FAV, KMA Matematické modelování
Modely visutých mostů
Jméno a příjmení: Osobní číslo: e-mail Fakulta
Šárka Kotalíková A05230
[email protected] FAV – obecná matematika
Obsah: 1) Visutý most obecně
3
2) Proč se modelují visuté mosty
4
3) Jednodimenzionální model visutého mostu
5
3.1)
Model s tlumením
8
3.2)
Model bez tlumení
9
4) Převod na ODR
10
4.1)
Model s tlumením
11
4.2)
Model bez tlumení
11
5) Použitá literatura
12
2
1. Visutý most obecně Visutý most je typ mostu, jehož konstrukční systém je založen na volně visícím laně s pevně zajištěnými nehybnými konci. Typický most je podepírán pilíři, dá se říci, „čím delší most, tím více pilířů“. Konstrukce visutých mostů pilíře neobsahuje. Proto je visutý most vhodné řešení všude tam, kde není možné pilíře umístit, např. hluboká údolí, moře… Pokud porovnáme délku typického a visutého mostu, visuté mosty mohou být až dvakrát delší. Existují dvě základní skupiny visutých mostů - jednoduchý visutý most a visutý most se zavěšenou mostovkou.
Jednoduchý visutý most Nosný systém jednoduchého visutého mostu geometricky kopíruje mostovku, oba přitom mají tvar oblouku s vrcholem směřujícím dolů. Konce nosného systému jsou obvykle umístěny na vyvýšených místech, polohově umístěných naproti sobě např. přes údolí či řeku. Kvůli prohnutí mostovky je tento most špatně použitelný pro moderní dopravu a uplatní se proto hlavně pro chodce. Visutý most se zavěšenou mostovkou Je tvořen konstrukcí, ve které hlavní nosná lana visí mezi dvěma věžemi a na nich jsou zavěšena vertikální lana, která nesou mostovku. Tento systém dovoluje, aby byla mostovka vodorovná, případně mírně vypouklá. Takové uspořádání umožňuje snadné převedení dopravy, především automobilů a lehkých vlaků.
3
2. Proč se modelují visuté mosty Moderní technologie umožňují stavbu mostů délky, jakou jsme si dříve nedokázali ani představit, např. Golden Gate - 1280 m, most přes Velký Belt - 1624 m, nejdelší most AkašiKaikjó v Číně - 1991 m. Všechny mosty byly ale konstruovány ze strojírenského úhlu pohledu. Jediná možnost, jak modelovat chování navrhovaných mostů, byla simulace na miniaturním modelu a aplikace klasické mechaniky. Několik zřícení visutých mostů ( nejznámější případ je most Tacoma Narrows) přenesli problém do zájmu teoretické vědy. Ukázali na to, že je nezbytné znát celkový průběh chování a dynamiku tak monumentálních struktur. Z miniaturního modelu získáme jen hlavní představu o systému, ale nevíme moc o „skryté“ dynamice, která může vést k rozkmitání mostů s kritickou amplitudou, která může způsobit zhroucení mostu. To, co odlišuje visutý most od jiných mostů je jejich základní nelinearita. Ta je zapříčiněna přítomností vertikálních podpůrných lan, která omezují pohyb mostovky směrem dolů, ale nemají žádný vliv na pohyb v opačném směru. Tento typ nelinearity se nazývá skákající nebo asymetrická.
Příklad skákající nelinearity
4
3. Jednodimenzionální modely visutých mostů Jedna z nejjednodušších možností, jak modelovat chování visutých mostů, je popsat je jako kmitající nosník s prostě podepřenými konci v jedné dimenzi. Další dvě dimenze nebereme v potaz, protože rozměry mostu v těchto dimenzích jsou velmi malé v porovnání s délkou. Také zanedbáme vliv věží a postranních částí.
Pro popis tohoto modelu je důležitý vztah pro průhyb nosníku, který získáme takto: Zavedeme souřadnicový systém tak, že počátek zvolíme na jednom okraji nosníku, osu x totožnou se střednicí nosníku a kladnou osu y směrem dolů.
5
Křivost rovinné křivky známá z diferenciální geometrie je
χ (x ) =
1 y ′′( x ) =− , 3/ 2 ρ (x ) 1 + y ′ 2 (x )
[
]
kde ρ(x) je poloměr křivosti. Z nosníku vytkneme dvěma rovnoběžnými řezy ξ a ξ´ element délky dx. Řezy jsou před deformací rovnoběžné, ale následkem ohybu se natočí tak, že svírají úhel dφ
Z podobnosti trojúhelníků ACE a BCD plyne BC CD = AB DE
kde
resp.
∆dx η = = χη ρ dx
∆dx = εo(x) je poměrné prodloužení vlákna vzdáleného o η [m] od neutrální osy (osa, dx
která se při průhybu nezkrátí ani neprodlouží). Můžeme tedy psát
χ (x ) =
εo η
z Hookeova zákona je ale známý vztah
ε o (x ) = kde σ ( x ) =
σ (x ) E
,
M o (x ) η [MPa] je napětí a E [MPa] je modul pružnosti v tahu, Mo(x)[Nm] je I (x )
ohybový moment, I(x) [m4] moment setrvačnosti průřezu tedy ε o ( x ) =
M o (x ) η EI ( x )
po dosazení 6
χ (x ) = −
M o (x ) EI (x )
dostáváme závislost mezi křivostí a ohybovým momentem. Porovnáním získáme diferenciální rovnici průhybové čáry y ′′( x )
[1 + y ′ (x )] 2
3/ 2
=−
M o (x ) EI (x )
Při reálném průhybu nosníku jsou průhybové čáry velmi ploché, pro tyto čáry je y´<<1, tedy y´2<<<1, takže y´2 je možné vůči 1 zanedbat a dostáváme y ′′( x ) = −
M o (x ) EI (x )
EI ( x ) y ′′ = − M o ( x ) Ze Schwedlerovy věty známe vztah
″ M o (x ) = −q(x ) Úplnou diferenciální rovnici průhybové čáry získáme vyloučeném ohybového momentu z první diferenciální rovnice
[EI (x ) y ′′(x )]″ = q(x ) a položíme-li I(x) = I = konst., dostaneme EIy (4 ) = q ( x )
Poté můžeme problém rozdělit na dvě části – s tlumením a bez tlumení.
7
3.1. Model s tlumením Mějme kmitající nosník s prostě podepřenými konci, který je vystavený působení gravitační síly, vnějším periodickým silám (jako např. větru) a v opačném směru vratným silám vertikálních lan. Konstrukce držící tato lana je braná jako pevný objekt.
Chování toho modelu je popsáno nelineární parciální diferenciální rovnicí ∂ 2 y ( x, t ) ∂ 4 y ( x, t ) ∂y ( x, t ) m + EI +b = −κy + ( x, t ) + W (x ) + f ( x, t ) 2 4 ∂t ∂t ∂x
s okrajovými podmínkami
y (0, t ) = y (L, t ) = 0 - tzv. geometrické podmínky, y xx (0, t ) = y xx (L, t ) = 0 - tzv. statické podmínky (aby Mo=0)
y ( x, t + π ) = y ( x, t ) - periodické podmínky − ∞ < t < ∞, x ∈ (0, L )
Význam parametrů v rovnici je následující: m .. hmotnost mostu na jednotku délky E .. Youngův modul pružnosti v tahu I .. moment setrvačnosti průřezu b .. koeficient tlumení
κ .. tuhost lana W .. tíha mostu na jednotku délky f .. vnější periodické budící podmínky (vítr) L .. délka hlavní mostovky 8
První člen rovnice představuje setrvačnou sílu, druhý člen je průhyb nosníku a poslední člen na levé straně popisuje tlumení. Na pravé straně máme vliv lan, gravitace a vnějších sil (ty předpokládáme periodické). Lana mohou být brána jako jednostranné pružiny vyhovující Hookovu zákonu s vratnou silou úměrnou průhybu, pokud jsou nataženy, a bez vratné síly, pokud jsou stlačeny. Toto je vyjádřeno členem κ y+, kde y+ = max{0, y}. Tento model nepopisuje přesně chování visutého mostu, ale je přiměřeně jednoduchý a použitelný.
Pro další použití bude vhodné rovnici transformovat (vydělením m):
ytt + α 2 y xxxx + βy t + ky + = W ( x ) + f ( x, t )
y (0, t ) = y (L, t ) = 0 , y xx (0, t ) = y xx (L, t ) = 0 y ( x, t + π ) = y ( x, t ) , − ∞ < t < ∞, x ∈ (0, L ) kde α 2 =
EI b κ ≠0 , β = >0 a k = m m m
3.2. Model bez tlumení Model bez tlumení neodpovídá realitě, ale rovnice jsou jednodušší a jsme schopni je snadněji
řešit. Parciální diferenciální rovnice popisující pohyb netlumeného nosníku s prostě podepřenými konci: mt tt + EIy xxxx + κy + = W ( x ) + f ( x, t )
s okrajovými podmínkami
y (0, t ) = y (L, t ) = 0 , y xx (0, t ) = y xx (L, t ) = 0 y ( x, t + π ) = y ( x, t ) , − ∞ < t < ∞, x ∈ (0, L )
Transformujeme stejně jako v předchozí kapitole: ytt + α 2 y xxxx + ky + = W ( x ) + f ( x, t )
(R)
y (0, t ) = y (L, t ) = 0 , y xx (0, t ) = y xx (L, t ) = 0 y ( x, t + π ) = y ( x, t ) , − ∞ < t < ∞, x ∈ (0, L )
9
Tento případ studovali W. Walter a P.J. McKenna a s dodatečným předpokladem α = 1 dokázali následující theorem:
Nechť W(x) = W0 (kladná konstanta) a nechť f(x, t) je funkce sudá a π-periodická v čase a symetrická v prostorové proměnné x podle π . Potom jestliže 0 < k < 3, rovnice (R) má jediné 2
periodické řešení periody π, které odpovídá malým kmitům kolem rovnovážné polohy. Pokud 3 < k < 15, rovnice má jiné periodické řešení s velkou amplitudou.
Jinými slovy tento theorem říká, že zesilování lan, které vede ke zvýšení koeficientu k, může paradoxně vést ke zřícení mostu.
4. Převod na ODR Složitost modelů popsaných v předchozí kapitole vede ke snaze o jejich zjednodušení. Jedna z možností je převod parciálních diferenciálních rovnic na obyčejné diferenciální rovnice. A to tak, že budeme uvažovat speciální tvar pravé strany Wo sin x + f (t )sin x
a eliminujeme tak prostorovou proměnnou z celé rovnice, pokud předpokládáme, že řešení může být psáno ve tvaru
y ( x, t ) = u (t )sin x , což vyjadřuje přirozený předpoklad, že odezva mostu bude stejného tvaru jako vnější síly. Pro dosazení budeme potřebovat následující parciální derivace: y t = u ′ sin x y tt = u ′′ sin x y x = u cos x y xx = −u sin x y xxx = −u cos x y xxxx = u sin x
Problém opět rozdělíme na případ s tlumením a bez tlumení.
10
4.1. Model s tlumením Do modelu popsaného v 3.1. dosadíme speciální pravou stranu a přepokládaný tvar řešení: u ′ sin x + α 2 u sin x + β u ′ sin x + ku + sin x = Wo sin x + f sin x
vydělením celé rovnice sin x získáme rovnici ve tvaru u ′′ + β u ′ + α 2 u + ku + = Wo + f (t )
Příklad řešení rovnice s parametry
β = 0,05, α = 3, k = 5, Wo = 1, f(t) = sin(7t)
4.2. Model bez tlumeni Když opomeneme v předchozí rovnici tlumení, dostaneme u ′′ + α 2 u + ku + = Wo + f (t )
Příklad řešení se stejnými parametry
11
5. Použitá literatura [1]
G. Tajčová: Mathematical Model sof Suspension Bridges, Plzeň (1997)
[2]
P. Drábek; G. Holubová; A. Matas and P.Nečesal: Nonlinear models of suspension bridges: discussion of the results, Plzeň (2003)
[3]
A. Matas; J. Otčenášek: Modelling of suspension bridges
[4]
E. Hájek a kolektiv: Pružnost a pevnost 1, Praha (1981)
[5]
J. Dupal: Výpočtové metody mechaniky, Plzeň (1998)
12
