c ρ ρ 2 2 ρ 2 18 ρ 18 i 5 2 p1 =pok + ρ c 18 i .
Odtud lze odvodit minimální poloměr efektivní délky lopatky:
Odvození minimálního efektivního poloměru lopatky Rmin Minimální poloměr, na kterém je teoreticky možné ještě zpracovat aopt bude z rovnice pro tlak p1: 2
( )
ρ aopt p1= + ρ⋅aopt 2 ω⋅Rmin
www.transformacni-technologie.cz
-82
( )
p −ρ⋅a opt a opt 2 1 = ρ ω⋅R min r min =
aTopt
√
ω 2
T p1 −ρ⋅a opt . ρ
www.transformacni-technologie.cz
